Ketjumurtoluvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Soile Linja. Ketjumurtoluvuista. Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 2007.

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos LINJA, SOILE: Ketjumurtoluvuista Pro gradu –tutkielma, 54 s. Matematiikka Toukokuu 2007 _______________________________________________________________. Tiivistelmä Tässä tutkielmassa tarkastellaan ketjumurtolukuja, niiden ominaisuuksia sekä yhtä ketjumurtolukujen sovellusta, Pellin yhtälöä. Ensimmäisessä luvussa tutkitaan äärellisiä ketjumurtolukuja. Ensin esitetään näitä ketjumurtolukuja koskevia keskeisiä määritelmiä. Lopuksi todistetaan, että jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku esittää rationaalilukua ja että jokainen rationaaliluku taas vastaa yksinkertaista äärellistä ketjumurtolukua. Toisessa luvussa määritellään ketjumurtolukujen konvergentit. Lisäksi todistetaan lause, joka antaa menetelmän konvergenttien muodostamiseksi. Toisen luvun lopussa tarkastellaan lauseita, joissa esitetään konvergenttien tärkeimpiä ominaisuuksia. Kolmannessa luvussa käsitellään äärettömien ketjumurtolukujen sekä irrationaalilukujen vastaavuutta. Tässä luvussa osoitetaan, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua ja että vastaavasti jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna. Kolmannen luvun lopuksi perehdytään irrationaalilukujen approksimointiin. Neljännen luvun alussa määritellään kvadraattiset irrationaaliluvut ja tarkastellaan niiden ominaisuuksia. Luvun toisessa pykälässä osoitetaan kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys. Lisäksi neljännessä luvussa osoitetaan redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen vastaavuus. Tutkielman viimeisessä luvussa perehdytään Pellin yhtälöön. Aluksi tarkastellaan, mikä asema ketjumurtolukujen konvergenteilla on Pellin yhtälöä ratkaistaessa. Lopuksi määritellään Pellin yhtälön perusratkaisu ja tutkitaan yhtälön kaikkien positiivisten ratkaisujen muodostamista. Tutkielman päälähteinä on käytetty Kenneth H. Rosenin teosta Elementary Number Theory and Its Applications, Calvin T. Longin teosta Elementary Introduction to Number Theory sekä David M. Burtonin teosta Elementary Number Theory..

Sisältö Johdanto........................................................................................................ 1 1 Äärelliset ketjumurtoluvut ........................................................................ 2 1.1 Äärellisiin ketjumurtolukuihin liittyviä käsitteitä ................................... 2 1.2 Äärelliset ketjumurtoluvut ja rationaaliluvut.......................................... 2 2 Konvergentit............................................................................................... 7 2.1 Konvergenttien muodostaminen ............................................................ 7 2.2 Konvergenttien ominaisuuksia............................................................... 9 3 Äärettömät ketjumurtoluvut ................................................................... 15 3.1 Äärettömiin ketjumurtolukuihin liittyviä käsitteitä............................... 15 3.2 Äärettömät ketjumurtoluvut ja irrationaaliluvut ................................... 16 3.3 Irrationaalilukujen approksimointi....................................................... 22 4 Jaksolliset ketjumurtoluvut ..................................................................... 28 4.1 Kvadraattiset irrationaaliluvut ............................................................. 28 4.2 Jaksollisten ketjumurtolukujen ominaisuuksia ..................................... 32 4.3 Täysin jaksollisten ketjumurtolukujen ominaisuuksia .......................... 39 4.4 Luvun d jaksollinen ketjumurtolukuesitys ...................................... 44 5 Pellin yhtälö.............................................................................................. 47 5.1 Konvergentit ja Pellin yhtälö ............................................................... 47 5.2 Pellin yhtälön ratkaiseminen: perusratkaisu ja kaikki ratkaisut............. 49 Kirjallisuus.................................................................................................. 54.

Johdanto Tämä tutkielma käsittelee ketjumurtolukuja ja niiden ominaisuuksia. Tutkielmassa keskitytään pääosin yksinkertaisiksi kutsuttuihin ketjumurtolukuihin. Ensimmäisessä luvussa tutkitaan äärellisiä ketjumurtolukuja. Ensin esitetään näihin ketjumurtolukuihin liittyviä keskeisiä määritelmiä. Lopuksi todistetaan, että jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku esittää rationaalilukua ja että jokainen rationaaliluku taas vastaa yksinkertaista äärellistä ketjumurtolukua. Toisessa luvussa tutkitaan ketjumurtolukujen konvergentteja. Ensin esitetään konvergenttien määritelmä sekä lause, joka antaa menetelmän konvergenttien muodostamiseksi. Toisen luvun lopussa tarkastellaan lauseita, joissa esitetään konvergenttien tärkeimpiä ominaisuuksia. Kolmas luku käsittelee äärettömiä ketjumurtolukuja. Luvussa selvitetään erityisesti näiden ketjumurtolukujen sekä irrationaalilukujen vastaavuutta. Tässä luvussa osoitetaan, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku kuvaa irrationaalilukua ja että vastaavasti jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna. Kolmannen luvun lopuksi perehdytään irrationaalilukujen approksimointiin. Ketjumurtoluvun konvergenteilla on merkittävä asema tässä approksimoinnissa. Neljännen luvun alussa määritellään kvadraattiset irrationaaliluvut ja tarkastellaan niiden ominaisuuksia. Luvun toisessa pykälässä osoitetaan kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys. Kolmannessa pykälässä osoitetaan redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen vastaavuus. Lopuksi tarkastellaan luvun d ketjumurtolukuesitystä. Tällöin oletetaan, että luku d on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole täydellinen neliö. Tutkielman viimeisessä luvussa perehdytään Pellin yhtälöön. Pellin yhtälö, 2 x - dy 2 = 1 , on yksi ketjumurtolukujen keskeisimmistä sovelluksista. Viidennen luvun alussa tutkitaan luvun jaksollisen d ketjumurtolukuesityksen konvergenttien ja Pellin yhtälön ratkaisujen välistä yhteyttä. Lopuksi tarkastellaan vielä Pellin yhtälön kaikkien ratkaisujen muodostamista. Tällöin hyödynnetään paitsi luvun jaksollisen d ketjumurtolukuesityksen konvergentteja myös esityksen jakson pituutta. Lukijalta odotetaan lukuteorian peruskäsitteiden ja –tulosten tuntemista. Lisäksi oletetaan analyysin perusasioiden hallintaa. Tutkielman päälähteinä on käytetty Kenneth H. Rosenin teosta Elementary Number Theory and Its Applications, Calvin T. Longin teosta Elementary Introduction to Number Theory sekä David M. Burtonin teosta Elementary Number Theory.. 1.

1 Äärelliset ketjumurtoluvut 1.1 Äärellisiin ketjumurtolukuihin liittyviä käsitteitä Tässä pykälässä esitetään määritelmiä, jotka koskevat ketjumurtolukuja. Lisäksi esitetään merkintä, jolla näitä ketjumurtolukuja voidaan kuvata lyhyemmin.. äärellisiä äärellisiä. Määritelmä 1.1 Äärellisellä ketjumurtoluvulla tarkoitetaan lauseketta a0 +. 1 a1 +. ,. 1. (1). 1. a2 + O +. 1 a n-1 +. 1 an. missä a0 on reaaliluku ja a1 , a 2 , K , a n ovat positiivisia reaalilukuja. Määritelmä 1.2 Lausekkeen ketjumurtoluvun osanimittäjiksi.. (1). reaalilukuja. a1 , a 2 , K , a n. sanotaan. Määritelmä 1.3 Äärellistä ketjumurtolukua (1) sanotaan yksinkertaiseksi, jos a0 on kokonaisluku ja a1 , a 2 , K , a n ovat positiivisia kokonaislukuja. Äärelliselle ketjumurtoluvulle (1) otetaan nyt käyttöön lyhyempi merkintätapa [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] .. 1.2 Äärelliset ketjumurtoluvut ja rationaaliluvut Seuraavaksi selvitetään äärellisten ketjumurtolukujen ja rationaalilukujen välistä yhteyttä. Voidaan nimittäin osoittaa, että yksinkertaiset äärelliset ketjumurtoluvut kuvaavat rationaalilukuja ja että rationaaliluvut taas voidaan kirjoittaa yksinkertaisina äärellisinä ketjumurtolukuina.. 2.

Lause 1.1. Jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku esittää rationaalilukua. Todistus (vrt. [5, s. 469]). Todistetaan lause induktiolla. Kun n = 1, yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku on muotoa. [a0 ; a1 ] = a0 +. 1 a 0 a1 + 1 = . a1 a1. Koska lauseke (a 0 a1 + 1) a1 vastaa rationaalilukua, on väite tosi tässä tapauksessa. Oletetaan sitten, että kun k on positiivinen kokonaisluku, niin yksinkertainen ketjumurtoluku [a0 ; a1 , a 2 , K, a k ] esittää rationaalilukua aina, kun a0 on kokonaisluku ja a1 , a 2 , K , a k ovat positiivisia kokonaislukuja. Olkoon nyt a0 kokonaisluku ja olkoot a1 , a 2 , K , a k +1 positiivisia kokonaislukuja. Merkitään, että. [a0 ; a1 ,K, a k +1 ] =a 0 +. 1 . [a1 ; a 2 , K, a k , a k +1 ]. Induktio-oletuksen perusteella ketjumurtoluku [a1 ; a 2 , K , a k , a k +1 ] esittää rationaalilukua. Näin ollen on olemassa sellaiset kokonaisluvut r ja s (¹ 0) , että [a1 ; a 2 , K , a k , a k +1 ] = r s . Silloin siis. [a0 ; a1 ,K, a k , a k +1 ] = a 0 +. a r+s 1 = 0 . r s r. Selvästi nähdään, että lauseke (a0 r + s ) r vastaa rationaalilukua, joten väite on tosi arvolla k + 1 . Induktioperiaatteen mukaan väite on siis tosi.. Huomautus 1.1 Ks. [5, s. 469]. Lähdeteoksessa lauseen 12.7 todistuksessa (vrt. tutkielman lauseen 1.1 todistus) yhtälön. [a0 ; a1 ] = a0 +. 1 a 0 a1 + 1 = a1 a0. [a0 ; a1 ] = a0 +. 1 a 0 a1 + 1 = . a1 a1. tilalla pitäisi olla yhtälö. Lause 1.2 Jokainen rationaaliluku voidaan esittää yksinkertaisena äärellisenä ketjumurtolukuna. Todistus (vrt. [1, s. 283-284]). Olkoon a b rationaaliluku ja olkoon b > 0. Tällöin Eukleideen algoritmin perusteella voidaan kirjoittaa. 3.

a = ba0 + r1 , b = r1a1 + r2 , r1 = r2 a 2 + r3 , M rn- 2 = rn -1a n-1 + rn , rn-1 = rn a n + 0 .. 0 < r1 < b , 0 < r2 < r1 , 0 < r3 < r2 , 0 < rn < rn-1 ,. Näissä yhtälöissä luvut a1 , a 2 , K , a n ovat positiivisia kokonaislukuja, koska jokainen jakojäännös rk on positiivinen kokonaisluku. Esittämällä yhtälöt murtolukumuodossa saadaan. r a 1 = a0 + 1 = a0 + , b b b r1 r 1 b = a1 + 2 = a1 + , r1 r1 r2 r1 r r1 1 = a2 + 3 = a2 + , r2 r2 r2 r3 M rn-1 = an . rn Kun toisessa yhtälössä esitetty lausekkeen b r1 arvo sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön, voidaan merkitä a 1 = a0 + = a0 + b b r1. 1 1 a1 + r1 r2. .. (2). Sijoittamalla kolmannessa yhtälössä esitetty lausekkeen r1 r2 arvo yhtälöön (2) saadaan 1 a = a0 + . 1 b a1 + 1 a2 + r2 r3. Jatkamalla tällä tavalla huomataan, että. 4.

a = a0 + b. 1 a1 +. .. 1 1. a2 + O. 1. +. a n -1 +. 1 an. Näin ollen a b = [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] , joten jokainen rationaaliluku voidaan esittää yksinkertaisena äärellisenä ketjumurtolukuna.. Huomautus 1.2 Rationaaliluvun esitys yksinkertaisena äärellisenä ketjumurtolukuna ei ole yksikäsitteinen, sillä ketjumurtoluvun viimeistä termiä voidaan muuttaa. Jos a n > 1 , voidaan viimeinen termi kirjoittaa muodossa 1 a n = (a n - 1) + 1 = (a n - 1) + . 1. Tätä yhtälöä käyttämällä voidaan edelleen merkitä, että [a0 ; a1 , a 2 , K, a n -1 , a n ] = [a0 ; a1 , a 2 , K, a n-1 , a n - 1, 1] . Jos a n = 1, niin silloin. a n-1 +. 1 1 = a n-1 + = a n-1 + 1. an 1. Näin ollen [a0 ; a1 , a 2 , K, a n -1 , a n ] = [a0 ; a1 , a 2 , K, a n- 2 , a n-1 + 1]. Jokaisella rationaaliluvulla on kaksi ketjumurtolukuesitystä siten, että toisessa on parillinen määrä ja toisessa pariton määrä termejä. (Vrt. [1, s. 285].) Tarkastellaan lausetta 1.2 havainnollistavaa esimerkkiä. Esimerkki 1.1 Muodostetaan rationaaliluvun 9 23 ketjumurtolukuesitys. Eukleideen algoritmin avulla saadaan yhtälöt 23 = 9 × 2 + 5 , 9 = 5 ×1 + 4 , 5 = 4 ×1 + 1 , 4 = 1× 4 + 0 .. Muokkaamalla yhtälöitä lauseen 1.2 todistuksessa esitetyllä tavalla ja sijoittamalla näin saadut yhtälöt havaitaan, että. 5.

9 1 1 = = 23 23 9 2 + 5 9 1 1 = = 1 1 2+ 2+ 1+ 4 5 95 1 1 = = . 1 1 2+ 2+ 1 1 1+ 1+ 1 54 1+ 4. Näin ollen 9 23 = [0; 2, 1, 1, 4] . Huomautuksen 1.2 perusteella tiedetään, että 9 = [0; 2, 1, 1, 4] = [0; 2, 1, 1, 3, 1] . 23. 6.

2 Konvergentit 2.1 Konvergenttien muodostaminen Ketjumurtolukuesitys voidaan katkaista halutun termin jälkeen. Tämä katkaiseminen antaa aiheen seuraavaan määritelmään. Määritelmä 2.1 Ketjumurtolukua [a0 ; a1 , a 2 , K, a k ], missä 0 £ k £ n , kutsutaan ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] k. konvergentiksi. Tätä konvergenttia merkitään symbolilla C k . Seuraavassa lauseessa esitetään konvergentteja voidaan muodostaa.. menetelmä,. jolla. ketjumurtolukujen. Lause 2.1 Olkoon a0 reaaliluku ja olkoot a1 , a 2 , K , a n positiivisia reaalilukuja. Määritellään jonot p 0 , p1 ,K , p n ja q0 , q1 , K, q n rekursiivisesti yhtälöillä p0 = a0 , q0 = 1 ,. p1 = a 0 a1 + 1 ,. q1 = a1. p k = a k p k -1 + p k - 2 ,. qk = a k q k -1 + q k - 2 ,. (3). ja. kun 2 £ k £ n . Silloin k. konvergentti C k toteuttaa yhtälön. pk . qk. Ck =. Todistus (vrt. [5, s. 471-472]). Todistetaan lause induktiolla. Kun k = 0 , niin. C0 = [a 0 ] =. a0 p0 = . 1 q0. Kun k = 1 , niin tällöin. C1 = [a 0 ; a1 ] = a 0 +. 1 a 0 a1 + 1 p1 = = . a1 a1 q1. Näin ollen väite on tosi, kun k = 0 ja k = 1 .. 7.

Oletetaan sitten, että väite on tosi luvun k positiivisilla kokonaislukuarvoilla, joille pätee 2 £ k < n . Tällöin siis. C k = [a 0 ; a1 ,K , a k ] =. p k ak pk -1 + pk - 2 = . qk ak qk -1 + qk - 2. (4). Rekursioyhtälöiden (3) perusteella nähdään, että reaaliluvut p k -1 , p k - 2 , q k -1 ja q k - 2 riippuvat ainoastaan luvuista a0 , a1 , K, a k -1 . Näin ollen reaaliluku a k voidaan korvata arvolla a k + 1 a k +1 yhtälössä (4). Induktio-oletuksen perusteella saadaan siis. C k +1 = [a 0 ; a1 , K, a k -1 , a k , a k +1 ] = [a 0 ; a1 , K , a k -1 , a k + 1 a k +1 ] æ 1 ö p ÷÷ p k -1 + p k - 2 a k p k -1 + k -1 + p k -2 çç a k + a k +1 ø a k +1 è = = q æ 1 ö a k q k -1 + k -1 + q k - 2 ÷÷q k -1 + q k -2 çç a k + a k +1 a k +1 ø è a a p + p k -1 + a k +1 pk - 2 a k +1 (a k p k -1 + p k -2 ) + pk -1 = k +1 k k -1 = a k +1a k q k -1 + q k -1 + a k +1 qk - 2 a k +1 (a k q k -1 + q k -2 ) + qk -1 a p + p k -1 p = k +1 k = k +1 . a k +1q k + q k -1 q k +1. Väite on siis tosi arvolla k + 1 , joten induktioperiaatteen mukaan väite on tosi.. Huomautus 2.1 Luvut p k ja q k voidaan myös määritellä vaihtoehtoisesti yhtälöillä p-2 = 0 , q-2 = 1 , p -1 = 1 , q -1 = 0 ja p k = a k p k -1 + p k - 2 , qk = a k q k -1 + q k - 2 ,. kun 0 £ k £ n (vrt. [4, s. 214] ). Tarkastellaan konvergenttien muodostamista seuraavan esimerkin avulla. Esimerkki 2.1 Luvun 57 13 ketjumurtolukuesitys on [4; 2, 1, 1, 2] . Tämän ketjumurtolukuesityksen kaikki konvergentit voidaan määrittää lauseessa 2.1 esitettyjen rekursioyhtälöiden (3) avulla. Tällöin. p0 = 4 , p1 = 4 × 2 + 1 = 9 , p 2 = 1 × 9 + 4 = 13 ,. q0 = 1 ,. q1 = 2 , q2 = 1 × 2 + 1 = 3 ,. 8.

p3 = 1 × 13 + 9 = 22 , p 4 = 2 × 22 + 13 = 57 ,. q3 = 1 × 3 + 2 = 5 , q 4 = 2 × 5 + 3 = 13 .. Konvergentit C k (k = 0, 1, K ,4) vastaavat siis yhtälöitä. p0 4 = = 4 , C1 = q0 1 p 22 C3 = 3 = ja C 4 = q3 5 C0 =. p1 9 p 13 = , C2 = 2 = , q1 2 q2 3 p 4 57 . = q 4 13. 2.2 Konvergenttien ominaisuuksia Tässä pykälässä esitetään konvergentteja koskevia lauseita. Esitettyjä tuloksia käytetään osittain myös muissa luvuissa. Lause 2.2 Olkoon konvergentti. Silloin. C k = pk qk. ketjumurtoluvun. [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ]. k.. p k q k -1 - p k -1q k = (-1) k -1 ,. kun 1 £ k £ n . Todistus (vrt. [5, s. 473]). Todistetaan lause induktiolla. Kun k = 1 , niin lauseen 2.1 rekursioyhtälöiden (3) perusteella saadaan p1 q0 - p0 q1 = ( a0 a1 + 1) × 1 - a 0 a1 = 1 = ( -1)1-1 ,. joten väite toteutuu tässä tapauksessa. Oletetaan sitten, että väite on tosi luvun k positiivisilla kokonaislukuarvoilla, joille pätee 1 £ k < n . Tällöin siis p k q k -1 - p k -1 q k = (-1) k -1 .. Rekursioyhtälöiden (3) sekä induktio-oletuksen perusteella saadaan p k +1q k - p k q k +1 = (a k +1 p k + p k -1 )q k - p k (a k +1q k + q k -1 ) = a k +1 p k q k + p k -1q k - a k +1 p k q k - p k q k -1 = p k -1q k - p k q k -1 = -( p k q k -1 - p k -1 q k ) = -(-1) k -1 = (-1) k , joten väite on tosi arvolla k + 1 . Induktioperiaatteen mukaan väite on tosi. Tarkastellaan sitten lauseen 2.2 seurauksena saatavia tuloksia.. 9.

Seuraus 2.1 Olkoon C k = pk qk yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] k. konvergentti. Olkoot lisäksi kokonaisluvut p k ja q k määritelty, kuten lauseessa 2.1. Tällöin kokonaisluvut p k ja q k ovat suhteellisia alkulukuja. Todistus (vrt. [5, s. 473-474]). Olkoon d = ( p k , q k ) . Lauseen 2.2 perusteella tiedetään, että p k q k -1 - p k -1q k = (-1) k -1 . Näin ollen d (-1) k -1 , jolloin siis d (-1) ja d 1 . Tästä seuraa, että d = 1 . Koska siis d = ( p k , q k ) = 1 , ovat luvut p k ja q k keskenään jaottomia. Seuraus 2.1 osoittaa, että yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergentit p k q k ovat aina supistetussa muodossa. Tarkastellaan vielä toista lauseen 2.2 seurausta.. Seuraus 2.2 Olkoon C k = pk qk [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] k. konvergentti. Silloin C k - C k -1 =. yksinkertaisen. ketjumurtoluvun. (-1) k -1 , q k q k -1. kun 1 £ k £ n . Lisäksi on voimassa C k - C k -2 =. a k (-1) k , q k q k -2. kun 2 £ k £ n . Todistus (vrt. [5, s. 474]). Lauseen 2.2 mukaan p k q k -1 - p k -1q k = (-1) k -1 . Jakamalla tämä yhtälö puolittain luvulla q k q k -1 saadaan. C k - C k -1 =. p k p k -1 (-1) k -1 , = q k q k -1 q k q k -1. joten ensimmäinen yhtälö on voimassa. Tarkastelemalla erotusta C k - C k -2 huomataan, että. 10.

C k - C k -2 =. p k p k - 2 p k q k -2 - p k - 2 qk = . q k q k -2 qk q k - 2. (5). Rekursioyhtälöiden (3) perusteella tiedetään, että p k = a k p k -1 + p k - 2 ja q k = a k q k -1 + q k - 2 . Lisäksi lauseen 2.2 perusteella tiedetään, että p k -1 q k -2 - p k - 2 q k -1 = (-1) k -2 . Näitä yhtälöitä käyttämällä saadaan yhtälön (5) oikeanpuoleisen lausekkeen osoittaja muotoon. p k q k -2 - p k - 2 q k = (a k p k -1 + p k - 2 )q k - 2 - p k - 2 (a k q k -1 + q k - 2 ) = a k p k -1q k - 2 + p k - 2 q k -2 - p k - 2 a k q k -1 - p k - 2 q k -2 = a k ( p k -1q k - 2 - p k - 2 q k -1 ) = a k (-1) k - 2 .. Näin ollen. C k - C k -2. a k (-1) k - 2 a k (-1) k , = = qk qk -2 qk qk -2. joten toinen yhtälö on voimassa. Huomautus 2.2 Ks. [5, s. 474]. Lähdeteoksen seurauksessa 12.10.2 (vrt. tämän tutkielman seuraus 2.2) esiintyneen yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K, a k ] tilalla pitäisi olla ketjumurtoluku [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] . Seuraavaksi esitetään konvergenttien osoittajia ja nimittäjiä koskevat lauseet. C k = p k q k = [a 0 ; a1 , K , a k ] ketjumurtoluvun Lause 2.3 Olkoon [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] k. konvergentti ja olkoon a0 > 0 ja k ³ 0 . Silloin on voimassa yhtälö pk = [a k ; a k -1 ,K, a1 , a0 ]. p k -1 Todistus (vrt. [4, s. 220 ja s. 285-286, harjoitustehtävä 3). Todistetaan lause induktiolla. Kun k = 0 , niin huomautuksen 2.1 merkintöjen perusteella. [ a0 ] = a 0 =. a0 p = 0 . 1 p -1. Tässä tapauksessa väite on siis tosi. Oletetaan sitten, että. pm = [a m ; a m -1 , K, a1 , a 0 ] , p m -1. 11.

missä luku m on kiinnitetty ja 0 £ m < k . Tällöin induktio-oletuksen ja rekursiokaavojen (3) perusteella saadaan. 1 [a m ; a m-1 ,K, a1 , a 0 ] p 1 = a m+1 + m -1 = a m +1 + pm p m p m -1 a p + p m -1 p = m+1 m = m+1 . pm pm. [a m +1 ; a m , a m -1 ,K , a1 , a 0 ] = a m +1 +. Siis induktioperiaatteen mukaan väite on tosi.. C k = p k q k = [a 0 ; a1 , K , a k ] ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] k. konvergentti ja olkoon k ³ 1 . Silloin on voimassa yhtälö qk = [a k ; a k -1 ,K , a1 ]. q k -1. Lause. 2.4. Olkoon. Todistus (vrt. [2, s. 7]). Todistetaan lause induktiolla. Kun k = 1 , niin. q1 a1 = = a1 = [a1 ]. q0 1 Tässä tapauksessa väite on siis tosi. Oletetaan sitten, että k > 1 ja. q k -1 = [a k -1 ; a k -2 ,K , a1 ] . q k -2 Rekursiokaavojen (3) ja induktio-oletuksen perusteella saadaan. qk q 1 = ak + k -2 = ak + q k -1 q k -1 q k -1 q k - 2 é q ù = êa k ; k -1 ú = [a k ; a k -1 , a k - 2 , K, a1 ] . ë qk -2 û. Siis induktioperiaatteen mukaan väite on tosi. Lause 2.5 Olkoon q k yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] k. konvergentin nimittäjä. Silloin q k ³ q k -1 , kun 1 £ k £ n , ja kun k > 1 , niin erisuuruus on aito. Lisäksi q k ³ k aina, kun k ³ 0.. 12.

Todistus (vrt. [4, s. 218]). Koska q0 = 1 , viimeinen väite on ensimmäisen väitteen selvä seuraus. Todistetaan lauseen alkuosa induktiolla. Koska q0 = 1 £ a1 = q1 , niin ensimmäinen väite on tosi, kun k = 1 . Oletetaan sitten, että väite on tosi aina, kun k on sellainen kokonaisluku, että 1 £ k £ m ja m < n . Koska yksinkertaisen ketjumurtoluvun (m + 1). termi on positiivinen kokonaisluku, on voimassa epäyhtälö a m +1 ³ 1 . Rekursiokaavojen (3) ja epäyhtälön a m +1 ³ 1 perusteella q m +1 = a m +1 q m + q m -1 > q m + 0 = q m , joten väite on tosi arvolla m + 1 . Siis induktioperiaatteen mukaan väite on tosi.. Seurauksen 2.2 ja lauseen 2.5 avulla voidaan todistaa seuraava parillisesti ja parittomasti indeksoituja konvergentteja koskeva tulos. Lause 2.6 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K, a n ] konvergentit toteuttavat epäyhtälön C 0 < C 2 < L < C n < L < C 3 < C1 . Todistus (vrt. [4, s. 218-219]). Seurauksen 2.2 mukaan. C k - C k -2. a k (-1) k , = qk qk -2. kun 2 £ k £ n. Kun luku k on parillinen, on yllä olevan yhtälön oikea puoli selvästi positiivinen. Tällöin on siis voimassa C k > C k -2 , joten parillisesti indeksoidut konvergentit muodostavat aidosti kasvavan jonon. Kun luku k on pariton, on yhtälön oikea puoli vastaavasti negatiivinen. Tällöin saadaan epäyhtälö C k < C k -2 , joten parittomasti indeksoidut konvergentit muodostavat aidosti vähenevän jonon. Konvergentti C n on siis joko suurin parillisesti indeksoitu tai pienin parittomasti indeksoitu konvergentti, sitä mukaa kuin luku n on parillinen tai pariton. Oletetaan sitten, että luku h on pariton ja luku k parillinen. Jos h < k , niin h £ k - 1 . Koska k - 1 on pariton luku, on voimassa epäyhtälö. 13.

C h ³ C k -1 . Seurauksen 2.2 perusteella C k - C k -1 =. (-1) k -1 < 0, q k q k -1. koska luku k on parillinen ja lauseen 2.5 mukaan tulo q k q k -1 on > 0 . Näin ollen saadaan epäyhtälöketju C h ³ C k -1 > C k . Jos oletetaan, että h > k , niin tällöin on voimassa h -1 ³ k . Kun edellä esitetty perustelu toistetaan käyttämällä luvun k sijaan lukua h , saadaan jälleen Ch > Ck . Näin on siis osoitettu, että jokainen parittomasti indeksoitu konvergentti on jokaista parillisesti indeksoitua konvergenttia suurempi. Esimerkki 2.2 Tarkastellaan vielä esimerkin 2.1 ketjumurtoluvun [4; 2, 1, 1, 2] konvergentteja. Kun konvergentit muutetaan desimaalimuotoon, saadaan 9 13 = 4,5 , C 2 = = 4,3333K , 2 3 22 57 C3 = = 4,4 ja C 4 = = 4,3846K . 5 13. C 0 = 4 , C1 =. Lauseen 2.6 mukaisesti on siis selvästi voimassa C 0 = 4 < C 2 = 4,3333K < C 4 = 4,3846 K < C 3 = 4,4 < C1 = 4,5 .. 14.

3 Äärettömät ketjumurtoluvut Luvussa 3 perehdytään äärettömiin ketjumurtolukuihin ja tarkastellaan niiden ominaisuuksia aiemmin esitettyjen tulosten avulla. Tässä luvussa hyödynnetään etenkin konvergentteja koskevia lauseita.. 3.1 Äärettömiin ketjumurtolukuihin liittyviä käsitteitä Aluksi esitetään määritelmiä, jotka koskevat äärettömiä ketjumurtolukuja. Määritelmä 3.1 Äärettömällä ketjumurtoluvulla tarkoitetaan lauseketta. a0 +. b1 a1 +. ,. b2 a2 +. b3 a3 +. b4 O. missä a0 , a1 , a 2 ,K ja b1 , b2 , b3 ,K ovat reaalilukuja. Määritelmä 3.2 Yksinkertaisella äärettömällä ketjumurtoluvulla tarkoitetaan lauseketta 1 a0 + , (6) 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 +. O missä a0 on kokonaisluku ja a1 , a 2 , a3 ,K ovat positiivisia kokonaislukuja. Tässä luvussa käsitellään lausekkeen (6) kaltaisia yksinkertaisia äärettömiä ketjumurtolukuja. Näiden ketjumurtolukujen termejä a1 , a 2 , a3 ,K kutsutaan osanimittäjiksi, kuten äärellisilläkin ketjumurtoluvuilla. Yksinkertaiselle äärettömälle ketjumurtoluvulle (6) otetaan nyt käyttöön merkintä [a0 ; a1 , a 2 , K] .. 15.

3.2 Äärettömät ketjumurtoluvut ja irrationaaliluvut Pykälässä 1.2 käsiteltiin yksinkertaisten äärellisten ketjumurtolukujen ja rationaalilukujen vastaavuutta. Tässä pykälässä osoitetaan puolestaan yksinkertaisten äärettömien ketjumurtolukujen ja irrationaalilukujen välinen yhteys. Aluksi todistamme lauseen, joka antaa aiheen määritellä konvergenttien rajaarvon yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun arvoksi. Tässä ensimmäisessä ja pykälän muissa todistuksissa voidaan hyödyntää luvussa 2 esitettyjä ketjumurtolukujen konvergentteja koskevia kaavoja, koska näiden kaavojen johtaminen oli riippumaton ketjumurtoluvun äärellisyydestä. Näin ollen kaavat ovat voimassa myös äärettömillä ketjumurtoluvuilla, kun indeksien ylärajat poistetaan. Lause 3.1 Olkoon [a0 ; a1 , a 2 , K] yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku ja olkoon C n sen n . konvergentti. Silloin on olemassa sellainen reaaliluku a , että a = lim C n . n® ¥. Lisäksi määritellään, että a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] . Todistus (vrt. [4, s. 221-222]). Lauseen 2.6 perusteella tiedetään, että C0 < C 2 < C 4 < L , C1 > C 3 > C 5 > L . Lisäksi on voimassa epäyhtälö C h < C k , kun h on parillinen ja k on pariton luku. Tällöin jono (C 2k )k >0 parillisesti indeksoituja konvergentteja on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu luvulla C1 , joten se on suppeneva. Vastaavasti parittomasti indeksoidut konvergentit muodostavat aidosti vähenevän jonon (C 2k +1 )k >0 , joka on alhaalta rajoitettu luvulla C 0 . Siis myös tämä jono on suppeneva. Näin ollen analyysin tulosten perusteella on olemassa sellaiset reaaliluvut a1 ja a 2 , että lim C 2 k = a 1 k ®¥. ja. lim C 2 k +1 = a 2 . k ®¥. Osoitetaan nyt raja-arvojen a1 ja a 2 yhtäsuuruus. Tämän seurauksena. lim C k = a 1 k ®¥. 16.

ja luku a1 voidaan määritellä äärettömän ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K] arvoksi. Seurauksen 2.2 ja lauseen 2.5 mukaan on voimassa 0 < C 2k +1 - C 2k. p 2 k +1 p 2k (-1) 2 k 1 1 . = = = £ q 2k +1 q 2 k q 2k +1q 2k q 2k +1 q 2k (2 k + 1)2k. Siksi. 0 £ lim C 2 k +1 - C 2 k £ 0 , k ®¥. joten on voimassa yhtälö a 1 = a 2 . Merkitsemällä a = a 1 = a 2 on siis osoitettu, että kaikki konvergentit suppenevat kohti raja-arvoa a . Lisäksi voidaan määritellä, että a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] . Lause 3.2 Olkoon [a0 ; a1 , a 2 , K] yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku ja merkitään, että a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] . Silloin luku a on irrationaaliluku. Todistus (vrt. [4, s. 222]). Lauseen 3.1 perusteella tiedetään, että luku a on aidosti kasvavan jonon (C 2k )k ³ 0 ja aidosti vähenevän jonon (C 2k +1 )k ³0 yhteinen raja-arvo. Näin ollen luku a sijaitsee konvergenttien C n ja C n+1 (n = 0, 1, 2, K) välissä. Tämän tiedon ja seurauksen 2.2 perusteella on voimassa p n +1 p n (-1) n 1 . 0 < a - C n < C n+1 - C n = = = q n +1 q n q n+1 q n q n+1q n Tehdään sitten vastaoletus, että a on rationaaliluku. Merkitään, että a = a b , missä a ja b ovat kokonaislukuja ja b > 0 . Tällöin saadaan 0<. a a p 1 . - Cn = - n < b b qn q n q n+1. Kertomalla epäyhtälö luvulla bq n (> 0) saadaan edelleen. 0 < aq n - bp n <. b q n+1. .. Koska q n+1 ³ n + 1 , niin. 0 < aq n - bp n <. b q n+1. £. b . n +1. Valitsemalla kokonaisluku n , joka on ³ b , saadaan. 17.

0 < aq n - bp n <. b b £ < 1. q n+1 n + 1. Tästä seuraa ristiriita, sillä erotus aq n - bp n on kokonaisluku. Näin ollen vastaoletus on väärin. Luku a on siis irrationaalinen. Edellä on osoitettu, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua. Tutkitaan sitten irrationaalilukujen esittämistä yksinkertaisten äärettömien ketjumurtolukujen avulla. Lause 3.3 Olkoon a irrationaaliluku ja merkitään, että a = a 0 . Määritellään lisäksi jono a0 , a1 , a 2 ,K rekursiivisesti yhtälöillä a k = ëa k û ,. a k +1 =. 1 , a k - ak. kun k ³ 0 . Silloin luku a on yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K] arvo. Todistus (vrt. [5, s. 480-482]). Rekursiivisesta määritelmästä nähdään, että a k on kokonaisluku kaikilla luvun k arvoilla. Induktiolla voidaan lisäksi osoittaa, että luku a k on irrationaalinen aina, kun k ³ 0 , ja että tämän seurauksena luku a k +1 on olemassa. Yhtälön a 0 = a perusteella luku a 0 on irrationaalinen. Näin ollen on voimassa a 0 ¹ a 0 = ëa 0 û . Käyttämällä rekursiivista määritelmää saadaan yhtälö. a1 =. 1 . a 0 - a0. On siis osoitettu, että luku a1 on olemassa. Oletetaan sitten, että luku a k on irrationaalinen. Tämän seurauksena luku a k +1 on olemassa. Voidaan helposti havaita, että myös luku a k +1 on irrationaalinen. Yhtälöstä 1 a k +1 = a k - ak seuraa nimittäin, että 1 a k = ak + . (7) a k +1. 18.

Jos a k +1 olisi rationaaliluku, niin myös a k olisi rationaaliluku. Koska a k on irrationaaliluku ja a k on kokonaisluku, niin on voimassa ehto a k ¹ a k . Tällöin tiedetään, että ak < a k < a k + 1. Vähentämällä tästä epäyhtälöstä luku a k saadaan 0 < a k - a k < 1. Edellä esitetyn perusteella on voimassa. a k +1 =. 1 > 1, a k - ak. joten tällöin a k +1 = ëa k +1 û ³ 1 , kun k ³ 0 . Näin ollen kaikki kokonaisluvut a1 , a 2 ,K ovat positiivisia. Käyttämällä toistuvasti kaavaa (7) havaitaan, että. 1 = [a 0 ; a1 ] a1 1 = a0 + = [a 0 ; a1 , a 2 ] 1 a1 + a2 M 1 = [a 0 ; a1 , a 2 ,K , a k , a k +1 ] . = a0 + 1 a1 + 1 a2 +. a = a 0 = a0 +. O +. 1 ak +. 1. a k +1. Seuraavaksi osoitetaan, että ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 ,K, a k , a k +1 ] arvo lähestyy lukua a , kun luku k kasvaa rajatta. Lauseen 2.1 todistuksen perusteella tiedetään, että a p + pk -1 a = [a 0 ; a1 , K, a k , a k +1 ] = k +1 k , a k +1 qk + q k -1 missä p j q j on ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K] j. konvergentti. Siksi. 19.

a k +1 p k + p k -1 p k a k +1 p k q k + p k -1 q k - a k +1 p k q k - p k q k -1 = a k +1q k + q k -1 q k (a k +1q k + q k -1 )q k - ( p k q k -1 - p k -1 q k ) - (-1) k -1 = , = (a k +1q k + q k -1 )q k (a k +1 q k + q k -1 )q k. a - Ck =. missä osoittaja - ( p k q k -1 - p k -1q k ) on sievennetty käyttämällä lausetta 2.2. Koska a k +1q k + q k -1 > a k +1q k + q k -1 = q k +1 , niin tiedetään, että - (-1) k -1 1 a - Ck = = (a k +1 q k + q k -1 )q k (a k +1 q k + q k -1 )q k. <. 1 1 = . (a k +1q k + q k -1 )q k q k q k +1. Lauseen 2.5 mukaan q k ³ k . Näin ollen lauseke 1 (q k q k +1 ) lähestyy arvoa 0 , kun luku k kasvaa rajatta. Siksi lim C k = a , ts. luku a on yksinkertaisen k ®¥. äärettömän ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K] arvo. Huomautus 3.1 Ks. [5, s. 480-482]. Lähdeteoksessa lauseen 12.15 todistuksen (vrt. tutkielman lauseen 3.3 todistus) lopussa on viitattu ehtoon q k > k . Viittaus pitäisi olla ehtoon q k ³ k . Lause 3.4 Jos kaksi yksinkertaista ääretöntä ketjumurtolukua [a0 ; a1 , a 2 , K] ja [b0 ; b1 , b2 ,K] esittävät samaa irrationaalilukua, niin a k = bk , kun k ³ 0 . Todistus (vrt. [5, s. 482-483]). Olkoon a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] . Koska C 0 = a0 ja. C1 = a 0 + 1 a1 , niin lauseen 3.1 perusteella tiedetään, että. a0 < a < a 0 +. 1 . a1. Koska kokonaisluku a1 on ³ 1 , saadaan epäyhtälö edelleen muotoon a0 < a < a 0 + 1. Täten on voimassa a0 = ëa û . Lisäksi tiedetään, että [a0 ; a1 , a 2 , K] = a 0 + sillä. 20. 1 , [a1 ; a 2 , a3 ,K].

a = [a 0 ; a1 , a 2 ,K] = lim [a0 ; a1 , a 2 ,K , a k ] k ®¥. ö æ 1 ÷ = lim çç a 0 + k ®¥ [a1 ; a 2 , a3 , K , a k ] ÷ø è 1 = a0 + lim [a1 ; a 2 , K, a k ] k ®¥. = a0 +. 1 . [a1 ; a 2 , a3 ,K]. Oletetaan, että [a0 ; a1 , a 2 , K] = [b0 ; b1 , b2 , K] . Tämän oletuksen ja käytettyjen merkintöjen perusteella huomataan, että a0 = b0 = ëa û ja. a0 +. 1 1 = b0 + . [a1 ; a 2 ,K] [b1 ; b2 ,K]. Näin ollen on voimassa. [a1 ; a 2 ,K] = [b1 ; b2 ,K]. Oletetaan sitten, että a k = bk ja [a k +1 ; a k + 2 , K] = [bk +1 ; bk + 2 , K] . Käyttämällä samaa päättelyä kuin edellä havaitaan, että a k +1 = bk +1 ja. a k +1 +. 1 1 . = bk +1 + [a k + 2 ; a k +3 ,K] [bk + 2 ; bk + 3 ,K]. Tällöin siis [a k + 2 ; a k +3 , K] = [bk + 2 ; bk + 3 , K]. Induktiota käyttäen on siis osoitettu, että a k = bk , kun k ³ 0 . Huomautus 3.2 Ks. [5, s. 482-483]. Lähdeteoksessa lauseen 12.16 todistuksen (vrt. tutkielman lauseen 3.4 todistus) yhteydessä on viitattu lähdeteoksen lauseeseen 12.11 (vrt. tutkielman lause 2.6). Viittaus pitäisi olla teoksen lauseeseen 12.13 (vrt. tutkielman lause 3.1). Lisäksi todistuksessa pitäisi yhtälön 1 1 = bk +1 + a k +1 + [a k + 2 ; a k +3 , K] [bk +1 ; bk +3 ,K]. 21.

tilalla olla yhtälö. a k +1 +. 1 1 = bk +1 + . [a k + 2 ; a k +3 ,K] [bk + 2 ; bk + 3 ,K]. Lauseiden 3.3 ja 3.4 perusteella osoittautuu, että jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna. Esimerkki 3.1 Olkoon a = 39 . Muodostetaan tämän irrationaaliluvun ketjumurtolukuesitys käyttäen lauseen 3.3 rekursioyhtälöitä. Tällöin a0 =. ë. û. 39 = 6 ,. 1. a1 =. 39 - 6. =. 39 + 6 39 + 6 , = 39 - 36 3. ê 39 + 6 ú a1 = ê ú = 4, ë 3 û 3( 39 + 6) 1 1 3 = = 39 + 6 , a 2 = 39 + 6 = 39 -6 = 39 - 36 -4 39 - 6 3 3. a2 =. a3 =. ë. û. 39 + 6 = 12 ,. 1 39 + 6 - 12. =. 1 39 - 6. =. 39 + 6 39 + 6 . = 39 - 36 3. Koska a 3 = a 1 , niin a3 = a1 , a 4 = a 2 , K ja näin saadaan 39 = [6; 4, 12, 4, 12, 4, 12, K] .. Tämä ketjumurtoluku sisältää osanimittäjien jakson, joka toistuu jatkuvasti. Siksi sitä kutsutaan jaksolliseksi ketjumurtoluvuksi. Jaksollisiin ketjumurtolukuihin palataan luvussa 4.. 3.3 Irrationaalilukujen approksimointi Seuraavassa tarkastellaan irrationaalilukujen approksimointia rationaalilukujen avulla. Voidaan nimittäin osoittaa, että irrationaaliluvun a ketjumurtolukukehitelmän konvergentit ovat luvun a parhaita rationaalisia approksimaatioita. Parhaalla rationaalisella approksimaatiolla tarkoitetaan, että konvergentti p k q k on lähin sellaisista luvun a rationaalisista approksimaatioista, joiden nimittäjä ei ole suurempi kuin kyseessä olevan konvergentin nimittäjä.. 22.

Lause 3.5 Jos a on irrationaaliluku, niin on olemassa äärettömän monta sellaista rationaalilukua p q , että. a-. 1 p < 2. q q. Todistus (vrt. [5, s. 484]). Olkoon p k q k luvun a ketjumurtolukuesityksen k . konvergentti. Tällöin lauseen 3.3 todistuksen perusteella tiedetään, että. a-. pk 1 . < qk q k q k +1. Koska lauseen 2.5 perusteella q k < q k +1 , kun k ³ 1 , niin edellä esitetty epäyhtälö saadaan muotoon p 1 a- k < 2. qk qk Näin ollen luvun a konvergentit p k q k rationaalilukuja, jotka täyttävät lauseen ehdot.. ( k =1,2, K ) vastaavat niitä. Seuraavaksi esitetään ilman todistusta apulause, jota tarvitaan lauseen 3.6 todistuksessa. Apulause 3.1 Jos a , b ja c ovat sellaisia positiivisia kokonaislukuja, että (a, b) = 1 ja a bc , niin a c . Todistus. Ks. [5, s. 109]. Lause 3.6 Olkoon a irrationaaliluku ja olkoot p j q j ( j =1,2, K ) luvun a yksinkertaisen äärettömän ketjumurtolukuesityksen konvergentteja. Jos r ja s ovat kokonaislukuja ja s > 0 ja jos k on sellainen positiivinen kokonaisluku, että sa - r < q k a - p k , niin s ³ q k +1 . Todistus (vrt. [5, s. 484-485]). Tehdään vastaoletus, että sa - r < q k a - p k , mutta 1 £ s < q k +1 . Tarkastellaan yhtälöryhmää p k x + p k +1 y = r , q k x + q k +1 y = s .. 23. (8).

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla q k ja toinen luvulla p k ja vähennetään tämän jälkeen toinen yhtälö ensimmäisestä. Tällöin saadaan ( p k +1q k - p k q k +1 ) y = rq k - sp k . Lauseen 2.2 perusteella tiedetään, että p k +1q k - p k q k +1 = (-1) k . Tätä yhtälöä käyttämällä havaitaan, että y = (-1) k (rq k - sp k ) . Kerrotaan sitten ensimmäinen yhtälö luvulla q k +1 ja toinen luvulla p k +1 ja vähennetään ensimmäinen yhtälö toisesta. Tällöin saadaan ( p k +1q k - p k q k +1 ) x = sp k +1 - rq k +1 . Kun käytetään jälleen lauseen 2.2 tulosta, saadaan yhtälö x = (-1) k ( sp k +1 - rq k +1 ) .. Seuraavaksi osoitetaan, että x ¹ 0 ja y ¹ 0 . Jos x = 0 , niin silloin sp k +1 = rq k +1 . Koska ( p k +1 , q k +1 ) = 1 , niin apulauseen 3.1 perusteella q k +1 s .. Tästä seuraa, että q k +1 £ s , mikä on ristiriita. Näin ollen x ¹ 0 . Jos taas y = 0 , niin tällöin ovat voimassa yhtälöt r = p k x ja s = q k x . Näiden yhtälöiden sekä ehdon x ³ 1 nojalla saadaan sa - r = q k xa - p k x = x(q k a - p k ) = x qk a - p k ³ qk a - pk .. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, joten y ¹ 0 . Osoitetaan sitten, että luvut x ja y ovat erimerkkisiä. Oletetaan ensin, että y < 0 . Yhtälöstä q k x = s - q k +1 y seuraa tällöin, että x > 0 , koska q k x > 0 ja q k > 0 . Jos taas oletetaan, että y > 0 , niin epäyhtälöketjun q k +1 y ³ q k +1 > s perusteella tiedetään, että q k x = s - q k +1 y < 0 . Näin ollen x < 0 , sillä q k > 0 . Lauseen 3.1 perusteella tiedetään, että luku a sijaitsee konvergenttien p k q k. ja p k +1 q k +1 välissä. Tällöin on siis voimassa joko epäyhtälö p k q k < a < p k +1 q k +1 tai epäyhtälö p k +1 q k +1 < a < p k q k . Kummassakin tapauksessa huomataan, että luvut q k a - p k ja q k +1a - p k +1 ovat erimerkkisiä.. 24.

Yhtälöryhmän (8) perusteella tiedetään, että sa - r = (q k x + q k +1 y )a - ( p k x + p k +1 y ) = x(q k a - p k ) + y (q k +1a - p k +1 ) .. Edellä esitettyjen päätelmien nojalla tiedetään, että luvut x(q k a - p k ) ja y (q k +1a - p k +1 ) ovat samanmerkkisiä. Näin ollen niiden summan itseisarvo on sama kuin itseisarvojen summa. Koska x ³ 1 , niin nyt sa - r = x q k a - p k + y q k +1a - p k +1 ³ x qk a - pk ³ q ka - pk .. Tästä seuraa ristiriita oletuksen kanssa. On siis osoitettu, että vastaoletus on väärin ja väite oikein. Huomautus 3.3 Ks. [5, s. 484-485]. Lähdeteoksessa lauseen 12.18 todistuksessa (vrt. tutkielman lauseen 3.6 todistus) on tehty oletukset s ¹ 0 ja y ¹ 0 . Oletusten kuuluisi olla muotoa x ¹ 0 ja y ¹ 0 . Lisäksi todistuksen loppuosassa on viitattu teoksen lauseeseen 12.11 (vrt. tutkielman lause 2.6). Viittaus pitäisi olla lähdeteoksen lauseeseen 12.13 (vrt. tutkielman lause 3.1). Seuraus 3.1 Olkoon a irrationaaliluku ja olkoot p j q j ( j = 1, 2,K) luvun. a yksinkertaisen äärettömän ketjumurtolukuesityksen konvergentteja. Jos r s on rationaaliluku, missä r ja s ovat kokonaislukuja ja s > 0 , ja jos k on sellainen positiivinen kokonaisluku, että a-. p r <a- k , s qk. niin s > q k . Todistus (vrt. [5, s. 485]). Tehdään vastaoletus, että s £ q k ja. a-. p r <a- k . s qk. Kertomalla epäyhtälö luvulla s ja huomioimalla ehto s £ q k havaitaan, että sa -. p r < qk a - k . s qk. 25.

Koska s , q k > 0 , niin edellä esitetyn perusteella on voimassa sa - r < q k a - p k ,. mistä seuraa ristiriita lauseen 3.6 päätelmän kanssa. Vastaoletus on siis väärin ja väite oikein. Tarkastellaan vielä, millä ehdolla irrationaaliluvun rationaalinen approksimaatio on tämän irrationaaliluvun yksinkertaisen äärettömän ketjumurtolukuesityksen konvergentti. Lause 3.7 Olkoon a irrationaaliluku ja olkoon r s rationaaliluku, missä r ja s ovat kokonaislukuja, s > 0 ja (r , s) = 1 . Jos rationaaliluku r s toteuttaa ehdon 1 r a- < 2, s 2s niin r s on luvun a yksinkertaisen ketjumurtolukuesityksen konvergentti. Todistus (vrt. [5, s. 486]). Tehdään vastaoletus, että r s ei ole luvun a ketjumurtolukuesityksen konvergentti. Näin ollen on olemassa sellaiset konvergentit p k q k ja p k +1 q k +1 , että q k £ s < q k +1 . Lauseen 3.6 sekä oletuksen a - r s < 1 (2 s 2 ) perusteella tiedetään, että tällöin. q k a - p k £ sa - r = s a -. 1 r < . s 2s. Jakamalla epäyhtälö qka - pk <. 1 2s. puolittain luvulla q k (> 0) saadaan. a-. pk 1 . < qk 2 sq k. Koska r s ¹ p k q k , erotus sp k - rq k on nollasta eroava kokonaisluku. Täten on voimassa epäyhtälö sp k - rq k ³ 1 . Tämän tiedon ja kolmioepäyhtälön perusteella saadaan edelleen. 26.

sp k - rq k sp - rq k 1 £ = k sq k sq k sq k =. pk r p r = k -a +a qk s qk s. £. pk p r r -a + a - = a - k + a qk s qk s. <. 1 1 + 2. 2sq k 2 s. Edellä esitetystä seuraa, että. 1 1 < 2 . 2sq k 2 s Näin ollen on voimassa 2sq k > 2 s 2 ,. mistä seuraa, että q k > s . Tämä on ristiriita oletuksen kanssa. Vastaoletus on siis väärin ja väite oikein.. 27.

4 Jaksolliset ketjumurtoluvut Luvussa 3 sivuttiin esimerkin 3.1 yhteydessä sellaisia äärettömiä yksinkertaisia ketjumurtolukuesityksiä, joissa jakso ketjumurtolukuesityksen termejä toistuu jatkuvasti. Tässä luvussa selvitetään tarkemmin näiden jaksollisiksi ketjumurtoluvuiksi kutsuttujen esitysten ominaisuuksia.. 4.1 Kvadraattiset irrationaaliluvut Kvadraattisilla irrationaaliluvuilla on keskeinen asema jaksollisten ketjumurtolukujen käsittelyssä. Seuraavassa esitetään tällaisia irrationaalilukuja koskevia määritelmiä ja lauseita. Lisäksi esitetään luettelonomaisesti ilman todistuksia kaksi apulausetta, jotka helpottavat tämän pykälän pääaiheen ominaisuuksien tutkimista. Määritelmä 4.1 Reaalilukua a sanotaan kvadraattiseksi irrationaaliluvuksi, jos se on irrationaalinen ja kokonaislukukertoimisen toisen asteen yhtälön juuri, ts. Aa 2 + Ba + C = 0 , missä A, B ja C ovat kokonaislukuja ja A ¹ 0 . Apulause 4.1 Kahden rationaaliluvun summa ja tulo ovat rationaalisia. Todistus. Ks. [5, s. 12 ja 617, harjoitustehtävä 3]. Apulause 4.2 Olkoon luku a kokonaislukukertoimisen polynomin x n + c n -1 x n-1 + L + c1 x + c0 juuri. Silloin a on joko kokonaisluku tai irrationaaliluku.. Todistus. Ks. [5, s. 115]. Lause 4.1 Reaaliluku a on kvadraattinen irrationaaliluku, jos ja vain jos on olemassa sellaiset kokonaisluvut a, b(> 0) ja c(¹ 0) , että luku b ei ole täydellinen neliö ja a+ b a= . c. 28.

Todistus (vrt. [5, s. 491]). Oletetaan ensin, että a on kvadraattinen irrationaaliluku. Tällöin se on selvästi irrationaalinen. Lisäksi määritelmän 4.1 perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B ja C , että Aa 2 + Ba + C = 0 . Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan perusteella tiedetään, että. a=. - B ± B 2 - 4 AC . 2A. Koska a on reaaliluku, niin luku B 2 - 4 AC on > 0 . Toisaalta, koska a on irrationaalinen, luku B 2 - 4 AC ei ole täydellinen neliö ja ehto A ¹ 0 on voimassa. Merkitsemällä joko a = - B , b = B 2 - 4 AC ja c = 2 A tai a = B , b = B 2 - 4 AC ja c = -2 A saadaan luvulle a haluttu esitys. Oletetaan sitten, että luku a on muotoa. a=. a+ b , c. missä a, b ja c ovat kokonaislukuja. Oletetaan lisäksi, että b > 0 , c ¹ 0 ja että luku b ei ole täydellinen neliö. Tällöin apulauseiden 4.1 ja 4.2 perusteella havaitaan, että luku a on irrationaaliluku. Koska c 2a 2 - 2aca + (a 2 - b) = 0 , on a kvadraattinen irrationaaliluku. Lause 4.2 Jos a on kvadraattinen irrationaaliluku ja r , s , t ja u ovat kokonaislukuja, niin osamäärä (ra + s ) (ta + u ) on joko rationaaliluku tai kvadraattinen irrationaaliluku. Todistus (vrt. [5, s. 491-492]). Oletetaan, että a on kvadraattinen irrationaaliluku. Tällöin lauseen 4.1 mukaan on olemassa sellaiset kokonaisluvut a, b(> 0) ja c(¹ 0) , että luku b ei ole täydellinen neliö ja. a=. a+ b . c. Tämän yhtälön perusteella saadaan. é t (a + b ) ù + uú ê c ë û ar + r b + cs r (a + b ) + cs c = = × c t (a + b ) + cu at + t b + cu. ra + s é r (a + b ) ù =ê + sú ta + u ë c û. 29.

=. =. Näin. ollen. (ar + cs ) + r b (at + cu ) + t b. =. [(ar + cs ) + r b ][(at + cu ) - t b ] [(at + cu ) + t b ][(at + cu ) - t b ]. [(ar + cs )(at + cu ) - rtb] + [r (at + cu ) - t (ar + cs )] b . (at + cu ) 2 - t 2 b. lauseen. 4.1. perusteella. kvadraattinen irrationaaliluku. Jos luvun rationaaliluku.. (ra + s) (ta + u ). osamäärä. on. b kerroin on nolla, on osamäärä. Edellä on esitetty kvadraattisia irrationaalilukuja koskevia tuloksia. Lauseessa 4.3 tarkastellaan vielä yhtä kvadraattisen irrationaaliluvun ominaisuutta. Lause 4.3 Olkoon a on kvadraattinen irrationaaliluku. Silloin luku a on muotoa P+ d a= , Q missä P ja Q ovat kokonaislukuja, d on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole täydellinen neliö, Q ¹ 0 ja Q (d - P 2 ) . Todistus (vrt. [5, s. 494-495]). Koska a on kvadraattinen irrationaaliluku, lauseen 4.1 mukaan luvulle a on voimassa yhtälö. a=. a+ b , c. missä a, b ja c ovat kokonaislukuja, b > 0 ja c ¹ 0 . Kun tämä yhtälö lavennetaan luvulla c , saadaan se muotoon. a=. ac + c b cc. =. a c + bc 2 cc. .. Olkoon nyt P = a c , Q = c c ja d = bc 2 . Tällöin P, Q ja d ovat kokonaislukuja. Selvästi Q ¹ 0 , sillä c ¹ 0 . Vastaavasti d > 0 , koska b > 0 . Luku d ei ole täydellinen neliö, koska luku b ei ole täydellinen neliö. Lisäksi Q (d - P 2 ) , sillä luku d - P2 voidaan kirjoittaa muodossa 2 2 2 2 2 2 d - P = bc - a c = c (b - a ) = ±Q(b - a 2 ) . Seuraavaksi tarkastellaan kvadraattisiin irrationaalilukuihin konjugaatin käsitettä sekä konjugaatteja koskevia laskusääntöjä.. 30. liittyvää.

Määritelmä 4.2 Olkoon kvadraattinen irrationaaliluku a muotoa. a=. a+ b . c. Tällöin luvun a konjugaatti a ¢ määritellään yhtälöllä. a¢ =. a- b . c. Lause 4.4 Jos kvadraattinen irrationaaliluku a on yhtälön Ax 2 + Bx + C = 0 juuri, niin yhtälön toinen juuri on luvun a konjugaatti a ¢ . Todistus (vrt. [5, s. 492]). Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan yhtälön Ax 2 + Bx + C = 0 juuret ovat muotoa. - B ± B 2 - 4 AC . 2A Jos luku a on toinen näistä kahdesta juuresta, niin konjugaatti a ¢ on toinen, B 2 - 4 AC. sillä juurilausekkeen luvusta a lukua a ¢ .. etumerkki vaihdetaan muodostettaessa. Lause 4.5 Olkoot kvadraattiset irrationaaliluvut a1. ja a 2. muotoa. a 1 = (a1 + b1 d ) c1 ja a 2 = (a 2 + b2 d ) c 2 . Silloin (i) (a 1 + a 2 )¢ = a 1¢ + a 2¢ , (ii) (a 1 - a 2 )¢ = a 1¢ - a 2¢ , (iii) (a 1a 2 )¢ = a 1¢a 2¢ , (iv) (a 1 a 2 )¢ = a 1¢ a 2¢ . Todistus (vrt. [5, s. 492-493]). Todistetaan osamäärää koskeva sääntö. Muut säännöt todistetaan vastaavasti, joten niiden todistukset sivuutetaan tässä. Koska a 1 = (a1 + b1 d ) c1 ja a 2 = (a 2 + b2 d ) c 2 , saadaan osamäärälle a 1 a 2 yhtälö. a1 (a + b d ) c1 c (a + b d ) = 1 1 = 2 1 1 a 2 (a 2 + b2 d ) c 2 c1 (a 2 + b2 d ) =. =. c 2 (a1 + b1 d )(a 2 - b2 d ) c1 (a 2 + b2 d )(a 2 - b2 d ). c 2 a1 a 2 - c 2 a1b2 d + c 2 a 2 b1 d - c 2 b1b2 d c1 (a 22 - b22 d ). 31.

=. (c 2 a1 a 2 - c 2 b1b2 d ) + (c 2 a 2 b1 - c 2 a1b2 ) d . c1 (a 22 - b22 d ). Määritelmän 4.2 perusteella osamäärän a 1 a 2 konjugaatti (a 1 a 2 )¢ voidaan nyt esittää yhtälönä ¢ æ a 1 ö (c 2 a1 a 2 - c 2 b1b2 d ) - (c 2 a 2 b1 - c 2 a1b2 ) d çç ÷÷ = . c1 (a 22 - b22 d ) èa2 ø Konjugaattien osamäärä a 1¢ a 2¢ taas vastaa määritelmän 4.2 mukaan yhtälöä ¢ a1 (a - b d ) c1 c (a - b d )(a 2 + b2 d ) = 1 1 = 2 1 1 ¢ (a - b d ) c c1 (a 2 - b2 d )(a 2 + b2 d ) a2 2 2 2. =. c 2 a1 a 2 + c 2 a1b2 d - c 2 a 2 b1 d - c 2 b1b2 d c1 (a 22 - b22 d ). =. (c 2 a1 a 2 - c 2 b1b2 d ) - (c 2 a 2 b1 - c 2 a1b2 ) d . c1 (a 22 - b22 d ). Koska (a 1 a 2 )¢ = a 1¢ a 2¢ , on osamäärää koskeva sääntö tosi. Huomautus 4.1 Ks. [5, s. 492-493]. Lähdeteoksen apulauseen 12.4 (vrt. tutkielman lause 4.4) toisen laskusäännön kuuluisi olla (a 1 - a 2 )¢ = a 1¢ - a 2¢ eikä (a 1 + a 2 )¢ = a 1¢ - a 2¢ .. 4.2 Jaksollisten ketjumurtolukujen ominaisuuksia Seuraavassa tutkitaan jaksollisia ketjumurtolukuja sekä erityisesti näiden ketjumurtolukujen ja kvadraattisten irrationaalilukujen välistä yhteyttä. Määritelmä 4.3 Ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua [a0 ; a1 , a 2 , K] sanotaan jaksolliseksi, jos on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut N ja k , että aina, kun n ³ N , niin a n = a n+ k . Jaksolliselle ketjumurtoluvulle [a0 ; a1 , a 2 , K, a N -1 , a N , a N +1 , K, a N + k -1 , a N , a N +1 , K] käytetään merkintää [a0 ; a1 , a 2 , K, a N -1 , a N , a N +1 , K , a N + k -1 ] .. 32.

Esimerkki 4.1 Ääretön ketjumurtoluku. [7; 5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 3, 2, K]. tarkoittaa jaksollista ketjumurtolukua [7;5, 4,3, 2] . Vastaavasti esimerkin 3.1 ääretön ketjumurtoluku [6; 4, 12, 4, 12, 4, 12, K] voidaan kirjoittaa muodossa [6; 4,12] .. Lause 4.6 Olkoon yksinkertainen jaksollinen ketjumurtoluku muotoa [a0 ; a1 , a 2 , K, a N -1 , a N , a N +1 , K , a N + k ] ja olkoon sen arvo a . Silloin luku a on kvadraattinen irrationaaliluku. Todistus (vrt. [5, s. 493-494]). Oletuksen perusteella. a = [a 0 ; a1 , a 2 , K, a N -1 , a N , a N +1 , K, a N + k ] . Merkitään, että. b = [a N ; a N +1 , K, a N + k ] , mistä seuraa, että. b = [a N ; a N +1 ,K, a N + k , b ] .. Näin ollen lauseen 2.1 todistuksen perusteella saadaan yhtälö. b=. bp k + p k -1 , bq k + q k -1. (9). missä p k q k ja p k -1 q k -1 ovat ketjumurtoluvun [a N ; a N +1 , K , a N + k ] kaksi konvergenttia. Koska lukua b vastaava yksinkertainen ketjumurtoluku on ääretön, on b irrationaaliluku. Lisäksi, koska yhtälö (9) voidaan esittää muodossa q k b 2 + (q k -1 - p k ) b - p k -1 = 0 , määritelmän 4.1 perusteella luku b on kvadraattinen irrationaaliluku. Oletuksen ja esitettyjen merkintöjen perusteella tiedetään, että. a = [a 0 ; a1 , a 2 ,K , a N -1 , b ] . Tästä saadaan lauseen 2.1 todistuksen mukaan yhtälö. a=. bp N -1 + p N - 2 , bq N -1 + q N - 2. missä p N -1 q N -1 ja p N - 2 q N -2 ovat ketjumurtoluvun [a0 ; a1 , a 2 , K , a N -1 ] konvergentteja. Luku a on irrationaaliluku, sillä sen yksinkertainen ketjumurtolukuesitys on ääretön. Lisäksi, koska b on kvadraattinen. 33.

irrationaaliluku, niin edellä esitetystä yhtälöstä nähdään lauseen 4.2 perusteella, että myös a on kvadraattinen irrationaaliluku. Esimerkki 4.2 Olkoon x = [1; 1, 1,3] . Määritetään kvadraattisen irrationaaliluvun x arvo käyttäen apuna lauseen 4.6 todistusta. Merkitään, että x = [1; 1, y ] , missä y = [1;3] = [1; 3, y ] . Näin ollen 1. y = 1+. 3+. 1 y. =1+. y 4y +1 1 , =1+ = 3y + 1 3y + 1 3 y + 1 y. mistä saadaan edelleen toisen asteen yhtälö 3y 2 - 3y -1 = 0 . Koska y > 0 , niin toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan. y=. 3 + 9 - 4 × 3 × (-1) 3 + 21 = . 6 6. Koska x = [1; 1, y ] , niin sijoittamalla saadaan. x = 1+. 1 1+. 1 y. 1. = 1+ 1+. 1. 1. = 1+ 1+. 6. = 1+. 1 9 + 21. 3 + 21 3 + 21 3 + 21 6 3 + 21 (9 - 21)(3 + 21) 27 + 9 21 - 3 21 - 21 = 1+ = 1+ = 1+ 2 60 9 - 21 9 + 21 6 + 6 21 1 + 21 11 + 21 = 1+ = 1+ = . 60 10 10. Siis x = (11 + 21) 10 . Lauseen 4.6 todistus antoi keinon määrittää jaksollisia ketjumurtolukuja vastaavat kvadraattiset irrationaaliluvut. Seuraavassa lauseessa esitellään menetelmä, jolla puolestaan määritetään kvadraattisia irrationaalilukuja vastaavat ketjumurtoluvut. Lause 4.7 Olkoon a kvadraattinen irrationaaliluku. Lauseen 4.3 nojalla on olemassa sellaiset kokonaisluvut P0 , Q0 ja d , että luku a voidaan kirjoittaa muodossa. 34.

P0 + d , Q0. a=. missä Q0 ¹ 0 , d > 0 , luku d ei ole täydellinen neliö ja Q0 Määritellään rekursiivisesti, että P + d ak = k , Qk a k = ëa k û , Pk +1 = a k Qk - Pk ,. ( d - P02 ) .. (10). d - Pk2+1 , Qk. Qk +1 = kun k ³ 0 . Silloin a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] .. Todistus (vrt. [5, s. 495-496]). Todistetaan ensin induktiolla, että luvut Pk ja Qk ovat kokonaislukuja ja että Qk ¹ 0 ja Qk. (d - Pk2 ) . Tämä väite on. lauseen oletusten perusteella selvästi tosi, kun k = 0 . Oletetaan sitten, että Pk ja Qk ovat kokonaislukuja ja että Qk ¹ 0 ja Qk ( d - Pk2 ) . Tällöin myös Pk +1 on kokonaisluku, sillä se voidaan kirjoittaa kokonaislukujen erotuksena muodossa Pk +1 = a k Qk - Pk . Luku Qk +1 voidaan kirjoittaa rekursiokaavojen (10) avulla muodossa Qk +1 =. d - Pk2+1 Qk. =. d - (a k Qk - Pk ) 2 Qk. =. d - a k2 Qk2 + 2a k Qk Pk - Pk2 Qk. =. d - Pk2 + (2a k Pk - a k2 Qk ) . Qk. Induktio-oletuksen mukaan Qk (d - Pk2 ) . Erotus 2a k Pk - a k2 Qk on puolestaan kokonaisluku. Täten Qk +1 on kokonaisluku. Koska luku d ei ole täydellinen neliö, niin d ¹ Pk2+1 . Tästä seuraa, että Qk +1 = (d - Pk2+1 ) Qk ¹ 0 . Yhtälön. Qk =. d - Pk2+1 Qk +1. 35.

perusteella tiedetään, että Qk +1 (d - Pk2+1 ) . Väitteen alkuosa on siis todistettu induktiolla. Todistetaan sitten lausetta 3.3 käyttämällä, että kokonaisluvut a0 , a1 , a 2 ,K vastaavat luvun a ketjumurtolukukehitelmän [a0 ; a1 , a 2 , K] termejä. Jos voidaan osoittaa, että 1 a k +1 = , a k - ak. kun k ³ 0 , niin a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] . Rekursiokaavojen (10) perusteella saadaan yhtälö P + d d - (a k Qk - Pk ) a k - ak = k - ak = Qk Qk = =. d - Pk +1 ( d - Pk +1 )( d + Pk +1 ) = Qk Qk ( d + Pk +1 ) d - Pk2+1. =. Qk Qk +1. Qk ( d + Pk +1 ) Qk ( d + Pk +1 ) Qk +1 1 = = . d + Pk +1 a k +1. On siis osoitettu, että a k +1 = 1 (a k - a k ) . Näin ollen a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] . Huomautus 4.2 Ks. [5, s. 495-496]. Lähdeteoksessa lauseen 12.22 induktiotodistuksen (vrt. tutkielman lauseen 4.7 todistus) lopussa ehdon d ¹ Pk2 pitäisi olla d ¹ Pk2+1 . Samoin todistettaessa, että a k +1 = 1 (a k - a k ) , tulisi yhtälöketjussa olla lausekkeen ( d - Pk +1 )( d + Pk +1 ) Qk ( d + Pk +1 ). tilalla olla lauseke ( d - Pk +1 )( d + Pk +1 ) (Qk ( d + Pk +1 )) .. Esimerkki 4.3 Määritetään kvadraattisen irrationaaliluvun a = (2 + 3 ) 3 ketjumurtolukuesitys käyttäen lauseen 4.7 rekursioyhtälöitä. Muodostetaan ensin aloitusarvot P0 , Q0 , d ja a0 . Selvästi 3 - 2 2 = -1 . Luku 3 ei kuitenkaan jaa lukua - 1 . Laventamalla lukua a = (2 + 3 ) 3 saadaan. a=. 6 + 27 . 9. Nyt 27 - 6 2 = -9 . Selvästi luku 9 jakaa luvun - 9 . Aloitusarvot ovat siis. 36.

ê 6 + 27 ú P0 = 6 , Q0 = 9 , d = 27 ja a0 = ëa û = ê ú = 1. ë 9 û Näiden arvojen ja rekursioyhtälöiden (10) perusteella saadaan. P1 = a 0 × Q0 - P0 = 1 × 9 - 6 = 3 ,. a1 =. Q1 =. ê 3 + 27 ú a1 = ëa 1 û = ê ú = 4, 2 ë û. P1 + d 3 + 27 , = Q1 2. P2 = a1 × Q1 - P1 = 4 × 2 - 3 = 5 ,. a2 =. Q2 =. P2 + d = 5 + 27 , Q2. ë. Q3 =. û. d - P32 27 - 5 2 = =2, 1 Q2. ê 5 + 27 ú a3 = ëa 3 û = ê ú = 5, ë 2 û. P3 + d 5 + 27 , = Q3 2. P4 = a3 × Q3 - P3 = 5 × 2 - 5 = 5 ,. a4 =. d - P22 27 - 5 2 = =1 Q1 2. a 2 = ëa 2 û = 5 + 27 = 10 ,. P3 = a 2 × Q2 - P2 = 10 × 1 - 5 = 5 ,. a3 =. d - P12 27 - 3 2 = = 2, Q0 9. Q4 =. P4 + d = 5 + 27 , Q4. d - P42 27 - 5 2 = = 1, 2 Q3. ë. û. a 4 = ëa 2 û = 5 + 27 = 10 .. Koska P4 = P2 ja Q4 = Q2 , niin algoritmi alkaa toistaa itseään. Näin ollen. 2+ 3 = [1; 4, 10, 5, 10, 5, 10, 5, K] = [1; 4, 10,5] . 3 Esimerkissä 4.3 osoittautui, että kvadraattisella irrationaaliluvulla on jaksollinen ketjumurtolukuesitys. Todistetaan nyt, että tämä pitää paikkansa yleisesti. Lause 4.8 Olkoon a kvadraattinen irrationaaliluku. Silloin sen yksinkertainen ääretön ketjumurtolukuesitys on jaksollinen. Todistus (vrt. [5, s. 497-498]). Lauseen 4.3 mukaan luku a voidaan kirjoittaa muodossa P + d . a= 0 Q0. 37.

Lisäksi lauseen 4.7 perusteella on voimassa yhtälö a = [a 0 ; a1 , a 2 , K] sekä rekursiokaavat P + d ak = k , Qk a k = ëa k û , Pk +1 = a k Qk - Pk , Qk +1 =. d - Pk2+1 , Qk. kun k ³ 0 . Kun merkitään, että a = [a 0 ; a1 , a 2 , K, a k ] , niin lauseen 2.1 todistuksen perusteella luvulle a saadaan yhtälö. a=. a k p k -1 + p k - 2 . a k q k -1 + q k - 2. Tällöin luvun a konjugaatille a ¢ on lauseen 4.5 mukaan voimassa yhtälö. a¢ =. a k¢ p k -1 + p k -2 . a k¢ q k -1 + q k - 2. (11). Yhtälöstä (11) saadaan edelleen konjugaatille a k¢ arvo. a k¢ =. - qk -2 q k -1. p æ ç a ¢ - k -2 q k -2 ç ç p k -1 ça¢q k -1 è. ö ÷ ÷. ÷ ÷ ø. Kun k ® ¥ , niin p k - 2 q k -2 ® a ja p k -1 q k -1 ® a . Tämän seurauksena. (a ¢ - ) (a ¢ - ) ® 1. Näin ollen on olemassa sellainen kokonaisluku pk - 2 qk - 2. pk -1 qk -1. N,. että a k¢ < 0 , kun k ³ N . Koska a k > 0 , kun k > 1 , niin on voimassa. a k - a k¢ =. Pk + d Pk - d 2 d = > 0. Qk Qk Qk. Täten Qk > 0 , kun k ³ N . Rekursiokaavojen (10) perusteella nähdään, että Qk Qk +1 = d - Pk2+1 . Kun k ³ N , on siis voimassa epäyhtälö. 38.

0 < Qk £ Qk Qk +1 = d - Pk2+1 £ d .. Kun k ³ N , tiedetään myös, että Pk2+1 < d = Pk2+1 + Qk Qk +1 ,. minkä perusteella saadaan edelleen epäyhtälö - d < Pk +1 < d .. Tarkastellaan ehtoja 0 < Qk £ d ja - d < Pk +1 < d , jotka ovat voimassa, kun k ³ N . Tällöin havaitaan, että kokonaislukuparille Pk , Qk on olemassa vain äärellinen määrä mahdollisia arvoja, kun k > N . Toisaalta kokonaislukuindeksejä k , joille on voimassa k ³ N , on äärettömän monta. Näin ollen on olemassa myös sellaiset kokonaislukuindeksit i ja j , että Pi = Pj ja Qi = Q j , kun i < j . Rekursiokaavojen (10) mukaan. a k = ( Pk + d ) Qk , joten a i = ( Pi + d ) Qi = ( Pj + d ) Q j = a j . Tämän seurauksena saadaan ai = a j , ai +1 = a j +1 , ai + 2 = a j + 2 , K . Näin ollen. a = [ a 0 ; a1 , a 2 ,K , ai -1 , a i , ai +1 ,K , a j -1 , ai , ai +1 ,K , a j -1 ,K] = [a 0 ; a1 , a 2 ,K , ai -1 , a i , ai +1 ,K , a j -1 ] , joten luvun a yksinkertainen ketjumurtolukuesitys on jaksollinen. Huomautus 4.3 Ks. [5, s. 497-498]. Lähdeteoksessa lauseen 12.21 todistuksessa (vrt. tutkielman lauseen 4.8 todistus) on viitattu teoksen lauseisiin 12.20 ja 12.11. Viittaukset pitäisi olla lähdeteoksen lauseisiin 12.22 ja 12.9 (vrt. tutkielman lauseet 4.7 ja 2.1). Samoin todistuksen lopussa epäyhtälön Pk2+1 £ d = Pk2+1 - Qk Qk +1 tilalla pitäisi olla epäyhtälö Pk2+1 < d = Pk2+1 + Qk Qk +1 . Vastaavasti epäyhtälön 0 £ Qk £ d tilalla tulisi olla epäyhtälö 0 < Qk £ d . Lauseissa 4.6 ja 4.8 on osoitettu yksinkertaisten jaksollisten ketjumurtolukujen keskeinen ominaisuus. Yksinkertaiset jaksolliset ketjumurtoluvut vastaavat kvadraattisia irrationaalilukuja ja kvadraattisten irrationaalilukujen yksinkertaiset ketjumurtolukuesitykset ovat jaksollisia.. 4.3 Täysin ominaisuuksia. jaksollisten. ketjumurtolukujen. Tässä pykälässä tutkitaan täysin jaksollisia ketjumurtolukuja. Täysin jaksollisilla ketjumurtoluvuilla jakso alkaa heti ketjumurtolukuesityksen alusta.. 39.

Määritelmä 4.4 Yksinkertaista ketjumurtolukua [a0 ; a1 , a 2 , K] sanotaan täysin jaksolliseksi, jos on olemassa sellainen kokonaisluku n , että a k = a n+ k , kun k = 0, 1, 2,K . Tällöin [a0 ; a1 , a 2 , K] = [a 0 ; a1 , a 2 , a3 , K , a n-1 ] .. Määritelmä 4.5 Kvadraattista irrationaalilukua a sanotaan redusoiduksi, jos a > 1 ja - 1 < a ¢ < 0 , missä luku a ¢ on luvun a konjugaatti. Seuraavissa lauseissa sekä esimerkissä 4.4 tarkastellaan redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen vastaavuutta. Lause 4.9 Olkoon a redusoitu kvadraattinen irrationaaliluku. Silloin sen yksinkertainen ääretön ketjumurtolukuesitys on täysin jaksollinen. Todistus (vrt. [5, s. 499-500]). Lauseen 3.3 perusteella luvun ketjumurtolukuesityksen termeille on voimassa yhtälöt a k = ëa k û ,. a k +1 =. a. 1 , a k - ak. kun k ³ 0 . Lisäksi voidaan merkitä, että a = a 0 . Täten tiedetään, että. 1. a k +1. = a k - ak .. Kun käytetään konjugaatteja a k¢ ja a k¢ +1 sekä lausetta 4.5, saadaan edelleen yhtälö 1 = a k¢ - a k . (12) a k¢ +1 Todistetaan nyt induktiolla, että - 1 < a k¢ < 0 , kun k ³ 0 . Koska a on redusoitu kvadraattinen irrationaaliluku ja yhtälö a = a 0 pätee, niin määritelmän 4.5 perusteella selvästi - 1 < a 0¢ < 0 , kun k = 0 . Oletetaan sitten, että - 1 < a k¢ < 0 . Määritelmän 4.5 nojalla a > 1 , joten erityisesti a0 = ëa 0 û = ëa û ³ 1 . Täten siis a k ³ 1 , kun k ³ 0 . Tämän ehdon, induktiooletuksen ja yhtälön (12) perusteella on voimassa. 1 = a k¢ - a k < -1 . a k¢ +1 Näin ollen - 1 < a k¢ +1 < 0 . Induktioperiaatteen mukaan väite on siis tosi.. 40.

Yhtälöstä (12) seuraa, että. a k¢ = a k +. 1 . a k¢ +1. Koska - 1 < a k¢ < 0 , niin edellä esitetyn perusteella on voimassa. - 1 < ak +. 1 < 0. a k¢ +1. Tästä saadaan epäyhtälö. -1-. 1 1 . < ak < a k¢ +1 a k¢ +1. Näin ollen ê 1 ú ak = êú. ¢ a k +1 û ë. Koska a on kvadraattinen irrationaaliluku, niin tällöin lauseen 4.8 todistuksen perusteella on olemassa sellaiset ei-negatiiviset kokonaislukuindeksit i ja j ( i < j ), että a i = a j . Tämän seurauksena - 1 a i¢ = - 1 a ¢j . Koska. ai -1 = ë- 1 a i¢ û ja a j -1 = ë- 1 a ¢j û , niin ai -1 = a j -1 . Yhtälöiden a i -1 = a i -1 + 1 a i ja a j -1 = a j -1 + 1 a j perusteella tiedetään, että a i -1 = a j -1 . Jatkamalla tätä päättelyä havaitaan, että a i - 2 = a j - 2 , a i -3 = a j -3 , K ja että a 0 = a j -i . Tällöin a 0 = a = [ a 0 ; a1 ,K , a j -i -1 , a j -i ] = [ a 0 ; a1 , K , a j -i -1 , a 0 ]. = [a 0 ; a1 ,K , a j -i -1 ] , joten luvun a jaksollinen.. yksinkertainen ääretön ketjumurtolukuesitys on täysin. Huomautus 4.4 Ks. [5, s. 499-500]. Lähdeteoksessa lauseen 12.23 todistuksen (vrt. tutkielman lauseen 4.9 todistus) alussa on viitattu teoksen lauseeseen 12.18. Viittaus pitäisi olla lauseeseen 12.15 (vrt. tutkielman lause 3.3). Lisäksi päättelyketjussa tulisi yhtälön a 0 = a j -1 tilalla olla yhtälö a 0 = a j -i . Samoin yhtälön. a 0 = a = [ a 0 ; a1 ,K , a j -i -1 , a j -1 ]. tilalla. tulisi. olla. yhtälö. a 0 = a = [ a 0 ; a1 ,K , a j -i -1 , a j -i ] . Esimerkki 4.4 Tarkastellaan kvadraattista irrationaalilukua 7 + 50 . Selvästi 7 + 50 » 14,071 > 1 . Koska 7 - 50 » -0,071 , niin - 1 < 7 - 50 < 0 . Näin ollen luku 7 + 50 on redusoitu kvadraattinen irrationaaliluku. Lauseen 4.9 perusteella tämän luvun ketjumurtolukuesitys on täysin jaksollinen.. 41.

Käyttämällä samaa menetelmää kuin esimerkissä 4.3 saadaan luvulle 7 + 50 ketjumurtolukuesitys [14] . Lause 4.10 Olkoon a kvadraattinen irrationaaliluku. Olkoon lisäksi yksinkertainen täysin jaksollinen ketjumurtoluku muotoa [a0 ; a1 , a 2 , K, a k ] ja olkoon sen arvo a . Silloin luku a on redusoitu kvadraattinen irrationaaliluku. Todistus (vrt. [5, s. 500-501] ja [3, s. 92, lauseen 8.1 todistus]). Oletuksen perusteella a = [a 0 ; a1 , a 2 , K, a k ] . Toisaalta voidaan merkitä, että. a = [a 0 ; a1 , a 2 ,K, a k , a ] . Tällöin lauseen 2.1 todistuksen perusteella tiedetään, että ap + p k -1 a= k , (13) aq k + q k -1 missä p k -1 q k -1 ja p k q k ovat luvun a ketjumurtolukukehitelmän (k - 1) . ja k . konvergentti. Yhtälöstä (13) seuraa, että q k a 2 + ( q k -1 - p k )a - p k -1 = 0 .. Olkoon. sitten. b. sellainen. kvadraattinen. irrationaaliluku,. (14) että. b = [a k ; a k -1 , K , a1 , a 0 ] . Luvun b ketjumurtolukuesityksessä termit ovat luvun a ketjumurtolukuesitykseen verrattuna käännetyssä järjestyksessä. Merkitään, että b = [a k ; a k -1 ,K , a1 , a 0 , b ] . Lauseen 2.1 todistuksen avulla saadaan edelleen, että bp ¢ + p k¢ -1 b= k , (15) bq k¢ + q k¢ -1 missä p ¢k -1 q ¢k -1 ja p ¢k q ¢k ovat luvun b ketjumurtolukuesityksen (k - 1) . ja k . konvergentti. Lauseiden 2.3 ja 2.4 perusteella tiedetään, että. pk p¢ = [a k ; a k -1 , K, a1 , a 0 ] = k p k -1 q k¢ ja. qk p¢ = [a k ; a k -1 ,K , a 2 , a1 ] = k -1 . q k -1 q k¢ -1. Koska p ¢k -1 q ¢k -1 ja p k¢ q ¢k ovat konvergentteja, ne ovat seurauksen 2.1 perusteella supistetussa muodossa. Lauseen 2.2 perusteella tiedetään, että p k q k -1 - p k -1 q k = (-1) k -1 . Jos d = ( p k -1 , p k ) , niin d (-1) k -1 . Samoin, jos d = (q k -1 , q k ) , niin d. (-1) k -1 . Kummassakin tapauksessa d = 1 . Täten luvut. 42.

p k -1 ja p k ovat keskenään jaottomia samoin kuin luvut q k -1 ja q k . Siis myös luvut p k p k -1 ja q k q k -1 ovat supistetussa muodossa. Näin ollen p ¢k = p k , q ¢k = p k -1 ja. p k¢ -1 = q k , q ¢k -1 = q k -1 .. Sijoittamalla nämä arvot yhtälöön (15) saadaan. b=. bpk + q k . bp k -1 + q k -1. Tästä seuraa, että p k -1 b 2 + (q k -1 - p k ) b - q k = 0 .. Jakamalla tämä yhtälö puolittain luvulla - b 2 saadaan q k ( - 1 b ) 2 + (q k -1 - p k ) (-1 b ) - p k -1 = 0 .. (16). Yhtälöiden (14) ja (16) perusteella havaitaan, että toisen asteen yhtälön q k x 2 + (q k -1 - p k ) x - p k -1 = 0. kaksi juurta ovat luvut a ja - 1 b . Tällöin lauseen 4.4 perusteella a ¢ = - 1 b .. Luvun a täysin jaksolliselle ketjumurtolukuesitykselle [a0 ; a1 , a 2 , K, a k ] on puhtaan jaksollisuuden vuoksi voimassa a0 = a k +1 . Koska a k +1 ³ 1 , niin myös a0 ³ 1 . Täten saadaan. a = [a 0 ; a1 , a 2 , K, a k ] = [a 0 ; a1 ,K , a k , a 0 ,K] 1 = a0 + > a0 ³ 1 . [a1 ; a 2 ,K] Näin ollen a > 1 . Toisaalta myös luvun b ketjumurtolukuesitys on täysin jaksollinen ja sisältää luvun a ketjumurtolukuesityksen termit käännetyssä järjestyksessä. Nyt. b = [a k ; a k -1 , K , a1 , a 0 ] = [a k ; a k -1 , K, a1 , a 0 , a k , K] 1 = ak + > ak ³ 1 , [a k -1 ; a k - 2 ,K] Siis myös b > 1 . Lisäksi, koska a ¢ = - 1 b , niin - 1 < a ¢ = - 1 b < 0 . Näin ollen luku a on redusoitu kvadraattinen irrationaaliluku.. 43.