Chapter 3
Model Runtun Waktu Stasioner
Proses-proses stasioner (W-S) yang penting adalah sebagai berikut: • White Noise
• Moving Average: MA(1), MA(q), MA(∞) • Autoregressive: AR(1), AR(p), AR(∞) • Autoregressive Moving Average: ARMA(p, q)
Pada sub bab berikut, proses-proses diatas akan dibahas lebih detail.
3.1
Proses White Noise
Proses ”white noise” {Xt} adalah barisan variabel random tidak berkorelasi dengan mean µ = 0
dan variansi σ2 yakni
cov(Xt+h, Xt) = σ2, h= 0 0, h 6= 0 cor(Xt+h, Xt) = σ2, h= 0 0, h 6= 0
Dapat ditunjukan proses white noise bersifat stasioner. Proses ini merupakan ”buliding block” bagi proses stasioner lainnya. Sering ditulis Xt ∼ W N (0, σ2). Perhatikan dari definisi diatas
diperoleh bahwa cov(Xt, Xs) = σ2 jika dan hanya jika t = s, dan bernilai 0 jika t 6= s.
3.2
Proses MA(1)
Proses moving average orde 1 dapat dituliskan sebagai
Xt= εt+ θ εt−1, t∈ Z, εt∼ W N (0, σ2), θ ∈ R
Dengan demikian E(Xt) = 0, E(Xt2) = σ2(1 + θ2) < ∞ dan
γX(t + h, t) = (1 + θ2)σ2 Z h= 0 θσZ2 h= ±1 0 |h| > 1 9
yang tidak bergantung pada t. Terlihat proses MA(1) merupakan proses yang stasioner. Selan-jutnya disini diperoleh
ρX(h) = 1 h= 0 θ (1+θ2) h= ±1 0 |h| > 1
3.3
Proses MA(q)
{Xt} disebut proses moving average orde q, dapat dituliskan sebagai
Xt= b0εt+ b1εt−1+ · · · + bqεt−q= q X j=0 bjεt−j, εt˜W N (µ, σ2) dimana b0= 1, b1, b2,· · · , bq ∈ R. Diperoleh • Mean
m(t) = EXt= (b0+ b1+ . . . + bε)µ, merupakan suatu konstanta
Kovariansi Definisikan ˜ Xt= Xt− m(t), ˜εt= εt− µ maka diperoleh ˜ Xt= ˜εt+ b1ε˜t−1+ · · · + bqε˜t−q
Dengan demikian diperoleh
˜ Xt2= q X i=0 q X j=0 bibjεet−ieεt−j
sehingga dari sifat proses white noise didapat E( ˜Xt2) = q X i=0 q X j=0 bibjE(eεt−iεet−j) = σ2 q X j=0 b2i
Yakni disimpulkan var( ˜Xt) = var(Xt) tidak bergantung pada t. Selanjutnya, definisikan
˜ XtX˜s= q X i=0 q X j=0 bibjeεt−iεes−j
Asumsikan s ≤ t, maka diperoleh
γ(t, s) = E ˜XtX˜s= σ2 q−s+tP i=0 bibi−t+s |t − s| 6 q 0 |t − s| > t hanya bergantung pada jarak s − t = h, yakni
γ(h) = σ2 q−|h|P i=0 bibi+h |h| 6 q 0 |h| > t dan
3.4. PROSES AR(1) (SKEMA MARKOV) 11 γ(h) = q−|h|P i=0 bibi+h q P j=0 b2 i |h| 6 q 0 |h| > t Catatan: Secara equivalen dapat ditunjukkan bahwa γ(t, s) = σ2Pq
i=t−sbibi−t+s,0 ≤ t − s ≤ q
Dari analisa diatas, terlihat bahwa M A(q) adalah proses (W − S) stasioner karena memenuhi aksioma proses stasioner.
3.4
Proses AR(1) (skema Markov)
Proses AR(1) didefinisikan sebagai
Xt= aXt−1+ εt, εt∼ W N (µ, σ2), a ∈ R Definisikan ˜ Xt= Xt− E(Xt) ˜ εt= εt− E(εt) → E( ˜εt) = 0
Anggap sistem mulai dari t = 0, X0 konstanta atau non stokastik. Diperoleh dengan substitusi
sederhana
˜
Xt= Xt− E(Xt)
= aXt−1+ εt− E(aXt−1+ εt)
= aXt−1+ εt− aE(Xt−1) + E(εt)
= a(Xt−1− E(Xt−1)) + (εt− E(εt))
= a ˜Xt−1+ ˜εt
Selanjutnya dengan substitusi berulang diperoleh ˜ Xt= atX˜0+ t−1 X j=0 ajε˜ t−j Disini diperoleh
E( ˜Xt) = atX˜0,yakni E( ˜X0) = ˜X0 diasumsikan konstanta
Var ( ˜Xt) = t−1 X j=0 a2jσ2 cov( ˜Xt+h, ˜Xt) = E( t+h−1X j=0 ajε˜t+h−j t−1 X i=0 aiε˜t−i) = t−1 X i=0 ah+2iσ2
Diperoleh beberapa keadaan
1. a = 0 =⇒ ˜Xt= ˜εt ←− proses stasioner.
2. |a| < 1 =⇒ E( ˜Xt) −→ 0, t → ∞ dan var( ˜Xt) → 1−a12σ
2, t → ∞. Keadaan ini seringkali
disebut kasus ”stable” atau BIBO (Bounded input gives Bounded Output), bersifat stasioner secara asimtotik
3. |a| > 1 =⇒ |E ˜Xt| = |a|t| ˜X0| → ∞, t → ∞
var( ˜Xt) =
a2t− 1 a2− 1σ
2→ ∞, t → ∞
=⇒ bersifat tidak stable secara eksponensial (exponentially unstable)
4. |a| = 1 =⇒ E( ˜Xt) = | ˜X0| dan var(fXt) = σ2t. Terlihat variansi akan menuju tak hingga
tetapi tidak secara exponentially unstable. Untuk a = 1 diperoleh proses ”random walk”
˜ Xt= t−1 X j=0 ˜ εt−j+ ˜X0
Proses ini sering digunakan untuk menggambarkan pergerakan harga saham.
Sekarang misalkan sistem tidak dimulai dari waktu t = 0 dengan ˜X0, tetapi dimulai pada
waktu dengan t = −T dengan nilai awal ˜X−T maka untuk kasus ”stable” dalam limit untuk
T → ∞ diperoleh penyelesaian berbentuk ˜ Xt= ∞ X j=0 ajε˜t−j
Penyelesaian berbentuk demikian sering disebut penyelesaian ”steady state” karena meru-pakan penyelesaian untuk ”stable” yang dimulai dari ”waktu lampau yang tidak berhingga”. Penyelesaian ”steady-state” juga merupakan penyelesaian stasioner secara asimtotik.
3.5
Proses MA(∞)
Proses ini dapat dinyatakan sebagai Xt=
∞
X
j=−∞
bjεt−j, εt∼ W N (0, σ2)
Interpretasi dari jumlahan/sum diatas adalah nilai limit dalam ”mean square” dariPNj=−Nbjεt−j, N ∈N
yakni berlaku E(Xt− N X j=−N bjεt−j)2→ 0, N → ∞
Definisi 3.5.1. Misalkan {Xk, k∈ N} adalah barisan variabel random {Xk, k∈ N} konvergen ke
X0 dalam ”mean-square” jika dan E(X02) < ∞ dan
lim
k→∞E(Xk− X0) 2= 0
Ditulis X0= l.i.m. k→∞Xk
Catatan : var(Xk− X0) → 0 untuk X0= E(Xk)
Teorema 3.5.2. (Riesz-Fischer) Diberikan barisan variabel random Xk dengan E(Xk2) < ∞.
Maka terdapat variabel random X0 sedemikian hingga X0= l.i.m. Xk jika dan hanya jika
lim
k→∞E(Xk− Xl) 2= 0
3.6. PROSES AR(P ) 13 Terlihat dari teorema diatas, Xk memenuhi sifat Cauchy Convergence
Kondisi untuk Cauchy Convergence :
∞
P
j=−∞
b2j <∞
Proses M A(∞) dengan
∞
P
j=∞
b2
j <∞ adalah proses stasioner
Bukti : Karena fungsi ekspektasi adalah fungsi kontinu, maka dengan mengaplikasikan Monotone Convergence Theorem dan Lemma Fatou diperoleh
E(Xt) = E( lim n→∞ n X j=−n bjεt−j) = lim n→∞E( n X j=−n bjεt−j) = lim n→∞ n X j=−n bjE(εt−j) = 0 Selanjutnya, didapatkan cov(Xt, Xs) = E(XtXs) = E( ∞ X j=−∞ bjεt−j)( ∞ X i=−∞ bjεs−i) = ∞ X i,j=−∞ bibjE(εt−iεs−j) = ∞ X j=−∞ bibt−s+iσ2
Definisikan jarak antar waktu h = t − s maka diperoleh cov(Xt, Xs) = cov(Xt+h, Xt) =
∞
X
i=−∞
bibi+hσ2
merupakan suatu fungsi yang hanya bergantung kepada jarak h, independen terhadap t.Dapat disimpulkan Xtproses stasioner.
Contoh 3.5.3. Pandang proses AR(1) dengan |a| < 1 . Didepan telah ditunjukkan bahwa proses ini stasioner dengan penyelesaian steady-state berbentuk Xt=
∞
P
j=0
ajεt−j, εt∼ W N (0, σ2).
Den-gan memandang bentuk untuk proses M A(∞) diatas, diperoleh bj = aj, j > 0 dan bj = 0 untuk
j <0. Dengan demikian didapat P∞j=0b2j =
P∞
j=0a2j = 1−a12 <∞, sehingga dapat disimpulkan
bahwa penyelesaian steady-state untuk proses AR(1) diatas stasioner . Hasil ini juga dapat diper-oleh dari fakta bahwa E(Xt) = 0 dan cov(Xt, Xt+h) = σ2P∞j=0ajaj+h = σ2 a
|h|
1−a2, suatu fungsi
dari jarak h, bukan merupakan fungsi dari t.
3.6
Proses AR(p)
Proses autoregressive orde p dapat ditulis sebagai
Xt= a1Xt−1+ a2Xt−2+ . . . + apXt−p+ εt, t∈ Z
dengan a1, a2, . . . , ap ∈ R, εt ∼ W N (0, σ2). Dengan mendefinisikan operator backward-shift (lag
operator) untuk proses {Xt} sebagai
(Bj
maka proses AR(p) dapat dituliskan sebagai berikut:
Xt− a1Xt−1a2Xt−2− . . . − apXt−p= εt
Xt− a1(BX)t− a2(B2X)t− . . . − ap(BpX)t= εt
(1 − a1B− a2B2− . . . − apBp)Xt= εt
D(B)Xt= εt
dengan polinomial D(z) = (−anz− . . . apzp). Jika polinomial D(z) memiliki sifat tertentu
maka proses AR(p) akan bersifat stasioner (dibahas lebih lanjut pada subbagian ”kausalitas dan invertible”.
3.7
Proses ARMA(p, q)
Proses Xtadalah suatu proses ARM A(p, q) dapat ditulis sebagai
Xt− a1Xt−1− . . . − apXt−p= εt+ b1εt−1+ . . . + bqεt−q
dengan a1, a2, . . . , ap, b1, b2, . . . , bq∈ R, εt∼ W N (0, σ2).
Dengan menggunakan operator lag maka proses ARMA(p, q) dapat ditulis menjadi D(B)Xt= C(B)εt
dengan
D(z) = 1 − a1z− . . . − apzp
C(z) = 1 + b1z+ b2z2+ . . . + bqzq
Jika polinomial D(z) memiliki sifat tertentu maka proses AR(p) akan stasioner (dibahas lebih lanjut pada bagian ”kausalitas dan invertible”).
Kasus khusus dari proses ARM A(p, q)
1. AR(p) jika C(z) = 1, D(z) = 1 − a1z− . . . − apzp
2. M A(q) jika D(z) = 1, C(z) = 1 + b1z+ b2z2+ . . . + bqzq
3.8
Kausalitas dan Invertibilitas
Definisi 3.8.1. (Kausalitas)Jika proses linear Xt = P∞j=−∞bjεt−j berlaku bj = 0, j < 0 dan ∞
P
j=0
b2j <∞, maka Xt disebut fungsi kausal (dari εt)
Catatan:
1. Proses Xt = P∞j=−∞bjεt−j merupakan kelas proses stasioner yang penting, yang disebut
proses linear (atau seringkali disebut sebagai proses Wold) 2. Untuk proses linear yang kausal berlaku Xt=
∞
P
j=0
bjεt−j, yakni proses Xthanya bergantung
kepada nilai-nilai εs, s≤ t (yakni nilai-nilai proses εtdi nasa lampau).
3. Agar proses linear memenuhi kondisi l.i.m. maka dibutuhkan kondisi
∞
P
j=−∞
b2j <∞. Kondisi
yang lebih umum untuk mean square convergence adalah:
∞
P
j=−∞
|bj| < ∞ dan lim sup E|Xt|2<
3.8. KAUSALITAS DAN INVERTIBILITAS 15
3.8.1
Kausalitas dari proses ARMA (p, q)
Misalkan {Xt} adalah ARMA (p, q) berbentuk D(B)Xt = C(B)εt, dengan polinomial D(•) dan
C(•) tidak memiliki akar-akar yang sama. Maka {Xt} akan bersifat kausal jika dan hanya jika
D(z) 6= 0 untuk |z| ≤ 1, z ∈ C . Dengan kata lain-polinomial D(z) (dari polinomial autoregresi) tidak memiliki akar-akar dalam unit circle |z| ≤ 1, yakni jika zi, i = 1, . . . , r adalah akar-akar
berbeda dari D(z) maka berlaku |zi| > 1.
Jika Xt bersifat kausal maka kondisi ∞
P
j=0
bj2<∞ akan dipenuhi, yakni Xt akan stasioner. Pada
kasus kausal, penyelesaian untuk Xtdapat ditulis sebagai
Xt= C(B) D(B)εt= ∞ X j=0 bjBjεt= ∞ X j=0 bjεt−j dengan εt∼ W N (0, σ2) Penyelesaian steady-state
Jika polinomial D(z) 6= 0 untuk |z| = 1 (yakni akar-akar dari polinomial D(z) memiliki nilai mutlak 6= 1), maka terdapat penyelesaian yang bersifat ”steady state” untuk Xt.
Xt= C(B) D(B)εt= ∞ X j=−∞ bjBjεt= ∞ X j=−∞ bjεt−j
Penyelesaian yang diperoleh tidak selalu bersifat stasioner, stasioner hanya apabilaP∞j=−∞ |cj| <
∞.
Ekspansi dari D(z)
Penyelesaian untuk proses ARMA, D(B)Xt= C(B)εt, dapat diperoleh dengan ekspansi dari
poli-nomial D(B) dalam persamaan Xt=D(B)C(B)εt(yakni ingin ditentukan deret berupa proses MA(∞)
yang ekuivalen sebagai hasil ekspansi D(B) dikalikan polinomial C(B)). Untuk menentukan ben-tuk ekspansi dari D(z) =
∞
P
j=−∞
hjzj= H(z) untuk r1<|z| < r2, r1, r2,∈ C maka polinomial D(z)
dapat dituliskan sebagai
D(z) = c(z − z1)(z − z2) . . . (z − zr)
dimana z1, z2, . . . , zr adalah akar-akar dari D(z) dan c suatu konstanta yang harus ditentukan.
Dengan demikian diperoleh 1 D(z) = 1 c 1 z− z1 . 1 z− z2 . . . 1 z− zr Ekspansi 1
D(z) selanjutnya dapat diperoleh dengan melakukan ekspansi dari setiap faktor ke dalam
deret geometri berikut 1. Kasus |zi| > 1 1 z− zi = −1 zi 1 1 −z1iz = −1 zi ∞ X j=0 (zi−j)z j ,∀|z| < zi
2. Kasus |zi| < 1 1 z− zi = 1 z 1 1 −zi z = 1 z ∞ X j=0 zi z j = ∞ X j=0 ziz−(j+1) = z−1+ ziz−2+ z2iz−3+ . . . = ∞ X j=1 zij−1z−j = −1 X j=−∞ zi−j−1zj,∀|z| > zi = 1 zi −1 X j=−∞ (zi)−jzj
Catatan: Untuk proses yang kausal, penyelesaian dapat diperoleh dengan metode lain, lihat bagian (3.8.3).
Contoh 3.8.2. 1. AR(1) (Skema Markov)
Xt= aXt−1+ εt⇔ Xt− aXt−1= εt ⇔ (1 − aB)Xt= εt D(z) = 1 − aZ = −a(z −1 a) → c = −a, z1= 1 a H(z) = 1 D(z) = 1 c(z − zi) = −1 a 1 z− 1 a Akar-akar dari D(z) = 0 → 1 − az = 0 ⇔ z = 1 a ⇒ jika | 1
a| > 1 atau |a| < 1 maka Xt kausal Misalkan |a| < 1 atau |1
a| > 1 1 z− z1 = −1 z1 ∞ X j=0 (z1−j)zj = −a ∞ X j=0 ajzj maka H(z) = 1 D(z) = − 1 a.− a ∞ X j=0 ajzj= ∞ X j=0 ajzj Maka diperoleh penyelesaian kausal
Xt= H(B)εt= ∞ X j=0 ajBjεt= ∞ X j=0 ajεt−j
2. AR(2) (Proses Yule)
Xt= a1Xt−1+ a2Xt−2+ εt
Agar stasioner (kausal) maka akar-akar dari polinomial D(z) = | − a1z− azz2harus berada
di luar ”unit circle”, yakni |zi| > 1, i = 1, 2.
3.8. KAUSALITAS DAN INVERTIBILITAS 17 a D(z) = (1 − 1.5z + 0.56z2)
= (1 − 0.7z)(1 − 0.8z)
z1= 0.71 , z2= 0.81 ,|zi| > 1, i = 1, 2 → proses stasioner
b D(z) = (1 − 0.2z − 0.8z2) = (1 − z)(1 + 0.2z) → z1= 1, z2=0.21 → |z1| = 1 → bersifat
non kausal, non steady state sehingga non stasioner.
Kondisi stasioner dari AR(2) dapat dinyatakan dengan parameter-parameternya a1, a2. Akar-akar
dari D(z) = 1 − a1z− a2z2 adalah z1= a1+ p a2 1+ 4a2 −2a2 , z2= a1− p a2 1+ 4a2 −2a2
Jika z1, z2 akar-akar dari persamaan D(z) maka
D(z) = (1 − 1 z1 z)(1 − 1 z2 z) = 0 = 1 − (1 z1 + 1 z2)z | {z } −a1 + (1 z1 1 z2) | {z } a2 = 0 1 z1 + 1 z2 = −2a2 a1+ p a21+ 4a2 + −2a2 a1− p a21+ 4a2 = −a1 1 z1 .1 z2 =4a 2 2 4a2 = a2
Kondisi untuk stasioner: |zi| > 1 ⇐⇒ |z1
i| < 1, i = 1, 2 maka |a2| = | 1 z1 1 z2 | < 1 ⇒ −1 < a2<1 |a1| = |1 z1 + 1 z2| < 2 ⇒ −2 < a1 <2 Untuk akar-akar real:
a21+ 4a22≥ 0 −1 < 1 z1 = 2a2 −a1+ q a2 1+ 4a2 | {z } ≥0 6 2a2 −a1− p a2 1+ 4a2 = 1 z2 <1 ⇐⇒ −1 < 2a2 −a1+ p a21+ 4a2 <1 ⇐⇒ 2a2+ a1< q a2 1+ 4a2, kuadratkan ⇐⇒ 4a22+ 4a2a1+ a21< a21+ 4a2 ⇐⇒ 4a22+ 4a2a1− 4a2<0 ⇐⇒ 4a2(a2+ a1− 1) < 0 ⇐⇒ (a2+ a1) < 1
2a2 −a1+ p a21+ 4a2 >−1 ⇐⇒ 2a2− a1> q a2 1+ 4a2 ⇐⇒ a1− 2a2< q a21+ 4a2 ⇐⇒ −4a2(a1− a2+ 1) < 0 ⇐⇒ a1− a2<1
3.8.2
Invertibilitas
Definisi 3.8.3. (Invertible)Suatu proses ARMA (p, q) didefinisikan dengan persamaan D(B)Xt= C(B)εt
dengan
D(z) = 1 − a1z− . . . − apzp
C(z) = 1 + b1z+ . . . + bqzq
disebut ”invertible” jika terdapat barisan konstanta {hj} sedemikian hingga
P∞ j=0h2j <∞ dan εt= ∞ X j=0 hjXt−j, t∈Z, h0= 1 (proses AR(∞))
Terlihat bahwa sifat kausalitas dan invertible menunjukan hubungan antara {Xt} dan {εt}
Teorema 3.8.4. Diberikan {Xt} suatu proses ARMA(p, q) dengan polinomial D(•) dan C(•)
tidak memiliki akar-akar yang sama. Maka {Xt} invertible jika dan hanya jika C(z) 6= 0 untuk
semua z ∈ C sedemikian hingga |z| ≤ 1. Dengan kata lain, akar-akar berbeda dari C(z), yakni z1, . . . , zk, akan memiliki sifat |zi| > 1, i = 1, 2, . . . , k.
Contoh :
1. Tentukan apakah proses berikut proses yang kausal dan/atau invertible Xt= Yt− 0.4Yt−1
Wt= Yt− 2.5Yt−1
dengan Ytadalah suatu proses stasioner yang memiliki mean 0
Jawab : Xtdan Wtadalah proses M A(1), maka menurut definisi, proses M A orde q selalu
merupakan proses kausal (yakni memenuhi definisi kausal, Xt=
P∞
j=0cjεt−j, cj = 0 untuk
j < 0,P∞j=0cj < ∞ dan mengambil nilai cj = 0, j ≥ 2). Untuk proses Xt, polinomial
C(z) = 1 − 0, 4z yakni akarnya adalah z1 = 0,41 , sehingga |z1| = 2, 5 > 1 maka bersifat
invertible. Untuk proses Wt,polinomial C(z) = 1 − 2, 5z sehingga akar-akarnya z1= |2.51 | =
0.4 < 1, maka bersifat tidak invertible. Catatan :
Berdasarkan definisi dapat ditunjukkan bahwa proses MA(q), q < ∞ selalu bersifat kausal, sedangkan proses AR(p), q < ∞ selalu bersifat invertible, sedangkan untuk proses ARMA(p, q) bergantung kepada akar-akar dari polinomial-polinomialnya.
3.8. KAUSALITAS DAN INVERTIBILITAS 19 2. Dimiliki proses ARMA(2,1) berbentuk
Xt= 0.9Xt−1− 0.04Xt−2+ εt+ 0.25εt−1dengan εt∼ W N (0, σ2). Diperoleh
Xt− 0.9Xt−1+ 0.04Xt−2= εt+ 0.25εt−1
maka dimiliki
D(z) = 1 − 0.5z + 0.04z2= (1 − 0.4z)(1 − 0.1.z) C(z) = 1 + 0.25z
Karena akar-akar D(z) adalah z1 = 0.41 , z2 = 0.11 maka Xt proses kausal dan stasioner!
Karena akar-akar dari C(z) adalah z1= 0.251 maka xtadalah proses yang invertible.
3.8.3
Menentukan koefisien-koefisien dari penyelesaian Kausal
Diberikan proses ARMA(p, q) yang kausal
D(B)Xt= C(B)εt
maka penyelesaian kausal akan berbentuk
Xt= H(B) εt= ∞ X j=0 hjBjεt = ∞ X j=0 hjεt−j
Polinomial H(z) = C(z)D(z),|z| ≤ 1 diperoleh dengan ekspansi dari polinomial D(z) yang memiliki akar-akar dengan nilai absolut > 1.
Disini diperoleh
D(z) = 1 − a1z− . . . − apzp
C(z) = 1 + b1z+ . . . + bqzq
Sehingga diperoleh dari H(z) = C(z)D(z) berlaku
H(z)D(z) = B(z)
(h0+ h1z+ h2z2+ h3z3+ . . .)(1 − a1z− a2z2− . . . − apzp) = (1 + b1z+ . . . + bqzq)
Dengan menyamakan koefisien diperoleh z0: h0= b0= 1 z1: h1− h0a1= b1⇔ h1= b1+ h0a1= b1+ a1 z2= h2− h0a2− h1a1= b2 ⇔ h2= b2+ h0a2+ h1a1= h2+ a2+ c1b1+ a21 .. . Bentuk Umum : (∗∗) hj− X 0<k6j akhj−k= bj,0 6 j < max(p, ε + 1) (∗∗) hj− X 0<k6p akcj−k= 0, j > max(p, q + 1)
dengan b0= 1, bj = 0 untuk j > q, aj= 0 untuk j > p. Penyelesaian umum akan berbentuk hn = k X i=1 rXi−1 j=0 αijnjξ−ni , n >max(p, q + 1) − p
dengan ξi, i = 1, 2, . . . k menunjukkan akar-akar yang berbeda dari polinomial D(z), ri =
mul-tiplikasi dari ξi (banyaknya ξi yang sama), P k
i=1ri = p. Konstanta αij (p buah) dan koefisien
hj,0 ≤ j < max(p, q + 1) − p diperoleh dari syarat batas (*)
Contoh : ARMA(2,1), p = 2; q = 1 (1 − B +1 4B 2)X t= (1 + B)εt A(z) = 1 − z +1 4z 2⇒ z 1= 2, z2= 2 (1 −1 2z)(1 − 1 2z) = 0 ⇔ z1= 2, k = 1, r1= 2 a= 1, a1= 1 − a2= − 1 4, b0= 1, b1= 1 Dari persamaan (*) hj− X 0<k6j akhj−k= bj 0 6 j < max(p, q + 1) j= 0 ⇒ h0= b0= 1 j= 1 ⇒ h1− a1h0= b1⇔ h1= a1+ b1= 1 + 1 = 2 Dari persamaan (**) hj− X 0<k6j akhj−k= 0 j >max(p, ε + 1) ⇔ j > 2 hj− a1hj−1− a2hj−2= 0 ⇒ hj− hj−1+ 1 4hj−2 = 0 Penyelesaian umum : hn=P k i=1 Pri=1 j=0 αijnjε−1i .
Masukkan nilai-nilai yang diperoleh di depan, didapat
hn= (α10+ nα11)2−n, n >max(p, q + 1) − p
⇒ n > 0
Dari boundary condition: h0= 1, h1= 2 diperoleh dari persamaan untuk hn.
Untuk, n = 0 =⇒ α10= h0= 1 n= 1 =⇒ (α10+ α11)2−1= h1= 2 ⇐⇒ α11= 4 − α10= 3 yakni hn= (1 + 3n)2−1, n= 0, 1, 2, . . . Contoh : ARMA (1,1) (1 − a1B)Xt= (1 + b1B)εt z0= h0= 1 z1: h1− h0a1= b1⇔ h1= a1+ b1 z2= h2− h1a1= 0 ⇔ h2= a12+ a1b1= a1(a1+ b1) z3= h3− h2a1= 0 ⇔ h3= h2a1= a21(a1+ b1) .. . zj= hj= aj−11 (a1+ b1) j >1
3.9. FUNGSI AUTOKOVARIANSI PROSES LINEAR STASIONER 21 −→ jika D(z) = 1 − a1zkausal maka |z1| = |a1
1| > 1 ⇐⇒ |a1| < 1 maka a j−1 1 → 0; j → ∞ sehingga P∞ j=0 akan berhingga −→ Xt=P∞j=0hjεt−j stasioner.
3.9
Fungsi Autokovariansi Proses Linear Stasioner
Jika {εt} adalah proses stasioner dengan fungsi autokovariansi γ(·) danP∞−∞c2j <∞ maka untuk
semua t ∈ Z, deret/series C(B)εt= ∞ X −∞ cjBjεt= ∞ X −∞ cjεt−j konvergen (dalam m.s.)
Definisikan Xt= C(B)εt. Maka Xtstasioner dengan fungsi autokovariansi
γX(h) = ∞ X j,k=−∞ cjckγ(h − j + k) Bukti : E(Xt) = lim n→∞ n X j=n cjεt−j = ( ∞ X j=−∞ cj)E(εt) (3.1) E(Xt+hXt) = lim n→∞E( n X j=−n cjεt+h−j)( n X k=−n ckεt−k) = ∞ X j.k=−∞ cjck{γ(h − j + k) + (Eεt)2} (3.2)
yang berhingga dan independen terhadap waktu t. Baris terakhir diperoleh dari fakta karen fungsi kovariansi untuk εtadalah γ(.) dan εtstasioner, maka
γε(h) = E(εt+hεt) − E(εt+h)E(εt)
= E(εt+hεt) − (E(εt))2,dari E(εt+hεt) = γε(h) + (E(εt))2
Subsitusi (3.1) ke (3.2) diperoleh
γX(h) = E(Xt+hXt) − E(Xt+h)E(Xt)
=
∞
X
j,k=−∞
cjckγ(h − j + k)
3.10
Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungsi Autokorelasi parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di antara Xt dan Xt+k setelah
dependensi linear antara Xt dan Xt+k variabel antara Xt+1, Xt+2, . . . , Xt+k−1 dihapus. Ada
beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF yang salah satunya akan dijelaskan sebagai berikut. Misalkan {Xt} adalah suatu proses stasioner dengan mean nol. Misalkan Xt+k dapat
ditulis sebagai model liner.
