Metode Numerik Stepest Descent Terinduksi Newton Dalam Pemecahan Masalah Optimisasi Tanpa Kendala

Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016 187

p-ISSN: 2086-4280, e-ISSN: 2527-8827

METODE NUMERIK STEPEST DESCENT TERINDUKSI NEWTON

DALAM PEMECAHAN MASALAH OPTIMISASI TANPA KENDALA

I

NDUCTED

N

EWTON

S

TEEPEST

D

ESCENT

A

S A

N

UMERICAL

M

ETHOD TO SOLVE

O

PTIMIZATION

P

ROGRAM

W

ITHOUT

C

ONSTRAIN

Rukmono Budi Utomo

Universitas Muhammadiyah Tangerang Tanggerang, Indonesia

Rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id

Abstrak

Penelitian teoritis ini mengkaji mengenai metode numerik Stepest Descent yang terinduksi Newton. Penelitian ini dilakukan dengan cara memahami terlebih dahulu mengenai metode numerik Stepest Descent dan Newton, kemudian mengkonstruksi metode baru yang disebut dengan Stepest Descent terinduksi Newton. Pada makalah ini turut disertakan pula contoh perhitungan numerik antara ketiga metode tersebut beserta analisis perhitungannya.

Kata Kunci: Metode Stepest Descent, Newton, Metode Stepest Descent terinduksi Newton

Abstract

This research is investigating numerical method of Steepest Descent inducted of Newton. Steps of this research can be described as follows: First, the author has to understand the definition and algorithm of Steepest Descent and Newton methods. After that, the second, author constructing the new method called by Steepest Descent inducted newton. In this paper, author also containing examples of numerical counting among that three methods and analyze them self.

Keyword: Steepest Descent, Newton, Steepest Descent Inducted Newton.

I.

P

ENDAHULUAN

Tidak selamanya solusi analitik dari suatu permasalahan matematika khususnya optimisasi dapat ditemukan. Terkadang ditemukan kendala yang cukup rumit sehingga solusi analitik tidak mudah ditemukan. Berdasarkan hal tersebut solusi numerik merupakan sesuatu hasil yang cukup realistis untuk dicari meski hasilnya merupakan hampiran. Metode numerik merupakan suatu metode pendekatan (approximation) dari solusi sejati, dan karenanya terdapat besarnya angka kesalahan (eror) yang dihasilkan oleh perhitungan numerik [1]. Kesalahan ini

lebih sering diakibatkan baik karena pemotongan suku atau pembulatan nilai.

Masalah optimisasi merupakan persoalan yang banyak menggunakan metode numerik dalam mencari solusi penyelesaian tatkala solusi analitik sulit ditemukan. Menurut kendalanya (constrain), masalah optimisasi dibagi 2 yakni masalah optimisasi dengan kendala dan tanpa kendala, sedangkan menurut variabel bebasnya masalah optimisasi juga dibagi atas dua, yakni masah optimisasi dengan 1 varibel bebas dan banyak variabel bebas. Metode numerik untuk menyelesaikan masalah optmisasi dengan

188 Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016

kendala dapat menggunakan metode Kuhn-Tucker, sedangkan untuk masalah optimisasi tanpa kendala dengan 1 variabel bebas dapat menggunakan metode Golden Rasio, Fibonacci, Biseksi, Dichotomus dan Secant. Lebih lanjut untuk menyelesaikan masalah optmisasi dengan lebih dari 1 variabel bebas dapat menggunakan metode Aksial, Newton, Hook and Jeeves, Stepest Descent, Arah Konjugasi, dan Roosenberg [2].

Makalah ini membahas mengenai metode numerik Steepest Descent yang terinduksi newton. Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu mengenai metode numerik Steepest Descent dan Newton kemudian memformulasikan metode baru yang disebut dengan metode Steepest Descent terinduksi Newton. Dalam makalah ini juga akan diberikan contoh perhitungan numerik untuk ketiga metode tersebut beserta analisisnya.

II.

K

AJIAN

T

EORI

A. Definisi Ruang Vektor

Himpunan tak kosong V merupakan ruang vektor apabila x y z, , V dan

,

a bR sedemikian hingga memenuhi

aksioma-aksioma sebagai berikut: [3] i. x y V ii. x  y y x iii.



x    y



z x



y z



iv.  0 V     0 V V 0 0 v.  x V    x

 

x 0 vi. ax V vii. a x



 y



ax ay viii.



a b x



 ax bx ix.

 

ab xa bx

 

x. 1xx B. Definisi Norm

Diberikan X Y, sembanrang dua buah

vektor. Sembarang bilangan riil ||X ||

dinamakan norm dari X apabila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

i. |X || 0

ii. |aX || 0 X 0

iii. ||aX|| | ||| a X ||,aR

iv. |XY|| || X ||||Y|| C. Definisi Kombinasi Linear [3]

Misalkan

X

i , 1 i m vektor-vektor di

V maka X disebut kombinasi linear dari vektor-vektor

X

i jika 1 m i i i X a X  



D. Definisi Bebas Linear [3]

Vektor

X

i, 1 i m anggota-anggota

V disebut tak bebas linear jika dan hanya jika terhadap bilangan-bilangan riil tak semuanya nol sedemikian hingga

1 0 m i i i a X  



. Apabila pembuat nol hanya

0

i

a



, maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear.

E. Definisi Hubungan Vektor [2]

Diberikan dua buah vektor X Y,

dengan

X



{ , ,..., }

x x

_{1 2}

x

n dan

1 2

{ , ,..., }

n

Y



y y

y

. Pernyataan berikut adalah benar

Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016 189

p-ISSN: 2086-4280, e-ISSN: 2527-8827

i. X Y jika dan hanya jika

x

i



y

i , 1, 2,...,

i i n

 

ii. X Yjika dan hanya jika

x

i



y

i , 1, 2,...,

i i n

 

iii. X Y jika dan hanya jika

x

i



y

i , 1, 2,...,

i i n

 

F. Definisi Bola Terbuka [2]

Diberikan serta 0. Himpunan ( ) * ‖

‖ + merupakan persekitaran



dari

0

x

atau disebut bola terbuka dengan pusat

0

x

dan radius



.

G. Definisi Titik Dalam [4]

Titik disebut titik dalam (interior point) dari himpunan X _jika

0



  sehingga B x



0,





X _. H. Definisi Titik Batas [4]

Titik disebut titik batas (boundary point) dari himpunan X _jika

setiap sekitar



dari

x

0 memuat beberapa

titik yang berada di X _{dan beberapa titik}

yang tidak berada di X _.

I. Definisi Komplemen [4]

Jika , maka himpunan yang memuat semua titik-titik yang ada di

namun tidak dari X disebut komplemen dari X .

J. Definisi Himpunan Tertutup [5] Himpunan X disebut himpunan terbuka jika setiap titik dari X merupakan titik interior dari X . Lebih lanjut himpunan Y

merupakan himpunan tertutup jika komplemen dari himpunan terbuka.

K. Definisi Terbatas Ke Atas [5]

Himpunan Sdikatakan terbatas ke bawah jika dengan semua komponennya berhingga sedemikian sehingga  x S y, x, sebaliknya S

dikatakan terbatas ke atas.

L. Definisi Bentuk Kuadratik [5]

2 2 2 11 1 2 2 12 1 2 1,3 1 3 23 2 3 ( ) 2 ... ... ... nn n F X c x c x c x c x x c x x c x x         

dengan

c

_ij



R

,1i, jn disebut fungsi

bentuk kuadratik dengan

n

variabel

1

, ,...,

2 n

x x

x

M. Definisi Kondisi Kuadratik [6] Bentuk kuadratik t

X AX disebut positif (negatif) definit jika

X AX

t

 

( )0

untuk semua X 0dan terdapat sekurangnya satu vektor tak nol sedemikian hingga

0

t

X AX  .

Apabila tidak memenuhi keduanya, maka bentuk kuadratik tersebut dikatakan

indefinite.

N. Definisi Minimum Global [6]

Fungsi F x( )dikatakan memiliki

minimum global di

x

0 dalam Sjika 0

( )

( )

f x



f x

.

O. Definisi Minimum Lokal [6]

Fungsi F x( )dikatakan memiliki

minimum lokal (relatif) di

x

0dalam S

190 Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016

sedemikian hingga

f x

( )



f x

( )

0 untuk

setiap

x

di dalam persekitaran tersebut. P. Definisi Deret Taylor [1]

Deret Taylor untuk fungsi F X( )

dengan

X



{ , ,..., }

x x

1 2

x

n didefinisikan sebagai ' ( ) 3 2 ( ) ( ) ( ) X ( )( ) F X x F X F X X   H X  x 

dengan



3merupakan suku berderajat

besar, dan H X( )matrik Hessian yang

didefinisikan sebagai 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 .. . . . n n n n n F F F x x x x x F F F H x x x x x F F F x x x x x   _   _{  }    _{  }      _   _ _{   }      _   _{  }   

Syarat perlu agar X merupakan titik ekstrim dari fungsi F X( )adalah

( ) 0 F X   dengan F X( )didefinisikan sebagai 1 2 ( ) , ,..., n F F F F X x x x      _{  }     

Q. Algoritma Stepest Descent [7]

Diberikan fungsi

2 2

( )

( , ,., )

n

Z F X





F x x

x

dan akan ditentukan nilai

X



{ , ,., }

x x

_{1 2}

x

n yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut.

i. Ambil

X

₁



{ , ,., }

x x

_{1 2}

x

_n



R

n

sembarang titik awal dan ò0suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditoleransi. ii. Dibentuk

 

1 2 , , , n Z Z Z Z X x x x      _{  }     

gradient fungsi Zsaat X1, kemudian tentukan untuk Z X

 

₁ serta lakukan

untuk Z X

 

k

iii. Jika Z X

 

k 



, maka iterasi

berhenti, sebaliknya iterasi dilanjutkan iv. Cari kdengan cara mencari titik

ekstrim Z X



_k _kd_k



yakni dengan

cara menderivatifkan fungsi



k k k



Z X  d dan menyama-

dengankan nol dengan arah pencarian

 

k k

d  Z X

v. Nilai Xk ditentukan dengan

1 1 1

k k k k

X X _ 



_d _

R. Algoritma Newton [7]

Tahapan-tahapan dalam metode Newton analog dengan Stepest Descent, yakni diberikan fungsi

2 2

( )

( , ,., )

n

Z



F X



F x x

x

dan akan ditentukan nilai

X



{ , ,., }

x x

_{1 2}

x

n yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut.

Lakukan langkah i sampai iii dalam Stepest Descent, namun Nilai Xk adalah











1



1 1 1 k k k k X  X _  H X _  Z X _ dengan





1 1 k

H X _  merupakan invers metrik Hessian ketika Xk₁. Lebih lanjut iterasi

berhenti ketika Z X

 

k 



.

III.

P

EMBAHASAN

Berdasarkan algoritma Stepest Descent dan Newton, akan dikembangkan suatu

Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016 191

p-ISSN: 2086-4280, e-ISSN: 2527-8827

metode baru yang disebut Metode Stepest Descent terinduksi Newton.

A. Algoritma Stepest Descent Terinduksi Newton Diberikan fungsi 2 2 ( ) ( , ,., n) ZF X F x x x dan akan ditentukan

X



{ , ,., }

x x

_{1 2}

x

n yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut.

i. Ambil

X

₁



{ , ,., }

x x

_{1 2}

x

_n



R

n titik sembarang titik awal dan ò0suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditolerasnsi. ii. Dibentuk

 

1 2 , , , n Z Z Z Z X x x x      _{  }     

Tentukan untuk Z X

 

₁ serta Z X

 

k

iii. Jika Z X

 

k 



, maka iterasi

berhenti, sebaliknya iterasi dilanjutkan. iv. Cari _kdengan cara mencari titik ekstrim fungsi Z X



k kdk



yakni

dengan cara menderivatifkan fungsi



k k k



Z X d dan menyama- dengankan

nol dengan arah pencarian

 

1

 

1 1

k k k

d  H X _  Z X _

B. Contoh Numerik 1

Tentukan nilai

X



{ , }

x x

1 2 yang

meminimalkan

Z x x

( , ) 2

_{1 2}



x

₁2

  

x

₂2

3

x x

_{1 2}

dengan menggunakan metode Stepest Descent dan Newton dengan toleransi kesalahan ò0.03

C. Solusi dengan Stepest Descent Ambil sebarang titk awal

2 1 1

{ 1, }

2

X

 



R

. Berdasarkan masalah optimisasi di atas dapat ditentukan

 

1



7, 0



Z X

   . Karena norm

 

1 7

Z X



   maka iterasi dilanjutkan. Arah pencarian d1  Z X

 

1 

 

7, 0 dan

berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh

1 1 4

  . Apabila dicari, maka diperoleh nilai 2 3 1 , 4 2 X   _  dengan Z X

 

2 

 

0, 0 dan Z X

 

2  0



.

Iterasi berhenti sehingga nilai



1, 2



X  x x yang meminimalkan masalah optimisasi di atas adalah 2

3 1 , 4 2

X   

 .

Karena Z X

 

2 0 hal ini mengindikasikan bahwa solusi numerik ini sama dengan solusi analitiknya.

D. Solusi dengan Newton

Ambil sebarang titk awal 2

1 1

{ 1, }

2

X

 



R

. Berdasarkan masalah optimisasi di atas dapat ditentukan

 

1



7, 0



Z X    . Karena norm

 

1 7 Z X



   maka iterasi

dilanjutkan.Dibentuk matriks Hessian

4 0

0 2

H   _

 . Berdasarkan hal tersebut

 

1 4 0 0 2 H X   _  dan

 

1 1 ₄ 1 ₁ 2 0 0 H X    _  .

Berdasarkan hal diatas akan diperoleh

 

1

 

₇

1 1 4, 0

t

H X  Z X

   _ _. Dengan cara yang sama dapat dicari 3 1

4 2 2 { , }

X 

dengan nilai gradien Z X

 

2 

 

0, 0 dan

 

1 0

Z X



192 Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016

nilai X 



x x1, 2



yang meminimalkan masalah optimisasi di atas adalah

2

3 1 , 4 2

X   

 . Dari solusi yang diperoleh

melalui Stepest Descent dan Newton dengan pengambilan titik awal X1yang sama akan menghasilkan solusi numerik yang identik dengan solusi analitik.

E. Solusi dengan Stepest Descent Terinduksi Newton

Ambil sebarang titik awal 2

1 1

{ 1, }

2

X

 



R

. Berdasarkan masalah optimisasi di atas dapat ditentukan

 

1



7, 0



Z X

   .Karena nilai norm

 

1 7

Z X



   maka iterasi dilanjutkan.

Arah pencarian

 

1

 

₇

1 1 1 4, 0

t

d  H X  Z X  _ _

dengan demikian diperoleh



₁



35₄₉. Berdasarkan hal tersebut diperoleh

2 3 ,1 4 X      .denganZ X



2





 

0,1 .

Karena Z X

 

2  1



, maka iterasi dilanjuttkan. Dengan analog diperoleh

 

2 4 0 0 2 H X   _   dan

 

1 1 ₄ 1 ₁ 2 0 0 H X    _   dengan

 

1

 

 

1 2 2 0,2 t H X  Z X    .

Berdasarkan hal tersebut diperoleh

2

1



 

dan 3 3 1 , 4 2 X     dengan gradien

 

3

 

0, 0 Z X   dan norm Z X

 

3  0 . Karena Z X

 

3  0 , maka iterasi

berhenti sehingga solusi nilai X 



x x1, 2



yang meminimalkan masalah optimisasi di atas adalah 3 3 1 , 4 2 X     . Berrdasarkan hal

di atas pula, maka solusi numerik dalam solusi ini identic dengan solusi analitiknya.

F. Contoh Numerik 2

Pandang kembali contoh numerik 1. Apabila diambil nilai

X

₁

 

{ 1,1}



R

2

,penyelesaian akan dilakukan dengan tiga metode.

G. Penyelesian dengan Stepest Descent Berdasarkan hal tersebut diperoleh

 

1



7,1



Z X

   dengan nilai norm

 

1 50

Z X



   . Karena norm masih lebih besar dari



, maka iterasi dilanjutkan. Arah pencarian

 





1 1 7, 1

d  Z X   dan berdasarkan hal

tersebut dapat diperoleh ₁ 50

198

  . Apabila dicari, maka akan diperoleh

2

76 74 , 99 99

X   

 dengan nilai gradient

 

2



0.070, 0.494



Z X

  dan nilai norm

 

2 0.498

Z X



   , maka berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan. Dengan cara analog, maka akan diperoleh nilai

 





2 2 0.070, 0.494

d  Z X    dan

berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh

2

0.49





. Lebih lanjut dengan caa yang sama diperoleh nilai X3 



0.732, 0.504



dengan gradienZ X

 

3  



0.072,0.008



dan

Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016 193

p-ISSN: 2086-4280, e-ISSN: 2527-8827

nilai norm Z X

 

3 0.07



. Proses dilanjutkan diperoleh

 





3 3 0.072, 0.008

d  Z X   serta nilai 3

0.25





. Berdasarkan hal tersebut diperoleh 4

3 1 , 4 2

X   

  dengan nilai gradien

 

2



0, 0



Z X

  dan Z X

 

2  0



. Berdasarkan hal tersebut iterasi berhenti dan solusi numeriknya juga merupakan solusi analitik.

H. Penyelesian dengan Newton

Diambil

X

₁

 

{ 1,1}



R

2 Berdasarkan hal tersebut diperoleh

 

1

 

7,1

t

Z X

  

dengan Z X

 

1  50



dan iterasi dilanjutkan. Lebih lanjut dibentuk matrik Hessian

 

1 4 0 0 2 H X   _   dan

 

1 14 1 ₁ 2 0 0 H X    _

 . Berdasarkan hal tersebut

 

1

 

_{7 1}

1 1 4,2

t

H X  Z X

   _ _ sehingga diperoleh nilai X2 { , }3₄ 3₂ dengan nilai gradien

 

2

 

0, 2 t Z X   dan

 

2 2 Z X



   sehingga iterasi dilanjutkan. Dengan langkah yang sama

diperoleh nilai

 

1

 





2 2 0, 1 t H X  Z X     serta 3 1 4 2 3 { , } X  dengan Z X

 

3  0



sehingga iterasi berhenti. Berdasarkan hal tersebut solusi numerik dengan Newton adalah 3 1

4 2 3 { , }

X  yang sekaligus merupakan solusi analitik.

I. Penyelesian dengan Stepest Descent Terinduksi Newton

Diambil

X

₁

 

{ 1,1}



R

2 Berdasarkan hal tersebut diperoleh Z X

 

₁  

 

7,1t

dengan Z X

 

1  50



. Berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan dan dengan langkah analog diperoleh



₁



47₅₁dan nilai





2 0.612,1.460

X  dengan nilai gradien

 

2



0.552,1.92



t

Z X

   dan nilai norm

 

1 1.997

Z X



   . Lebih lanjut diperoleh nilai



₂



0.96

dan X₃



0.612,0.5



dengan nilai norm Z X

 

3 0.552



. Kemudian diperoleh



₃

 

1

dan

3 1 4 2 4 { , }

X  dengan Z X

 

4  0



sehingga iterasi stop. Solusi numerik dengan metode ini identik dengan solusi analitik.

IV.

P

ENUTUP

Dari penelitian yang telah dilakukan, terdapat beberapa hal yang dapat disimpulkan:

1. Dalam suatu masalah optimisasi dua variabel tanpa kenda dengan nilai awal tertentu X1, solusi numerik Stepest Descent akan menghasilkan solusi yang sama dengan Newton, dan dalam langkah iterasi yang sama. Dalam hal yang tertentu pula solusi numerik ini identik dengan solusi analitik pada masalah optimisasi yang dibahas dalam makalah ini.

194 Jurnal “Mosharafa”, Volume 5 Nomor 3 September 2016

2. Dalam nilai awal tertentu X1dan dalam suatu masalah optimisasi, solusi numerik yang dihasilkan oleh metode Stepest Descent terinduksi Newton akan menghasilkan nilai yang sama dengan solusi yang dihasilkan oleh kedua metode di atas meskipun memerlukan iterasi yang lebih panjang. Hal ini dikarenakan nilai

d

k pada metode Stepest Descent diinduksi dengan dk H X



k 1



1 Z X



k 1





 

  

3. Adakalanya metode Stepest Descent lebih baik dari Newton dan hal ini dapat dilihat pada contoh kedua yakni dengan soal yang sama seperti contoh satu, namun titik awal X1yang berbeda.

4. Dari contoh dua, metode Stepest Descent terinduksi membutuhkan iterasi yang lebih panjang dari dua metode sebelumnya. Hal ini dikarenakan adanya induksi dari Newton kepada Stepest Descent untuk menggantikan arah pencarian dk pada

Stepest Descent

U

CAPAN

T

ERIMA

K

ASIH

Ucapan terima penulis sampaikan kepada Universitas Muhammadiyah Tangerang atas segala dukungan sehingga paper ini dapat terselesaikan.

D

AFTAR

P

USTAKA

[1] Rinaldi Munir, Metode numeric, Bandung: Informatika, 2008.

[2] Salmah. Diktat Optimisasi. Yogyakarya: FMIPA UGM, 2011.

[3] Howard Anton, Aljabar Linier,

Penerjemah Pantur Silaban, Jakarta: Erlangga, 1991.

[4] Edwin K. P. Chong, An Introduction to Optimization, USA: John Wiley & Sons, Inc. 2001.

[5] S. Bazaraa. Mochtar, Nonlinear Programming Theory and Algorithms, London: Willey Interscience, 2006.

[6] Yoshikazu Sawaragi, Theory of multiobjective optimization, London: Academic Press Inc. 1985.

[7] Rukmono Budi Utomo, (2016, Mei),

Materi Ajar Metode Numerik FKIP UMT,

http://www.fkip.umt.ac.id/download

s.

R

IWAYAT

H

IDUP

P

ENULIS

Rukmono Budi Utomo,

M.Sc. Lahir di Tangerang 26 September 1991. Penulis merupakan alumnus S1 Matematika Undip (2013), S2 Matematika UGM (2015)

dan sekarang selain

bekerja sebagai Dosen di

Prodi Pendidikan Matematika UMT,

Penulis juga mahasiswa program Doktoral Matematika ITB.Nama Penulis dilengkapi dengan gelar.