Matriks Massa Segitiga dan Massa Neutrino Masif dalam Model Seesaw

JURNAL FISIKA DAN APLIKASINYA VOLUME 4, NOMOR 2 JUNI2008

Matriks Massa Segitiga dan Massa Neutrino Masif

dalam Model Seesaw

Intan Fatimah Hizbullah" dan Agus Purwanto Laboratorium Fisika Teori dan Filsa/at Alam (LaFTIFA), Jurusan Fisika, FMIPA, Institut Teknolog; Sepuluh Nopember,

Kampus ITS Sulwlilo, Surabaya 60111

Intisari

Kami analisa bauran neutrino dalam model seesaw melalui segitigaisasi matriks massa umum. Asumsi bahwa matriks massa Dirac dan quark-u serupa memberikan hubungan sederhana antara parameter neutrino dan massa Majorana. Dilakukan perhitungan eksplisit bagi parameter terkait masalah defisit neutrino surya sebagai imp-likasi dari hirarki massa Majorana.

KATA KUNCI: osilasi neutrino, matrik bauran dan model seesaw

L PENDABULUAN

Salah satu perburuan paling menantang di dalam fisika par-tikel adalah penentuan sifat intrinsik neutrino yaitu massa dan sudut baur (mixing angle) neutrino. Eksperimen-eksperimen SuperKamiokande, K2K, SNO dan KamLAND [1] memberi bukti kuat bahwa neutrino bermassa dan, tidak seperti sektor quark, sudut baurannya besar. Model paling menarik untuk membangkitkan massa keeil neutrino adalah mekanisme see-saw [2] yakni dengan memperkenalkan suku tambahan berupa matriks massa Dirac dan Majorana.

Matriks massa Dirac dapat diatasi dengan mengikuti gagasan GUT yang menyatakan bahwa matriks ini serupa den-gan sektor quark. Tetapi kita tidak mempunyai pengetahuan tentang matriks massa Majorana baik orde maupun struk-turnya.

Di dalam artikel

ini,

struktur umum matriks massa seesaw

akan dianalisa, dan tanpa harus kehilangan sifat umumnya kita

akan bekerja dengan basis yang

mana

matriks massa diagonal bagi lepton bermuatan dan Majorana. Di dalam artikel ini di-asumsikan bahwa matriks massa Dirac menggunakan analogi dengan matriks massa quark mempunyai nilai eigen hirarkis dan sudut baur kiri keeil. Meskipun demikian, di dalam ka-sus

ini

bauran "besar dapat terjadi melalui keterkaitan antara matriks Dirac dan Majorana.

Di dalam model seesaw matriks massa neutrino efektif mv

diberikan oleh hubungan

(I) Seeara umum matriks sembarang dapat didekomposisi men-jadi perkalian matriks diagonal dan matriks bi-uniter, Uo dan

Vo

(2)

• E-MAIL: intan@physics.its.ac.id

Untuk penyederhanaan, kita juga mengabaikan efek simpan-gan CP sehingga semua matriks baf" , dan rotasi adalah riel. Selanjutnya, sesuai asumsi di dep di dalam basis matriks Majorana diagonal, " "

(3)

dengan Mi = 1jWh i=l, 2, 3. Dari hubungan (1) dan (2) tampak bahwa

v.,

juga mengandung kontribusi dari diagonal-isasi matriks massa Majorana MN sehingga dapat saja punyai sudut baur besar. Meskipun demikian, kita akan mem-batasi diskusi pada sudut kecil di dalam Vo.

Pers.(I), (2) dan (3) dapat ditulis ulang sebagai

U;lmvUo = m~a9VoMNl/2 MN1/2VoT mD =

N N1(4)

,

..

'----..-N NT

yang mana matriks N akan kita gunakan dalam evaluasi lebih lanjut Matriks Dirac diagonal pers.(2)

(5)

dengan hirarki kuat ml

<

<

m2

< <

m3. Massa Dirac neu-trino ini pada skala GUT (ml = mu,m2 = mc,m3 = mt)

mempunyai nilai m~a9 ~ (0,001; 0,3; lOO)GeV [3], Hi-rarki ini mereduksi hasil perkaliannya dengan

v.,

menjadi ma-triks segitiga

( m,V

lI m 1V12

_m,V

13 ₎ m2V21 m2V22 m2V23 m3Vin m3Y32 m3V33

( m,Vu

0

JJ

m2 V21 m2V22

(6)

m3V31 m3V32

J. FIS. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNI 2008 sehingga

(7)

Matriks Massa segitiga ini memungkinkan penyelesaian masalah menjadi lebih sederhana [4] . Matriks ini dapat didi-agonalisasi dengan matriks bi-uniter atau matriks rotasi kiri

(LH) dan kanan (RH) dan dituliskan sebagai N= UNdiagp Uraian ini memberikan

=

(T

o

mV2

o

(U-1U;1) mv (UoU)

=

(N

dia

9)2

(8)

(9)

Persamaan ini menyatakan bahwa sudut baur untuk Massa ke-eil neutrino berasal dari UUo, sedangkan nilai eigen dari N merupakan akar kuadrat Massa keeil neutrino

";m

Vi '

Kita mempunyai data-data rentang sudut baur dan Massa maka kita akan mengestimasi Massa Majorana, yang terakhir ini diperlukan di antaranya dalam kalkulasi besamya lepton asimetri bagi leptogenesis. Di dalam evaluasi ini akan digu-nakan bentuk matriks segitiga bagi Massa neutrino.

Hasil eksperimen osilasi neutrino surya memberi tiga solusi bagi masalah neutrino surya yakni sudut bauran keeil (small mixing angle, SMA) MSW (Mikheyev-Smirnov-Wolfstein), sudut bauran besar (large mixing angle, LMA) MSW dan osi-lasi vakum (VO). Orde besaran bagi neutrino surya .6m~ [5]

.6m~ ~ 1O-6eV2_{, sin}2_{2(} ~ 8 x 10-}3 _(SMA)

.6m~ ~ 1O-5eV 2, sin22(}~0,6(LMA) (10)

.6m~ ~ 1O-10eV2, (} ~ 11"/4 (VO) Sedangkan osilasi atmosferik memberlkan

.6m~tm ~ 1O-3eV2 (11)

Di bagian

n

diperlihatkan bahwa matriks 3 x 3 sembarang selalu dapat dirotasi menjadi matriks segitiga baik segitiga atas maupun segitiga bawah dan selanjutnya dieari nilai eigen dari matriks segitiga tersebut. Bagian ill penerapan matriks segitiga untuk matriks Massa neutrino efektif dengan input dari data neutrino surya dan neutrino atmosferik. Akbirnya diberikan diskusi dan kesimpulan pada bagian IV.

n.

MATRIKS MASSA SEGmGA A. Segitigaisasi Matriks Sembarang

Matriks segitiga telah diterapkan untuk penyelesaian masalah eigen matriks Massa quark dan matriks Massa lepton

INTAN FH, dkk.

[4]. Di sini diperlihatkan terlebih dahulu bahwa setiap ma-triks 3 x 3 sembarang selalu dapat dirotasi sedemikian rupa sehingga menjadi matriks segitiga. Kita berangkat dari ma-triks 3

x

3 riel paling umum

(12)

Untuk mengantisipasi pemakaian dalam sektor neutrino kita asumsikan

(13) Matriks (12) dan elemen-elemennya dapat dipandang seba-gai kumpulan tiga vektor sembarang di dalam ruang Cartesian tiga dimensi. Matriks umum 3

x

3 dapat ditransformasi men-jadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas

(

* * *)

0**

_00*

(14) tidak lain merupakan peralihan vektor basis yaitu salah satu vektor, Co diambil sebagai sumbu-z, satu vektor lainoya

b

be-rada pada bidang y-z dan vektor sisanya bebas.

Seeara kuantitatif proses segitigaisasi matriks Massa 3

x

3 dilakukan dengan memperkenalkan tiga matriks rotasi seeara berurutan. Pertama, matriks rotasi (1-3)

(

cosa 0 sin a )

R(13) = 0 1 0 -sina 0 cosa

(15)

dan kalikan dari kanan dengan matriks Massa (12). Perkalian dengan elemen-elemen baris ketiga memberikan

C'R (13) =

(0

C2

c3)

dengan

c3

=

vi

c'f

+

~

jika Cl tan a = - . C3 (16) (17)

Hasil perkalian antara matriks Massa dan matriks rotasi (1-3) selanjutnya kalikan dari kanan dengan matriks rotasi (2-3)

R(23) =

(~ co~fj Si~fj)

o -

sinfj .cosfj

(18)

Elemen-elemen baris ketiga menjadi

C'R (13) R (23) = (0 0

C;;)

(19) dengan

J. Fls. DAN ApL., VOL. 4, No.2, JUNI2008 jika

C2

tan{3 = ~ (21)

Matriks Massa (12) secara umum menjadi

N'

=

NR(l3)R(23)

=

(~ ~ ~

)

=

U)

(22) dengan

a' ₁

₌

al cos a - a3 sin a

a' ₂

₌

- a l sin a sin {3

+

a2 cos {3 - a3 cos a sin {3

a~

=

al sin a cos {3

+

a2 sin {3

+

a3 cos a cos {3

bi

=

b l cos a - b3 sin a (23)

b' ₂

₌

-bl sin a sin {3

+

~ cos {3 - b3 cos a sin {3 b' ₃

₌

b l sin a cos {3

+

b2 sin {3

+

b3 cos a cos

(3

Vektor

c

dirotasi sampai berimpit dengan sumbu-z. Selanjut-nya, perkenalkan matriks rotasi (1-2)

(

cos,), sin ')' 0)

R (12)

= -sin')' cos')' 0

0 0 1

Kalikan dari kanan terhadap pers.(22) dan baris kedua men-jadi dengan jika b'R(12) =

(0

b~ b~) b' tan l' =

b}

2 (24) (25) (26)

Dengan demikian matriks Massa segitiga atas dari matriks Massa (12) berbentuk

Nll.

₌

NR(13)R(23)R(12)

(au aU a' )

1 2 3

=

o

b~ b~ (27)

o

0 c dengan a" I I • 1

=

al cos l' - a2 sm ')'

a" ₂

₌

ai sin l'

+

a~ cos 'Y (28)

b" ₂

₌

bi sin l'

+

b~ cos l'

INTAN FH, dkk.

Evaluasi terhadap komponen akhir matriks Massa mem-berikan

a~ = al sin a cos{3

+

a2 sin{3

+

a3 cosacos{3

Cl

#t +Ci

C2 = al

+a2-#t+Ci

c C = C3

Vq+Ci

+a3

#t +Ci

c al Cl

+

a2c2

+

a3c3 c

=

ii·

c

Serupa untuk b~.

b~

=

b·c

(29) (30) Sedangkan tiga komponen lainnya dihitung secara langsung dengan langkah cukup panjang yang akhirnya didapatkan

a" ₁

it·

(b

x

c)

/b~

a" ₂

₌

it·

(c

x

(b xc))

/b~

(31) b" ₂

₌

Ibx

cl

Langkah serupa untuk merubah matriks umum 3

x

3 men-jadi matriks segitiga bawah

NR'(13)R'(12)R'(23) =

(~~~

c·a

dengan matriks rotasi

R' (13)

= ( cosa'

si~al

o

1

-Sina')

0

o

cos a' , R' (12)

=

(~:~ ~~~n}' ~)

0 0 1

=

(~ c~{3'

-!(3')

o

sin {3' cos

(3'

R'

(23) dan sudut-sudut a3 tana'

₌

al a2 tan 1"

₌

vai+a~

(al b3 - a3bt) a

o )

o

32)

c.(bXj)

Ibxa (33) (34) tan{3'

₌

(a¥

+

a~) b2 - a2 (albl

+

a3ba)

Hasil

di depan memperlihatkan bahwa setiap matriks

·,

J. FIS. DAN ApL., VOL. 4, NO.2, JUNI 2008 B. Solusi Eigen Matriks Segitiga

Karena matriks massa Majorana adalah matriks simetri maka diagonalisasi dilakukan dengan matriks bi-ortogonal. Untuk mendiagonalisasi matriks

Nt:;.

pertama diagonalisasi terlebih dahulu submatriks (2-3) dengan matriks ortogonal UL(23) dan UR(23) U LR (23) =

(00

1

cos

~~

sin

~~R

) (35) - sin (}~R cos (}f3R INTAN FH, dkk.. Diagonalisasi memberikan

(

a~ " (}R , . (}R

a2 cos 23 - a3 sm 23

a~

_sin

()~

+

a~

_cos

()~

₎

ul

(23) Nt:;.UR (23) _

NX

=

0

o

J

(b~

cos

()~

-

b~

sin

()~)

2

+

& sin2

()~

o

o

(36)

bile

(b~ cos6:a-b~ sln6:a)2 +c2 sln2 _6:a

telah diambil . (}R L CSlD 23 tan (}23

=

b" (}R b" (}R 2cOS 23- 3sm 23 (37) dan

Hubungan (37) dan (38) memberikan hubungan lebih lanjut yakni tan 2(}f3

L 2b~c 2b· C

tan 2(}23

=

& _

b~12

-1Pa

=

& _

b2 (39) Nilai eigen massa didapatkan dengan mensubtitusi sudut ()~ pers.(38) ke dalam suku diagonal

/-L2 =

J

(b~ cos()~

-

b~ sin(}~)2

+

&

sin2

()~

b2

+

c2

1 /

2 1-;;012

=

- 2 - -

2

Y

(b2

+

&) -

4

b

x

ci

(40) dan

b~c

/-L3 = -r==============~=======

J

(b~

cos

()~

-

b~

sin

()~)

2

+

& sin2

()~

b2

+

c2

1 / 2 1-;;012

=

-2-+"2y(b

2

_+&)

_-4

_bxci

₍₄₁₎ Selanjutnya, diagonalisasi submatriks (1-3) dengan

( COS

(}[g

0 sin (}f3 ) Ud13)

=

0 1 0 - sin (}r3 0 cos (}t3 (42) sehingga Ud13)NX

~

(a

J ::

.~

)

o

0 /-L3

Jika sudut baur (1-3) keeil sekali tan (}f3 ~ sin (}r3 ~ (}t3

(}r3 = £l3

« 1

/-L3

(43)

(44) Terakhir diagonalisasi submatriks (1-2) dengan matriks baur

(45)

yaitu

ur

(12)

ur

(13)

NX

U R

(12)

=

(1'

~

J')

(46)

dengan sudut baur (1-2)

L P.2sin(}~ tan (}12

="

(}R • (}R (47) a1 cos 12 - £l2 SIn 12 atau (48) dan (49) dan massa eigen

J. FIS. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNI 2008

dan

afJ.L2

J.L~

=

--;=====:::::::::======:;;====:==:=

(aq

cos(J~

-

J.L2sin(J~)2

+

J.L~sin2 (J~

(51)

m.

DISKUSI DAN BASIL NUMERIK

Di dalam ailalisa berikut ini kita akan menggunakan asumsi adanya hirarki yang kuat bagi massa Majorana. Matriks bau-ran sektor lepton dikenal sebagai matriks baubau-ran Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS)[6].

Hasil-hasil anal isis data eksperimen juga memperlihatkan bahwa massa neutrino surya dan atmosfer memperlihatkan hirarki yang kuat, dan matriks bauran neutrino PMNS U

_ei

[7]mempunyai bentuk

U = U23(¢)U13(€)U12((J)

S:

)(52)

ct/> yang mana tan

¢

~ 1 terkait dengan bauran maksimal dan €

< <

1 terkait dengan bauran keeil [8]. Sudut baur (J dapat bernilai keeil sehingga seeara keseluruhan memberi bauran maksimal tunggal atau bernilai besar dan maksimal sehingga memberi bauran bi-maksimal. Kita akan mendiskusikan ke-dua kasus tersebut, pertama kasus €

< <

So dan kedua €

> >

So·

A. Kasus pertama f

< <

88

Untuk kasus €

< <

So matriks bauran U terseduksi

(53) dan matriks N

(n,

0

!)

N=

U 0 n2

o

0

(

~n,

SOn2

~)

~ -SOCtf>nl C(Jc",n2 St/>n 3 (54) sOs",nl -C(JSt/>n 2 Ct/> n 3

Membandingkan matriks diagonal bagi N (54) dan (8) serta pers.(9) didapatkan bahwa massa efektif neutrino keeil

(55) Asumsinl

«

n2

«

n3 memberikan b2 ~ s~n~ dan

c2

~

~n~ sehiogga

(56)

INTAN FH, dkk. Sedangkan perbandingan

berimplikasi bahwa

b

dan

c

mendekati paralel sampai orde

n2/n3. Matriks (54) juga menyatakan bahwa a

< <

b ~ C

sehingga analisis terdahulu juga dapat diterapkan pada kasus N. Matriks (54) dapat dirotasi menjadi matriks segitiga bawah (32) dengan elemen-elemen

o

8p80n2 n a a 80c",n2 n a a

~

) (58) -.!!1-. 8 0 8 ",

Orde € akan menentukan suku dominan N. Kesejajaran vek-tor akan tetap bertahan setelah ketiga vekvek-tor dirotasi dan

elemen-elemennya membentuk matriks segitiga bawah.

Ke-sejajaran ini memberi pilihan natural bagi parameter €

yaitu-€

«

mll2/mlla = ~/m~ dan suku dominan N adalah

el-emen (2,2) dan (2,3). Dalam limit ini dan tan(J

»

nI/n2

memberikan

2 2 2

n1 _n2

+

_tan2 (J~

n 2 n2 _{2 3} n 2 ₃

(59) Sehingga matriks N tereduksi menjadi

(60)

Untuk sudut bauran maksirnal

¢

= 45°, [9]

(61)

Untuk rotasi kanan

Va

mendekati satuan

Vii

~ 1 dan

Vij

< <

1, i =1= j maka

J. Frs. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNr 2008

Kedua matriks N terakhir dan hubungan massa (55) mem-berikan 2w.2 2 _{82m 2} 2 893 m 3 _...L.1. mYl = nl = 2 = 2M3 w.2 2 _m2 2 Im l = u (63) mY2 = n2 = - - 2 -8~Ml 89 2 2W.2 2 2m~ mY3 = n3 = 2 m 2 = M2

Hasil di atas tidak memperlihatkan keteraturan hubungan an-tara massa neutrino keeil my; dan Mi baik dalam bentuk my; IX Mi atau mYi IX I/Mi. Selain itu, mY3 berskala m~

bukan m~. Hasil lainnya massa skala menengah M2 tidak

bergantung pada sudut baur () dan hanya bergantung pada massa neutrino keeil mY3 dan massa quark m~ sehingga dapat

diestimasi terlebih dahulu yakni

M2 =

2m~

₍₆₄₎

mY3

Data-data massa neutrino dari eksperiman neutrino surya dan atmosfer memberikan ~m~

«

~m~tm' Seeara teori-tis hasil pengamatan massa kuadrat ini terkait dengan selisih massa eigen kuadrat

~m~

(65) Asumsi hirarki kuat ni memberikan

(66) sehingga, dari data massa cham-quark, diperoleh

M 2 ::::::

2m~

= 4 x 109_GeV

J~m~tm

(67)

suatu skala yang jauh lebih keeil dari yang diharapkan. Dua massa Majorana masif lainnya bergantung pada solusi atau data neutrino surya. Analisis osilasi neutrino dan asumsi hirarki juga memberikan

(68) sedangkan mYl tidak diketahui. Akibatnya, M3 tidak

da-pat diketahui keeuali batas bawahnya melalui parameter T =

m

y2

/m

Yl

»

1 yaitu dari pers.(63) pertama

2 2 2 2

M3 = 8 9

m

t = 8 9

m

t mY2 2mYl 2mY2 mYl

atau

M3/T = (69)

Dengan kata lain,

(70)

INTAN FH, dick.

Sedangkan massa Majorana terkeeil

M

1

=

m~

8~J~m~

(71)

Selanjutnya kita estimasi kedua massa Majorana masif den-gan input dari tiga solusi defisit neutrino surya yaitu osilasi vakum (VO), sudut besar MSW (LMA) dan sudut keeil MSW (SMA).

• VO

Sudut baur () = 45° sehingga

(72)

dan

.LMA

Dalam kasus ini sin22() :::::: 0,6 maka sin2 () :::::: 0, 18 seperti perhitungan kasus VO diperoleh

• SMA

Ml = 1,85 x 106Gev, M2 = 4

x

109GeV, M3

>

8,9 x 1015GeV

(74)

Dalam kasus ini sin2 2fJ :::::: 8 x 10-3 _{maka sin}2 _{fJ :::::: 2 x 10-}3

seperti perhitungan kasus VO diperoleh

Ml = 5

x

108 GeV, M2 = 4

x

109GeV, M3

>

1,0 x 1013GeV

(75)

Hasil-hasil di depan diperoleh dengan asumsi E ~ 0 tetapi jika E

»

n2/n3 pers.(54) tidak berlaku. Jugajika E

»

89

matriks N pers.(60) tidak berlaku dan matriks yang relevan

akan dibahas lengkap berikut.

B. Kasus kedua E

> >

Sf)

Untuk kasus E

> >

89 matriks bauran U menjadi

(76)

dan matriks N

J. FIS. DAN ApL., VOL. 4, No.2, JUNI 2008

Dalam limit ini matriks segitiga bawah bagi N diberikan oleh

Membandingkan matriks segitiga ini dengan pers.(62) diper-oleh

J2nl

m3W3

=

E

~

(CB-

s:)

=

m2W2

(79) En3

=

mlW

I

Setelah mensubtitusi massa quark, massa neutrino surya dan neutrino atmosfer berturut-turut untuk

m"l' m"2

dan

m"3

serta parameter r =

m"2/m"1

diperoleh massa Neutrino masif m 2

Ml

= 11. E2.j~m~tm

M2

:::::

2m2

c (80)

(CB -

~)2 J~m~

M3

= E2m~

2J~m~

Data solusi neutrino surya yang memenubi batasan masalah

E

> >

s() adalah kasus sudut baur keeil SMA sin2

2(J :::::

8 x 10-3 atau sin2

_{(J :::::}

_{2 x 10-3. Untuk memberi angka tertentu} kita ambil E = 10-1• subtitusi nilai-nilai yang relevan pada Mi diperoleb

Ml = 3, 16

x

106GeV

M2

= 5

x lO

11

GeV

M3

= 5 x 10

13

GeV

(81)

Hasil-basil di depan menyatakan bahwa kita dapat memperoleh massa Majorana secara langsung jika parameter-parameter fisis neutrino diketahui dan massa Dirac diidenti-fikasi sebagai massa quark.

IV. SIMPULAN

Massa keeil neutrino yang diperlihatkan oleb hasil-basil eksperimen dapat dijelaskan seeara alamiah menggunakan

INTAN FH, dick. model seesaw. Model ini memberi struktur matriks massa yang cukup rumit sehingga tidak mudah memperoleh sudut baur neutrino dari komponen-komponen model seesaw seperti massa Dirac mD dan massa Majorana

Mi/.

Di dalam risalah ini pertama diperlihatkan bahwa setiap matriks sembarang 3 x 3 dapat dirotasi menjadi matriks segit-iga baik segitsegit-iga atas atau segitsegit-iga bawah. Matriks segitsegit-iga ini diterapkan dalam proses diagonalisasi matriks neutrino den-gan langkah-Iangkah berikut. Pertama. massa Dirac dituliskan sebagai

mD

=

Uom'fjagvo

dan neutrino Majorana dipilib dalam basis diagonal sehingga MN =

M')Ja

g

.

Selanjutnya massa efektif dituliskan sebagai m" = N

N7'

sehingga N hanya bergantung pada komponen-komponen m'fja

g

,

Va

dan

MN

1. Matriks N direduksi menjadi matriks segitiga dan ben-tuk matriks segitiga bawah muncul seeara alamiahjika m~iag mempunyai hirarki kuat. Matriks segitiga N memberikan hubungan sederhana antara massa keeil neutrino, massa neu-trino Majorana, sudut baur dan matriks Dirac. Hubungan ini memungkinkan penentuan bolak-balik antar keempat kuanti-tas tersebut.Di dalam evaluasi digunakan input berupa hasil eksperimen neutrino surya dan atmosferik. Kolaborasi Su-perKamiokande memberi bauran maksimal bagi neutrino at~ mosferik,

(J23 :::::

IT / 4. dan eval uasi dibedakan menjadi dua kasus (J13(=

E)

«sin(J12 dan

E»

sin (J12.

Di dalam kasus E

< <

sin (J12, massa neutrino massif M2

tidak bergantung pada sudut baur

(J12

dan berorde 109 GeV sedangkan M3 banya dapat ditentukan nilai terkecilnya. Orde

M1

dan M3 masing-masing untuk data YO, LMA dan SMA adalah 108_{, 10}6_{, 10}8 _{GeV dan 10}17_{, 10}16,1013 GeV. Orde M3

yang sangat besar untuk solusi VO

(> >

1017 Ge V)

membuat-nya tidak diunggulkan sebagai kandidat solusi. Di dalam ka-jian ini tidak ditinjau renormalisasi mengingat efek persamaan grup renormalisasi (RGE) sangat keeil [10].

Untuk kasus E

> >

sin

(J12

hanya data SMA neutrino surya yang rei evan dan semua massa neutrino baik neutrino keeil maupun masif bergantung pada sudut baur. Massa neutrino

M3

tetap banya dapat ditentukan batas nilai terkeeilnya. Orde Mt. M2 dan

M3

masing-masing adalah 106, 1011 dan 1013 GeV.

Ucapao Terima Kasih

Penulis (IFH) berterimakasih pada konsorsium fisika teori Indonesia yang memberi kesempatan mendiskusikan seba-gian penelitian ini pada Workshop on Theoretical Physics 2008. Penulis (AP) menyampaikan terimakasih kepada Indonesia Center for Theoretical and Mathematical Physics (ICTMP) yang mendukung penelitian ini.

J. FIS. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNl2008

[1] Y. Fukuda dkk.., Phys.Rev.Lett. 81, 1158(1998); M.H. Ahn dkk..,Phys.Rev.Lett. 90, 041801(2003); Q.R. Ahmad dkk..,

Phys.Rev.Lett 89, 011301; 011302(2002); K.Eguchi dkk..,

Phys.Rev.Lett. 90, 021802(2003).

[2] M. Gell-Mann, P.Ramond and R. Siansky, in Super gravity, eds. P. van Nieuwenhuizen and D. Freedman (North Hollad, Am-sterdam, 1979); T.Yanagida, in Proceedings of the Workshop

on Unified Theories and Baryon Number in the Universe, eds.

O.Sawada and A. Sugamoto (KEK, Tsukuba, 1979). [3] H. Fusaoka and Y. Koide, Phys. Rev. DS7, 3986 (1998). [4] J. Hashida, T. Morozumi, and A. Purwanto, Prog. Theor. Phys.

103,379 (2000); T.K. Kuo, G.H. Wu and S.W. Mansour, Phys. Rev. D61, 111301 (2000; T. Morozumi, T. Satou, M.N. Rebelo,

INTAN FH, dkk.

dan M. Tanimoto, Phys. Lett B410 233 (1997).

[5] J.N. Baheal, P.I. Krastev and A. Yu. Smirnov, Phys. Rev. D58, 096016 (1998); D60, 09300 1 (1999).

[6] B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33 549 (1957); Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 28,870 (1962). [7] E. Kh. Akhmedov, Phys. Lett B467, 95 (1999).

[8] M.Appolonio dkk.. [CHOOZ Collab.], Phys.Lett B420,397( 1998).

[9] Y. Fukuda dkk., Phys.Rev.Lett. 81, 1562(1998).

[10] K.S. Babu, C.N. Leung and J. Pantaleone, Phy. Lett B319191 (1993).