Penjumlahan langsung pada modul

PENJUMLAHAN LANGSUNG PADA MODUL. SKRIPSI. Oleh: YUNITA WILDANIATI NIM. 05510001. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG MALANG 2009.

PENJUMLAHAN LANGSUNG PADA MODUL. SKRIPSI. Diajukan Kepada: Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si). Oleh: YUNITA WILDANIATI NIM. 05510001. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG MALANG 2009.

PENJUMLAHAN LANGSUNG PADA MODUL. SKRIPSI. Oleh: YUNITA WILDANIATI NIM. 05510001. Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji: Tanggal: 15 Juli 2009. Dosen Pembimbing I,. Dosen Pembimbing II,. Abdussakir, M.Pd NIP. 150 327 247. Ahmad Barizi, M.A NIP. 150 283 991. Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika. Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321.

PENJUMLAHAN LANGSUNG PADA MODUL. SKRIPSI. Oleh: YUNITA WILDANIATI NIM. 05510001. Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal 28 Juli 2009. Susunan Dewan Penguji:. Tanda Tangan. 1. Penguji Utama. :Wahyu H. Irawan, M.Pd NIP. 150 300 415. (. ). 2. Ketua. : Evawati Alisah, M.Pd NIP. 150 291 271. (. ). 3. Sekertaris. : Abdussakir, M.Pd NIP. 150 327 247. (. ). 4. Anggota. : Ahmad Barizi, M.A NIP. 150 283 991. (. ). Mengetahui dan Mengesahkan Ketua Jurusan Matematika. Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321.

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN. Saya yang bertanda tangan dibawah ini: Nama. : YUNITA WILDANIATI. Nim. : 05510001. Jurusan. : Matematika. Fakultas. : Sains dan Teknologi. Menyatakan dengan sebenar­benarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar­benar. merupakan. hasil. karya. saya. sendiri,. bukan. merupakan. pengambilalihan data, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri. Apabila di kemudian hari terbukti terdapat unsur­unsur jiplakan, maka saya bersedia untuk mempertanggung jawabkan, serta diproses sesuai paraturan yang berlaku.. Malang, 15 Juli 2009 Yang membuat pernyataan. Yunita Wildaniati NIM. 05510001.

MOTTO. ”Ilmu untuk mengetahui dan Agama untuk merasai. Ilmu untuk bendanya dan Agama untuk jiwanya.”. ”Kecantikan yang abadi terletak pada keelokkan adab dan ketinggian ilmu seseorang, bukan terletak pada wajah dan pakaiannya.”.

PERSEMBAHAN. ÉOŠÏm§•9$# Ç`»uH÷q§•9$# «!$# ÉOó¡Î0. Dengan segenap kemurnian cinta kasih dan ketulusan dharma bakti penulis, Penulis persembahkan skripsi ini untuk orang­orang yang penulis cintai dan sayangi selamanya. …………..Ayahanda Ruslan Abidin & ibunda Siti Alfiah tercinta Sebagai bakti suci penulis yang selalu memancarkan sinar kasih sayangnya pada penulis, yang tak pernah usai dalam membesarkan dan mendidik penulis. Tanpa keduanya penulis tak berarti di dunia ini. Semoga Allah SWT senantiasa memberikan ketabahan dan kebahagiaan jiwa. Untaian do’a dan karya kecil ini penulis persembahkan kepadanya. …………….Saudara­saudara di Lampung Mbak Fia & Mas Marwan, Mbak Anis & Mas Umam serta keponakan penulis (fira, faza dan kaela) Yang telah memberikan dorongan serta motivasi dalam hidup penulis..

KATA PENGANTAR. ÉOŠÏm§•9$# Ç`»uH÷q§•9$# «!$# ÉOó¡Î0. Assalamu’alaikum Wr.Wb Alhamdulillah, puji syukur yang sedalam­dalamnya penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena berkat rahmat, kehendak, kekuatan, pertolongan, petunjuk dan bimbingan­Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “ Penjumlahan Langsung Pada Modul”. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga dan sahabat­sahabatnya, yang telah memberikan jalan terang bagi umat islam. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang telah memberikan informasi dan inspirasi, sehingga penulis dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penyusun mengucapkan banyak terimakasih kepada: 1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. 2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU. D.Sc., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Sri Harini, M.Si, selaku ketua Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. 4. Abdussakir, M.Pd, selaku Dosen Pembimbing I, yang dengan sabar membimbing dan memberi arahan serta masukan yang amat berguna, sehingga skripsi ini bisa diselesaikan dengan baik. 5. Ahmad Barizi, M.A selaku Dosen Pembimbing II, terima kasih atas bimbingan yang telah diberikan sehingga skripsi ini bisa diselesaikan dengan baik.. i.

6. Segenap dosen UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, khususnya dosen Matematika, yang telah memberikan ilmunya tanpa pamrih demi masa depan penulis. 7. Ayahanda Ruslan Abidin dan ibunda Siti Alfiah tercinta, serta semua saudara penulis, yang selalu memberi dorongan dan bantuan, baik spiritual maupun material, sehingga skripsi ini bisa terselesaikan. 8. Sahabat­sahabatku(Vivi Aida F., Salimatul Fuada, Imarotul Muhibah, Sarah Luthfiah Y., Siti Khamidah dan Siti mahmudah), teman seperjuanganku (Nilna Niswatin Azizah), serta teman­teman matematika angkatan 2005, yang selalu memberikan dorongan, inspirasi dan selalu menemaniku dalam suka dan duka. 9. Serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah membantu penyelesaian skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat menjadi informasi yang bermanfaat bagi semua pihak. Wassalamu’alaikum Wr.Wb. Malang, 15 Juli 2009. Penulis. ii.

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR......................................................................................i DAFTAR ISI ....................................................................................................iii DAFTAR SIMBOL..........................................................................................v ABSTRAK..................................................................................................... .vi. BAB I : PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...............................................................................1 1.2 Rumusan Masalah ..........................................................................5 1.3 Tujuan Penelitian............................................................................5 1.4 Manfaat Penelitian..........................................................................5 1.5 Batasan Masalah.............................................................................5 1.6 Metode Penelitian...........................................................................6 1.7 Sistematika Penulisan .....................................................................7. BAB II : KAJIAN PUSTAKA 2.1 Pengertian Dasar Ring ...................................................................9 2.1.1 Ring ..................................................................................12 2.1.2 Sifat­Sifat Ring ..................................................................18 2.1.3 Subring ..............................................................................22 2.1.4 Perkalian Bilangan Bulat....................................................26 2.1.5 Homomorfisme Ring..........................................................27. iii.

2.2 Pengertian Dasar Modul .................................................................30 2.2.1 Modul ................................................................................30 2.2.2 Submodul...........................................................................35 2.2.3 Homomorfisme Modul.......................................................36 2.2.4 Sifat­Sifat Homomorfisme Modul ......................................46 BAB III: PEMBAHASAN 3.1 Penjumlahan Langsung pada Modul...............................................54 3.1.1 Penjumlahan Langsung Luar ................................................54 3.1.2 Penjumlahan Langsung Dalam .............................................62 3.1.3 Submodul­Submodul Bebas .................................................63 3.2 Sifat­Sifat Penjumlahan Langsung pada Modul..............................63. BAB IV: PENUTUP 4.1 Kesimpulan ....................................................................................70 4.2 Saran ..............................................................................................71. DAFTAR PUSTAKA. iv.

DAFTAR SIMBOL. Simbol. Keterangan. ". Untuk setiap. Î. Elemen untuk suatu himpunan Terdapat/ada. $ '. Sehingga. ¹. Tidak sama dengan isomorfik. @ Æ. Himpunan kosong. Í. Himpunan Bagian/subset. Å. Penjumlahan Langsung. Ç. Irisan. È. Gabungan. Þ. Implikasi. Û. Biimplikasi. v.

ABSTRAK Wildaniati, Yunita. 2009. Penjumlahan Langsung Pada Modul. Skripsi, Program S­I Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing I: Abdussakir, M.Pd. Pembimbing II:Ahmad Barizi, M.A. Kata Kunci: Penjumlahan Langsung, Modul. Pada struktur aljabar dibahas mengenai dua himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan, di antaranya adalah penjumlahan langsung. Perkalian langsung dari kumpulan R­modul disebut dengan penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dari kumpulan submodul disebut dengan penjumlahan langsung dalam. Tetapi penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam menggunakan notasi yang sama. Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan dengan tujuan untuk menjelaskan tentang penjumlahan langsung pada modul dan sifat­sifatnya. Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode kajian kepustakaan atau studi literatur. Data yang di gunakan dalam penelitian ini adalah teorema homomorfisme modul, teorema dasar isomorfisme modul dan definisi submodul­ submodul bebas dari modul M. Berdasarkan pembahasan dapat diperoleh bahwa penjumlahan langsung pada modul ada dua jenis yaitu penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam. Di antara sifat­sifat penjumlahan langsung pada modul adalah : k. (1) Jika. k. ån = åm i. 1. i. , maka ni = mi. dengan ni , mi Î N i dan N i merupakan. 1. submodul­submodul bebas M, untuk setiap i = 1,2,K , k . (2) Jika L1 = N 1 + L + N r1 , L2 = N r +1 + L + N r + r , L , Lt = N r + r + r +L+1 + L + N k , 1. 1. 2. 1. 2. 3. maka L1 , L2 , L3 ,K , Lt adalah modul bebas, dengan N 1 , N 2 , K , N k submodul­ submodul bebas M. (3) Misal submodul­submodul bebas, dan N i = N i1 Å N i 2 Å L Å N ir . Akan i. berlaku jika N ij adalah submodul­submodul N i , maka submodul­submodul N 11 , K , N 1r1 , N 21 , K , N 2 r2 , N n1 , K , N nrn adalah bebas.. (4) M = Å N i ,. dengan. Ni. submodul. M.. Jika. L1 = N 1 + L + N r1 ,. L2 = N r1 +1 + L + N r1 + r2 , K , Lk = N r1 + r2 +K+1 + L + N k , maka M = Å Li . Jika N i = Å N ij , maka M = Å N ij .. vi.

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Alam semesta memuat bentuk­bentuk dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan Allah dengan ukuran­ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan­perhitungan yang mapan, dan dengan rumus­rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi (Abdusysyakir, 2007:79). Semua yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitung­hitungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya. Rumus­rumus yang ada sekarang bukan diciptakaan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan dalam bahasa matematika. (Abdusysyakir.2007:80) Secara umum beberapa konsep dari disiplin ilmu telah dijelaskan dalam al­ qur’an, salah satunya adalah matematika. Konsep dari disiplin ilmu matematika yang ada dalam al­Qur’an diantaranya adalah masalah logika, statistik, himpunan, dan lain­lain. Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar abstrak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan. Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen­elemen yang dapat. 1.

2. sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen­elemen yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya dan juga oleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti pembahasan­pembahasannya melibatkan objek­objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol­simbol. Kajian mengenai himpunan sudah ada dalam al­quran misalnya, kehidupan manusia yang terdiri dari berbagai macam golongan. Dimana golongan merupakan bagian dari himpunan karena himpunan sendiri merupakan kumpulan objek­objek yang terdefenisi. Dalam al­qur’an surat al­fatihah ayat 7 disebutkan: ÇÐÈ tûüÏj9!$žÒ9$# Ÿwur óOÎgø‹n=tæ ÅUqàÒøóyJø9$# ÎŽö•xî öNÎgø‹n=tã |MôJyè÷Rr& tûïÏ%©!$# xÞºuŽÅÀ Artinya: (yaitu) jalan orang­orang yang telah Engkau beri nikmat kepada mereka; bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat.(QS:Al­fatihah.ayat 7) Dalam ayat 7 surat al­fatihah dijelaskan manusia terbagi menjadi tiga kelompok yaitu (1) kelompok yang mendapatkan nikmat dari Allah SWT, (2) kelompok yang dimurkai, dan (3) kelompok yang sesat. (Abdusysyakir, 2006:47). Berbicara tentang himpunan selain himpunan manusia, dalam al­Qur’an juga disebutkan himpunan­himpunan yang lain. Seperti disebutkan dalam surat al­ faathir ayat 1. Struktur aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifat­sifat tertentu disebut dengan grup. Sedangkan kajian himpunan dengan satu operasi biner dalam konsep Islam yaitu, bahwa manusia diciptakan secara berpasang­ pasangan. Perhatikan firman Allah SWT dalam surat al­faathir ayat 11..

3. ßìŸÒs? Ÿwur 4Ós\Ré& ô`ÏB ã@ÏJøtrB $tBur 4 %[`ºurø—r& ö/ä3n=yèy_ ¢OèO 7pxÿõÜœR `ÏB §NèO 5>#t•è? `ÏiB /ä3s)n=s{ ª!$#ur ’n?tã y7Ï9ºsŒ ¨bÎ) 4 A=»tFÏ. ’Îû žwÎ) ÿ¾ÍnÌ•ßJãã ô`ÏB ßÈs)ZムŸwur 9•£Jyè•B `ÏB ã•£Jyèム$tBur 4 ¾ÏmÏJù=ÏèÎ/ žwÎ) ÇÊÊÈ ×Ž•Å¡o„ «!$# Artinya: Dan Allah menciptakan kamu dari tanah Kemudian dari air mani, Kemudian dia menjadikan kamu berpasangan (laki­laki dan perempuan). dan tidak ada seorang perempuanpun mengandung dan tidak (pula) melahirkan melainkan dengan sepengetahuan­Nya. dan sekali­kali tidak dipanjangkan umur seorang yang berumur panjang dan tidak pula dikurangi umurnya, melainkan (sudah ditetapkan) dalam Kitab (Lauh mahfuzh). Sesungguhnya yang demikian itu bagi Allah adalah mudah(QS:Al­Faathir. Ayat 11).. Dari surat al­faathir ayat 11 diatas disebutkan, bahwa manusia adalah berpasang­pasangan yaitu laki­laki dengan perempuan dengan cara menikah. Biasanya dalam matematika disimbolkan (G,*) , dengan G adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia (laki­laki,perempuan) dan * adalah operasi binernya yaitu pernikahan. Sedangkan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat tertentu disebut ring. Sedangkan kajian himpunan dengan dua operasi biner dalam konsep Islam yaitu, manusia adalah diciptakan secara berpasang­pasangan dan cara memasangkannya dengan hukum­hukum tertentu. Seperti dijelaskan dalam firman Allah SWT dalam surat an­nisaa’ ayat 23. ˈF{$# ßN$oYt/ur öNä3çG»n=»yzur öNä3çG»£Jtãur öNà6è?ºuqyzr&ur öNä3è?$oYt/ur öNä3çG»yg¨Bé& öNà6ø‹n=tã ôMtBÌh•ãm àM»yg¨Bé&ur Ïpyè»|ʧ•9$# šÆÏiB Nà6è?ºuqyzr&ur öNä3oY÷è|Êö‘r& ûÓÉL»©9$# ãNà6çF»yg¨Bé&ur ÏM÷zW{$# ßN$oYt/ur öN©9 bÎ*sù £`ÎgÎ/ OçFù=yzyŠ ÓÉL»©9$# ãNä3ͬ!$|¡ÎpS `ÏiB Nà2Í‘qàfãm ’Îû ÓÉL»©9$# ãNà6ç6Í´¯»t/u‘ur öNä3ͬ!$|¡ÎS.

4. öNà6Î7»n=ô¹r& ô`ÏB tûïÉ‹©9$# ãNà6ͬ!$oYö/r& ã@Í´¯»n=ymur öNà6ø‹n=tæ yy$oYã_ Ÿxsù ÆÎgÎ/ OçFù=yzyŠ (#qçRqä3s? ÇËÌÈ $VJŠÏm§‘ #Y‘qàÿxî tb%x. ©!$# žcÎ) 3 y#n=y™ ô‰s% $tB žwÎ) Èû÷ütG÷zW{$# šú÷üt/ (#qãèyJôfs? br&ur Artinya: Diharamkan atas kamu (mengawini) ibu­ibumu; anak­anakmu yang perempuan[281]; saudara­saudaramu yang perempuan, Saudara­saudara bapakmu yang perempuan; Saudara­saudara ibumu yang perempuan; anak­anak perempuan dari saudara­saudaramu yang laki­laki; anak­anak perempuan dari saudara­saudaramu yang perempuan; ibu­ibumu yang menyusui kamu; saudara perempuan sepersusuan; ibu­ibu isterimu (mertua); anak­anak isterimu yang dalam pemeliharaanmu dari isteri yang Telah kamu campuri, tetapi jika kamu belum campur dengan isterimu itu (dan sudah kamu ceraikan), Maka tidak berdosa kamu mengawininya; (dan diharamkan bagimu) isteri­isteri anak kandungmu (menantu); dan menghimpunkan (dalam perkawinan) dua perempuan yang bersaudara, kecuali yang Telah terjadi pada masa lampau; Sesungguhnya Allah Maha Pengampun lagi Maha Penyayang.(QS: An­nisaa’. Ayat 23). Maka dari firman Allah SWT diatas dijelaskan bahwa manusia adalah berpasang­pasangan antara laki­laki dan perempuan dengan menikah. Akan tetapi cara menikah dengan pasangannya harus secara hukum agama. Dalam matematika biasanya disimbolkan ( R,*,·) , dengan R adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia (laki­laki, perempuan), * adalah operasi pertamanya yaitu pernikahan, dan · adalah operasi keduanya yaitu hukum agamanya. Sedangkan struktur aljabar yang dikembangkan dengan mempunyai dua himpunan yang tidak kosong dengan dua operasi biner dan memenuhi syarat­ syarat tertentu disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan diantaranya homomorfisme modul, isomorfisme modul, penjumlahan langsung pada modul dan lain­lain. Perkalian langsung dari kumpulan R­modul. disebut dengan penjumlahan. langsung luar dan penjumlahan langsung dari kumpulan submodul disebut dengan penjumlahan langsung dalam. Tetapi penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam menggunakan notasi yang sama. Oleh karena itu, penulis tertarik.

5. untuk. membahasnya.. Sehingga. skripsi. ini. oleh. penulis. diberi. judul. “PENJUMLAHAN LANGSUNG PADA MODUL “.. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas, maka rumusan masalahnya adalah : 1) Apa yang dimaksud dengan penjumlahan langsung pada modul? 2) Bagaimana sifat­sifat penjumlahan langsung pada modul?. 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah: 1) Menjelaskan tentang penjumlahan langsung pada modul 2) Mendeskripsikan sifat­sifat penjumlahan langsung pada modul. 1.4 Manfaat Penelitian Dari penulisan skripsi ini, penulis berharap pembahasan skripsi ini bisa bermanfaat bagi berbagai kalangan, diantaranaya: 1) Bagi Penulis Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta mengembangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai Penjumlahan Langsung Pada Modul. 2) Bagi Pembaca.

6. Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang penjumlahan langsung pada modul. 3) Bagi Instansi i.. Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran mata kuliah Aljabar Abstrak.. ii.. Sebagai tambahan bahan kepustakaan.. 1.5 Batasan Masalah Dalam pembahasan skripsi ini tidak dibatasi, karena skripsi ini bekerja pada ruang lingkup bilangan real.. 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur atau kajian pustaka. Buku utama yang digunakan sebagai literatur utama adalah Abstract Algebra, karangan David S. Dummit dan Richard M. Foote. Sedangkan sebagai literatur pendampingnya adalah beberapa buku, skripsi, atau artikel yang dapat mengantarkan kepada tujuan pembahasan yang ditetapkan. Dalam menyusun skripsi ini, pertama dipelajari terlebih dahulu teori tentang ring dan teori modul, dimana kedua hal tersebut merupakan landasan utama definisi maupun teorema yang ada dalam skripsi ini. Selanjutnya, dipelajari pengertian homomorfisme modul dan teorema dasar isomorfisme modul. Kemudian, dibahas mengenai penjumlahan langsung pada modul dan sifat­.

7. sifatnya. Homomorfisme modul digunakan untuk membuktikan teorema yang berkaitan dengan penjumlahan langsung luar, teorema dasar isomorfisme modul digunakan untuk membuktikan teorema yang menjadi salah satu sarat perlu dan cukup untuk penjumlahan langsung dalam selain itu teorema dasar isomorfisme digunakan untuk menjelaskan alasan penjumlahan langsung dalam dan penjumlahan langsung luar menggunakan notasi yang sama. Selanjutnya definisi submodul­submodul bebas digunakan untuk membuktikan sifat­sifat penjumlahan langsung pada modul.. 1.7 Sistematika Penulisan Untuk mempermudah pembaca dan memberikan gambaran secara umum tentang masalah yang diangkat dalam skripsi ini, maka diberikan sistematika penulisan sebagai berikut: BAB I. Merupakan pendahuluan, yang berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah, metode penelitian, dan sistematika penulisan.. BAB II. Berisi dasar teori akan dikemukakan tentang teori­teori yang sesuai dengan masalah yang dibahas, diantaranya adalah definisi ring, sifat­sifat ring, modul, homomorfisme modul, dan isomorfisme modul. Didalamnya juga dibahas mengenai ring yang digunakan dalam tugas akhir ini, yaitu ring komutatif dengan elemen satuan, sehingga cukup jelas nantinya ideal kiri sama dengan ideal kanan dan modul kiri sama dengan modul kanan..

8. BAB III. Dijelaskan tentang penjumlahan langsung pada modul dan sifat­ sifat penjumlahan langsung pada modul.. BAB IV. Merupakan penutup skripsi ini, yang berisi kesimpulan dari keseluruhan pembahasan skripsi ini dan saran..

BAB II KAJIAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas beberapa definisi, sifat, dan teorema yang akan digunakan sebagai dasar pembahasan dalam bab selanjutnya. Teori­teori yang akan dibahas adalah ring, modul, homomorfisme modul dan isomorfisme modul. 2.1 Pengertian Dasar Ring Suatu struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner disebut dengan grup, yang dinyatakan sebagai (G,*) dengan G tidak sama dengan himpunan kosong (G ¹ Æ ) dan * adalah operasi biner pada G yang memenuhi sifat­sifat tertutup, assosiatif, ada identitas, dan ada invers dalam grup tersebut. Himpunan­himpunan dalam grup mempunyai elemen atau anggota yang juga merupakan makhluk dari ciptaan­Nya. Sedangkan operasi biner merupakan interaksi antara makhluk­makhluk Nya, dan sifat­sifatnya harus dipenuhi dan itu merupakan aturan yang telah ditetapkan oleh Allah artinya sekalipun makhluknya berinteraksi dengan sesama makhluk ia harus tetap berada dalam koridor yang telah ditetapkan Allah. Struktur aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifat­sifat tertentu disebut dengan grup. Sedangkan kajian himpunan dengan satu operasi biner dalam konsep Islam yaitu, bahwa manusia diciptakan secara berpasang­ pasangan. Perhatikan firman Allah SWT dalam surat al­faathir ayat 11.. 9.

10. žwÎ) ßìŸÒs? Ÿwur 4Ós\Ré& ô`ÏB ã@ÏJøtrB $tBur 4 %[`ºurø—r& ö/ä3n=yèy_ ¢OèO 7pxÿõÜœR `ÏB §NèO 5>#t•è? `ÏiB /ä3s)n=s{ r «!$# ’n?tã y7Ï9ºsŒ ¨bÎ) 4 A=»tFÏ. ’Îû žwÎ) ÿ¾ÍnÌ•ßJãã ô`ÏB ßÈs)ZムŸwur 9•£Jyè•B `ÏB ã•£Jyèム$tBur 4 ¾ÏmÏJù=ÏèÎ/ ÇÊÊÈ ×Ž•Å¡o„ Artinya: Dan Allah menciptakan kamu dari tanah Kemudian dari air mani, Kemudian dia menjadikan kamu berpasangan (laki­laki dan perempuan). dan tidak ada seorang perempuanpun mengandung dan tidak (pula) melahirkan melainkan dengan sepengetahuan­Nya. dan sekali­kali tidak dipanjangkan umur seorang yang berumur panjang dan tidak pula dikurangi umurnya, melainkan (sudah ditetapkan) dalam Kitab (Lauh mahfuzh). Sesungguhnya yang demikian itu bagi Allah adalah mudah.(QS: al­Faathir ayat 11).. Dari firman di atas bahwa manusia adalah berpasang­pasangan yaitu laki­laki dengan perempuan, sehingga laki­laki dan perempuan harus berpasangan, dan dengan berpasangan (nikah) manusia dapat mengandung dan melahirkan seorang anak dan kemudian anak tersebut juga akan berpasangan dengan anak yang lain. Biasanya dalam matematika disimbolkan (G, + ) , dengan G adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia (laki­laki,perempuan) dan * adalah operasi binernya yaitu pernikahan. Sedangkan definisi dari ring adalah misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan · disebut ring jika memenuhi pernyataan berikut (R,+) adalah grup abelian, operasi · bersifat assosiatif dan distributif terhadap pertama. Jika dikaitkan dengan konsep Islam, maka perhatikan firman Allah SWT dalam surat an­nisaa’ ayat 23 berikut: ˈF{$# ßN$oYt/ur öNä3çG»n=»yzur öNä3çG»£Jtãur öNà6è?ºuqyzr&ur öNä3è?$oYt/ur öNä3çG»yg¨Bé& öNà6ø‹n=tã ôMtBÌh•ãm àM»yg¨Bé&ur Ïpyè»|ʧ•9$# šÆÏiB Nà6è?ºuqyzr&ur öNä3oY÷è|Êö‘r& ûÓÉL»©9$# ãNà6çF»yg¨Bé&ur ÏM÷zW{$# ßN$oYt/ur.

11. öN©9 bÎ*sù £`ÎgÎ/ OçFù=yzyŠ ÓÉL»©9$# ãNä3ͬ!$|¡ÎpS `ÏiB Nà2Í‘qàfãm ’Îû ÓÉL»©9$# ãNà6ç6Í´¯»t/u‘ur öNä3ͬ!$|¡ÎS öNà6Î7»n=ô¹r& ô`ÏB tûïÉ‹©9$# ãNà6ͬ!$oYö/r& ã@Í´¯»n=ymur öNà6ø‹n=tæ yy$oYã_ Ÿxsù ÆÎgÎ/ OçFù=yzyŠ (#qçRqä3s? ÇËÌÈ $VJŠÏm§‘ #Y‘qàÿxî tb%x. ©!$# žcÎ) 3 y#n=y™ ô‰s% $tB žwÎ) Èû÷ütG÷zW{$# šú÷üt/ (#qãèyJôfs? br&ur Artinya: Diharamkan atas kamu (mengawini) ibu­ibumu; anak­anakmu yang perempuan; saudara­saudaramu yang perempuan, Saudara­saudara bapakmu yang perempuan; Saudara­saudara ibumu yang perempuan; anak­anak perempuan dari saudara­saudaramu yang laki­laki; anak­anak perempuan dari saudara­saudaramu yang perempuan; ibu­ibumu yang menyusui kamu; saudara perempuan sepersusuan; ibu­ibu isterimu (mertua); anak­anak isterimu yang dalam pemeliharaanmu dari isteri yang Telah kamu campuri, tetapi jika kamu belum campur dengan isterimu itu (dan sudah kamu ceraikan), Maka tidak berdosa kamu mengawininya; (dan diharamkan bagimu) isteri­isteri anak kandungmu (menantu); dan menghimpunkan (dalam perkawinan) dua perempuan yang bersaudara, kecuali yang Telah terjadi pada masa lampau; Sesungguhnya Allah Maha Pengampun lagi Maha Penyayang.(QS: An­nisaa’. Ayat 23).. Maka dari firman di atas diketahui bahwa manusia adalah berpasang­ pasangan antara laki­laki dan perempuan dengan menikah. Akan tetapi cara menikah dengan pasangannya harus secara hukum agama dan apabila tidak sesuai dengan hukum agama, maka diharamkan bagi kedua pasangan yang akan menikah padahal tujuan dalam pernikahan tersebut adalah agar halal. Jadi menikahlah dengan pasangan kamu sesuai dengan hukum agama. Seperi gambar berikut: Laki­laki menikah. Secara hukum agama. perempuan. Secara matematika biasanya disimbolkan ( R, +,·) ), dengan R adalah himpunan tak kosong/himpunan manusia (laki­laki, perempuan), + sebagai operasi pertama yaitu pernikahan, dan · sebagai operasi keduanya yaitu aturan hukum agama..

12. 2.1.1 Ring Definisi 1 R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan · disebut ring jika memenuhi syarat­syarat berikut: i. ( R, +) adalah grup abelian, ii. Operasi · bersifat assosiatif: (a · b) · c = a · ( b· c ), " a, b, c Î R iii. Operasi · bersifat distributif terhadap operasi +di R: " a, b, c Î R. (a+b) · c = (a· c) + (b · c) (distributif kanan) a · ( b+c) = (a· b) +(a · c ). (distributif kiri). (Dummit & Foot, 1991: 225) Sebenarnya operasi yang digunakan tidak harus sama seperti itu, masih bisa menggunakan operasi yang lain, hanya saja pada penulisan skripsi ini penulis menggunakan operasi + dan · .Untuk selanjutnya, notasi ring dengan operasi + dan operasi · tersebut ditulis dengan (R,+,·) . Contoh 1 Misalkan S = { (x, y) : x,y Î Z} Pada S didefinisikan dua operasi (+) dan operasi ( o ) sebagai berikut: (i) (x, y ) + (z, u)= (x + z , y + u ) (ii) (x, y) o (z, u ) = (x o z, y o u) Selidiki apakah (S, +, o ) ring atau bukan ?.

13. Jawab : Misalkan a,b dan c di S dengan a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) dan c = ( x3 , y 3 ) dimana x1 , y1 , x 2 , y 2 , x3 , y 3 Î Z. (i). a + b = ( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) Karena x1 + x 2 , y1 + y 2 Î Z, maka a + b = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) Î S.. (ii). a + ( b + c) = ( x1 , y1 ) + {( x 2 , y 2 ) + ( x3 , y 3 )} = ( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 ) + ( x3 , y 3 ) = ( x1 + x 2 + x3 , y1 + y 2 + y 3 ) = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) + ( x3 , y 3 ) = {( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 )} + ( x3 , y 3 ) = (a + b) + c. (iii). a + b = ( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) = ( x 2 + x1 , y 2 + y1 ) =b+a. (iv). Ada 0 = (0,0) Î S sedemikian hingga untuk setiap a Î S berlaku: a + 0 = ( x1 , y1 ) + (0, 0) = ( x1 + 0, y1 + 0 ). dan 0 + a = (0,0) +( x1 , y1 ) =( 0 + x1 ,0 + y1.

14. (v). = ( x1 , y1 ). = ( x1 , y1 ). =a. =a. Untuk sebarang a Î S ada –a = ( - x1 ,- y1 ) Î S sedemikian hingga: a + (­a)= ( x1 , y1 ) ) + ( - x1 ,- y1 ) = (0,0) dan –a + a = ( - x1 ,- y1 ) + ( x1 , y1 ) = (0,0). (vi). a o b = ( x1 , y1 ) o ( x 2 , y 2 ) = ( x1 o x 2 , y1 o y 2 ) Karena x1 o x 2 , y1 o y 2 Î Z maka a o b Î S. (vii). Untuk sebarang a, b, c Î Z akan berlaku: a o (b o c)= ( x1 , y1 ) o {( x 2 , y 2 ) o ( x3 , y 3 )} = ( x1 , y1 ) o ( x 2 o x3 , y 2 o y 3 ) = ( x1 o x 2 o x3 , y1 o y 2 o y 3 ) = ( x1 o x 2 , y1 o y 2 ) o ( x3 , y3 ) ={( x1 , y1 ) o ( x 2 , y 2 )} o ( x3 , y 3 ) = (a o b) o c. (viii). Untuk sebarang a, b, c Î S, berlaku a o (b +c) = ( x1 , y1 ) o {( x 2 , y 2 ) + ( x3 , y 3 )}.

15. = ( x1 , y1 ) o ( x 2 + x3 , y 2 + y 3 ) = ( x1 o ( x 2 + x3 ), y1 o ( y 2 + y 3 )) = ( x1 o x 2 + x1 o x3 , y1 o y 2 + y1 o y 3 ) =( x1 o x 2 , y1 o y 2 )+ ( x1 o x 3 , y1 o y 3 ) = {( x1 , y1 ) ( x 2 , y 2 )} + {( x 1 , y 1 ) (( x3 , y 3 )} = aob + aoc Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa : (b + c) o a = b o a + c o a Karena semua syarat sudah dipenuhi maka (S, +, o ) merupakan ring.. Definisi 2. (R,+,·). disebut ring komutatif jika ring tersebut memenuhi hukum. komutatif terhadap operasi kedua atau berlaku a · b = b· a, " a, b ÎR.(Dummit & Foot, 1991:225). Contoh 2 Bilangan bulat Z merupakan suatu ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Jawab : Dengan mudah dapat diperiksa bahwa (Z, +) merupakan grup komutatif. Ambil sebarang a, b, c Î Z , maka (Z,+, ´ ) memenuhi: i.. Tertutup, yaitu a ´ b Î Z , "a, b Î Z. ii.. Assosiatif, yaitu a ´ (b ´ c ) = (a ´ b) ´ c, "a, b, c Î Z.

16. iii.. Distributif, yaitu a ´ (b + c) = (a ´ b) + (a ´ c), "a, b, c Î Z. Karena (Z, ´ ) juga memenuhi hukum komutatif, yaitu a´ b = b ´ a untuk "a, b Î Z , maka Z merupakan ring komutatif.. Definisi 3 Suatu ring R dengan operasi pada ring dilambangkan dengan. (R,+,·). disebut memiliki pembagi nol (zero divisor), jika ada dua elemen a dan b anggota R dengan a ¹ 0 , b ¹ 0 sedemikian sehingga a · b=0 (Raisinghania & Aggarwal. 1980: 314). Contoh 3 Diketahui R = {0,1,2,3,4,5} adalah ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan modulo enam. Tentukan unsur di R yang merupakan pembagi nol. Jawab Sebelum mencari pembagi nol, harus dicari apakah ring ini membentuk ring komutatif. Perhatikan tabel perkalian bilangan modulo enam dibawah ini: ´. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 2. 0. 2. 4. 0. 2. 4. 3. 0. 3. 0. 3. 0. 3. 17.

4. 0. 4. 2. 0. 4. 2. 5. 0. 5. 4. 3. 2. 1. Berdasarkan tabel dapat dilihat bahwa setiap a, b Î R, a ´ b = b ´ a . Oleh karena itu R merupakan ring komutatif. Sekarang perhatikan, dari tabel terlihat bahwa 2 ¹ 0 dan 3 ¹ 0 , tetapi 2 ´ 3 =0. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa 2 merupakan pembagi nol, karena ada 3 ¹ 0 sehingga 2´ 3=0. Begitu juga dengan 3 dan 4.. Definisi 4 Jika (R,+,·) adalah ring dan ada elemen 1 Î R sehingga a · 1 = 1 · a = a, untuk setiap a Î R , maka R dinamakan ring dengan elemen satuan. (Kusaeri & Abidin, 2003:48).. Contoh 4 Selidiki apakah untuk R ring bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan ring dengan elemen satuan. Jawab R yang merupakan ring bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian memiliki elemen satuan, yaitu bilangan 1 karena untuk setiap a Î R , berlaku a ´ 1 = 1´ a = a. Jadi ring bilangan bulat dengan operasi. penjumlahan dan perkalian merupakan ring dengan elemen satuan. 2.1.2 Sifat­ Sifat Ring.

18. Teorema 1 Misal (R,+,·) adalah ring, maka a · 0 = 0 · a = 0, "a Î R dan 0 adalah identitas operasi pertama di R. (Raisinghania & Aggarwal. 1980:325) Bukti. (R,+,·). adalah ring dengan dua operasi yang dinotasikan + (operasi. pertama) dan · ( operasi kedua ). Identitas operasi pertama adalah nol dan identitas operasi kedua adalah satu. a · 0 = a · (0 + 0 ). (sifat dari 0 di R). a·0 = a·0+ a·0. (distributif kanan). 0+ a·0 = a·0+ a·0. (sifat identitas 0 di R) (kanselasi kanan). 0 = a·0. ……(1). \a · 0 = 0. 0 · a = (0 + 0) · a. (sifat dari 0 di R). 0·a = 0·a +0·a. (distributif kiri). 0+ 0·a = 0·a + 0·a. (sifat identitas 0 di R). 0 = 0a. (kanselasi kiri). \0 · a = a. ……(2). Dari (1) dan (2) didapat a · 0 = 0 · a = 0, "a Î R .. Teorema 2 Misal (R,+,·) adalah ring, maka a · (- b ) = (- a ) · b = -(a · b ), "a, b Î R (Raisinghania & Aggarwal. 1980:325) Bukti:.

19. a · (- b ) + a · b = a · (- b + b ). (sifat distributif kanan). a · (- b ) + a · b = a · 0. ( invers terhadap operasi +). a · (- b ) + a · b = 0. (teorema 1). a · (- b ) + a · b + (- (a · b )) = 0 + (- (a · b )) (kedua ruas ditambah ­( a · b )). a · (-b) = -(a · b). (invers terhadap operasi +). a · (- b ) = -(a · b ) KK (1) Selanjutnya. (- a ) · b + a · b = (- a + a ) · b. (sifat distributif kanan). (- a ) · b + a · b = 0 · b. (invers terhadap operasi +). (- a ) · b + a · b = 0. (hasil operasi · dengan 0 di R). (- a ) · b + a · b + (- (a · b )) = 0 + (- (a · b )) (kedua ruas ditambahkan –(a · b)) (- a ) · b + 0 = -(a · b ). (- a ) · b. = - (a · b ). (invers terhadap operasi +) KK (2). Dari (1) dan (2) diperoleh a · (- b ) = (- a ) · b = -(a · b ), "a, b Î R .. Teorema 3 Misal. (R,+,·). ring,. maka. - (a + b ) = (- a ) + (- b ), "a, b Î R .. (Raisinghania & Aggarwal. 1980:325). Bukti:. [(- a ) + (- b)] + (a + b ) = (- a ) + [(- b ) + (a + b)] = (- a ) + [(- b ) + (b + a )]. (sifat assosiatif) (sifat komutatif +).

20. = (- a ) + [((- b ) + b ) + a ]. (sifat assosiatif +). = (- a ) + [0 + a ]. (sifat invers +). = (- a ) + a. (sifat identitas +). =0. [(- a ) + (- b)] + (a + b ) = 0. [(- a ) + (- b)] + (a + b) + [-(a + b)] = 0 + [-(a + b)] [(- a) + (-b)] + 0 = -(a + b). (kedua ruas ditambah –(a+b)) (sifat invers pada +). (- a) + (-b) = -(a + b) Didapat bahwa - (a + b ) = (- a ) + (- b ), "a, b Î R .. Teorema 4 Misal. (R,+,·). adalah ring maka a · (b - c ) = a · b - a · c, "a, b, c Î R .. (Raisinghania &Aggarwal. 1980:325). Bukti: a · (b - c) = a · [b + (-c )] = a · b + a · ( -c ). (sifat distributif kiri). = a · b + (-(a · c)). (teorema 2). = a·b-a·c Teorema 5 Misal. (R,+,·). adalah. ring. maka. (Raisinghania & Aggarwal. 1980:325).. (- a ) · (- b ) = a · b, "a, b Î R ..

21. Bukti:. (- a ) · (- b ) = -(a · (- b )). (sifat assosiatif). = - (- (a · b )) (teorema 2) = a·b. (teorema 3). Teorema 6 Misal. (R,+,·) adalah. ring, maka. (b - c ) · a = b · a - c · a, "a, b, c Î R .. (Raisinghania &Aggarwal. 1980:325). Bukti: (b - c ) · a = [b + (- c)] · a = b · a + (-c) · a (hukum distributif kanan) = b · a(-(c · a )) (teorema 2) = b·a-c·a. Teorema 7 Misal (R,+,·) adalah ring, maka (- a) · 1 = - a, "a Î R , (Raisinghania & Aggarwal. 1980:325) Bukti: (- a) · 1 = -1 · (a ) (sifat komutatif) = - (1 · a) (teorema 2) = ­a. (sifat identitas di R).

22. 2.1.3 Subring Definisi 5 Misalkan S Ì R , (R,+,·) suatu ring . S dinamakan subring dari R bila S sendiri merupakan suatu ring terhadap operasi yang sama dengan R.( Hartley & Hawkes, 1970). Teorema 8 Misalkan R suatu ring dan S Ì R , S ¹ Æ . S disebut subring R jika dan hanya jika memenuhi: i.. a - b Î S , "a, b Î S. ii.. a · b Î S , "a, b Î S. (Soebagio & Sukirman, 1995:367) Bukti: Þ Misalkan S subring dari R , maka S adalah suatu ring sehingga, jika a,bÎ S maka a,-b Î S dan a - b Î S serta ab Î S . Ü Sebaliknya, jika S Ì R dn S ¹ Æ dengan sifat bahwa "a, b Î S berlaku (i) a - b Î S dan (ii) ab Î S , harus ditunjukkan bahwa S adalah subring dari R. ambil a Î S , menurut (i), maka a - a = 0 Î S dan menurut (i) lagi, 0 - a = - a Î S dan (ii) ab Î S , maka a, -b Î S dan a - (-b) = a + b Î S . Selanjutnya karena S Ì R dan R suatu ring, maka elemen­elemen S memenuhi sifat­sifat assosiatif pada operasi pertama, komutatif pada operasi pertama, assosiatif pada operasi kedua, distributif kanan dan distributif kiri kedua terhadap operasi pertama..

23. Jadi S suatu ring, karena S Ì R , S ¹ Æ dan R suatu ring maka S adalah subring dari R. Dari teorema 8 tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa –bmerupakan invers dari a. Contoh 5 Diketahui. (Z ,+,·) suatu. ring. Pandang himpunan 2Z =. {2Z : x Î Z } .. Tunjukkan bahwa 2Z merupakan subring dari Z. Jawab: Ambil x Î Z , maka x = 2x1 , dengan x1 Î Z , karena 2, x1 Î Z maka 2 x1 Î Z . Jadi 2 Z Ì Z . 2 z ¹ Æ karena e Î 2 Z yakni e = 0 = 2 · 0 Î 2 Z . Selanjutnya akan diselidiki sifat­sitat berikut: i.. Ambil x, y Î 2 Z x Î 2 Z Þ x = 2 x1 dengan x1 Î 2 Z y Î 2 Z Þ y = 2 x 2 dengan x 2 Î 2Z x - y = 2 x1 - 2 x 2 = 2( x1 - x 2 ) Î 2 Z. ii.. x · y = (2 x1 ) · (2 x 2 ) = 4( x1 · x 2 ) = 2(2 · x1 · x 2 ). Karena 2Z Ì Z , Z ¹ Æ, dan2 Z memenuhi sifat (i) dan (ii) maka terbukti bahwa 2Z subring dari Z..

24. Definisi 6 Diberikan (R,+,·) adalah ring komutatif. Suatu subring tak kosong I dari R disebut Ideal dari R jika memenuhi aksioma berikut: a) a - b Î I , "a, b Î I b) a · r Î I dan r · a Î I , "a Î I dan r Î R (Kusaeri & Abidin, 2003:77) Sama halnya dengan teorema 8, pada definisi 6 ini yang dimaksud dengan –b adalah invers dari a. Contoh 6 Misalkan A dan B ideal dari ring R dengan operasi + dan o .Tunjukkan bahwa A Ç B ideal dari R. Jawab: e Î A dan e Î B , sehingga e Î A Ç B . Dengan demikian A Ç B ¹ f .. A ideal dari R dan B ideal dari R, maka A Ì R dan B Ì R . Karena A Ì R dan B Ì R maka A Ç B Ì R . i.. Ambil sebarang x, y Î A Ç B . Jika x Î A Ç B , maka x Î A dan x Î B . Jika y Î A Ç B , maka y Î A dan y Î B . x Î A , y Î A dan A ideal, maka x - y Î A . x Î B , y Î B dan B ideal, maka x - y Î B .. Karena x - y Î A .dan x - y Î B . diperoleh x - y Î A Ç B ..

25. ii.. Ambil sebarang x Î A Ç B , dan r Î R Untuk x Î A dan A ideal, didapat r o x Î A . Untuk x Î B dan B ideal, didapat r o x Î B . Karena r o x Î A dan r o x Î B disimpulkan r o x Î A Ç B . Karena sebelumnya sudah ditetapkan bahwa dalam penulisan tugas akhir ini menggunakan ring komutatif dengan elemen satuan maka sudah pasti bahwa. x o r Î A dan x o r Î B , dan disimpulkan. xor Î AÇ B.. Berdasarkan i dan ii, A Ç B ¹ f , dan A Ç B Ì R , disimpulkan bahwa A Ç B ideal dari R.. Teorema 9 Diberikan (R,+,·) adalah ring. Setiap ideal dalam suatu ring R adalah subring. (Kusaeri & Abidin, 2003:78) Bukti: Diketahui (R,+,·) adalah ring dan I ideal dalam R. I ¹ Æ karena I suatu ideal dan I Ì R karena I ideal dalam R.. a) Ambil x, y Î I . Jika x, y Î I maka x - y Î I ( karena I ideal) b) Ambil x, y Î I Jika x Î I maka x Î R (karena I ideal dalam R)..

26. Sedangkan dari hepotesa diketahui bahwa I ideal dari R berakibat bahwa jika x Î R dan y Î I maka x · y Î I dan y · x Î I . Jadi untuk setiap x, y Î I , berakibat x · y Î I . Berdasarkan (a), (b), I ¹ Æ dan I Ì R maka terbukti bahwa I subring.. 2.1.4 Perkalian Bilangan Bulat Definisi 7 Misal a adalah saebarang elemen suatu ring R dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian. Dan misalkan m adalah bilangan bulat positif, maka dapat ditulis sebagai berikut: ma = a + a + L + a dan. (m kali). (- ma) = (- a) + (- a ) + L + (-a ). (m kali). = m( - a). (teorema 2). = -(ma ). (teorema 2). Sedangkan 0a = 0. (0 disebelah kiri sebagai bilangan bulat nol, sedangkan 0 disebelah kanan adalah identitas penjumlahan di R.). Akibat dari notasi tersebut, untuk sebarang bilangan bulat m dan n, serta untuk sebarang elemen a dan b di ring R memiliki sifat sebagai berikut: 1) (m + n)a = a + a + L + a[(m + n)kali] = [a + a + L + a (m kali )] + {a + a + L + a (n kali)] = ma + na 2) m(a + b) = (a + b) + (a + b) + L + (a + b). (m kali).

27 = {(a + a + L + a (m kali)} + {(b + b + L + b (m kali)}(komutatif + di R) = ma + mb 3) m(na ) = na + na + L + na = {a + a + L + a. (m kali) (n. kali)}. +. {a + a + L + a (n. kali)}. +. L + L (sampai m kali) = {a + a + L + a (mn kali)} = (mn)a (Raisinghania & Aggarwal. 1980:327) 2.1.5 Homomorfise Ring Definisi 8 Suatu homomorfisma dari ring R dengan operasi + dan · ke dalam ring S dengan operasi o dan Ä adalah suatu pemetaan f : R ® S sedemikian hingga : i.. f ( x + y) = f ( x) o f ( y ). ii.. f ( x · y ) = f ( x) Ä f ( y ). Untuk setiap x, y Î R .(Hartley & Hawkes,1970:18) Berdasarkan definisi 7, operasi pada R dan S tidak harus sama. R bisa menggunakan operasi lain dan S juga bisa menggunakan operasi lain atau bisa saja operasi R dan S sama. Homomorfisme adalah memetakan hasil operasi sama dengan mengoperasikan hasil pemetaan. Dan untuk menjadi homomorfisme harus memenuhi sarat perlu dan cukupnya..

28. Contoh 7. {. Misalkan. }. D 2 = m + n 2 : m, n Î x suatu. ring. terhadap. operasi. penjumlahan dan perkalian. Didefinisikan pemetaan f : J ( 2 ) ® J dengan. (. ). f m+n 2 = m-n 2.. homomorfisme dari J. Tunjukkan. f. bahwa. ( 2). merupakan. ( 2 ) ke J ( 2 ).. Jawab: Ambil sebarang x, y Î J. ( 2 ) , maka. x = m1 + n1 2 untuk bilangan bulat. m1 dan n1 , y = m 2 + n2 2 untuk bilangan bulat m2 dan n2 .. {(. ) (. i. f ( x + y ) = f m1 + n1 2 + m 2 + n 2 2. {. = f (m1 + m 2 ) + (n1 + n 2 ) 2. )} (memetakan hasil operasi). }. (sifat assosiatif operasi +). = (m1 + m 2 ) - (n1 + n 2 ) 2. (definisi dari pemetaan j ). = (m1 + m 2 ) - ( n1 2 + n 2 2 ). (sifat distributif kanan). (. ) (. = m1 - n1 2 + m 2 - n 2 2. (. ) (. ). = f m1 + n1 2 + f m 2 + n 2 2. (. ). (f m + n 2 = m - n 2 ). ). (mengoperasikan. hasil. pemetaan) = j (x ) + j ( y ). {(. ) (. ii. f ( x ´ y ) = f m1 + n1 2 ´ m 2 + n2 2. )}. (memetakan hasil operasi). {. = f (m1 ´ m 2 + 2 ´ n1 ´ n2 ) + (m1 ´ n 2 + m 2 ´ n1 ) ´ 2. }. (sifat distributif kanan) = (m1 ´ m 2 + 2 ´ n1 ´ n 2 ) - ((m1 ´ n 2 + m 2 ´ n1 ) ´ 2 ).

29. (definisi pemetaan j ). ((. ) (. = (m1 ´ m 2 + 2 ´ n1 ´ n 2 ) - m1 ´ n1 ´ 2 + m 2 ´ n 2 ´ 2. )). (sifat distributif kanan). (. ) (. = m1 - n1 2 ´ m 2 - n2 2. (. ). ) (. (. ). (f m + n 2 = m - n 2 ). ). = f m1 + n1 2 ´ f m 2 + n 2 2 (mengoperasikan hasil pemetaan) = f (x ) ´ f ( y ) Karena berlaku untuk sebarang x, y Î J anggota J. J. ( 2 ). Dengan demikian. ( 2 ) berarti berlaku untuk setiap. f merupakan homomorfisme dari. ( 2 ) ke J ( 2 ).. Epimorfisma adalah suatu homomorfisme yang surjektif. Monomorfisme adalah suatu homomorfisme yang injektif. Isomorfisme adalah homomorfisme yang bijektif. Endomorfisme adalah suatu homomorfisme dari ring R ke ring R. Automorfisme adalah suatu isomorfisme dari ring R ke R. Ring R dan S dikatakan isomorfikc dan dinotasikan R @ S jika terdapat isomorfisme dari R ke S. ( Hartley & Hawkes,1970:19). Demikian beberapa pengertian dasar seputar ring. Beberapa hal yang diuraikan diatas digunakan untuk mempelajari dan mengerti sub bahasan berikutnya, yaitu modul, submodul, homomorfisme modul dan isomorfisme modul. Tambahan materi tentang teori ring ini dapat ditemui dalam literatur­ literatur yang digunakan dalam menyusun skripsi ini..

30. 2.2 Pengertian Dasar Modul Suatu struktur aljabar dengan satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner disebut dengan grup. Sedangkan struktur aljabar dengan satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner disebut dengan ring. Ada lagi struktur aljabar dengan dua himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang disebut dengan modul. Jika suatu modul merupakan modul kiri dan modul kanan, maka secara umum disebut modul. Jika dikaitkan dengan konsep Islam seperti firman Allah SWT dalam surat al­waqi’ah ayat 7­10 berikut: Ü=»ptõ¾r& !$tB ÏpyJt«ô±pRùQ$# Ü=»ptõ¾r&ur ÇÑÈ ÏpuZyJø‹yJø9$# Ü=»ptõ¾r& !$tB ÏpuZyJø‹yJø9$# Ü=»ysô¹r'sù ÇÐÈ ZpsW»n=rO %[`ºurø—r&. ÇÊÉÈ tbqà)Î7»¡¡9$# ÇÒÈtbqà)Î7»¡¡9$#ur ÏpyJt«ô±pRùQ$# Artinya: 7).Dan kamu menjadi tiga golongan. 8)Yaitu golongan kanan. alangkah mulianya golongan kanan itu. 9.) sengsaranya golongan kiri itu. 10).. Dan golongan kiri. alangkah. Dan orang­orang yang beriman paling. dahulu (QS: surat al­waqi’ah ayat 7­10).. Berdasarkan ayat tersebut di jelaskan bahwa Allah membagi manusia menjadi tiga golongan,yaitu (1) golongan kanan ialah mereka yang menerima buku catatan amal dengan tangan kanan dimana golongan ini merupakan golongan yang sangat mulia, (2) golongan kiri ialah mereka yang menerima buku catatan amal dengan tangan kiri, dimana golongan ini merupakan golongan yang amat sengsara, dan (3) orang­orang yang beriman paling dahulu beriman..

31. 2.2.1 Definisi Modul Definisi 8 Diberikan R adalah ring dengan operasi + dan · serta diberikan M adalah grup komutatif dengan operasi + yang memetakan R ´ M ® M dengan. (r , m) ® rm .. Maka M disebut R­modul kiri jika memenuhi aksioma­. aksioma berikut ini: i. r (m1 + m2 ) = rm1 + rm 2 ii.. (r1 + r2 )m = r1 m + r2 m. iii.. (r1 r2 )m = r1 (r2 m ). iv. 1m=m Untuk setiap r , r1 , r2 Î R dan m, m1 , m2 Î M . Selanjutnya M disebut R­modul kanan jika hanya jika terdapat pemetaan M ´R ® M,. dengan (m, r ) ® mr yang memenuhi aksioma­aksioma. berikut: i.. (m1 + m2 )r = m1r + m2 r. ii. m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 iii. m(r1 r2 ) = (mr1 )r2 iv. m1=m Untuk setiap r , r1 , r2 Î R dan m, m1 , m2 Î M . (Bhattacharya,1986:239) Pada modul, operasi untuk grup komutatif harus sama dengan operasi pertama pada ring..

32. Jika ring R adalah komutatif dan M adalah R­modul kiri maka M juga langsung menjadi R­modul kanan. Modul yang memenuhi aksioma (iv) disebut modul unital. (Dummit & Foot, 1991:318). Untuk pembahasan selanjutnya, diasumsikan bahwa ring R yang diberikan adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Akibatnya dalam skripsi ini tidak ada pembeda antara modul kiri dan modul kanan. Contoh 8 Misalkan M 6 adalah grup abelian terhadap operasi + . Maka M 6 adalah suatu modul atas himpunan semua bilangan bulat Z. Jawab: Diketahui ( M 6 ,+ ) adalah grup abelian dan (Z ,+,·) merupakan ring. M 6 = {0,1,2,3, 4,5} .Akan dibuktikan M 6 adalah suatu Z­modul. Diberikan. Z ´ M6 ® M6. pemetaan. yang. didefinisikan. oleh. (n, m) a nm = m m2 +L +3 m 1+ 44 44 n. Ambil sebarang n = 4, n1 = 3, n2 = 5 Î Z dan m = 2, m1 = 4, m 2 = 3 Î M 6 i.. 4(4 + 3) = (4 + 3) + (4 + 3) + (4 + 3) + (4 + 3) 144444 42444444 3 4. = (1 44 +4 42 +4 4 +4 4 ) + (1 3+ 3 + 343 +43) 3 42 4 4. = 4(4) + 4(3) 4(7) = 16 + 12 28 = 4 + 0 4=4. 4. (4 kalii).

33. (3 + 5)2 = (1 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) 4444 4244444 3. ii.. (8 kali). (3+5 )suku. = 21 +2 24 +32 + 21+4 24 +2 2+ +32 4 424 3 suku. 5. suku. = 3(2) + 5(2) (8) = 6 + 10 16 = 0 + 4 4=4. (3 ´ 5)2 = 21+424 + 24+4 24 + 24+4 24 + 24 +2 2+ +4 2+ +4 2+ +4 24 +32 4 424 424 424. iii.. ( 3´5) suku. = 21+4 24 +2 2+ +32 424 5 suku 1442443 3 suku. = 5{ (2) 3 suku. = 3(5 ´ 2) 15 ´ 2 = 3(10) 30 = 30 0=0. iv.. 1´ 2 = 2. (sifat identitas ). Jadi dari i), ii), iii) dan iv) M 6 adalah suatu Z­modul. Contoh 9 Misal modulo 3 adalah grup abel dengan operasi +, dan (Z ,+ ,·) adalah ring. Maka modulo 3( M 3 ,+) adalah modul atas semua himpunan bilangan bulat Z..

34. Jawab: Diketahui ( M 3 , + ) adalah grup abelian, (Z ,+ ,·) adalah ring. M 3 = {0,1,2} . Akan dibuktikan M 3 adalah Z modul. Diberikan. Z ´ M3 ® M3. pemetaan. yang. didefinisikan. (n, m) a nm = m m2 +L +3 m 1+ 44 44 n. Ambil sebarang n = 2, n1 = 4, n 2 = 3 Î Z , m = 2, m1 = 1, m2 = 2 Î M 3 i.. 2(1 + 2) = (1 + 2) + (1 + 2) 144244 3 2. = (1 + 1) + (2 + 2) 123 123 2. 2. = 2(2) + 2(4) 2(3) = 4 + 8 6 = 12 0=0. ii.. ( 4 + 3) 2 = ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) 14444244443 ( 4 + 3 suku ). = (2 + 2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2) 144244 3 14243 4. = 4(2) + 3(2) (7 ) 2 = 8 + 6 14 = 2 + 0 2=2. 3. oleh.

35. iii.. ( 4 ´ 3) 2 = ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) 14444444 4244444444 3 ( 4´3 suku ). = (2 + 2 + 2) 14243 3 142 43 4. = 3{ (2) 4. 12(2) = 4(3 ´ 2) 24 = 4(6) 0=0. iv.. 1´ 2 = 2. Jadi dari i), ii), iii) dan iv) M 3 adalah Z modul. 2.2.2 Submodul Definisi 9 Suatu subset tak kosong N dari R­modul M disebut suatu submodul dari M jika : i.. a - b Î N , "a, b Î N. ii.. ra Î N , "a Î N , r Î R .. (Bhattacharya,1986:241). Contoh 10 Misal M adalah R­modul, dengan operasi ring R adalah + dan · dan operasi grup M adalah + dan x Î M , maka himpunan Rx = {r · x | r Î R} adalah submodul dari M..

36. Jawab: Diketahui M adalah R­modul dan x Î M . Akan dibuktikan Rx = {r · x | r Î R} adalah submodul M. Untuk :. r1 · x - r2 · x = (r1 - r2 ) · x. ÎR. r1 · (r2 · x ) = (r1 · r2 ) · x Î R , "r1 , r2 Î R. Suatu pemetaan dari suatu modul M ke modul N yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam modul tersebut dinamakan pemetaan homomorf atau homomorfisme modul. Definisi secara formal sebagai berikut.. 2.2.4 Homomorfisme Modul Definisi 10 1. Misalkan R adalah ring dan misalkan M dan N adalah R­modul suatu pemetaan j : M ® N adalah homomorfisme modul, jika pemetaan itu memenuhi struktur R­modul dari M ke N, yaitu: a) j ( x + y ) = j ( x ) + j ( y ),. "x, y Î M. b) j (ax ) = aj ( x ) ,. "a Î R, x Î M. 2. Misalkan M dan N adalah R­modul. Hom R (M , N ) didefinisikan sebagai himpunan semua homomorfisme R­modul dari M ke N. (Dummit & Foot, 1991: 326).

37. Homomorfisme R­modul adalah juga homomorfisme grup penjumlahan dimana penjumlahan adalah merupakan operasi pertama, tetapi belum tentu semua homomorfisme grup adalah homomorfisme modul (karena kondisi yang kedua mungkin tidak dipenuhi).. Contoh 11 1) Jika R adalah ring, M = R adalah modul atas dirinya sendiri. Suatu pemetaan j : M ® M yang didefinisikan oleh. j (x ) = 0. adalah. homomorfisme R­modul karena:. j (x + y ) = 0. (definisi j ( x ) = 0 ). =0+0 = j (x ) + j ( y ). (mengoperasikan hasil pemetaan). j (ax ) = 0 = a .0. (teorema 1). = a .j ( x ). ( j (x ) = 0 ). 2) Jika R adalah ring dan M = R adalah modul atas dirinya sendiri, maka belum tentu homomorfisme ring, dan homomorfisme ring belum tentu homomorfisme R­modul. Seperti contoh ketika R = Z, maka suatu pemetaan f : x ® 2 x hanyalah homomorfisme R­modul karena: f ( x + y ) = 2( x + y ). ( f : x ® 2x ). = 2( x ) + 2( y ). (sifat distributif kiri). = f (x ) + f ( y ). (mengoperasikan hasil pemetaan).

38. dan f (ax) = 2(ax). ( f : x ® 2x ). = 2.a ( x ). (sifat assosiatif). = a (2( x)). (sifat komutatif). = af (x). (f(x)=2x). Tetapi bukan homomorfisme ring, karena: f ( x. y ) = 2 xy. (dari definisi f : x ® 2 x ). dan f ( x ). f ( y ) = 2 x.2 y. (dari definisi f : x ® 2 x ). = 4xy Jadi f ( xy ) ¹ f ( x) f ( y ) 3) Jika R adalah ring, n Î Z + , M = R n , "i Î {1,2,K , n} maka pemetaan proyeksi. p i : R n ® R yang didefinisikan oleh. p i ( x1 , x 2 ,K , x n ) = xi Adalah homomorfisme R­modul yang surjektif. Penjelasannya sebagi berikut:. pi : Rn ® R p i ( x1 , x 2 , K , x n ) = xi Yang berarti. p 1 ( x1 , x 2 ,K , x n ) = x1 p 2 ( x1 , x 2 ,K, x n ) = x 2 L. p n ( x1 , x 2 ,K , x n ) = x n.

39. Maka. p i (( x1 , x 2 ,K , x n ) + ( y1 , y 2 ,K , y n )) = p i ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , K, x n + y n ) = xi + y i = (p i ( x1 , x 2 , K , x n ) + p i ( y1 , y 2 , K, y n )) Berarti p i ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , K, x n + y n ) = p i ( x1 , x 2 , K, x n ) + p i ( y1 , y 2 ,K , y n ). p i (a ( x1 , x 2 ,K , x n )) = p i (ax1 , ax 2 ,K , ax n ) = ax i = ap i ( x1 , x 2 , K, x n ) Jadi p i (a ( x1 , x 2 , K , x n )) = ap i ( x1 , x 2 , K, x n ) Sekarang akan ditunjukkan p i bersifat surjektif. Ambil sebarang y ÎR Pilih x Î R n , dengan x = ( y, y, K , y ) = y Maka p i (x) = p i (y, y, …, y)=y. p i (x) = y Jadi p i bersifat surjektif.. Teorema 10 Misalkan M dan N adalah R­modul. Sebuah pemetaan j : M ® N adalah homomorfisme. R­modul. jika. j (ax + y ) = j (ax ) + j ( y ), "x, y Î M , a Î R .. dan. hanya. jika.

40. Bukti: Þ Jika j adalah homomorfisme R­modul, maka berlaku. j (ax + y ) = j (ax ) + j ( y ) = aj ( x ) + j ( y ). ( (j (ax + y ) = j (ax ) + j ( y )) ) (definisi 10). Ü misalkan a = 1 , untuk menentukkan bahwa j adalah komutatif penjumlahan maka:. j ( x + y ) = j (1.x + y ). (teorema 7). = 1. j ( x ) + j ( y ). ( j homomorfisme). = j (x ) + j ( y ). (teorema 7). Jika diberikan y =0 untuk menentukan bahwa j adalah komutatif dari R ke M (yaitu bersifat homogen) maka:. j (ax ) = j (ax + 0 ). (sifat dari 0 di R). = aj ( x ) + 0. ( j homomorfisme). = aj ( x ). (sifat dari 0 di R). Jadi j adalah homomorfisme R­modul.. Definisi 11 Kernel homomorfisme f : M ® N ditulis Ker(f) adalah himpunan semua unsur di M yang dipetakan oleh f ke 0, yaitu ker( f ) = {x Î M | f ( x) = 0} . (Bhattacharya. 1994:247).

41. Definisi 12 Image homomorfisme f : M ® N ditulis Im(f) adalah himpunan semua unsur. di. N. yang. menjadi. bayangan. suatu. unsur. di. M,. yaitu. Im( f ) = { y Î N | y = f ( x )} . (Bhattacharya. 1994:247). Teorema 11 Misalkan M dan N adalah R­modul dan misalkan j ,y adalah elemen dari Hom R (M , N ) didefinisikan j + y dengan. (j + y )(m ) = j (m) + y (m ) ,. "m Î M. Maka j + y Î Hom R (M , N ) dan dengan operasi ini Hom R (M , N ) adalah grup abelian. (Dummit & Foot, 1991:327). Bukti: 1. Misal H = Hom R (M , N ) = {j : M ® N | j Homomorfisme modul. }. Ambil j ,y Î H , maka. j (m + n ) = j (m ) + j (n ). dan. j (am ) = aj (m ). y (m + n ) = y (m ) + y (n ) dan. y (am ) = ay (m ). (j + y )(m + n ) = j (m + n ) + y (m + n ) = [j (m ) + j (n )] + [y (m ) + y (n )]. ( j ,y homomorfisme). = [j (m ) + y (m )] + [j (n ) + y (n )]. (assosiatif +). = (j + y )(m ) + (j + y )(n ). (j + y )(am ). = j (am ) + y (am ) = aj (m ) + ay (m ). (penjumlahan dua fungsi). (y (am ) = ay (m ) ) ( j (am ) = aj (m ) ,y (am ) = ay (m ) ).

42 = a (j + y )(m ). (penjumlahan dua fungsi). Untuk setiap a Î R dan m, n Î M . Jadi j + y homomorfisme modul dari M ke N. Jadi j + y Î Hom R (M , N ) . 2. Akan dibuktikan Hom R (M , N ) adalah grup abel. i.. Operasi penjumlahan bersifat assosiatif. (j + (y + f ))(m) = j (m) + (y + f )(m) ( j ,y , f. homomorfisme). = j (m ) + (y (m ) + f (m )) (y , f homomorfisme) = j (m ) + y (m ) + f (m ) (sifat assosiatif +) = (j + y )(m ) + f (m ) (penjumlahan 2 fungsi) = ((j + y ) + f )(m ) ii.. Ada identitas yaitu 0(m ) = 0, "m Î M. (j + 0)(m) = j (m) + 0(m). iii.. (penjumlahan 3 fungsi). ( j homomorfisme). = j (m ) + 0. (teorema 1). = j (m ). (sifat dari 0 di R). Ada invers, misal j Î H Pilih y (m ) = -j (m ). (j + y )(m ) = j (m) + y (m). ( j ,y homomorfisme). = j (m ) + (- j (m )) ( diketahui y (m ) = -j (m ) ) = j (m ) - j (m ). (torema 2). =0. (saling invers). = 0(m ). (identitas yaitu 0(m) = 0 ).

43. iv.. Akan dibuktikan H dengan operasi penjumlahan bersifat komutatif. (j + y )(m ) = j (m) + y (m). ( j ,y homomorfisme). = y (m ) + j (m ). (sifat komutatif). = (y + j )(m ). (penjumlahan 2 fungsi). Jadi Hom R (M , N ) adalah grup abelian. Teorema 12 Misal M dan N adalah R­modul, misal. j adalah elemen dari. Hom R (M , N ) . Jika R adalah ring komutatif dan untuk semua a Î R , didefinisikan aj dengan. (aj )(m) = a (j (m )), "m Î M Maka aj Î H om R (M , N ) dan karena ring R komutatif, maka grup abelian Hom R (M , N ) adalah R­modul. (Dummit & Foot, 1991:328) Bukti: 1. Adib (aj )(m + n ) = a (j (m + n )). (definisi (aj )(m) = a (j (m)). = a (j (m ) + j (n )). ( j homomorfisme). = (aj )(m ) + (aj )(n ). (sifat distributif kiri). (a 1j )(a 2 m ) = a 1 (j (a 2 m )). (sifat assosiatif). = a 1 (a 2j (m )) (sifat komutatif) = (a 1a 2 )j (m ) (sifat assosiatif) = a 2 (a 1j (m )) (sifat komutatif) Untuk setiap a , a 1 , a 2 Î R dan m, n Î M ..

44 Jadi aj Î H om R (M , N ) 2. Adib Hom R (M , N ) adalah R­modul. Ambil a 1 , a 2 Î R dan j ,y Î H maka. ((a 1 + a 2 )j )(x ) = (a1 + a 2 )(j (x )). (definisi (aj )(m) = a (j (m)). = j ((a 1 + a 2 )( x )) (definisi 10) = j (a1 x + a 2 x ). ( j homomorfisme). = j (a1 x ) + j (a 2 x ) (definisi 10) = a1j ( x ) + a 2j ( x ) (definisi 10). ((a 1a 2 )j )(x ) = (a 1a 2 )j (x ) = j (a1a 2 x ). (definisi (aj )(m) = a (j (m)) ) (definisi 10). = a1 (j (a 2 x )). (sifat assosiatif). = a1 (a 2j ( x )). (definisi (aj )(m) = a (j (m)). (a (j + y )(x )) = a (j + y )(x ). (definisi 10). = a (j ( x ) + y ( x )). ( j ,y homomorfisme). = aj ( x ) + ay ( x ). (definisi (aj )(m) = a (j (m)). 1.j ( x ) = 1.j ( x ) = j .1( x ). (sifat komutatif). = j (x ). (teorema 7). Jadi 1.j = j , "j Î H 3. Berdasarkan Teorema 11 Hom R (M , N ) grup abelian terhadap operasi penjumlahan yang didefinisikan dengan :.

45. (j + y )(m ) = j (m) + y (m ) , "m Î M Dari 1, 2 dan 3 maka Hom R (M , N ) adalah R­modul.. Teorema 13 Misalkan M, N dan L adalah R­modul,. j Î H om R ( L, M ) dan. y Î Hom R (M , N ) . Maka y o j Î Hom R (L, N ) . (Dummit. &. 1991:328) Bukti:. j:L®M y :M ® N y oj : L ® N Akan dibuktikan (y o j ) adalah homomorfisme modul dari L ke N.. (y o j )(ax + y ) = y (j (ax + y )). (sifat komposisi fungsi). = y (j (ax ) + j ( y )). ( j homomorfisme). = y (aj ( x ) + j ( y )). (teorema 10). = y (aj ( x )) + y (j ( y )) (y homomorfisme) = ay (j ( x )) + y (j ( y )) (definisi 10) = a (y o j )( x ) + (y o j )( y ) Jadi (y o j ) adalah homomorfisma R­modul dari L ke N. Jadi y o j Î Hom R (L, N ) .. Foot,.

46. 2.2.4 Sifat­sifat Homomorfisme Modul Definisi 13 1. Misalkan R adalah ring, M dan N adalah modul. Jika homomorfisme modul dari M ke N bersifat injektif (1­1) maka disebut monomorfisme modul. 2. Misalkan R adalah ring, M dan N adalah modul, jika homomorfisme modul dari M ke N tersebut bersifat surjektif (onto) maka disebut epimorfisme modul. 3. Misalkan R adalah ring, M dan N adalah R­modul. Jika homomorfisme modul dari M ke N tersebut bersifat injektif dan surjektif (bijektif) maka disebut isomorfisme modul. (Dummit & Foot, 1991:326).. Teorema 14. (Isomorfisme Modul) 1) Teorema pertama Isomorfisme modul Misal M, N adalah R­modul dan ada suatu pemetaan j : M ® N adalah homomorfisme R­modul. Maka ker j adalah submodul dari M dan M / ker j @ j (M ) . Bukti: Diketahui M, N adalah R­modul. j :M ® N a. Adib ker j adalah submodul dari M ker j = {m Î M | j (m ) = 0}.

47. ambil a Î R,y Î ker j. (ay )(m) = a (y (m)). (sifat assosiatif). = a .0. ( j ( m) = 0 ). =0. (teorema 1). Jadi ay Î ker j . Karena ay Î ker j , "a Î R dan ker j £ M , maka ker j adalah submodul dari M. Akan dibuktikan M / ker j @ j (M ) atau M/ker j. b.. isomorfik. dengan j (M ) . Misal K= ker j = {m Î M | j (m ) = 0}. j (M ) .= {n Î N | n = j (m ), m Î M } M / ker j = M / k = {K + m | m Î M } Didefinisikan pengaitan y dari M/k ke j (M ) dengan. y ( K + m ) = j (M ) Misalkan. y = M / ker j ® j (M ) dengan y ( K + m ) = j (a ) , Dimana y harus memenuhi sifat: i.. Akan dibuktikan y adalah homomorfisme modul.. y [(K + a ) + (K + b )] = y (K + (a + b )) (K= ker j ,m = a+b) = y (a + b ). (K=0). = y (a ) + y (b ). (sifat distributif kiri).

48. = y ( K + a ) + y (K + b ). y (a ( K + a )) = y (a ( K ) + a (a )) (y homomorfisme) = y (aa ). (K= ker j =0). = a .y (a ). (definisi 10). = ay (K + a ) Jadi y adalah homomorfisme modul ii.. y bersifat satu­satu (injektif) Misal K + a, K + b Î M / ker j Dan y ( K + a ) = y (K + b ) karenay ( K + a ) = y (K + b ) maka j (a ) = j (b ). j (a ) ­ j (b ) = 0 j (a - b ) = 0, a - b Î K Jadi y bersifat satu­satu. iii.. y bersifat onto (surjektif) Adib y bersifat onto Ambil sebarang n Î N Berarti n = j (m ) untuk suatu m Î M Pilih z = K + m Î M / ker j Maka y ( K + m ) = j (m ) =n.

49 Sehingga terdapat isomorfisme dari M / ker j ke j (M ) Jadi M / ker j @ j (M ) . 2) Teorema kedua isomorfisme modul. Missal. A,. B. adalah. submodul. dari. R­modul. M.. maka. (A + B ) / B @ A /(A Ç B) Bukti: Dibuat pengait y : A ® ( A + B ) / B Dengan j (a ) = a + B , "a Î A i.. Akan dibuktikan ( A + B ) / B adalah R­modul Diketahui A dan B adalah R­submodul. Jadi A dan B adalah R­ modul.. ( A + B ) / B = {(a + b ) + B | a Î A, b Î B} Misal y = (a + b ) + B Î ( A + B ) / B dan a Î R Maka ay = a [(a + b ) + B] = (aa + ab ) + B Karena A dan B adalah R­submodul maka, aa Î B dan ab Î B Jadi ay = (aa + ab ) + B Î ( A + B ) / B Dengan kata lain ( A + B ) / B adalah R­modul.. ii.. Akan dibuktikan f homomorfisme R­modul. Ambil x, y Î A dan a Î R maka f (ax + y ) = (ax + y ) + B.

50 = (ax + B ) + ( y + B ). (assosiatif +). = a (x + B ) + ( y + B ) =. af ( x ) + f ( y ). f (ax) = a ( x + B) = af (x). (definisi 10). Jadi f adalah homomorfisme modul.. Akan dibuktikan A Ç B adalah kernel f(ker f).. iii.. Ambil x Î A Ç B , maka x Î A dan x Î B f ( x) = x + B = 0+ B. , karena x Î B. =B Jadi A Ç B = ker f Karena A dan ( A + B ) / B R­modul, f homomorfisme modul dari A ke. (A + B) / B ,. maka. (A + B ) / B @ A /(A Ç B). teorema atau. kedua. isomorfisme. modul. A /(A Ç B) @ ( A + B) / B .. 3) Teorema ketiga isomorfisme modul. Misal M adalah R­modul, dan misal A dan B adalah submodul dari M dengan A Í M , maka (M / A) / (B / A) @ M / B . Bukti: i.. Adib M/A dan M/B modul.

51 Misal M / A = {m + A | m Î M } M/B = {m + B | m Î M } Karena M adalah R­modul maka (M,+) grup abelian. Didefinisikan r (m + A) = (rm ) + A, "r Î R, m + A Î M / A . Akan ditunjukkan M/A memenuhi sifat­sifat modul yang empat, misal untuk setiap r1 , r2 Î R dan m + A Î M / A , maka a.. (r1 + r2 )(m + A) = ((r1 + r2 )(m )) + A = ((r1 + r2 )m ) + A = r1 (m + A) + r2 (m + A) (distributif kanan). b.. (r1r2 )(m + A) = (r1 r2 m) + A = r1 (r2 m + A) = r1 (r2 (m + A)) (assosiatif). c. r ((m1 + A) + (m 2 + A)) = r ((m1 + m2 ) + A) = (r (m1 + m2 ) + A) = (rm1 + rm 2 ) + A (distributif kiri) = (rm1 + A) + (rm 2 + A). d. 1(m + A) = (1m + A) = (m + A). (identitas).

52. Terbukti bahwa M/A adalah R­modul. Dengan cara yang sama maka akan didapat bahwa M/B adalah R­ modul.. ii.. Buat pemetaan y : M / A ® M / B Dengan y (m + A) = m + B Adib y homomorfisme modul, Ambil x, y Î M / A dan r Î R x, y Î M / A maka x = m1 + A dan y = m2 + A. y (ax + y ) = y (a (m1 + A) + (m 2 + A)) (y fungsi) = y ((am1 + m2 ) + A). (assosiatif +). = (am1 + m2 ) + B = (am1 + B ) + (m2 + B ). (assosiatif +). = a (m1 + B ) + (m2 + B ) = ay (m1 + A) + y (m 2 + A) = ay ( x ) + y ( y ) Jadi y homomorfisme modul.. iii.. Adib kery = B / A Ker y = {x Î M / A | y ( x ) = B = 0 + B} Ambil x Î B / A maka x = b + A untuk suatu b Î B Karena B Í M maka b Î M.

53. Jadi x = b + A Ì M / A. y ( x ) = y (b + A) =b + B ,. karena b Î B. =B Jadi kery = B / A Karena M/A dan M/B modul, y homomorfisme modul dari M/A ke M/B dan ker y = B / A , maka sesuai teorema pertama isomorfisme modul diperoleh (M / A) / (B / A) @ M / B ..

BAB III PEMBAHASAN Dalam bab ini dibahas tentang penjumlahan langsung pada modul beserta sifat­sifatnya. 3.1 Penjumlahan Langsung Pada Modul Penjumlahan langsung dengan penjumlahan biasa. tidak sama. Pada. penjumlahan biasa tidak memperhatikan urutan komponennnya, tetapi pada penjumlahan langsung memperhatikan urutan komponennya. Penjumlahan langsung pada modul itu ada dua jenis, yaitu penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam. Penjumlahan langsung luar adalah perkalian langsung dari kumpulan modul. Sedangkan penjumlahan langsung dalam adalah penjumlahan langsung dari submodul­submodul. Berikut ini akan diuraikan definisi secara formal tentang penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam. 3.1.1. Penjumlahan Langsung Luar Definisi 1 Misal M 1 , K , M n adalah kumpulan dari R­modul. Dan misal M adalah perkalian. dari. M 1 ´ M 2 ´ L´ M n. (m1 , m2 ,K, mn ) dengan. yang. memuat. n­tuples. mi Î M i .. Penjumlahan langsung dan perkalian langsung pada M didefinisikan sebagai berikut:. (m1 , m2 ,K , mn ) + (n1 , n2 ,K , nn ) = (m1 + n1 , m2 + n 2 ,+ L + mn + n n ). 54.

55 0 = (0,0, K ,0 ) a(m1 , m 2 , K, mn ) = (am1 , am2 , K, am n ) dengan mi , ni Î M i dan a Î R . selanjutnya perkalian langsung dari M 1 , K , M n disebut dengan penjumlahan langsung luar pada M i dan biasanya di notasikan dengan: n. M 1 Å M 2 Å L Å M n atau Å M i . i =1. (Jacobson,1991:175) Berikut ini akan diuraikan teorema yang berkaitan dengan definisi penjumlahan langsung luar. Teorema 1 Misal j i adalah homomorfism modul dari M i ke N bersifat injektif dengan 1 £ i £ n maka pemetaan j dari Å M i ke N yang didefinisi dengan: n. j : ( x1 , K , x n ) ® å j i ( x i ) 1. adalah homomorfisme dari Å M i ke N. (Jacobson, 1991:177) Bukti: Ambil x = ( x1 , x 2 , K, x n ) dan y = ( y1 , y 2 , K, y n ) , maka :. j(x+ y) = j ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,L, x n + y n ).

56. n. n. (diketahui j : ( x1 , K , x n ) ® å j i ( x i ) ). = å j i ( xi + y i ) i =1. n. =. 1. n. å j i ( xi ) + å j i ( y i ) 1. (sifat distributif kiri). 1. = j ( x1 ,K, x n ) + j ( y1 , K , y n ). n. ( j : ( x1 , K , x n ) ® å j i ( x i ) ) 1. dan. j (ax ) = aj ( x ). (definisi 10). n. j (ax1 , K , ax n ) = å j i ( axi ) 1. n. ( j : ( x1 , K , x n ) ® å j i ( x i ) ) 1. n. =. å aj ( x ) i. i. (sifat komutatif). 1. n. = aå j i ( xi ). (definisi 10). 1. Maka j adalah sebuah homomorfisma dari Å M i ke N. Jadi teorema terbukti. Contoh Berdasarkan contoh 8 dan 9 pada bab kajian teori, diketahui bahwa M 3 , M 6 adalah Z modul. Tentukan penjumlahan langsung dari kedua modul tersebut. Jawab: Diketahui M 6 = {0,1,2,3, 4,5} dan M 3 = {0,1,2}, adalah Z modul. Maka penjumlahan langsung dari kedua modul tersebut adalah: M 6 Å M 3 = {0,1,2,3,4,5} Å {0,1,2}.

57. = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (5,0), (5,1), (5, 2)) Selanjutnya akan dijelaskan tentang penjumlahan langsung dalam, tetapi sebelum menguraikan tentang penjumlahan langsung dalam, penulis terlebih dahulu akan membuktikan teorema yang menjadi syarat perlu dan cukup untuk penjumlahan langsung dalam. Untuk lebih jelasnya akan diuraikan sebagai berikut. Teorema 2 Misal M adalah modul dan misal N 1 , N 2 , K , N k adalah submodul­ submodul M. Pernyataan berikut ini adalah ekuivalen:. (1). Pemetaan. p : N1 ´ N 2 ´ L ´ N k ® N1 + N 2 + L + N k yang didefinisikan dengan. p (a1 , a 2 ,K, a k ) = a1 + a 2 + L + a k adalah isomorfisma modul, atau N1 + N 2 + L + N k @ N1 ´ N 2 ´ L ´ N k .. (2 ) N j Ç (N 1 + N 2 + L + N j -1 + N j +1 + L + N k ) = 0, "j Î {1,2,K , k } (3). Untuk setiap x Î N 1 + N 2 + L + N n dapat ditulis secara tunggal dengan. bentuk. a1 + a 2 + L + a k. i = 1,2,K , k . (Dummit & Foot, 1991:334). dengan. ai Î N i ,. untuk.

58. Bukti:. (1) ® (2 ) Diketahui bahwa :. p (a1 , a 2 ,K, a k ) = a1 + a 2 + L + a k Adalah isomorfisme modul. Akan dibuktikan bahwa : N j Ç (N 1 + N 2 + L + N j -1 + N j +1 + L + N k ) = 0. Andaikan ada a j Î N j Ç (N 1 + N 2 + L + N j -1 + N j +1 + L + N k ) dengan a j ¹ 0 , maka: a j = a1 + a 2 + L + a j -1 + a j +1 + L + a k. a1 + a 2 + L + a j -1 + a j + a j +1 + L + a k = 0. p (a1 , a 2 , K , a j -1 ,- a j , a j +1 , K , a k ) = a1 + a 2 + L + a j -1 + ( - a j ) + a j +1 + L + a k =0 Karena p isomorfisme modul, maka: ker p = 0, atau p (0) = 0 Jadi. (a , a 1. 2. , K , a j -1 ,- a j , a j +1 , K , a k ) = (0,0, K ,0,0,0, K ,0 ). Jadi - a j = 0 Ini kontradiksi dengan pengandaian a j ¹ 0 . Sehinggga a j = 0 Jadi Tidak ada a j Î N j Ç (N 1 + N 2 + L + N j -1 + N j +1 + L + N k ).