Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel, Graf Path dan Graf Kipas - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

(1)

MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF

SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS

Oleh :

NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

(2)

i

NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064

Skripsi

Diajukan Sebagai Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada

Jurusan Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

(3)

(4)

(5)

iv

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyusun tugas akhir ini.

Tugas akhir yang berjudul “Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel, Graf Path, dan Graf Kipas ” ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Semarang.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat :

1. Drs. Solikhin Zaki, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika UNDIP.

2. Farikhin, S.Si, M.Si, Ph.D selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini.

3. Drs. Bayu Surarso, M.Sc, Ph.D selaku dosen pembimbing II yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini.

4. Semua pihak yang telah memberikan dukungan serta bantuan kepada penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

(6)

v

Semarang, Juli 2013

(7)

vi ABSTRAK

Diberikan graf � dengan himpunan titik (�) dan himpunan sisi (�). Graf total dari graf � dinotasikan dengan (�) didefinisikan sebagai himpunan titik dari

� adalah (�)∪ (�), dengan (�) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi � =� � pada graf �. Sedangkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf � adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin dari graf total pada graf �. Dalam tugas akhir ini, dipelajari tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf �_�, �_�, dan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf _�. Hasil penelitian ini, telah diketahui bahwa multiplisitas sikel dari graf total pada graf �_� adalah �+ 1 dan multiplisitas sikel dari graf total pada graf �_� is � −1. Selanjutnya, telah dibuktikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf _� adalah �

2_{+ 17}_�−₁₈

6 untuk � ganjil atau �2+ 16�−18

(8)

vii

denoted by T(G) is defined as the vertex set of (�) is (�)∪ (�), with (�) is the vertex set obtained by addition of a vertex to each edge � =� � in �. The cycle multiplicity of graph total of graph � is defined as maximum number of edge disjoint cycles in �.In this paper, we discuss the cycle multiplicity of total graph of �_�, �_�, and will be discuss the cycle multiplicity of total graph of _�. It has been known that the cycle multiplicity of total graph of n-cycle is �+ 1, cycle multiplicity of total graph of �_� graph is � −1. We show a partern for cycle multiplicity of total graph of fan graph is �2+ 17�−18

6 if � odd or

�2_{+ 16}_�−₁₈

6 if � even, with � is vertex of G.

(9)

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PENGESAHAN ... ii

KATA PENGANTAR ... iv

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT ... vii

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR GAMBAR ... x

DAFTAR TABEL... xiii

DAFTAR SIMBOL ... xiv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Pembatasan Masalah ... 2

1.4 Tujuan Penulisan ... 3

1.5 Metode Penulisan ... 3

1.6 Sistematika Penulisan ... 3

BAB II TEORI PENUNJANG ... 5

2.1 Pengertian Graf ... 5

2.2 Operasi – operasi pada graf ... 10

2.3 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar... ... 12

(10)

ix

3.2 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf � ... 24

3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel Cn ... 24

3.4 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path Pn ... 33

3.5 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas Fn ... 38

BAB IV PENUTUP ... 57

4.1 Kesimpulan ... 57

4.2 Saran ... 57

(11)

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf �1 ... 6

Gambar 2.4 Graf �₇ merupakan graf terhubung dan Graf �₈merupakan graf tidak terhubung ... 10

Gambar 2.5 Graf �₁∪ �₂ ... 11

Gambar 2.6 Graf G₁G₂ ... 11

Gambar 2.7 Graf �₁× �2 ... 12

Gambar 2.8 (a) Graf sederhana , (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu ... 14

Gambar 2.9 (a) Graf berhingga (b) Graf tak berhingga ... 15

Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah ... 16

Gambar 2.11 Graf Sikel... 16

Gambar 2.12 Graf Path ... 17

Gambar 2.13 Graf Nol ... 17

Gambar 2.14 Graf Komplit ... 18

Gambar 2.15 Graf Kipas ... 18

Gambar 2.16 Graf Bipartit... 19

Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit ... 20

Gambar 2.18 Graf Bintang ... 20

Gambar 2.19 Graf � ... 21

(12)

xi

Gambar 3.3.4 Graf Total dari Graf Sikel C4 ... 26

Gambar 3.3.5 Graf Sikel C5 ... 27

Gambar 3.4.1 Graf Path P2 ... 32

Gambar 3.4.2 Graf Total dari Graf Path P2 ... 32

Gambar 3.5.1 Graf Kipas ₃ ... 39

Gambar 3.5.2 Graf Total dari Graf Kipas ₃ ... 39

(13)

xii

Gambar 3.5.4 Graf Kipas ₄ ... 41

Gambar 3.5.5 Graf total dari graf Kipas ₄ ... 41

Gambar 3.5.6 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas ₄ ... 43

Gambar 3.5.7 Graf Kipas ₅ ... 43

Gambar 3.5.8 Graf Total dari Graf Kipas ₅ ... 43

Gambar 3.5.9 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas ₅ ... 45

Gambar 3.5.10 Graf Kipas ₆ ... 45

Gambar 3.5.11 Graf total dari graf Kipas ₆ ... 45

Gambar 3.5.12 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas ₆ ... 47

Gambar 3.5.13 Graf Kipas ₇ ... 47

Gambar 3.5.14 Graf total dari graf Kipas ₇ ... 47

(14)

xiii

(15)

xiv

DAFTAR SIMBOL

G : Graf

(�) : Total graf dari G V(G) : Himpunan titik graf G E(G) : Himpunan sisi graf G

U(G) : Himpunan titik pada graf total G

� : Titik ke i

� : Sisi ke i

: Titik ke i

� =� � : sisi yang menghubungkan � ke �

�� : Graf sikel dengan n titik

�� : Graf path dengan n titik Fn : Graf kipasdengan n titik

Kn : Graf komplit dengan n titik

� : Graf Nol dengan n titik

: Himpunan sikel sisi yang disjoin

: Kardinalitas

��(�) : Notasi untuk Multiplisitas sikel (Cycle Multiplicity) dari graf G

�� [ �_� ] : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf sikel

�� [ �_� ] : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf path

�� [ _� ] : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf kipas

(16)

(17)

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika dikenal sebagai Mother of Science, karena matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai kelebihan dibandingkan cabang – cabang ilmu lainnya. Selain itu matematika juga mempunyai banyak manfaat, karena banyak permasalahan dalam kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep – konsep matematika. Dengan berkembangnya zaman dan kemajuan teknologi, maka matematika ikut pula berkembang. Diantara banyaknya bagian matematika yang terus berkembang, yang menarik untuk dikaji lebih lanjut adalah teori graf.

Secara umum graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek – objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan tak-terurut yaitu sisi (edge). Himpunan titik G dinotasikan dengan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E (G) [2].

(18)

Meskipun masalah graf telah banyak diteliti oleh para ahli matematika, tetapi penelitian tentang multiplisitas sikel dari suatu graf belum banyak dilakukan orang, begitu juga multiplisitas sikel dari graf total tertentu. Multiplisitas sikel dari graf � adalah banyaknya sikel sisi yang disjoin di graf � yang dinotasikan dengan ��(�) [3].

Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn, graf pathPn, dan graf kipas Fn berdasarkan [1].

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn?

2. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path Pn ?

3. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas Fn ?

1.3 Pembatasan Masalah

(19)

3

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan tugas akhir ini sebagai berikut : 1. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn .

2. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf path Pn .

3. Menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas Fn .

1.5 Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir ini adalah metode tinjauan pustaka (Study Literature), yaitu dengan memahami beberapa jurnal mengenai graf dan pustaka-pustaka lain yang melandasi teori tentang graf seperti tertera dalam daftar pustaka. Terlebih dahulu penulis akan menjabarkan materi-materi dasar yang berkaitan dengan graf, seperti pengertian graf dan definisi-definisi yang berkaitan dengan graf. Penulis juga akan memberikan pengertian mengenai multiplisitas sikel dari graf total. Selanjutnya, menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn,graf path Pn, dan graf kipas Fn.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini meliputi empat bab, yaitu pendahuluan, teori penunjang, pembahasan dan penutup.

(20)

Bab II merupakan teori – teori penunjang yang terdiri dari penjelasan mengenai pengertian graf, adjacent dan incident, graf terhubung, multiplisitas sikel, graf sikel Cn , graf path Pn, dan graf kipas Fn, serta teori – teori lain yang

berkaitan.

Bab III merupakan pembahasan tentang bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn , graf path Pn, dan graf kipas

Fn, serta bagaimana membuktikan yang telah diperoleh.

(21)

5 BAB II

TEORI PENUNJANG

2.1 Pengertian Graf

Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek – objek diskrit dan hubungan antara objek – objek tersebut. Graf menggambarkan struktur tersebut dalam beberapa objek yang dinyatakan dengan noktah, bulatan, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. Secara sistematis, graf didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1.1 [2]

Graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek – objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan tak-terurut (yang mungkin kosong) dari titik – titik berbeda di G yang disebut sisi (edge). Himpunan titik dari G dinotasikan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E (G).

(22)

G: Contoh 2.1.1:

Perhatikan graf yang memuat titik V(G) dan himpunan sisi E(G) seperti berikut ini :

V(G) = ₁, 2, 3, 4, 5, 6 E(G)= ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆

Graf G tersebut secara lebih jelas dapat digambar sebagai berikut.

(23)

7

Contoh 2.1.2

Dari Gambar 2.1 di atas, titik ₁ dan ₁ serta ₁ dan ₂ adalah incident (terkait langsung) dan titik ₁dan ₂ adalah adjacent (terhubung langsung).

Definisi 2.1.3 [2]

(24)

Definisi 2.1.4 [9]

Suatu walk (jalan) yang panjangnya k dalam graf G adalah urutan k sisi G yang berbentuk.

uv, vw, wx,..., yz

Walk ini dinotasikan dengan uv, vw, wx,..., yz_{dan disebut} � antara u_{ke z.} Semua sisi dalam walk tidak perlu berbeda (boleh sama).

Definisi 2.1.5 [9]

Jika semua sisi (tetapi tidak perlu semua titik) suatu walk berbeda, maka walk itu disebut trail. Jika semua titiknya berbeda, maka trail itu disebut path. Panjang path adalah banyak sisi dalam path tersebut.

Definisi 2.1.6 [9]

Suatu walk (jalan) tertutup dalam graf G merupakan urutan sisi G berbentuk uv, vw, wx, ..., yz, zu. Jika semua sisinya berbeda, maka walk itu disebut trail tertutup (closed trail). Jika titik-titiknya juga berbeda maka trail itu disebut sikel (cycle).

Contoh 2.1.4

(25)

9

u x

v w

y z

Gambar 2.3 Graf �

(i) uvwxywvzy adalah walk yang panjangnya 8 antara u dan y, yang memuat sisi

vw dua kali, titik v, w, dan y dua kali.

(ii) Walk vzywxy adalah trail yang bukan path (karena titik y ada dua).

(iii) Walk vwxyz tidak ada titik yang diulang, karena itu merupakan path.

(iv) Walk tertutup uvwyvzu adalah trail tertutup yang bukan merupakan sikel

(karena titik v muncul dua kali)

(v) Trail tertutup vwxyv dan vwxyzv semuanya adalah sikel.

Definisi 2.1.7 [9]

Graf G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik v dan w di G, terdapat path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf G dikatakan tidak terhubung (disconnected) jika ada pasangan titik di G_{yang tidak}

mempunyai path.

Contoh 2.1.5

(26)

v6

v7

v1 v2

v3 v4

v5

G₇

v6

v7

v1 v2

v3

v4

v5

v8

G₈

Gambar 2.4 Graf G₇ merupakan graf terhubung dan G₈merupakan graf tidak terhubung

2.2 Operasi – operasi pada Graf Definisi 2.2.1 [2]

Gabungan (union) dari ₁ dan ₂, ditulis = 1∪ 2 adalah graf dengan

� =� 1 ∪ �( 2) dan = 1 ∪ 2 . Jika graf G terdiri atas � kali graf H, � > 2, maka ditulis = � .

Contoh 2.2.1

(27)

11

1∪ 2

Definisi 2.2.2 [2]

Penjumlahan dari 1 dan 2 ditulis dengan = 1+ 2 adalah graf dengan � = � ₁ ∪ �( ₂) dan = ₁ ∪ ₂ ∪{ | ∈ � ₁ dan ∈ � ₂ }.

Contoh 2.2.2

G

1

G

2

2 1 G

G 

Gambar 2.6 Graf G₁ G₂

Definisi 2.2.3[2]

Perkalian kartesius dari ₁ dan ₂ ditulis = 1× 2 adalah graf dengan

� =� 1 ×�( 2) dan dua titik ( 1, 2) dan ( 1, 2) dari G terhubung

langsung (adjacent) jika hanya jika ₁ = 1 dan 2 2 ∈ ( 2) atau 2 = 2 dan 1 1 ∈ ( 1).

(28)

Contoh 2.2.3

G

1

:

G1 X G2 :

(u1,v1) (u1,v2) _(u_1,_v₃₎

(u2,v1) (u2,v2) (u2,v3)

Gambar 2.7 Graf � × �

2.3 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

Fungsi bilangan bulat terbesar “[]” memiliki daerah asal/domain adalah

himpunan semua bilangan real dan daerah hasil/range adalah himpunan bilangan bulat.

Definisi 2.3 [8]

(29)

13

Contoh 2.3

a. −1,2 = − 2 , b. 1,2 = 1

Pada contoh (a) di atas berdasarkan definisi dapat dijelaskan sebagai berikut

−2,2 < −1,2 −1,2, maka −1,2 = - 2. Sedangkan contoh (b) berdasarkan definisi dapat dijelaskan sebagai berikut 0,2 < 1,2 1,2, maka 1,2 = 1.

2.4 Jenis-jenis Graf

Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan banyak titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 jenis :

2.4.1 Graf sederhana (simple graph)

Definisi 2.4.1 [7]

Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung sisi ganda maupun loop.

2.4.2 Graf tak sederhana (unsimple graph) Definisi 2.4.2 [7]

(30)

(pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung sisi ganda dan loop.

Contoh 2.4.1

Berikut adalah contoh graf berdasarkan ada tidaknya sisi ganda.

a b

c d

a b

c d

a b

c d

(a) (b) (c)

Gambar 2.8 (a) Graf sederhana , (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu

Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis:

2.4.3 Graf berhingga Definisi 2.4.3 [7]

Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga.

2.4.4 Graf tak-berhingga Definisi 2.4.4 [7]

(31)

15

Contoh 2.4.2

Berikut adalah contoh graf berdasarkan banyaknya titik.

(a) (b)

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dikelompokkan menjadi dua jenis:

2.4.5 Graf tak berarah Definisi 2.4.5 [7]

Graf tak-berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan . Jadi vjvk vkvj adalah sisi yang sama.

2.4.6 Graf berarah Definisi 2.4.6 [7]

Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah (v_j,v_k) dan (v_k,v_j) menyatakan dua buah sisi yang berbeda, dengan kata lain (v_j,v_k)(v_k,v_j). Untuk sisi (v_j,v_k) titik v_j dinamakan titik asal (initial verteks)dan titik v_k dinamakan titik terminal (terminal verteks).

(32)

Contoh 2.4.3

Berikut adalah contoh graf berdasarkan orientasi arah pada sisi.

(a) (b)

Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah

Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus. Berikut ini didefinisikan beberapa graf khusus yang sering ditemukan :

2.4.7 Graf Sikel (Cycle Graph) Definisi 2.4.7 [9]

Graf sikel adalah graf yang terdiri dari sebuah sikel yang tunggal. Graf sikel dengan � titik, � ≥3 dinotasikan dengan �_�. Graf sikel �_� setiap titiknya berderajat 2 .

Contoh 2.4.4

(33)

17

2.4.8 Graf Path Definisi 2.4.8 [9]

Graf path adalah graf yang terdiri dari path tunggal. Graf path dengan n titik dan n-1 sisi dinotasikan dengan P_n.

Contoh 2.4.5

1

P P₂ P₃ P₄ P₅

Gambar 2.12 Graf Path

2.4.9 Graf Nol Definisi 2.4.9 [9]

Graf nol adalah graf yang tidak memiliki sisi. Graf nol bertitik � dinotasikan dengan _�.

Contoh 2.4.6

N1 N2

N3 N4

N5

(34)

v0

v2 ...

v1 vn

Gambar 2.15 Graf Kipas 2.4.10 Graf Komplit (Complete Graph)

Definisi 2.4.10 [9]

Graf komplit dengan n titik dinotasikan K_n yaitu sebuah graf jika setiap titik adalah terhubung kepada setiap titik lainnya. Setiap titik pada K_n berderajat n-1. Contoh 2.4.7

K1 K2 K3 K4 K5 K6

Gambar 2.14 Graf Komplit

2.4.11 Graf Kipas (Fan Graph) Definisi 2.4.11 [4]

Graf kipas dibentuk dari penjumlahan graf komplit �₁ dan graf path �_�, yaitu � = �1 + ��. Dengan demikian graf kipas mempunyai (�+ 1) titik dan (2� −1) sisi.

(35)

19

2.4.12 Graf Bipartit (Bipartite Graph) Definisi 2.4.12 [9]

Suatu graf yang himpunan titiknya dapat dipecah menjadi himpunan A dan B sedemikian hingga setiap sisi graf menghubungkan sebuah titik di A ke sebuah titik di B. Titik di A dibedakan dari titik di B dengan menggambarkan titik di A sebagai noktah (lingkaran kecil hitam) dan yang di B sebagai lingkaran kecil putih, sehingga setiap sisi incident dengan sebuah titik hitam dan sebuah titik putih.

Contoh 2.4.9

2.4.13 Graf Bipartit Komplit (Complete Bipartite Graph) Definisi 2.4.13 [9]

Graf bipartit komplit adalah graf dimana setiap titik hitamnya dihubungkan dengan setiap titik putih dengan tepat satu sisi. Graf bipartit komplit dengan m titik hitam dan n titik putih dinotasikan sebagai Km,n.

(36)

Contoh 2.4.10

atau

K1,5 K2,2 K2,4

Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit

2.4.14 Graf Bintang (Star Graph) Definisi 2.4.14 [9]

Graf bintang adalah graf bipartit komplit yang satu titik hitamnya dihubungkan dengan setiap titik putih dengan tepat satu sisi. Graf bipartit komplit dengan m titik hitam dan n titik putih dinotasikan sebagai K_m,_n. Graf bipartit komplit yang

berbentuk K₁_,_n disebut graf bintang. Contoh 2.4.11

v

1

v

2

v

3

....

v

n

(37)

21

2.5 Multiplisitas Sikel [3] Definisi 2.5

Jika G adalah sebuah graf, V(G) dan E(G) adalah himpunan titik dan sisi dari graf G. Multiplisitas sikel dari graf G, dinotasikan CM(G) adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin pada graf G.

Contoh 2.5.1

Gambar 2.19 Graf �

Dari Gambar 2.19 dapat diperoleh bahwa multiplisitas sikel pada graf adalah _{1 2 3 1} atau � ( ) = 1.

v1

v2

(38)

22

Gambar 3.1 Graf G dan Total Graf G

Pada bab ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel, graf path dan graf kipas. Namun, sebelumnya akan dibahas mengenai definisi graf total dan multiplisitas sikel pada graf total.

3.1 Graf Total Definisi 3.1 [6]

(39)

23

Graf pada Gambar 3.1 merupakan graf G dengan himpunan titik V(G) = { ₁, 2, 3, 4} dan himpunan sisi E(G) = { 1, 2, 3, 4}. Graf total dari graf G adalah graf yang mempunyai himpunan titik [ ( )] = ∪ , dimana

( ) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap

sisi = pada graf dengan = ₁, ₂, ₃, ₄ . Dua titik adjacent pada ( ) adalah:

(i) ₁ adjacent dengan ₂ di graf .

1 adjacent dengan 3 di graf .

₁ adjacent dengan ₄ di graf . ₃ adjacent dengan ₄ di graf .

(ii) ₁ ∈ ( ) adjacent dengan ₂ ∈ ( ) jika sisi 1 dan sisi 2 insiden di

titik ₁ ∈ .

1 ∈ ( ) adjacent dengan 4 ∈ ( ) jika sisi 1 dan sisi 4 insiden di

titik ₁ ∈ .

titik ₃ ∈ .

titik 1 ∈ .

titik ₄ ∈ .

(40)

3 ∈ adjacent dengan 2 ∈ jika 3 insiden dengan sisi 2. 3 ∈ adjacent dengan 3 ∈ jika 3 insiden dengan sisi 3. 4 ∈ adjacent dengan 3 ∈ jika 4 insiden dengan sisi 3. 1 ∈ adjacent dengan 4 ∈ jika 1 insiden dengan sisi 4.

4 ∈ [ ] adjacent dengan 4 ∈ ( ) jika 4 insiden dengan sisi 4.

3.2 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf � Definisi 3.2 [1]

Diberikan graf dengan himpunan titik ( ) dan himpunan sisi

. Multiplisitas sikel dari graf total pada graf , dinotasikan � [ ( )] adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin dari graf total pada graf G.

Contoh 3.2

Dari gambar 3.1 maka multiplikasi sikel dari graf total pada graf adalah 1 1 2, 1 2 3, 1 4 4, 3 3 4, 2 1 4. Atau bisa ditulis � [ ( )] = 5.

3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel Cn

Diberikan graf sikel Cn dengan n adalah banyaknya titik dan n ≥ 3.

3.3.1 Graf Sikel C3

(41)

25

(42)

v

1

v

₂

Gambar 3.3.4 Graf Total dari Graf Sikel C4

(43)

27

(44)

3.3.4 Graf Sikel C6

(45)

29

(46)

Berdasarkan perhitungan Multiplisitas sikel dari graf sikel di atas, maka diperoleh sebagai berikut.

Tabel 3.1 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel

n Graf Sikel Cn � [ � ]

3 C3 4 = 3 + 1

4 C4 5 = 4 + 1

5 C5 6 = 5 + 1

6 C6 7 = 6 + 1

7 C7 8 = 7+ 1

Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel � seperti yang dituliskan dalam teorema berikut.

Teorema 3.1

Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf sikel � = + 1.

Bukti

(47)

31

2 = { 1 1 }

3 = { +1 +2 +3… }

terlihat bahwa dengan 1 3 adalah himpunan-himpunan yang beranggotakan sikel sisi yang disjoin dalam � dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika.

Pada ₁, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,…. n - 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta = −1 dimana m adalah batas terbesar dari ₁, sehingga didapatkan jumlah anggota ₁ dengan perhitungan berikut.

= + −1

−1 = 1 + −1 1

−1 = 1 + −1

= −1 Dapat ditulis ₁ = −1

Selanjutnya untuk ₂ dan 3, masing-masing banyak anggota hanya 1 yaitu

2 = { 1 1 } =1

3 = { +1 +2 +3… } = 1

maka dapat ditulis ₂ = 1 dan ₃ = 1.

Jadi masing-masing multiplisitas sikel pada tiap himpunan sikel sisi yang disjoin adalah ₁ = −1, 2 = 1, 3 = 1. Sehingga � [ � ] = −1 + 1 + 1 =

+ 1.

(48)

3.4 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path Pn

Diberikan graf Path Pn dengan n adalah banyaknya titik dan n ≥ 2.

3.4.1 Graf Path P2

Graf path P2 mempunyai himpunan titik V(P2) = { 1, 2} dan himpunan sisi E(P2)={ 1} dimana = .

v1 e1 v2

Gambar 3.4.1 Graf Path P2

v

1

v

2

u

1

Gambar 3.4.2 Graf Total dari Graf Path P2

Graf total dari graf path �₂ adalah graf yang mempunyai himpunan titik [ (�₂)] = �₂ ∪ �₂ , dimana �₂ adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi = pada graf dengan

�2 = 1 dan E[T(P2)]= { | = 1} ∪ { +1| = 1}∪ { +1| = 1}. Sikel sisi yang disjoin adalah ₁= { ₊₁ | = 1}, maka

(49)

33

Graf path P3 mempunyai himpunan titik V(P3) = { 1, 2, 3} dan himpunan sisi E(P3)={ 1, 2} dimana = .

v1 v2

e1

v3

e2

v2

u1

v1 v3

u2

Graf total dari graf path �₃ adalah graf yang mempunyai himpunan titik [ (�₃)] = �₃ ∪ �₃ , dimana �₃ adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi = pada graf path �₃ dengan �₃ = 1, 2 dan E[T(P3)]= { | = 1,2} ∪ { +1| = 1,2}∪ { ₊₁| = 1,2} ∪{ ₊₁| = 1}. Sikel sisi yang disjoin adalah ₁=

3

Graf total dari graf path �₄ adalah graf yang mempunyai himpunan titik [ (�₄)] = �₄ ∪ �₄ , dimana �₄ adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi = pada graf path �₄ dengan �₄ = 1, 2, 3 dan [ (�4)] = { |1 3} ∪ { +1|1

3}∪ { ₊₁|1 3}∪{ ₊₁|1 2}. Sikel sisi yang disjoin adalah

1= { +1 | = 1, 2, 3}, maka

(51)

(52)

(53)

37

Berdasarkan perhitungan Multiplisitas sikel dari graf path di atas, maka diperoleh sebagai berikut.

Tabel 3.2 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Path

n Graf PathPn � [ � ]

2 P2 1 = 2 – 1

3 P3 2 = 3 – 1

4 P4 3 = 4 – 1

5 P5 4 = 5 – 1

6 P6 5 = 6 – 1

Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path� seperti yang dituliskan dalam teorema berikut.

Teorema 3.2

Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada graf path Pn = −1.

Bukti

(54)

dalam �. Dimana jumlah anggota dari himpunan 1 bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika.

Untuk ₁, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,…. n - 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta = −1 dimana m adalah batas terbesar dari ₁, sehingga didapatkan jumlah anggota ∁₁ dengan perhitungan berikut.

= + −1

−1 = 1 + −1 1

−1 = 1 + −1

= −1 Dapat ditulis 1 = −1

Berdasarkan uraian di atas, maka � [ � ] = 1 = −1. Terbukti bahwa � [ � ] = −1.

3.5 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas Fn

Diberikan graf kipas Fn untuk n banyaknya titik dan 3 untuk bilangan

asli dan memiliki titik-titiknya, yaitu V(Fn)={ 0, 1, 2, 3,…. , } dan himpunan sisi E(Fn) = { 1, 2, 3,…, � 0 + (� )}.

3.5.1 Graf Kipas F3

(55)

39

u5

u4

v0

v2 v3

v1

u1 u2

u3

Gambar 3.5.2 Graf Total dari Graf Kipas ₃

v0

v2 v3

v1 e1 e2

e3 e4 e5

Gambar 3.5.1 Graf Kipas ₃

Sesuai definisi dari graf total maka bentuk graf total pada graf kipas ₃ sebagai berikut :

(56)

1 = { + −1 0 | 1 3}

2 = { +1 1 2

3 = { +1 +2 | = 3}

4 = { + +1 = 1

Dapat digambarkan sebagai berikut :

u5

(57)

41

Terlihat bahwa dengan 1 4 adalah himpunan – himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F3, dimana | 1| = 3 , | 2| = 2, | 3| = 1, | 4| = 1 . Sehingga

� [ 3 ]= = 3 + 2 + 1 + 1 = 7.

3.5.2 Graf Kipas F4

Graf kipas F4 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit �1 (Graf Nol 1 ) dan graf path �4, yaitu 4 = �1 + �4. Graf kipas 4 dapat digambarkan sebagai berikut:

v0

v2 v3

v1 e1 e2 e3 v4

e4 e5 e6 e7

Gambar 3.5.4 Graf Kipas ₄

v0

v2 v3

v1 v4

u4 _u₅

u6

u1 u₂ u3

u7

(58)

Graf pada gambar 3.5.4 merupakan graf Kipas ₄ dengan himpunan titik multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah :

1 = { ( + −1 ) 0 | 1 4}

2 = { +1 1 3

3 = { +1 +2 | = 4}

4 = { + +1 = 1, 2

(59)

43

Gambar 3.5.7 Graf Kipas ₅

u9

(60)

Graf pada gambar 3.5.7 merupakan graf Kipas ₅ dengan himpunan titik multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah :

1 = { + −1 0 | 1 5}

2 = { +1 1 4

3 = { +1 +3 = 5, 6 ∪ +2 +3 +4 = 5}

4 = { + +1 = 1, 2,3

(61)

45

Gambar 3.5.10 Graf Kipas 6

v0

(62)

Graf pada gambar 3.5.10 merupakan graf Kipas ₆ dengan himpunan titik V(F6)={ 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6} dan himpunan sisi E(F6)={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8 , 9, 10 , 11} dimana = . Graf total dari graf Kipas 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik [ ( 6)] = 6 ∪ 6 , dimana 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi = pada graf Kipas ₆. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah :

1 = { + −1 0 | 1 6}

2 = { +1 1 5

3 = { +1 +2 = 6, 8 ∪ +2 +4 = 7 ∪ +4 +5 = 6

4 = { + +1 = 1 4

(63)

47

(64)

Graf pada gambar 3.5.13 merupakan graf Kipas ₇ dengan himpunan titik V(F7)={ 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan himpunan sisi E(F6)={ 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} dimana = . Graf total dari graf Kipas 7 adalah graf yang mempunyai himpunan titik [ ( 7)] = 7 ∪ 7 , dimana 7 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi = pada graf Kipas ₇. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sisi sikel yang disjoin adalah :

1 = { + −1 0 | 1 7}

2 = { +1 1 6

3 = { +1 +3 7 10 ∪ { +4 +5 | = 7, 8}∪

{ ₊₂ ₊₆ = 7

4 = { + +1 = 1 5

Masing – masing himpunan sikel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :

(65)

49

Terlihat bahwa dengan 1 4 adalah himpunan – himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F6, dimana | 1| = 7 , | 2| = 6, | 3| = 7, | 4| = 5 . Sehingga

� [ 7 ]= = 7 + 6 + 7 + 5 = 25.

Berdasarkan perolehan multiplisitas sikel dari graf kipas di atas, maka diperoleh tabel sebagai berikut.

Tabel 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Kipas

n Graf Kipas � [ ]

(66)

, untuk n ganjil

Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas seperti yang dituliskan dalam teorema berikut.

Teorema 3.3

Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada graf kipas adalah

(67)

51

Berdasarkan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah

1 = { ( + −1 ) 0 | 1≤ i≤ } 2 = { +1 | 1≤ i≤ −1}

3 ={Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf komplit Kn}

4 = { + +1 | 1 −2}.

Terlihat bahwa dengan 1 4 adalah himpunan – himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam Fn, dimana jumlah anggota dari

masing-masing himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika.

Pada ₁, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,…. n sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta =

dimana m adalah batas terbesar dari ₁, sehingga didapatkan jumlah anggota 1 dengan perhitungan berikut.

= + −1

= 1 + −1 1

= 1 + −1

= dapat ditulis | ₁| = .

Pada ₂, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,….

(68)

= + −1 adalah 0. Demikian pula jika n = 3, maka banyaknya sisi sikel yang disjoin di K3

adalah 1. Perhatikan bahwa | 3 |

=

apakah n = 2k +1 benar, dapat diperiksa dengan perhitungan berikut:

|

₃

|

=

2−

6 benar untuk bilangan ganjil.

Pada ₄, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,….

(69)

53

= −1 dimana m adalah batas terbesar dari ₄, sehingga didapatkan jumlah anggota ₄ dengan perhitungan berikut.

= + −1

−2 = 1 + −1 1

−2 = 1 + −1

= −2 dapat ditulis | 4| = −2.

Jadi masing-masing multiplikasi sikel pada tiap himpunan sikel sisi yang disjoin adalah | 1| = , | 2| = −1,

|

3

|

=

Berdasarkan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sisi sikel yang disjoin adalah

1 = { ( + −1 ) 0 | 1≤ i≤ } 2 = { +1 | 1≤ i≤ −1}

3 ={ Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf komplit Kn}

4 = { + +1 | 1 −2}.

(70)

masing-masing himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika.

Pada ₁, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,…. sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta = dimana m adalah batas terbesar dari ₁, sehingga didapatkan jumlah anggota 1 dengan perhitungan berikut.

= + −1

= 1 + −1 1

= 1 + −1

= dapat ditulis | 1| = .

Pada ₂, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,….

−1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta = −1 dimana m adalah batas terbesar dari ₂, sehingga didapatkan jumlah anggota ₂ dengan perhitungan berikut.

= + −1

−1 = 1 + −1 1

−1 = 1 + −1

= −1 dapat ditulis | 2| = −1.

Pada ₃, akan dibuktikan banyaknya sikel sisi yang disjoin di ₃adalah

2₋₂

(71)

55

Pada ₄, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,….

−2 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta = −1 dimana m adalah batas terbesar dari , sehingga didapatkan jumlah anggota 4 dengan perhitungan berikut.

= + −1

−2 = 1 + −1 1

(72)

, untuk genap

, untuk ganjil = −2 dapat ditulis | 4| = −2.

Jadi masing-masing multiplisitas sikel pada tiap himpunan sikel sisi yang disjoin adalah | 1| = , | 2| = −1,| 3 |

=

2₋₂

6 ,dan | 4| = −2 . Sehingga

� [ ] = + −1 + 2− 2

6 + −2 =

2_{+ 16} ₋₁₈

6 , untuk genap. Jadi terbukti bahwa

� [ ] =

2_{+ 17} ₋₁₈

6

2_{+ 16} ₋₁₈

(73)

57

BAB IV PENUTUP

4.1Kesimpulan

Dari pembahasan tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn, pathPn , dan kipas Fn dapat disimpulkan sebagai berikut.

Hasil dari penelitian ini telah diketahui multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel �_� dengan � ≥ 3 adalah �+ 1 dan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path �_� dengan � ≥3 adalah � −1.

Selanjutnya, telah diperoleh multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas _� dengan � ≥3 adalah �2+ 17�−18

6 untuk � ganjil atau

�2_{+ 16}_�−₁₈

6

untuk � genap, dengan � adalah titik pada graf .

4.2 Saran

Penelitian ini masih membahas multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn, graf path Pn, dan graf kipas Fn, maka penelitian ini dapat

(74)

58

DAFTAR PUSTAKA

[1] Ali, Akbar. dan Panayappan, S. 2010. Cycle Multiplicity of Total Graph of

Cn, Pn , and K1,n. International Journal of Engineering and Technology Vol.

2, No. 2, 2010, pp. 55-58.

[2] Chartrand, Gary dan Linda Lesniak. 1996. Graphs and Diagraphs

3ndEdition. California: Wadsworth, Inc.

[3] Chartrand G., Geller D. and Hedetniemi S., 1971. Graphs with forbidden

Subgraphs, Journal of Combinatorial Theory, Vol. 10, pp. 12-41.

[4] Gallian, Joseph. 2012. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The

Electronic Journal of Cambinatorics 19.

[5] Harary, Frank. 1969. Graph Theory. Ontario: Addison-Wesley Publishing Company Inc.

[6] Michalak D., 1981. On middle and total graphs with coarseness equal 1. Springer Verlag Graph Theory. Lagow proceedings. Berlin Heidelberg, New York, Tokyo, 139-150.

[7] Munir, Rinaldi. 2007. “Matematika Diskrit”. Bandung: Informatika

Bandung.

[8] Sukirman. 2006. “Pengantar Teori Bilangan”.Yogyakarta: Hanggar

Kreator.