Persamaan Differensial

Konsep-Konsep Dasar Konsep-Konsep Dasar Definisi Definisi Notasi Notasi

Persamaan Diferensial Orde Persamaan Diferensial Orde Pertama

Pertama

Con

Contotohh soasoall

Next slide« Next slide«

Konsep-Konsep Dasar Konsep-Konsep Dasar Definisi Definisi Notasi Notasi

Persamaan Diferensial Orde Persamaan Diferensial Orde Pertama

Persamaan Diferensial yang Dapat Persamaan Diferensial yang Dapat

Dipisahkan Dipisahkan

Solusi

Solusi

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Contoh Soal

Contoh Soal

Next slide« Next slide«

Persamaan diferensial

Persamaan diferensial

Orde

Orde PertPertamaama

Eksak Eksak Sifat-Sifat Dasar Sifat-Sifat Dasar Metode Solusi Metode Solusi Faktor-Faktor Pengintegrasi Faktor-Faktor Pengintegrasi Contoh Soal Contoh Soal

Persamaan diferensial Orde Pertama LINEAR Metode Solusi Penyederhanaan Persamaan Bernauli Contoh Soal Next slide«

Aplikasi Persamaan diferensial Orde Pertama Temperatur Benda Jatuh RANGKAIAN LISTRIK

Definisi

adalah suatu persamaan yang

melibatkan suatu fungsi yang

dicari dan turunannya.

DEFINISI DEFINISI

Persamaan diferensial biasa: fungsi

yang tidak diketahui hanya terdiri

dari satu variabel independen.

Persamaan diferensial parsial: fungsi

yang tidak diketahui terdiri dari dua

atau lebih variabel independen.

KLASIFIKASI KLASIFIKASI

Contoh Persamaan Diferensial Biasa

Kedua contoh persamaan di atas termasuk persamaan

diferensial biasa (PDB) karena fungsi y yang tidak diketahui terdiri hanya pada variabel x.

Orde dari persamaan diferensial adalah orde dari turunan

tertinggi yang muncul dalam perasamaan tersebut.

NOTASI

Ekspresi matematis yang sering digunakan untuk menuliskan,

masing-masing turunan adalah: y· = turunan pertama

y·· = turunan kedua y··· = turunan ketiga, y(n) _{= dst.}

Jika yang menjadi variabel independen adalah waktu, dengan lambang t, maka lambang turunannya adalah , ÿ, dst.

Persamaan Diferensial Orde Pertama

Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah:

Bentuk lain yang jarang muncul:

Klasifikasi Persamaan Diferensial Orde Pertama 1. Persamaan Linear y¶ + p(x)y = q(x) 2. Persamaan Bernoulli

y¶ + p(x)y = q(x)y n

3. Persamaan Homogen ftx,ty) = f(x,y) 4. Persamaan yang Dapat Dipisahkan M(x,y) = A(x) N(x,y) = B(y) 5. Persamaan Eksak M(x,y)/y =N(x,y)/x

Contoh Soal

T

uliskan persamaan diferensial dibawah ini dalam

bentuk diferensial.

Persamaan dibawah ini memiliki bentuk yang tidak terbatas. Salah satunya

Atau dalam bentuk

Dengan mengalikan 1 maka akan didapat

Masih banyak lagi bentuk diferensial yang bisa diturunkan dengan persamaan tersebut dengan berbagai fungsi x dan y lainnya.

Solusi

Solusi untuk bentuk:

Adalah

Dimana c melambangkan suatu konstanta sembarang. Meskipun inntegral dalam kasus tersebut dapat dilakukan, y mungkin tidak bisa diselesaikan secara explisit sehingga solusi dibiarkan dalam bentuk implisist.

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Persamaan diferensial homogen:

Dapat ditransformasi menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan memasukkan

Bersama dengan turunannya

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Cara lain adalah menulis persamaan awal sebagai:

Dan kemudian memasukkan:

Dan turunannya:

Maka persamaan yang dihasilkan dalam variabel u dan y merupakan persamaan yang dapat dipisahkan.

Contoh Soal

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut :

Jawaban

Untuk persamaan tersebut, dan

Maka diperoleh :

Yang setelah integrasi didapatkan :

Maka akan mendapat solusi :

Sifat-Sifat Dasar

Suatu persamaan diferensial :

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (E.1)

dikatakan eksak apabila ada sebuah fungsi g(x,y) sehingga :

dg(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y) (E.2)

Uji Kepastian (exactness) : 

Jika M(x,y) dan N(x,y) merupakan fungsi kontinu dan memiliki urutan parsial pertama yang kontinu pada sebuah bidang xy, maka (E.1) adalah

Metode Solusi

Untuk menyelesaikan persamaan (E.1) berikut :

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (E.1)

berikut dengan asumsi bahwa persamaan tersebut eksak, terlebih dahulu kita harus menyelesaikan persamaan berikut :

(E.4) (E.5)

Untuk g(x,y). Solusi untuk persamaan (E.1) secara implisit adalah :

g(x,y) = c (E.6)

c adalah bilangan konstanta sembarang.

Faktor Pengintegrasi

Secara umum, persamaan (E.1) bukanlah persamaan eksak. Namun terkadang persamaan ini dapat dirubah menjadi persamaan diferensial eksak dengan perkalian yang tepat. Berikut merupakan contoh faktor pengintegrasi untuk persamaan (E.1) :

l(x,y)[M(x,y)dx + N(x,y)dy] = 0 (E.7) faktor pengintegrasi

Jika M=yf(xy) dan N=xg(xy), maka :

(E.8) Perlu diketahui bahwa faktor pengintegrasi ini sulit ditemukan. Namun terdapat pula beberapa faktor pengintegrasi yang biasa

Faktor Pengintegrasi

Kelompok Suku Faktor Pengintegrasi [l(x,y)] Diferensial Eksak [dg(x,y)] y dx ² x dy y dx ² x dy y dx ² x dy C lick..

Contoh Soal

1. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut merupakan persamaan diferensial eksak!

2xy dx + (1+x2_{)dy = 0}

Jawab

2. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut merupakan persamaan diferensial eksak!

Jawaban

1. Persamaan tersebut merupakan merupakan persamaan diferensial eksak karena memiliki bentuk seperti persamaan (E.1) dimana M(x,y) = 2xy dan N(x,y) = 1 + x2 _{dan karena M/N=2x}

2. Persamaan tersebut merupakan merupakan persamaan diferensial eksak karena terdiri dari M(x,y) = x + siny dan N(x,y) = x cos y ²  2y dan karena M/y = N/x = cos y

Metode Solusi

Persamaan diferensial linear orde pertama memiliki bentuk sebagai berikut :

y· + p(x)y = q(x) (L.1)

Faktor pengintegrasi untuk persamaan (L.1) adalah :

l(x)=e p(x)dx _(L.2)

Faktor tersebut hanya bergantung pada x saja dan independen terhadap y. Apabila kedua sisi dari persamaan (L.1) dikalikan dengan l(x), hasilnya adalah persamaan diferensial eksak seperti berikut :

l(x)y· + p(x)l(x)y = l(x)q(x) (L.3)

Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode pengintegrasian seperti pada ulasan sebelumnya. Prosedur yang lebih sederhana adalah dengan menuliskan persamaan di atas menjadi :

Penyederhanaan Persamaan Bernauli

Suatu persamaan Bernauli memiliki bentuk :

y· + p(x)y = q(x)yn _(L.4)

Dimana n adalah bilangan real. Untuk mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan linear, dilakukan subtitusi dengan :

z = y 1-n _(L.5)

Hasil subtitusi tersebut akan menghasilkan persamaan diferensial linear dalam fungsi z.

Contoh Soal

C

arilah faktor pengintegrasian untuk :

y¶ ² 3y = 6

Jawab

Jawaban

Persamaan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan persamaan

(L.1), dimana p(x) = -3 dan q(x) = 6. Persamaan ini juga berbentuk

linear. Sehingga dapat diketahui bahwa :

 p(x)dx = -3 dx = -3x

Sehingga menjadi :

l(x) = e

 p(x)dx

_{= e}

-3x

Temperatur

Hukum_{pendinginan Newton,} m_enyatak_{an bahwa laj}u _peru _{bahan te}m_peratu_{r s}u_atu _{benda adalah}

proporsional terhadap perbedaan tem_peratu_{r antara benda terseb}u_{t dan} m_edium_sek_itarnya.

Laju_peru _{bahan te}m_peratu_{r dinotasi}k_{an dengan dT/dt di}m_{ana T adalah te}m_peratu_{r. Sedang}k_an

hukum_{pendinginan Newton dir}umu_sk_{an sebagai dT/dt = -}k(_T-Tm)_{. Di}m_ana k _adalah k_onstanta

Benda Jatuh

Sebu_{ah benda jat}u_{h secara verti}k_al k_{arena dipengar}u_{hi oleh gravitasi b}um_{i dan ha}m _batan u_dara

yang proporsional terhadap k_{ecepatan benda terseb}u_t.

Hukum k_edu_{a Newton berb}u_{nyi ´Gaya netto yang be}k_{erja pada benda sebanding dengan laj}u

peru _bahan m_om_entum_{benda terseb}u_{t ata}u u_ntuk m_assak_onstanµ

Sehingga dapat dirumu_sk_{an sebagai beri}ku_{t ini :}

F = m (_dv/dt)

Benda Jatuh

 Jik_{a seb}u_{ah benda yang} m_assanya m_{, jat}u_{h bebas,} m_ak_{a se}k_{alian gaya berat benda, benda j}u_ga

m_engalam_{i ha}m _batan u_{dara, yang} m_enu_ru_t

penelitian besarnya berbanding lu_ru_{s, dengan} ku_adrat k_ecepatannya.

 J_ik_a k_{ecepatan benda pada saat} t _adalah v _dan

k_{onstanta perbandingan} b_{maka besar ham batan}

u_{dara it}u _adalah

u = b.v  Menu_ru_{t h}ukum _newton k_edu_a (_Massa) (P_ercepatan) _{= Gaya}

Benda Jatuh

C_{ontoh :}

Sebu_{ah benda dile}m_park_{an tega}k_lu_ru_s k_{e atas, dari per}muk_{aan tanah yang dianggap datar}

dengank_{ecepatan awal 1960 c}m_/s. J_ik_{a ha}m _batan u_{dara pada gera}k_{an benda diabai}k_an,

tentuk_{an tinggi} m_{ax benda dan wa}k_tu _{yang diperl}uk_{an benda sa}m_pai k_etanah.

Benda Jatuh

 J_{awab :}

Misalm_{assa benda} m, terletak x meter

di atas permuk_{aan tanah pada saat} t detik_{. Dengan}m_enggu_nak_{an h}ukum k_edu_{a Newton diperoleh pada:}

RANGKAIAN LISTRIK

P_ersam_{aan dasar yang} m_engatu_{r besaran ar}u_{s dala}m I (_dalam _am_pere) _{pada seb}u_{ah rang}k_{aian RL}

sederhana yang terdiri dari sebu_{ah tahanan R} (_dalam _ohm)_{, seb}u_{ah ind}uk_{tor L} (_dalam _henry)_,

dan sebu_{ah gaya ele}k_trom_otif (_em_f ) E (_dalam _volt) _adalah

Untuk _sebu_{ah rang}k_{aian R}C _{yang terdiri dari seb}u_{ah tahanan, seb}u_ah k_apasitas C (_dalam _farad)_,

sebu_{ah e}m_{f, dan tanpa ind}uk_{tansi, persa}m_{aan yang} m_engatu_{r besaran} mu_{atan listri}k (_dalam

coloum _b) _pada k_{apasitor adalah}

Hu _bu_{ngan antara q dan l adalah}

CONTOH SOAL

Suatu benda dengan temperatur 50oF diletakkan diluar ruangan dimana temperatur berada pada 100oF. Jika setelah 5 menit temperatur benda tersebut menjadi 60oF, carilah a) berapa lama yang dibutuhkan benda tersebut untuk meencapai temperatur 75oF dan b) temperatur benda tersebut setelah 20 menit.

D_{engan persamaan}

Yang memiliki solusi:

Karena T = 50 ketika t = 0, maka dari persamaan

D_{idapat bahwa c = -50.} D_{engan memasukkan nilai ini maka}

didapat:

Pada t = 5, kita mengetahui bahwa T = 60; maka Menghitung k didapatkan:

atau

JAWABAN

D_{engan memasukkan nilai ini kedalam (2) maka kita}

 peroleh temperatur benda tersebut pada setiap waktu t sebagai

D_{engan memasukkan T = 75 maka diperoleh}

atau Menghitung t mendapat

Atau t = 15,4 menit.

LATIHAN SOAL

1. Tuliskan persamaan diferensial berikut dalam bentuk standar. 2. Tu_ntuk_{an apa}k_{ah persa}m_{aan beri}ku_{t ho}m_{ogen ata}u _tidak_.

a. b.

3. Selesaik_{an persa}m_{aan beri}ku_t.

4. Konversik_{an persa}m_{aan beri}ku_t m_{enjadi persa}m_{aan diferensial}

ek_sak_.

5. Selesaik_{an persa}m_{aan linear beri}ku_t: