Teorema Dasar Analisis Aliran Daya

(1)

TEOREMA DASAR TEOREMA DASAR ANALISIS ALIRAN DAYA ANALISIS ALIRAN DAYA

1.1 Pendahulan 1.1 Pendahulan

Studi aliran daya, yang juga dikenal dengan aliran beban, merupakan tulang punggung dari Studi aliran daya, yang juga dikenal dengan aliran beban, merupakan tulang punggung dari analisis dan desain suatu sistem tenaga. Studi aliran daya dilakukan untuk mendapatkan informasi analisis dan desain suatu sistem tenaga. Studi aliran daya dilakukan untuk mendapatkan informasi mengenai aliran daya atau tegangan sistem dalam kondisi operasi tunak. Informasi ini digunakan mengenai aliran daya atau tegangan sistem dalam kondisi operasi tunak. Informasi ini digunakan untuk mengevaluasi ujuk kerja sistem tenaga dan menganalisis kondisi pembangkitan maupun untuk mengevaluasi ujuk kerja sistem tenaga dan menganalisis kondisi pembangkitan maupun pembebanan

pembebanan, serta informasi , serta informasi keadaan sistem tenaga pada kondisi normal dan terganggu.keadaan sistem tenaga pada kondisi normal dan terganggu. Mas

Masalaalah h alialiran ran daydaya a sansangagat t dibdibutuutuhkahkan n untuntuk uk peperenrencancanaanaan, , opeoperasrasi i dan dan penpenjadjadwalwalanan ekonomis serta transfer daya. Sebagai tambahan, analisis aliran daya dibutuhkan juga pada analisis ekonomis serta transfer daya. Sebagai tambahan, analisis aliran daya dibutuhkan juga pada analisis stabilitas tran

stabilitas transient. Masasient. Masalah alah aliran daya liran daya mencakup mencakup perhitungan perhitungan aliran daaliran dan tegan tegangan singan sistem padstem padaa ter

terminminal al tertertententu tu ataatau u bus bus terttertenentu. tu. RepRepresresenentastasi i fasfasa a tuntunggggal al selselalu alu dildilakuakukan kan karkarena ena sissistemtem dianggap seimbang. Didalam studi aliran daya bus-bus dibagi dalam ti

dianggap seimbang. Didalam studi aliran daya bus-bus dibagi dalam ti ga macam, yaitu :ga macam, yaitu : a.

a. Slack busSlack bus atauatau swing busswing bus atau bus referensiatau bus referensi b.

b. Voltage controlled busVoltage controlled bus atau bus generatoratau bus generator c.

c. Load bus Load bus atau bus beban.atau bus beban.

Tiap-tiap bus terdapat empat besaran, yaitu : Tiap-tiap bus terdapat empat besaran, yaitu :

a. Daya aktif P a. Daya aktif P b. Daya reaktif Q b. Daya reaktif Q

c. Nilai skalar tegangan |V| c. Nilai skalar tegangan |V| d. Sudut fasa tegangan θ. d. Sudut fasa tegangan θ.

Pada tiap-tiap bus hanya ada dua macam besaran yang ditentukan sedangkan kedua besaran lainnya Pada tiap-tiap bus hanya ada dua macam besaran yang ditentukan sedangkan kedua besaran lainnya merupakan hasil akhir dari perhitungan. Besaran-besaran yang ditentukan itu adalah :

merupakan hasil akhir dari perhitungan. Besaran-besaran yang ditentukan itu adalah : a.

a. Slack busSlack bus ; harga sk; harga skalar |V| dan alar |V| dan sudut fasanysudut fasanya a θ.θ. b.

b. Voltage controlled busVoltage controlled bus; daya aktif P dan harga skalar tegangan |V|; daya aktif P dan harga skalar tegangan |V| c.

c. Load bus Load bus; daya aktif P dan daya reaktif Q.; daya aktif P dan daya reaktif Q. Slack bus

Slack bus merupakan bus yang menyuplai kekurangan daya aktif P dan daya reaktif merupakan bus yang menyuplai kekurangan daya aktif P dan daya reaktif Q pada sistem.Q pada sistem.

1.2 Matriks Admitansi Bus 1.2 Matriks Admitansi Bus

Unt

(2)

sederhana pada gambar 1.1, dimana impedansinya dinyatakan dalam satuan per unit pada dasar sederhana pada gambar 1.1, dimana impedansinya dinyatakan dalam satuan per unit pada dasar MVA

MVA semsemententara ara untuntuk uk penpenyedyederherhanaanaan an resresististansansinyinya a di di abaabaikaikan. n. BerBerdadasarsarkakan n HukHukum um AruAruss Kirchhoff impedansi-impedansi di ubah ke admitansiadmitansi, yaitu

Kirchhoff impedansi-impedansi di ubah ke admitansiadmitansi, yaitu :: y y_ij_ij

=

11 z z_ij_ij

=

1 1 rr_ij_ij



jx jx_ij_ij

gambar 1.1 Diagram impedansi sistem tenaga

gambar 1.1 Diagram impedansi sistem tenaga listrik sederhanalistrik sederhana

gambar 1.2 Diagram admitansi untuk sistem

gambar 1.2 Diagram admitansi untuk sistem tenaga listrik dari gambar 1.1tenaga listrik dari gambar 1.1

Rangkaian gambar 1.1 digambar ulang seperti gambar 1.2 dalam besaran admitansi dan Rangkaian gambar 1.1 digambar ulang seperti gambar 1.2 dalam besaran admitansi dan pengubahan kedalam bentuk sumber arus. Simpul 0 (biasanya adalah

pengubahan kedalam bentuk sumber arus. Simpul 0 (biasanya adalah groundground) diambil sebagai) diambil sebagai re

refefererensnsi. i. DeDengngan an memenenerarapkpkan an HuHukukum m ArArus us KiKircrchhhhofoff f anantatara ra sisimpmpul ul 1 1 hihingngga ga 4 4 akakanan menghasilkan:

(3)

I

I ₁₁

=

y y₁₀₁₀V V ₁₁



y y₁₂₁₂



V V ₁₁

−

V V ₂₂



y y₁₃₁₃



V V ₁₁

−

vv₃₃



I

I ₂₂

=

y y₂₀₂₀V V ₂₂



y y₁₂₁₂



V V ₂₂

−

V V ₁₁



y y₂₃₂₃



V V ₂₂

−

V V ₃₃



0

=

y y₂₃₂₃



V V ₃₃

−

V V ₂₂



y y₁₃₁₃



V V ₃₃

−

V V ₁₁



y y₃₄₃₄



V V ₃₃

−

V V ₄₄



0

=

y y₃₄₃₄



V V ₄₄

−

V V ₃₃



Dengan menyusun ulang persamaan diatas maka didapat . Dengan menyusun ulang persamaan diatas maka didapat .

I

I 11

=

yy1010



y y1212



y y1313



V V 11

−

y y1212V V 22

−

y y1313V3V3 I

I 22

=−

y y1212V V 11



y y2020



y y1212



y y2323



V V 22

−

y y2323V V 33

0

=−

_y_y

13

13V V 11

−

y y2323V V 22



yy1313



y y2323



y y3434



V V 33

−

yy3434V V 44

0

=−

_y_y₃₄₃₄_V_V₃₃



_y_y₃₄₃₄_V_V₄₄

Dengan admitansi sebagai berikut . Dengan admitansi sebagai berikut .

Y

Y 1111

=

y y1010



y y1212



y y1313 Y

Y 2222

=

y y2020



y y1212



y y2323 Y

Y 3333

=

y y1313



y y2323



y y3434 Y

Y 4444

=

y y3434 Y

Y 1212

=

Y Y 2121

=−

y y1212 Y

Y 1313

=

Y Y 3131

=−

y y1313 Y

Y 2323

=

Y Y 3232

=−

y y2323 Y

Y 3434

=

Y Y 4343

=−

y y3434

Reduksi persamaan simpul menjadi. Reduksi persamaan simpul menjadi.

I

I ₁₁

=

Y Y ₁₁₁₁V V ₁₁



Y Y ₁₂₁₂V V ₂₂



Y Y ₁₃₁₃V V ₃₃



Y Y ₁₄₁₄V V ₄₄ I

I ₂₂

=

Y Y ₂₁₂₁V V ₁₁



Y Y ₂₂₂₂V V ₂₂



Y Y ₂₃₂₃V V ₃₃



Y Y ₂₄₂₄V V ₄₄ I

I ₃₃

=

Y Y ₃₁₃₁V V ₁₁



Y Y ₃₂₃₂V V ₂₂



Y Y ₃₃₃₃V V ₃₃



Y Y ₃₄₃₄V V ₄₄ I

I ₄₄

=

Y Y ₄₁₄₁V V ₁₁



Y Y ₄₂₄₂V V ₂₂



Y Y ₄₃₄₃V V ₃₃



Y Y ₄₄₄₄V V ₄₄

Pada jaringan sistem tenaga listrik sederhana di atas, karena tidak ada hubungan antara bus 1 dan Pada jaringan sistem tenaga listrik sederhana di atas, karena tidak ada hubungan antara bus 1 dan bus 4, maka

bus 4, maka Y Y 1414= Y = Y 4141 = 0, dan Y = 0, dan Y 2424 = Y = Y 4242 = 0.= 0.

Dari

Dari perspersamaaamaan n diatadiatas, s, untuuntuk k sistesistem m dengdenganan nn bus, bus, perspersamaaamaan n tegateganganngan-simp-simpul ul dalamdalam bentuk matriks adalah :

bentuk matriks adalah :

[[

I I ₁₁ .. .. I I _ii .. .. I I _n_n

]]

=

[[

Y

Y 1111 Y Y 1212 .... .. Y Y 1i1i ... Y Y 1n1n

.. .. .. .. .. ..

Y

Y _i1_i1 Y Y _i2_i2 .... .. Y Y _ii_ii ... Y Y _in_in

.. .. .. .. .. ..

Y

Y _n1_n1 Y Y _n2_n2 .... .. Y Y _ni_ni ... Y Y _nn_nn

]]

=

[[

V V ₁₁ .. .. V V _ii .. .. V V _n_n

]]

(1.1) (1.1) atau atau

(4)

I

I busbus = Y = Y busbusV V busbus (1.2)(1.2)

Dengan

Dengan I I busbus adalah vektor arus bus yang di injeksikan. Arus bernilai positif ketika masukadalah vektor arus bus yang di injeksikan. Arus bernilai positif ketika masuk

menuju bus dan bernilai negatif saat meninggalkan bus

menuju bus dan bernilai negatif saat meninggalkan bus V V busbus adalah vektor tegangan bus yang diukuradalah vektor tegangan bus yang diukur

dari

dari simpul simpul referensi.referensi. Y Y busbus dikenal dengan namadikenal dengan nama matriks admitansi busmatriks admitansi bus.. Elemen diagonal masing-Elemen diagonal

masing-masing simpul merupakan penjumlahan admitansi bus yang terhubung padanya. Elemen diagonal masing simpul merupakan penjumlahan admitansi bus yang terhubung padanya. Elemen diagonal ini disebut

ini disebut admitansi-sendiri.admitansi-sendiri. Y Y _ii_ii

=

∑

j j==00 n n y y_ij_ij (1.3)(1.3)

elemen non-diagonal bernilai negatif terhadap admitansi antar simpul. Dikenal dengan

elemen non-diagonal bernilai negatif terhadap admitansi antar simpul. Dikenal dengan admitansiadmitansi bersama.

bersama. Y

Y ijij = Y = Y ji ji = -y= -yijij (1.4)(1.4)

Jika arus pada bus diketahui, dari persamaan (1.2) maka untuk tegangan

Jika arus pada bus diketahui, dari persamaan (1.2) maka untuk tegangan nn bus dapat ditentukanbus dapat ditentukan dengan :

dengan : V

V busbus = Y = Y busbus-1-1 I I busbus (1.5)(1.5)

Invers dari matriks admitansi bus

Invers dari matriks admitansi bus dikenal sebagai matriks impedansi busdikenal sebagai matriks impedansi bus Z Z busbus..

Berdasarkan persamaan (1.3) dan (1.4) , matriks admitansi bus untuk jaringan pada gambar Berdasarkan persamaan (1.3) dan (1.4) , matriks admitansi bus untuk jaringan pada gambar 1.2 yaitu :

1.2 yaitu :

Y Y _bus_bus

=

[[

−

j j 8.508.50 j j 2.502.50 j j 55..0000 00 j j 2.502.50

−

j j 8.758.75 j j 55..0000 00 j j 5.005.00 j j 5.005.00

−

j j 22.5022.50

−

j j 12.5012.50 0 0 00 j j 12.5012.50

−

j j 12.5012.50

]]

Contoh 1.1 Contoh 1.1 Unt

Untuk uk jarjaringingan an gamgambabar r 1.1 1.1 dibdiberierikakan n tegteganganganan E E₁₁

=

1.11.1

∢

00°° dandan E E₂₂

=

1.01.0

∢

0_{0 °° ..} Tentukan matriks impedansi bus dengan cara inversi matriks, dan

Tentukan matriks impedansi bus dengan cara inversi matriks, dan tentukan nilai tegangan busnya.tentukan nilai tegangan busnya. Penyelesaian

Penyelesaian

Dengan menggunakan python kita akan mencoba menyelesaikan contoh soal 1.1 diatas : Dengan menggunakan python kita akan mencoba menyelesaikan contoh soal 1.1 diatas : ((catatan: dalam python, matriks dimulai dari catatan: dalam python, matriks dimulai dari titik [0,0] bukan dari [1,1]titik [0,0] bukan dari [1,1] ).).

Berikut ini skrip yang dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh soal 1.1, buatlah skrip Berikut ini skrip yang dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh soal 1.1, buatlah skrip ini

ini di di tekteks s ededitoitor r ubuubuntu ntu (pe(penulnulis is menmengguggunaknakan an sofsoftwatwarere geanygeany) ) ananda, da, paspastiktikan an ananda da teltelahah memasang library

(5)

#Contoh Soal 1.1 #Contoh Soal 1.1 from scipy import * from scipy import *

z = matrix([[1.0j], # impedansi dari simpul 0 ke 1 z = matrix([[1.0j], # impedansi dari simpul 0 ke 1

[0.8j], # impedansi dari simpul 0 ke 2 [0.8j], # impedansi dari simpul 0 ke 2 [0.4j], # impedansi dari simpul 1 ke 2 [0.4j], # impedansi dari simpul 1 ke 2 [0.2j], # impedansi dari simpul 1 ke 3 [0.2j], # impedansi dari simpul 1 ke 3 [0.2j], # impedansi dari simpul 2 ke 3 [0.2j], # impedansi dari simpul 2 ke 3 [0.08j] # impedansi dari simpul 3 ke 4 [0.08j] # impedansi dari simpul 3 ke 4

]) ]) # Menentukan nilai y # Menentukan nilai y y = 1/z y = 1/z

# Menentukan komponen matriks Ybus # Menentukan komponen matriks Ybus Y11 = y[0,0]+y[2,0]+y[3,0] Y11 = y[0,0]+y[2,0]+y[3,0] Y22 = y[1,0]+y[2,0]+y[4,0] Y22 = y[1,0]+y[2,0]+y[4,0] Y33 = y[3,0]+y[4,0]+y[5,0] Y33 = y[3,0]+y[4,0]+y[5,0] Y44 = y[5,0] Y44 = y[5,0] Y12 = y[2,0] Y12 = y[2,0] Y21 = Y12 Y21 = Y12 Y13 = y[3,0] Y13 = y[3,0] Y31 = Y13 Y31 = Y13 Y23 = y[4,0] Y23 = y[4,0] Y32 = Y23 Y32 = Y23 Y34 = y[5,0] Y34 = y[5,0] Y43 = Y34 Y43 = Y34 Y14 = 0.0 Y14 = 0.0 Y41 = Y14 Y41 = Y14 Y24 = 0.0 Y24 = 0.0 Y42 = Y24 Y42 = Y24 # Matriks Ybus # Matriks Ybus

Ybus = matrix ([[Y11,Y12,Y13,Y14],[Y21,Y22,Y23,Y24], Ybus = matrix ([[Y11,Y12,Y13,Y14],[Y21,Y22,Y23,Y24], [Y31,Y32,Y33,Y34],[Y41,Y42,Y43,Y44]]) [Y31,Y32,Y33,Y34],[Y41,Y42,Y43,Y44]]) # Menentukan Matriks Zbus

# Menentukan Matriks Zbus Zbus = Ybus.I Zbus = Ybus.I E1 = 1.1 + 0.0j # tegangan E1 E1 = 1.1 + 0.0j # tegangan E1 E2 = 1.0 + 0.0j # tegangan E2 E2 = 1.0 + 0.0j # tegangan E2

# dengan transformasi sumber, sumber arus ekivalennya adalah : # dengan transformasi sumber, sumber arus ekivalennya adalah : I1 = (E1/(z[0,0])) I1 = (E1/(z[0,0])) I2 = (E2/(z[1,0])) I2 = (E2/(z[1,0])) # Matriks Ibus # Matriks Ibus

Ibus = matrix ([[I1],[I2],[0],[0]]) Ibus = matrix ([[I1],[I2],[0],[0]])

(6)

# Menentukan Magnitude Vbus # Menentukan Magnitude Vbus Vbus = abs(Zbus * Ibus) Vbus = abs(Zbus * Ibus) print

print "Y "Y = = "" print Ybus print Ybus print "Zbus =" print "Zbus =" print Zbus print Zbus print "Vbus = " print "Vbus = " print Vbus print Vbus

Simpan skrip diatas dengan nama

Simpan skrip diatas dengan nama ex_1.1.pyex_1.1.py lalu eksekusi program tersebut melalui terminal ubuntulalu eksekusi program tersebut melalui terminal ubuntu anda seperti dibawah ini :

anda seperti dibawah ini :

1.3 Penyelesaian Persamaan Aljabar Nonlinear 1.3 Penyelesaian Persamaan Aljabar Nonlinear

Tek

Tekniknik-te-tekniknik k yanyang g palpaling ing umuumum m digdigunaunakan kan untuntuk uk memenyenyeleslesaikaikan an pepersarsamaamaan n aljaljabaabarr nonlinear secara iterasi adalah

nonlinear secara iterasi adalah motode Gauss-Seidel, Newton-Raphson, dan Quasi-Newton.motode Gauss-Seidel, Newton-Raphson, dan Quasi-Newton. 1.3.1 Metode Gauss-Seidel

1.3.1 Metode Gauss-Seidel Me

Metotode de GaGaususs-s-SeSeididel el jujuga ga didikekenanal l dedengngan an memetotode de pepergrganantiatian n susuksksesesif if (( successivesuccessive displacement

displacement ). Sebagai gambaran untuk teknik ini, ). Sebagai gambaran untuk teknik ini, temukan penyelesaian persamatemukan penyelesaian persamaan nonlinear yangan nonlinear yang diberikan oleh :

diberikan oleh :

f(x) = 0

f(x) = 0 (1.6)(1.6)

Fungsi di atas disusun ulang dan ditulis menjadi : Fungsi di atas disusun ulang dan ditulis menjadi :

(7)

x = g(x)

x = g(x) (1.7)(1.7)

Jika

Jika x x(k)(k)_{merupakan nilai perkiraan awal dari variabel}_{merupakan nilai perkiraan awal dari variabel x}_{x, maka bentuk urutan iterasinya adalah :}_{, maka bentuk urutan iterasinya adalah :}

x

x(k+1)(k+1)_=g(x_=g(x(k)(k)₎₎ _(1.8)_(1.8)

Penyelesaiann

Penyelesaiannya ditemukan kya ditemukan ketika perbedaan etika perbedaan antara nilai mutlak antara nilai mutlak iterasi suksesifnyiterasi suksesifnya kurang daria kurang dari akurasi yang ditentukan, yaitu :

akurasi yang ditentukan, yaitu : |x

|x(k+1)(k+1)_-x_-x(k)(k)_{| ≤ є}_{| ≤ є} _(1.9)_(1.9)

dimana є adalah akurasi yang ditetapkan. dimana є adalah akurasi yang ditetapkan.

Contoh 1.2 Contoh 1.2

Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menentukan akar dari persamaan berikut : Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menentukan akar dari persamaan berikut : f(x) = x

f(x) = x 3 3_{- 6x}_{- 6x}22_{+ 9x - 4 = 0}_{+ 9x - 4 = 0}

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian untuk

Penyelesaian untuk x x, persamaan di atas ditulis kembali menjadi :, persamaan di atas ditulis kembali menjadi : x x

=

= −

−

11 9 9 xx 3 3



66 9 9 xx 2 2



44 9 9

=

gg



x x



Dengan menerapkan algoritma Gauss-Seidel dan menggunakan nilai pendekatan awal

Dengan menerapkan algoritma Gauss-Seidel dan menggunakan nilai pendekatan awal yaitu :yaitu : x

x(0)(0) _{= 2}_{= 2}

Dari persamaan (1.8), didapat iterasi pertama, yaitu : Dari persamaan (1.8), didapat iterasi pertama, yaitu :

x x11

=

gg

2

2=−

=−

11 9 9

2

2



3 3



66 9 9

2

2



2 2



44 9 9

=

=2,2222

2,2222

Iterasi keduanya adalah : Iterasi keduanya adalah :

x x22

=

gg

2,2222

2,2222=−

=−

11 9 9



2,22222,2222 3 3



66 9 9

2,2222

2,2222



2 2



44 9 9

=

=2,5173

2,5173

Hasil dari tahapan-tahapan iterasi yang dilakukan adalah 2.8966, 3.3376, 3.7398, 3.9568, Hasil dari tahapan-tahapan iterasi yang dilakukan adalah 2.8966, 3.3376, 3.7398, 3.9568, 3.9988 dan 4.000. Prosesnya akan berulang sampai

3.9988 dan 4.000. Prosesnya akan berulang sampai perubahan pada variabel mencapai akurasi yangperubahan pada variabel mencapai akurasi yang telah ditetapk

telah ditetapkan. an. DapaDapat t dilihdilihat at bahwbahwa a metodmetode e GausGauss-Seis-Seidel del memememerlukarlukan n banybanyak ak iterasiterasi i untuuntukk mencapai akurasi yang ditentukan, dan

mencapai akurasi yang ditentukan, dan tidak ada jaminan tidak ada jaminan penyelesaianpenyelesaiannya konvergen.nya konvergen.

Skrip berikut ini akan menunjukkan prosedur penyelesaian persamaan yang diberikan pada Skrip berikut ini akan menunjukkan prosedur penyelesaian persamaan yang diberikan pada contoh 1.2 untuk nilai perkiraan

contoh 1.2 untuk nilai perkiraan awalawal x x(0)(0) _{= 2}_{= 2..} # Contoh 1.2

(8)

dx

dx = = 1.0 1.0 # # Set Set perubahan perubahan variabel variabel awalawal x

x = = 2.0 2.0 # # nilai nilai perkiraan perkiraan awalawal i itteer r = = 0 0 # # ppeenngghhiittuunnggaan n iitteerraassii while abs(dx) >= 0.001 : while abs(dx) >= 0.001 : i itteer r = = iitteer r + + 1 1 # n# noommoor r iitteerraassii g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0) g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0) d dx x = = ggx x # # ppeerruubbaahhaan n vvaarriiaabbeell x

x = = g g # # pendekatan pendekatan suksesif suksesif

print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x Simpan skrip diatas dengan nama

Simpan skrip diatas dengan nama ex_1.2.pyex_1.2.py lalu jalankan melalui terminal linux anda, makalalu jalankan melalui terminal linux anda, maka hasilnya adalah sebagai berikut :

hasilnya adalah sebagai berikut :

Dapat dilihat bahwa akar persamaan nonlinear contoh soal 1.2 ditemukan (konvergen) pada Dapat dilihat bahwa akar persamaan nonlinear contoh soal 1.2 ditemukan (konvergen) pada iterasi ke-9 dengan nilai

iterasi ke-9 dengan nilai g = 4.0 g = 4.0 (akar persamaan(akar persamaan)).. Dala

Dalam m bebebeberapa rapa kasukasus, s, faktofaktor r akseakselaraslarasi i dapadapat t digundigunakan untuk akan untuk menimeningkangkatkan tkan tingktingkatat konvergensi. Jika α > 1

konvergensi. Jika α > 1 adalah faktor akselarasi, maka algoritma Gauss-Seidel menjadi :adalah faktor akselarasi, maka algoritma Gauss-Seidel menjadi : x

xk k 11

=

x xk k 



α α

[[

gg



x xk k 



– – xxk k 

]]

(1.10)(1.10) Contoh 1.3

Contoh 1.3

Tentukan akar persamaan dalam contoh 1.2, menggunakan metode Gauss-Seidel dengan faktor Tentukan akar persamaan dalam contoh 1.2, menggunakan metode Gauss-Seidel dengan faktor akselarasi akselarasi α = α = 1.25.1.25. Penyelesaian Penyelesaian # Contoh 1.3 # Contoh 1.3

(9)

dx

dx = = 1.0 1.0 # # Set Set perubahan perubahan variabel variabel awalawal x

x = = 2.0 2.0 # # nilai nilai perkiraan perkiraan awalawal i itteer r = = 0 0 # # ppeenngghhiittuunnggaan n iitteerraassii while abs(dx) >= 0.001 : while abs(dx) >= 0.001 : i itteer r = = iitteer r + + 1 1 # n# noommoor r iitteerraassii g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0) g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0) d dx x = = ggx x # # ppeerruubbaahhaan n vvaarriiaabbeell x

x = = x x + + 1.21.25 5 * * dx dx # # pependendekakatan tan susuksksesiesif f dg dg fafaktktoror akselarasi

akselarasi

print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x

Hasilnya adalah : Hasilnya adalah :

Terlih

Terlihat at bahwbahwa a faktofaktor r akseakselaraslarasi i dapadapat t mempememperceparcepat t konvkonvergenergensi si sehisehingga iterasi ngga iterasi dapadapatt lebih sedikit, namun faktor akselarasi yang tidak tepat dapat membuat perhitungan menjadi lebih lebih sedikit, namun faktor akselarasi yang tidak tepat dapat membuat perhitungan menjadi lebih lama dengan jumlah iterasi yang lebih

lama dengan jumlah iterasi yang lebih banyak bahkan dapat tidak terkendali ataubanyak bahkan dapat tidak terkendali atau over flowover flow semisal,semisal, jika anda ganti faktor akselarasi menjadi 1.8, maka akan terjadi iterasi sebanyak 26 kali untuk jika anda ganti faktor akselarasi menjadi 1.8, maka akan terjadi iterasi sebanyak 26 kali untuk

mencapai konvergensi. mencapai konvergensi.

Python sebenarnya menyediakan satu fungsi khusus untuk menentukan akan dari suatu Python sebenarnya menyediakan satu fungsi khusus untuk menentukan akan dari suatu persamaan yaitu dengan fungsi

persamaan yaitu dengan fungsi roots( ).roots( ). Jika kita Jika kita gunagunakan fungsi ini kan fungsi ini untuk menenuntuk menentukan akar daritukan akar dari persamaan pada contoh soal 1.2 maka hasilnya adalah :

(10)

Dapat dilihat bahwa ada tiga akar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Dapat dilihat bahwa ada tiga akar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan pada contoh soal 1.2 yaitu

pada contoh soal 1.2 yaitu 4.0, 1.000000024.0, 1.00000002, dan, dan 0.999999980.99999998 atau dapat kita simpulkan lagi bahwaatau dapat kita simpulkan lagi bahwa ada dua akar persamaan yang dapat digunakan yaitu

ada dua akar persamaan yang dapat digunakan yaitu 4.04.0 dandan 1.01.0..

1.3.2 Metode Newton-Raphson 1.3.2 Metode Newton-Raphson

Metod

Metode e yang paling yang paling luas digunakaluas digunakan n dalam menyelesdalam menyelesaikaaikan n persapersamaan maan aljaaljabar bar nonlnonlineainearr simultan ialah metode

simultan ialah metode Newton-Raphson. Metode ini menggunakan pendekatan suksesif berdasarkanNewton-Raphson. Metode ini menggunakan pendekatan suksesif berdasarkan nilai perkiraan awal yang tidak diketahui dan menggunakan perluasan deret Taylor. Tentukan nilai perkiraan awal yang tidak diketahui dan menggunakan perluasan deret Taylor. Tentukan penyelesaian persama

penyelesaian persamaan satu-dimensi berikut ini an satu-dimensi berikut ini :: f(x) = c

f(x) = c (1.11)(1.11)

Jika x(0) adalah nilai perkiraan awal dari penyelesaian persamaan tersebut, dan

Jika x(0) adalah nilai perkiraan awal dari penyelesaian persamaan tersebut, dan Δx Δx(0)(0) adalah nilaiadalah nilai deviasi dari penyelesaian sebenarnya, maka

deviasi dari penyelesaian sebenarnya, maka f f



x x00



Δx Δx00

=

cc

Dengan menggunakan perluasan deret Tylor pada bagian sebelah kiri persamaan di atas untuk Dengan menggunakan perluasan deret Tylor pada bagian sebelah kiri persamaan di atas untuk x x(0)(0)

maka didapat : maka didapat : f f



x x00



df df dx dx



00



x x00



11 2 2!! d d2f2f dx dx2200





x x 00



22



.. .. ..

=

cc Dengan mengasumsikan bahwa eror

Dengan mengasumsikan bahwa eror Δx Δx(0)(0) _{sangat kecil, maka bagian}_{sangat kecil, maka bagian berorde-tinggi dapat diabaikan,}_{berorde-tinggi dapat diabaikan,}

sehingga : sehingga :



cc00

≃

df df dx dx



00



x x00 dimana dimana Δc Δc00

=

c – f c – f



x x00



Tambahkan

(11)

x x11

=

x x00





cc 00



df df dx dx



00

Penggunaan metode suksesif pada prosedur ini menghasilkan apa yang disebut algoritma Penggunaan metode suksesif pada prosedur ini menghasilkan apa yang disebut algoritma Newton-Raphson Raphson Δc Δck k 

=

cc –– f f



x xk k 



(1.12)(1.12) Δx Δxk k 

=



cc k k 



df df dx dx



k k  _(1.13)_(1.13) x xk k 11

=

x xk k 



Δx Δxk k  (1.14)(1.14)

persamaan (1.16) dapat disusun ulang menjadi : persamaan (1.16) dapat disusun ulang menjadi :

Δc Δck k 

=

jjk k  Δx Δxk k  (1.15)(1.15) dimana dimana j jk k 

=

df df dx dx



k k  Contoh 1.4 Contoh 1.4

Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan yang diberikan pada contoh 1.2. Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan yang diberikan pada contoh 1.2. Asumsikan nilai perkiraan awal

Asumsikan nilai perkiraan awal x x(0)(0) _{= 6}_{= 6}

Penyelesaian Penyelesaian

Penyelesaian secara analitik diberikan oleh

Penyelesaian secara analitik diberikan oleh algoritma Newton-Rapshon sebagai berikut:algoritma Newton-Rapshon sebagai berikut: df df



x x



dx dx

=

3x3x 2 2

₋

12 12 x x



99



cc00

=

cc

−

f f



x x00

=

00

−[

66



33

₋

6 6



66



22

_

9 9



66

−

44

]=−

5050



df df dx dx



00

=

33



66



22

−

1212



66



99

=

4545



x x00

=



cc 00



df df dx dx



00

=

−

5050 45 45

=−

1.11111.1111

Sehingga, hasil akhir pada iterasi pertama adalah Sehingga, hasil akhir pada iterasi pertama adalah

x

x11

=

x x00



x x00

=

66

−

1.11111.1111

=

4.88894.8889

Akar persamaan akhirnya daat ditemukan pada iterasi ke-5

Akar persamaan akhirnya daat ditemukan pada iterasi ke-5 dengan nilai masing-masing iterasi yaitudengan nilai masing-masing iterasi yaitu 4.2789, 4.0405, 4.0011, 4.000.

4.2789, 4.0405, 4.0011, 4.000. Dap

(12)

metode Gauss-Seidel. metode Gauss-Seidel.

Berik

Berikut ut ini ini skrip yang skrip yang menumenunjuknjukkan kan proseprosedur dur untuk penyeluntuk penyelesaiaesaian n dari persamaadari persamaan n yangyang diberikan dengan metode

diberikan dengan metode Newton-Raphson.Newton-Raphson.

# Contoh 1.4 # Contoh 1.4

from math import * from math import * dx

dx = = 1.0 1.0 # # Set Set perubahan perubahan variabel variabel awalawal

x

x = = inpinput(ut("Ma"Masuksukkan kan NilNilai ai PenPendekdekataatan n AwaAwal l : : ") ") # # nilnilai ai perperkirkiraanaan awal awal i itteer r = = 0 0 # # ppeenngghhiittuunnggaan n iitteerraassii while abs(dx) >= 0.001 : while abs(dx) >= 0.001 : i itteer r = = iitteer r + + 1 1 # n# noommoor r iitteerraassii

deltaC = 0(pow(x,3) (6 * (pow(x,2))) + (9 *x) 4) deltaC = 0(pow(x,3) (6 * (pow(x,2))) + (9 *x) 4) J = 3 * pow(x,2) 12 * x + 9

J = 3 * pow(x,2) 12 * x + 9 d

dx x = = ddeellttaaCC//J J # # ppeerruubbaahhaan n vvaarriiaabbeell

x

x = = x + x + dx dx # # pendekatan pendekatan suksesif suksesif

print "iterasi : ", iter, "dC = ", deltaC, "J = ", J, " dx = ", print "iterasi : ", iter, "dC = ", deltaC, "J = ", J, " dx = ", dx,

dx, " " x x = = ",x ",x # # hasilhasil

Hasilnya adalah Hasilnya adalah

Sekarang, jika

Sekarang, jika n-dimensin-dimensi persamaan yang diberikan oleh persamaan(1.11). Perluasan bagianpersamaan yang diberikan oleh persamaan(1.11). Perluasan bagian kiri persamaan(1.11) dalam deret Tylor dengan nilai perkiraan awal dan persamaan orde tingginya kiri persamaan(1.11) dalam deret Tylor dengan nilai perkiraan awal dan persamaan orde tingginya diabaikan, maka akan

(13)



f f ₁₁



00

=

∂

f f 11

∂

x x₁₁



00



x x₁₁00



∂

f f 11

∂

x x₂₂



00



x x₂₂00



.. .. ..



∂

f f 11

∂

x x_n_n



00



x x_n_n00

=

cc₁₁



f f ₂₂



00

=

∂

f f 22

∂

x x₁₁



00



x x₁₁00



∂

f f 22

∂

x x₂₂



00



x x₂₂00



.. .. ..



∂

f f 22

∂

x x_n_n



00



x x_n_n00

=

cc₂₂ .. .. ..



f f _n_n



00

=

∂

f f nn

∂

x x₁₁



00



x x₁₁00



∂

f f nn

∂

x x₂₂



00



x x₂₂00



.. .. ..



∂

f f nn

∂

x x_n_n



00



x x_n_n00

=

cc_n_n atau dalam bentuk matriks

atau dalam bentuk matriks

[[

cc₁₁

−

f f ₁₁



00 cc₂₂

−

f f ₂₂



00 .. .. cc_n_n

−

f f _n_n



00

]]

=

[[



∂

f f 11

∂

x x₁₁



00



∂

f f 11

∂

x x₂₂



00 . . . . ..



∂

f f 11

∂

x x_n_n



00



∂

f f 22

∂

x x₁₁



00



∂

f f 22

∂

x x₂₂



00 . . . . ..



∂

f f 22

∂

x x_n_n



00 . . . . . . . .. . . . . . . . ..



∂

f f nn

∂

x x₁₁



00



∂

f f nn

∂

x x₂₂



00 . . . . ..



∂

f f nn

∂

x x_n_n



00

]]

=

[[



x x₁₁00



x x₂₂00 .. ..



x x_n_n00

]]

Dalam bentuk sederhana dapat ditulis menjadi :



X X k k 

=

J J k k 



X X k k  atau atau



X X k k 

=[

J J k k 

]]

−−11



C C k k  (1.17)(1.17)

dan Algoritma Newton-Raphson untuk persamaan

dan Algoritma Newton-Raphson untuk persamaan n-dimensin-dimensi menjadimenjadi X X k k 11

=

X X k k 



X X k k  (1.18)(1.18) dimana dimana



X X k k 

=

[[



x x₁₁k k 



x x₂₂k k  .. ..



x x_n_nk k 

]]

dan dan



C C k k 

=

[[

cc₁₁

−

f f ₁₁



00 cc₂₂

−

f f ₂₂



00 .. .. cc_n_n

−

f f _n_n



00

]]

(1.19) (1.19)

(14)

J J k k 

=

[[



∂

f f 11

∂

x x₁₁



00



∂

f f 11

∂

x x₂₂



00 . . . . ..



∂

f f 11

∂

x x_n_n



00



∂

f f 22

∂

x x₁₁



00



∂

f f 22

∂

x x₂₂



00 . . . . ..



∂

f f 22

∂

x x_n_n



00 . . . . . . . .. . . . . . . . ..



∂

f f nn

∂

x x₁₁



00



∂

f f nn

∂

x x₂₂



00 . . . . ..



∂

f f nn

∂

x x_n_n



00

]]

(1.20) (1.20) J

J (k)(k) _{disebut dengan matriks Jacobian. Elemen pada matriks ini hasil}_{disebut dengan matriks Jacobian. Elemen pada matriks ini hasil dari turunan parsial pada}_{dari turunan parsial pada}

X

X (k)(k). . diasudiasumsikamsikan n bahwbahwaa J J (k (k )) memmemiliiliki ki invinvers ers padpada a tiatiap p iteiterasrasinyinya a ((tidak tidak singusingularlar). Metode ini). Metode ini digunakan untuk meningkatkan akurasi dari nilai perkiraan yang dihasilkan.

digunakan untuk meningkatkan akurasi dari nilai perkiraan yang dihasilkan.

Contoh soal 1.5 Contoh soal 1.5

Gunakan metode Newton-Raphson untuk menentuk

Gunakan metode Newton-Raphson untuk menentukan interseksi dari kurva berikut an interseksi dari kurva berikut :: x x11 2 2



x x22 2 2

=

44 ee x x11



x x22

=

11 Penyelesaian Penyelesaian Deng

Dengan an mengmengambil turunan ambil turunan parsiparsial al dari kedua dari kedua persapersamaan diatas maan diatas maka didapat matriksmaka didapat matriks Jacobian sebagai berikut

Jacobian sebagai berikut J

J

=

[[

22 x x11 22 x x22

ee x x11 ₁₁

]]

Skrip python

Skrip python untuuntuk k menymenyelesaelesaikan ikan perspersamaaamaan n di di atas atas dengdengan an metometode de NewtoNewton-Rapn-Raphsonhson adalah sebagai berikut.

adalah sebagai berikut.

from scipy import matrix from scipy import matrix from math import pow, exp from math import pow, exp

x1 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 1 :") x1 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 1 :") x2 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 2 :") x2 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 2 :") x = matrix([[x1],[x2]])

x = matrix([[x1],[x2]]) C = matrix ([[4],[1]]) C = matrix ([[4],[1]])

(15)

Dx = matrix ([[1],[1]]) Dx = matrix ([[1],[1]])

iter = 0 iter = 0

while max(abs(Dx)) >= 1e4 : while max(abs(Dx)) >= 1e4 :

iter=iter+1 iter=iter+1 f

f = = matrmatrix ix ([[([[powpow(x[0(x[0,0],,0],2)+p2)+pow(xow(x[1,0[1,0],2)],2)],[],[exp exp (x[0(x[0,0]) ,0]) ++ x[1,0]]]) x[1,0]]]) DC = C f DC = C f J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0]],[exp(x[0,0]),1]]) J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0]],[exp(x[0,0]),1]]) Dx = J.I * DC Dx = J.I * DC x = x + Dx x = x + Dx

print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " , print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " , x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

Jika skrip ini

Jika skrip ini dijalankan maka hasilnya adalahdijalankan maka hasilnya adalah

Dengan nilai pendekatan awal 0.5 dan -1 maka ditemukan penyelesaian yang konvergen Dengan nilai pendekatan awal 0.5 dan -1 maka ditemukan penyelesaian yang konvergen pada iterasi ke-5 dengan nilai

pada iterasi ke-5 dengan nilai x x11= = 1.00416873841.00416873847 7 dandan x x22 = = -1.7296372870-1.72963728703.3.

Contoh 1.6 Contoh 1.6

Mulai dengan nilai awal,

Mulai dengan nilai awal, x x11 =1, x=1, x22 = 1, x= 1, x 3 3 = = 11, selesaikan persamaan berikut ini dengan, selesaikan persamaan berikut ini dengan

menggunakan metode

menggunakan metode Newton-RapshonNewton-Rapshon.. x x₁₁22

−

x x₂₂22



x x₃₃22

=

1111 x x₁₁ x x₂₂



x x₂₂22

−

3x3x₃₃

=

33 x x₁₁

−

x x₁₁ x x₃₃



x x₂₂ x x₃₃

=

66 Penyelesaian Penyelesaian

Dengan menurunkan secara parsial ketiga persamaan di atas, maka didapat matrik Jacobian Dengan menurunkan secara parsial ketiga persamaan di atas, maka didapat matrik Jacobian sebagai berikut.

(16)

J J

=

[[

2 2 x x₁₁

−

22 x x₂₂ 22 x x₃₃ x x₂₂ x x₁₁



22 x x₂₂

−

33 1 1

−

x x₃₃ x x₃₃

−

x x₁₁



x x₂₂

]]

Skrip berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan pada contoh 1.6 di Skrip berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan pada contoh 1.6 di atas.

atas.

from scipy import matrix from scipy import matrix from math import pow from math import pow

x = matrix([[1],[1],[1]]) x = matrix([[1],[1],[1]]) C = matrix ([[11],[3],[6]]) C = matrix ([[11],[3],[6]]) Dx = matrix ([[10],[10],[10]]) Dx = matrix ([[10],[10],[10]]) iter = 0 iter = 0

while max(abs(Dx)) >= 1e4 : while max(abs(Dx)) >= 1e4 :

iter=iter+1 iter=iter+1 f = matrix ([[pow(x[0,0],2)pow(x[1,0],2)+pow(x[2,0],2)], f = matrix ([[pow(x[0,0],2)pow(x[1,0],2)+pow(x[2,0],2)], [(x[0,0]*x[1,0]) + pow(x[1,0],2)3*x[2,0]],[x[0,0]x[0,0]*x[2,0]+ [(x[0,0]*x[1,0]) + pow(x[1,0],2)3*x[2,0]],[x[0,0]x[0,0]*x[2,0]+ x[1,0]*x[2,0]]]) x[1,0]*x[2,0]]]) DC = C f DC = C f J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0],2*x[2,0]],[x[1,0],x[0,0]+ J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0],2*x[2,0]],[x[1,0],x[0,0]+ 2*x[1,0],3],[1x[2,0],x[2,0],x[0,0]+x[1,0]]]) 2*x[1,0],3],[1x[2,0],x[2,0],x[0,0]+x[1,0]]]) Dx = J.I * DC Dx = J.I * DC x = x + Dx x = x + Dx

print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " , print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " , x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

Jika dijalankan maka skript ini

(17)

Dapat dilihat bahwa penyelesaian konvergen pada iterasi

Dapat dilihat bahwa penyelesaian konvergen pada iterasi ke-6 dengan nilaike-6 dengan nilai x x11= 2.0= 2.0 dandan x x22 ==

3.0

3.0, metode Newton-Raphson memiliki keunggulan saat melakukan konvergensi secara kuadratik, metode Newton-Raphson memiliki keunggulan saat melakukan konvergensi secara kuadratik ketika akar persamaan yang dicari sudah dekat.