Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:

2010, Том 12, Выпуск 3, С. 21–29

УДК517.983

ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ СИМВОЛАМИ1

А. В. Гиль, В. А. Ногин

Получены необходимые и достаточные условия ограниченности многомерных операторов типа по-тенциала с ядрами, имеющими особенности на единичной сфере, действующие изHp_вHq_{, изBM O}

вL∞ , изL1

вH1

и изBM O _вBM O_.

Ключевые слова:свертка, осциллирующий символ, ВМО,Hp_−Hq_{оценки, мультипликатор,}

обоб-щенная функция, оператор типа потенциала.

1. Введение

В работе получены Hp −Hq оценки, 0 < p 6 1, p 6 q < ∞, для многомерного оператора свертки

¡

S_θ,β₊ϕ¢(x) =

Z

1−δ6|y|61

sβ_θ,+(y)ϕ(x−y)dx, (1)

где

s_θ,β₊(y) =θ(|y|)¡1− |y|2¢₊β−1, 0< β <1, δ >0, θ(1)6= 0.

Здесьθ(r) — гладкая функция, называемая характеристикой оператораK_θβ.

Для операторов (1) установлены такжеBM O−L∞_,L1_−H1 _{иBM O−BM O оценки.} Заметим, что символ оператора (1) осциллирует на бесконечности, что существенно используется при доказательстве соответствующих теорем. Для получения указанных результатов, в статье развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых ин-тегралов, содержащих осциллирующую экспоненту, с последующим применением к этим интегралам метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для «модельных» муль-типликаторов

m±_b (|ξ|) =v¡|ξ|2¢|ξ|−be±i|ξ|, b >0, (2)

гдеv(r)∈C∞_{(0,∞) такова, чтоv(r) = 0, если r61,v(r) = 1, еслиr >2 и06v(r)61.}

Отметим также, что указанные оценки были установлены ранее только для мульти-пликаторных операторов (см., например, [1, 2]). Получить их в ситуации, когда оператор изначально задается как оператор свертки, — такая ситуация намного труднее — удалось благодаря описанному выше методу.

Заметим еще, что Lp −Lq оценки для оператора (1), 1 6 p < ∞, были получены в [3, 4].

c

°2010 Гиль А. В, Ногин В. А.

1_{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных}

2. Вспомогательные сведения

2.1. Обозначения. Всюду ниже используются следующие обозначения: (F f)(ξ) := ˆf(ξ) :=R_Rnf(x)eiξxdx— преобразование Фурье функцииf; (F−1_{f)(ξ) := ˜f(ξ) := (2π)}−n_{(F f)(−ξ) — обратное преобразование Фурье;}

S _{— класс Шварца быстро убывающих гладких функций;} S′ _{— пространство обобщенных функций медленного роста.}

2.2. Некоторые пространства функций и распределений.ЧерезHp _=Hp_(Rn_),

0< p61, обозначим множество всехS′_{-распределений таких, что}

f+(x) = sup 0<ε<∞

¯

¯(f∗ϕε)(x)

¯ ¯∈Lp,

где ϕ ∈ S _и R

Rnϕ(x)dx 6= 0, ϕε(x) = ε−nϕ(x_ε) и (f ∗ϕε)(x) = hf, ϕε(x− ·)i. Положим kfkHp =kf+k

Lp (см. [5; 6, гл. 3–4]).

Так как класс S _{не содержится в H}p_{, то в качестве плотного множества в H}p _мы

берем S _∩Hp _{[2, с. 275].}

ЧерезBM O =BM O(Rn_{)обозначим множество всех локально интегрируемых}

функ-ций, для которых

kfkBM O = sup B

½

1 |B|

Z

B

|f(x)−fB|dx

¾

<∞,

где fB = _|B1_|R_Bf(x)dx и супремум берется по всем шарам B из Rn. Заметим, что

про-странство BM O является сопряженным к H1 [6, с. 142].

Ниже, при доказательстве теоремы 5 существенно используется неравенство Феф-фермана [7]: еслиf ∈H1,g∈BM O иf g∈L1, то

¯ ¯ ¯ ¯ Z

Rn

f(x)g(x)dx

¯ ¯ ¯

¯6CkfkH1kgk_{BM O}. (3)

Пусть, далее, каждое из X иY — одно из пространств Hp_{,0< p61,L}∞_{или BM O.}

Следуя [2], через K_{(X, Y) обозначим пространство всехk∈}S′ _{таких, что}

kkkK(X,Y)= sup

©

kk∗fkY/kfkX : f ∈S ∩X, kfkX 6= 0ª<∞.

Через M_{(X, Y) обозначим множество обобщенных функций m∈}S′ _{таких, что}

kmkM_(X,Y)= supnkF−1(mf)kˆ Y/kfkX :f ∈S ∩X, kfkX 6= 0

o

<∞.

Таким образом,

kmkM_(X,Y)=kF−1mkK_(X,Y). (4)

Ниже нам понадобится равенство K_(L1_{, L}q_{) = L}q_{,1 < q} 6 ∞, содержащееся в тео-реме 3.3 из [2, с. 278].

2.3. О некоторых Hp−Hq мультипликаторах.Нам понадобятся следующие тео-ремы.

Теорема 1 [2, с. 284]. Имеют место соотношения:

a) m±_b(|ξ|)∈ M_(Hp_{, H}q_{),0 < p 6q <∞ ⇔ 1/p+ 1/q 61, 1/p−n/q 6b−(n−1)/2}

или1/p+ 1/q >1,n/p−1/q6b+ (n−1)/2;

Теорема 2 [8, с. 163–171].Пусть0< p62иk=£n(1_p−1₂)¤+ 1. Еслиmограниченная функция класса Ck(Rn\ {0}) и |Dαm(ξ)| 6 ¡A|ξ|−1¢|α|, при |α| 6 k и A > 1, то m ∈ M(Hp, Hp) иkmkM(Hp_,Hp₎6C An(1/p−1/2).

2.4. Равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя Jν(z).

Пусть−π/2< α < π/2. ПредставляяJν(z)в виде линейной комбинации функции

Ганке-ляH_±(1)_ν(z)иH_±(2)_ν(z)(где берется+ν, еслиν >−1/2и−ν в противном случае) и применяя результаты [9, с. 220], получаем равенство

Jν(z) =

³_πz

2

´−1/2" e−iz

µ_XN

l=0

C_l,(ν₋)z−l+R_N,(ν)₋(z)

¶

+eiz

µ_XN

l=0

C_l,(ν₊)z−l+R(_N,ν)₊(z)

¶#

, (5)

гдеC₀(ν_,±) = 1₂e∓(iπ/4)(2ν+1),

R(_N,ν)_±(z) = B

±

N

zN+1 ·Q (ν)

N,±(z), (6)

Q(_N,ν)_±(z) = 1

Z

0

(1−t)Ndt

∞·exp (_Z iα)

0

e−uuν+N+1/2³1−u t±2iz

´ν−N−3 2

du. (7)

2.5. Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих ос-циллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного в [10], показывает, что справедлива следующая

Лемма 1. Пусть β >0,f(x)∈C∞_{([0, a]) иf}(j)_{(a) = 0 (j = 0,1, . . .). Тогда}

a

Z

0

xβ−1f(x)e±iλxdx=a±_βλ−β+W₁±,β(λ), λ>1, a±_β =f(0) Γ(β)(±i)β; (8)

¯ ¯ ¯ ¯ ³

W₁±,β(λ)´(j)

¯ ¯ ¯

¯6C±,j/λ1+β+j, λ >1, j= 1,2, . . . , (9)

постоянныеC±,j _{не зависят отλ.}

3.Hp_−Hq _{оценки для оператора S}β θ,+

На³1_p,1_q´-плоскости рассмотрим множество:

L_{(β, n) =} ½µ

1 p,

1 q

¶

: 0< p61, p6q <∞, 1 p +

1 q >1,

n p −

1

q 6β+ (n−1)

¾

.

Через H_{(K)обозначим множество всех пар} ³1

p,1q

´

, для которыхkKkK(Hp_,Hq₎<∞. Основным результатом статьи является следующая

Теорема 3. Справедливо вложение

L_{(β, n)⊂H}¡_Sβ

θ,+

¢

. (10)

⊳Представим оператор S_θ,β₊ в виде

¡

где

¡

S_θ,β,₊1ϕ¢(x) =

Z

1−δ6|y|61

ω(|y|)sβ_θ,+(y)ϕ(x−y)dx,

¡

S_θ,β,₊2ϕ¢(x) =

Z

1−δ6|y|61

¡

1−ω(|y|)¢sβ_θ,+(y)ϕ(x−y)dx,

функция ω(r) ∈ C∞(0,∞) такова, что 0 6 ω(r) 6 1, ω(r) = 0, если r /∈ (1−δ,1 +δ) и ω(r) = 1, если r ∈[1−δ/2,1 +δ/2],0< δ <1.

Вначале докажем вложение

L_{(β, n)⊂}H¡_Sβ,1

θ,+

¢

. (12)

Изложим схему доказательства вложения (12). Допустим мы доказали, что

ω(|y|)sβ_θ,+(|y|)∈K_(Hp_{, H}q_), µ

1 p,

1 q

¶

∈L_{(β, n).}

Заметим, что функцияmβ,θ(ξ) =(ω\·sβ_θ,+)(ξ)является мультипликатором вS. (Это

вид-но из равенства (15).) Тогда оператор (1) определен на всемS′_{(посколькуω(|y|)s}β

θ,+(|y|) является свертывателем в S_{) и, следовательно, на всемH}p_{. Как показано в [2] (см.}

за-мечание 2.3.), при выполнении указанных условий неравенство

°

°S_θ,β,₊1ϕ°°_Hq 6

°

°ω·sβ_θ,+°°_K(Hp_,Hq₎kϕkHp,

µ

1 p,

1 q

¶

∈L_{(β, n), (13)}

справедливо для всехϕ∈Hp_{. Из (13) вытекает (12).}

Так как °°ω·sβ_θ,+°°_K(Hp_,Hq₎ =

° °mβ,θ

° °_M

(Hp_,Hq₎, то (13) (а вместе с ним и (12)) будет следовать из соотношения

mβ,θ(ξ)∈M(Hp, Hq),

µ

1 p,

1 q

¶

∈L_{(β, n). (14)}

Докажем (14). Запишем mβ,θ(ξ) в виде

mβ,θ(ξ) =

1

Z

1−δ

ρn−1(1−ρ2)β−1θ(ρ)ω(ρ)dρ

Z

Sn−1

eiρ(ξ·σ)dσ. (15)

Имеемmβ,θ(ξ) =

¡

1−v(|ξ|2)¢mβ,θ(ξ) +v(|ξ|2)mβ,θ(ξ)≡m0β,θ(ξ) +m∞β,θ(ξ).Заметим, что

m0_β,θ(ξ)∈M_(Hp_{, H}q_{), 0< p} 61, 0< p6q <∞. (16)

Действительно,m0_β,θ(ξ) ∈M_(Hp_{, H}p_{),0 < p61, по теореме 2. Так как m}0

β,θ(ξ)∈S, то

m0

β,θ(ξ) ∈ M(L1, Lq), 1 < q < ∞. Тогда, в силу вложения H1 ⊂L1 [6, с. 112], m0β,θ(ξ) ∈

M_(H1_{, L}q_{),1< q <∞. Пользуясь соображениями выпуклости, получаем (16).}

Рассмотрим m∞_β,θ(ξ). Применив формулу:

Z

Sn−1

ei(x·σ)dσ= (2π) n 2 |x|n2−1

Jn

и формулу (5) сN =£n+1₂ ¤+ 1, получаем

m∞_β,θ(ξ) =

N

X

k=0

³

hβ,k,₁ −(|ξ|) +hβ,k,₁ +(|ξ|)´+Rβ,N,₁ −(|ξ|) +R₁β,N,+(|ξ|),

где

hβ,k,₁ ±(|ξ|) = v(|ξ| 2₎

|ξ|n−21+k 1

Z

1−δ

(1−ρ)β−1gk(ρ)e±iρ|ξ|dρ, 06k6N, (18)

gk(ρ) =γk,±ρ

n−1

2 −k(1 +ρ)β−1θ(ρ)ω(ρ), γ

0,±= (2π)

n−1 2 e∓

iπ 4(n−1),

Rβ,N,₁ ±(|ξ|) = γN+1,± γ0,±

·v(|ξ| 2₎

|ξ|n−21 1

Z

1−δ

(1−ρ)β−1g0(ρ)e±iρ|ξ|R( n−2

2 )

N,± (ρ|ξ|)dρ. (19)

Рассмотрим мультипликатор (18). После замены 1−ρ=τ получаем

hβ,k,₁ ±(|ξ|) = e

±i|ξ|_v(|ξ|2₎

|ξ|n−21+k

δ

Z

0

τβ−1gk(1−τ)e∓i|ξ|τdτ. (20)

Пусть функция v(|ξ|˜ 2) такова, что v(r)˜ ∈ C∞(0,∞), ˜v(r) = 0, если r 6 1, ˜v(r) = 1, еслиr >2 и 06 ˜v(r) 61. Тогда v(r2_{) ˜v(r}2_{) =v(r}2_{). Преобразуем мультипликатор (20),} используя лемму 1. С учетом (8), будем иметь

hβ,k,₁ ±(|ξ|) =v(|ξ|2)e±i|ξ|· |ξ|1−2n−k−β·v˜¡|ξ|2¢³ak,∓

β +|ξ|βW

∓,β

1 (|ξ|)

´

,

гдеak,_β∓ =γk,±θ(1) (∓i)βΓ(β) и для W1∓,β(|ξ|)справедливо неравенство (9). Заметим, что

v(|ξ|2)e±i|ξ|· |ξ|1−2n−β ∈M(Hp, Hq) по теореме 1 (a), если(1/p,1/q)∈L_{(β, n). Кроме того,}

˜

v¡|ξ|2¢ ³ak,_β∓+|ξ|βW₁∓,β(|ξ|)´∈M_(Hp_{, H}p_{), 0< p61,}

по теореме 2 и является мультипликатором вS_{. Тогда}

hβ,₁0,±(|ξ|)∈M_(Hp_{, H}q_{), если (1/p,1/q)∈}L_{(β, n).}

Аналогично доказывается, что hβ,k,₁ ±(|ξ|) ∈M_(Hp_{, H}q_),16k6N, если(1/p,1/q) ∈

L_{(β+ 1, n).}

Рассмотрим (19). После замены 1−ρ=τ и с учетом равенства (6), получаем

R₁β,N,±(|ξ|) = B

±

Ne±i|ξ|v(|ξ|2)

|ξ|n−21+N+1

δ

Z

0

τβ−1gN+1(1−τ)e∓i|ξ|τQ( n−2

2 )

N,± ¡

(1−τ)|ξ|¢dτ.

Применяя лемму 1, будем иметь

R₁β,N,±(|ξ|) =B_N±v(|ξ|2)e±i|ξ|· |ξ|1−2n−N−1−β·v˜¡|ξ|2¢³aN+1,∓

β (|ξ|) +|ξ|βW

∓,β

1 (|ξ|)

´

гдеaN_β+1,∓(|ξ|) =γN+1,±θ(1) (∓i)βΓ(β)Q(

n−2 2 )

N,± (|ξ|), аQ

(n−2 2 )

N,± (z) имеет вид (7). Тогда

B_N±v(|ξ|2)e±i|ξ|· |ξ|−n+12 −N−β ∈M(Hp, Hq),

если(1/p,1/q)∈L_{(β+ 1, n), по теореме 1 (а). Применяя теорему 2, имеем}

˜

v¡|ξ|2¢³aN_β+1,∓(|ξ|) +|ξ|βW₁∓,β(|ξ|)´∈M_(Hp_{, H}p_),

0< p61. Кроме того, эта функция является мультипликатором вS_{. ТогдаR}β,N,±

1 (|ξ|)∈

M_(Hp_{, H}q_{), если (1/p,1/q)∈}L_{(β+ 1, n).}

Резюмируя сказанное, получаем, что

m∞_β,θ(ξ)∈M_(Hp_{, H}q_{), (1/p,1/q)∈}L_{(β, n),}

откуда, с учетом (16), следует (14). Докажем вложение

L_{(β, n)⊂}H_(Sβ,2

θ,+). (21)

Обозначим черезmβ_θ,+(y) ядро оператора S_θ,β,₊2. Очевидно, что

mβ_θ,+(y)≡¡1−ω(|y|)¢sβ_θ,+(y)∈C₀∞.

Тогда,

[

mβ_θ,+(ξ)∈M_(Hp_{, H}p_{), 0< p}61. (22)

Покажем далее, что

[

mβ_θ,+(ξ)∈M_(H1_{, L}q_{), 1< q <∞. (23)}

Применяя неравенство Г¨ельдера, имеем mβ_θ,+(y) ∈ K_(Lq′_{, L}∞_{), 1 < q}′ _{< ∞.}

То-гда, в силу вложения L∞ ⊂ BM O и, с учетом равенства K _(Lq′_{, BM O) =} K_(H1_{, L}q_),

1/q′_{+ 1/q = 1, получаем (23). Из (22) и (23), используя соображения выпуклости,}

полу-чаем (21). Из (12) и (21) следует (10).⊲

Замечание. _{Используя идею доказательства точности H}p_−Hq _{оценок (0< p} 61) для мультипликаторного оператора с символом (2), применявшуюся в [2], можно пока-зать, что знак вложения в (10) можно заменить знаком равенства.

Из доказанной выше ограниченности оператора (1) в пространстве H1 вытекает

Теорема 4. Оператор (1)ограничен в пространстве BM O.

4.L1−H1 и BM O−L∞ оценки для оператора (1)

Представляет интерес вопрос об ограниченности оператора (1) из X в Y в случае, когда Y ⊂ X. Здесь, мы получим оценки для этого оператора из L1 в H1 и из BM O в L∞.

Теорема 5. Пусть

1

Z

1−δ

ρn−1(1−ρ2)β−1θ(ρ)dρ= 0. (24)

⊳Докажем, что

d

sβ_θ,+(ξ)∈M_(L1_{, H}1_{) =}M_{(BM O, L}∞_{). (25)}

Тогда, с учетом (4) и замечания 2.3 из [2], получаем

°

°S_θ,β₊ϕ°°_H1 6ks

β

θ,+kK(L1_,H1₎kϕk_L1,

т. е. операторS_θ,β₊ ограничен из L1 вH1 и, в силу (25), — изBM O вL∞. Преобразование Фурье ядраsβ_θ,+:

d

sβ_θ,+(ξ) = 1

Z

1−δ

ρn−1(1−ρ2)β−1θ(ρ)dρ

Z

Sn−1

eiρ(ξ·σ)dσ,

запишем в виде sdβ_θ,+(ξ) = ¡1−v(|ξ|2)¢ dsβ_θ,+(ξ) +v(|ξ|2)sd_θ,β₊(ξ) ≡ sd_θ,β,₊0(ξ) +sdβ,_θ,+∞(ξ), где функцияv(r) описана во введении.

Покажем, что

d

sβ,_θ,+∞(ξ)∈M_(L1_{, H}1_{). (26)}

Имеемsdβ,_θ,+∞(ξ) =sdβ,_θ,1∞(ξ) +sd_θ,β,₂∞(ξ),sdβ,_θ,1∞(ξ) =v(|ξ|2)mβ,θ(ξ), гдеmβ,θ(ξ) — функция (15),

d

sβ,_θ,2∞(ξ) =v(|ξ|2) 1

Z

1−δ

ρn−1(1−ρ2)β−1(1−ω(ρ))θ(ρ)dρ

Z

Sn−1

eiρ(ξ·σ)dσ;

функцияω(r) описана в § 3.

Повторяя выкладки, приведенные в § 3 для sdβ,_θ,1∞(ξ) и применяя теорему 1 (c), полу-чаем

d

sβ,_θ,1∞(ξ)∈M_(L1_{, H}1_{). (27)}

Применив далее кsdβ,_θ,2∞(ξ)формулу (17), а затем формулу (5) сN =£n₂¤+ 1, будем иметь

d

sβ,_θ,2∞(ξ) =

N

X

k=0

¡

h−_β,k(|ξ|) +h+_β,k(|ξ|)¢+R−_β,N(|ξ|) +R+_β,N(|ξ|),

где

h±_β,k(|ξ|) = v(|ξ| 2₎

|ξ|n−21+k 1_Z−δ/2

1−δ

gk(ρ)e±iρ|ξ|dρ, 06k6N, (28)

gk(ρ) =γk,±ρ

n−1

2 −k(1−ρ2)β−1(1−ω(ρ))θ(ρ), γ

0,±= (2π)

n−1 2 e∓

iπ 4(n−1),

R_β,N± (|ξ|) = γN+1,± γ0,±

·v(|ξ| 2₎

|ξ|n−21 1_Z−δ/2

1−δ

g0(ρ)e±iρ|ξ|R( n−2

2 )

N,± (ρ|ξ|)dρ. (29)

Рассмотрим мультипликаторы (28). После замены1−ρ=τ получаем

h±_β,k(|ξ|) = e

±i|ξ|_v(|ξ|2₎

|ξ|n−21+k

δ

Z

δ/2

Проинтегрировав по частям интеграл в (30)l+ 1раз, будем иметь

h±_β,k(|ξ|) = e

±i(1−δ)|ξ|_v(|ξ|2₎

|ξ|n−21+1+k

·˜v¡|ξ|2¢

µ

(±i)gk(1−δ) +

(±i)2g_k′(1−δ)

|ξ| +

. . .+(±i)

l+1_g(l)

k (1−δ)

|ξ|l +

(±i)l+1 |ξ|l

δ

Z

δ/2

g_k(l+1)(1−τ)e∓i|ξ|(τ−δ)dτ

¶

.

(31)

Положимl=£n₂¤+ 1. Заметим, что

v(|ξ|2)e±i(1−δ)|ξ|· |ξ|1−2n−1−k∈M(L1, H1)

по теореме 1 (c). Кроме того, второй множитель в (31) принадлежит M_(H1_{, H}1_{) по}

тео-реме 2. Тогда h±_β,k(|ξ|)∈M_(L1_{, H}1_).

Рассмотрим (29). После замены 1−ρ=τ и с учетом равенства (6), имеем

R±_β,N(|ξ|) = B

±

Ne±i|ξ|v(|ξ|2)

|ξ|n−21+N+1

δ

Z

δ/2

gN+1(1−τ)e∓i|ξ|τQ( n−2

2 )

N,± ¡

(1−τ)|ξ|¢dτ.

Заметим, что

B_N±v(|ξ|2)e±i|ξ|· |ξ|1−2n−1∈M(L1, H1) по теореме 1 (c) и

˜ v(|ξ|2)

|ξ|N δ

Z

δ/2

gN+1(1−τ)e∓i|ξ|τQ( n−2

2 )

N,± ¡

(1−τ)|ξ|¢dτ ∈M_(H1_{, H}1₎

также по теореме 2. ТогдаR±_β,N(|ξ|)∈M_(H1_{, H}1_).

Резюмируя сказанное, получаем

d

sβ,_θ,2∞(ξ)∈M_(H1_{, H}1_{). (32)}

Из (27) и (32), следует (26). Покажем теперь, что

s_θ,β,₊0(x)≡F−1³ ds_θ,β,₊0(ξ)´(x)∈K_{(BM O, L}∞_{), (33)}

тогда из (33) и (25) будет следовать, что

d

sβ,_θ,+0(ξ)∈M_{(BM O, L}∞_{). (34)}

Заметим, что sβ,_θ,+0(x)∈S

d

sβ,_θ,+0(0) =¯¯Sn−1¯¯ 1

Z

1−δ

ρn−1(1−ρ2)β−1θ(ρ)dρ= 0

Далее, с учетом (3) и инвариантности нормы в пространствеBM O(_Rn)относительно сдвига, имеем

° °

°(sβ,_θ,+0 ∗ϕ)(x)

° ° °

L∞

6ksβ,_θ,+0kH1kϕ(x− ·)k_{BM O} =ksβ,0

θ,+kH1kϕk_{BM O}. (35) Из (35) следует (33) и, следовательно, (34).⊲

Замечание 2. _{Легко видеть, что условие (24) является необходимым для}

ограни-ченности оператораSβ_θ,+ из L1 _вH1 _{и изBM O в L}∞_.

Литература

1. Miyachi A.Notes on Fourier multipliers for Hp_{, BMO and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ.}

Tokyo. Sec. IA Math.—1983.—Vol. 30, № 2.—P. 221–242.

2. Miyachi A.On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA.—1981.—Vol. 28.— P. 267–315.

3. Nogin V. A., Karasev D. N. On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2001.—Vol. 4, № 3.—P. 343–366.

4. Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundness of some potential-type operators with oscillating kernels // Math. Nachr.—2005.—Vol. 278, № 5.—P. 554–574.

5. Fefferman C. L., Stein E. M.Hp_{-spaces of several variables // Acta Math.—1972.—Vol. 129.—P. 137–193.}

6. Stein E. M.Harmonic analysis: Real-variable method, orthogonality, and oscillatory integrals.—Prin-ceton: NJ. Princeton Univ. Press, 1993.—695 p.

7. Fefferman C. L. Characterizations of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc.—1971.— Vol. 77.—P. 587–588.

8. Calderon A. P., Torchinsky A.Parabolic maximal functions associated with a distribution, II // Adv. in Math.—1977.—Vol. 24, № 2.—P. 101–171.

9. Ватсон Г. Н.Теория бесселевых функций.—М.: ИЛ, 1949.—798 с. 10. Федорюк М. В.Метод перевала.—М.: Hаука, 1977.—368 с.

Статья поступила 20 ноября 2009 г.

Гиль Алексей Викторович Южный федеральный университет,

ассистент кафедры дифференц. и интегр. уравнений

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail:gil-alexey@yandex.ru

Ногин Владимир Александрович Южный федеральный университет,

доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,

старший научный сотрудник лаб. вещественного анализа

E-mail:vnogin@ns.math.rsu.ru

ESTIMATES FOR SOME POTENTIAL-TYPE OPERATORS WITH OSCILLATING SYMBOLS

Gil A. V., Nogin V. A.

In the framework of Hardy spacesHp_{, we study multidimensional potential-type operators whose kernels}

have singularities on the unit sphere. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators to be bounded fromHp _toHq_{, fromBM O toL}∞

, fromL1 _toH1 _{or fromBM OtoBM O.}

Key words:convolution, oscillating symbol, BMO,Hp_−Hq_{-estimates, multiplier, distribution,}