PE
ERBANDI
METO
D
ININGAN H
DE K-ME
DAN TWO
LATHIF SEKOLAH NSTITUT PHASIL PEN
EANS, FUZ
O STEP CL
FATURRAH H PASCA S PERTANIA BOGOR 2010NGGERO
ZZY K-ME
CLUSTER
HMAH ARJANA AN BOGOROMBOLAN
EANS,
RN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode k-means, Fuzzy k-means, dan Two Step Cluster”
adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2010
Lathifaturrahmah
LATHIFATURRAHMAH. Comparison of k-means, fuzzy k-means, and two step
clustering methods. Under supervision of BUDI SUHARJO and I GUSTI PUTU PURNABA.
The main principle of cluster analysis is to classify objects into clusters based on similarity measures. K-means and fuzzy k-means can be classified as popular clustering methods, which are suitable for large data with continuous variables. However, a new method has been developed to be used for large data, that is the two step cluster method. This method allows processing data with different types of variables, which in this case are continuous and categorical. The aim of this research is to compare the clustering results of k-means, fuzzy k -means, and two step cluster method, in order to determine the ideal number of clusters for each method. This research uses hypotetical data taken from SPSS software, which fit the purpose to compare several methods. The results of this study show that in the case of two clusters, k-means and fuzzy k-means methods have more similarities with respect to the number objects in clusters, whereas the two step method gives unequal number of objects in clusters. All methods show that 2 clusters is an ideal number. It is influenced by the ratio between mean squares within clusters, which is smaller than the ratio in the case of 3 and 4 clusters.
LATHIFATURRAHMAH. Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode k-means, Fuzzy k-means, dan Two step cluster. Dibimbing oleh BUDI SUHARJO dan I GUSTI PUTU PURNABA.
Masalah penggerombolan seringkali ditemui di kehidupan sehari-hari, baik itu terkait dengan bidang sosial, bidang kesehatan, bidang marketing maupun bidang akademik. Analisis gerombol adalah salah satu analisis peubah ganda yang digunakan untuk mengelompokkan objek-objek menjadi beberapa gerombol berdasarkan kemiripan peubah-peubah yang diamati, sehingga diperoleh kemiripan objek dalam gerombol yang sama dibandingkan antar objek dari gerombol yang berbeda.
Salah satu metode analisis gerombol adalah metode tak berhierarki (non hierarchical clustering methods). Contoh dari metode tak berhierarki yang sering digunakan adalah k-means dan fuzzy k-means, kedua metode ini cocok digunakan untuk data berukuran besar dan memiliki tipe peubah kontinu. Namun dewasa ini telah dikembangkan suatu metode untuk jenis data yang berukuran besar, yaitu metode two step cluster. Metode ini dikembangkan oleh Chiu et al. (2001) yang memungkinkan untuk mengolah data yang memiliki tipe peubah berbeda, yaitu kontinu dan kategorik.
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan hasil penggerombolan metode k-means, fuzzy k-means, dan two step cluster, sehingga dapat menentukan jumlah cluster yang ideal untuk masing-masing metode pada data Afifi.
Penelitian ini menggunakan data Afifi. Dari data yang sama ingin dibandingkan hasil penggerombolan dengan metode k-means, metode fuzzy k-means, dan metode two step cluster yang akan memberikan penggerombolan yang terbaik, yaitu yang mempunyai variansi di dalam yang lebih homogen dan variansi antar gerombol yang lebih heterogen.
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini yaitu melakukan standarisasi data, menggerombolkan data dengan mencobakan berbagai nilai k
untuk metode k-means, fuzzy k-means, dan two step cluster, membandingkan hasil penggerombolan yang terbentuk. Hal yang dibandingkan meliputi distribusi jumlah gerombol, jumlah anggota identik, misclustering, variansi gerombol (variansi within cluster dan variansi between cluster), dan menyimpulkan cluster ideal pada masing-masing metode.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk masing-masing metode jika semakin bertambahnya jumlah gerombol maka keragaman dalam gerombolnya (variance within cluster) semakin menurun, sebaliknya keragaman antar kelompoknya (variance between cluster) semakin meningkat. Pada masing-masing penggerombolan dengan jumlah 2, 3 dan 4 gerombol, dengan metode k-means, fuzzyk-means, dan two step cluster hasil perbandingan keragaman dalam gerombol dengan keragaman antar gerombol menunjukkan bahwa, pada penggerombolan dengan 2 gerombol memiliki nilai yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan 3 atau 4 gerombol. Ini berarti bahwa gerombol yang ideal adalah penggerombolan dengan 2 gerombol.
dengan kedua metode lainnya.
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2010 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya Tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
DAN TWO STEP CLUSTER
LATHIFATURRAHMAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2010
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.
NIM : G551070081
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Suharjo, MS Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Progam Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karuniaNya tugas akhir yang berjudul “Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode k-means, Fuzzy k-means, dan Two Step Cluster” ini bisa terselesaikan sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Terimakasih yang mendalam penulis sampaikan kepada Bapa dan Mama atas segala doa dan kasih sayangnya. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Ir. Budi Suharjo, MS dan Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing yang telah membantu dan mengarahkan penulis selama penyusunan tugas akhir ini, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, selaku dosen penguji. Ucapan terima kasih juga juga penulis sampaikan kepada adik, kakak, sahabat dan teman-teman yang tidak dapat dituliskan namanya satu persatu atas segala do’a, dukungan, serta kasih sayangnya. Juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini, penulis berdo’a semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan.
Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih begitu banyak kekurangan. Dengan segala keterbatasan yang ada, semoga tugas akhir ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2010
Penulis dilahirkan di Karang Intan, Martapura pada tanggal 13 Maret 1984 dari ayah H. Husni Thamrin dan Hj. Jauhar Maknun. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.
Tahun 2002 penulis lulus dari MAN 2 Martapura Kalimantan Selatan. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan di Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Program studi Matematika melalui jalur PMDK. Pada tahun 2007 penulis diterima masuk di Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur reguler.
Halaman DAFTAR TABEL ... DAFTAR GAMBAR ... DAFTAR LAMPIRAN... 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1.2 Tujuan Penelitian ... 1.3 Manfaat Penelitian ... 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1Skala Pengukuran Data ... 2.2Sebaran Objek ……... 2.3Analasis Gerombol... 2.4 Ukuran Jarak ... 2.5 K-means Clustering... 2.6 Fuzzy k-means Clustering ... 2.7 Two Step Clustering... 2.8 Variansi Gerombol…………... 3 METODE PENELITIAN
3.1 Bahan Penelitian... 3.2 Alur Penelitian …... 3.3 Langkah-Langkah Penelitian... 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi Data... 4.2 Penggerombolan dengan 2 Gerombol ……….. 4.3 Penggerombolan dengan 3 Gerombol ……….. 4.4 Penggerombolan dengan 4 Gerombol ……….. 5 SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan ... 5.2 Saran ... DAFTAR PUSTAKA ... LAMPIRAN ... ix xi xii 1 2 3 4 6 8 9 12 14 15 18 21 22 23 25 32 35 39 45 45 46 47
Halaman
1 Daftar peubah data Afifi………. 21
2 Deskripsi data Afifi………...
26
3 Anggota Analisis Komponen Utama 1 dan 2...
27
4
Akar ciri, proporsi keragaman, dan keragaman kumulatif ………
27
5
Distribusi anggota 2 gerombol …………...………
32
6 Persentasi
misclustering
2 gerombol hasil antara
k-means
dengan
fuzzy k-means ………..………
33
7 Persentasi
misclustering
2 gerombol hasil antara
k-means
dengan
two step cluster
……….
33
8 Persentasi
misclustering
2 gerombol hasil antara
fuzzy k-means
dengan
two step cluster
………
33
9 Distribusi anggota 3 gerombol ……….
35
10 Persentasi
misclustering
3 gerombol hasil antara
k-means
dengan
fuzzy k-means
………
36
11 Persentasi
misclustering
3 gerombol hasil antara
k-means
dengan
two step cluster
……….
36
12 Persentasi
misclustering
2 gerombol hasil antara
fuzzy k-means
dengan
two step cluster
………
36
13 Distribusi anggota 4 gerombol ……….
39
14 Persentasi
misclustering
4 gerombol hasil antara
k-means
dengan
fuzzy k-means
………
40
15 Persentasi
misclustering
4 gerombol hasil antara
k-means
dengan
two step cluster
……….
40
16 Persentasi
misclustering
4 gerombol hasil antara
fuzzy k-means
dengan
two step cluster
………
40
20 Rata-rata jumlah kuadrat 2 gerombol……… 44
21 Rata-rata jumlah kuadrat 3 gerombol……… 44
22 Rata-rata jumlah kuadrat 4 gerombol……… 44
Halaman
1 Contoh
CF Tree
……….
16
2
Gambar alur rencana penelitian ...
21
3
Boxplot data Afifi ………….….…………...
25
4
Boxplot data Afifi standarisasi ……….…
26
5
Plot dua komponen utama pada data Afifi ………
28
6 Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode
k-means ………….
34
7 Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode
fuzzy
k-means …...
34
8 Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode
two step cluster….
35
9 Plot dua komponen utama 3 gerombol pada metode
k-means …………..
37
10 Plot dua komponen utama 3 gerombol pada metode
fuzzy
k-means …...
38
11 Plot dua komponen utama 3 gerombol pada metode
two step cluster….
38
12 Plot dua komponen utama 4 gerombol pada metode
k-means …………..
41
13 Plot dua komponen utama 4 gerombol pada metode
fuzzy
k-means …...
42
14 Plot dua komponen utama 4 gerombol pada metode
two step cluster….
42
15 Keragaman
gerombol
(
Variance cluster
) ………..
43
Halaman
1 Anggota yang identik penggerombolan dengan 2 gerombol
...
46
2
Anggota yang identik penggerombolan dengan 3 gerombol
...
47
3
Anggota yang identik penggerombolan dengan 4 gerombol
...
48
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Masalah penggerombolan seringkali ditemui di kehidupan sehari-hari, baik itu terkait dengan bidang sosial, bidang kesehatan, bidang marketing maupun bidang akademik. Mendeskripsikan dan memaparkan keunikan proses atau hasil pengelompokan merupakan hal yang menarik dan dapat memberikan ide-ide tertentu. Misalnya saja dalam membuat segmentasi pemasaran, dengan analisis gerombol dapat dikelompokkan pelanggan atau pembeli berdasarkan manfaat atau keuntungan yang diperoleh dari pembelian barang. Hasil dari penggerombolan ini selanjutnya dapat digunakan dalam pengambilan keputusan untuk strategi pemasaran selanjutnya. Namun jika pengelompokan ini tidak sesuai atau tidak representatif dengan apa yang diharapkan, apalagi menyangkut pengambilan keputusan yang cukup penting akibatnya akan cukup fatal. Oleh karena itu, perlu dilakukan review pada proses penggerombolan.
Analisis gerombol adalah salah satu analisis peubah ganda yang digunakan untuk mengelompokkan objek-objek menjadi beberapa gerombol berdasarkan pengukuran kemiripan peubah-peubah yang diamati, sehingga diperoleh kemiripan objek dalam gerombol yang sama dibandingkan antar objek dari gerombol yang berbeda.
Manfaat penggerombolan antara lain adalah untuk eksplorasi data, reduksi data, dan pelapisan data. Dengan eksplorasi data dapat diperoleh informasi yang ada dalam himpunan data, dengan reduksi data dimungkinkan mengambil suatu ringkasan gerombol yang dapat mewakili seluruh anggota tersebut. Penggerombolan dapat digunakan sebagai pelapisan data dalam penarikan contoh atau penggolongan tipe objek.
Dalam penggerombolan objek, untuk menggabungkan dua atau lebih objek menjadi suatu gerombol, biasanya digunakan suatu ukuran kemiripan atau ketidakmiripan. Semakin mirip dua objek semakin tinggi peluang untuk dikelompokkan dalam suatu gerombol. Sebaliknya semakin tidak mirip semakin rendah pula peluang untuk dikelompokkan dalam satu gerombol.
Pada umumnya metode pada analisis gerombol dibedakan menjadi metode berhierarki (hierarchical clustering methods) dan metode tak berhierarki (non hierarchical clustering methods). Metode berhierarki digunakan bila jumlah gerombol yang diinginkan tidak diketahui, sedangkan metode tak berhierarki digunakan bila jumlah kelompok yang diinginkan telah ditentukan sebelumnya. Contoh dari metode tak berhierarki yang sering digunakan adalah k-means dan
fuzzy k-means dan kedua metode ini cocok digunakan untuk data berukuran besar yang memiliki tipe peubah kontinu. Namun dewasa ini telah dikembangkan suatu metode untuk jenis data yang berukuran besar, yaitu metode two step cluster. Metode ini dikembangkan oleh Chiu et al. (2001) yang memungkinkan untuk mengolah data yang memiliki tipe peubah berbeda, yaitu kontinu dan kategorik.
Ketiga metode ini memiliki kelebihan maupun kelemahan. Menurut Serban dan Grigoreta (2006) dalam penelitiannya metode fuzzy k-means lebih baik dari pada k-means pada aspek mining. Kelebihan dari metode k-means adalahmampu mengelompokkan data besar dengan sangat cepat, sedangkan kekurangan dari metode k-means adalah banyaknya gerombol harus ditentukan sebelumnya (Teknomo 2007). Adapun kelebihan dari fuzzy k-means adalah mampu menempatkan suatu data yang terletak diantara dua atau lebih gerombolyang lain pada suatu gerombol, dan menurut Kusumadewi et al. (2006) kelemahannya adalah pada partisi fuzzy masih belum dapat membedakan apakah suatu data merupakan anggota beberapa gerombol atau merupakan data pencilan. Menurut Kusdiati (2006) dalam penelitiannya menyatakan bahwa persentasi salah klasifikasi dari metode two step cluster tidak berbeda nyata dengan yang dihasilkan dari metode k-means, jika peubahnya kontinu.
Pada penelitian ini digunakan data Afifi yang diambil dari software SPSS. Dari data yang sama ingin dibandingkan hasil penggerombolan dengan metode k-means, metode fuzzy k-means, dan metode two step cluster yang akan memberikan penggerombolan yang terbaik, yaitu yang mempunyai variansi di dalam yang lebih homogen dan variansi antar gerombol yang lebih heterogen.
1.2Tujuan Penelitian
1 Membandingkan hasil penggerombolan metode k-means, fuzzy k-means, dan
two step cluster pada data Afifi.
2 Menentukan jumlah cluster yang ideal untuk masing-masing metode tersebut pada data Afifi.
1.3Manfaat Penelitian
1 Diharapkan dapat membantu peneliti dalam menentukan metode terbaik dari ketiga metode tersebut pada penggerombolan suatu data.
2 Dapat memberikan tambahan informasi bagi peneliti berikutnya yang mengambil topik yang sama.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Skala Pengukuran Objek
Skala pengukuran objek sangat penting dalam analisis statistika. Pengukuran yang diberikan sebagai pemberian angka-angka terhadap benda-benda atau peristiwa-peristiwa diatur menurut kaidah-kaidah tertentu, dan menunjukkan bahwa kaidah-kaidah yang berbeda menghendaki skala-skala serta pengukuran-pengukuran yang berbeda pula. Skala pengukuran ini dibagi menjadi empat macam, yaitu skala nominal, skala ordinal, skala interval dan skala rasio.
1 Skala Nominal
Skala nominal merupakan skala yang paling lemah/rendah di antara keempat skala pengukuran. Skala nominal ini disebut juga sebagai skala
kategorik. Skala nominal merupakanskala pengukuran yang bersifat membedakan
benda atau peristiwa yang satu dengan yang lainnya berdasarkan nama (predikat). Contoh skala pengukuran nominal adalah klasifikasi barang yang dihasilkan pada suatu proses produksi dengan predikat cacat atau tidak cacat, maka nomor 1 untuk menyebut kelompok barang yang cacat dari suatu proses produksi dan nomor 0 untuk menyebut kelompok barang yang tidak cacat dari suatu proses
produksi. Contoh lain, bayi yang baru lahir bisa laki-laki atau perempuan maka
dengan objek ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untuk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas). Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau karakteristik yang diteliti.
2 Skala Ordinal
Skala ordinal ini lebih tinggi daripada skala nominal. Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan. Pada skala ini sudah dapat membedakan benda atau peristiwa yang satu dengan yang lain, diukur dengan skala ordinal berdasarkan jumlah relatif beberapa karakteristik tertentu pada masing-masing benda atau peristiwa. Pengukuran ordinal memungkinkan segala sesuatu disusun menurut peringkatnya masing-masing. Contoh jika seseorang
diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk, maka boleh ditetapkan nomor 1 untuk produk yang ciri tertentunya tidak puas, nomor 2 untuk produk yang ciri tertentunya puas, dan nomor 3 produk yang ciri tertentunya sangat puas.
3 Skala Interval
Skala interval ini lebih tinggi daripada skala ordinal. Apabila benda-benda atau peristiwa-peristiwa yang diselidiki dapat dibedakan antara yang satu dan lainnya kemudian diurutkan, dan jika perbedaan antara peringkat yang satu dan lainnya mempunyai arti (yakni, bila satuan pengukurannya tetap), maka skala interval dapat diterapkan. Skala interval tidak memiliki nol mutlak. Artinya memiliki sebuah titik nol, tetapi titik nol ini bisa dipilih secara sembarang, artinya bahwa titik nol tidak selalu bernilai nol. Contoh, pengukuran interval pada pengukuran temperatur dalam derajat Fahrenheit titik nolnya pada 32, sedangkan dalam derajat Celcius titik nolnya pada 0. Dengan demikian, jarak yang sama antara anggota masing-masing pasangan nilai itu menunjukkan beda yang sama dalam hal kadar ciri atau sifat yang diukur. Namun, skala interval tidak
menjadikan perbandingan/rasio antara dua buah nilai. Contoh, suhu 80 0F tidak
dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 400 F, karena diketahui bahwa suhu
80 0F sama artinya dengan suhu 26.7 0C, sedangkan suhu 40 0F sama dengan suhu
4.4 0 C.
4 Skala Rasio
Skala rasio ini lebih tinggi daripada skala interval. Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak. Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian. Pada skala rasio, antara masing-masing pengukuran sudah mempunyai nilai perbandingan/rasio. Pengukuran dengan skala rasio yang sudah sering digunakan, adalah pengukuran tinggi dan pengukuran berat. Dapat dikatakan bahwa seseorang yang beratnya 90 kg memiliki kelebihan berat 45 kg dibanding yang beratnya 45 kg, sebagaimana yang digunakan pada skala interval. Dengan skala
rasio, dapat dikatakan bahwa orang yang beratnya 90 kg mempunyai berat dua kali lipat daripada orang yang beratnya 45 kg.
2.2 Sebaran Objek
Ada dua macam sebaran objek, yaitu:
1 Sebaran Diskrit
Apabila peubah yang diukur hanya mengambil nilai-nilai tertentu, seperti bilangan bulat 0, 1, 2, 3, 4, … distribusi sebarannya disebut sebaran diskrit. Beberapa contoh sebaran diskrit antara lain:
a. Sebaran Binomial
Dalam percobaan binomial percobaan dilakukan secara berulang sebanyak n
kali, dan masing-masing mempunyai dua kemungkinan, contohnya berhasil atau gagal. Asumsi yang digunakan dalam sebaran ini adalah:
i) Percobaan dilakukan n kali.
ii) Masing-masing percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin.
iii) Masing-masing percobaan independent dari percobaan-percobaan sebelumnya.
iv) p adalahprobabilitas memperoleh keberhasilan pada satu percobaan manapun
dan q = 1- p adalah probabilitas mendapat kegagalan pada satu percobaan.
Sebaran probabilitas binomial didefinisikan sebagai berikut:
; ; , untuk x = 0, 1, 2, …, n
b. Sebaran Poisson
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter
, 0, memiliki fungsi masa peluang yang didefinisikan sebagai berikut:
;
! , untuk x = 0, 1, 2, … dengan:
= rata-rata kejadian dalam selang waktu tertentu
e = basis logaritma natural (≈2,7182882)
Contoh kejadian Poisson adalah banyaknya libur sekolah karena terjadi banjir selama musim hujan, banyaknya pertandingan sepak bola yang dibatalkan akibat hujan dalam musim pertandingan tertentu.
2 Sebaran Kontinu
Apabila peubah yang diukur dinyatakan dalam skala kontinu, sebaran probabilitasnya dinamakan sebaran kontinu. Nilai sebaran kontinu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva. Beberapa contoh sebaran kontinu antara lain:
a. Sebaran Normal
Sebaran normal adalah sebaran probabilitas kontinu yang bentuk visualnya bersifat simetrik, mempunyai kurva berbentuk lonceng. Sebaran normal sepenuhnya digambarkan hanya dengan dua parameter, yaitu mean atau nilai
harapan dan standar deviasi . Masing-masing nilai unik dari mean dan
standar deviasi menghasilkan kurva normal yang berbeda. Bila X adalah suatu
peubah acak normal dengan nilai tengan dan ragam , maka persamaan kurva
normalnya adalah
; ,
√ , untuk ∞ ∞,
sedangkan dalam hal ini 3.14159… dan e = 2.71828…
b. Sebaran Eksponensial
Biasanya merupakan suatu distribusi pelayanan kustomer pada suatu sistem yang terjadi dalam interval yang konstan. Contohnya panjang waktu antara objek
dengan pelanggan ketika keluar dari supermarket, atau antar breakdown dari suatu
mesin. Sebaran probabilitasnya adalah
, , 0.
c. Sebaran Seragam (Uniform)
Sebaran seragam adalah sebaran yang sering digunakan dalam membangkitkan sebaran lainnya dengan transformasi tertentu hasil bangkitan
sebaran seragam akan membentuk sebaran lainnya. Jika suatu peubah acak X,
dengan nilai x1,x2,…,xk memiliki peluang yang sama, maka sebaran seragamnya
diberikan oleh
d. Sebaran Gamma
Merupakan sebaran yang mempunyai peranan yang penting dalam teori
antrian dan teori reabilitas. Peubah acak X berdistribusi gamma, dengan
parameter dan maka
, , , untuk 0, 0, 0
dengan
e.Sebaran Multinomial
Jika ada n percobaan dimana masing-masing percobaan dapat mempunyai k
hasil yang terjadi dengan kemungkinan p1,...,pk peubah acak X1,….,Xk
menghitung banyaknya kejadian dari tiap hasil maka dikatakan mempunyai distribusi multinomial. Fungsi probabilitasnya adalah:
, , … , !… !! ) … )
2.3 Analisis Gerombol
Analisis gerombol adalah analisis statistik peubah ganda yang digunakan
terhadap n buah individu atau objek yang mempunyai p peubah, akan
dikelompokan ke dalam k kelompok. Objek yang terletak dalam satu gerombol
memiliki kemiripan sifat yang lebih besar dibandingkan dengan individu yang terletak dalam gerombol lain (Dillon & Goldstein 1984).
Konsep dasar pengelompokan dua atau lebih objek ke dalam satu gerombol adalah menggunakan ukuran kemiripan atau ketidakmiripan. Semakin tinggi sifat kemiripan yang dimiliki suatu objek maka semakin besar pula peluang objek tersebut untuk masuk dalam suatu gerombol tertentu.
Tujuan utama dari analisis gerombol adalah mengelompokkan objek-objek seperti produk (barang dan jasa), benda (tumbuhan atau lainnya) dan orang (responden, konsumen, atau lainnya) ke dalam kelompok-kelompok yang relatif homogen. Analisis gerombol meneliti seluruh hubungan interdependensi dimana
and dependent variables). Analisis gerombol juga disebut analisis klasifikasi atau
taxonomi numerik (numerical taxonomi).
Menurut Anderberg (1973) terdapat dua metode dalam analisis gerombol
yaitu: metode berhierarki (hierarchical clustering methods) dan metode tak
berhierarki (non hierarchical clustering methods). Metode berhierarki digunakan
apabila belum ada informasi jumlah kelompok yang akan dipilih. Sedangkan
metode tak berhierarki bertujuan untuk mengelompokkan n objek ke dalam k
kelompok (k<n) dimana nilai k telah ditentukan sebelumnya. Pada dasarnya,
terdapat dua teknik penggerombolan pada metode berhierarki, yaitu teknik
penggabungan (agglomerative) dan teknik pembagian (divisive), sedangkan
metode tak berhierarki antara lain dengan teknik penyekatan (partitioning) dan
penggunaan grafik.
Gerombol yang baik adalah gerombol yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
1 Kesamaan di dalam kelas (Intraclass similarity) yang tinggi antar anggotanya
dalam satu gerombol (within-cluster).
2 Kesamaan antar kelas (Interclass similarity) yang rendah antar satu gerombol
dengan gerombol lainnya (between cluster).
2.4 Ukuran Jarak
Menurut Andenberg (1973) ukuran jarak dibutuhkan untuk setiap pasang
objek yang akan dikelompokkan. Beberapa metode pengukuran jarak antar dua objek, yaitu:
1 Jarak Euclidean
Jarak ini merupakan jarak yang umum digunakan, dan dapat digunakan apabila semua peubahnya berskala kontinu. Jarak ini harus memenuhi asumsi bahwa peubah-peubah yang diamati tidak berkorelasi dan antar peubah memiliki satuan yang sama. Dalam metode ini, pengukuran jarak dilakukan dengan menghitung akar kuadrat dari penjumlahan kuadrat selisih dari nilai
masing-masing peubah. Jarak Euclid dapat dirumuskan sebagai berikut:
dengan:
: jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k
:banyaknya peubah yang diamati
2 Jarak Manhattan (City Block/Minkowski)
Jarak ini merupakan bentuk umum dari jarak Euclidean. Jarak Manhattan
digunakan jika peubah yang diamati berkorelasi atau tidak saling bebas. Dalam
metode ini, pengukuran jarak dilakukan dengan menghitung jumlah absolut
perbedaan untuk masing-masing peubah. Jarak Manhattan dapat dirumuskan
sebagai berikut:
| | 2.2
dengan:
: jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k
: banyaknya peubah yang diamati
3 Jarak Chebysev
Jarak Chebysev dilakukan dengan menghitung jumlah nilai maksimum
absolut perbedaan untuk beberapa peubah. Jarak Chebysev dapat dirumuskan
sebagai berikut:
Max | | (2.3) dengan:
: jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k
4 Jarak Mahalonobis
Jarak ini sangat berguna dalam menghilangkan atau mengurangi perbedaan
skala pada masing-masing komponen. Jarak Mahalonobis dapat dirumuskan
sebagai berikut:
′ .4)
dengan:
: jarak antara objek i dengan objek k
: nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k S : matriks kovarian
5 Jarak Log-likelihood
Jarak ini digunakan untuk peubah berskala kontinu dan kategorik. Jarak
antara gerombol j dengan gerombol s dapat dirumuskan sebagai berikut:
, , (2.5) dengan: 1 2log log 1 2log log 1 2log log dengan:
N : jumlah total observasi
Nj : jumlah observasi di dalam gerombol j
Njkl : jumlah objek di gerombol j untuk peubah kategorik ke k dengan
kategori ke l
: ragam dugaan untuk peubah kontinu ke k untuk keseluruhan
observasi
: ragam dugaan untuk peubah kontinu ke k untuk keseluruhan
observasi dalam gerombol j
KA :jumlah total peubah kontinu
KB :jumlah total peubah kategorik
2.5 k-means Clustering
Metode k-means pertama kali diperkenalkan oleh MacQueen JB pada tahun
1976. Metode ini adalah salah satu metode non hierarchi yang umum digunakan.
Metode ini termasuk dalam teknik penyekatan (partition) yang membagi atau
memisahkan objek ke k daerah bagian yang terpisah. Pada k-means, setiap objek
harus masuk dalam gerombol tertentu, tetapi dalam satu tahapan proses tertentu, objek yang sudah masuk dalam satu gerombol, pada satu tahapan berikutnya objek akan berpindah ke gerombol lain.
Pada dasarnya penggunaan algoritma dalam melakukan proses clustering
tergantung dari objek yang ada dan konklusi yang ingin dicapai. Ada beberapa metode penggerombolan yang umum digunakan, antara lain adalah:
1 Metode berhierarchi
2 Metode tak berhierarchi
Untuk itu digunakan algoritma k-means yang di dalamnya memuat aturan
sebagai berikut:
1 Jumlah cluster yang diinginkan.
2 Hanya memiliki atribut bertipe numerik.
Metode k-means berawal dari penentuan jumlah gerombol yang ingin
dibentuk, kemudian menentukan objek sebagai centroid awal yang biasanya
dilakukan secara random, selanjutnya menghitung ukuran jarak dari
masing-masing objek ke centroid. Setelah objek masuk pada centroid terdekat dan
membentuk gerombol baru, centroid baru ditentukan kembali dengan menghitung
rata-rata objek pada centroid yang sama. Jika masih ada perbedaan dengan
centroid yang sudah dibentuk, maka dilakukan perhitungan kembali centroid
baru.
Hasil cluster dengan dengan metode k-means sangat bergantung pada nilai
pusat gerombol awal yang diberikan. Pemberian nilai awal yang berbeda bisa menghasilkan gerombol yang berbeda. Ada beberapa cara memberi nilai awal misalnya dengan mengambil sampel awal dari objek, lalu mencari nilai pusatnya, memberi nilai awal secara random, menentukan nilai awalnya atau menggunakan hasil dari gerombol hierarki dengan jumlah gerombol yang sesuai (Santosa 2007).
Dalam k-means objek dikelompokkan secara tegas ke gerombol yang
mempunyai centroid terdekat, suatu dapat di tentukan termasuk anggota
dan bukan anggota dari suatu kelas dapat didefinisikan sebagai fungsi karakteristik yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
µ 0,1 ; 1 ; 1 2.6
1
; 1 2.7
Tujuan dari algoritma k-means adalah meminimumkan jarak antara objek
dengan centroid yang terdekat, yaitu dengan meminimumkan fungsi objektif J
yang dirumuskan sebagai fungsi dari U dan V sebagai berikut:
, , 2.8
dengan:
U : matriks keanggotaan objek ke masing-masing gerombol
V : matriks centroid / rata masing-masing gerombol
: fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i xk : objek ke-k
i
v : nilai centroid gerombol ke-i d : ukuran jarak
Kelebihan metode k-means diantaranya adalah mampu mengelompokan
objek besar dan pencilan objek dengan sangat cepat sehingga mempercepat proses
pengelompokan. Adapun kekurangan yang dimiliki oleh k-means diantaranya:
1 Sangat sensitif pada pembangkitan titik pusat awal secara random.
2 Memungkinkan suatu gerombol tidak mempunyai anggota.
3 Hasil pengelompokan bersifat tidak unik (selalu berubah-ubah) terkadang
bagus terkadang tidak.
4 Sangat sulit mencapai global optimum.
Selain itu kekurangan k-means adalah:
1 Menentukan banyaknya jumlah gerombol sebelum kita mengetahui jumlah
gerombol yang optimal.
2 Semua objek harus masuk kedalam satu cluster, dan sangat bergantung pada
2.6 Fuzzy k-means Clustering
Metode fuzzy k-means pertama kali diperkenalkan oleh Jim Bezdek pada
tahun 1981. Fuzzy k-means adalah suatu teknik pengelompokanobjek yang mana
keberadaan tiap-tiap objek dalam suatu cluster ditentukan oleh nilai keanggotaan.
(Kusumadewi et al. 2006).
Berbeda dengan k-means clustering, dimana suatu objek hanya akan menjadi
anggota satu cluster, dalam fuzzy k-means setiap objek bisa menjadi anggota dari
beberapa cluster, sesuai dengan namanya fuzzy yang berarti samar. Batas-batas
dalam k-means adalah tegas (hard) sedangkan dalam fuzzy k-means adalah soft
(Agusta 2007).
Konsep dasar fuzzy k-means pertama kali adalah menentukan pusat cluster
pada kondisi awal, pusat cluster ini masih belum akurat dan tiap objek memiliki
derajat keanggotaan untuk tiap-tiap cluster dengan cara memperbaiki pusat cluster
dan nilai keanggotaan tiap objek secara berulang maka akan dapat dilihat bahwa
pusat cluster akan bergerak menuju lokasi yang tepat.
Ketika gerombol-gerombol menjadi overlapping atau setiap objek
memungkinkan termasuk ke beberapa gerombol, maka dapat diinterpretasikan
sebagai fungsi keanggotaan yaitu 0,1 . Maka fungsi objektif J yang
dirumuskan sebagai fungsi dari U dan V sebagai berikut:
, , 2.9
dengan:
U : matriks keanggotaan objek ke masing-masing gerombol
V : matriks centroid / rata-rata masing-masing gerombol
m : pembobot eksponen
μ
ik : fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-ixk : objek ke-k
vi : nilai centroid ke-i
d : ukuran jarak
Pada metode fuzzy k-means diperkenalkan suatu peubah m yang merupakan
fungsi pembobot (weighting exponent) dari membership function. Peubah m ini
disebut juga indeks fuzzy dan mempunyai nilai [1,4). Menurut penelitian yang
Untuk menghitung centroid (titik pusat)gerombol V, untuk setiap gerombol
digunakan rumus sebagai berikut:
∑
∑
= = = N k m ik N k kj m ik ij x v 1 1 ) ( ) ( μ μ dengan: m : pembobot eksponen: fungsi keanggotaanobjek ke-k ke gerombol ke-i
xkj : objek ke-k gerombol ke-j
Sedangkan untuk menghitung fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i
digunakan rumus sebagai berikut:
1 | |
∑
= c j1 1 dengan:: fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i
xk : objek ke-k
vi : nilai centroid cluster ke-i vj : rata-rata centroid cluster ke-j
m : pembobot eksponen
2.7 Two Step Clustering
Metode two step cluster adalah metode yang didesain untuk menangani
jumlah objek yang besar, terutama pada masalah objek yang mempunyai peubah
kontinu dan kategorik. Prosedur penggerombolan dengan metode two step cluster
mempunyai dua tahapan yaitu tahap preclustering (penggerombolan awal) objek
ke dalam subcluster-subcluster kecil dan tahap penggerombolan akhir.
Langkah 1: Penggerombolan Awal(Preclustering)
Menurut Anonimous (2001) tahap penggerombolan awal dilakukan dengan pendekatan sekuensial, yaitu objek diamati satu persatu berdasarkan ukuran jarak yang kemudian ditentukan apakah objek tersebut masuk dalam gerombol yang telah terbentuk atau harus membentuk gerombol baru. Pada langkah ini
f c D D V C r k k b c a ( a m p a m a t m future itu se cluster. Definisi Diberikan N Vektor clu CF=(N,M,V rata-rata dar kontinu pad kategorik. CF Tr branching fa CF Tre cabang beri atau daun e (subcluster-s awal secara menggunaka pada daerah anak geromb maka amata akan menjad tempat untu menjadi dua ndiri adalah N titik objek ustering fea V,K) dimana ri peubah ko da N objek ree adalah k actor (B) dan ee terdiri da sikan indivi entri yang t subcluster). acak yang a an ukuran j penerimaan bol. Jika be an tersebut a di cikal baka uk menamba a. Proses in kesimpulan k d dimensi ature dari N adalah b ontinu dari N k, dan K a keseimbanga n threshold ( Gambar ari beberapa idu objek (e terdapat pad Prosedur CF akan diukur arak yang t n (threshold esarnya jarak akan masuk al daun entr h daun entri ni akan ber n dari inform i pada suatu cluster d banyaknya o N objek, V a adalah bany an tinggi po (T). 1 Contoh C tingkatan c entries) dari da cabang m FTree dilak jaraknya sa telah ditentu distance), m k terletak di ke dalam g i yang baru. i yang baru, rlanjut samp masi yang di u cluster didefinisikan objek pada c adalah varia yaknya taraf ohon dengan CF Tree abang (node i gerombol merepresenta kukan denga atu persatu d ukan. Jika b maka amatan i luar wilaya gerombol yan . Jika suatu , maka caba pai semua a kumpulkan dimana i = n sebagai cluster, M m
ansi dari seti f pada setia n dua param es) dan masi awal. Tingk asikan anak an memilih s dengan amat besarnya jar n akan menja ah daerah p ng telah dib cabang tidak ang daun ak amatan tero pada suatu = 1,2,…,N. quadriple: menyatakan iap peubah ap peubah meter yaitu ing-masing katan daun k gerombol atu amatan tan lainnya ak terletak adi anggota enerimaan, bentuk atau k memiliki an dipecah olah secara
lengkap. Jika CF Tree berkembang melewati batas ukuran maksimum yang telah
ditetapkan, maka CF Tree akan dibangun ulang dengan cara meningkatkan
kriteria batas penerimaan. Pemilihan kriteria batas penerimaan yang bagus dapat
mengurangi banyaknya CF Tree yang dibangun ulang.
Langkah 2: Penggerombolan akhir
Pada langkah ini, hasil dari CF Tree digerombolkan dengan analisis
gerombol hierarki dengan metode agglomerative, yaitu dimulai dengan n
gerombol yang masing-masing beranggotakan satu objek, kemudian dua gerombol yang paling dekat digabung dan ditentukan kembali kedekatan antar gerombol yang baru. Untuk menghitung banyaknya gerombol dapat dilakukan
dengan dua tahapan, yang pertama menghitung schwarz’s bayesian criterion
(BIC) atau akaike’s information criterion (AIC) untuk tiap gerombol. Rumus BIC
dan AIC untuk gerombol J adalah sebagai berikut:
2 log 2 2 dimana 2 1 1 2log log
Solusi gerombol yang terbaik jika memiliki BIC terkecil, tetapi pada
beberapa kasus terdapat nilai BIC semakin meningkat jika jumlah gerombol
semakin meningkat. Jika terdapat kasus demikian maka diperlukan identifikasi
solusi gerombol terbaik oleh rasio perubahan BIC dan rasio peubahan jarak.
Tahap kedua digunakan kriteria perubahan rasio jarak untuk k buah
gerombol, R(k), yang didefinisikan sebagai:
R(k) = lv-1 / lv (2.14) dk = lv-1-lv (2.15)
dimana:
lv = (mvlog n – BICv)/2 atau lv = (2mvlog n – AICv)/2 v = k,k-1
dengan:
R(k) : rasio perubahan jarak
dk-1 : jarak jika k gerombol digabungkan dengan k-1 gerombol
2.8 Variansi Gerombol
Pada dasarnya variansi pada penggerombolan dapat dibedakan menjadi dua
yaitu: variansi didalam gerombol (variance within cluster) dan variansi antar
gerombol (variance between cluster).
Beberapa definisi variasi, yaitu:
1. Variansi Total
Jumlah total kuadrat selisih objek dengan rata-rata total seluruh objek, yaitu:
dimana
1
dengan:
xij : objek ke-i pada gerombol ke j
k : banyaknya gerombol
: rata-rata total seluruh objek
N : banyaknya objek
2 Variansi antar Kelompok
Jumlah total kuadrat selisih rata-rata tiap objek terhadap rata-rata total, yaitu:
dengan:
xij : objek ke-i pada gerombol ke j
nj : banyaknya objek pada gerombol j
: rata-rata total seluruh objek 3. Variansi dalam Kelompok
Jumlah total kuadrat selisih objek dengan rata-rata objek yang terkait, yaitu: .
dengan:
xij : objek ke-i pada gerombol ke j
nj : banyaknya objek pada gerombol j
. rata-rata objek pada gerombol j
Khusus untuk fuzzy, apabila terdapat objek xi dengan i = 1,2, … , n, dengan
derajat keanggotaan pada kelompok fuzzy B adalah , dan terdapat j
kelompok fuzzy dengan j= 1,2 , …, k, maka dapat didefinisikan:
1
1
dimana
Total variansi T, variansi antar fuzzy kelompok B, dan variansi dalam suatu
Seperti yang telah disebutkan di atas, hasil penggerombolan yang baik adalah jika anggota setiap gerombol memiliki tingkat kemiripan yang tinggi satu
sama lain yang diukur dengan rata-rata jumlah kuadrat dalam gerombol (means
squares of within cluster) dan memiliki tingkat kemiripan yang rendah dengan
anggota dari gerombol lain yang diukur dengan rata-rata jumlah kuadrat antar
gerombol(means squares of between cluster).
Rata-rata jumlah kuadrat dalam gerombol (means squares of within cluster)
didefinisikan sebagai berikut :
1 . 2.16 dengan:
xij :objek ke-i pada gerombol ke j
. rata-rata dari objek pada gerombol j k : jumlah gerombol
n
: jumlah objek
Rata-rata jumlah kuadrat antar gerombol (means squares of between cluster)
didefinisikan sebagai berikut:
1
1 .
dengan:
xij :objek ke-i pada gerombol ke j
nj : banyaknya objek pada gerombol j
. : rata-rata objek pada gerombol j
: rata-rata total seluruh objek
Gerombol yang ideal mempunyai rata-rata jumlah kuadrat dalam gerombol
minimum yang merepresentasikan internal homogenity dan rata-rata jumlah
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Bahan PenelitianPenelitian ini menggunakan data Afifi dari paket SPSS. Data Afifi merupakan data yang dibuat oleh Afifi dan Azen (1972) pada Los Angeles Shock Unit. Data ini menggambarkan pengelompokkan pasien yang mengalami shock. Data ini memiliki 108 pasien dengan peubah-peubah sebagai berikut:
Tabel 1 Daftar peubah-peubah data Afifi
Peubah Kode Keterangan
IdNum IDN Id Number
Age X1 Usia (tahun)
Height X2 Tinggi (cm)
SBP1 SBP2
X3 X10
Systolic Blood Pressure (mm Hg) adalah tekanan darah ketika jantung memompa darah
MAP1 MAP2
X4 X11
Mean Arterial Pressure (mm Hg) adalah tekanan arteri rata-rata
HRT1 HRT2
X5 X12
Heart rate (beats per minute) adalah banyaknya jantung berdenyut
CI1 CI2
X6 X13
Cardiac Index (1/min/min square) adalah indeks jantung
UR1 UR2
X8 X15
Urinary Output adalah kandungan urine yang
dikeluarkan
HGB1 HGB2
X9 X16
Hemoglobin (gm) adalah banyaknya protein dalam sel darah merah
TIME1 TIME2
X7 X14
Waktu (1=awal, 2 akhir)
Data ini akan dievaluasi dengan algoritma k-means, fuzzy-kmeans, dan two step clustering, sebagaimana yang dinyatakan pada tujuan penelitian yang akan digunakan untuk mengevaluasi metode dengan mencoba berbagai jumlah penggerombolan.
3.2 Alur Rencana Penelitian
Gambar 2 Alur rencana penelitian Pengelompokkan dengan
berbagai metode
Fuzzy k -means Two Step
Clustering k-means
k k k
Perbandingan
Hasil penggerombolan dengan berbagai k = 2,3,4
• Distribusi jumlah gerombol
• Jumlah anggota identik
• Misclustering
• Variansi gerombol
- Variance within cluster
- Variance between cluster
Pembahasan
Kesimpulan Standarisasi Analisis Komponen
Utama
Visualisasi dua dimensi
Pengecekan kelengkapan Data Data
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Terkait dengan tujuan penelitian yang telah dikemukakan, maka beberapa tahapan diperlukan untuk dapat menjawab tujuan tersebut, yaitu :
1 Menentukan jenis variabel dari data.
2 Menggerombolkan data dengan mencobakan berbagai nilai k. Dalam penelitian ini dicobakan k = 2,3, dan 4.
3 Memilih ukuran jarak pada data tersebut.
4 Menerapkan metode k-means pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut:
5 Menerapkan metode fuzzy k- means pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a Mentukan k sebagai jumlah gerombolyang ingin dibentuk. b Membangkitkan k titik pusat gerombol awal secara random. c Menghitung jarak setiap data ke masing-masing gerombol. d Memilih gerombolyang terdekat untuk setiap data.
e Menentukan posisi gerombolbaru dengan cara menghitung nilai rata-rata dari data yang terletak pada gerombolyang sama.
f Kembali ke langkah c jika posisi gerombol baru dengan gerombol lama tidak sama.
a Menentukan jumlah gerombol.
b Mengalokasikan data sesuai dengan jumlah gerombol yang ditentukan. c Menghitung nilai titik pusatdari masing-masing gerombol.
d Menghitung nilai fungsi keanggotaan masing-masing data ke masing- masing gerombol.
e Kembali ke langkah c, apabila perubahan nilai fungsi keanggotaanmasih di atas nilai wilayah penerimaan yang ditentukan, atau apabila perubahan pada nilai titik pusat gerombolmasih di atas nilai wilayah penerimaanyang ditentukan, atau apabila perubahan pada nilai fungsi objektifmasih di atas nilai wilayah penerimaanyang ditentukan.
6 Menerapkan metode two step clustering pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut:
7 Menghitung variansi gerombol pada masing-masing metode.
8 Membandingkan hasil penggerombolan yang terbentuk pada data dengan k- means, fuzzy k-means, dan two step clustering.
9 Menarik kesimpulan.
a Penggerombolan awal (Preclustering). b Penggerombolan akhir.
DAFTAR PUSTAKA
Agusta Y, 2007.K-Means-Penerapan, Permasalahan dan Metode Terkait. Jurnal Sistem dan Informatika Vol 3. STIMIK. Bali.
Anderberg MR. 1973. Cluster Analysis for Application. Academic Press, New York.
Anonimous. 2001. The SPSS TwoStep Cluster Component. A scalable component to segment your costumers more effectifely. White paper-technical report, SPSS Inc Chicago.
Anonimous. 2004. TwoStep Cluster Analysis. Technical Report, SPSS Inc. Chicago.
Bacher, J., K. Wenzig and M. Vogler. 2004. SPSS TwoStep Cluster : A First Evaluation. Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nunberg.
Dillon WR, & M. Goldstein. 1984. Multivariate Analysis Method and Applications. John Wiley & Sons. Canada.
Graham J Williams, 2008. Data Mining Algorithms Cluster Analysis. Adjunct Associate Professor, ANU.
Hong SL, 2006. Experiment With K-Means, Fuzzy C-Means And Approaches To Choose K And C. University of Central Florida. Orlando.
Johnson RA, DW Wichern. 1998. Applied Multivariate Statistical Analysis 4thed. Prantice- Hall Int.
Kusdiati. 2006. Pengkajian Keakuratan TwoStep Cluster dalam menentukan Banyaknya Gerombol Populasi. Tesis. Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor: IPB.
Kusumadewi, dkk. 2006. Fuzzy Multi-Attribute Decision Making (FUZZY MADM). Yogyakarta. Graha Ilmu.
Santosa B, 2007. Data Mining. Teknik Pemanfaatan Data Untuk Keperluan Bisnis. Graha Ilmu. Yogyakarta.
Serban G, & Grigoreta SM. 2006. A Comparison of Clustering Teqniques In Aspect Mining. Studia Univ. Babes-Bolyai, Informatica, Volume L1.
Teknomo, Kardi. 2007. K-means Clutering Tutorial.http :\\people. revolude .com \kardi \tutorial\kMean\ .[31 Januari 2009]
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi Data
Setelah melalui proses pengecekan kelengkapan data, terdapat data hilang pada objek pengamatan untuk beberapa peubah. Objek pengamatan yang memiliki data hilang tersebut tidak diikutsertakan dalam analisis. Untuk memberikan gambaran data dari masing-masing peubah maka digunakanlah Boxplot, yang disajikan pada gambar dibawah ini:
90 80 70 60 50 40 30 20 10 Da ta Boxplot X1
Gambar 3 Boxplot data Afifi
Keterangan:
X1: Age X9 : Hemoglobin1
X2:Height X10 : Systolic Blood Pressure2
X3: Systolic Blood Pressure1 X11 : Mean Arterial Pressure 2 X4: Mean Arterial Pressure 1 X12 : Heart Rate 2
X5: Heart Rate1 X13 : Cardiac 2
X6: Cardiac1 X14 : CTime 2 X7:CTime2 X15 : Urine 2 X8:Urine 1 X16 : Hemoglobin 2 200 150 100 50 0 Da ta Boxplot X5 190 180 170 160 150 140 Da ta Boxp lot X2 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Da ta Boxplot X3 120 100 80 60 40 20 0 Da ta Boxplot X4 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Da ta Boxplot X6 60 50 40 30 20 10 Da ta Boxplot X7 500 400 300 200 100 0 Da ta Boxplot X8 17,5 15,0 12,5 10,0 7,5 5,0 Da ta Boxplot X9 200 175 150 125 100 75 50 Da ta Boxplot X10 120 100 80 60 40 20 Da ta Boxplot X11 250 200 150 100 50 0 Da ta Boxplot X12 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Da ta Boxplot X13 60 50 40 30 20 10 0 Da ta Boxplot of X14 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Da ta Boxplot X15 15,0 12,5 10,0 7,5 5,0 Da ta Boxplot X16
Gambar 3 memperlihatkan bahwa sebaran data untuk masing-masing peubah tidak semuanya mempunyai pencilan. Gambar 3 juga memperlihatkan bahwa keragaman peubah X15 lebih besar dari keragaman peubah lainnya,
sedangkan peubah X13 mempunyai keragaman yang paling kecil dibandingkan
peubah lainnya.
Tabel 2 Deskripsi data Afifi
Sedangkan untuk memberikan gambaran data yang sudah distandarisasi, dapat dilihat pada gambar berikut:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11X12 X13 X14 X15 X16 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 Da ta
Gambar 4 Boxplot data Afifi standarisasi
Peubah Rata-Rata Standar Deviasi Min Max
Age Height Sbp1 Map1 Heart1 Cardiac1 Ctime1 Urine1 Hgb1 Sbp2 Map2 Heart2 Cardiac2 Ctime2 Urine2 Hgb2 54.55 164.55 105.67 73.03 105.11 2.54 22.83 56.19 11.40 110.53 72.97 96.87 2.92 20.42 77.93 10.48 16.75 9.14 30.83 21.90 30.01 1.46 10.50 114.55 2.52 37.01 26.96 30.05 1.34 9.95 137.90 1.95 16 140 26 15 25 0.2 8 0 6.6 38 22 25 0.7 7 0 5.9 90 187 171 124 217 7.6 59 510 18.0 182 117 221 7.9 55 850 15.5
Gambar 4 memperlihatkan bahwa data yang sudah distandarisasi ini mempunyai variansi yang semua peubahnya cenderung relatif lebih homogen.
Karena dalam penggerombolan menggunakan konsep jarak Euclid, dimana konsep jarak ini mengharuskan tidak adanya korelasi antar peubah, maka terlebih dahulu dilakukan Analisis Komponen Utama (AKU), yang bertujuan untuk memperoleh peubah-peubah yang saling tidak berkorelasi. Hasil Analisis Komponen Utama disajikan pada tabel berikut:
Tabel 3 Koefisien Komponen Utama 1 dan 2
Peubah Komponen Utama 1 Komponen Utama 2
X1 -0.2055 0.1417 X2 0.2239 0.0050 X3 0.3371 0.1548 X4 0.3376 0.2173 X5 -0.0215 0.0765 X6 0.1763 -0.3690 X7 -0.2015 0.4052 X8 0.2015 -0.9954 X9 -0.0417 0.4142 X10 0.3468 0.2050 X11 0.3662 0.2304 X12 0.2278 0.1716 X13 0.3487 -0.2041 X14 -0.3005 0.2095 X15 0.1470 0.1334 X16 0.0623 0.4391
Tabel 4 Akar ciri, proporsi keragaman, dan keragaman kumulatif
KU Ke- Akar ciri Proporsi Keragaman (%) Keragaman Kumulatif (%)
1 4.1284 25.80 25.80 2 2.6764 16.73 42.53 3 1.5928 9.96 52.49 4 1.5928 8.05 60.54 5 1.2885 7.15 67.69 6 1.1445 6.78 74.48 7 1.0853 5.16 79.63 8 0.8249 4.57 84.20 9 0.7305 3.51 87.70 10 0.5608 3.11 90.81 11 0.4969 2.84 93.65 12 0.4543 2.42 96.07 13 0.3871 2.37 98.44 14 0.3787 0.85 99.2 15 0.0849 0.53 99.82 16 0.0287 0.18 100
Sebagai hasil pendekatan yang dilakukan oleh Analisis Komponen Utama pada tabel di atas, dapat dilihat bahwa hanya terdapat 7 komponen utama yang memiliki akar ciri lebih dari 1, ini berarti bahwa ketujuh komponen utama tersebut memberikan kontribusi keragaman yang besar, dan komponen utama yang memiliki akar ciri kurang dari 1 dianggap memiliki kontribusi keragaman yang kurang. Dari tabel di atas, dapat dilihat juga bahwa akar ciri pertama yang memiliki nilai sebesar 4.1284 menjelaskan bahwa komponen utama ke-1 dapat menerangkan keragaman data sebesar 25.80%. Dengan cara yang sama untuk komponen utama selanjutnya sampai komponen ke 16 sebesar 2.87%. Komponen utama ke 1 dan ke 2 memberikan kontribusi keragaman sebesar 25.80% dan 16.73% . Sehingga jika digunakan kedua komponen tersebut, secara kumulatif akan didapatkan keragaman total yang mampu dijelaskan keduanya adalah sebesar 42.53%. Dan dari ketujuh komponen utama tersebut, secara kumulatif memiliki proporsi keragaman sebesar 79.63%, ini berarti bahwa sudah mewakili keragaman total dari seluruh data.
Jika digambarkan nilai kedua skor komponen utama di atas, akan didapatkan gambaran sebagai berikut:
5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 Component 1 Co m p o n e n t 2
Gambar 5 Plot dua komponen utama pada data Afifi
Gambar 5 memperlihatkan bahwa sebaran data Afifi ini tidak terlihat adanya penggerombolan yang jelas, karena terdapat penggerombolan yang saling tumpang tindih.
Metode k-means
Pembentukan pengelompokan pada metode k-means ini, diawali dengan menentukan jumlah gerombol yang diinginkan, dengan mengasumsikan inisial gerombol 1,…,k. Selanjutnya menentukan centroid awal secara random, yang kemudian menghitung ukuran jarak ke masing-masing objek ke centroid yang terdekat. Dengan meminimumkan fungsi objektifnya. Misalkan kasus ke i dari peubah ke j mempunyai nilai , 1 , 1 . Peubah-peubahnya diskalakan sehingga masalahnya dapat didekati dengan menggunakan jarak
Euclid. Partisi P(M,K) dibuat dari cluster 1,2,…,K. Setiap kasus M dimasukkan ke
dalam cluster K. Rata-rata dari peubah ke j melebihi kasus pada cluster ke l yang didefinisikan oleh B(l,j). Banyaknya kasus pada l adalah N(l). Jarak antara kasus
ke i dan cluster ke l adalah (Hartigan 1937):
,
,
/
Error partisi adalah
,
,
21
dimana l(i) adalah cluster yang mengandung kasus ke i. Prosedur umum untuk mencari partisi dengan e kecil oleh perubahan kasus dari satu cluster ke cluster yang lain. Pencarian berakhir ketika nilai e tidak berubah.
Langkah 1. Asumsikan inisial cluster 1,2,…, K. Hitung rata-rata cluster
, 1 , 1 dan inisialisasi error
,
,
21
dimana , ] didefinisikan jarak Euclid antara i dan rata-rata cluster yang mengandung i.
Langkah2. Untuk kasus pertama, hitung setiap cluster L
1, 1
1 1, 1
Pertambahan error pada pemindahan kasus pertama dari cluster 1 akan termasuk ke cluster l. Jika minimum dari 1 adalah negatif maka kasus pertama dari cluster l(1) dipindahkan ke l minimal, dan tambahkan peningkatan ini pada error (yang negatif) ke , .
Langkah 3. Ulangi Langkah 2 untuk kasus ke I 2 ).
Langkah 4. Jika tidak ada perubahan dari satu cluster ke cluster lain, maka proses berhenti. Jika sebaliknya, kembali ke langkah 2.
Metode Fuzzy k-means
Pada penggerombolan dengan metode fuzzy k-means diawali dengan menentukan derajat keanggotaan secara acak setiap titik data terhadap cluster, yang kemudian menentukan titik pusat cluster yang berulang sampai berada pada wilayah penerimaan yang ditentukan. Algoritma fuzzy k-means ini bertujuan
meminimumkan fungsi objektif dari jarak data yang berbobot pada cluster, yaitu
, , dengan kendala 0 ; untuk semua 1, … dan 1 ; untuk semua 1, … µ 0,1 dengan:
µ fungsi keanggotaan dari data xkpada cluster i,
vi : centroid cluster ke I
d(vi,xk) : jarak antara centroid vidan data xk .
Parameter m 1 disebut juga index fuzzy. Untuk m→ 1 cluster cenderung akan menjadi crisp. Sedangkan uik →1 atau uik →0 menghasilkan algoritma hard
c-means. Untuk m→ ∞, mempunyai uik → 1/c. Nilai m yang biasa digunakan
Sedangkan pada algoritma fuzzy k-means ini terdapat beberapa hal yang harus diperhatikan dalam proses penggerombolan diantaranya inisialisasi terhadap nilai centroid awal, nilai pemangkatan atau m, iterasi maksimal dan nilai error terkecil yang diinginkan.
Metode two step cluster
Pada metode two step cluster ini bisa digunakan untuk mengolah data yang kriteria peubahnya kontinu, kategorik maupun yang campuran antara kontinu dan kategorik. Jika dalam kasus data terdapat pencilan maka ketika dibentuk CF-tree diperiksa apakah dapat dimasukkan dalam gerombol yang sudah terbentuk tanpa harus membentuk CF-tree baru. Untuk mendeteksi ada tidaknya pencilan maka dilakukan perhitungan jarak log-likelihood, jika terdapat jarak terbesar antar gerombol yang melebihi titik kritis C, yaitu:
C = log(V)
dengan:
: range dari peubah kontinu ke-k
Lm : banyaknya kategori untuk peubah kategori ke -m
Setiap titik pada CF-tree merepresentasikan objek cluster dan karakteristik nya didefinisikan sebagai 3-tuple . yaitu
CF = (N,LS,SS)
dengan
N : banyaknya objek dalam cluster
LS =
∑
= N i i X 1 SS =∑
= N i i X 1 2Metode two step cluster tidak dapat mendeteksi benar model tanpa solusi
cluster. Pada penentuan keanggotaan cluster, setiap objek dimasukkan secara
deterministik ke cluster terdekat sesuai dengan ukuran jarak yang digunakan. Karena metode twostep cluster dapat menyediakan solusi untuk kasus khusus peubah tipe campuran, maka pengguna harus memutuskan untuk menangani
peubah ordinal sebagai kontinu atau sebagai kategori jika peubah campuran itu ada.
Dalam penentuan banyaknya jumlah gerombol, tidak ada aturan baku yang digunakan, sehingga dapat ditentukan secara subjektif oleh peneliti. Dalam penelitian ini digunakan penggerombolan dengan 2, 3, dan 4 gerombol dalam menentukan jumlah gerombol yang ideal.
4.2 Penggerombolan dengan 2 gerombol
Untuk data ini terlebih dahulu ditransformasikan ke dalam bentuk baku sebab adanya perbedaan satuan pengukuran antar peubah. Data yang digunakan untuk pengelompokan ini adalah data yang mempunyai skala kontinu (interval atau rasio), skala data ini merupakan persyaratan umum digunakannya teknik analisis cluster.
Hasil pengelompokan dengan 2 gerombol untuk metode means, fuzzy
k-means dan two step cluster dapat dilihat sebagai berikut :
Tabel 5 Distribusi anggota 2 gerombol
Tabel 5 memperlihatkan bahwa untuk metode k-means dan fuzzy k-means penyebaran anggota antara gerombol 1 dan gerombol 2 cenderung hampir sama. Sedangkan distribusi anggota two step cluster terlihat jauh berbeda bila dibandingkan dengan kedua metode tersebut. Selain kesesuaian metode dengan jumlah data yang digunakan, faktor yang menentukan hasil clustering ini adalah pemilihan threshold atau kriteria penghentian algoritma dari masing-masing metode. Nilai threshold ini secara langsung mempengaruhi jumlah cluster yang dibentuk. Jika nilai terlalu kecil maka tidak akan membentuk suatu cluster. Sebaliknya jika nilai terlalu besar maka cluster-cluster yang tepat akan diciptakan. Hasil perbandingan jumlah anggota yang identik dan besarnya persentasi
misclustering antara metode k-means, fuzzy k-means, dan two step cluster dapat
dilihat sebagai berikut:
Metode k-means fuzzy k-means two step cluster Jumlah Persen Jumlah Persen Jumlah Persen
Gerombol 1 55 51 56 52 4 3.8
Tabel 6 Persentasi misclustering 2 gerombol hasil antara k-means dengan fuzzy
k-means
Tabel 7 Persentasi misclustering 2 gerombol antara metode k-means dengan two
step cluster
Metode
two step cluster
G1= 104 G2= 4 k-means G1 53 n = 53 100% n = 0 0% G2 55 n = 51 92.7% n = 4 7.3%
Tabel 8 Persentasi misclustering 2 gerombol antara metode two step cluster dengan fuzzy k-means
Metode
two step cluster
G1=104 G2= 4 fuzzy k-means G1= 56 n = 56 100% n = 0 0% G2 52 n = 48 92.3% n = 4 7.7%
Berdasarkan tabel 6, 7, dan 8 di atas, untuk penggerombolan dengan 2 gerombol banyaknya anggota identik terbesar dimiliki oleh metode k-means dengan fuzzy k-means. Persentasi salah penggerombolan (misclustering) untuk kondisi pada tabel-tabel di atas terlihat bahwa untuk metode penggerombolan yang berbasis k-means terhadap fuzzy k-means memiliki persentasi salah
Metode fuzzy k-means
G1= 56 G2= 52 k-means G1 53 n = 53 100% n 0 0% G2 55 n = 3 5.5% n = 52 94.5%
penggerombolannya paling kecil yaitu sebesar 0% . Ini menunjukkan bahwa penggerombolan antara kedua metode ini memiliki hasil yang tidak jauh berbeda. Sedangkan bila metode k-means dibandingkan dengan two step cluster terlihat bahwa terdapat nilai misclustering yang cukup besar, yaitu mencapai nilai 92.7%, yang berarti bahwa kedua metode ini memiliki hasil yang agak jauh berbeda. Demikian halnya dengan metode fuzzy k-means dengan two step cluster, kedua metode ini memiliki nilai misclustering yang tidak jauh berbeda dengan metode sebelumnya (k-means dengan two step cluster) yaitu mencapai nilai sebesar 92.3%. Ini terjadi karena pembentukan misclustering ini bergantung pada ketepatan metode dengan besarnya jumlah data yang digunakan.
Hasil plot komponen utama dari penggerombolan dengan 2 gerombol untuk masing-masing metode disajikan pada gambar berikut:
Gambar 6 Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode k-means
