Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

cc
c
 
.


 
 Suatu model matematik dari suatu phisik mencakup beberapa fungsi eksak,
. () misalnya fungsi peralihan, kecepatan, temperatur dll. Terhadap fungsi eksak yang. tidak dikenal ini kemudian dilakukan suatu aproksimasi, sehingga fungsi tersebut dinamakan fungsi aproksimasi :
( ) ! ( )  Fungsi aproksimasi.
.
. () . Dimana perbedaannya :. ( ). merupakan kombinasi linier terhadap  :. ( ) ! 1 ( )1 0 2 (  )2 0 ....... 0  ( ). (1). 1  G G G G ( ) ! 1 (  ) 2 ( )..... ( )  2
=  ÿ G. G G  G. (2). dimana 1, 2 ,....,  : adalah fungsi yang diketahui dan independen linier Kemudian kita tentukan bahwa fungsi aproksimasi eksak.
. bertemu dengan fungsi. pada titik-titik tersebut : ( 1 ) !.
. ( 1 ) !. ( 2 ) !.
. ( 2 ) !. 1 2. .............................. (  ) !.
. (  ) !. (3). . dengan demikian fungsi aproksimasi dapat ditulis : ( ) ! 1 (  ) 1 0  2 (  ). 2. 0 ....... 0   (  ). ( ) ! 1 ( )  2 ( ) ««..  3 ( ). . 1  G G G2 G 
=  G  G G  G. catatan : -. fungsi P(x) adalah fungsi basis aproksimasi. -. fungsi N(x) adalah fungsi interpolasi. ÿ. (4).





 Misal. ( ,? ) pada elemen referensi dalam bentuk suatu kombinasi linier fungsi. independen yang dikenal 1 ( ,? ) , 2 ( ,? ) «,«, yang saling independen. Pemilihan fungsi 1 ( ,? ) adalah suatu operassi dasar dari metode elemen hingga. 1  G G G G ( ,? ) ! 1 ( ,? ) 2 ( ,? ) ...  2
!  ( ,? ) ÿ G  G G  G . (4). Basis polynomial untuk 1D : 2. ( ) ! 1. 3. .... . (5). Basis polynomial untuk 2D : Kita gunakan segitiga pascal sbb :. 1. - konstan ? ?. 2. ?2. 2. 3. - linier - quadratik. ?2. ?. - kubik. ?3. 4 3. ?. 2. ?2. Untuk quadratik lengakap : ( ,? ) ! 1. ?3. ?. ?4. 2. - quartik. ? ?2. 


 
!"
"
 
"
Bila kita berikan niali-nilai variabel nodal pada persamaan (4) yaitu dengan memasukkan koordinat nodal, maka fungsi ( ,? ) adalah variabel nodal. . !.
. ( ,? ) :.

1  1 ( G G  ( G2 G 1 
! G  G . G  G 1 (. ÿ. atau. ,?1 ) 2 ( 1 ,?1 ) 2 ( 2 ,?2 ) 2 ,?2 )     2 (  ,? )  ,? ). ...  ( ...  ( ... ...  (. 1. ,?1 )  1   G G 2 ,?2 )  G 2G 
 G  G   G G   ,? )   1. !
 ÿ. (6). (7). Bila kita lakukan invers maka diperoleh : ÿ !
 . 1. ÿ. (8). #


$

%

"
 &
Vpabila kita antar persamaan (8) ke dalam persamaan (4) persamaan menjadi : ( ,? ) ! ( ,? )
. 1. Dimana :. ÿ. !  ( ,? ). ÿ. (9).  ( ,? ) ! ( ,? )
. 1. Kita peroleh dengan cara yang sama untuk fungsi  ½

.
. ( ,? ) !  ( ,? ) ÿ ;.  ( ,? ) !  ( ,? )ÿ. (10). 

"


½

.
&



"
.


.  ! 1
?
.
. (
1 ,?1 )
! (
2 ,? 2 ). (
2 ,? 2 ).  1 0 0    ! 1 1 0 $

 1 0 1.
.
. 1. 1 0 0 !  1 1 0
.  1 0 1 .
 ! 1.
. 2. 3.  1 ! 1 
 ? $
. $

.  ! 
. 1.  2 !
$
. 3 ! ?
.
. &



 ! 1
?
?
.
.
. 1  1  1 1  1 1  1  1  $

! 1 1 1 1. . 1  1 1  1  ! 1.
. 2.
1 ! 1
Ê 4. 1 1 1  1
1 1  1  1.  4 ! 

1. 3. 1 (1 
)(1  ? ) 4

1  2 ! (1 0
)(1  ? ) 4. 1 (1 0
)(1 0 ? ) 4
1  4 ! (1 
)(1 0 ? ) 4. 1 !
. 1 1  1 1 1 ! 4  1  1. 1 1. 3 !.
'
(
(
)* 

] 
Setelah persamaan (10) terbentuk kita dapat menghitung matrik Jacobian
]  Dari geometri fungsi : ( ,? ) !  ( ,? ) ÿ ;.
]  ! . ]11. ] 21. matrik Jacobian:. dimana :. ]11 !.  ; . +
(


. ]12  ; ] 22 . ]12 !.
R. 
.  ( ,? ) !  ( ,? )ÿ.  ; . (11). ] 21 !.  ; ?. ] 22 !.  ?.


.
.    , . 0 R  ! ........  .    , . 0      ,    ......  ! 1,  

  ,   .
.
.

(12). dimana :   ,  ! 11   , 0 12   ,?   ,  ! 21   , 0 22   ,?
,
(
-
Formulasi matrik kekakuan adalah sebagai berikut : Ê. 01 01.
 !  61 61
R 

 
R det
] ’. ’?. (13). dimana : h = ketebalan elemen.

  = matrik bahan (Hook) . 0  1 † 1 1 ! 0  1 †2 1 †  0 0. 2 .
R. = matrik regangan peralihan. det
] ! determinan matrik Jacobian. Deformasi ÿ ’ÿ didefinisikan sebagai variable nodal :. ÿ. !
. ÿ . n adalah jumlah nodal pada elemen. dengan :.
.  ! .... ÿ. !
. ÿ . 0  ,  0 0. 0  . 0  .   , .   ...  ! 1,   .


. dengan :.  ! ....  , . . 0.  , . 0. .   ...  ! 1,    .   ,  ! 11   ,
0 12   ,?   ,  ! 21   ,
0 22   ,?. M
int ditulis dalam bentuk matriks : M
int !. dan. 1 2. .


ÿ .


!


0


 Ê


! 6



’
. Ê.


! 6



’
. dalam kasus homogen isotrop : . 1 Y 0 .  Y 1

! 0 ; 12(1  Y 2 ) 1Y   0 0. 2  3.

!

 . 1 0 . 0 1 . k = koefisien koreksi geser, nilainya 5/6 !. 2(1 0 Y ). matrik kekakuan


 diperoleh dengan intregrasi eksplisit atau, secara umum , dengan integrasi numeric tipe Gauss untuk kuadrilateral dan tipe Hammer untuk triangular..

-"

$
"
.*



*
$



/
.






0
c
1 1-
(
$c
c$
.

.




 ( c
-/c 

)"

"2
3
½

1 0
2 0
3 ! 1 2
"

4
½

1 !
2 !
3 !. 1 4.
. "
 

"

"

"
"
½
.


.  ! 1 .
1 0  2 .
2 0 3
3  ! 1 .
1 0  2 .
2 0  3
3.
. "




"

"
"
"


½
1  1 GG  
! 1 G G  . 1. 1 
1  G G   3  
2

 3  G
3G . 1 2 2. (


½

.
1  1   GG G G  
!

2

G G G
3G  . 
1  1  G G 1 G G 
½

2
!
  

G G G
3G  . /


"
½
1
! 1. 1
. 1 2 2. 1 3 

 3 . 
½


. 1.  2  3  3  2 1 3 1  1  3 ! 2 . 1  2   2 1.  23  31 12. 32  13 
 21 .
. /

½

.  !       !     1 2  ! det 1. 1.
1 2 2. 1 3  !

 2  3  3  2 ) 0 ( 3 1  1  3 ) 0 ( 1  2   2 1 )
 3 . 2  ! det
!  21  31 0 31  21



½
.




.
.
.  !  
  !  
. 
 !  



 ! 

2  2.
.
.
.


"
.



1 ,
2 ,
3 "
5
"
4
"
"
½
.


   1    !  23 0  31 0 12 ÚÚ 
3 
2  2   
1
.
1       32 0 13 0  21 ÚÚ ! 
3 
2  2   
1.
. 
"


½
.
.     1  23   !.  2  32.  .  31 13.   . 
1  12   
 21  
2    . 
3 . 








1 ,
2 ,
3 ½
.
.
1  1 .  


1 ,
2 ,
3 !  1
1 0  2
2 0  3
3 !
 1 ,  2 ,  3 
2  !


1 ,
2 ,
3  2 
.
3 .  3 .
.
0. 2.
0. 2. . !. 1 1. . !. 1 1.
2 0. 3 3.
2 0. 3 3. 
1 0
2 ! . 0
1 0. .







6
 (
). (
).
.
. 0
2.
.
3 0.
. 

".
½
.  1  G G G 1 G 0 G G G 2 G 


3 G 2 G G 3 G G G G  3 G.


!  (
).
. (
).  23 1 0 ! 2 . 32. 0 32  23. 0 13 31. 31 0 13. 12 0  21.  1  G G 1 0 G G G G G2 G  21  

 2 12  G G G 3 G G G G  3 G.
. (
). !. /
"


".
!"*


!
.  !

. Ê  0 ! 0
.
(c-
---1
(
. *



"
"
½
 (
) ! 6. $(
). . Ê. ’$ (
)
. "
½

. $ ! "


"
.
. 
6
 

. 

"



"

"

½







.
 (
) !. Ê. 6. $(
). ’$ (
)
.


.







.  23 0. 1  31 6 2 4 0 12. 0. . (
). ! .  32   23   13    31  .  21 .  12 . 0 32 0 13 0  21. 11. 12. 12. 22. 13. 23.  23 0.   31 !. 4 0 12. 0. Ê. 0 32 0 13 0  21.   23  23  0  33  32. 32   23   13    31  .  21 .  12 . 0 13  31. 12 0  21. 0   21  6 (
) ’$ (
)
$ 12 .   23  23  0  33  32. 0 32  23.  31 0 13. 0 32  23.  31 0 13. 11. 12. 13. 12. 22. 13. 23. 13. 0 13  31. 12 0  21. 0  21 
12 .

ccc
- 1
 
.
/
(
+



-

Kasus plane stress dan elemen T6 diminta untuk menghitung matrik kekakuan.
  pada titik integrasi Hammer ke-2, apabila diketahui data-data sebagai berikut : ? 5(0,1). 6(0,1/2). 1(0,0). 4(1/2,1/ 2). 2(1/2,0). 3(1,0). Diketahui titik-titik sumbu pada koordinat cartesian sebagai berikut: Nodal. 1. 2. 3. 4. 5. 6. X. 2. 4. 5. 4. 5. 4. Y. 4. 3. 1. 6. 8. 6.


 



(
u
 
% &
?. Dari segitiga pascal didapat  ! 1 1. 1 1
  ! 1. 1 1.  ! 1. 0 1 2 1 1 2 0 0. 2. 0 0 0 1 2 1 1 2. 3. 0 1 4 1 1 4 0. 0 1 4 0. 0. 0. 0  0 0 1 ;  4 1 1 4 . 0 0. 4. 5.
 1. ?.  3 ! (2  1) ! 2. 2.  ,. 2. ?2. 0 0 1  3 4  1.  3 0 0 ! 2 4 2 4 4 0. 0 0. 2. 0 0 0 0 0 0  0 1 4   0 0 0 4 0  4  0 2  4.  6 ! 
. 1. 1 ! (1   ? )(2  2  2?  1) ! 1  3  3? 0 4 ? 0 2  2 ! 4(1   ? ) ! 4  4. 2. 2. 0 2? 2. 4 ? 4 ! 4 ? ,.  6 ! 4(1   ? )? ! 4?  4 ?  4? 2 
(
.

.  5 ! ? (2?  1) ! 2? 2  ?.

 ( ,? ) ! 1.  ( ,? ) ! 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 1  G G G2 G G G G G 6  3
G4 G G5 G G G G 6 G. 5. 1  G G G2 G G G G G 6  3
G4 G G5 G G G G 6 G.  ( ,? ) ! 1  1 0  2  2 0  3  3 0  4  4 0  5  5 0  6  6  ( ,? ) ! 11 0  22 0  33 0  44 0  55 0  66  
(

)* 

] 
.
]  ! . ]11. ] 21. ]12  ] 22 . ]11 !. ÿ ( ,? ) ! 5 4 . ]12 !. ÿ ( ,? ) ! (1 0 4 ) . ] 21 !. ÿ ( ,? ) ! 5  4? ?. ] 22 !. ÿ ( ,? ) !4 ?.

Matrik Jacobian :.
]  ! . 5  4 1 4  4 . 5  4? ! 0 ; ? ! 0.5 dan  !. Untuk titik integrasi Hummer ke-2 :. 1 6. 5  1 Jadi :
]  !  ; determinan matrik ] ! (5)(4)  (3)( 1) ! 23. 3 4  1 Menentukan invers matrik jacobian :
]  ! 11. 21 =. 1 4 1 23  3 5.  #





.
.    , . 0 R  ! ..........  .    , . dimana :   ,  ! 12   , 0 12   ,?. 12  1 ’  int
]  ! 22  ]. R. 
. 0      ,    ...  ! 1,6   ,    ;   ,  ! 21   , 0 22   ,?. 1 ,  !. 4 1 5 (3 0 4? 0 4 ) 0 (3 0 4 0 4? ) !  23 23 23. 1 ,  !. 3 5 2 (3 0 4? 0 4 ) 0 (3 0 4 0 4? ) !  23 23 23. 2 ,  !. 4 1 8 (4  8  4? ) 0 (4 ) ! 23 23 23. 2 ,  !  3 ,  !. 4 1 4 (4  1) 0 (0) !  23 23 23. 3 ,  !  4 ,  !. 3 5 6 (4  8  4? ) 0 (4 ) !  23 23 23. 3 5 3 (4  1) 0 (0) ! 23 23 23. 4 1 8 (4? ) 0 (4 ) ! 23 23 23. 4 ,  ! . 3 5 6 (4? ) 0 (4 ) !  23 23 23.

5 ,  !. 4 1 1 (0) 0 (4?  1) ! 23 23 23. 5 ,  !  6 ,  !. 4 1 8 (4? ) 0 (4  4 0 8? ) !  23 23 23. 6 ,  ! .
. 3 5 5 (0) 0 (4?  1) ! 23 23 23. 3 5 6 (4? ) 0 (4  4 0 8? ) ! 23 23 23. 8 0 4 0 8 0 1 0 8 0   5 0 1 0 2 0 6 0 3 0 6 0 5 0 6  R !. 23.  2  5  6 8 3  4  6 8 5 1 6  8.  '

(



 
.  1 † 0 .  0  † 1 dimana :

  ! 2 1 † 1 †  0 0  2 . 0  1 0.3 2 106 0.3 1 0  =. 1  0.09. 0 0 0.35 = 2197802.19 1 1 1 Jadi


 ! (0.1)( )( )( )(2197802.19)   6 23 23.
.


!
R Ê

 
R .

26.4 6.5  35.8 3.4. 2 12.75 5.7. 76.6  31.2. 59.4.


1  ! . R
. 17.9  1.7  35.8  2.85 1 5.7. 3.4 2.  38.3 15.6 76.6 15.6  29.2  31.2 19.15  7.8  38.3 14.6 15.6.  31.2 58.4 15.6  29.2. 76.6  31.2 58.4.  8.5  8.2 35.8  3.4   9.35  11.75  5.75 2    2.5 9.9  76.6 31.2   12.2  27.2 31.2  58.4 1.25  4.95 38.3  15.6    6.1 13.6  15.6 29.2   2.5 9.9  76.6 31.2   12.2  29.2 31.2  58.4 9.75 3.25 2.5  12.2   25.35  9.9 2.72   76.6  31.2 58.4 . Dengan cara yang sama di atas untuk integrasi Hummer ke-2 : 4 28.6 17.9  1.7 52.8 13 8.5 26.4 6.5. 12.75 33.8 36.5  2.85 1 13 25.5 9.35. 144  26  29 29.8 8 67.6 33. 401.4 26.1  62.8 57.2 73 2.5. 19.15  7.8 35.8  5.7  1.25. 14.6  3.4 2 6.1


2 ! 105.6 26 17. 51 18.7. R
 9.75. !. 1 1 dan ? ! 2 2. 82 11.75 4 99.3 4.95  13.6 16.4 23.5 3.25 25.35.  80.2 59   83 70.5   288  96.4   29.2 887  6.2 63.3    52.6  146  161.6 118    166 141   87  4.3    30.4 216   777.6 22  1000 .

26.4 6.5  39.8  25.2  22.1  7.3  27  17.8. 12.75  28.1  38.5  7.65  13  19.9  27. 108.6 54.6 38.7 25 73 37.6. 208.6 23.1 50.4 37.8 148.4. 19.15 7.8 26.5 16.2. 14.6 17.6 35.6


3  ! 51 26. 105.6. R
. menghitung matrik kekakuan struktur  

  adalah :  

  ! 11 0  22 0  33 dimana : 1 1 1 11 ! (0.1)( )( )( )( 2197802.19)


1  6 23 23 1 1 1  22 ! (0.1)( )( )( )(2197802.19)


2  6 27 27 1 1 1  33 ! (0.1)( )( )( )( 2197802.19)


3  6 21 21 jadi  

  adalah :.
12 12  ! 11 0  22 0 33 =. 8.5 9.35  30.5  14.7  9.25  7.9  21.5  10 9.75. 8.2 11 43.6  11.75 51.3 56.5   13.9  135  44.2    72.1  54.6  415.8  7.05  23.5  33.9    16.4  40.2  87.2   9.5  97  29    51.4  36  297.2 3.25 50.5 5.5   25.35 7.5 149.3   319  39  901.4 .

5.6 5.3 1.3. 2.58 0.24. 21.2. R
. 0.42 0.3 0.8  1.5 0.98  0.96 1.07 0.89 4.65 41.5 4.13 0.99 3.88 0.28 2.96. 2.07  0.59 0.61  1.5 10.18 4.36 3.85 20 1.35 2.14 2.37 1.04 14.8 1.31 15.4. 0.55 0.53 0.67 6.35  0.59 0.75 0.304 8.37  1.05 0.27  30.1 6.35   0.25 2.88 3.84 5.99  0.75  0.68 1.01 0.72   0.77  1.1 7.06 12.6  x 103   1.1 0.72 21.5 5.68  0.95 4.97 9.17 21.6  1.97 0.66  0.0037 0.604  5.13 1.59 25.2   71.9 4.29  4.29 178 . Setelah matrik kekakuan struktur diperoleh, perhitungan selanjutnya adalah menghitung gaya-gaya dalam pada nodal apabila elemen tersebut diberikan gaya.


.