All Geometri

(1)

Lanjutan BAB III

1.1

1.1 ““Apakah ada segitiga yang sama Apakah ada segitiga yang sama dalam geometri Lobachevskydalam geometri Lobachevsky?”?”

Teorema 4: Teorema 4:

“ Dua segitiga kongruen, jika sudut

-sudut yang bersesuaian sama-sudut yang bersesuaian sama

””

..

Gambar. 3.7 Gambar. 3.7 Bukti:

Bukti:

Anggap teorema ini salah. Anggap teorema ini salah.

Maka pasti ad

a dua segitiga yaitu ΔABC dan Δ

AA

‟B‟C‟

ЭЭ _{A =}_{A =}

A‟

_,, _B_B =

= 

B‟, dan

_{C =}_{C =} 

C‟, tetapi segitiga tersebut tidak

_kongruen._kongruen. Maka,

Maka, A ABB  A A'' B B'' _{(jika tidak, segitiga tersebut kongruen melalui sudut sisi sudut)}_{(jika tidak, segitiga tersebut kongruen melalui sudut sisi sudut)} Demikian juga pada

Demikian juga pada A AC C  A A''C C ''_dan_dan _B_BC_C_B_B_''C_C_''_.. _{Perhatikan tiga segmen}_{Perhatikan tiga segmen} _AB_AB_,, AC

AC _,, _BC_BC dan_dan _A_A_'' B_B_''_,, A A''C C '',, B B''C C ''

Dari ketiga segmen tersebut ada dua segmen yang lebih besar dari dua Dari ketiga segmen tersebut ada dua segmen yang lebih besar dari dua segmen yang bersesuaian dari ketiga segmen lain. Konsekuensinya,

segmen yang bersesuaian dari ketiga segmen lain. Konsekuensinya, AB AB>> A A'' B B'' dan

dan AC AC _>_> A A''C C ''

Jadi, dapat ditemukan B” pada

AB AB

dan C” pada

AC AC _Э_Э _A_A_'' B_B_''₌₌_AB_AB_"" _dan_dan ''

''C C A

A ₌₌ AC AC "".. Konsekuensinya,

Konsekuensinya,

ΔA‟B‟C‟



ΔAB”C”

Sehingga,

Sehingga, 

AB”C” =



B‟ =

_B_B Karena

Karena 

BB”C” merupakan sudut pelurus dari



B”, maka



BB”C”

juga merupakan sudut pelurus dari

juga merupakan sudut pelurus dari _B._B.

A A A A’’ B’ B’ C’C’ C C B B B” B” C”C”

(2)

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

Cancel Anytime.

Demikian juga,

Demikian juga, 

B”C”C merupakan sudut pelurus dari



C”, maka



B”C”C

juga merupakan sudut pelurus dari juga merupakan sudut pelurus dari _C._C.

Oleh karena itu, segi empat BB”C”C mempunyai jumlah sudut 360°, dimana hal

ini kontradiksi dengan Teorema 3 Cololarry 1.

3.5.

3.5. Teori Teori Daerah Daerah LobachevskianLobachevskian

Mari kita klasifikasikan masalah dengan menguji dasar karakter dari sebuah Mari kita klasifikasikan masalah dengan menguji dasar karakter dari sebuah ukuran bidang untuk segitiga. Perhatikanlah bagaimana bidang tersebut ukuran bidang untuk segitiga. Perhatikanlah bagaimana bidang tersebut didefinisikan, tentu saja akan mengikuti sifat-sifat:

didefinisikan, tentu saja akan mengikuti sifat-sifat: a.

a. Positivity. Untuk masing - masing segitiga mempunyai hubunan unik yangPositivity. Untuk masing - masing segitiga mempunyai hubunan unik yang ditentukan oleh bilangan real positif disebut daerah / area.

ditentukan oleh bilangan real positif disebut daerah / area. b.

b. Invariance Under Congruence. Segitiga kongruen mempunyai wilayah yangInvariance Under Congruence. Segitiga kongruen mempunyai wilayah yang sama.

sama. c.

c. Additivity. Jika segitiga T dibagi menjadi dua segitiga yaitu TAdditivity. Jika segitiga T dibagi menjadi dua segitiga yaitu T11 dan T dan T22 oleh oleh garis yang ditarik dari titik puncak ke sisi yang dihadapannya, maka wilayah garis yang ditarik dari titik puncak ke sisi yang dihadapannya, maka wilayah dari T adalah penjumlahan dari T

dari T adalah penjumlahan dari T11 dan T dan T22..

Akibatnya beberapa proses untuk pengukuran bidang yang ditentukan oleh Akibatnya beberapa proses untuk pengukuran bidang yang ditentukan oleh sebuah fungsi

sebuah fungsi nilai real didefinisikan untuk nilai real didefinisikan untuk semua segitiga yang msemua segitiga yang memenuhi a, b,emenuhi a, b, dan c. Ini memberi tahu kita bahwa konsep pengukuran daerah atau daerah fungsi dan c. Ini memberi tahu kita bahwa konsep pengukuran daerah atau daerah fungsi segitiga dengan mengartikan property- property tersebut.

segitiga dengan mengartikan property- property tersebut.

Definisi Definisi

Suatu fungsi yang menentukan setiap segitiga dengan spesifikasi bilangan Suatu fungsi yang menentukan setiap segitiga dengan spesifikasi bilangan real memenuhi a, b, dan c. Maka fungsi itu disebut sebagai daerah fungsi atau real memenuhi a, b, dan c. Maka fungsi itu disebut sebagai daerah fungsi atau

daerah pengukuran untuk segitiga. Jika μ adalah

suatu fungsi seperti itu dan ABC suatu fungsi seperti itu dan ABC

sebuah segitiga, maka μ (ABC) merupakan nilai dari Δ

ABC dan disebut daerahABC dan disebut daerah atau ukuran dari

atau ukuran dari

Δ

ABC yang ditentukan olehABC yang ditentukan oleh

μ.

Definisi ini tentunya tidak terikat oleh geometri Lobachevskian, namun Definisi ini tentunya tidak terikat oleh geometri Lobachevskian, namun geometri ini berlaku untuk geometri netral. Kenyataannya dalam geometri geometri ini berlaku untuk geometri netral. Kenyataannya dalam geometri

(4)

Cancel Anytime.

(5)

Cancel Anytime.

ini menunjukkan setiap wilayah segitiga merupakan ukuran setengah dari hasil ini menunjukkan setiap wilayah segitiga merupakan ukuran setengah dari hasil kali alas dan tinggi.

kali alas dan tinggi.

Kita lanjutkan dengan mengamati sifat additivity (c), dimana fungsi daerah Kita lanjutkan dengan mengamati sifat additivity (c), dimana fungsi daerah dapat diperluas sampai bilangan bulat terbatas.

dapat diperluas sampai bilangan bulat terbatas.

Jika setiap segitiga merupakan gabungan dari himpinan terbatas yang tidak Jika setiap segitiga merupakan gabungan dari himpinan terbatas yang tidak beririsan

beririsan

(1,2,...., n). Maka untuk setiap fungsi daerah μ,

μ (Δ

) =) =

μ (1) + μ (2) + .... + μ

μ (1) + μ (2) + .... + μ (n)

(n)

Definisi:

Definisi: The defect The defect dari segitiga ABC dari segitiga ABC adalah 180 - adalah 180 - ((_A_A +₊ _{B +}_{B +} _C)_C)

Disini

Disini _A_A,,_{B, dan}_{B, dan} _{C digunakan sebagai derajat pengukuran dari sudut yang}_{C digunakan sebagai derajat pengukuran dari sudut yang} dimaksud, sehingga menghasilkan suatu nilai real, bukan suatu bilngan derajat. dimaksud, sehingga menghasilkan suatu nilai real, bukan suatu bilngan derajat. Dengan catatan

Dengan catatan _A_A +₊ _{B +}_{B +} _{C < 180.}_{C < 180.}

The defect tersebut merupakan fungsi daerah untuk segitiga. The defect tersebut merupakan fungsi daerah untuk segitiga. Bukti:

Bukti:

Sifat (a) mengikuti teorema 3

Sifat (a) mengikuti teorema 3  _A_A +₊ _{B +}_{B +} _{C < 180°}_{C < 180°}

Sifat (b) segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama Sifat (b) segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, sehingga jumlah sudutnya sama dan

besar, sehingga jumlah sudutnya sama dan the defect juga sama.the defect juga sama.

Gambar. 3.8 Gambar. 3.8 A A B B D D CC

(6)

Cancel Anytime.

(7)

Cancel Anytime.

Sifat (c) Sifat (c) Diketahui

Diketahui

Δ

ABC dan D pada ABC dan D pada BC, AD membagiBC, AD membagi

Δ

ABC ABC

menjadi Δ ABD dan Δ

ACD.

Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah 180 - (

180 - (_BAD_BAD₊₊ _{B +}_{B +} _{BDA) + 180 - (}_{BDA) + 180 - (}_CAD_CAD₊₊ _{C +}_{C +} _CDA)_CDA)

Dengan mengetahui bahwa

Dengan mengetahui bahwa _BDA_BDA₊₊_{CDA = 180, maka}_{CDA = 180, maka}

Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah 180 - (

180 - (_BAD_BAD₊₊ _CAD_CAD₊₊ _{B +}_{B +} _C)_C)__ _BAD_BAD₊₊ _{CAD =}_{CAD =} _{A maka:}_{A maka:}

180 - (

(8)

Cancel Anytime.

(9)

Cancel Anytime.

Lanjutan BAB III

3.6.

3.6. Riemann's Non-Euclidean Geometri TeoriRiemann's Non-Euclidean Geometri Teori POSTULAT SEJAJAR RIEMANN

POSTULAT SEJAJAR RIEMANN Tidak ada garis-garis sejajarTidak ada garis-garis sejajar

Teori Riemann tidak hanya memerlukan paralel Euclid dalil tapi dalil-dalil lain Teori Riemann tidak hanya memerlukan paralel Euclid dalil tapi dalil-dalil lain juga.

juga. Sebab Sebab kita kita telah telah menunjukkan, menunjukkan, tanpa tanpa berasumsi berasumsi apapun apapun postulat postulat paralel, paralel, yang yang adaada garis-garis sejajar (Bab 2, Th. 2, Kor. 3); adanya garis-garis paralel, tidak konsisten garis-garis sejajar (Bab 2, Th. 2, Kor. 3); adanya garis-garis paralel, tidak konsisten dengan dalil-dalil geometri netral. Akibatnya, kita akan menemukan dalil-dalil geometri dengan dalil-dalil geometri netral. Akibatnya, kita akan menemukan dalil-dalil geometri netral menyiratkan adanya garis-garis parallel.

netral menyiratkan adanya garis-garis parallel.

Prosedur alami untuk melakukan ini adalah untuk menganalisis bukti adanya Prosedur alami untuk melakukan ini adalah untuk menganalisis bukti adanya garis-garis paralel (Bab 2, Th.2, Kor. 3) untuk melihat atas mana properti itu tergantung. garis paralel (Bab 2, Th.2, Kor. 3) untuk melihat atas mana properti itu tergantung. Melirik bukti, kita melihat bahwa ia mengikuti langsung dari propertiberikut:

Melirik bukti, kita melihat bahwa ia mengikuti langsung dari propertiberikut:

Properti (A) adalah akibat langsung dari teorema sudut eksterior, jadi kita harus Properti (A) adalah akibat langsung dari teorema sudut eksterior, jadi kita harus menentukan dalil-dalil teorema sudut eksterior bergantung. Tetapi bukti teorema malaikat menentukan dalil-dalil teorema sudut eksterior bergantung. Tetapi bukti teorema malaikat eksterior adalah kompleks dan melibatkan penerimaan diam-diam properti grafis untuk eksterior adalah kompleks dan melibatkan penerimaan diam-diam properti grafis untuk dibuang. Namun, ada bukti alternatif properti (A) yang sederhana dan tidak memerlukan dibuang. Namun, ada bukti alternatif properti (A) yang sederhana dan tidak memerlukan dosis malaikat eksterior teorema. Kami menyajikan dan menganalisisnya untuk dosis malaikat eksterior teorema. Kami menyajikan dan menganalisisnya untuk menurunkan sifat-sifat penting.

menurunkan sifat-sifat penting. Teorema

Teorema

Dua garis tegak lurus terhadap baris yang sama sejajar. Dua garis tegak lurus terhadap baris yang sama sejajar.

A A L L MM N N B B (a) (a) N N M M L L A A BB C C C C (b) (b)

(10)

Cancel Anytime.

(11)

Cancel Anytime.

Bukti: Bukti:

Misalkan L sejajar dengan M adalah salah. Kemudian L dan M akan bertemu di titik Misalkan L sejajar dengan M adalah salah. Kemudian L dan M akan bertemu di titik C (gambar 4,14 (b)). L, M, bertemu dengan N di A, B, masing-masing.

C (gambar 4,14 (b)). L, M, bertemu dengan N di A, B, masing-masing. 1.

1. Perluas CA panjang sendiri melaluiPerluas CA panjang sendiri melalui

A ke C‟

2.

Draw C‟B

3.

3.  AB ABC C  A ABBC C 4.

4.  AB ABC C  A ABBC C ''

1.

1. Sebuah segmen dapat dua kaliSebuah segmen dapat dua kali lipat

lipat 2.

2. Dua titik menentukan garisDua titik menentukan garis 3.

3. SASSAS 4.

4. Sesuai bagianSesuai bagian Dengan demikian

Dengan demikian  A ABBC C '' adalah sudut siku-siku karena adalah sudut siku-siku karena  AB ABC C juga sudut siku- juga sudut siku-siku dan BC dan BC

siku dan BC dan BC‟‟ adalah tegak lurus dengan AB. adalah tegak lurus dengan AB. 5.

5. BC dan BC' bertepatanBC dan BC' bertepatan 5.5. Hanya ada satu garis tegakHanya ada satu garis tegak lurus terhadap baris tertentu lurus terhadap baris tertentu pada

pada suatu suatu titik titik tertentu tertentu daridari garis

garis Jadi AC dan BC atau L dan M memiliki titik C dan C ' Jadi AC dan BC atau L dan M memiliki titik C dan C ' 6.

6. Oleh Oleh karena karena itu itu L L dan dan M M bertepatan bertepatan 6.6. Dua titik menentukan garisDua titik menentukan garis

Ini bertentangan dengan hipotesis kita bahwa L dan M adalah garis yang berbeda. Jadi, Ini bertentangan dengan hipotesis kita bahwa L dan M adalah garis yang berbeda. Jadi, pengandaian kita salah dan teorema berlaku.

pengandaian kita salah dan teorema berlaku.

Jika postulat sejajar Riemann akan dijadikan pegangan, teorema ini harus Jika postulat sejajar Riemann akan dijadikan pegangan, teorema ini harus dipahami. Jadi kita harus membuang (selain postulat paralel Euclid) salah satu prinsip dipahami. Jadi kita harus membuang (selain postulat paralel Euclid) salah satu prinsip yang digunakan dalam pembuktian. Tentu saja kita ingin mempertahankan sifat-sifat yang digunakan dalam pembuktian. Tentu saja kita ingin mempertahankan sifat-sifat dasar kongruen segitiga dan garis tegak lurus. Dengan pemikiran ini marilah kita dasar kongruen segitiga dan garis tegak lurus. Dengan pemikiran ini marilah kita menganalisis bukti. Titik penting tampaknya langkah 6, bahwa L dan M serupa karena menganalisis bukti. Titik penting tampaknya langkah 6, bahwa L dan M serupa karena mereka memiliki poin berbeda C dan C 'yang sama. Langkah ini (dan bukti) akan gagal mereka memiliki poin berbeda C dan C 'yang sama. Langkah ini (dan bukti) akan gagal jika

jika C C dan dan C C 'tidak 'tidak berbeda, berbeda, yaitu, yaitu, jika jika mereka mereka bersamaan. bersamaan. Bagaimana Bagaimana mereka mereka bisabisa bertepatan?

bertepatan? Sebaliknya, kita Sebaliknya, kita harus harus bertanya bertanya bagaimana bagaimana kita kita tahu tahu bahwa bahwa mereka mereka berbeda.berbeda. Ini poin penting dalam pembuktian tidak formal dibenarkan, tetapi tampaknya sudah pasti Ini poin penting dalam pembuktian tidak formal dibenarkan, tetapi tampaknya sudah pasti dari diagram. Dapatkah kita menemukan prinsip geometris untuk membenarkan itu?

dari diagram. Dapatkah kita menemukan prinsip geometris untuk membenarkan itu?

Untuk menjawab ini, mengamati bahwa secara diam-diam Euclid mengasumsikan Untuk menjawab ini, mengamati bahwa secara diam-diam Euclid mengasumsikan bahwa s

bahwa setiap etiap garis garis "memisahkan" "memisahkan" bidang bidang menjadi menjadi dua dua sisi sisi yang berlawyang berlawanan. anan. DinyatakanDinyatakan secara lebih tepat: jika L adalah suatu garis, titik-titik bidang, L bukan terletak pada dua secara lebih tepat: jika L adalah suatu garis, titik-titik bidang, L bukan terletak pada dua bidang

(12)

Cancel Anytime.

(13)

Cancel Anytime.

C dan C' adalah di sisi N, dan begitu pula poin berbeda. Tanpa pemisahan yang beda C C dan C' adalah di sisi N, dan begitu pula poin berbeda. Tanpa pemisahan yang beda C dari C 'tidak memiliki justifikasi formal, dan bukti gagal/salah. Hal ini menunjukkan dari C 'tidak memiliki justifikasi formal, dan bukti gagal/salah. Hal ini menunjukkan bahwa

bahwa kita kita dapat dapat membuat membuat sebuah sebuah "Riemann" "Riemann" teori teori geometri geometri dengan dengan membuang membuang dalildalil bahwa setiap garis memisahkan bidang.

bahwa setiap garis memisahkan bidang.

Jika prinsip pemisahan diterima, C dan C 'harus menjadi titik berbeda, tetapi kita Jika prinsip pemisahan diterima, C dan C 'harus menjadi titik berbeda, tetapi kita masih dapat menghindari kontradiksi pada langkah 6, jika kita meninggalkan prinsip masih dapat menghindari kontradiksi pada langkah 6, jika kita meninggalkan prinsip bahwa

bahwa dua dua titik titik menentukan menentukan garis, garis, dan dan mengizinkan mengizinkan dua dua garis garis berpotongan berpotongan dalam dalam duadua titik. Pada pandangan pertama mungkin ini tampaknya pembayaran yang terlalu tinggi, titik. Pada pandangan pertama mungkin ini tampaknya pembayaran yang terlalu tinggi, namun itu mengarah pada yang menarik dan bukan teori geometris sederhana.

namun itu mengarah pada yang menarik dan bukan teori geometris sederhana.

Ringkasan Ringkasan

Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Pertama, Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Pertama, setiap dua garis berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis memisahkan setiap dua garis berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis memisahkan bidang. Kedua, dua

bidang. Kedua, dua garis berpotongan dalam garis berpotongan dalam tepat dua tepat dua titik, dan titik, dan setiap setiap garis memisahkangaris memisahkan bidang.

bidang. Teori-teori Teori-teori ini ini disebut, disebut, masing-masing, masing-masing, geometri geometri eliptik eliptik tunggal tunggal dan dan geometrigeometri eliptik ganda. (Istilah "tunggal" dan "rangkap" mengindikasikan sifat perpotongan dua eliptik ganda. (Istilah "tunggal" dan "rangkap" mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri dan istilah "elips" digunakan lebih halus dalam arti klasifikasi garis dalam geometri dan istilah "elips" digunakan lebih halus dalam arti klasifikasi berdasarkan

berdasarkan geometri geometri proyektif proyektif dimana dimana geometri geometri Euclid Euclid dan dan Lobachevskian Lobachevskian disebutdisebut parabola dan hiperbolik).

(14)

Cancel Anytime.

(15)

Cancel Anytime.

BAB IV

Teori Geometri Insidensi

4.1.

4.1. Teori Dasar Geometri InsidensiTeori Dasar Geometri Insidensi

Geometri mengandung: Geometri mengandung: - Unsur-unsur tak terdefinisi - Unsur-unsur tak terdefinisi - Aksioma - Aksioma - Definisi-definisi - Definisi-definisi - Teorema-teorema - Teorema-teorema

Geometri insidensi dapat dikatakan mendasari Geometri Euclides. Geometri insidensi dapat dikatakan mendasari Geometri Euclides.

Unsur-unsur tak terdefinisi pada sebuah geometri : Unsur-unsur tak terdefinisi pada sebuah geometri :

--

TitikTitik

--

GarisGaris

--

BidangBidang

Ketiga unsur dikaitkan satu sama lain dengan sebuah aksioma yaitu system aksioma Ketiga unsur dikaitkan satu sama lain dengan sebuah aksioma yaitu system aksioma insidensi.

insidensi.

Ada 6 buah postulat : Ada 6 buah postulat :

1.1 Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mengandung paling sedikit dua buah titik. 1.1 Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mengandung paling sedikit dua buah titik. 1.2

1.2 Dua buah titik yang berbeda terdapat dalam satu dan hanya satu garis.Dua buah titik yang berbeda terdapat dalam satu dan hanya satu garis. 1.3

1.3 Bidang adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik,Bidang adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik, dimana ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama.

(16)

Cancel Anytime.

(17)

Cancel Anytime.

Definisi Definisi

Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang yang memenu

bidang yang memenuhi postulat 1.1 sampai 1.6 disebut geometri insidensi.hi postulat 1.1 sampai 1.6 disebut geometri insidensi.

Teorema 1 Teorema 1

Dua garis yang berbeda berpotongan pada paling banyak di satu titik. Dua garis yang berbeda berpotongan pada paling banyak di satu titik. Bukti :

Bukti : Andai g

Andai g h,d h,dan an (g,h) = (g,h) = a,b (hipotesis)a,b (hipotesis)

Bukti Bukti

Karena a,b = (g,h), a,b di

Karena a,b = (g,h), a,b di g, a,b di h, g berimpit deng, a,b di h, g berimpit dengan h (postulat 1.2)gan h (postulat 1.2) Dan pernyataan tersebut berlawanan dengan hipotesis jadi haruslah (g,h)

Dan pernyataan tersebut berlawanan dengan hipotesis jadi haruslah (g,h) _{1 titik}_{1 titik}

Definisi Definisi jika

jika a a dan dan b b adalah adalah titik-titik titik-titik yang yang berbeda, berbeda, kita kita gunakan gunakan symbol symbol ab ab untuk untuk menyatakanmenyatakan garis unik yang memuat a dan b, dan disebut garis yang ditetapkan oleh a dan b. dan juga garis unik yang memuat a dan b, dan disebut garis yang ditetapkan oleh a dan b. dan juga dikatakan garis ab adalah garis yang menghubungkan a dan b (jika a dan b adalah titik dikatakan garis ab adalah garis yang menghubungkan a dan b (jika a dan b adalah titik yang sama symbol ab tidak terdefinisi).

yang sama symbol ab tidak terdefinisi).

Definisi Definisi

Titik-titik A1, A2, A3,...., An dikatakan segaris atau sejajar, jika ada sebuah garis yang Titik-titik A1, A2, A3,...., An dikatakan segaris atau sejajar, jika ada sebuah garis yang memuat semua titik tersebut. Dengan cara yang sama kita mendefinisikan bentuk/gambar memuat semua titik tersebut. Dengan cara yang sama kita mendefinisikan bentuk/gambar (himp. Dari titik-titik) S1, S2,...., Sn menjadi segaris atau sejajar jika ada sebuah garis (himp. Dari titik-titik) S1, S2,...., Sn menjadi segaris atau sejajar jika ada sebuah garis yang memuat titik tersebut.

(18)

Cancel Anytime.

(19)

Cancel Anytime.

Bukti Bukti

B , BC di C, BC Karena A=B, ABC berlawanan dengan yang diketahui ABC. B , BC di C, BC Karena A=B, ABC berlawanan dengan yang diketahui ABC.

Kesimpulan A

Kesimpulan A B , A, B, C tidak B , A, B, C tidak segaris. Andaikan A, B, C segsegaris. Andaikan A, B, C segaris A, B,C d¡ garis A, B,C d¡ g (definisi) Jika B, C di g dan BC, g = BC(aksioma 1.2). Karena A B C segari di g maka (definisi) Jika B, C di g dan BC, g = BC(aksioma 1.2). Karena A B C segari di g maka pernyataan ini berlawanan dengan hipo

pernyataan ini berlawanan dengan hipotesis maka ABC segaris.tesis maka ABC segaris.

Teorema 3 Teorema 3

Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut termuat pada satu Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut termuat pada satu bidang.

bidang.

Definisi Definisi

Andaikan A g. satu-satunya bidang yang memuat g dan ditulis sebagai gA. Andaikan Andaikan A g. satu-satunya bidang yang memuat g dan ditulis sebagai gA. Andaikan A,B,C berbeda dan tidak segaris. Satu-satunya bidang yang memuat A,B,C ditulis sebagai A,B,C berbeda dan tidak segaris. Satu-satunya bidang yang memuat A,B,C ditulis sebagai nbidang ABC.

nbidang ABC.

Definisi: Definisi:

Dua garis l dan m adalah sejajar apabila l dan m terletak pada bidang yang sama dan tidak Dua garis l dan m adalah sejajar apabila l dan m terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik perpotongan.

(20)

Cancel Anytime.

(21)

Cancel Anytime.

Lanjutan BAB IV

4.2.

4.2. Bidang-bidang Bidang-bidang Sejajar Sejajar dan dan Garis-garis Garis-garis SejajarSejajar Definisi

Definisi

Dua bidang P dan Q dikatakan sejajar (ditulis P║Q), jika keduanya tidak

mempunyai titik temu. mempunyai titik temu.

Teorema 6 Teorema 6

Jika bidang-bidang P dan Q seja

Jika bidang-bidang P dan Q sejajar, dan bidang R berpotongan dengan bidang p danjar, dan bidang R berpotongan dengan bidang p dan Q, maka perpotongan R dengan P dan Q merupakan garis-garis yang sejajar.

Q, maka perpotongan R dengan P dan Q merupakan garis-garis yang sejajar.

Bukti: Bukti:

Dengan menggunakan teorema 5 : Jika dua bidang berbeda berpotongan, maka Dengan menggunakan teorema 5 : Jika dua bidang berbeda berpotongan, maka perpotongannya m

perpotongannya merupakan sebuah garis.erupakan sebuah garis. (i)

(i) Akan ditunjukkan bahwa bidang R berbeda dengan bidang P dan Q.Akan ditunjukkan bahwa bidang R berbeda dengan bidang P dan Q.

( R ≠ P dan R ≠ Q )

Andaikan R = P. Andaikan R = P.

Maka R memotong Q, akibatnya P memotong Q. Maka R memotong Q, akibatnya P memotong Q.

Bertentangan dengan P║Q. Pengandaian salah.

Jadi, R ≠ P.

Andaikan R = Q. Andaikan R = Q.

Maka R memotong P, akibatnya Q memotong P. Maka R memotong P, akibatnya Q memotong P.

Bertentangan dengan P║Q. Pengandaian salah.

(22)

Cancel Anytime.

(23)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. a di dalam P ( karena L di P a di dalam P ( karena L di P )) a di dalam Q ( karena M di Q ) a di dalam Q ( karena M di Q ) P dan Q berimpit. P dan Q berimpit.

Bertentangan dengan hipotesis bahwa P║Q.

Selanjutnya L dan M terletak pada bidang yang sama dan tidak berimpit . Selanjutnya L dan M terletak pada bidang yang sama dan tidak berimpit .

Dengan definisi bahwa L║M.

Definisi Definisi::

Garis-garis L

Garis-garis L11, , LL22

, …, L

nn dikatakan dikatakan kongkurenkongkuren, jika garis-garis tersebut, jika garis-garis tersebut

berpotongan di satu titik. berpotongan di satu titik. Gambar-gambar S

Gambar-gambar S11, , SS22, ..., S, ..., Snn dikatakan dikatakan koplanarkoplanar, jika ada sebuah bidang yang, jika ada sebuah bidang yang

memuat semua gambar-gambar tersebut. memuat semua gambar-gambar tersebut.

Teorema 7

Teorema 7: Jika tiga garis koplanar secara berpasangan, tetapi semuanya tidak koplanar,: Jika tiga garis koplanar secara berpasangan, tetapi semuanya tidak koplanar, maka ketiga garis tersebut kongkuren atau ketiganya garis tersebut paralel maka ketiga garis tersebut kongkuren atau ketiganya garis tersebut paralel secara berpasangan.

secara berpasangan.

Bukti: Bukti:

Misalkan L, M, dan N tiga buah garis. Misalkan L, M, dan N tiga buah garis.

(24)

Cancel Anytime.

(25)

Cancel Anytime.

Berarti,

Berarti, P ≠

P ≠ R.

R. ...(

...( 3

3 ))

Dari ( 1 ),

Dari ( 1 ), ( 2 ), dan (

( 2 ), dan ( 3 ), menunjukkan bahwa P ≠ Q ≠ R.

3 ), menunjukkan bahwa P ≠ Q ≠ R.

Berikut ini, bidang-bidang memotong secara berpasangan di garis-garis seperti Berikut ini, bidang-bidang memotong secara berpasangan di garis-garis seperti ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

ditunjukkan pada tabel di bawah ini: Bidang-bidang

Bidang-bidang Garis Garis perpotonganperpotongan P, P, Q Q MM Q, Q, R R NN P, P, R R LL

Andai dua garis bertemu. Katakan L, M bertemu di titik a. Andai dua garis bertemu. Katakan L, M bertemu di titik a. Karena a di L. Dari tabel a

Karena a di L. Dari tabel a di P dan di R.di P dan di R. Karena a di M. Dari tabel a di P dan di Q. Karena a di M. Dari tabel a di P dan di Q. Berarti a di Q dan R.

Berarti a di Q dan R.

Dari tabel a di N. Dari tabel a di N.

Selanjutnya, jika dua dari L, M, N bertemu. Selanjutnya, jika dua dari L, M, N bertemu. Ketiga garis tersebut kongkuren.

(26)

Cancel Anytime.

(27)

Cancel Anytime.

Teorema 9 Teorema 9

Tiap bidang memuat 3 garis berbeda yang tidak kongkuren. Tiap bidang memuat 3 garis berbeda yang tidak kongkuren.

Bukti: Bukti:

Dengan postulat 13: Sebarang bidang P memuat 3 titik berbeda yang tidak kolinier a, b, c. Dengan postulat 13: Sebarang bidang P memuat 3 titik berbeda yang tidak kolinier a, b, c. Dengan postulat 15:

Dengan postulat 15:

P memuat ab, bc, ca. dan ab ≠ bc.

Andaikan ab = bc maka c di ab.

Andaikan ab = bc maka c di ab. Berarti a, b, c kolinier.

Berarti a, b, c kolinier.

Bertentangan dengan hipotesis. Bertentangan dengan hipotesis.

Jadi, ab ≠ bc.

Dengan cara yang sama, ab

≠ ac dan bc ≠ ac.

Sehingga ab, bc, ac adalah garis-garis

Sehingga ab, bc, ac adalah garis-garis yang berbeda.yang berbeda.

Karena ab, bc, ac berpotongan secara berpasangan pada tit

Karena ab, bc, ac berpotongan secara berpasangan pada titik-titik yang berbeda a, b,ik-titik yang berbeda a, b, c. Titik tersebut tidak dapat menjadi kongkuren.

c. Titik tersebut tidak dapat menjadi kongkuren.

Corrolary 1 Corrolary 1

Pada bidang P, jika titik a diberikan. Ada sebuah garis yang tidak termuat. Pada bidang P, jika titik a diberikan. Ada sebuah garis yang tidak termuat. Bukti:

(28)

Cancel Anytime.

(29)

Cancel Anytime.

Teorema 10 Teorema 10

Andaikan ada 4 titik a, b, c, d berbeda, tidak kolinier dan tidak koplanar. Maka: Andaikan ada 4 titik a, b, c, d berbeda, tidak kolinier dan tidak koplanar. Maka: (i)

(i) Diberikan sebuah bidang, ada sebuah titik tidak di dalam bidang tersebut.Diberikan sebuah bidang, ada sebuah titik tidak di dalam bidang tersebut. (ii)

(ii) Diberikan sebuah Diberikan sebuah garis, ada sebuah garis, ada sebuah garis garis menjulur ke gmenjulur ke garis tersebut.aris tersebut. (iii)

(iii) Diberikan sebuah titik, ada sebuah bidang tidak termasuk di titik tersebut.Diberikan sebuah titik, ada sebuah bidang tidak termasuk di titik tersebut. (iv)

(iv) Ada paling sedikit 6 garis dan paling sedikit 4 bidang.Ada paling sedikit 6 garis dan paling sedikit 4 bidang.

Bukti: Bukti: (i)

(i) Misalkan diberikan bidang P.Misalkan diberikan bidang P.

Karena a, b, c, d tidak koplanar, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di P. Karena a, b, c, d tidak koplanar, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di P. (ii)

(ii) Misalkan diberikan garis L.Misalkan diberikan garis L.

Karena a, b, c, d tidak kolinier, paling sedikit satu dari

Karena a, b, c, d tidak kolinier, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di L.titik tersebut tidak di L. Misalkan p sebuah titik tidak di L.

Misalkan p sebuah titik tidak di L. Perhatikan bidang Lp.

Perhatikan bidang Lp.

Dengan (i) ada sebuah titik g tidak di Lp. Dengan (i) ada sebuah titik g tidak di Lp. Berikut ini garis pq menjulur ke L.

Berikut ini garis pq menjulur ke L. (iii)

(iii) Misalkan diberikan titik r.Misalkan diberikan titik r.

Karena a, b, c, dberbeda, ada sebuah titik s berbeda dengan r, Perhatikan garis rs. Karena a, b, c, dberbeda, ada sebuah titik s berbeda dengan r, Perhatikan garis rs. Dengan (ii) ada garis M menjulur ke rs,

(30)

Cancel Anytime.

(31)

Cancel Anytime.

BAB V

Teori Geometri Affin

5.1.

5.1. PendahuluanPendahuluan

Teori Geometri Affin merupakan geometri yang berisikan tentang geometri Teori Geometri Affin merupakan geometri yang berisikan tentang geometri insidensi yang memenuhi postulat sejajar Euclid dalam bentuk Playfair. Geometri insidensi yang memenuhi postulat sejajar Euclid dalam bentuk Playfair. Geometri insidensi dikatakan geometri Affin jika memenuhi postulat berikut:

insidensi dikatakan geometri Affin jika memenuhi postulat berikut: Postulat E

Postulat E

Jika titik A tidak terlet

Jika titik A tidak terletak pada garis l maka terdapat hanya satuak pada garis l maka terdapat hanya satu – – satunya garis m satunya garis m sedemikian hingga m memuat A

sedemikian hingga m memuat A dan m // l.dan m // l. Ilustrasi:

Ilustrasi:

ll .. mm

..AA

Dalam uraian ini, relasi insidensi terhadap titik, garis, dan bidang digunakan notasi dan Dalam uraian ini, relasi insidensi terhadap titik, garis, dan bidang digunakan notasi dan

kata “pada” (konvensi Veblen dan Young),

(32)

Cancel Anytime.

(33)

Cancel Anytime.

Bukti: Bukti: 

 Menurut postulat EMenurut postulat E, yaitu: Jika titik A tidak terletak pada garis, yaitu: Jika titik A tidak terletak pada garis l l maka terdapat dan maka terdapat dan hanya satu

hanya satu

–

satunya garis satunya garis mm sedemikian hingga sedemikian hingga mm memuat A dan memuat A dan mm // // l l . Berarti ada. Berarti ada garis tunggal (unik)

garis tunggal (unik) mm sedemikian hingga sedemikian hingga mm pada A dan pada A dan mm // // l l .. 

 Menurut definisi garis sejajar,Menurut definisi garis sejajar, yaitu: dua buah garis adalah sejajar, bila garis ituyaitu: dua buah garis adalah sejajar, bila garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan. Berarti terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan. Berarti garis

garis l l dan dan mm

sebidang (koplane), kita misalkan pada bidang β. Karena

A pada A pada

m

, A, A

pada β, maka A,

m

pada βpada β 

 Menurut teorema 3 bab 7,Menurut teorema 3 bab 7, yaitu : sebuah garis dan sebuah titik yang terletak padayaitu : sebuah garis dan sebuah titik yang terletak pada garis tersebut termuat pada satu bidang. Berarti ada bidang yang memuat titik A dan garis tersebut termuat pada satu bidang. Berarti ada bidang yang memuat titik A dan garis

garis l l



(34)

Cancel Anytime.

(35)

Cancel Anytime.

Sehingga pengandaian

Sehingga pengandaian l l berpotongan berpotongan nn menjadi salah. menjadi salah. Karena

Karenal l ,,nn, dan, dan mm sebidang, maka menurut definisi garis sejajar sebidang, maka menurut definisi garis sejajarartinyaartinya

ll //

//

n

n..

Kasus 2

Kasus 2: : ll , , m, n,m, n, tidak sebidang tidak sebidang Ilustrasi: Ilustrasi: P P ll m m

n‟

A A

(36)

Cancel Anytime.

(37)

Cancel Anytime.

Catatan: Catatan:

Kodireksionalitas garis dapat dianggap sebagai generalisasi dari kesejajaran, Kodireksionalitas garis dapat dianggap sebagai generalisasi dari kesejajaran, karena sebagai tambahan pada kesejajaran. Kodireksionalitas mencakup koinsidensi yang karena sebagai tambahan pada kesejajaran. Kodireksionalitas mencakup koinsidensi yang

merupakan jenis kasus “degenerasi” dari kesejajaran. Dalam situasi tertentu lebih mudah

mempelajari kodireksionalitas daripada kesejajaran karena sifat formalnya lebih biasa mempelajari kodireksionalitas daripada kesejajaran karena sifat formalnya lebih biasa digunakan. Secara khusus kodireksionalitas garis dikatakan merupakan relasi ekivalensi, digunakan. Secara khusus kodireksionalitas garis dikatakan merupakan relasi ekivalensi, yakni:

yakni:

Untuk sembarang garis

Untuk sembarang garis l l ,,mm,, nn maka pernyataan berikut ini berlaku: maka pernyataan berikut ini berlaku: i.

i. l l cod cod l l ii.

ii. jika jika l l cod cod mm, maka, maka mm cod cod ll iii.

iii. jika jika l l cod cod mm dan dan m codm cod nn, maka, maka l l cod cod nn

Perhatikan bahwa (i) dan (ii) tidak berlaku untuk kesejajaran relasi garis, dan (iii) Perhatikan bahwa (i) dan (ii) tidak berlaku untuk kesejajaran relasi garis, dan (iii)

(38)

Cancel Anytime.

(39)

Cancel Anytime.

5.3.

5.3. TransversTransversalitas alitas GarisGaris Jika garis

Jika garis l l ,,mm koplane (sebidang), maka garis tersebut harus memenuhi salah satu koplane (sebidang), maka garis tersebut harus memenuhi salah satu dari tiga relasi berikut:

dari tiga relasi berikut: 1) 1) l l // // mm.. 2) 2) l l = =mm, atau, atau 3) 3) l l // // mm dan dan ll

≠≠

mm

Dalam kasus ketiga,

Dalam kasus ketiga, l l dan dan mm berpotongan dan berbeda. Kasus ini merupakan relasi yang berpotongan dan berbeda. Kasus ini merupakan relasi yang penting antara dua garis dan sangat bergun

penting antara dua garis dan sangat berguna dalam studi kesejajaran, dan diperlukan suatua dalam studi kesejajaran, dan diperlukan suatu nama. Jadi, kita perkenalkan definisi berikut:

nama. Jadi, kita perkenalkan definisi berikut:

Definisi Definisi

Kita katakan

Kita katakan l l transvers transvers mm, atau, atau l l merupakan suatu transversal dari merupakan suatu transversal dari mm, atau, atau ll dandan mm

adalah transvers, ditulis

(40)

Cancel Anytime.

(41)

Cancel Anytime.

Bukti: Bukti:

Misalkan A terletak pada garis

Misalkan A terletak pada garisl, nl, n..

Andaikan

Andaikan nn tidak transvers tidak transvers mm, maka yang terjadi adalah, maka yang terjadi adalah nn = = mm atauataunn // // mm..

Sehingga haruslah: Sehingga haruslah: (i)

(i) nn

≠≠

mm, maka jika tidak A akan memiliki secara bersama oleh garis sejajar; dan, maka jika tidak A akan memiliki secara bersama oleh garis sejajar; dan

(ii)

(ii) nn //// mm, maka jika tidak akan ada dua garis berbeda, maka jika tidak akan ada dua garis berbeda l l dan dan nn, dimana setiap garis, dimana setiap garis

tersebut memuat A, dan setiap garis tersebut sejajar dengan

tersebut memuat A, dan setiap garis tersebut sejajar dengan mm..

Hal tersebut kontradiksi dengan postulat E, bahwa mestinya hanya ada satu garis sejaj

Hal tersebut kontradiksi dengan postulat E, bahwa mestinya hanya ada satu garis sejaj ararmm

yang memuat A. Jika pengandaian salah,

(42)

Cancel Anytime.