Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf Gir dan Graf Persahabatan

DEKOMPOSISI GRAF SIKEL, GRAF RODA, GRAF GIR DAN GRAF

PERSAHABATAN

Nur Rahmawati

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail: liebie0711@gmail.com

Budi Rahajeng, S.Si, M.Si

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail: rahajeng13@yahoo.com

Abstrak

Dekomposisi graf ) adalah koleksi subgraf tak kosong dari )<*E= sedemikian hingga *E = Ã'EÄ , untuk suatu subgraf tak kosong 'E dari '()),dimana <'E=adalah partisi dari ' ()). Subgraf *E pada dekomposisi G tidak memuat titik terisolasi. Jika <*E= adalah sebuah dekomposisi dari ), maka dinotasikan ) = *1é*2éå.é*P dan ) didekomposisikan ke dalam subgraf *1,*2,å. ,*P di mana |<*E=| = t. Dengan kata lain, jika ) =*1é*2é. .é*P adalah dekomposisi graf ).

Dekomposisi dari graf sikel %J adalah I-2 ±dekomposisi dengan I J ,J,IÐ 3,IMJ. Graf roda 9J ,JR3 merupakan 2-2 ± dekomposisi, graf gir )J , JR3 merupakan 3-2 ± dekomposisi dan Graf persahabatan (J, JR2 merupakan %3 dekomposisi.

Kata kunci: Dekomposisi, graf sikel, graf roda, graf gir, graf persahabatan

Abstract

A decomposition of a graph ) is collection <*E= of nonempty subgraphs such that *E = Ã'EÄ for some (nonempty) subset '_E of '()),where <'_E=is a partition of ' ()). Thus no subgraph *_E in a decomposition of ) contains isolated vertices. If <*E= is a decomposition of ), then we write )=*1é*2éå.é*P and say ) is decomposed into the subgraphs *1,*2,å. ,*P where |<*E=| = t. Indeed, if ) =*1é*2é. .é*P is a decomposition of a graph ).

A decomposition of cycle graph%J is I-2 ± decomposition with I J ,J,IÐ 3,IMJ. Wheels graph 9J ,JR3 is 2-2 ± decomposition, gears graph )J , JR3 is 3-2 ± decomposition and friendship graph (J, JR2 is %3 decomposition.

Keywords: Decomposition, cycle graph, wheels graph, gears graph, friendship graph

1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Teori graf adalah salah satu cabang dari matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang tercatat dalam sejarah untuk pertama kali menggunakan graf . Seiring perkembangan jaman dan teknologi, teori graf banyak dijadikan model dalam memecahkan masalah yang ada di kehidupan.

Teori graf telah mengalami perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak sekali rnasalah yang berkaitan dengan graf yang telah dikaji. Salah satunya

adalah dekomposisi graf. Salah satunya adalah dekomposisi graf. penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah banyak diterapkan pada berbagai ilmu pengetahuan lain seperti kimia, fisika, biologi dan pengetahuan lain. Banyak permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf seperti jaringan listrik, siklus suatu makhluk hidup dan berbagai permasalahan lainnya.

Kemunculan jurnal pertama yang membahas dekomposisi oleh Jacobson, M.S., Truszczynski, M. and Tuza, Zs., ³'HFRPSRVLWLRQV RI UHJXODU ELSDUWLWH JUDSKV´(1991) yang membahas tentang dekomposisi isomorfik graf bipartit biasa menjadi pohon dan hutan dan membuktikan bahwa: (1) sebuah graf bipartisi

beraturan-r didekomposisikan menjadi pohon dengan banyak sisi r, (2) setiap graf bipartisi beraturan±r didekomposisikan menjadi graf bintang ganda dengan banyak sisi r, dan (3) setiap graf bipartisi beraturan-4 didekomposisikan menjadi lintasan P4. Penelitian PHQJHQDL GHNRPSRVLVL WHODK GLEDKDV GDODP VNULSVL ³ 'HNRPSRVLVL *UDI .RPSOLW ³ ROHK 5LQD 0XQDZDURK GDUL UIN Malang (2009) . Pembahasan mengenai dekomposisi graf masih dapat dilanjutkan pada dekomposisi graf yang lain. Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mengambil judul skripsi ini, yaitu ³'HNRPSRVLVL *UDI 6LNHO, Graf Roda ,Graf Gir dan Graf Persahabatan ´

2. KAJIAN PUSTAKA Definisi 1

Sebuah graf ) didefinisikan sebagaipasangan terurut dua himpunan, yaitu himpunanhingga tak kosong V(G) yang elemen ± elemennyadisebut titik dan himpunan berhingga yangmungkin kosong '()) yang elemen ± elemennyadisebut sisi sedemikian hingga setiap elemen dalam '()) merupakan pasangan tak berurutan darititik ± titik di 8()). 8()) disebut himpunan titikdari graf dan '()) disebut himpunan sisi dari graf).

Definisi 2

Titik terisolasi (isolated vertex) adalah titik yang tidak satupun berhubungan langsung dengan titik ± titik yang lainnya.

Definisi 3

8QWXN Q • Graf sikel ( Cycle Graph) merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua.Graf sikel dengan J titik dilambangkan dengan %J .Banyak sisi pada sebuah graf sikel yang terdiri dari J buah titik adalah J. Definisi 4

UnWXN Q • Graf Roda9J (Wheels Graph) merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik baru pada graf sikel %J sedemikian hingga setiap titik pada graf sikel %J berhubungan langsung dengan titik baru tersebut. Banyak titik graf roda adalah J + 1, sedangkan banyak sisinya adalah 2J

Definisi 5

8QWXN Q • Graf gir (Gears Graph) dilambangkan )Jadalah graf roda9J dengan tambahan sebuah titik diantara tiap-tiap pasangan dari titik-titik graf yang berhubungan langsung pada sikel luar. Banyak titik graf gir adalah 2J+ 1 sedangkan banyak sisinya adalah 3J. Definisi 6

8QWXN Q • Graf Persahabatan (Friendship Graph) (Jadalah graf yang didapat dengan cara menghapus J/2

sisi pada bagian sikel graf roda. Graf sahabat hanya bisa didapatkan dari graf roda dengan n genap, banyak titik graf persahabatan adalah 2J + 1sedangkan banyak sisinya adalah 3J.

Definisi 7

Graf ) dikatakan dapat difaktorkan ke dalam faktor-faktor ) 1 ,) 2 , . . . . ,) t. jika faktor-faktor tersebut merupakan sisi yang saling lepas untuk setiap pasangan sisi dan ‚PE=1':)E;=':); . Jika ) difaktorkan kedalam)1,)2, . . . . ,)tmaka dituliskan dengan )=)1R )2Rå. .R)P dan disebut sebagai faktorisasi ).

Jika terdapat faktorisasi dari graf ) sedemikian hingga untuk setiap faktor adalah k-faktor ( k-faktor adalah graf bagian rentang beraturan-k), maka ) dikatakan k-faktor. Jika ) adalah graf k-faktor, maka ) adalah graf beraturan-r untuk bilangan bulat r yang merupakan kelipatan k.

Jika graf ) dapat difaktorkan kedalam )1,)2, . . . . ,)t di mana )E = *untuk sebuah graf * XQWXN VHWLDS ELODQJDQ EXODW L ”i ”t), maka kita katakan bahwa ) adalah terfaktorisasiF* dan ) memiliki faktor yang isomorfik dengan *.

Contoh

Gambar 2. 1 Graf )

Bentuk faktorisasi graf komplit )adalah sebagai berikut:

Gambar 2. 2 Faktorisasi Graf )

Definisi 8

Dekomposisi graf G adalah koleksi subgraf dari )tak kosong <*E= sedemikian hingga *E = Ã'EÄ , untuk suatu subgraf tak kosong '_E dari '()),dimana <'_E=adalah partisi dari ' ()). Subgraf *E pada dekomposisi G tidak memuat titik terisolasi. Jika <*E= adalah sebuah dekomposisi dari ) , maka dinotasikan )=*1é*2éå.é*P sama seperti pada faktorisasi dan ) didekomposisikan ke dalam subgraf *1,*2,å. ,*P di mana | <*E= | = t. Dengan kata lain jika )=*1é*2éå.é*P adalah dekomposisi dari graf ). Jika <*E= adalah dekomposisi graf) sedemikian hingga *_E =* untuk sebuah graf H dan untuk setiap i, maka )

R1 R2 R4 R3 )÷ R3 R1 R2 R3 R4 R1 R2 R4 R1 R2 R3 R4

dikatakan *Fdekomposisi. Jika ) merupakan graf H -dekomposisi, maka dinotasikan *|) sehingga * dapat dikatakan pembagi banyaknya sisi di G dan G merupakan kelipatan dari * dan untuk setiap graf (tak kosong) merupakan-2Fdekomposisi.

Contoh

Gambar 2. 3 Graf )

Partisi sisi-sisi dari graf)ditunjukkan sebagai berikut :

Gambar 2. 4 Dekomposisi graf )

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa diperoleh 6 partisi dengan masing-masing partisi terdiri dari 2 sisi . Jika )=*₁é*₂é*₃é*₄é*₅é*₆ maka ) dapat didekomposisikan.

3. PEMBAHASAN

Sebuah graf ) di dekomposisikan ke dalam subgraf *1,*2,å,*Jjika ada dua subgraf *E dan *Fyang tidak mempunyai sisi-sisi yang sama dan dimana setiap subgrafnya isomorfis serta penjumlahan semua subgraf Hi adalah graf ).

3.1 Dekomposisi Graf Sikel

Misalkan diambil graf sikel %J dengan 3QJQ9 , kemudian graf sikel %J dipartisi menjadi subgraf *Eberupa -2.

Tabel 3.1 dekomposisi dari graf sikel %_J Graf Sikel Dekomposisi H-dekompos isi Banyaknya sisi dan titik %3 % 3= * 1 R *2R*3 (3 partisi) *E=-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 2 ':*₁; = ':*₂; = ':*₃; = 1 %4 %4= *1R*2 (2 partisi) *E= 2-2 8:*1; = 8:*2; = 4 ':*1; = ':*2; = 4 %4=*1é*2 é*3é*4 *E=-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*₃; = 8:*4; = 2 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = 1 %5 %5=*1é*2 é*3é*4é*5 *E=-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 2 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = 1 %₆ %₆=*₁é*₂ *_E= 3-₂ 8:*1; = 8:*2; = 6 ':*1; = ':*2; = 3 %6=*1é*2 é*3 *E= 2-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 4 ':*1; = ':*2; = ':*3; = 2 %7 %7=*1é*2 é*3é*4é*5 é*₆é*₇ *E=-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 8:*6; = 8:*7; = 2 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = ':*6; = ':*7; = 1 %8 %8=*1é*2 é*3é*4 *E= 2-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 4 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = 2 %₈=*₁é*₂ *_E= 4-₂ 8:*1; = 8:*2; = 8 ':*1; = ':*2; = 4 %9 %9=*1é*2 é*3é*4é*5 é*6é*7 é*8é*9 *E=-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 8:*6; = 8:*7; = 8:*8; = 8:*9; = 2 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = ':*6; = ':*7; = ':*8; = ':*9; = 1 %9=*1é*2 é*₃ *E= 3-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 6 ':*1; = ':*2; = ':*3; = 3

Berdasarkan Tabel 3.1 maka diperoleh teoremaberikut: Teorema 3.1

Misalkan I J , J,IÐ 3 ,IMJ , graf sikel %J merupakan I-2±dekomposisi.

Bukti

Ambil sebarang graf sikel %J dengan JR3

Misal 8:%J;=<R1,R2,R3,å,RJ= dan ':%J;= <A1,A2,A3,å,AJ= dimana A1=:RJ,R1; dan A:E+1;=

kRE,R(E+1)o ,E= 1,2,3,å,JF1

Kemudian graf sikel %J dipartisi menjadi subgraf *_E =Ã'_EÄyang berupa -2 , dimana EMFmaka *_Eê*_F =

Î *÷ R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 )÷ R₇ R7 R2 R5 R3 R4 R₇ R₁ R6 R₅ R4 R3 *1 *2 R₅ R6 R7 R1 R7 R4 R₃ R2 R₇ R₂ R6 R1 *3 *4 *5 *6

Misalkan ':*E; =I dan 8:*E; = 2I, karena ':*_E; =I maka *_E dapat didekomposisikan sebanyak I.

Karena I J maka ada LÐ 3, ÓJ=L.I sehinggaL=J

I Misalkan %J =*1é*2é*3éå. .é*L, dimana L=

J I, LÐ 3, maka akan dikonstruksi sebanyak Lsubgraf yang saling lepas.

Sehingga menetukan partisi graf sikel %Jsebagai berikut. Misal E= 1,2,3,å,LF1

*E =Ã[AF:F=E:IK@L;_Ä,F= 1,2,3, . . ,J *L =Ã<AG:G= 0:IK@L;=Ä,G= 1,2,3, . . ,J Untuk menunjukkan untuk setiap EMF maka *E ê*F = Î , andaikan *Eê*F MÎ , maka ÌAG Ð*Eê*F ,GÐ 3. Hal ini berarti bahwa AGÐ*E dan AGÐ*F.

Berdasarkan definisi jika AG Ð*Emaka G=E:IK@L; dan AGÐ*F maka G=F:IK@L; , akibatnya E=F kontradiksi dengan yang diketahui yaitu EMF . Oleh karena itu diperoleh EMF, *Eê*F =Î . Untuk setiap E= 1,2,3,å,LF1 , ':*E; =I dan %J = *1é*2é*3éå. .é*L maka %J merupakan I-2F dekomposisi.

Contoh

Misal graf ) adalah graf sikel %J ,dengan J = 8, %8= k8:%8;,':%8;o dengan ':%8;= {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7 A8}. }. Graf )dapat digambarkan sebagai berikut:

Karena I J dan IMJ jika J = 8, maka I = 4 dan L = 2 atau I = 2 dan L = 4 atau I= 1 dan L= 8.

Untuk I = 2 dan L = 4

Sehingga ) dapat dipartisi sebagai berikut : E= 1,2,3 , F= 1,2,3,4,5,6,7,8

Maka untuk E= 1,*1=Ã[AF:F= 1:IK@ 4;_Ä , maka untuk subgraf dari AF yaitu bilangan 1 dan 5 sehingga

*1=Ã<A1,A5=Ä

Untuk = 2 ,*₂=Ã[A_F:F= 2:IK@ 4;_Ä, maka untuk subgraf dari A_F yaitu bilangan 2 dan 6 sehingga

*2 =Ã<A2,A6=Ä Dengan cara yang sama akan diperoleh :

*3=Ã<A3,A7=Ä

G= 1,2,3,4,5,6,7,8

Untuk *4=Ã<AG:G= 0:IK@4;=Ä,maka untuk subgraf dari AG yaitu bilangan 4 dan 8 sehingga

*4=Ã<A4,A8=Ä

Maka ':*_E; = 2 , *_E =-₂é-2 dan %8= *1é*2é*3é*4

Karena = 2 , maka %8 didekomposisikan sebanyak 2-2.

Sehingga %8 merupakan 2-2dekomposisi.

Untuk I = 4 dan L = 2

Sehingga ) dapat dipartisi sebagai berikut : E= 1 , F= 1,2,3,4,5,6,7,8

Maka untuk *1=Ã[AF:F= 1:IK@ 2;_Ä, maka untuk subgraf dari A_F yaitu bilangan 1, 3 , 5 dan 7 sebagai

1:IK@ 2; sehingga

*1=Ã<A1,A3,A5,A7=Ä G= 1,2,3,4,5,6,7,8

Untuk *2=Ã<AG:G= 0:IK@2;=Ä,maka untuk subgraf dari AG yaitu bilangan 2, 4, 6 dan 8 sebagai 0:IK@2; sehingga

*₂=Ã<A₁,A₃,A₅,A₇=Ä

Maka':*_E; = 4,*_E =-₂é-₂é-₂é-₂da)=*₁é*₂ Karena I= 4 , maka ) didekomposisikan sebanyak

4-2 ,Sehingga %8 merupakan 4-2dekomposisi.

Untuk I= 1 dan L= 8

Sehingga ) dapat dipartisi sebagai berikut : E= 1,2,3,4,5,6,7 , F= 1,2,3,4,5,6,7,8

Maka untuk E= 1,*1=Ã[AF:F= 1:IK@ 8;_Ä , maka untuk subgraf dari AF yaitu bilangan 1 sehingga

*1=Ã<A1=Ä

Untuk = 2 ,*2=Ã[AF:F= 2:IK@ 8;_Ä, maka untuk subgraf dari AF yaitu bilangan 2 sehingga

*2=Ã<A2=Ä Dengan cara yang sama akan diperoleh :

*3=Ã<A3=Ä , *4=Ã<A4=Ä, *5=Ã<A5=Ä, *6=Ã<A6=Ä , *7=Ã<A7=Ä

G= 1,2,3,4,5,6,7,8

Untuk *8=Ã<AG:G= 0:IK@8;=Ä,maka untuk subgraf dari A_G yaitu bilangan 8 sehingga

*8=Ã<A8=Ä

Maka ':*E; = 2 , *E =-2 dan %8=*1é*2é*3é*5é*6é*7é*8

Karena = 1 , maka %8 didekomposisikan sebanyak -2.

Sehingga %8 merupakan -2dekomposisi.

Akibat 1

Setiap graf sikel %J dengan n adalah bilangan prima maka graf sikel %Jhanya merupakan -2Fdekomposisi. Bukti :

Berdasarkan definisi untuk setiap graf (tak kosong) yang tidak memuat titik terisolasi merupakan -2-dekomposisi maka graf sikel %Jmerupakan -2-dekomposisi.

Misalkan n merupakan bilangan prima maka faktor dari n hanya 1 dan n )÷ R1 R₂ R3 A1 A2 A3 A₄ R4 R5 A₅ A6 R6 R7 A7 A8 R8

Berdasarkan teorema 3.1 Misalkan I J , J,IÐ 3,IM J maka graf sikel %_J merupakan I-₂ ±dekomposisi . Karena IMJ maka faktor dari n hanyalah 1 sehingga graf sikel %J hanya merupakan -2-dekomposisi

Karena faktor dari n hanyalah 1 dan n maka ÊLó3,LM J, 1MJ, maka LåJ

Sehingga diperoleh %J bukan L-2-dekomposisi

Dengan demikian %J dengan n prima hanya merupakan -2Fdekomposisi.

3.2 Dekomposisi Graf Roda

Misalkan diambil graf roda 9J dengan JR3, kemudian graf roda 9J dipartisi menjadi subgraf *E berupa -2. Tabel 3.2 dekomposisi dari graf roda 9J

Graf Roda Dekomposisi H-dekomposi si Banyaknya titik dan sisi 93 9 3 = * 1 R *2R*3 (3 partisi) *E= 2-2 |8(*1)| = |8(*2) = |8(*3)| = 4 ':*1; = ':*2; = |'(*3)| = 2 94 9 4 = * 1 R *2R*3R*4 (4 partisi) *E= 2-2 |8(*1)| = |8(*2)| = |8(*3)| = |8(*4)| = 4 |'(*1)| = |'(*2)| = |'(*3)| = |'(*4)| = 2 95 95=*1R*2R *3R*4R*5 (5 partisi) *_E= 2-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = |8(*5)| = 4 |'(*1)| = |'(*2)| = |'(*3)| = |'(*4)| = |'(*5)| = 2 96 : 9n W6 = H1RH2RH3R H4 RH5RH6 (6 partisi) : 9 n = * 1 R *2R*3R*4R * 5 R *6éåé*J (J partisi) *E= 2-2 : *E= 2-2 |8(*1)| = |8(*2)| = |8(*3)| = |8(*4)| = |8(*5)| = |8(*6)| = 4 |'(*1)| = |'(*2)| = |'(*3)| = |'(*4)| = |'(*5)| = |'(*6)| = 2 : 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 8:*6; =®= 8:*J; = 4 = ':*3; = ':*4; = ':*5; = ':*6; =®= ':*J; = 2

Berdasarkan Tabel 3.2 maka diperoleh teoremaberikut: Teorema 3.2

Graf roda 9_J ,JR3 merupakan 2-2 - dekomposisi Bukti

Ambil sebarang graf roda 9J

Misal 8:9J;=<R1,R2,R3,å. . ,RJF1,RJ,RJ+1= ':9J;=<A1,A2,A3,AJ,å,A2JF1,A2J=

Partisi graf roda 9J menjadi subgraf *E =Ã'EÄyang berupa -2 , dimana EMFmaka *Eê*F =Î

Misalkan 9J =*1é*2é*3éå. .é*J Partisi graf roda 9Jsebagai berikut : untuk E= 1,2,3,4,å,J

Subgraf *E =Ã<:RE,RE+1;,:RE+2,RJ+1;=Ä , dimana setiap E+ 1,E+ 2 <J maka E+ 1 dan E+ 2 dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2, ,3,å. ,J:IK@J;.

Untuk menunjukkan setiap sugraf saling lepas dimana EMF maka *Eê*F =Î . Andaikan *Eê*F MÎ , maka ÌA_G Ð*_Eê*_F ,GÐ 3 _{. Hal ini berarti bahwa} A_GÐ*_E dan AG Ð*F . Jika AG Ð*E berdasarkan definisi maka AG =:RE,RE+1; atau :RE+2,RJ+1; dan AGÐ*F berdasarkan definisi maka AG =kRF,RF+1o atau kRF+2,RJ+1o.

Akibatnya :RE,RE+1;=kRF,RF+1o dan :RE+2,RJ+1;= kRF+2,RJ+1o maka =F . Jika E=F maka setiap E+

1,E+ 2 <J dinyatakan sebagai bilangan bulat

1,2, ,3,å. ,J:IK@J; sehingga tidak ada sisi yang sama pada setiap subgraf . Oleh karena itu diperoleh EMF, *Eê*F =Î kontradiksi dengan pengandaian. Dengan demikian untuk setiap E= 1,2,3,å,J, dan 9J = *1é*2é*3éå. .é*J maka 9Jmerupakan 2-2 - dekomposisi.

Contoh

Diberikan graf roda 94;J= 4 Misal )=94

Dapat digambarkan sebagai berikut:

Titik ± titik dari ) adalah <R1,R2,R3,R4,R5= Untuk E= 1,2,3,4 maka

*1 =Ã<:R1,R2;,:R3,R5;=Ä *2=Ã<:R2,R3;,:R4,R5;=Ä

*3=Ã<:R3,R4;,:R5,R5;=Ä karenaE+ 2 >J, maka untuk titik R₅ yaitu bilangan 5 diambil sebagai

1:IK@ 4; sehingga :

*3=Ã<:R3,R4;,:R1,R5;=Ä Dengan cara yang sama maka akan diperoleh :

*4=Ã<:R4,R1;,:R2,R5;=Ä Sehingga dekomposisi dari )

)÷

R1

R2

R3 R₄ R5

Karena )=*1é*2é*3é*4dimana setiap subgraf *E didekomposisi sebanyak 2 yang berupa -2. Sehingga 94merupakan 2-2Fdekomposisi.

3.3 Dekomposisi Graf Gir

Misalkan diambil graf gir )J dengan JR3 , kemudian graf gir )J dipartisi menjadi subgraf *E berupa -2. Tabel 3.3 dekomposisi dari graf gir )J

Graf Gir Dekompo sisi H-dekomposi si

Banyak titik dan sisi

)3 )3= * 1 R *2R *3 (3 partisi) *E= 3-2 |8(*1)| = |8(*2 = |8(*3)| = 6 |'(*1)| = |'(*2) = |'(*3)| = 3 )4 )4 =*1é*2

é

*3

é

*4 (4 partisi) *E= 3-2 8:*1; = 8:*2; = |8(*3)| = |8(*4)| = 6 ':*1; = ':*2; = |'(*3)| = |'(*4)| = 3 )5 )5 =*1é*2

é*

3

é*

4 R*5 (5 partisi) *E= 3-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = |8(*5)| = 6 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = |'(*5)| = 3 )6 : )n )₆ =*1é*2 é*₃é*₄ *5R*6 (6 partisi) : )_J =*1é*2 é*₃é*₄ *5R*6 éåé*_J (J partisi) *E= 3-2 : *E= 3-2 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = |8(*5)| = |8(*6)| = 6 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = |'(*6)| = 3 : 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 8:*6; =® = 8:*J; = 6 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = ':*6; =® = ':*J; = 3

Berdasarkan Tabel 3.3 maka diperoleh teoremaberikut: Teorema 3.3

Graf gir )_J , JR3 merupakan 3-₂ - dekomposisi Bukti

Ambil sebarang graf gir )_J

Misal 8:)J;=<R1,R2,R3,å. . ,R2JF1,R2J,R2J+1= ':)J;=<A1,A2,A3,å,A3JF1,A3J=

Partisi graf gir )J menjadi subgraf *E =Ã'EÄyang berupa -2 , dimana EMFmaka *Eê*F =Î

Misalkan )_J =*1é*2é*3éå. .é*J partisi graf gir )Jsebagai berikut.

untuk E= 1,2,3,4,å,J, sehingga subgraf *E sebagai berikut :

*E =Ã<:R2EF1,R2E;,:R2E+1,R2J+1;,:R2E+2,R2E+3;=Ä , dimana setiap 2E+ 1,2E+ 2,2E+ 3 > 2J maka 2E+ 1,2E+ 2 dan 2E+ 3 dinyatakan sebagai bilangan bulat

1,2, ,3,å,2J:IK@ 2J;, Untuk menunjukkan bahwa pada setiap subgraf *E saling lepas dimana EMF maka *Eê*F =Î. Andaikan *E ê*F MÎ maka ÌAG Ð*Eê *_F ,GÐ 3 _{. Hal ini berarti bahwa} A_GÐ*_E dan A_G Ð*_F . Jika AGÐ*E berdasarkan definisi maka AG = :R2EF1,R2E;atau :R2E+1,R2J+1;atau :R2E+2,R2E+3; dan AG Ð*F berdasarkan definisi maka AG =kR2FF1,R2Fo atau kR2F+1,R2J+1oatau kR2F+2,R2F+3o.

Akibatnya :R2EF1,R2E;=kR2FF1,R2Fo , :R2E+1,R2J+1;= kR2F+1,R2J+1o dan :R2E+2,R2E+3;=kR2F+2,R2F+3o , maka E=F . Jika E=F maka setiap 2E+ 1,2E+ 2,2E+

3 > 2J dinyatakan sebagai bilangan bulat

1,2, ,3,å. ,2J:IK@ 2J; sehingga tidak ada sisi yang sama pada setiap subgraf . Oleh karena itu diperoleh EMF , *_Eê*_F =Î _{kontradiksi dengan pengandaian.}

untuk setiap E= 1,2,3,å,J , dan

)_J =*₁é*₂é*₃éå. .é*_J ':*_E; = 3 maka )Jmerupakan 3-2 dekomposisi.

Contoh

Diberikan graf gir )4;J= 4 Misal )=)4

Dapat digambarkan sebagai berikut:

Titik ± titik dari ) adalah <R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9= Untuk E= 1,2,3,4 maka

*₁=Ã<:R₁,R₂;,:R₃,R₉;,:R₄,R₅;=Ä *2=Ã<:R3,R4;,:R5,R9;,:R6,R7;=Ä

*3=Ã<:R5,R6;,:R7,R9;,:R8,R9;=Ä karena 2E+ 3 =

2J+ 1, maka untuk titik R9 yaitu bilangan 9 diambil sebagai 1:IK@ 8; sehingga :

*3=Ã<:R5,R6;,:R7,R9;,:R8,R1;=Ä Dengan cara yang sama maka akan diperoleh :

*4=Ã<:R7,R8;,:R1,R9;,:R2,R3;=Ä Sehingga dekomposisi dari )

R1 )÷ R₂ R3 R₄ R5 R6 R7 R8 R9

Karena )=*₁é*₂é*₃é*₄dimana setiap subgraf *_E didekomposisi sebanyak 3 yang berupa -2. Sehingga )4merupakan 3-2Fdekomposisi.

3.4 Dekomposisi graf pada graf persahabatanr” Misalkan diambil graf persahabatan (J dengan JR2, kemudian graf persahabatan (_J dipartisi menjadi subgraf *E berupa %3. Grafper sahabat an Dekomposi si H-dekomp osisi

Banyak titik dan sisi (2 (₂=*1R *2 (2 partisi) *_E=%3 8:*1; = 8:*2; = 3 ':*1; = ':*2;| = 3 (₃ (4= *1é*2 R*3 (3 partisi) *_E=%₃ 8:*1; = 8:*2; = |8(*3)| = 3 ':*1; = ':*2; = |'(*3)| = 3 (4 (4= *1R *2é*3R *4 (4 partisi) *E=%3 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 3 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = 3 (5 (5= *1R *2R *3R *4é*5 (5 partisi) *E=%3 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = |8(*5)| = 3 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = |'(*5)| = 3 (6= *1R *2R *3R *4é*5é*6 (6 partisi) : (J =*1R*2 Rå.R*J (J partisi) *E=%3 : *E=%3 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 8:*6; = 3 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = ':*6; = 3 : 8:*1; = 8:*2; = 8:*3; = 8:*4; = 8:*5; = 8:*6; =®= 8:*J; = 3 ':*1; = ':*2; = ':*3; = ':*4; = ':*5; = ':*6; =®= ':*J; = 3

Berdasarkan Tabel 3.3 maka diperoleh teoremaberikut: Teorema 3.4

Graf persahabatan t (_J,JR2 merupakan %3F dekomposisi

Bukti

Ambil sebarang graf s persahabatan (J

Misal 8:(J;=<R1,R2,R3,å. . ,R2JF1,R2J,R2J+1= ':(J;=<A1,A2,A3,AJ,å,A3JF1,A3J=

Partisi graf persahabatan(J menjadi subgraf ± subgraf *E =Ã'EÄyang berupa %3 , dimana EMFmaka *Eê*F = Î

Misalkan (J =*1é*2é*3éå. .é*J.

Menentukan partisi graf persahabatan (Jsebagai berikut untuk E= 1,2,3,4,å,J

Subgraf *E =Ã<:R1,R2E;,:R2E,R2E+1;,:R2E+1,R1;=Ä untuk setiap E= 1,2,3,å,J, Untuk menunjukkan bahwa pada setiap subgraf *E saling lepas, dimana EMF maka *_Eê*_F =Î_{. Andaikan} *_Eê*_F MÎ _{, maka} ÌA_G Ð*_Eê *F ,GÐ 3 . Hal ini berarti bahwa AGÐ*E dan AG Ð*F . Jika AGÐ*E berdasarkan definisi maka AG = :R1,R2E;,:R2E,R2E+1;,:R2E+1,R1; dan AGÐ*F

berdasarkan definisi maka

AG =kR1,R2Fo,kR2F,R2F+1o,kR2F+1,R1o . Akibatnya :R1,R2E;,:R2E,R2E+1;,:R2E+1,R1;

=kR1,R2Fo,kR2F,R2F+1o,kR2F+1,R1o , maka E=F kontradiksi dengan yang diketahui yaitu EMF. Oleh karena itu diperoleh EMF,*E ê*F =Î . (J = *1é*2é*3éå. .é*J dan *E berupa %3 maka (Jmerupakan %3 - dekomposisi.

Contoh

Diberikan graf persahabatan t (6;J= 6 Misal (=(6

Dapat digambarkan sebagai berikut:

Titik ± titik dari ) adalah

<R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11,R12,R13= Untuk E= 1,2,3,4,5,6 maka *₁=Ã<:R₁,R₂;,:R₂,R₃;,:R₃,R₁;=Ä *2=Ã<:R1,R4;,:R4,R5;,:R5,R1;=Ä *3=Ã<:R1,R6;,:R6,R7;,:R7,R1;=Ä *4=Ã<:R1,R8;,:R8,R9;,:R9,R1;=Ä *5=Ã<:R1,R10;,:R10,R11;,:R11,R1;=Ä *6=Ã<:R1,R12;,:R12,R13;,:R13,R1;=Ä Sehingga dekomposisi dari ) sebagai berikut

R4 _R5 ) ÷ R1 R2 R3 R6 R7 A11 R9 R10 R11 R_{13 R12} R2 R7 R1 R3 R4 R1 R₅ R1 R6 *1 *2 *3

Karena ) =*1é*2é*3é*4é*5é*6dimana setiap subgraf *_E berupa %3. Sehingga (6merupakan %3Fdekomposisi.

4 PENUTUP 4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan pada Bab III, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Misalkan I J , J,IÐ 3 , IMJ , graf sikel%JmerupakanI-2 -dekomposisi

2. Graf roda 9J , JR3 merupakan 2-2 - dekomposisi

3. Graf gir)J ,JR3merupakan3-2 - dekomposisi

4. Graf persahabatan (J,JR

2merupakan%3Fdekomposisi 4.2 Saran

Pada skripsi ini, penulis hanya memfokuskan pada pokok bahasan masalah dekomposisi pada graf roda 9J, graf gir )J , dan graf persahabatan (J. Maka dari itu, untuk penulisan skripsi selanjutnya, penulis menyarankan kepada pembaca untuk mengkaji masalah dekomposisi pada graf-graf yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Budayasa,Ketut. 2003. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa UniversityPress.

Chartrand, Gery and Lesniak, Linda. 1986. Graphs and

Digraphs Second Edition. California: a Division

of Wadsworth, Inc.

Munawaroh, Rina. 2009 . Dekomposisi Graf Komplit .

http://lib.uinmalang.ac.id/files/thesis/fullchapter/ 04510046.pdf . Diunduh pada tanggal 10 Januari 2014.

Jacobson, M.S., Truszczynski, M. and Tuza, Zs., 1991

.Decompositions of regular bipartite graphs,

Discrete Mathematics,

http://dblp.uni-trier.de/db/journals/dm/dm89.html#JacobsonTT 91. Diakses pada tanggal 11 Februari 2014. 1XUDLQL\DK /DP¶DWXQ Pelabelan Konsekutif Pada

Graf Roda, Graf Sahabat, Graf Prisma dan Graf Buku. Surabaya. Skripsi tidak dipublikasikan. Nugraheni, Liknin. Faktorisasi Pada Graph.

http://digilib.unipasby.ac.id/files/disk1/8/gdlhub --likninnugr-383-1-likninn-i.pdf Diunduh pada tanggal 11 Februari 2014.

Lasmoko, Tri. Chapter III Faktorisasi Graph

Regularhttp://eprints.undip.ac.id/32353/6/M94_

Tri_Lasmoko_chapter_III.pdf Diunduh pada tanggal 7 April 2014. R₁ R12 R13 *6 R1 R11 R10 *5 R1 R₈ R9 *4