Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

Teks penuh

(1)cc c .

(2) Suatu model matematik dari suatu phisik mencakup beberapa fungsi eksak, . () misalnya fungsi peralihan, kecepatan, temperatur dll. Terhadap fungsi eksak yang. tidak dikenal ini kemudian dilakukan suatu aproksimasi, sehingga fungsi tersebut dinamakan fungsi aproksimasi : ( ) ! ( ) Fungsi aproksimasi. . . () . Dimana perbedaannya :. ( ). merupakan kombinasi linier terhadap :. ( ) ! 1 ( )1 0 2 ( )2 0 ....... 0 ( ). (1). 1 G G G G ( ) ! 1 ( ) 2 ( )..... ( ) 2 = ÿ G. G G G. (2). dimana 1, 2 ,...., : adalah fungsi yang diketahui dan independen linier Kemudian kita tentukan bahwa fungsi aproksimasi eksak. . bertemu dengan fungsi. pada titik-titik tersebut : ( 1 ) !. . ( 1 ) !. ( 2 ) !. . ( 2 ) !. 1 2. .............................. ( ) !. . ( ) !. (3). . dengan demikian fungsi aproksimasi dapat ditulis : ( ) ! 1 ( ) 1 0 2 ( ). 2. 0 ....... 0 ( ). ( ) ! 1 ( ) 2 ( ) ««.. 3 ( ). . 1 G G G2 G = G G G G. catatan : -. fungsi P(x) adalah fungsi basis aproksimasi. -. fungsi N(x) adalah fungsi interpolasi. ÿ. (4).

(3) Misal. ( ,? ) pada elemen referensi dalam bentuk suatu kombinasi linier fungsi. independen yang dikenal 1 ( ,? ) , 2 ( ,? ) «,«, yang saling independen. Pemilihan fungsi 1 ( ,? ) adalah suatu operassi dasar dari metode elemen hingga. 1 G G G G ( ,? ) ! 1 ( ,? ) 2 ( ,? ) ... 2 ! ( ,? ) ÿ G G G G . (4). Basis polynomial untuk 1D : 2. ( ) ! 1. 3. .... . (5). Basis polynomial untuk 2D : Kita gunakan segitiga pascal sbb :. 1. - konstan ? ?. 2. ?2. 2. 3. - linier - quadratik. ?2. ?. - kubik. ?3. 4 3. ?. 2. ?2. Untuk quadratik lengakap : ( ,? ) ! 1. ?3. ?. ?4. 2. - quartik. ? ?2. !"" " Bila kita berikan niali-nilai variabel nodal pada persamaan (4) yaitu dengan memasukkan koordinat nodal, maka fungsi ( ,? ) adalah variabel nodal. . !. . ( ,? ) :.

(4) 1 1 ( G G ( G2 G 1 ! G G . G G 1 (. ÿ. atau. ,?1 ) 2 ( 1 ,?1 ) 2 ( 2 ,?2 ) 2 ,?2 ) 2 ( ,? ) ,? ). ... ( ... ( ... ... (. 1. ,?1 ) 1 G G 2 ,?2 ) G 2G G G G G ,? ) 1. ! ÿ. (6). (7). Bila kita lakukan invers maka diperoleh : ÿ ! . 1. ÿ. (8). # $% " & Vpabila kita antar persamaan (8) ke dalam persamaan (4) persamaan menjadi : ( ,? ) ! ( ,? ) . 1. Dimana :. ÿ. ! ( ,? ). ÿ. (9). ( ,? ) ! ( ,? ) . 1. Kita peroleh dengan cara yang sama untuk fungsi ½ . . ( ,? ) ! ( ,? ) ÿ ;. ( ,? ) ! ( ,? )ÿ. (10). "½. & ".

(5) . ! 1 ? . . ( 1 ,?1 ) ! ( 2 ,? 2 ). ( 2 ,? 2 ). 1 0 0 ! 1 1 0 $ 1 0 1. . . 1. 1 0 0 ! 1 1 0 . 1 0 1 . ! 1. . 2. 3. 1 ! 1 ? $. $. ! . 1. 2 ! $. 3 ! ? . . & ! 1 ? ? . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 $ ! 1 1 1 1. . 1 1 1 1 ! 1. . 2. 1 ! 1 Ê 4. 1 1 1 1 1 1 1 1. 4 ! 1. 3. 1 (1 )(1 ? ) 4 1 2 ! (1 0 )(1 ? ) 4. 1 (1 0 )(1 0 ? ) 4 1 4 ! (1 )(1 0 ? ) 4. 1 ! . 1 1 1 1 1 ! 4 1 1. 1 1. 3 !. '(()* ] Setelah persamaan (10) terbentuk kita dapat menghitung matrik Jacobian ] Dari geometri fungsi : ( ,? ) ! ( ,? ) ÿ ;. ] ! . ]11. ] 21. matrik Jacobian:. dimana :. ]11 !. ; . +( . ]12 ; ] 22 . ]12 !. R. . ( ,? ) ! ( ,? )ÿ. ; . (11). ] 21 !. ; ?. ] 22 !. ?.

(6) . . , . 0 R ! ........ . , . 0 , ...... ! 1, , . . . (12). dimana : , ! 11 , 0 12 ,? , ! 21 , 0 22 ,? ,(- Formulasi matrik kekakuan adalah sebagai berikut : Ê. 01 01. ! 61 61 R R det] . ?. (13). dimana : h = ketebalan elemen. = matrik bahan (Hook) . 0 1 1 1 ! 0 1 2 1 0 0. 2 . R. = matrik regangan peralihan. det] ! determinan matrik Jacobian. Deformasi ÿ ÿ didefinisikan sebagai variable nodal :. ÿ. !. ÿ . n adalah jumlah nodal pada elemen. dengan :. . ! .... ÿ. !. ÿ . 0 , 0 0. 0 . 0 . , . ... ! 1, .

(7) . dengan :. ! .... , . . 0. , . 0. . ... ! 1, . , ! 11 , 0 12 ,? , ! 21 , 0 22 ,?. M int ditulis dalam bentuk matriks : M int !. dan. 1 2. .

(8) ÿ .

(9) !

(10) 0

(11) Ê

(12) ! 6 . Ê.

(13) ! 6 . dalam kasus homogen isotrop : . 1 Y 0 . Y 1 ! 0 ; 12(1 Y 2 ) 1Y 0 0. 2 3. !

(14) . 1 0 . 0 1 . k = koefisien koreksi geser, nilainya 5/6 !. 2(1 0 Y ). matrik kekakuan

(15) diperoleh dengan intregrasi eksplisit atau, secara umum , dengan integrasi numeric tipe Gauss untuk kuadrilateral dan tipe Hammer untuk triangular..

(16) -"$".* *$

(17) /.

(18)

(19)

(20) 0c 1 1-( $cc$. .

(21) ( c-/c )" "2 3½ 1 0 2 0 3 ! 1 2"4½ 1 ! 2 ! 3 !. 1 4. . " """"½.

(22) . ! 1 . 1 0 2 . 2 0 3 3 ! 1 . 1 0 2 . 2 0 3 3. . """"" ½ 1 1 GG ! 1 G G . 1. 1 1 G G 3 2 3 G 3G . 1 2 2. ( ½ . 1 1 GG G G ! 2 G G G 3G . 1 1 G G 1 G G ½ 2 ! G G G 3G . / "½ 1 ! 1. 1 . 1 2 2. 1 3 3 . ½ . 1. 2 3 3 2 1 3 1 1 3 ! 2 . 1 2 2 1. 23 31 12. 32 13 21 . . /½ . ! ! 1 2 ! det 1. 1. 1 2 2. 1 3 !

(23) 2 3 3 2 ) 0 ( 3 1 1 3 ) 0 ( 1 2 2 1 ) 3 . 2 ! det! 21 31 0 31 21 ½.

(24) . . . ! ! . !

(25) !

(26) 2 2. . . . ".

(27) 1 , 2 , 3 "5"4""½.

(28) 1 ! 23 0 31 0 12 ÚÚ 3 2 2 1 . 1 32 0 13 0 21 ÚÚ ! 3 2 2 1. . " ½. . 1 23 !. 2 32. . 31 13. . 1 12 21 2 . 3 .

(29) 1 , 2 , 3 ½. . 1 1 .

(30) 1 , 2 , 3 ! 1 1 0 2 2 0 3 3 ! 1 , 2 , 3 2 !

(31) 1 , 2 , 3 2 . 3 . 3 . . 0. 2. 0. 2. . !. 1 1. . !. 1 1. 2 0. 3 3. 2 0. 3 3. 1 0 2 ! . 0 1 0. . 6 ( ). (). . . 0 2. . 3 0. . ".½. 1 G G G 1 G 0 G G G 2 G 3 G 2 G G 3 G G G G 3 G.

(32) ! ( ). . (). 23 1 0 ! 2 . 32. 0 32 23. 0 13 31. 31 0 13. 12 0 21. 1 G G 1 0 G G G G G2 G 21 2 12 G G G 3 G G G G 3 G. . ( ). !. /"".!"* ! . ! . Ê 0 ! 0 . (c----1 ( . *""½ () ! 6. $( ). . Ê. $ ( ) . "½ . $ ! "". . 6 . """½ . () !. Ê. 6. $( ). $ ( ) .

(33) . . 23 0. 1 31 6 2 4 0 12. 0. . (). ! . 32 23 13 31 . 21 . 12 . 0 32 0 13 0 21. 11. 12. 12. 22. 13. 23. 23 0. 31 !. 4 0 12. 0. Ê. 0 32 0 13 0 21. 23 23 0 33 32. 32 23 13 31 . 21 . 12 . 0 13 31. 12 0 21. 0 21 6 ( ) $ ( ) $ 12 . 23 23 0 33 32. 0 32 23. 31 0 13. 0 32 23. 31 0 13. 11. 12. 13. 12. 22. 13. 23. 13. 0 13 31. 12 0 21. 0 21 12 . ccc - 1 . / ( +

(34) - Kasus plane stress dan elemen T6 diminta untuk menghitung matrik kekakuan. pada titik integrasi Hammer ke-2, apabila diketahui data-data sebagai berikut : ? 5(0,1). 6(0,1/2). 1(0,0). 4(1/2,1/ 2). 2(1/2,0). 3(1,0). Diketahui titik-titik sumbu pada koordinat cartesian sebagai berikut: Nodal. 1. 2. 3. 4. 5. 6. X. 2. 4. 5. 4. 5. 4. Y. 4. 3. 1. 6. 8. 6.

(35)

(36) (u % & ?. Dari segitiga pascal didapat ! 1 1. 1 1 ! 1. 1 1. ! 1. 0 1 2 1 1 2 0 0. 2. 0 0 0 1 2 1 1 2. 3. 0 1 4 1 1 4 0. 0 1 4 0. 0. 0. 0 0 0 1 ; 4 1 1 4 . 0 0. 4. 5. 1. ?. 3 ! (2 1) ! 2. 2. ,. 2. ?2. 0 0 1 3 4 1. 3 0 0 ! 2 4 2 4 4 0. 0 0. 2. 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 4 0 4 0 2 4. 6 ! . 1. 1 ! (1 ? )(2 2 2? 1) ! 1 3 3? 0 4 ? 0 2 2 ! 4(1 ? ) ! 4 4. 2. 2. 0 2? 2. 4 ? 4 ! 4 ? ,. 6 ! 4(1 ? )? ! 4? 4 ? 4? 2 (. . 5 ! ? (2? 1) ! 2? 2 ?.

(37) ( ,? ) ! 1. ( ,? ) ! 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 1 G G G2 G G G G G 6 3 G4 G G5 G G G G 6 G. 5. 1 G G G2 G G G G G 6 3 G4 G G5 G G G G 6 G. ( ,? ) ! 1 1 0 2 2 0 3 3 0 4 4 0 5 5 0 6 6 ( ,? ) ! 11 0 22 0 33 0 44 0 55 0 66 ()* ] . ] ! . ]11. ] 21. ]12 ] 22 . ]11 !. ÿ ( ,? ) ! 5 4 . ]12 !. ÿ ( ,? ) ! (1 0 4 ) . ] 21 !. ÿ ( ,? ) ! 5 4? ?. ] 22 !. ÿ ( ,? ) !4 ?.

(38) Matrik Jacobian :. ] ! . 5 4 1 4 4 . 5 4? ! 0 ; ? ! 0.5 dan !. Untuk titik integrasi Hummer ke-2 :. 1 6. 5 1 Jadi : ] ! ; determinan matrik ] ! (5)(4) (3)( 1) ! 23. 3 4 1 Menentukan invers matrik jacobian : ] ! 11. 21 =. 1 4 1 23 3 5. # . . , . 0 R ! .......... . , . dimana : , ! 12 , 0 12 ,?. 12 1 int] ! 22 ]. R. . 0 , ... ! 1,6 , ; , ! 21 , 0 22 ,?. 1 , !. 4 1 5 (3 0 4? 0 4 ) 0 (3 0 4 0 4? ) ! 23 23 23. 1 , !. 3 5 2 (3 0 4? 0 4 ) 0 (3 0 4 0 4? ) ! 23 23 23. 2 , !. 4 1 8 (4 8 4? ) 0 (4 ) ! 23 23 23. 2 , ! 3 , !. 4 1 4 (4 1) 0 (0) ! 23 23 23. 3 , ! 4 , !. 3 5 6 (4 8 4? ) 0 (4 ) ! 23 23 23. 3 5 3 (4 1) 0 (0) ! 23 23 23. 4 1 8 (4? ) 0 (4 ) ! 23 23 23. 4 , ! . 3 5 6 (4? ) 0 (4 ) ! 23 23 23.

(39) 5 , !. 4 1 1 (0) 0 (4? 1) ! 23 23 23. 5 , ! 6 , !. 4 1 8 (4? ) 0 (4 4 0 8? ) ! 23 23 23. 6 , ! . . 3 5 5 (0) 0 (4? 1) ! 23 23 23. 3 5 6 (4? ) 0 (4 4 0 8? ) ! 23 23 23. 8 0 4 0 8 0 1 0 8 0 5 0 1 0 2 0 6 0 3 0 6 0 5 0 6 R !. 23. 2 5 6 8 3 4 6 8 5 1 6 8. '( . 1 0 . 0 1 dimana : ! 2 1 1 0 0 2 . 0 1 0.3 2 106 0.3 1 0 =. 1 0.09. 0 0 0.35 = 2197802.19 1 1 1 Jadi

(40) ! (0.1)( )( )( )(2197802.19) 6 23 23. .

(41) ! R Ê R .

(42) 26.4 6.5 35.8 3.4. 2 12.75 5.7. 76.6 31.2. 59.4.

(43) 1 ! . R. 17.9 1.7 35.8 2.85 1 5.7. 3.4 2. 38.3 15.6 76.6 15.6 29.2 31.2 19.15 7.8 38.3 14.6 15.6. 31.2 58.4 15.6 29.2. 76.6 31.2 58.4. 8.5 8.2 35.8 3.4 9.35 11.75 5.75 2 2.5 9.9 76.6 31.2 12.2 27.2 31.2 58.4 1.25 4.95 38.3 15.6 6.1 13.6 15.6 29.2 2.5 9.9 76.6 31.2 12.2 29.2 31.2 58.4 9.75 3.25 2.5 12.2 25.35 9.9 2.72 76.6 31.2 58.4 . Dengan cara yang sama di atas untuk integrasi Hummer ke-2 : 4 28.6 17.9 1.7 52.8 13 8.5 26.4 6.5. 12.75 33.8 36.5 2.85 1 13 25.5 9.35. 144 26 29 29.8 8 67.6 33. 401.4 26.1 62.8 57.2 73 2.5. 19.15 7.8 35.8 5.7 1.25. 14.6 3.4 2 6.1

(44) 2 ! 105.6 26 17. 51 18.7. R 9.75. !. 1 1 dan ? ! 2 2. 82 11.75 4 99.3 4.95 13.6 16.4 23.5 3.25 25.35. 80.2 59 83 70.5 288 96.4 29.2 887 6.2 63.3 52.6 146 161.6 118 166 141 87 4.3 30.4 216 777.6 22 1000 .

(45) 26.4 6.5 39.8 25.2 22.1 7.3 27 17.8. 12.75 28.1 38.5 7.65 13 19.9 27. 108.6 54.6 38.7 25 73 37.6. 208.6 23.1 50.4 37.8 148.4. 19.15 7.8 26.5 16.2. 14.6 17.6 35.6

(46) 3 ! 51 26. 105.6. R. menghitung matrik kekakuan struktur

(47) adalah :

(48) ! 11 0 22 0 33 dimana : 1 1 1 11 ! (0.1)( )( )( )( 2197802.19)

(49) 1 6 23 23 1 1 1 22 ! (0.1)( )( )( )(2197802.19)

(50) 2 6 27 27 1 1 1 33 ! (0.1)( )( )( )( 2197802.19)

(51) 3 6 21 21 jadi

(52) adalah :. 12 12 ! 11 0 22 0 33 =. 8.5 9.35 30.5 14.7 9.25 7.9 21.5 10 9.75. 8.2 11 43.6 11.75 51.3 56.5 13.9 135 44.2 72.1 54.6 415.8 7.05 23.5 33.9 16.4 40.2 87.2 9.5 97 29 51.4 36 297.2 3.25 50.5 5.5 25.35 7.5 149.3 319 39 901.4 .

(53) 5.6 5.3 1.3. 2.58 0.24. 21.2. R. 0.42 0.3 0.8 1.5 0.98 0.96 1.07 0.89 4.65 41.5 4.13 0.99 3.88 0.28 2.96. 2.07 0.59 0.61 1.5 10.18 4.36 3.85 20 1.35 2.14 2.37 1.04 14.8 1.31 15.4. 0.55 0.53 0.67 6.35 0.59 0.75 0.304 8.37 1.05 0.27 30.1 6.35 0.25 2.88 3.84 5.99 0.75 0.68 1.01 0.72 0.77 1.1 7.06 12.6 x 103 1.1 0.72 21.5 5.68 0.95 4.97 9.17 21.6 1.97 0.66 0.0037 0.604 5.13 1.59 25.2 71.9 4.29 4.29 178 . Setelah matrik kekakuan struktur diperoleh, perhitungan selanjutnya adalah menghitung gaya-gaya dalam pada nodal apabila elemen tersebut diberikan gaya. .

(54)