Uji Hipotesis

Heri Sunaryo

Pengujian hipotesa

Pengujian hipotesa  Langkah-lanLangkah-langkah atau gkah atau prosedur yangprosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak

atau menolak hipotesahipotesa mengenai parameter populasimengenai parameter populasi

Untuk hipotesa yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan Untuk hipotesa yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan

yang akan diputuskan, yaitu menolak hipotesa atau menerima yang akan diputuskan, yaitu menolak hipotesa atau menerima hipotesa, setelah kita menghitung statistik dari sampel.

hipotesa, setelah kita menghitung statistik dari sampel.

 Artinya, wal

 Artinya, walaupun hipotesa itu daupun hipotesa itu diterima, tidak siterima, tidak selalu berartielalu berarti

bahwa hipotesa itu benar.

bahwa hipotesa itu benar.

Menolak hipotesa artinya menyimpulkan bahwa Menolak hipotesa artinya menyimpulkan bahwa hipotesa tidak benar 

hipotesa tidak benar 

Menerima hipotesa artinya tidak cukup informasi Menerima hipotesa artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesa dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesa harus ditolak

Pengujian hipotesa

Pengujian hipotesa  Langkah-lanLangkah-langkah atau gkah atau prosedur yangprosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak

atau menolak hipotesahipotesa mengenai parameter populasimengenai parameter populasi

Untuk hipotesa yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan Untuk hipotesa yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan

yang akan diputuskan, yaitu menolak hipotesa atau menerima yang akan diputuskan, yaitu menolak hipotesa atau menerima hipotesa, setelah kita menghitung statistik dari sampel.

hipotesa, setelah kita menghitung statistik dari sampel.

 Artinya, wal

 Artinya, walaupun hipotesa itu daupun hipotesa itu diterima, tidak siterima, tidak selalu berartielalu berarti

bahwa hipotesa itu benar.

bahwa hipotesa itu benar.

Menolak hipotesa artinya menyimpulkan bahwa Menolak hipotesa artinya menyimpulkan bahwa hipotesa tidak benar 

hipotesa tidak benar 

Menerima hipotesa artinya tidak cukup informasi Menerima hipotesa artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesa dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesa harus ditolak

Dalam membuat rumusan pengujian hipotesa, hendaknya Dalam membuat rumusan pengujian hipotesa, hendaknya selalu membuat pernyataan hipotesa yang diharapkan

selalu membuat pernyataan hipotesa yang diharapkan akanakan diputuskan untuk ditolak.

diputuskan untuk ditolak.

Hipotesa yang dirumuskan dengan harapan untuk Hipotesa yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut

ditolak disebut hiphipoteotesasa nol / null hynol / null hypotpotesiesiss yangyang ditulis

ditulis HH₀₀

Penolakan hipotesa nol akan menjurus pada Penolakan hipotesa nol akan menjurus pada penerimaan

penerimaan hipotesa alternatif hipotesa alternatif atauatau hipotesahipotesa tandingan

tandingan yang ditulisyang ditulis HH₁₁ atauatau HH_aa

Contoh penentuan hipotesa H

Contoh penentuan hipotesa H₀₀ atau Hatau H₁₁

Pengujian hipotesa bahwa suatu jenis obat baru

Pengujian hipotesa bahwa suatu jenis obat baru lebih efektif lebih efektif 

untuk menurunkan berat badan untuk menurunkan berat badan

Hipotesa nol

Hipotesa nol  HH₀₀ : obat baru = obat lama: obat baru = obat lama Hipotesa

Kesalahan Jenis I dan Kesalahan Jenis II

a. Kesalahan Jenis I adalah kesalahan akibat menolak H₀, padahal H₀ benar, yang sesungguhnya harus diterima.

Probabilitas melakukan kesalahan jenis II disebut β yaitu

β = P(kesalahan jenis II) = P(menerima H

₀/H₀ salah).

Probabilitas melakukan kesalahan jenis I disebut taraf nyata atau taraf keberartian atau taraf / tingkat

signifikansi atau yang ditulis α , yaitu

α = P(kesalahan jenis I) = P(menolak H

₀ / H₀ benar). b. Kesalahan jenis II adalah kesalahan akibat menerima H₀,

Sehingga diharapkan nilai

α

dan

β

sekecil mungkin, tetapi memperkecil atau membuat

α

dan

β

sekecil mungkin secara sekaligus tidaklah mungkin. Karena memperkecil nilai

α

akan mengakibatkan membesanya nilai

β,

demikian sebaliknya.

Jika digunakan taraf signifikansi α = 0,05, artinya adalah ada

keyakinan sebesar 95% bahwa telah dibuat keputusan atau kesimpulan yang benar 

Dalam pengujian hipotesa, nilai-

nilai α yang biasa dipakai

adalah α = 0,05, α = 0,01, α = 0,02, dan sebagainya

Usaha memperkecil nilai

α

dan

β

dilakukan dengan memperbesar banyaknya sampel, makin besar sampel, maka nilai

α

dan

β

akan semakin kecil

Uji Satu Arah Dan Uji Dua Arah

Penentuan uji satu arah atau dua arah tergantung dari hipotesa alternatifnya (H₁)

Uji satu arah / uji eka arah /

one tail tes t 

Bentuk : H₀ : θ = θ₀ H₁ : θ > θ₀ H₁ : θ < θ₀ H₀ : θ = θ₀ atau Daerah penerimaan H₀ Daerah penolakan H₀ α  –Z_α 0 1 – α Daerah penerimaan H₀ Daerah penolakan H₀ α Z_α 0 1 – α

Nilai yang membatasi daerah penolakan dan daerah penerimaan H₀ adalah Z_α , disebut

nilai kritis / titik kritis

 /

critical point 

Uji dua arah / uji dwi arah / two tail test Bentuk H₀ : θ = θ₀ H₁ : θ ≠ θ₀ 1 – α Daerah penolakan H₀ Z α/2 α/2 α/2 Daerah penolakan H₀  –Z α/2 0 Daerah penerimaan H₀

Pada uji dua arah ada dua daerah penolakan H₀ yang tergantung pada nilai kritis tertentu, yaitu luas daerah di bagian paling kiri dan luas daerah di bagian kanan yang masing-masing besarnya

α/2 ( setengah α ),

dimana α telah ditentukan sebelumnya

Langkah-langkah uji hipotesa :

a. Tetapkan hipotesa, baik H_o maupun H₁

b. Tetapkan taraf nyata α (biasanya sudah ditentukan)

c. Tetapkan statistik uji (Z_h) untuk menguji hipotesa nol d. Hitung nilai statistik uji (Z_h)

e. Simpulkan;

1) Menolak H_O, bila nilai statistik uji (Z_h) terletak di daerah penolakan H_O, yaitu bilamana

a) nilai Z_h > Z_α atau Z_h < - Z_α untuk uji satu arah b) nilai Z_h > Z_α/2 atau Z_h < - Z_α/2 untuk uji dua arah. 2) Menerima H_O, bila nilai statistik uji Z_h jatuh atau

terletak di daerah penerimaan H_o , yaitu bila

a) nilai Z_h < - Z_α atau Z_h > Z_α untuk uji satu arah b) nilai - Z_α/2 < Z_h < Z _α/2 untuk uji dua arah.

 x  h

 x 

 Z 

0 n  x   x  1 n

Bila simpangan baku (σ_X) populasi diketahui dan sampelnya sebanyak n, maka statistik uji yang dipakai untuk menguji

hipotesa rata-rata populasi tersebut adlh:

,bilamana populasi tak terbatas

,bilamana populasi terbatas (diketahui) Pengujian Rata-Rata (µ) Populasi

H₀

: μ = μ

₀ H₁

: μ ≠ μ

₀

Pengujian hipotesa bahwa rata-rata (µ) suatu populasi sama dengan suatu nilai µ_o , dengan alternatif bahwa rata-rata

populasi tersebut tidak sama dengan µ_o, yaitu sbb :

Bila σ

_X dari populasi tak diketahui,

maka nilai σ dapat ditaksir /

diduga / didekati dengan nilai S_X, yang dihitung dari sampel

N  N  n  x   x  . dengan

Untuk taraf nyata α , maka nilai kritis dari statistik uji Z di atas

adalah Z_α/2 yang diperoleh dari tabel kurva normal standar Z.

Daerah penolakan dan dan daerah penerimaan hipotesa nol (H_o), adalah Daerah penerimaan H₀ Daerah penolakan H₀ Z α/2 α/2 α/2 Daerah penolakan H₀

 –

Z α/2 0 1 – α

Hipotesa nol (H_o) akan

ditolak,

 jika nilai statistik uji Z_h > Z_α/2 atau Z_h <

 –

Z_α/2 , Sedangkan hipotesa nol H₀ akan

diterima

, yaitu bila

 –

Z_α/2 < Z_h < Z_α/2 .

Suatu populasi berupa seluruh pelat baja yang diproduksi oleh suatu perusahaan memiliki rata-rata panjang 80 cm dengan simpangan baku 7 cm. Sesudah berselang 3

tahun, teknisi perusahaan meragukan hipotesa mengenai rata-rata panjang pelat baja tersebut. Guna meyakinkan keabsahan hipotesa itu, diambil suatu sampel acak

sebanyak 100 unit pelat baja dari populasi di atas, dan

diperoleh hasil perhitungan bahwa rata-rata panjang pelat baja adalah 83 cm, dan standar deviasinya tetap. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa rata-rata panjang

pelat baja yang dihasilkan perusahaan itu sama dengan 80

cm pada taraf signifikansi α = 5%?

Jawab :

Populasi dianggap tak terbatas, sebab ukurannya tidak diketahui. Informasi dari populasi adalah rata-rata µ_o = 80

cm dan simpangan baku σ

_X = 7 cm.

Sampel berukuran besar, yaitu n = 100 dengan rata-rata X =

83 cm. Taraf nyata yang diinginkan adalah α = 5%.

a. Hipotesa statistik yang diuji adalah uji dua arah, yaitu: H_O : µ = 80

H₁

: µ ≠ 80

Langkah-langkah pengujian hipotesa sebagai berikut :

b. Taraf nyata α = 5%.

 x  h

 x 

 Z 

0

n

 x   x 

c. Statistik uji yg dipakai untuk menguji hipotesa tersebut adalah:

Karena populasi tak terbatas, maka

7

0

100

7

,

n

 x   x 

29

4

7

0

80

83

0

,

,

 x  h

 x 

 Z 

d. Menghitung statistik uji :

e. Daerah penolakan dan daerah penerimaan H₀ adalah :

Kesimpulan, karena nilai statistik uji Z_h = 4,29 berada di daerah penolakan hipotesa H_o, yaitu Z_h = 4,29 > 1,96, maka hipotesa H_o di tolak.

Atau dengan kata lain, rata-rata pelat baja yang

diproduksi perusahaan tersebut tidak lagi = 80. Daerah

Misalkan pada contoh diatas ditambah data bahwa teknisi perusahaan telah menemukan metode baru yang dapat memperpanjang pelat baja paling sedikit 2 cm, sedangkan simpangan bakunya tetap. Untuk menguji hipotesa tersebut, diambil sampel acak sebanyak 100 unit pelat baja dari

populasi itu, dan diperoleh rata-rata panjang pelat baja = 83

cm. Dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada alasan guna

menganggap bahwa hasil pelat baja dengan metode baru tersebut memang lebih panjang dari pada hasil yang

diperoleh dengan metode lama? Contoh 2 :

Jawab:

a. Hipotesa statistik menjadi uji satu arah , yaitu H_o : µ = 80

H₁ : µ > 80

b. Taraf signifikansi α = 5%, untuk uji satu arah, nilai

kritisnya adalah Z_α = Z_0,05 = 1,645;

e. Kesimpulan, karena nilai statistik uji Z_h = 4,29 berada di daerah penolakan H_o,

yaitu Z_h = 4,29 > 1,645 = Z_0,05 ,

maka hipotesa nol H_o : µ = 80 ditolak dan hipotesa alternatif H₁ : µ > 80 diterima.

Artinya pada taraf signifikansi α = 5%, terbukti bahwa metode baru itu dapat menghasilkan pelat baja yang lebih panjang

c. Statistik uji yang dipakai tetap

Pengujian Paramater Beda Dua Rata-Rata (µ₁ – µ₂) dari Dua Populasi

2

 x

Dari populasi kedua diambil sampel acak berukuran n₂ dan diperoleh rata-rata dgn simpangan baku S₂

Maka pengujian hipotesa untuk beda dua rata-rata (µ₁ - µ₂) dari dua populasi tsb :

Dipunyai dua populasi berdistribusi normal, masing-masing mempunyai rata-rata µ₁ dan µ₂

dengan simpangan baku σ

₁

dan σ

₂.

Dari populasi pertama diambil sampel acak berukuran n₁ dan diperoleh rata-rata  x₁ dgn simpangan baku S₁

Uji Dua Arah Uji Satu Arah

H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ ≠ μ₂ H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ > μ₂ atau H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ < μ₂

Statistik uji yang dipakai Statistik uji yang dipakai

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1  x  x  nn nn  x   x 

1

1

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

N 

N 

N 

N 

n

n

n

n

N 

N 

N 

N 

n

n

n

n

 x   x   x   x  )) (( )) (( ..

bila kedua populasi tak terbatas, penyebut dihitung dgn bila kedua populasi tak terbatas, penyebut dihitung dgn

dan bila terbatas / diketahui : dan bila terbatas / diketahui :

Contoh Contoh ::  Asosiasi Re

 Asosiasi Real Estate sedaal Estate sedang menyiapkng menyiapkan brosur yang merekaan brosur yang mereka rasa mungkin menarik bagi calon pembeli rumah di daerah A rasa mungkin menarik bagi calon pembeli rumah di daerah A dan B di suatu kota. Satu hal yang menarik adalah lama

dan B di suatu kota. Satu hal yang menarik adalah lama waktu si pembeli tinggal dalam rumah yang bersangkutan. waktu si pembeli tinggal dalam rumah yang bersangkutan. Sebuah sampel yang terdiri atas 40 rumah di daerah A

Sebuah sampel yang terdiri atas 40 rumah di daerah A memperlihatk

memperlihatkan bahwa an bahwa rata-rata kepemilikan adalah 7,6rata-rata kepemilikan adalah 7,6 tahun

tahun dengan dengan simpangan simpangan baku baku 2,3 2,3 tahun. tahun. Sedangkan Sedangkan suatusuatu sampel yang terdiri atas 55 rumah di daerah B

sampel yang terdiri atas 55 rumah di daerah B memperlihatk

memperlihatkan bahwa an bahwa rata-rata lama waktu rata-rata lama waktu kepemilikepemilikankan adalah 8,1 tahun dengan simpangan baku 2,9

adalah 8,1 tahun dengan simpangan baku 2,9 tahun. Padatahun. Pada taraf signifikansi 5%, apakah kita dapat menarik kesimpulan taraf signifikansi 5%, apakah kita dapat menarik kesimpulan bahwa penduduk di daerah A memiliki rumah mereka dalam bahwa penduduk di daerah A memiliki rumah mereka dalam waktu lebih singkat dari penduduk di daerah B?

Data yang diperoleh dari sampel Data yang diperoleh dari sampel di di daerah daerah A A : : nn₁₁ = 40,= 40, ₁₁ = = 7,6 7,6 ; ; SS₁₁= 2,3= 2,3 d di i ddaaeerraah h BB : : nn₂₂ = 55,= 55, ₂₂ = = 8,1 8,1 ; ; SS₂₂ = 2,9= 2,9 (( ₁₁

 –

 –

₂₂ ) = ) = 77,,6 6 -- 88,,1 1 = = -- 00,,55

 x 

 x 

 x 

 x 

 x

 x x 

x 

Jawaban : Jawaban :

Karena σ

Karena σ

₁₁

dan σ

dan σ

₂₂ tidak diketahui dari populasi, makatidak diketahui dari populasi, maka ditaksir dengan S

ditaksir dengan S₁₁ dan Sdan S₂₂ sehingga diperoleh:sehingga diperoleh:

53 53 0 0 55 55 9 9 2 2 40 40 3 3 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ,, , , , ,

n

n

n

n

 x   x   x   x 

Hipotesa yang diuji adalah bahwa penduduk di daerah A Hipotesa yang diuji adalah bahwa penduduk di daerah A waktu kepemilikannya lebih singkat dari pada penduduk waktu kepemilikannya lebih singkat dari pada penduduk daerah B

a. Hipotesa : 94 0 53 0 0 5 0 2 1 2 1 2 1 , , , ) ( ) (  x  h

 x 

 x 

 Z 

c. Statistik uji:

b.

Nilai kritis untuk uji satu arah dengan α = 5% adalah

Z_0,05 =

 –

1,645 (di kiri).

H_o : µ₁ = µ₂

H₁ : µ₁

< μ

₂

d. Kesimpulan: Karena Z_h = - 0,94 > -1,645, maka pada

α

= 5%, hipotesa nol diterima. Artinya, pada taraf  signifikansi

α

= 5%, waktu kepemilikan rumah penduduk di daerah A dan daerah B perbedaannya tidak signifikan. Dengan kata lain, waktu kepemilikan rumah penduduk di daerah A tidak lebih singkat dari pada penduduk daerah B.

n

 x 

 p

Suatu populasi mengandung jenis tertentu dgn proporsi

n

 x 

 p

ˆ

Ingin diuji hipotesa parameter proporsi p yang diasumsikan nilainya sama dengan p_o, yaitu p = p₀ , Dengan memakai sampel berukuran n yg mengandung jenis tertentu, yaitu

Pengujian Parameter Proporsi (p) Populasi

Maka rumusan hipotesa untuk pengujian hipotesa adalah

Uji Dua Arah Uji Satu Arah

H₀ : p = p₀ H₁

: p ≠ p

₀ H₀ : p = p_o H₁ : p > p_o atau H₀ : p = p_o H₁ : p < p_o  p h

 p

 p

 Z 

ˆ ˆ 0

n

 p

 p

 p ) ( ˆ 0 0 1 1 1 ₀ 0  pˆ N  n N  n  p  p . ) (

Statistik uji yang dipakai : _Dengan

bilamana populasi tak terbatas

Perusahaan MAGIC yang bergerak di bidang suku cadang komputer mikro, akan memperkenalkan produk terbarunya di pasaran. Untuk itu bagian pengendalian kualitas perusahaan mengambil sampel secara acak sebanyak 170 buah suku

cadang dan ditemukan ada 16 yang cacat. Dari data tersebut apakah benar produksi yang ditemukan cacat kurang dari 10%? Gunakan taraf signifikansi 2%.

Contoh :

Populasi dianggap tak terbatas, karena ukurannya tidak diketahui. Populasi suku cadang yang cacat dalam

sampel adalah : Jawab:

094

0

170

16

,

ˆ

n

 x 

 p

a. Hipotesa statistik:

b. Pada α = 2%, nilai kritisnya adalah Z

_α = Z_0,02

Dari tabel distribusi normal standar Z_0,02 =

 –

2,054 (dikiri). Sehingga H₀ akan ditolak jika Z_h <

 –

2,054.

& H₁ : p < 0,1 H₀ : p = 10% = 0,1 -2,054  p h

 p

 p

 Z 

ˆ ˆ 0 _{0 023} 170 9 0 1 0 1 0 0 , ) , ( , ) ( ˆ n  p  p  p 26 0 023 0 1 0 094 0 0 , , , , ˆ ˆ  p h

 p

 p

 Z 

c. Statistik uji : sehingga

d. Karena nilai statistik uji

Z_h =

 –

0,26 >

 –

2,054 = Z_0,02 , maka hipotesa nol (H₀) diterima.

 Artinya pada taraf signifikansi α = 2%,

data yang diperoleh dari sampel tidak mendukung hipotesa alternatif (H₁)

bahwa produksi yg cacat kurang dari 10% dgn

Pengujian Parameter Beda Dua Proporsi dari Dua Populasi 1 1 1 N   X   p

Misal dipunyai dua populasi.

Populasi pertama terdiri atas unsur X₁ dengan proporsi

2 2 2 N   X   p

Populasi kedua terdiri atas unsur X₂ dengan proporsi

1 1 1 n  x   pˆ

Populasi pertama diambil sampel acak sebanyak n₁ yang terdiri unsur x₁ dengan proporsi

2 2 2 n  x   pˆ

Populasi kedua diambil sampel acak sebanyak n₂ yang terdiri atas unsur x₂ dengan proporsi

Maka pengujian hipotesa untuk parameter beda dua proporsi (p₁

 –

p₂) adalah sebagai berikut.

Uji Dua Arah Uji Satu Arah

H₀ : p₁ = p₀ H₁ : p₁

≠ p

₀ H₀ : p₁ = p_o H₁ : p₁ > p_o atau H₀ : p₁ = p_o H₁ : p₁ < p_o  

Statistik uji : Dgn penyebut 2 1 1 1 2 1

n

n

 p  pˆ ˆ

1

1

1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n

n

N 

N 

 p  p

)

(

)

(

ˆ ˆ 2 2 1

n

 x 

 x 

 p

1

n

ˆ

q

ˆ

p

ˆ

bila kedua populasi tak terbatas,

bila kedua populasinya terbatas

serta dan

q

 p

ˆ ˆ

N 

N 

n

n

q

 p

ˆ ˆ

.

1

Contoh :

Suatu survei dilakukan di dua daerah yang berbatasan, yaitu daerah A dan daerah B untuk mengetahui pendapat

masyarakat tentang suatu rencana pembangunan pabrik obat nyamuk diperbatasan dua daerah itu bisa diteruskan atau

tidak. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan proporsi penduduk yang menyetujui rencana pembangunan pabrik obat nyamuk antara penduduk di daerah A dan di daerah B, suatu poling dilakukan. Dari 200 penduduk di daerah A

ternyata terdapat 120 penduduk yang menyetujui rencana

tersebut dan dari 500 penduduk di daerah B ternyata terdapat 250 penduduk yang menyetujui rencana tersebut. Apakah

beralasan untuk menerima bahwa proporsi penduduk di daerah A lebih besar dari proporsi penduduk di daerah B?

P₁ = proporsi sesungguhnya penduduk daerah A yang setuju dengan rencana tersebut

P₂ = proporsi sesungguhnya penduduk daerah B yang setuju dengan rencana tersebut

Jawab : Misalkan 6 0 200 120 , ˆ

 p

Sampel di daerah A : n₁ = 200, x₁ = 120, dan

5 0 500 250 , ˆ

 p

Sampel di daerah B : n₂ = 500, x₂ = 250, dan

a. Hipotesa H₀ : p₁ = p₂ dan H₁ : p₁ > p₂

5 2 04 0 5 0 6 0 2 1 2 1 2 1 _, , ) , , ( ) ( ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ  p h  p  p  p  p  Z 

d. Kesimpulan; tolak H_o, karena nilai Z_h = 2,5 > 2,326 = Z_0,01 . Sehingga statistik uji nya adalah

 Artinya, dapat diterima bahwa proporsi penduduk di daerah  A yang menyetujui rencana pembangunan pabrik tersebut

lebih besar daripada proporsi penduduk di daerah B.

53 0 500 200 250 120 2 1 2 1 _, ˆ n n  x   x   p ˆ 1 0,53 0,47 c. 04 0 500 1 200 1 47 0 53 0 1 1 2 1 2 1 ( , )( , ) , ˆ ˆ ˆ ˆ  p  p  p

q

sehingga n n q  p

Kecuali rumus statistik yang dipakai untuk menguji dan penentuan nilai kritis, semua langkah pengujian hipotesa dengan sampel besar dapat dipakai untuk pengujian hipotesa dengan sampel kecil

Kalau pengujian dgn sampel besar distribusinya menggunakan distribusi normal standar ( distribusi Z ) , maka dalam pengujian dgn sampel kecil, distribusi yang dipakai adalah distribusi t

Pengujian Parameter Rata-rata (μ) dari Populasi dgn σ2 _{tidak diketahui}

Uji Dua Arah Uji Satu Arah

H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ ≠ μ₂ H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ > μ₂ atau H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ < μ₂ Hipotesa yg digunakan

Statistik uji yang dipakai  statistik t (student t ), yaitu :

 x 

 x 

t 

0

n

 x   x  1

N 

n

n

 x  dimana

bila populasi terbatas

bila populasi tak terbatas

Nilai σ_x ditaksir dengan nilai S_X yang dihitung dari sampel

N 

Contoh :

Rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar ulang pada awal semester di Universitas A pada semester yang lalu sekitar 45 menit dengan simpangan baku 8 menit. Suatu pendaftaran baru dengan memakai komputer modern yang dilengkapi

dengan suatu sofware sedang dicobakan yang diharapkan dapat mengurangi waktu pendaftaran dibandingkan dengan cara lama. Untuk itu diambil sampel acak sebanyak 10

mahasiswa yang telah mendaftar pada semester berikutnya dengan memakai cara pendaftaran baru tersebut. Ternyata,

rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar adalah sekitar 35 menit dengan simpangan baku 9,5 menit. Apakah harapan untuk mengurangi waktu pendaftaran dapat dipercaya ?

0 3 10 5 9 , ,

n

 S

 x  Jawab:

Diketahui data dari populasi : rata-rata µ_o = 45 menit dan simpangan baku

σ

_x = 8 menit. Populasi dianggap tak terbatas. Diketahui data sampel n = 10,

 x 

= 35 menit dan S = 9,5 menit

 x  ditaksir dengan S dari sampel 

Langkah-langkah pengujian hipotesa nya adalah : a. Hipotesa: H₀ : µ = 45

H₁ : µ < 45

b. Dengan α = 1% , derajat kebebasan db = n –

1 = 10

 –

1 = 9, maka diperoleh nilai kritis: t(α , db) = t(0,01 ; 9) = 2,821.

Sedangkan untuk α = 5%; didapat t(0,05 ; 9) = 1,833 Karena uji satu arah dan H₁ bertanda <, maka nilai kritis t yang dipakai adalah nilai negatifnya, yaitu

3

3

0

3

45

35

0 , ,  x  h

 x 

t 

c. Statistik uji yang dipakai adalah

Untuk α = 1%, H

₀ ditolak, karena t_h = - 3,3 < -2,821 = t(0,01; 9 )

Untuk α = 5%, H

₀ ditolak karena t_h = -3,3 < -1,833 = t(0,05 ; 9)

Kesimpulan: pada α = 1% dan α = 5% H

₀ ditolak.

 Artinya, cara baru itu terbukti mengurangi waktu pendaftaran daripada cara lama.

Hipotesa yang digunakan adalah

Uji Dua Arah Uji Satu Arah

H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ ≠ μ₂ H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ > μ₂ atau H₀ : μ₁ = μ₂ H₁ : μ₁ < μ₂ Statistik uji  statistik t (

 s tudent t 

), yaitu

) ( 2 1 2 1 2 1

)

(

)

(

 x  x h  x  x t  









     

Pengujian Parameter Beda Dua Rata-Rata (µ₁ - µ₂) dari Dua Populasi

2 1 ) ( 1 1 2 1 n n S  _p  x  x 





  2 1 1 ₁2 _{2 2}2 1 2 n n  S n  S n  S _p ( ) ( ) ) ( x₁x₂   besarnya nilai 2 2 2 2 1

a. bila tidak diketahui pada populasi, maka

, untuk populasi tak terbatas

, dgn db = n₁ + n₂

 –

2 nilai Sp :

2 2 2 1 2 1 ) ( _{1 2} n S  n S   x  x _     1 1 ₂ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 db 2 2 2 1

b. bila dan tidak diketahui pada populasi, maka

 untuk populasi tak terbatas

dengan derajat kebebasan 

) ( x₁x₂   1 2 1 2 1 2 1

N 

N 

n

n

N 

N 

) ( ) (

c. bila populasi terbatas, maka simpangan baku harus dikalikan dengan faktor koreksi

n n  S n n  S n  S n  S

Suatu mata kuliah diberikan pada dua kelas yang berbeda. Kelas A yang terdiri atas 12 mahasiswa diajar dengan

metode pengajaran biasa. Sedangkan kelas B yang terdiri atas 10 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran baru. Pada akhir semester mahasiswa di kelas A dan B diberi

materi ujian yang sama. Di kelas A, nilai rata-rata mahasiswa adalah 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan di kelas B nilai rata-rata mahasiswa adalah 81 dengan simpangan baku 5. Yakinkah Anda bahwa metode pengajaran yang biasa

tetap lebih baik dari metode pengajaran yang baru dengan

memakai taraf signifikansi α = 0,01? Diasumsikan bahwa

dua populasi mendekati distribusi normal dengan variansi yang sama.

Jawab:

Dua populasi dianggap tak terbatas dan ber distribusi normal. Dari sampel A : n₁ = 12,

 x 

₁ = 85, S₁ = 4

Hipotesa H₀ : µ₁ = µ₂

H₁ : µ₁ > µ₂ (bahwa metode pengajaran yang biasa tetap lebih baik dari metode pengajaran yang baru)

2

 x 

Dari sampel B : n₂ = 10, = 81, S₂ = 5

Dgn α = 0,01, dan db = n

₁ + n₂

 –

2 = 12 + 10

 –

2 = 20, maka

diperoleh nilai kritis : t(α,db) = t(0,01 ; 20) = 2,528.

2 1 x   x  05 20 20 5 9 4 11 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 , ) )( ( ) )( ( ) ( ) (  S _p 917 1 10 1 12 1 478 4 1 1 2 1 2 1  x   S p n n ( , ) ,  x 

Untuk menghitung t_h, terlebih dulu dihitung S_p dan

simpangan baku distribusi sampel beda dua rata-rata adalah :

sehingga Sp = √20,05 = 4,478

Maka diperoleh nilai statistik uji t_h, sebagai berikut :

09 2 917 1 0 81 85 2 1 2 1 2 1 , , ) ( ) ( ) (  x  h  x   x  t 

kesimpulan : karena nilai t_h = 2,09 < 2,528 = t_(α;db) , maka H₀ tidak ditolak.

artinya : metode pengajaran biasa tetap lebih baik daripada metode pengajaran baru

n n  S n  S n  x 

)

(

2

)

(

2

2 1 2 2 2 2 1 x

e

x

)

x

(

f 

di mana:

= n

 –

1 adalah derajat kebebasan e = 2,7183

2 2

α

menyatakan nilai yang luas di sebelah kanannya sama

dengan α

2

Distribusi chi-kuadrat mempunyai bentuk umum:

2 adalah fungsi gamma yang tergantung dari

f 

Test Hipotesa Mengenai k Proporsi (k > 2)

Untuk melaksanakan test hipotesa dari k proporsi (k > 2), Langkah-langkah uji

a. Menentukan formulasi hipotesa : H₀ : P₁ = P₂ = P₃ = ... = P_k H₁ : P₁

≠ P

₂

≠ P

₃

≠ …≠ P

_k b. Tingkat Signifikansi : 

c. Rule of the test / daerah kritis



;

1



2 2





k 

h         H₀ ditolak apabila

d. Statistik uji 2 2 2 ij ij h e ) e i = 1, 2 dan

 j = 1, 2 , … , k

O_ij = Frekuensi hasil pengamatan/observasi e_ij = Frekuensi yang diharapkan

e. Kesimpulan. H₀ ditolak jika   h2



  2



 

;

k 



1



.

Cara menghitung e_ij

Sifat Sampel Jumlah

baris 1 2 3 k 1 O11 e₁₁ O₁₂ e₁₂ O₁₃ e₁₃ … … O_1k e_1k B1 2 O21 e₂₁ O₂₂ e₂₂ O₂₃ e₂₃ … … O_2k e_2k B2 Jumlah kolom K1 K2 K3 Kk N N K . B e_ij i  j Frekuensi yang diharapkan di tiap-tiap sel (e_ij) dihitung dgn :  N   K   B e 2 3 23 .  contoh B₂ =O₂₁+O₂₂ +…+O 2k  K =O +O 1 1 i k  j ij O (

Analisa Tabel (r x k)

Test hipotesa mengenai mengenai r kemungkinan, perlu adanya tabel (r x k)  r = jumlah baris dan k = jumlah kolom

Langkah-langkah analisa a. Formulasi Hipotesa : P_r1 = P_r2 = P_r3

= … =

_Prk (=P_r ) : P₃₁ = P₃₂ = P₃₃

= … = P

_3k (=P₃) : P₂₁ = P₂₂ = P₂₃

= … = P

_2k (=P₂) H₀ : P₁₁ = P₁₂ = P₁₃

= … = P

_1k (=P₁)

H₁ : Tidak semua proporsi sama b. Tentukan Level of Signifikansi ,

sehingga ;(r - 1)(k - 1)) dapat dilihat pada tabel dimana (r - 1)(k - 1) = (degress of freedom)

  



; 1 1



2 2  



_{r  k}  h

  

 

  

c. Kriteria Pengujian : H₀ ditolak bila :



 





r  i k   j ij ij ij h e e O 1 1 2 2 ( )    d. statistik uji 2 h dihitung 

e. Kesimpulan. H₀ ditolak apabila

2 ( ;(r - 1)(k - 1)) dari tabel

  



; 1 1



2 2  



_{r  k}  h

  

 

  

2

h  Hasil hitungan point d

Untuk mengetes apakah dua variabel dalam suatu populasi independent atau tidak, dengan mengambil sampel-sampel.

Test Of Independency

Variabel I terdiri dari k kategori dan variabel II terdiri dari r

kategori, hsl sampel ditulis dlm tabel k x r 

tabel K onting ens i 

Langkah-langkah test hipotesa

a. Formulasi Hipotesa H0 : Ke dua variabel independent

H₁ : Ke dua variabel dependent

b. Tingkat signifikasi , dgn derajat kebebasan = (r - 1)(k - 1)

  



; 1 1



2 2  



_{r  k}  h

  

 

  

c. Kriteria Pengujian : H₀ ditolak bila :



    r  i k   j _ij ij ij h e e O 1 1 2 2 ( )    d. Statistik uji e. Kesimpulan

52

Contoh : Klasifikasi dari 300 orang pembaca surat kabar berdasarkan klas sosialnya adalah sebagai berikut

Klas Sosial Surat Kabar 

 A B C

Miskin 31 11 12

Rendah 49 59 51

Menengah 18 26 31

Kaya 2 4 6

Ujilah apakah ada pengaruh / hubungan antara klas sosial dengan jenis surat kabar yang dibaca. Gunakan  = 5 %

Jawaban :

H₀ = Hubungan klas sosial dengan jenis surat kabar independent H₁ = Hubungan klas sosial dengan jenis surat kabar dependent Tingkat signifikansi / Level of signifikasi  = 5% , dari tabel

distribusi 2 _{didapat nilai}

(α ; (r – 1)(k – 1 )) = (0,05 ; (4-1)(3-1)) = 12,592

Sehingga H₀ ditolak apabila > 12,592

2 2

2 h

Menghitung Statistik uji :

Klas Sosial Surat Kabar  Jumlah

 A B C Miskin _(18 )31 _(18 )11 _(18 )12 54 Rendah ₍₅₃₎49 ₍₅₃₎59 ₍₅₃₎51 159 Menengah _(25 )18 _(25 )26 _(25 )31 75 Kaya ₍₄₎2 ₍₄₎4 ₍₄₎6 12 Jumlah 100 100 100 300  N   K   B e_ij  i. j Merah : Biru : O_ij



 



 

61 , 20 4 4 6 ... 18 18 11 18 18 31 ) ( 2 2 2 1 1 2 2 



           r  i k   j ij ij ij h e e O   

Kesimpulan. Karena hasil perhitungan 20,61 > 12,592 maka H₀ ditolak. Ini berarti ada hubungan klas sosial dengan jenis surat kabar, atau kebiasaan membaca surat kabar tergantung dari

Sampel besar (n  30)  distribusi normal (Z)

Uji Hipotesa Mengenai Variansi (Sampel Kecil)

Untuk sampel kecil (n < 30) test mengenai variansi menggunakan distribusi chi kuadrat (2 )

b. Tingkat Signifikansi :

Langkah-langkah uji hipotesis variansi sampel kecil adalah

a. Formulasi Hipotesa 1) Untuk uji dua arah

H_o

: σ

2

= σ

o2

H₁

: σ

2

≠ σ

o2

2) Untuk uji satu arah H_o

: σ

2

= σ

o2 H₁

: σ

2 _<

σ

o2 H_o

: σ

2

= σ

o2 H₁

: σ

2 _>

σ

o2 atau

Daerah penolakan 2 (1

 –

/₂ ;n

 –

1) 2 (/2 ;n

 –

1)  /₂ 1-Daerah penerimaan

c. Kriteria Pengujian / Daerah Penolakan / Daerah Kritik 1) Untuk uji dua arah

2) Untuk uji satu arah

2

h

Jika H₁

: σ

2

> σ

o2 , maka H0 ditolak bila > ( ; n - 1)

2

h

Jika H₁

: σ

2 _<

σ

o2 , maka H0 ditolak bila < ( 1- ; n - 1)

2 0 2 2

(

n

1

)

S

h d. Statistik uji

e. Kesimpulan : Dengan membandingkan hasil dari perhitungan (d) dengan kriteria (c) maka dapat ditentukan kesimpulannya

 /₂

2

uji hipotesis untuk menduga dan menguji perbedaan 2 parameter variansi,

σ

₁2

= σ

22 α/2 1 – α ) V , V ; (

F

2 1 2 1

F

( ;V₁,V₂) 2 Kurva distribusi F ) V , V ; (

F

2 1 2

1 = nilai kritis bawah

= nilai kritis atas

) V , V ; (

F

2 1 2 V₁ = n₁

 –

1 V₂ = n₂

 –

1 Berdasarkan teorema, nilai

) V , V ; ( ) V , V ; (

F

F

1 2 2 2 1 2 1 1

Uji Satu Arah (

One S ide Tes t / One Tail Tes t 

)

)

1

(

);

1

(

);

(

n

₁



n

₂



 F 

_ 

a. Uji / Test Lebih Besar Varians Populasi I

Untuk menguji apakah Varians dari

populasi X > daripada Varians populasi Y Langkah-langkah

1) Hipotesis H_o :

σ

₁2

= σ

22 H1 :

σ

12

> σ

22

2) Data : Diperoleh dari sampel-sampelnya

3) Critical Value / nilai kritis

) 1 ( ); 1 ( ); ( ₁ ₂   _{n n} obs

F 

 F 

  4) Daerah kritis H_o ditolak jika









)

y

n

-y

1)(

-(n

)

x

n

-x

1)(

-(n

S

S

2 2 i 1 2 2 i 2 2 y 2 x obs  F  5) Test statistiknya 6) Kesimpulan

) , ; ( ) , ; 1 ( 1 2 2 1 1 V  V  V  V   F   F     



 ) 1 ( ); 1 ( ); 1 (  n₁ n₂

 F 

_ 

b. Uji / Test Lebih Besar Varians Populasi II

Untuk menguji apakah Varians dari

populasi X < daripada Varians populasi Y Langkah-langkah

1) Hipotesis H_o :

σ

₁2

= σ

22 H1 :

σ

12 <

σ

22

2) Data : Diperoleh dari sampel-sampelnya 3) Critical Value / nilai kritis

) 1 ( ); 1 ( ); 1 (  ₁ ₂



_{n n} obs

F 

 F 

  4) Daerah kritis H_o ditolak jika





 

)

1)(

(n

)

x

n

-x

1)(

-(n

S

S

2 2 2 2 i 2 2 2 x ob s  F  5) Test statistiknya 6) Kesimpulan Hitung dgn 

Uji / Test Dua Arah (

Two S ided Tes t 

)

apakah varians Populasi I = varians Populasi II Langkah-langkah

1) Hipotesis H_o :

σ

₁2

= σ

22 H1 :

σ

12

≠ σ

22

2) Data : Diperoleh dari sampel-sampelnya





 

)

y

n

-y

1)(

-(n

)

x

n

-x

1)(

-(n

S

S

2 2 i 1 2 2 i 2 2 y 2 x ob s  F  3) Test statistiknya

4) Critical value / daerah kritik / Kriteria penolakan

) 1 ( ); 1 ( ); 2 1 (  ₁ ₂  n n obs F   F    H_o ditolak jika ) 1 ( ); 1 ( ); 2 ( ₁ ₂  n n obs

F 

 F 

  α/2 1 – α 5) Kesimpulan atau

Test Untuk Pengujian lebih dari 2 mean WG x BM x obs

S

S

F

₂ 2

H

₀

ditolak jika F

_obs

> F

_{(α ; (k-1) ; k(n-1))}

Langkah-langkah

a. Hipotesa

_H

_o

_:

_1

₌

_2

= …=

_k

_H

₁

_:

_1

≠

_2

≠ …≠

_k b. Data diperoleh dari masing-masing sampel

c. Critical value / nilai kritis

F

_{(α ; (k-1) ; k(n-1))} d. Test Statistik e. Kesimpulan





k   x n  x n  x n  x S  n i k   j k  k  ij  xWG













  ... 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2

     

 

1 ... 1 1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2                   













  k  n  x n  x n  x n  x n  x S  j n i k   j ij  j ik  i i i  xBM