Persamaan Logistik Stokastik
Herry Pribawanto Suryawan
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
Isi Kuliah
Persamaan Logistik
Derau Putih dan Gerak Brown Persamaan Diferensial Stokastik Persamaan Logistik Stokastik Perluasan Model Logistik Stokastik
Model Pertumbuhan Populasi
Model Malthus (1798):
dN(t)
dt =rN(t) N(0) =N0>0,
dengan
N(t)adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktut r adalah laju pertumbuhan intrinsik
Solusi:
N(t) =N0ert
Tidak realistis!
Model Pertumbuhan Populasi
Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):
Gb. 1 :sumber: en.wikipedia.org dN(t) dt =r(t)N(t) 1−N(t) K , N(0) =N0>0, (1) dengan
r : [0,∞)→Rfungsi terintegral lokal adalah laju pertumbuhan individu
dalam populasi
K >0 adalah kapasitas ambang untuk mengakomodasi faktor-faktor daya
dukung ekosistem seperti ketersediaan makanan dan air, temperatur, kelembaban, intensitas cahaya, kehadiran predator, penyakit, dsb.
Persamaan logistik (1) adalah PD nonlinear, tapi dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel.
Solusi:
N(t) = N0K
N0+ (K −N0)e−R0tr(s)ds
Khususnya, jikar(t) =r konstan:
N(t) = N0K
N0+ (K−N0)e−rt (2)
Perilaku jangka panjang:
r >0: kurva solusi berbentuk sigmoid dan bersifat stabil asimtotik menuju ke K:
lim
t→∞N(t) =K
r =0: populasi statis (sesuai dengan kondisi awal N0): lim
t→∞N(t) =N0
r <0: terjadi pengurangan laju pertumbuhan per kapita dan kurva solusi
secara asimtotik menuju ke nol (kepunahan populasi):
lim
t→∞N(t) =0.
Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhanr >0:
Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhanr >0
dengan berbagai kondisi awal:
Gb.3. :sumber: fr.wikipedia.org
Beberapa modikasi model logistik:
1 Persamaan logistik dengan ambang kepunahan
Pada kenyataannya kepunahan populasi dapat terjadi apabila ukuran populasi terlalu kecil, sebab:
predasi dapat menghabiskan sisa individu dalam populasi, mencari pasangan untuk berkembang biak menjadi sulit,
kurangnya keanekaragaman genetik yang mengakibatkan populasi rentan terhadap penyakit epidemik, dsb.
dN(t) dt =r(t)N(t) N(t) L −1 1− N(t) K , 0<L<K, N(0) =N0>0 2 Persamaan logistik stokastik
Pada kenyataannya parameter-parameter dalam persamaan logistik tidak sepenuhnya dapat ditentukan, ada faktor-faktor eksternal yang bersifat probabilistik. Jadi perlu dipertimbangkan adanya derau (noise)):
dNt dt =Nt 1−Nt K (α(t) +σ(t)·Dt) N0=Y >0
Kita tidak tahu perilaku eksak dari derauDt, hanya distribusi peluang dariDt
kurva logistik deterministik vs stokastik
deterministik:
stokastik:
Gb. 4 :sumber: wolfram.com
Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul
Apa artinya dan formulasi matematika dari:
Kuantitas acakNt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)
Keluarga kuantitas acak(Nt)t≥0yang diindeks oleh waktut => proses stokastik (stochastic processes)
DerauDt =>derau putih Gaussian (Gaussian white noise)(turunan dari
gerak Brown) Integral stokastik
Z T
0
Nt·Dtdt
=>integral Ito atau integral Stratonovich
Persamaan diferensial stokastik
dNt=Nt 1−Nt K (α(t) +σ(t)·Dt)dt
Derau Putih dan Gerak Brown
Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih
1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan
2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown
3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaan
panas/difusi
4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown
5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown)
6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsi
tipe Eropa dalam keuangan
7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (white
noise analysis)
8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanika
kuantum dengan analisis derau putih
9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumus
Black-Scholes
10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerak
Derau Putih (White Noise)
Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yang rusak (corrupted)
Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yang dapat didengar dengan intensitas yang sama
Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrum yang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahaya putih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.
Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuahidealisasi matematisdari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadak dan sangat besar.
Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwa derau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.
Derau Putih dan Gerak Brown:
Gerak Brown adalah proses stokastikB = (Bt)t≥0yang terdenisi pada sebuah
ruang peluang(Ω,F,P)sehingga:
1 B0=0 P-hampir pasti
2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments) 3 Bt−Bs∼ N(0,t−s)(normally distributed)
4 P-hampir pastit7→Bt(ω)kontinu
Gb. 6 :sumber:math.uiuc.edu
Partikel Brownian tidak memiliki laju:
Bt+ε−Bt ε ∼ N(0, 1 ε) =⇒ dBt dt =εlim→0 Bt+ε−Bt ε tidak ada!
Fakta:
Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifat kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. =>integral Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan
Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) =>terkait dengan fraktal
Gerak Brown adalah proses Markov =>tidak punya memori
Gerak Brown adalah proses Gaussian =>Kajian probabilistik dan analitiknya relatif mudah
Derau putih adalah proses GaussianDt yang saling bebas pada waktu yang
berbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi∞, dalam
arti:
E(DtDs) = Z
R
ei(t−s)xdx=δ(t−s)
Denisi ini belum dapat diterima 100%.
Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teori distribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektor topologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).
Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan diferensial dengan derau
dXt =f(t,Xt)dt+σ(t,Xt)Dtdt, X0=Y
dituliskan sebagai persamaan diferensial stokastik
dXt =f(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBt, X0=Y
dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integral stokastik Xt=Y + Z t 0 f(s,Xs)ds | {z } integral deterministik + Z t 0 σ(s,Xs)dBs | {z } integral stokastik
integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock, dsb
integral stokastik: integral Wiener, integral Ito, integral Stratonovich, integral Russo-Vallois, dsb
Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito
Theorem
Diberikan persamaan diferensial stokastik
dXt =f(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBt, X0=Y (3)
dengan
1 fungsif(t,x)danσ(t,x)terukur pada[0,T]×R
2 terdapatK >0 sehingga untuk setiapt ∈[0,T]danx,y ∈R: 1 |f(t,x)−f(t,y)|+|σ(t,x)−σ(t,y)| ≤K|x−y|,
2 |f(t,x)|2+|σ(t,x)|2≤K(1+|x|2)
3 peubah acakY memenuhiE(Y2)<∞dan, untuk setiapt>0, bebas
terhadap gerak BrownB
Maka terdapat sebuah solusiXt dari (3) yang terdenisi pada[0,T]yang kontinu P-hampir pasti, teradaptasi terhadap ltrasi yang dibangun olehY danBs,s≤t,
memenuhi supt∈[0,T]E(Xt2)<∞, serta merupakan proses Markov. Lebih lanjut,
solusi ini bersifat tunggal lintasan-demi-lintasan, yakni apabilaX danZ dua
solusi, makaP
supt∈[0,T]|Xt−Zt|=0
=1.
Rumus Ito
Proses Ito adalah proses stokastikXt yang dapat dituliskan dalam bentuk dXt =f(t)dt+σ(t)dBt denganRt 0|f(s)|ds <∞dan Rt 0|σ(s)|2ds <∞.
Theorem
ApabilaXt adalah proses Ito dang(t,x)∈C2([0,∞)×R), maka Y(t) =g(t,Xt)juga merupakan proses Ito dan berlaku
dY(t) =∂g ∂t(t,Xt)dt+ ∂g ∂x(t,Xt)dXt+ 1 2 ∂2g ∂x2(t,Xt) (dXt) 2,
dengan(dXt)2 ditentukan menurut aturan
Persamaan Logistik Stokastik
Penurunan persamaan logistik stokastik
Dari persamaan logistik
dN(t) dt =r(t)N(t) 1−N(t) K , N(0) =N0>0
dengan memperhatikan gangguan acak (derau) pada laju pertumbuhan
r(t) =α(t) +σ(t).Dt (4)
diperoleh persamaan logistik dengan derau
dNt dt =Nt 1−Nt K (α(t) +σ(t)·Dt), N0=Y >0
Kita pilih derauDt adalahderau putih Gaussian, jadi dapat dipandang Dt=dBt
dt .
Dengan demikian diperolehpersamaan logistik stokastik dNt =Nt 1−Nt K (α(t)dt+σ(t)dBt), N0=Y >0 (5)
Eksistensi-Ketunggalan Solusi Positif
Theorem
Untuk setiap kondisi awalN0 sehinggaN0∈(0,K)P-hampir pasti, terdapat
dengan tunggal solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistik stokastik (5).
Ide bukti:
Teorema eksistensi-ketunggalan umum Rumus Ito
Teorema Kolmogorov-Chentsov: DiberikanX = (Xt)t≥0 adalah proses
Gaussian terpusat dan terdapatC, η >0 sehingga untuk setiaps,t≥0
E (Xt−Xs)2
≤C|t−s|η.
Maka untuk setiapβ ∈ 0,η2, terdapat modikasiZ dariX yang bersifat
kontinu Hölder orderβ.
Jelas bahwaNt =0 danNt =K adalah solusi dari (5). Sekarang, kita misalkan Nt6=0 danNt6=K. Sebut g(t,x) :=lnx, maka g(t,Nt) =ln K −Nt Nt =ln(K−Nt)−ln(Nt).
Selanjutnya, rumus Ito memberikan
dg(t,Nt) =− dNt k−Nt − (dNt)2 2(K −Nt)2 − dNt Nt + (dNt)2 2Nt2 =− α(t)−σ(t)2 2 + σ(t)2 2 Nt K 2 +σ(t)2Nt K ! dt+σ(t)dBt !
Jadi, K−Nt Nt =Ce Φt (6) dengan C= K−N0 N0 dan Φt =− Z t 0 α(s)−1 2σ(s)2+ σ(s)2 2 N s K 2 +σ(s)2Ns K ! ds+σ(s)dBs ! . Terhadap kebergantungan terhadap kondisi awal, ada 2 kasus:
1 0<N0<K, maka C>0P-hampir pasti, sehingga 0<Nt<K, t≥0, P-hampir pasti, dan (6) menjadi
Nt =
KN0 N0+ (K −N0)eΦt
2 0<K <N0, maka C<0P-hampir pasti, sehingga 0<k <Nt,t ≥0, P-hampir pasti, dan (6) menjadi
Nt =
KN0 N0−(K −N0)eΦt
Kasus khusus, apabilaα(t) =αdanσ(t) =σ, maka Nt= KN0 N0±(K −N0)eΨt dengan Ψt =− αt−1 2σ2t+ σ2 2K2 Z t 0 (Ns)2ds+σ 2 K Z t 0 Nsds+σBt .
Lebih lanjut, apabilaσ=0, maka diperoleh solusi persamaan logistik
deterministik (2):
Nt = KN0
Kestabilan solusi
Theorem
DiketahuiNt adalah solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistik
stokastik (5) dengan kondisi awalN0∈(0,K). Maka
1 Jikaα > σ2, maka lim t→∞E(K −Nt) 2=0 2 Jikaα > σ2 2, maka lim t→∞E(Nt) =K 3 Jikaα <−σ2, maka lim t→∞E(Nt) 2=0 4 Jikaα <−σ2 2, maka lim t→∞E(Nt) =0 Ide bukti:
Metofe fungsi Lyapunov Rumus Ito
Cara memperluas model logistik stokastik
Salah satu cara memperbaiki model logistik stokastik adalah melihat kembali persamaan logistik dengan derau
dNt dt =Nt 1−Nt K (α(t) +σ(t)·Dt), N0=Y >0
dan mempertimbangkan penggunaan derauDt selainderau putih Gaussian.
Jadi, diperhatikan persamaan logistik stokastik
dNt=Nt 1−Nt K (α(t)dt+σ(t)dXt), N0=Y >0
denganXt adalah sebuah proses stokastik yang lebih umum dari gerak Brown dan
ditentukan berdasarkan permasalahan real yang dihadapi.
Secara umum, ada 2 macam proses stokastik yang biasa digunakan:
1 proses Levy
2 gerak Brown fraksional
Gerak Brown Fraksional
Gerak Brown fraksional dengan parameter HurstH∈(0,1)adalah proses
Gaussian terpusatBH
t yang terdenisi pada sebuah ruang peluang(Ω,F,P)
dengan fungsi kovariansi
E(BtHB H s ) = 1 2 t2 H+s2H − |t−s|2H . Gb. 5 :sumber: iopscience.iop.org
Fakta:
JikaH= 12, makaBH
t =Bt=>gerak Brown fraksional adalah perumuman dari gerak Brown
Untuk semuaa>0,BatH =daHBtH =>serupa-diri dengan orderH: sifat fraktal
Untuk semuah>0,BH
t+h−BhH =dBtH =>kenaikan stasioner
P-hampir pasti trayektori gerak Brown fraksional bersifat kontinu Hölder
dengan order<Hdan tidak terdiferensial di mana-mana => integral Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan
UntukH6= 12,BH
t bukan semimartingale =>kalkulus Ito tidak bisa digunakan!
UntukH6= 12,BH
t bukan proses Markov =>memiliki memori!+: berguna
untuk pemodelan telekomunikasi, lalu lintas internet, keuangan, geologi, dsb, -: alat2 analitik seperti semigrup operator tidak dapat digunakan.
Beberapa cara untuk mendenisikan kalkulus stokastik terhadap gerak Brown fraksional:
Kalkulus lintasan-demi-lintasan (pathwise calculus) =>integral Young
Kalkulus Malliavin (Malliavin calculus) =>kalkulus variasi stokastik
Analisis derau putih (white noise analysis/Hida calculus) =>gerak Brown fraksional didenisikan di ruang distribusi stokastik menggunakan operator integral/diferensial fraksional
Semuanya adalah area penelitian yang masih sangat aktif dan terus berkembang
Daftar Pustaka
B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005 I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed, Springer, 1999
T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An Innite Dimensional Calculus, Kluwer, 1993
A. Tsoularis. Analysis of Logistic Growth Model, Res. Lett. Inf. Math. Sci., (2001) 2, 23-46.
H. Schurz. Modeling, Analysis and Discretization of Stochastic Logistic Equations, Int. J. Num. Anal. and Mod., (2011) 4(2), 178-197. M. Khodabin and N. Kiaee. Stochastic Dynamical Logistic Population Growth Model, J. Math. Sci.: Advances and Applications, (2011) 11(1), 11-29.
