Martı 8. Sınıf Matematik Pratik Defter

(1)

MATEMATİK

ÖĞRETMEN DEFTERİ

8. sınıf

Bu defter, siz değerli öğretmenlerimize özel olarak boşlukları doldurulmuş, örnekleri çözülmüş şekilde basılmıştır. Mavi renkli bölümler öğrencilerinize yazdırabilmeniz amacıyla öğrenci defterinde boş bırakılmıştır.

(2)

özgün bir yayınıdır.

Kitabının tamamının ya da bir kısmının kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir

kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Yayın Yönetmeni Süleyman GÜNGÖRMEZ

Ürün Koordinatörü Volkan ALTINOK

Dizgi

Martı Okul Yayınları Dizgi Birimi

Danışma Kurulu Taha ŞAHİN Emine KARAKUŞ Firdevs ÖZŞAHİN Ziya KURCAN

Martı Okul Yayınları

Baskı Tarihi 2016 / ANKARA

Baskı Yeri Grup Çağ Web Ofset Matbaacılık

(3)

Saygıdeğer Öğretmenlerimiz,

Martı Okul Yayınları olarak siz değerli öğretmenlerimizin işini kolaylaştırmak, yükünü azaltmak ve daha iyi bir öğrenme ortamı sunabilmek için pratik defterleri hazırladık.

Pratik defter ile dersleri daha hızlı işleyebileceksiniz. Anlatacağınız her şey tahtada ve öğren-cilerinizin defterinde hazır olarak bulunacak.

Görsel ögelerle kalıcı öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konular, tamamı renkli ve yüksek çözü-nürlüklü içeriklerle öğrencilerinizin zihnine tam olarak yerleşecek, kalıcı öğrenme gerçekleşecektir. Her alt başlıkla ilgili test ve pekiştirme çalışmaları ile tam öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konu anlatımının içindeki örnek soru ve çözümler, planlanmış testler ve pekiştirme çalışmaları ile öğre-nemeyen öğrenci kalmayacak.

Eğlenceli bir ders ortamı oluşturabileceksiniz. Öğrenciler uzun uzun not tutmaktan kurtulacak; daha verimli, eğlenceli ve öğrenci katılımlı bir ders işleme imkânına kavuşacaksınız.

Mavi renkle yazılmış kısımlar, soruların çözümleri ve cevap anahtarları öğrencinin defterinde yer almayacaktır. Mavi renkle yazılmış kısımlar dijital tahta içeriğinde de yer almayacak ancak soruların çözümleri üzeri perdelenmiş olarak tahtada yer alacaktır. Dijital akıllı tahta içeriklerinin indirilme şekli ürünün arka kapağında anlatılmıştır.

Pratik defter, defter ihtiyacını ortadan kaldırmaktadır. Pratik defterde her sayfanın altında bulunan boş kısımlar ve her ünitenin sonunda bulunan üç ya da dört adet boş sayfa defter ihtiyacını fazlasıyla karşılayacaktır.

Pratik defter hem bir ders işleme materyali hem bir defter hem bir soru bankası hem de bir ödev materyali olarak öğretmen ve öğrencilerimizin tüm ihtiyaçlarını karşılayacaktır.

Öğretmen defteri, öğrenci defteri ve dijital akıllı tahta içeriğinden oluşan pratik defterlerimi-zin öğrencilerimidefterlerimi-zin başarısını arttırarak siz değerli öğretmenlerimidefterlerimi-zin memnuniyetini kazanmamı-za vesile olması dileğiyle…

(4)

(5)

1. ÜNİTE

ÇARPANLAR VE KATLAR ...8

Çarpanlar ...8

Katlar ...11

En Küçük Ortak Kat (EKOK) ...12

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ...14

Ebob ve Ekok ile İlgili Problem Çözme ...16

Konu Testleri ...23

ÜSLÜ İFADELER ...27

Sayıların Ondalık Gösterimlerini 10’un Kuvvetlerini Kullanarak Çözümleme ...29

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıların Bilimsel Gösterimi ...32

Konu Testleri ...37

KAREKÖKLÜ İFADELER ...41

Tam Kare Olmayan Sayıların rini Tahmin Etme...43

Gerçek Sayılar ...45

Kareköklü Sayılarla Çarpma İşlemi ...48

Kareköklü Sayılarla Bölme İşelmelri ...49

Kareköklü Bir İfadeyi añb şeklinde yazma ...50

añb Şeklinde Verilen Bir İfadeyi Kök İçine Alma ...51

Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri ...53

Ondalık İfadelerin Karekökleri ...56

Konu Testleri ...60

2. ÜNİTE BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI ...66

Olasılık Hesabı Gerektirmeyen Sezgisel Durumlar ...68

Konu Testleri ...71

ÜÇGENLER ...75

Üçgenlerin Elemanları ...75

Üçgen Eşitsizliği ...82

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ...85

Üçgen Çizme...89

Konu Testleri ...94

DİK ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI...98

Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ...104

Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ...106

Koordinata Düzleminde Pisagor Bağıntısı ...110

Pisagor Bağıntısı ile Problem Çözme...112

Konu Testleri ...115

DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ ...119

Dönme Hareketi ...119

Yansıma ve Öteleme ...123

(6)

3. ÜNİTE: CEBİRSEL VE ÖZDEŞLİKLER ...140 Cebirsel İfadeler ...140 Özdeşlikler ...145 Çarpanlara Ayırma ...154 Konu Testleri ...160 EŞLİK VE BENZERLİK ...164 Eşlik ...164 Benzerlik...167 Konu Testleri ...174 4. ÜNİTE: DOĞRUSAL DENKLEMLER ...180 Doğrusal İlişkiler ...180

Doğrusal Denlemlerin Grafikleri ...183

Doğrunun Eğimi ...188

Doğrusal Denklemlerde Bir Değişkeni Diğeri Cinsinden Yazma ...196

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ...198

DENKLEM SİSTEMLERİ ...205

İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler ...205

Denklem Sistemleri ile İlgili Problem Çözme ...211

EŞİTSİZLİKLER ...221

Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda 5. ÜNİTE: GEOMETRİK CİSİMLER ...242

Dik Prizmalar ve Temel Elemanları ...242

Dik Dairesel Silindir ...246

Dik Dairesel Silindirin Yazey Alanı ...250

Dik Dairesel Silindirin Hacmi ...254

Dik Piramitler ve Temel Elemanları ...257

Dik Koni ve Temel Elemanları ...260

VERİ ANALİZİ ...268

Histogram ...268

Araştırma Verilerinin Uygun lerle Gösterimi ...294

(7)

KONULAR

1.

ÜNİTE

* Çarpanlar ve Katlar

* Üslü İfadeler

(8)

8

ÇARPANLAR VE KATLAR

ÖRNEK

CÖZÜM

12’nin bütün çarpanlarını bulalım.

16’nın bütün çarpanlarını bulalım.

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen sayıların tüm çarpanlarını bulalım.

c 36 ç 45

a 24 b 32

d 64 e 72

ÇARPANLAR

Bir doğal sayıyı tam (kalansız) bölebilen sayıya o doğal sayının çarpanı denir. Çarpan aynı zamanda o sayıyı tam bölen sayı demektir.

12 = 1 . 12 12 = 2 . 6 12 = 3 . 4 16 = 1 . 16 16 = 2 . 8 16 = 4 . 4

12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

16’nın çarpanları = 1, 2, 4, 8 ve 16’dır.

Bu sayılar aynı zaman-da 12’nin bölenleridir.

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} {1, 2, 4, 8, 16, 32}

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} {1, 3, 5, 9, 15, 45}

(9)

9 Kendisinden ve 1’den başka çarpanı (veya böleni) olmayan sayılara ... denir.

Asal Çarpanlarına Ayırma: 4 ∏ 20 ∏ 43 ∏ 17 ∏ 31 ∏ 57 ∏

ÖRNEK

CÖZÜM

13 sayısının bütün çarpanlarını bulalım.

48 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen sayılardan asal sayı olanları belirleyelim.

Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma

90 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

ÖRNEK

CÖZÜM

asal sayı değildir. asal sayı değildir.

asal sayıdır. asal sayı değildir.

asal sayıdır. asal sayıdır. 13 = 1 . 13 ∏ 13’ün çarpanları: 1 ve 13’tür. 48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 48 = 24 . 3’tür. 90 = 2 . 3 . 3 . 5 90 = 2 . 32 . 5’tir. 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 3 90 45 15 5 1 2 3 3 5 asal sayı

Asal olmayan bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çar-panlarına ayırma denir.

(10)

10

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

a 32 b 60 c 70 ç 88 d 96 e 100 f 120 g 128 32 = 2 . 2 . 2. . 2 . 2 32 = 25 70 = 2 . 5 . 7 96 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 96 = 25 . 3 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 120 = 23 . 3 . 5 60 = 2 . 2 . 3. 5 60 = 22 . 3 . 5 88 = 2 . 2 . 2 . 11 88 = 23 . 11 100 = 2 . 2 . 5 . 5 100 = 22 . 52 128 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 128 = 27 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 70 35 7 1 2 5 7 96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3 120 60 30 15 5 1 2 2 2 3 5 60 30 15 5 1 2 2 3 5 88 44 22 11 1 2 2 2 11 100 50 25 5 1 2 2 5 5 128 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2

(11)

11

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen sayı çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyelim.

a 8 ve 12 b 20 ve 21

c 24 ve 35 ç 15 ve 18

d 40 ve 45 e 60 ve 81

En küçük asal sayı 2’dir. 2’den başka çift asal sayı yoktur.

1’den başka ortak çarpanı (veya böleni) olmayan pozitif tam sayılara ... denir.

ÖRNEK

3 ve 5 15 ve 16

9 ve 20 aralarında asal sayılardır.

İki sayının aralarında asal sayılar olabilmesi için asal sayı olmalarına gerek yoktur. Önemli olan

1'den başka ortak çarpanların olmamasıdır. 15 ve 16

Asal değil Asal değil Ancak aralarında asaldır. Katlar:

ÖRNEK

CÖZÜM

4 sayısının katlarını bulalım.

KATLAR

Aralarında asal değillerdir.

Aralarında asal değillerdir. Aralarında asal sayılardır.

Aralarında asal sayılardır.

Aralarında Asal Sayılar

Aralarında asal değillerdir.

4’ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, .... şeklinde

sonsuza kadar devam eder.

(12)

12

ÖRNEK

CÖZÜM

24 sayısının katlarını bulalım.

8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

45 ve 60 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

En Küçük Ortak Katı:

24’ün katları: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, ...

şek-linde sonsuza kadar devam eder.

8’in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ...

10’un katları: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, ...

8 ve 10’un ortak katları; 40, 80, 120, ... şeklindedir. Bu katların en küçüğü ise 40’dır.

∏ 8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katı asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile daha pratik şekilde bulunur.

45 ve 60 sayılarının en küçük ortak katını asal çar-panlarına ayırma yöntemi ile bulalım.

(8, 10) ekok = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 bulunur. (45, 60) ekok = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180 bulunur. 8 4 2 1 10 5 5 5 1 2 2 2 5 45 45 45 15 5 1 60 30 15 5 5 1 2 2 3 3 5

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir.

(13)

13

ÖRNEK

CÖZÜM

15, , 16 ve 20 sayılarının en küçük ortak

katını bulalım.

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen sayıların en küçük ortak katlarını bulalım.

a 12 ve 20 b 15 ile 18 c 7 ile 10 ç 9 ile 30 d 4, 5 ve 6 e 12, 15 ve 20 (12, 20) ekok = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 (7, 10) ekok = 2 . 5 . 7 = 70 (4, 5, 6) ekok = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 (15, 18) ekok = 2 . 3 . 3 . 5 = 90 (9, 30) ekok = 2 . 3 . 3 . 5 = 90 (12, 15, 20) ekok = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 (15, 16, 20) ekok = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 (15, 16, 20) = 240 bulunur. 12 6 3 1 20 10 5 5 1 2 2 3 5 7 7 7 1 10 5 1 2 5 7 4 2 1 5 5 5 5 1 6 3 3 1 2 2 3 5 12 6 3 1 15 15 15 5 1 20 10 5 5 1 2 2 3 5 15 15 5 5 1 18 9 3 1 2 3 3 5 9 9 3 1 30 15 5 5 1 2 3 3 5 15 15 15 15 15 5 1 16 8 4 2 1 20 10 5 5 5 5 1 2 2 2 2 3 5

(14)

14

En Büyük Ortak Bölen:

ÖRNEK

CÖZÜM

18 ile 24 sayıların en büyük ortak bölenini bulalım.

36 ile 48 sayılarının en büyük ortak böle-nini bulalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

18 9 9 9 3 1 24 12 6 3 1 2 2 2 3 3 18’in bölenleri; 1, 2, 3, 6, 9, 18 24’ün bölenleri; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

18 ve 24’ün ortak bölenleri; 1, 2, 3, 6’dır. Bu bölenlerin en büyüğü ise 6’dır.

∏ 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile daha pratik şekilde bulunur. (36, 48) ebob = 2 . 2 . 3 = 12 bulunur. 36 18 9 9 9 3 1 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 3 3

Bu yöntemde en büyük ortak bölen bu-lunurken; her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar belirlenir ve bu sayılar çar-pılır.

(18, 24)

ebob = 2 . 3 = 6 bulunur.

İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir.

(15)

15

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen sayıların en büyük ortak bölenini bulalım.

a 6 ile 10 b 12 ve 36 c 40 ile 64 ç 42 ile 63 d 24, 32 ve 80 e 36, 60 ve 72 f 48, 60, 64 g 70, 80, 90 42 21 7 7 1 63 63 21 7 1 2 3 3 7 40 20 10 5 5 5 5 1 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 5 24 12 6 3 3 3 1 32 16 8 4 2 1 80 40 20 10 5 5 5 1 2 2 2 2 2 3 5 48 24 12 6 3 3 3 1 60 30 15 15 15 15 15 5 1 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 3 5 36 18 9 9 3 1 60 30 15 15 5 5 1 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 5 70 35 35 35 35 35 35 7 1 80 40 20 10 5 5 5 1 90 45 45 45 45 15 5 1 2 2 2 2 3 3 5 7 (6, 10) ebob = 2 (40, 64) ebob = 2 . 2 . 2 = 8 (24, 32, 80) ebob = 2 . 2 . 2 = 8 (48, 60, 64) ebob = 2 . 2 = 4 (12, 36) ebob = 2 . 2 . 3 = 12 (42, 63) ebob = 3 . 7 = 21 (36, 60, 72) ebob = 2 . 2 . 3 = 12 (70, 80, 90) ebob = 2 . 5 . = 10 6 3 1 10 5 5 1 2 3 5 12 6 3 1 36 18 9 3 1 2 2 3 3

(16)

16

Ebob ve ekok ile ilgili problem çözümü yapılırken;

Büyük parçalardan küçük küçük parçalar elde ediliyorsa yani büyükten küçüğe gidiliyorsa EBOB bulunur.

Küçük küçük parçalardan büyük parçalar elde ediliyorsa yani küçükten büyüğe gidiliyorsa EKOK bulunur.

ÖRNEK

CÖZÜM

80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki tahta parçası, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır.

Buna göre bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?

8/A sınıfındaki öğrenciler 2’şerli, 4’erli ve 5’erli gruplara ayrılabiliyor.

Buna göre 8/A sınıfındaki öğrenci sayısı en az kaçtır?

EBOB VE EKOK İLE İLGİLİ PROBLEM ÇÖZME

80 40 20 10 5 5 1 120 60 30 15 15 5 1 2 2 2 2 3 5

Boyları birbirine eşit ve en uzun parçalar olması için yani büyük parçalardan küçük parçalar elde edildiği için bu sayıların en büyük ortak bölenleri (ebob) bulunmalıdır.

Küçükten büyüğe gidildiği için bu sayıların en küçük ortak katları (ekok) bulunur. ebob(80, 120) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40

Bir parçanın uzunluğu en fazla 40 cm olur.

ekok(2, 4, 5) = 2 . 2 . 5 = 20

8/A sınıfındaki öğrenci sayısı en az 20’dir. 2 1 4 2 1 5 5 5 1 2 2 5

(17)

17

ÖRNEK

CÖZÜM

Ayrıtları 80, 100 ve 120 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya hiç boşluk kalmaya-cak şekilde en büyük ve eşit hacimde küp şeklindeki kutulardan kaç tane yerleştirilebilir?

ÖRNEK

CÖZÜM

Ayrıtları 8, 10 ve 12 cm olan

dikdörtgen-ler prizması şeklindeki kutulardan bir küp yapılmak isteniyor.

Buna göre yapılan bu küpün bir ayrıtı en az kaç cm olur?

ÖRNEK

CÖZÜM

12, 18 ve 36 litrelik üç şişe, zeytin yağı ile

doludur. Şişelerdeki yağlar birbirine ka-rıştırılmadan ve artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurulacaktır.

En az sayıda şişe kullanabilmek için her bir şişe kaç litrelik olmalıdır?

80 40 20 10 5 5 1 100 50 25 25 25 25 5 1 120 60 30 15 15 5 1 2 2 2 2 3 5 5 ebob(80, 100, 120) = 2 . 2 . 5 = 20 Küpün bir ayrıtı 20 cm 80 : 20 = 4 tane 100 : 20 = 5 tane 120 : 20 = 6 tane Kutu sayısı = 4 . 5 . 6 = 120’dir. ekok(8, 10, 12) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120 cm 8 4 2 1 10 5 5 5 5 1 12 6 3 3 1 2 2 2 3 5 4 tane 80 cm 100 cm 120 cm 5 tane 6 tane 12 6 3 1 18 9 9 3 1 36 18 9 3 1 2 2 3 3 ebob(12, 18, 36) = 2 . 3 . = 6’dır.

(18)

18

ÖRNEK

CÖZÜM

Matematik kursuna katılan öğrenciler

4’er, 5’er, 6’şar sayıldığında her

defasın-da 1 öğrenci artıyor.

Buna göre bu kursta en az kaç öğrenci vardır?

Bir otobüs durağında farklı yerlere giden üç otobüsten birincisi 40 dakikada,

ikin-cisi 60 dakikada ve üçüncüsü 30 dakikada bir hareket etmektedir.

Bu üç otobüs ilk kez saat 08:00’de birlikte hareket ettiğine göre, ikinci kez birlikte hareket ettiklerinde saat kaç olur?

Aşağıdaki problemlerden hangilerinin çözümü, en küçük ortak kat (ekok) bulma işleminden yararla-nılarak yapılabilir?

l. Bir fabrikada iki zilden biri 30, diğeri 40 dakikada bir çalmaktadır. Ziller ilk defa birlikte

çal-dıktan en az kaç dakika sonra, tekrar birlikte çalar?

ll. Bir sınıftaki öğrenciler 4’er, 5’er ve 8’er sayıldığında her seferinde 3 öğrenci artıyor. Bu

sınıf-ta en az kaç öğrenci vardır?

lll. 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir

parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur? A) Yalnız l B) Yalnız ll C) l ve ll D) ll ve lll

ÇIKMIŞ SORU

4 2 1 5 5 5 5 1 6 3 3 1 2 2 3 5 30 15 15 15 5 1 40 20 10 5 5 1 60 30 15 15 5 1 2 2 2 3 5 ekok(4, 5, 6) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 ekok(30, 40, 60) = 2.2.2.3.5 =120

Her defasında 1 öğrenci arttığı için kursa katılan öğrenci sayısı 60 + 1 = 61 olur.

120 dakika = 2 saat

İlk hareket 08:00 ise 2 saat son-ra saat 10:00’da birlikte hare-ket ederler.

(19)

19

ÖRNEK

5 ile 8 aralarında asal sayılardır.

12 ile 60 sayıları için 60, 12’nin katıdır.

CÖZÜM

Aralarında asal sayıların ebobları 1, ekokları ise bu sayıların çarpımına eşittir.

Birbirinin katı olan sayılarda ebob küçük sayı, ekok ise büyük sayı olur.

5 5 5 5 1 8 4 2 1 2 2 2 5 ebob(5, 8) = 1 ekok(5, 8) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 olur. 12 6 3 1 60 30 15 5 1 2 2 3 5 ebob(12, 60) = 2 . 2 . 3 = 12 ∏ küçük sayı

ekok(12, 60)=2 . 2 . 3 . 5=60 ∏ büyük sayı

Küçük parçalardan büyük parçalar oluşturulmak isteniyorsa EKOK, büyük parçalardan küçük

par-çalar elde edilmek isteniyorsa EBOB bulunur. Bu durumda; l ∏ ekok

ll ∏ ekok bulunmalıdır.

(20)

20

PEKİSTİRELİM

1. 16 m, 24 m ve 32 m uzunluğundaki üç tel eşit ve en büyük boyda parçalara ayrılmak isteniyor.

Buna göre kaç parça tel elde edilir?

2. Bir sepetteki elmalar 4’er, 5’er ve 6’şar sayıldığında her seferinde 3 elma artıyor.

Buna göre bu sepette en az kaç tane elma vardır?

3. Bir okuldaki öğrenciler 8'er, 12'şer ve 15'er sayıldığında her seferinde 2 öğrenci eksik kalıyor.

Buna göre bu okulda en az kaç öğrenci vardır?

4. Bir limanda üç gemi aynı anda sefere başlıyorlar. 1. gemi 12, 2. gemi 16 ve 3. gemi 18 günde bir

sefere çıktıklarına göre, bu üç gemi en erken kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar?

16 8 4 2 1 24 12 6 3 3 3 1 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 3 4 2 1 5 5 5 5 1 6 3 3 1 2 2 3 5 8 4 2 1 12 6 3 3 1 15 15 15 15 5 1 2 2 2 3 5 ebob(16, 24, 32) = 2 . 2 . 2 = 8

Her bir parçanın boyu 8 cm olmalıdır. Buna göre;

16 : 8 = 2 parça

24 : 8 = 3 parça 2 + 3 + 4 = 9 parça tel elde edilir. 32 : 8 = 4 parça

ekok(4, 5, 6) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60

Her seferinde 3 arttığı için en az 60 + 3 = 63 tane elma vardır.

ekok(8, 12, 15) = 2 . 2 . 2. 3 . 5 = 120

(21)

21

7. Bir toplantı salonundaki insanlar 5’erli, 6’şarlı ve 8’erli gruplar oluşturduğunda her seferinde 3 kişi

artıyor.

Bu toplantı salonunda 200’den fazla insan olduğu bilindiğine göre en az kaç kişi vardır?

5. Üç çuvalda 36, 48 ve 60 kg ağırlığında pirinç vardır. Bu çuvallardaki pirinçler karıştırılmadan ve

eşit büyüklükteki torbalara paketlenmek isteniyor. Buna göre, bu iş için en az kaç torba gerekir?

6.

12 m

18 m

Şekildeki gibi dikdörtgen şekildeki bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.

Bahçenin genişliği 12 m ve uzunluğu 18 m olduğuna göre, bu bahçenin etrafına dikmek için en az kaç tane ağaç gereklidir?

12 6 3 1 18 9 9 3 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 1 6 3 3 3 1 8 4 2 1 2 2 2 3 5 36 18 9 9 9 3 1 48 24 12 6 3 1 60 30 15 15 15 5 5 1 2 2 2 2 3 3 5 ebob(36, 48, 60) = 2 . 2 . 3 = 12

Bir torbanın ağırlığı 12 kg olmalıdır. Buna göre;

36 : 12 = 3 torba

48 : 12 = 4 torba 3 + 4 + 5 = 12 torba gereklidir. 60 : 12 = 5 torba

ebob(12, 18) = 2 . 3 = 6

Bu bahçeye 6 m aralıklarla ağaç dikilmelidir.

ekok(5, 6, 8) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120

200’den fazla kişi olduğuna göre; 120 . 2 = 240

her seferinde 3 kişi arttığı için,

240 + 3 = 243 kişi vardır. 12 m 18 m 12 : 6 = 2 tane 18 : 6 = 3 tane 12 : 6 = 2 tane 18 : 6 = 3 tane

2 + 3 + 2 + 3 = 10 tane ağaç dikilir. 2 tane

(22)

22

8. 20 Alman, 24 İngiliz ve 32 Fransız turistten oluşan bir topluluk bir otelde kalacaktır. Odalara eşit

sayıda ve aynı milletten olanlar ayrılmayacak şekilde dağılım yapılmak istendiğine göre en az kaç tane odaya ihtiyaç vardır?

9. Bir saatçi dükkanındaki saatlerden birisi 18 dakikada, ikincisi 30 dakikada, üçüncüsü ise 45

daki-kada bir çalmaktadır.

Bu üç saat ilk kez saat 15:00’da birlikte çaldıklarına göre en erken tekrar birlikte çaldıklarında saat kaç olur?

11.Bir kitapçıdaki kitaplar 10'ar, 20'şer ve 25'şer gruplandığında her seferinde 3 kitap eksik

kalmak-tadır.

10.Bir çiçekçide çiçekler 5'er, 8'er ve 10'ar gruplandırıldığında hep 2 çiçek artıyor. Çiçeklerin

sayısı-nın 200'den fazla olduğu bilindiğine göre en az kaç çiçek vardır?

20 10 5 5 5 5 5 1 24 12 6 3 3 3 1 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 3 5 18 9 3 1 30 15 5 5 1 45 45 15 5 1 2 3 3 5 5 5 5 5 1 8 4 2 1 10 5 5 5 1 2 2 2 5 ebob(20, 24, 32) = 2 . 2 = 4

Odalar 4 kişilik olmalıdır. Bu durumda;

20 : 4 = 5 oda

24 : 4 = 6 oda 5 + 6 + 8 = 19 oda gerekir. 32 : 4 = 8 oda

ekok(18, 30, 45) = 2 . 3 . 3 . 5 = 90

Bu üç saat, en erken 90 dk yani bir 1 saat 30 dk sonra tekrar birlikte çalar.

Bu durumda saat 16:30 olur.

ekok(5, 8, 10) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40

En küçük ortak kat 40'tır. 40 - 80 - 120 - 160 - 200 - 240 şeklinde devam eder. Çiçek sayısı 200'den fazla olduğu için ve her seferinde 2 çiçek arttığı için; En az; 200 + 2 = 202 çiçek vardır.

(23)

23

1.

l. 60 = 22 . 3 . 5

ll. 48 = 23 . 32 lll. 72 = 22 . 33 lV. 90 = 2 . 32 . 5

Yukarıda verilen sayılar asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmıştır.

Buna göre hangisi veya hangileri yanlış ya-zılmıştır?

A) Yalnız ll B) Yalnız lll C) ll ve lll D) ll, lll ve lV

2.

Aşağıdaki sayılarından hangisinde 3 sayısı

asal çarpan olarak bulunmaz?

A) 72 B) 84

C) 90 D) 109

3.

Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangisi

aralarında asal değildir?

A) 8 - 9 B) 8 - 15 C) 13 - 17 D) 15 - 18

4.

5, 8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katı

aşağıdakilerden hangisidir? A) 20 B) 40 C) 80 D) 120

5.

_{A 2} 2 5 7 B 2 2 2 3 3

Yukarıda A ve B sayıları asal çarpanlara ayrılmıştır.

Buna göre A + B sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 154 B) 194 C) 212 D) 224

6.

l ∏ 90 ll ∏ 120 lll ∏ 150 lV ∏ 160

Yukarıda verilen sayılar asal sayıların çar-pımı şeklinde yazıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilmez?

A) 2 . 32 . 5 B) 23 . 3 . 5 C) 25 . 5 D) 22 . 3 . 5

(24)

24

7.

Bir fabrikada çalan zillerden birincisi 24,

ikincisi 32 ve üçüncüsü ise 40 dakikada bir çalmaktadır.

Sabah 08:00’de bu üç zil birlikte çaldığına göre, en erken saat kaçta tekrar birlikte çalarlar? A) 16:00 B) 14:40 C) 14:00 D) 13:20

8.

6 cm 9 cm

Şekildeki gibi kenar uzunlukları 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgen şekildeki kartonlar bir araya getirilerek bir kare elde ediliyor. Buna göre oluşan karenin bir kenar uzunlu-ğu en az kaç cm olur?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 36

9.

36, 48 ve 72 litrelik tanklardaki sular eşit

ve hiç artmayacak şekilde şişelenmek iste-niyor.

10.

Emre, evinde merdivenleri 2’şerli, 3’erli ve

4’erli çıktığında her seferinde bir basamak artıyor.

Buna göre Emre’nin evinde en az kaç basa-mak vardır?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15

11.

Uzunlukları 90 cm, 120 cm ve 150 cm olan

demir çubuklar boyları birbirine eşit parça-lara ayrılacaktır.

Buna göre en az kaç parça elde edilir? A) 12 B) 15 C) 24 D) 30

12.

Üç bisikletli dairesel bir pisti sırayla 12, 15

ve 18 dakikada geçmektedir.

Aynı anda aynı yerden sürüşe başlayan üç bisikletlinin sürüşe başladıktan sonraki 2.

(25)

25

1.

42 sayısının toplam kaç tane doğal sayı

bö-leni vardır?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 8

2.

Aşağıdakilerden hangisi 195 sayısının asal

çarpanlarından biri değildir?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 13

3.

12 20 15 36 24 45 40 9 28

Yukarıda verilen sayılardan hangi ikisi seçil-diğinde ebob’u 1 ekok’u ise sayıların çarpımı olur?

A) 9 ile 20 B) 9 ile 45 C) 20 ile 45 D) 36 ile 45

4.

Manav Mehmet Efendi, elmalarını 4’erli,

9’arlı ve 15’erli saydığında her seferinde 3 elma artıyor.

Buna göre Mehmet Efendinin en az kaç el-ması vardır? A) 177 B) 180 C) 183 D) 186

5.

_A C E G G G 1 B D F H J 1 2 2 2 2 2 3

Yukarıda verilen algoritmaya göre aşağıda-kilerden hangisi söylenemez?

A) A ve B sayılarının ebobu 8’dir. B) A ve B sayılarının ekoku 96’dır. C) B ve A sayılarının farklı 8’dir. D) B ve A sayılarının toplamı 80’dir.

6.

48 ve 60 m uzunluğundaki iki kumaş hiç art-mayacak şekilde eşit parçalara ayrılacak-tır.

Buna göre bu parçaların her birinin uzunlu-ğu en fazla kaç metre olur?

A) 16 B) 12 C) 8 D) 4

7.

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) ebob(a, b) = 1 ise a ile b aralarında asal

sayılardır.

B) ebob(a, b) = a ise a sayısı b sayısını tam

böler.

C) ekok(a, b) = a . b ise a ile b aralarında

asal değildir.

D) ekok(a, b) = b ise b sayısı a sayısının

katıdır.

(26)

26

8.

Boyutları 4 cm, 5 cm ve 6 cm olan kutular

üst üste konularak bir küp yapılmak isteni-yor.

Bunun için en az kaç kutuya ihtiyaç vardır? A) 3600 B) 2800

C) 2400 D) 1800

9.

Bir kurstaki öğrenciler 4’erli, 5’erli ve 8’erli

gruplara ayrıldığında her seferinde 3 öğ-renci artıyor.

Bu kursta 100’den fazla öğrenci olduğu bi-lindiğine göre, en az kaç öğrenci vardır?

A) 117 B) 120

C) 123 D) 132

10.

24 m

42 m

Kenar uzunlukları 24 m ve 42 m olan bir sa-lona kare şeklinde fayanslar döşenecektir. Kullanılacak fayansın tanesi 2,50 lira

oldu-11.

Bir temizlik şirketindeki işçilerden birincisi 12, ikincisi 15 ve üçüncüsü 20 günde bir izin

kullanmaktadır.

Bu üç işçi aynı pazartesi günü işe başladık-larına göre, üçünün birlikte ilk izin günü han-gi gün olur?

A) Salı B) Perşembe C) Cuma D) Cumartesi

12.

8 ile bölündüğünde 4, 12 ile bölündüğünde 8

ve 15 ile bölündüğünde 11 kalanını veren en küçük sayı kaçtır?

A) 116 B) 120

C) 124 D) 128

13.

Onur aklından bir sayı tutuyor ve bu sayıyı bulabilmeleri için arkadaşlarının aşağıdaki ipuçlarını veriyor.

I. Bu sayı 200'den büyüktür. II. Bu sayı 300'den küçüktür.

(27)

27

ÜSLÜ İFADELER

ÖRNEK

23 = 2 , 2 , 2 = 8 (–3)2 = (–3) . (–3) = 9

Bir sayının üssü negatif olursa bu sayının çarpma işlemine göre tersi alınır. Sonra üssü alınır. a !0_{olmak üzere}, a a 1 1₌ - _dır.

Sayının negatif kuvveti asla işarete etki etmez. . . 2 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 3 ₌ 3₌ ₌ -^ h c m ^ h-3-2 = . 4 1 2 ₄ _{4 4 16} 2 = = = -c m ^ h _{c m}₅2 -3 = 5 2 - - = ^ h 6 1 3 - - = c m * * Üslü sayı: . 5 1 5 1 5 1 25 1 2 - = - - = c m c m c m . . 6 3 6 6 6 216 - = - - = -^ h ^ h ^ h ^ h ^ h 3 1 3 1 . 1₃ 9 1 2 - = - - = f p f p f p 2 5 2 5 . 2 5 . 2 5 8 125 3 = = f p

an = a . a . a . . . . eşitliğinde an ifadesine üslü sayı denir. n tane

(28)

28

ÖRNEK

Kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır. a ≠ 0 olmak üzere (am)n = amn olur. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

a ≠ 0 olmak üzere her a sayısının sıfırıncı kuvveti 1'dir.

* * * 2 2 1 2 1 4 1 2 2 2 2 - - =-_c _m =- = -_c _m ₂ 2 1 4 1 2 2 - - = - = ^ h _c _m

Negatif bir sayının kuvveti alınırken parantezin varlığı sonucu değiştirir. Üssün üssü durumlarında işaret tespiti önemlidir.

Negatif sayının çift kuvveti olduğu için sonuç pozitiftir. Negatif sayının tek kuvveti olduğu için sonuç negatiftir. 33 4 -^ h 34 5 -^ h

PEKİSTİRELİM

a ç f h b d g ı c e ğ i (-13 2) = 3 1 2 - - = c m ₈1 = 5o = 1–13 = –2–4 = (–2)–5 = (–22)3 = (–1)–2 = (–63)0 = 6–2 = (–32)3 = Aşağıdaki işlemleri yapalım.

–32 = –9 Parantezin önemi (–3)2 = 9 Parantezin önemi 1 9 2–3 1 1 1 1 (–64) 16 1 -c m 32 1 -c m 36 1 (–729)

(29)

29 51,013 sayısını 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

51,013 = (5 x 10) + (1 x 1) + (0 x 1

10) + (1 x 1100) + (3 x 11000)

= (5 x 101) + (1 x 100) + (0 x 10–1) + (1 x 10–2) + (3 x 10–3) olur.

SAYILARIN ONDALIK GÖSTERIMLERINI 10’UN KUVVETLERINI

KULLANARAK ÇÖZÜMLEME

Birler basamağı Onda birler basamağı Yüzde birler basamağı Binde birler basamağı Onlar basamağı 51 , 013 10–1 = 1 10 10–2 = 1 100 10–3 = 1 1000 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000

10n sayısında n tane sıfır vardır.

ÖRNEK

CÖZÜM

3,039 sayısının 10’un kuvvetlerini

kulla-narak çözümleyelim.

Çözümlenmiş hali (9 x 102) + (0 x 101) + (7 x 100) + (5 x 10–1) + (2 x 10–2) olan ondalık sayıyı bulalım.

3,039 = (3 x 100)+ (0 x 10–1) + (3 x 10–2 ) + (9 x 10–3)

(30)

30

PEKİSTİRELİM

a 13,07 b 9,009 c 501,396 a (8 x 102) + (7 x 101) + (6 x 100) + (5 x 10–1) + (4 x 10–2) + (3 x 10–3) b (6 x 103) + (0 x 102) + (0 x 101) + (3 x 10–1) + (5 x 10–2) c (4 x 100) + (0 x 10–1) + (1 x 10–2) + (2 x 10–3)

1.Aşağıda verilen ondalık sayıları 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

2.Aşağıda çözümlemeleri verilen ondalık sayıları bulalım.

Üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin yapılabilmesi için ya tabanların ya da üslerin aynı olması gerekir.

1)

2)

Tabanlar aynı ise;

Üsler aynı ise;

Çarpma işlemi

Bölme işlemi

üsler toplanır.

tabanlar çarpılır sonra ortak üs alınır. tabanlar çarpılır sonra ortak üs alınır üsler çıkarılır.

am . an = am+n

an . bn = (a . b)n an : bn = (a : b)n am : an = am–n

ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

∏ 13,07 = (1 x 101) + (3 x 100) + (0 x 10–1) + (7 x 10–2) ∏ 876,543 ∏ 6000,35 ∏ 4,012 ∏ 9,009 = (9 x 100) + (0 x 10–1) + (0 x 10–2) + (9 x 10–3) ∏ 501.396 = (5 x 102) + (0 x 101) + (1 x 100) + (3 x 10–1) + (9 x 10–2) + (6 x 10–3)

(31)

31

PEKİSTİRELİM

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

a e f b c ç d . . ? 5-4 5 55 3= . _? 2 4 8 3 2 1 = -. . . _? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = . _? 3 9 3 8 4 4 = . . _? 2 2 4 8 5 3 4 1 =

-ÖRNEK

ÖRNEK

. 3 24 4 = . 4 53 3= : 6 23 3= : 10 58 8=

ÖRNEK

. 2 23 5= . 3 34 7= 10 108: 6= : 510 53= 103 . 105 = 27 . 57 = 55 . 25 . 104 = ? 47 : 42 = 125 : 35 = 5 .16 10 .2 _? 3 3 5 = 5- + +4 5 3=54 . . 2 2 2 2 2 2 ₂ 3 2 2 3 1 3 4 3 4 = = -^ h ^ h . . 4 2 2 2 2 2 2 2 ₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 2 8 4 8 8 4 4 = = = = + + + -. . 3 3 3 3 3 3 ₃ 8 2 4 4 8 8 4 4 = = ^ h . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2 4 3 1 5 3 8 3 5 3 8 3 5 8 = = = - _- ₊ -^ h ^ h ₌ ₂8 5- ₌₂3

(Her sayı 2’nin kuvveti olarak yazılır.) ( . )3 2 4=64 ( . )4 5 3=203 ( : )6 2 3=33 ( : )10 5 8=28 23 5+ =28 34 7+ =311 510 3- = 57 108 6- =102 103+5 = 108 (2 . 5)7 = 107 47–2 = 45 (12 : 3)5 = 45 5 .16 10 .2 5 .2 2 .5 .2 _{5 . 2} _{5 .2} ₂ 3 3 5 3 4 3 3 5 _{3 3 3 5 4} _{0 4} ₄ = = - + - = = (55 . 25) . 104 = 105 . 104 = 105+4 = 109

(32)

32

Çok Büyük Sayılar : Çok Küçük Sayılar :

Çok büyük sayılarda sıfır sayısı 10’un kuvvetini belirtir.

Çok küçük sayılarda virgülden sonraki basamak sayısı 10’un kuvvetini belirtir.

2 300 000 = 23.105 0,00013 = 13.10–5 7000000 = 0,0000009 = 5 basamak 5 basamak

ÖRNEK

ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK POZİTİF SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

Çok büyük veya çok küçük sayılar 10’un farklı tam sayı kuvvetleri kullanılarak ifade edilebilir.

501,3 x 105 sayısı;

501,3 x 105 = 50,13 x 106 = 0,5013 x 108 = 50130 x 103 şeklinde de ifade edilebilir.

ÖRNEK

6 basamak

7 basamak

9.10–7 7.106 10’un pozitif kuvvetleriyle ifade edilen sayılara denir. 10’un negatif kuvvetleriyle ifade edilen sayılara denir.

(33)

33 1 ≤ a < 10 olmak üzere a . 10n şeklindeki gösterime bilimsel gösterim denir.

Örneğin 3,256.109 gösterimi bilimsel bir gösterimdir. Çünkü 1 ≤ 3 < 10 dür.

Bilimsel gösterilmeyen bir sayının bilimsel gösterimini elde etmek için virgül sağa veya sola kaydırılır.

Virgül sola kaydırılırken kuvvet artar. Virgül sağa kaydırılırken kuvvet azalır.

Bilimsel Gösterim

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen boşlukları uygun şekilde dolduralım.

a 0,309 . 105 = 30,9 . 10 d 0,009 . 104 = ... . 102 b 25,007 . 104 = 0,25007 . 10 e 2,01 . 105 = ... . 103 c 1,254 . 10–2 = 125,4 . 10 f 38,73 . 10–2 = ... . 10–3 ç 132,7 . 10–3 = 1327 . 10 g 125,7 . 10–1 = ... . 102 ... ... ... ... 3 0,9 201 387,3 0,1257 6 –4 –4

(34)

34

Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini bulalım;

1 25,7 . 106 324 , 7 . 10–6

0,00013 . 10–4

ÖRNEK

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde dolduralım.

a 6 000 000 = ... ğ 37.1022 = 3, 7.10... d 9.105 = ... j 132.10–16 = 13200.10 ... c 0,0000008 = ... ı 25.1013 = 0,25.10... f 4.10–6 = ... l 15.108 = ... 109 b 1 300 000 = ... h 513.1015 = 5130.10... e 12.104 = ... k 12.1018 = ... 1017 ç 0,000032 = ... i 18.10–14 = 1,8.10... g 21.10–5 = ... m 64.10–24 = ... 10–23 0 , 007 . 10–5 1, 257 . 108 7 . 10–8 2 basamak 3 basamak 2 basamak artar. 3 basamak azalır. 3, 247 . 10–4 1, 3 . 10–8 6.106 23 900000 –18 8.10–7 15 0,000004 1,5 13.105 14 120000 120 32.10–6 –13 0,00021 6,4

(35)

35

2. Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini bulalım.

a c d f ğ ı j 24.1012 = ... 0,7.1016 = ... 0,125.105 = ... 18.10–6 = ... 24,3.10–4 = ... 0,003.10–3 = ... 32.10–6 = ... b ç e g h i k 132.108 = ... 0,45.1015 = ... 0,396.109 = ... 123.10–20 = ... 4800.10–13= ... 0,039.10–5 = ... 5000.10–5 = ...

CÖZÜM

Bir kuş tüyünün kütlesi 0,000005 gramdır.

Bu kuş tüyünün kütlesinin kilogram olarak bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisi-dir? A) 5 . 10–9 B) 0,005 C) 5.10–8 D) 50.10–10

ÇIKMIŞ SORU

2,4.1013 7.1015 1,25.104 1,8.10–5 2,43.10–3 3.10–6 1,32.1010 4,5.1014 3,96.108 1,23.10–18 4,8.10–10 3,9.10–7 0,000005 gram = 5 . 10–6 gram

1 gram = 10–3 kilogram olduğuna göre; 5.10–6 gram = 5.10–6 . 10–3 = 5 . 10–9 ki-logramdır.

1 ≤ 5 < 10 olduğu için Bilimsel gösterimi; 5.10–9’dur.

Cevap : A

(36)

36

CÖZÜM

–4–3 sayısının 2–4 sayısına bölümü

aşağı-dakilerden hangisidir? A) – 1 4 _{B) – 1} 2 C) 1 4 D) 12

Aşağıdaki sayılardan hangisi 0’dan büyük 1’den küçüktür?

A) 5–3 B) (–5)–3 C) 53 D) (–5)3

44 . 123

63 . 28 işlemin sonucu aşağıdakilerden

hangisidir? 3

ÇIKMIŞ SORU

–4–3 2–4 = –(2 2 )–3 2–4 = –2 –6 2–4 = –2 –2 = – 1 4 Cevap : A A) 5–3 = 1 53 = 1125 B) (–5)–3 = – 1 53 = – 1125 C) 53 = 125 D) (–5)3 = –125

Bu durumda 0’dan büyük 1’den küçük olan 1 125‘dir. _{Cevap : A} 44 . 123 63 . 28 28 . 123 63 . 28 123 (22)4.123 63 . 28 = = = = 23

(37)

37

1.

Aşağıdakilerden hangisi

2561 sayısına eşit-tir?

A) 44 B) 28 C) 2–6 D) 2–8

2.

(–5)–3 ifadesinin değeri aşağıdakilerden han-gisine eşittir? A) 125 1 -c m B) ₁₂₅1 C) 27 D) 125

3.

I. (–1)–2 = (+1) II. (–4)3 = (–64) III. (+5)–4 (–625) IV. (–8)o = 0

Yukarıda verilen eşitliklerin kaç tanesi doğ-rudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

4.

–4–2 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangi-sine eşittir? A) – 161 B) – 81 C) 8 D) 16

5.

a = –1 ve b = –2 olduğuna göre, . a b a b a b b a +

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi-dir? A) – 2 1 B) – 3 8 C) 3 2 D) 2 1

6.

I. 3 1 4 ₃ 4 - - = c m II. –52 = 25 III. . . 4 3 4 3 4 3 3 4 3 - - - = - -c m c m c m c m IV. 6 1 36 1 2 - - = c m

Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi doğ-rudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

7.

(7 x 102) + (5 x 10–1) + (3 x 10–2)

şeklinde çözümlenmiş olan sayı aşağıdakiler-den hangisidir?

A) 7,53 B) 70,53

C) 700,53 D) 700,053

8.

Aşağıdakilerden hangisi 0’dan büyük 1’den

küçüktür?

A) –32 B) (–3)2 C) (–2)–3 D) (–3)–2

(38)

38

9.

(–0,2)4 ifadesinin değeri aşağıdakilerden

hangisidir? A) –0,0016 B) –0,016 C) 0,16 D) 0,0016

10.

( , ) , 5 2 4 25 0 5 0 125 a b - = = c m

olduğuna göre a + b ifadesinin değeri aşağı-dakilerden hangisidir?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2

11.

23,009 sayısı çözümlendiğinde

aşağıdakiler-den hangisi doğru olur?

A) (2 . 102) + (3 x 101) + (9 + 10–1) B) (2 x 102) + (3 x 101) + (9 x 10–3) C) (2 x 101) + (3 x 100) + (9 x 10–3) D) (2 x 101) + (3 x 100) + (9 x 10–1)

13.

. 2 8 4 ₂ a 5 1 3 6 = +

-olduğuna göre a’nın değeri kaçtır? A) –6 B) –4 C) 2 D) 4

14.

. ( ) : 6 3 3 2 1 5 3 2 4 - -işleminin sonucu kaçtır?

A) –3–1 B) –2–1 C) 2–1 D) 3–1

15.

. . 5 2 4 10 3 8 4 3

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 23 B) 24 C) 52 D) 53

(39)

39

KONU TESTİ - 2

1.

Çevresi 220 cm olan bir karenin bir kenar

uzunluğu kaç cm’dir?

A) 219 B) 49 C) 217 D) 48

2.

I. 13,01 . 10–3 = 1,301 . 10–2 II. 250,07 . 104 = 25007 . 10–2 III. 0,009 . 102 = 9.10–1 IV. 27 . 10–4 = 0,27 . 10–2

Yukarıda verilen ifadelerin kaç tanesi doğru-dur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

3.

Aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?

A) –24 B) 2 1 3 - -c m C) 2–3 D) 2 1 5 -c m

4.

(5 . 102) + (3 x 100) + (7 x 10–2) + (5 x 10–3) Yukarıda çözümlenmiş şekli verilen sayı aşa-ğıdakilerden hangisidir? A) 503,075 B) 53,075 C) 503,75 D) 53,75

5.

3 2 2 -

-c m sayısı aşağıdaki sayılardan hangisi ile çarpılırsa sonuç pozitif bir tam sayı olur? A) –9 B) –4 C) 4 D) 9

6.

. . . . 2 2 2 2 2 2 4 3 9 8 6 5

-işleminin sonucu kaçtır?

A) 2–9 B) 2–6 C) 2–3 D) 23

7.

. . 81 27 9 3 2 3 4 5

işleminin sonucu kaçtır?

A) 314 B) 315 C) 316 D) 317

8.

. . . 10 10 10 10 10 4 1 5 6 7

-işleminin sonucu kaçtır?

A) 10000 B) 1000

(40)

40

9.

I. 2,58.10–5 = 258.10–7 II. 0,003.102 = 3.105 III. 180.104 = 0,18.10–7 V. 32,1.10–3 = 321.10–2

Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi yan-lıştır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

10.

. . 125 5 25 5x ₁ 3 4 2 =

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) –1

11.

3 3 ₉ a a b = +

olduğuna göre, 3b ifadesinin değeri

aşağıda-kilerden hangisidir? A) 33 B) 32 C) 3 D) 3–1

13.

, . , . 0 0016 10 0 032 10 7 5

ifadesinin değeri kaçtır? A) 20 B) 2 C) 2 1 _D) 5 1

14.

Bir gram toprakta bulunan bakteri hüc-relerinin sayısı 40 milyondur.

Verilen bilgiye göre bir kilogram toprakta yaşayan bakteri hücreleri sayısının bilimsel gösterimi, aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4.106 B) 40.109 C) 4.1010 D) 0,4.1011

15.

₄12 _cm

45 cm Kenar uzunlukları şekildeki gibi verilen bir dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 1660cm2 B) 1617cm2 C) 460cm2 D) 417cm2

(41)

41 Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine ...denir. Karekök “ñ ” sembolü ile gösterilir.

a2 sayısının karekökü a2 =  a şeklinde hesaplanır.

Bir sayının kendisi ile çarpımı sayının karesini alma, bu işlemin tersi de karekök alma işlemidir.

Karekök alma işlemi aynı zamanda alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğunu bulma işlemidir.

Kenar uzunluğu = 1 br 2br 3br 4br 5br

Alanı = 1br2 4br2 9br2 16br2 25br2 Karekök içi asla negatif olmaz.

ÖRNEK

CÖZÜM

Alanı 64 br2 karenin bir kenar

uzunluğunu bulalım.

Ahmet’in kare şeklinde bir bahçesi vardır ve alanı 144 m2’dir. Buna göre bu bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

KAREKÖKLÜ İFADELER

Alanı 64 br2 karenin bir kenar uzunluğu; 64 ₌ 82 ₌8

144 ₌ 122 _{= m bu-}12 lunur.

Karekök alma işlemi

birim bulunur.

A = 144 m2

1 br 2 br

(42)

42

Tam Kare Sayılar: Karekökleri tam sayı olan doğal sayılara ... denir.

Örneğin; 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... sayıları tam kare sayılardır.

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıda verilen tam kare sayıların kareköklerini bulalım.

2. Aşağıda alanları verilen karelerin bir kenarının uzunluğunu bulalım.

3. Aşağıdaki tam sayılardan bir sayının karesi olarak yazılabilenleri işaretleyelim.

a ñ9 = ... a c ç ò16 = ... f ò64 = ... h ó121 = ... b ñ0 = ... b ç d ò25 = ... g ò81 = ... ı ó169 = ... c ñ1 = ... e ò49 = ... ğ ó100 = ... i ó625 = ... Alanı = 196 cm2 Alanı = 225 cm2 Alanı = 4 br2 Alanı = 36 br2 3 4 8 11 0 5 9 13 cm cm br br 1 7 10 25 196 ₌ 142 ₌14 225 ₌ 152 ₌15 4 ₌ 22 ₌2 36 ₌ 62 ₌6 tam kare sayılar

(43)

43

4. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.

a b = ? = ? 100+ 36 - 64

CÖZÜM

25+ 1 - 16

Tam kare olmayan sayıların karekökleri tahmin edilirken tam kare sayılardan yararlanılır. Bunun için;

Verilen sayıya en yakın olan bir büyük ve bir küçük tam kare sayı tespit edilir. Bu sayıların karekökleri alınır.

Verilen sayının karekökü bu sayılar arasındadır diye tahmin yapılır.

Ayrıca verilen sayı tespit edilen sayılardan hangisine daha yakınsa ona göre ondalık bir tahmin de yapılabilir.

Örneğin; 40 sayısının sonucunu yaklaşık olarak tahmin edelim;

TAM KARE OLMAYAN SAYILARIN KAREKÖKLERİNİ TAHMİN ETME

' .dir 100 36 64 10 6 8 10 6 8 8 2 2 2 + - = + -= + - = ' .dir 25 1 16 5 1 4 5 1 4 2 2 2 2 + - = + -= + - -= 36 40 49 36 40 49 < <

< < Karekök alındığında; 6< 40 7< olur.

olduğu için 40 sayısı 36 sayısına daha yakındır. Bu nedenle 40 sayısı için de 6’ya daha yakındır diyebiliriz.

Ayrıca

Yani 40 sayısı 6 ile 7 arasındadır. 40 – 36 = 4

49 – 40 = 9

(44)

44

ÖRNEK

80 sayısının sonucunu yaklaşık olarak tah-min edelim.

CÖZÜM

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen kareköklü sayıların en yakın tam sayı değerini bulalım.

a c d f ğ b ç e g h 8 20 = 32 = 45 = 65 = 105 = ò39 ò72 ò27 ò90

80 sayısına en yakın tam kare sayılar; 64 ve 81’dir.

Ayrıca 80 sayısı 81 sayısına daha yakın oldu-ğu için 80 sayısı da 9’a daha yakındır. 64 80 81< < 64 < 80 < 81 Karekök alındığında . bulunur 8< 80 9< 4 < 8 < 9

2 ile 3 arasında 3’e daha yakındır.

25 < 32 < 36

5 ile 6 arasında 6’ya daha yakındır.

64 < 65 < 81

36 < 39 < 49

6 ile 7 arasında 6’ya daha yakındır.

64 < 72 < 81

8 ile 9 arasında 8’e daha

16 < 20 < 25

36 < 45 < 49

6 ile 7 arasında 7’ye daha yakındır.

100 < 105 < 121 10 ile 11 arasında 10’a daha yakındır.

25 < 27 < 36

5 ile 6 arasında 5’e daha yakın

81< 90 < 100

(45)

45

Rasyonel Sayı: İrrasyonel Sayı:

İrrasyonel sayılar a

b şeklinde yazılamaz.

Örneğin; ñ3, ñ2, p gibi sayılar irrasyonel sayılardır.

Örneğin p sayısını incelediğimizde p = 3,1415926535897932384626433832...

virgülden sonrasının belli bir düzende devam etmediği görülür. Bu nedenle p sayısı irrasyonel sayıdır.

Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimi Gerçek Sayılar kümesini oluşturur. “R” ile gös-terilir.

Ondalık ifadeler, devirli ondalık ifadeler, karekök dışına tam sayı olarak çıkan sayılar

rasyonel sayılardır.

Devirli olmayan ondalık açılımlar, kök dışına çıkamayan kareköklü sayılar irrasyonel

sayılardır.

Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı vardır. Fakat, bazı ondalık açılımlara karşılık

gelen bir rasyonel sayı olmayabilir. Bunun gibi sayılar irrasyonel sayılardır.

Gerçek sayılar kümesi bütün sayıları kapsar.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Q′ ⊂ R N Z Q Q′

GERÇEK SAYILAR

R a, b ∈Z ve b ≠ 0 olmak üzere a

b şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir. “Q” sembolü ile gösterilir.

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılara İrrasyonel Sayı denir. “Q” (veya l) sembolü ile gösterilir.

(46)

46

ÖRNEK

Yukarıda verilen sayılardan irrasyonel sayı olanları belirleyelim.

CÖZÜM

Aşağıda verilen ifadelerden "Doğru" ve "Yanlış" olaranlarını belirleyelim.

2,3 27,38916 ... 0,009 ñ7 ò16 ò15 3 7 20₄ 15 8 3,7 2,135 0 –12 5 b

a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılar kümesinin ortak elemanı yoktur. Gerçek sayılarla irrasyonel sayılar kümesinin ortak elemanı yoktur.

sayısı bir rasyonel sayıdır.

... ... ... ... a b c ç ₀ 2,3 → Rasyonel sayı ñ7 → İrrasyonel sayı 3 7 → Rasyonel sayı 0,009 → Rasyonel sayı 20 4 → Rasyonel sayı 5 → Rasyonel sayı –12 → Rasyonel sayı ò16 → Rasyonel sayı 3,7 → Rasyonel sayı ò15 → İrrasyonel sayı 2,135 → Rasyonel sayı 27,38916 ... → İrrasyonel sayı 15 8 → Rasyonel sayı 0 → Rasyonel sayı D D Y D

(47)

47

2.

Yukarıda dört arkadaşın sayılar hakkında ifadeleri görülmektedir. Buna göre, hangisinin söy-lediği ifadenin yanlış olduğunu bulalım.

12 rasyonel sayıdır.

25

5 tam sayıdır.

4

49 rasyonel sayıdır. Söylediğiniz bütün sayılar gerçek sayıdır.

Zühtü Kezban

Düriye Fikret

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıda verilen sayıların hangi sayı kümesine ait olduğunu belirleyelim.

a 2,021 b p c 0,013 ç 10,01 – d 13 5 e 27₃ f ₁,7 g 2,876103584... ğ ñ7 h ò10 ı ò64 _i ₋42 6 .

12 = 4 3 2 2= İrrasyonel sayıdır. Zühtü yanlış söylemiştir.

Rasyonel sayıdır. Doğru

sayıların hepsi gerçek sayıdır. Doğru Tam sayıdır. Doğru

25 5 5 5 1 = = 4 49 2 7 = , , 2 2 1 2 7

→ Rasyonel sayı → İrrasyonel sayı

→ Rasyonel sayı → Rasyonel sayı

→ Rasyonel sayı → İrrasyonel sayı

→ İrrasyonel sayı → İrrasyonel sayı

→ Rasyonel sayı → Rasyonel sayı

(48)

48

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında çarpılır ve katsayı ola-rak yazılır. Kök içleri kendi arasında çarpılır ve kök içine yazılır.

ña . ña = a ña . ñb = òa.b xña . yña = x.yòa.b

ÖRNEK

2ñ5 . 3ñ2 işleminin sonucu bulalım.

3ñ7 . 5ñ6 işleminin sonucunu bulalım.

CÖZÜM

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulalım.

a ñ7 . ñ7 = b ñ3 . ñ5 = c 5ñ2 . ñ3 = ç ñ7 . 2ñ5 = d ò12 . ñ3 = ı 3ñ2 . 5ñ5 = e ñ2 . ò50 = i 2ñ2 . 9ñ2 = f 4ñ3 . 2ñ5 = j 5ñ6 . 2ñ5 = g 3ò10 . 2ñ7 = k 4ñ2 . 3ñ8 = ğ ñ2 . ò11 = l 2ò32 . 3ñ2 = h 5ñ2 . 4ñ3 = m 10ñ6 . ñ6 =

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMLERİ

Kök içleri kendi içinde çarpılır.

Kat sayılar kendi içinde çarpılır. 2ñ5 . 3ñ2 = (2 . 3)ó5 . 2 = 6ò10 3ñ7 . 5ñ6 = (3 . 5)ó7 . 6 = 15ò42 49₌ 72 ₌7 _{5 . ñ6} ò36 = 6 ò15 8ò15 2ò35 6ò70 20ñ6 ó100 = 10 ò22 15ò10 10ò30 12ò16 = 12 . 4 = 48 18ò4 = 18 . 2 = 36 6ò64 = 6 . 8 = 48 10ò36 = 10 . 6 = 60

(49)

49 a a a a b a b b x a y b x y a b b = ≠ = ≠ = ≠ 1 0 0 0 ( ) ( ) ( )

ÖRNEK

6 10

2 2 işleminin sonucu bulalım.

75

3 işleminin sonucu bulalım.

CÖZÜM

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıda verilen bölme işlemlerinin sonucunu bulalım.

a 10 20 5 5 = b 8 6 2 3 = c 6 32 2 2 = d 8 14 4 2 = f 300 3 = ğ 12 60 4 15 = ç 5 20 3 10 = e 3 40 10 = g 7 45 5 =

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMLERİ

(y ≠ 0) 6 10 2 2 6 2 10 2 3 5 = . = . bulunur.

Kat sayılar kendi içinde bölünür.

75 3

75

3 25 5

= = = bulunur.

Kök içleri kendi içinde bölünür.

2ñ4 = 2 . 2 = 4 3ò16 = 3 . 4 = 12 2ñ7 ó100 = 10 3 . ñ4 = 3 . 2 = 6 7 . ñ9 = 7 . 3 = 21 3ñ4 = 3 . 2 = 6 4ñ2 5 3 2

Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında bölünür ve katsayı olarak yazılır, kök içleri kendi arasında bölünür ve kök içine yazılır.

(50)

50

Kakekök içinde bir sayıyı añb şeklinde yazmak için sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının

karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazılır. Tam kare olan çarpan karekök dışına çı-karılır.

a ≥ 0 olmak üzere; a b a b2_. ₌ _. _’dir.

ÖRNEK

ò48 sayısını añb şeklinde yazalım.

3ó200 sayısını añb şeklinde yazalım.

CÖZÜM

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen kareköklü ifadeleri añb şeklinde yazalım.

a ò20 = c ò72 = h 2ò40 = e ó125 = j 4ó160 = g ó250 = l 10ó180 = d ò60 = i 3ò50 = f ò80 = k ò18 = b ò45 = ç ò75 = ı ó300 =

KAREKÖKLÜ BİR İFADEYİ añb ŞEKLİNDE YAZMA

ò48 = ó16 .3 = 4ñ3 bulunur. 3ó200 = 3ó2.100 = 3 . 10ñ2 = 30ñ2 bulunur. ó4 . 5 = 2ñ5 ó9 . 5 = 3ñ5 ó36 . 2 = 6ñ2 ó25 . 3 = 5ñ3 ó4.15 = 2ò15 ó25.5 = 5ñ5 ó16.5 = 4ñ5 ó25.10 = 5ò10 Tam kare 3ó25.2 = 3.5ñ2 = 15ñ2 4ó16.10 = 4.4ò10 = 16ò10 5ò9.2 = 5.3ñ2 = 15ñ2 10ó36.5 = 10.6ñ3 = 60ñ5 2ó4.10 = 2 . 2ò10 = 4ò10 ó100.3 = 10ñ3

(51)

51 añb şeklinde bir ifadenin kat sayısını karekök içine almak için kat sayısının karesi alınarak

ka-kekök içindeki sayı ile çarpılır.

a ≥ 0 olmak üzere; a b. = a b2. _’dir.

ÖRNEK

2ñ3 ifadesini kök içine alalım.

4ñ5 ifadesini kök içine alalım.

CÖZÜM

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen ifadeleri kök içine alalım.

a 3ñ8 = c 5ñ3 = b 2ñ6 = e 9ñ2 = h 6ñ5 = ç 2ò10 = g 10ñ3 = i 3ò11 = d 3ñ5 = f 2ñ2 = ğ 5ñ2 = ı 4ñ5 =

añb ŞEKLİNDE VERİLEN BİR İFADEYİ KÖK İÇİNE ALMA

3 82_. ₌ 9 8_. ₌ 72 _{2 6}2_. ₌ _{4 6}_. ₌ ₂₄ 5 32_. ₌ 25 3_. ₌ 75 _{2 10}2_. ₌ _{4 10}_. ₌ ₄₀ 3 52_. ₌ 9 5_. ₌ 45 _{9 2}2_. ₌ _{81 2}_. ₌ ₁₆₂ 2 22_. ₌ 4 2_. ₌ 8 _{10 3}2_. ₌ _{100 3}_. ₌ ₃₀₀ 5 22_. ₌ 25 2_. ₌ 50 _{6 5}2_. ₌ _{36 5}_. ₌ ₁₈₀ 4 52_. ₌ 16 5_. ₌ 80 _{3 11}2_. ₌ _{9 11}_. ₌ ₉₉ Karesi alınır. 2 3 ₌ 2 32_. ₌ 4 3_. ₌ 12 _bulunur. 4 5 ₌ 4 52_. ₌ 16 5_. ₌ 80 _bulunur.

(52)

52

Çarpma işlemi ile irrasyonel bir ifadeyi rasyonel yapmak için; kareköklü ifadeden kur-tarmak gerekir.

Örneğin; ò20 ifadesini rasyonel sayı yapmak için;

ò20 = 2ñ5 = 2ñ5 → ñ5 ifadesinden kurtarmak gerekir. Bunun için de sayı, “ñ5” çarpanı olan

bir ifade ile çarpılmalıdır.

2ñ5 . ñ5 = 2 . 5 = 10 → rasyonel olur. 2ñ5 . 3ñ5 = 6 . 5 = 30 → rasyonel olur.

2ñ5 . ò80 = 2ñ5 . 4ñ5 = 8 . 5 = 40 → rasyonel olur.

PEKİSTİRELİM

Aşağıda verilen irrasyonel sayıları çarpma işlemi ile rasyonel sayı yapalım.

a ñ7 = c ò10 = e ò12 = h ò20 = g ò32 = i ò45 = d 4ñ2 = ğ 6ñ5 = f 5ñ3 = ı 3ñ6 = b ò11 = ç ñ8 = ñ7 . ñ7 = 7 ò11 . ò11 = 11 ò10 . ò10 = 10 2ñ2 . ñ2 = 2 . 2 = 4 4ñ2 . ñ2 = 4 . 2 = 8 2ñ3 . ñ3 = 2 . 3 = 6 5ñ3 . ñ3 = 5 . 3 = 15 4ñ2 . ñ2 = 4 . 2 = 8 6ñ5 . ñ5 = 6 . 5 = 30 2ñ5 . ñ5 = 2 . 5 = 10 3ñ6 . ñ6 = 3 . 6 = 18 3ñ5 . ñ5 = 3 . 5 = 15

(53)

53 Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabilmesi için kök içlerinin aynı olması

gerekir. Kök içleri eşit olduktan sonra toplama ve çıkarma işlemleri katsayılar arasında yapılır,

ortak kök çarpım olarak yazılır.

3 5 7 5 2 5+

-12 5 27+ - 75

kök içleri aynıdır, katsayılar arasında işlem yapılır.

Kök içleri aynıdır, katsayılar arasında işlem yapılır.

(3 7 2) . 5 8 5 bulunur. = + - =

ÖRNEK

9 2 - 2 3 2+ (9 1 3) . 2 11 2 bulunur. = - + =

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

a ve b sıfırdan farklı olmak üzere; ña + ñb ≠ óa+b

ña – ñb ≠ óa–b

Kök içleri aynı değil, bu sebeple önce kök içleri eşitlenir, sonra

katsayı-lar arasında işlem yapılır.

ÖRNEK

18+ 50- 8 . . . 9 2 25 2 4 2 = + -( ) . bulunur. 3 2 5 2 2 2 3 5 2 2 6 2 = + - = + - =

CÖZÜM

ò12 + 5ò27 - ò75 ò4.3 + 5ò9.3 - ó25.3 = 2ñ3 + 5 . 3ñ3 - 5ñ3 = (2 + 15 - 5) . ñ3 = 12ñ3 bulunur.

Kök içleri aynı değil, bu sebeple önce

kök içleri eşitenir, sonra katsayılar

(54)

54

Verilen sayılar kök içleri aynı olanlar gruplandırılarak yapılır.

ÖRNEK

8 3 5 2 5 3+ - - 2 (8 3 5 3- ) + (5 2- 2) (8 5- ) . 3 + (5 1- ) . 2 =3 3 4 2+ bulunur.

ÖRNEK

10 3 5 3 8 3+ - işleminin sonucunu bulalım.

4 50+ 128 3 242- iş-leminin sonucunu bulalım.

2 5 3 2 3 5+ + - 2 işleminin sonucunu bulalım.

CÖZÜM

Katsayısı olmayan sayıların katsayısı 1’dir.

Kök içleri eşitlenmeyen sayılar sonuca aynen yazılır. Bu sayılarda toplama-çıkarma işlemleri yapılamaz. * *

CÖZÜM

( ) . 10 3 5 3 8 3+ - = 10 5 8+ - 3 = 7 3 . . . . 4 25 2+ 64 2 3 121 2 4 5 2- = 2 + 8 2 3 11 22 - 2 . . ( ) 4 5 2 8 2 3 11 2 20 2 8 2 33 2 5 2 = + - = + - =

-Verilen sayılar kök içleri aynı olanları gruplandırarak yapılır.

( ) ( ) . bulunur 2 5 3 2 3 5 2 2 5 3 5 3 2 2 5 5 2 2 + + - = + + -= +

(55)

55

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıdaki işlemleri yapalım.

a b c ç 8 2 3 2- - 2 = 10 5 8 3 4 3 7 5+ - - = 2 20- 5 3 45 2 80+ - = 4 12 - 27 3 75 2 48- + = 2. x y 3 2 3 2 = + =

-olduğuna göre x + y ifadesinin değerini bulalım.

d _{5 45 3 20}_- _- ₅ ₊ ₈₀ ₌ (8 3 1- - ) . 2 4 2= (10 5 7 5- ) (+ 8 3 4 3- ) (10 7) . 5 (8 4) . 3 = - + -3 5 4 -3 = + . . . 2 4 5- 5 3 9 5 2 16 5+ -. . . 2 2 52 5 3 3 5 2 4 52 2 = - + -. -. . . 2 2 5 5 3 3 5 2 4 5 = - + -( ). 4 5 5 9 5 8 5 4 1 9 8 5 = - + - = - + - = 4 5 . . . . . 4 4 3- 9 3 3 25 3 2 16 3- + . . . . 4 2 32 3 3 3 5 3 2 4 32 2 2 = - - + . . . . 4 2 3 3 3 3 5 3 2 4 3 = - - + 8 3 3 3 15 3 8 3 = - - + (8 3 15 8) . 3 ( 2 3) = - - + = -( ) ( ) x y+ = 3 + 2 + 3 - 2 = 3 + 3 + 2 - 2 . bulunur 2 3 0 2 3 = + = x _y . . . 5 9 5 3 4 5 5 36 5 = - - + . . . . 5 3 5 3 2 52 2 5 6 52 = - - + . . 5 3 5 3 2 5 5 6 5 = - - + 15 5 6 5 5 6 5 = - - + (15 6 1 6) . 5 14 5 = - - + =

(56)

56

Karekök içindeki ondalık kesirler rasyonel sayıya çevrilerek karekök alma işlemi uygulanır.

0 36, + 0 81, − 1 69, _{işleminin sonucunu bulalım.}

0 25 0 16 6 25 0 64 , , , ,

+ işleminin sonucunu bulalım.

16 100

9 100

+ işleminin sonucunu bulalım.

ONDALIK İFADELERİN KAREKÖKLERİ

ÖRNEK

CÖZÜM

0 25 25 100 5 10 0 5 1 21 121 100 11 10 11 , = = = , , = = = ,

Karekök içinde toplama ve çıkarma işlemleri varsa önce bu işlemler yapılmalı daha sonra kök dışına çıkabilen sayı varsa çıkarılmalıdır.

0 36 0 81 1 69 36 100 81 100 169 100 6 10 9 10 13 10 2 10 0 2 , + , − , = + − = + − = = , bulunnur. 0 25 0 16 6 25 0 64 25 100 100 16 625 100 100 64 25 16 625 64 5 4 2 , , , , . . ( + = + = + = )) . +25 = + = 8 10 8 25 8 35 8 bulunur 16 100 9 100 25 100 5 10 0 5 + = = = , bulunur.

(57)

57

PEKİSTİRELİM

1. Aşağıdaki kareköklü sayıların eşitini yazalım.

2. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.

a ó0,81 = a ó0,25 + ó0,04 – ó0,09 b 0 49 0 25 0 16 0 09 , , , , − − ç 0 16 0 09 0 36 , , , . e 0 36 0 81 0 09 1 44 , , , , : : c 1 9 16 + d _{0 64}, + _{0 81}, − _{0 0009}, d ó1,44 = c ó0,04 = f 0 0009, = b ó0,36 = ç ó0,49 = e ó2,56 = g 0 0016, = 81 100 9 10 0 9 = = , 4 100 2 10 0 2 = = , 144 100 12 10 1 2 = = , 9 10000 3 100 0 03 = = , 36 100 6 10 0 6 = = , 49 100 7 10 0 7 = = , 256 100 16 10 1 6 = = , 16 10000 4 100 0 04 = = , = + − = + − = = 25 100 4 100 9 100 5 10 2 10 3 10 4 10 0 4, = + = + = = 1 1 9 16 16 16 9 16 25 16 5 4 = + − = + − = + − = 64 100 81 100 9 10000 8 10 10 9 10 10 3 100 80 100 90 100 3 100 ( ) ( ) 1167 100 =1 67, = − − = − − = = = 49 100 25 100 16 100 9 100 7 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 2 10 10 1 2 . = = = = = = 16 100 9 100 36 100 4 10 3 10 6 10 12 100 6 10 12 100 10 6 2 10 0 2 . . . 1 , 1 2 10 = = = = 36 100 81 100 9 100 144 100 6 10 9 10 3 10 12 10 6 10 10 9 3 10 10 12 6 9 : : : : . . 33 12 6 9 12 3 8 3 = . = 1 2 3 4 (16)

(58)

58

CÖZÜM

Aşağıdakilerden hangisi, kenar uzunluğu tam sayı olmayan bir karenin alanını gösterir?

A) 16 B) 25 C) 32 D) 49

ò75 + ò48 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa bir tam sayı elde edilir?

A) ò10 B) ñ5 C) ñ3 D) ñ2

ÇIKMIŞ SORU

A) 16 → 16 = 42 → ò16 = 4 kenar uzunluğu tam sayıdır. B) 25 → 25 = 52 → ò25 = 5 kenar uzunluğu tam sayıdır. C) 32 → 32 bir tam sayının karesi değildir.

D) 49 → 49 = 72 → ò49 = 7 kenar uzunluğu tam sayıdır.

Cevap : C

ò

_{75 +}

ò

_{48 = ó3.25 + ó3.16 = 5ñ3 + 4ñ3 = 9ñ3 sonucun bir tam sayı olması için köklü}

ifadeden kurtulmak gerekir.

9ñ3 . ñ3 = 9 . 3 = 27 bir tam sayıdır. “ñ3” ile çarpılmalıdır.

(59)

59

CÖZÜM

ó0,25 + ó1,96 işleminin sonucu kaçtır?

A) 2,21 B) 1,90 C) 1,45 D) 0,64 l. ò13 ll. ò1,6 lll. 4 9 lV. ó1,21

Yukarıda verilen sayılardan hangileri rasyonel sayılardır? A) l ve ll B) ll ve lll C) ll ve lV D) lll ve lV

ÇIKMIŞ SORU

0 25 1 96 25 100 196 100 5 10 14 10 19 10 1 9 , + , = + = + = = , bulunur. Cevap : B ò13 → irrasyonel sayıdır. 1 6 16 10 4 10 , = = → irrasyonel sayıdır. 4 9 2 3 = → rasyonel sayıdır. 1 21 121 100 11 10 11 , = = = → rasyonel sayıdır. , lll ve lV rasyonel sayılardır. Cevap : D

(60)

60

1.

Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir?

A) ó121 B) ó164 C) ó196 D) ó225

2.

l. –ò36 = –6 ll. −

( )

5 2 = –5 lll. ò49 = 7 lV. ó1000 = 100

Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

3.

225 parça 120 parça 625 parça 256 parça Efe Derin Ceren Can

Yukarıda dört arkadaş ve bu arkadaşların yapbozlarının parça sayısı görülmektedir.

4.

ò54 sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine di-ğerlerinden daha yakındır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

5.

l. ó108 = 9ñ2 ll. ò20 = 2ñ5 lll. ò32 = 4ñ2 lV. ó128 = 2ñ8

Yukarıda verilen eşitliklerden hangileri yan-lıştır?

A) ll ve lll B) l ve ll C) lll ve lV D) l ve lV

6.

–ò12 sayısı hangi iki tam sayı arasındadır?

A) –4 ile –3 B) –5 ile –4 C) –3 ile –2 D) –6 ile –5

7.

ò50 + ò32 – ò18

(61)

61

8.

2ñ5 m

Suat Beyin dikdörtgen şeklinde bir hobi bahçesi vardır.

Bu bahçenin kısa kenarı 2ñ5 m ve çevresi ó720 m olduğuna göre uzun kenarı kaç met-redir?

A) 8ñ5 B) 6ñ5

C) 4ñ5 D) 2ñ5

9.

ó121 – ò81 + ñ1 işleminin sonucu kaçtır?

A) 21 B) 11 C) 9 D) 3

10.

2ò27 – ò75 + 5ò12 işleminin sonucu kaçtır?

A) 3ñ3 B) 6ñ3 C) 9ñ3 D) 11ñ3

11.

2ò10 . 3ò15

A) 6ò30 B) ó150 C) 30ñ6 D) 150ñ6

12.

ó675 km uzunluğundaki bir yolda her ñ3 km’lik mesafede bir sokak lambası bulunmak-tadır.

Buna göre, bu yolda kaç tane sokak lambası vardır?

A) 15 B) 12 C) 9 D) 6

13.

0 09, + 0 0025,

A) 0,35 B) 0,08 C) 3,5 D) 0,8

14.

27 48 3 12 27 48 + − + +

işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 1

2 C) 23 D) 49

15.

2 25, +

(

0 16, : 0 04,

)

A) 6,5 B) 5,5 C) 4,5 D) 3,5