7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Bab

7.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Dalam bidang teknik sering dijumpai persamaan suatu fenomena alam yang dinyatakan dalam persamaan diferensial biasa (PDB)

Contoh:

♦ Problem nilai awal: y’ = f(x,y) dengan y(x0) = Y0

♦ Problem nilai batas: y” = g(x,y,y’) dimana a<x<b

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( γ γ b u b u B a u a u A

dengan A & B adalah matrik 2x2 dan 1 & 2 konstanta yg telah diketahui.

Taylor series

Taylor mengatakan bahwa suatu fungsi dengan sifat tertentu dapat dinyatakan sebagai

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

_... ! ... ! 2 ! 1 0 0 2 0 0 + ′ + ′′ + + + = f x n h x f h x f h x f x f n n atau

( )

( ) 0 0 0 2 0 0 ... ! ... ! 2 ! 1 n y h x x h y h y h y x y n n − + + + + ′′ + ′ + =

Deret ini akan digunakan dalam bab ini

Contoh: 0,

( )

0 1 2 1 = = − ′ y y y Secara analitis

∫

=

∫

= → = dx dy y dx y dy y dx dy 2 1 1 2 1 2 1 Jadi n y= x=c → y=ex2 +c 2 1 1 Jika _y

( )

0 =1 → 1=_e02 +_c → _c=0

Maka secara analitis _y =_ex2

Pers. Asli

( )

( )

( )

( )

8 1 0 2 1 ' 4 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 = ′′′ ′′′ = ′′′ = ′′ ′′ = ′′′ = ′ ′ = ′′ = = = ′ y y y y y y y y y x y y y Jadi

( )

... 384 1 48 1 8 1 2 1 1+ + 2 + 3 + 4 + = x x x x x y

Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler

Cara numeris untuk menyelesaikan problem nilai awal adalah diferensial hingga. Pada metoda diferensi hingga penyelesaian pendekatan didapat pada titik-titik hitung ... ... 2 1 0 <x < x < <xn < x

dan nilai pendekatan pada setiap xndiperoleh dengan menggunakan nilai-nilai yg didapat sebelumnya.

Ditinjau PDB: y′= f

( ) ( )

x,y, y x0 =Y0

Penyelesaian sesungguhnya ditulis Y(x), sehingga pers. diatas menjadi:

Y’(x) = f(x, Y(x)), Y(x0) = Y0 y x 2 8 1 2 1 1 x x y = + + 3 2 384 1 8 1 2 1 1 x x x y = + + + 2 / x e y = x y 2 1 1+ =

Penyelesaian pendekatannya ditulis y(x) dan nilai y(x0), y(x1), …, y(xn), … atau ditulis sebagai y0, y1, …, yn, … sebuah pias h〉0 digunakan untuk mendefinisikan titik-titik hitung

... , 1 , 0 0 + = = x jh j x_j

Jika akan diadakan perbandingan penyelesaian pendekatan untuk beberapa nilai h, maka yh(x) digunakan untuk menyatakan y(x) dengan pias h.

7.1.

Metoda Euler

Dengan deret Taylor hitung Y(xn+1) dengan menggunakan Y(xn)

( )

n

( )

n

( )

n Y

( )

n h x Y h x Y x Y ₊ = + ′ + ′′ξ 2 2 1 dengan xn ≤ξ ≤xn+1

Rumus Euler menjadi: y_n+1 = y_n +hf

(

x_n,y_n

)

n=0,1,2,...

dengan y0 = Y0

Kesalahan diskritisasi adalah

( )

n n Y

( )

n h y x Y ₊ − ₊ = ′′ξ 2 2 1 1 Contoh: PDB _{( )}

( )

x e x Y y y y′= , ₀ =1 → =

Rumus Euler uth h=0.2

n n n n y y y y ₊₁ = +0.2 =1.2 44 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 . . . y . y . . y . y = × = = = × = = Jika ditabelkan: h x yh(x) Yh(x) Yh(x)- yh(x) 0.2 0.4 1.44000 1.49182 0.05182 0.8 2.07360 2.22554 0.15194 1.2 2.98598 3.32012 0.33414 1.6 4.29982 4.95303 0.65321 2.0 6.19174 7.38906 1.19732 0.1 0.4 1.46410 1.49182 0.02772 0.8 2.14356 2.22554 0.08198 1.2 3.13843 3.32012 0.18169

h x yh(x) Yh(x) Yh(x)- yh(x)

1.6 4.59497 4.95303 0.35806

2.0 6.72750 7.38906 0.66156

Perhatikan bahwa kesalahan menurun ½ dari nilai pertama karena h dikecilkan ½ kali

7.2.

Metoda ‘Multi–Step’

Secara umum rumus langkah majemuk dapat ditulis sebagai:

(

)

∑

∑

= − =− − − + = + ≥ p j p j j n j n j j n j n a y h b f x y n p y 0 1 1 ,

Koefisien a₀,...,a_p,b₋₁,b₀,...,b_p adalah suatu konstanta, dan p≥0

Jika a_p ≠0 dan b_p ≠0, metoda ini disebut metoda langkah (p+1), karena (p+1) nilai pendekatan sebelumnya digunakan untuk menghitung yn+1. Nilai y ...,1, yp harus dihitung dengan cara lain.

Metoda Euler adalah metoda langkah tunggal karena p = 0, dan a0 =1, b−1 =0,

1

0 =

b .

Jika b−1 =0 maka Y(x_n+1) hanya terdapat pada ruas kiri, sehingga rumusnya disebut rumus eksplisit.

Jikab₋₁ ≠0, maka Y(xn+1) terdapat diruas kanan maupun kiri, sehingga disebut

rumus implisit.

Koefisien aj dan bj dapat dihitung dari

( )

j a i

( )

j b i m b ja a p j j p j i j i p j p j p j j j j ..., , 2 1 1 1 0 1 1 0 0 1 = = − + − = + − =

∑

∑

∑

∑

∑

= =− − = = =−

Rumus terakhir menjamin bahwa Y

( )

x dapat diderivikasikan

(

m+1

)

kali.

Jika a₀ =0, a₁ =1, b₋₁ =0, b₀ =2, maka didapat rumus untuk metoda titik tengah

(

n n

)

n

n y hf x y

Merupakan metoda langkah ganda yang explisit. Jika a₀ =1, 2 1 0 1 = = − b

b , maka didapat rumus trapesium yang implisit dan

merupakan metoda langkah tunggal:

(

) (

)

[

1 1

]

1 , , 2 1 + + + = n + n n + n n n y h f x y f x y y , n ≥ 0

7.2.1.

Metoda Trapesium

Metoda ini dapat pula dijabarkan dari:

Y’(t) = f(t, Y(t)) Diintegrasikan dari

[

xn,xn+1

]

( )

(

)

( ) ( )

[

(

( )

)

(

( )

)

]

( )

1 3 1 1 1 12 , , 2 1 ) ( , 1 1 + + + + − = + − ′′′ ≤ ≤ = ′

∫

+

∫

+ n n n n n n n n n n x x x x x x Y h x Y x f x Y x f h x Y x Y dt t Y t f dt t Y n n n n ξ ξ

sehingga pendekatannya menjadi

( )

(

)

(

( )

)

[

1 1

]

1 , , 2 1 + + + = n + n n + n n n y h f x Y x f x Y x y

Karena rumusnya implisit, maka yn+1 dapat dihitung dengan iterasi, jadi secara

umum: ( )

[

₍

₎

(

( )j

)

]

n n n n n j n y h f x y f x y y ₁1 , ₁, ₁ 2 1 + + + + = + + j=0, 1, … Langkah-langkah hitungan:

1. xn,yn telah diketahui/dihitung pada langkah sebelumnya 2. ( )0

1

+

n

y diprakirakan dgn rumus eksplisit, misalkan

( )

₍

₎

n n n n y hf x y y0+1 = + , 3. ( )0 1 + n

y dimasukkan kedalam ruas kanan sehingga ( )1 1

+

n

y dapat dihitung 4. langkah 2 diulang s/d ketelitian yang dikehendaki

Walaupun secara umum dapat diselesaikan dengan iterasi, tetapi mungkin dapat diselesaikan dengan cara lain atau bahkan tanpa iterasi tergantung dari ƒ(x,y). Contoh: y’= y y(0) = 1

Karena ƒ(x,y) = y, maka 1

(

1

)

2 1 + + = n + n + n n y h y y y

n n y h h y 2 1 2 1 1 − + = + Untuk h yn yn 1.2222yn 9 . 0 1 . 1 2 . 0 → ₁ = = = ₊ 49383 . 1 2222 . 1 2222 . 1 2222 . 1 1 2222 . 1 2222 . 1 1 2 0 1 = × = = × = = y y y y Jika ditabelkan: x yh(x) Yh(x) Yh(x)- yh(x) 0.4 1.49383 1.49182 -0.00200 0.8 2.23152 2.22554 -0.00598 1.2 3.33350 3.32012 -0.01339 1.6 4.97968 4.95303 -0.02665 2.0 7.43878 7.38906 -0.04972

7.3.

Metoda Runge-Kutta (RK)

Metoda Runge-Kutta merupakan metoda langkah tunggal yang lebih teliti dibandingkan metoda Euler.

Semua metoda RK dapat ditulis sebagai:

(

x y h

)

h y

y_i+1 = ₁ + Φ _i, _i,

dengan Φ

(

x_i,y_i,h

)

disebut fungsi penambah

7.3.1.

Metoda RK derajat dua

2 1 bk ak + = Φ dengan k1 = f

(

xi,yi

)

(

)

(

)

(

i i

)

i i i i y ph,qhk x f y ,y x ph,qhf x f k + + = + + = 1 2

dimana a,b,p,q akan ditentukan kemudian. Ditinjau deret Taylor untuk 2 variabel (x,y):

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

2

( )

[

(

)

3

]

2 , 2 1 , , 2 1 , , , , s r O y x f s y x rsf y x f r y x sf y x rf y x f s y r x f yy xy xx x x + + + + + + + = + +

(

)

(

)

(

)

( )

2 1 2 f x ,y phf x ,y k qhf x,y Oh k = _{i i} + _{x i i} + _{y i i} + ∴ Jadi

(

)

(

)

(

)

[

i i i i

]

[

x

(

i i

)

(

i i

) (

y i i

)

]

i i i i i ,y x f ,y x bqf ,y x pbf h ,y x bf ,y x af h y ,h ,y x hf y y + + + + = + = + 2 1 (A) Dengan deret Taylor:

(

)

(

)

[

]

(

_{i i}

)

[

_x

(

_{i i}

) (

_{i i}

) (

_{y i i}

)

]

i y i i i i i x i i i i ,y x f ,y x f ,y x f h ,y x hf y y y y h y h y ... ,y x y ! h ,y x y h y y + + + = ′ ′ + ′′ + ′ + = + ′ + ′ + = + 2 2 2 2 2 2 1 (B) 2 1 2 1_, , 1 = = = + → =B a b bp bq A

Tidak dapat diselesaikan karena hanya ada 3 persamaan dengan 4 bilangan anu yaitu a,b,p,q. Biasanya nilai b adalah ½ atau 1.

♦ Untuk b = ½, a = ½, p =q = 1

(

,

)

{ , ( , )}] [ 2 Euler metoda dgn dihitung 1 di slope 1 utk Euler di slope 1 _14444244443 48 47 6 43 42 1 + + + = + + + + i x i y i i i i i x i i i i f x y f x h y hf x y h y y (C)

Jadi metoda RK dapat dipandang sebagai metoda ‘predictor-corrector’ 1. Langkah predictor:

a. prakirakan yi+1dengan metoda Euler

b. slope (y’) dititik

(

xi+1,yi+1

)

adalah f

(

xi+1,yi+1

)

2. Langkah corrector:

a. hitung slope (y’) dititik (xi, yi) yaitu f(xi, yi) b. hitung slope rerata = (slope 1.b + slope 2.a)/2 c. hitung yi+1 = yi + h x hasil 2.b ♦ Untuk b = 1, a = 0, p = q = ½

(

)

(

i i i i

)

i i y hf x h y hf x y y₊ = + + +₂1 + 2 1 1 ,

7.3.2.

Metoda RK berderajat tiga

[

]

(

)

(

)

(

2 1

)

3 1 2 1 2 2 1 3 2 1 6 1 1 2 , , , 4 hk hk y h x f k hk y x f k y x f k k k k h y y i i i h i i i i i − + + = + = = + + + = +

7.3.3.

Metoda RK berderajat empat

7.3.3.1.

Metoda Pertama

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 3

)

1 2 1 4 2 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 4 3 2 1 6 1 , , , , 2 2 hk y h x f k hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k k k y y i i i i i i i i h i i + + = + + = + + = = + + + + = +

7.3.3.2.

Metoda Kedua

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2 3

)

4 2 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 1 4 3 2 1 8 1 , , , , 3 3 hk hk hk y h x f k hk hk y h x f k hk y x f k y x f k k k k k y y i i i i i h i i i h i i + − + + = + − + = + + = = + + + + = +

7.3.3.3.

Metoda Ketiga

Metoda inilah yang paling banyak digunakan

(

) (

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

₂ 3

)

1 2 2 1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 4 3 2 1 6 1 1 1 , 1 1 2 1 , , , 2 2 2 2 hk hk y h x f k hk hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k k k h y y i i i i i i i i i i + + − + = − + + − + + = + + = = + − + − + + = + Contoh: y′= ₂1 y _y

( )

₀ =₁ Ú eksak _Y

( )

_x =_ex2

( )

1 = e12=1.648721271 Y Diselesaikan dengan RK4: f

( )

x_,y = ₂1Y

(

)

( )

2 1 2 1 0 0 1 = f x ,y = f 0,1 = ×1= k

(

)

(

)

( )

8 5 4 5 2 1 4 5 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2 0 11 1 = = = + + = + + = . , f . . , . f hk h,y x f k

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )( )

[

1 1 2 1 1 1

]

064331 1 2 1 8 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 2 1 0 3 . hk hk h,y x f k = − + + − + = − + + − + + =

(

)

(

)

( )( )

(

)

( )(

)

[

]

( ) ( )

1 0

[

(

2 2

)

(

064431

)

0828125

]

16484375 828125 0 64331 0 1 1 1 1 1 2 1 6 1 2 1 8 5 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0 0 4 . . . y y . . hk hk h,y x f k = + + + + = = + + − = + + − + =

7.4.

Metoda ‘Predictor-Corrector’

Metoda langkah majemuk berdasarkan rumus integrasi. Secara umum metoda ini mengintegrasi PDB pada interval [xi-k, xi+1] sebagai berikut:

( )

( )

( )

∫

∫

∫

+ − + − + − + = = = ′ − + 1 1 1 , , , 1 i k i i k i i k i x x k i i x x y y dx y x f y y dx y x f dy y x f y

f(x, y) didekati polinomial derajat r,

( )

∑

= = Φ r j j jx a x 0

Integrasi terbuka dan beda terbagi mundur menghasilkan: ♦ untuk k = 0, r = 3

(

1 2 3

)

24 1 55 59 − 37 − 9 − + = + i − i + i − i h i i y f f f f y O(h5₎ ♦ untuk k = 1, r = 1 i i i y hf y₊₁ = ₋₁+2 O(h3₎ ♦ untuk k = 3, r = 3

(

1 1 2

)

3 4 3 1 i 2 2 y₊ = y_i− + h f_i − f_i− + f₊ (I) O(h5₎ ♦ untuk k = 5, r = 5

(

1 2 3 4

)

10 3 5 1 − 11 14 − 26 − 14 − 11 − + = i + i − i + i − i + i i y h f f f f f y O(h7₎

Integrasi tertutup dan beda terbagi mundur menjadi: ♦ untuk k = 0, r = 3

(

1 1 2

)

24 1 9 + 19 5 − − + = + i + i − i + i h i i y f f f f y O(h5₎ ♦ untuk k = 5, r = 5

(

1 1

)

3 1 1 − + 4 − + = i +h i + i + i i y f f f y (II) O(h5₎

♦ untuk k = 3, r = 5

(

1 1 2 3

)

45 2 3 1 − 7 + 32 12 − 7 − + = + i + + i + i h i i y f f f f y O(h7₎

Kesulitan metoda langkah majemuk adalah pada saat permulaan yi−k belum terhitung sehingga harus harus dihitung dengan cara lain, misalnya metoda Euler. Dari hasil di atas tampak bahwa integrasi terbuka memberikan rumus eksplisit; sehingga hitungan tidak menggunakan iterasi. Integrasi tertutup menghasilkan rumus implisit, sehingga membutuhkan iterasi.

Walaupun menggunakan iterasi, integrasi tertutup lebih disukai karena ketelitiannya lebih tinggi.

Contoh:

Pada (I) kesalahan: 5 (4)

( )

ξ

15 14 f h xi−3 ≤ξ ≤ xi+1 (II) kesalahan: 5 (4)

( )

ξ 90 1 f h − xi−3 ≤ξ ≤ xi+1

♦ Rumus Adam-Bashforth (eksplisit) 1. Yn+ =Yn +hYn′+ h Y′′

( )

ξn 2 2 1 1 2.

[

n

]

( )

( )

n h n n Y Y Y h Y Y ₁₂5 3 3 ξ 1 2 1 = + 3 ′− ′− + + 3.

[

n n n

]

( )

( )

n h n n Y Y Y Y h Y Y ₈3 4 4 ξ 2 1 12 1 = + 23 ′−16 ′− +5 ′− + + 4.

[

n n n n

]

( )

( )

n h n n Y Y Y Y Y h Y Y 5 5 ξ 720 251 3 2 1 24 1 = + 55 ′−59 ′− +37 ′− −9 ′− + +

♦ Rumus Adam – Moulton (implisit) 1. Y_n+ =Y_n +hY_n′₊ −1₂h2Y′′

( )

ζ_n 1 1 2. h

[

_{n n}

]

( )

( )

_n n n Y Y Y h Y Y ₁₂1 3 3 ζ 1 2 1 = + ′+ + ′ − + 3. h

[

_{n n n}

]

( )

( )

_n n n Y Y Y Y h Y Y ₁₂1 4 4 ζ 1 1 12 1 = + 5 ′+ +8 ′− ′− − + 4. h

[

_{n n n n}

]

( )

( )

_n n n Y Y Y Y Y Y Y ₇₂₀19 5 ζ 2 1 1 24 1 = + 9 ′+ +19 ′−5 ′− + ′− − +

7.4.1.

Algoritma ‘Predictor-Corrector

Rumus A-M membutuhkan penyelesaian iterasi, sedangkan rumus A-B tidak, tetapi A-M ketelitiannya lebih tinggi. Algoritma ‘predictor-corrector’ berusaha menggabungkan keuntungan kedua rumus diatas, sebagai berikut:

1. Gunakan rumus A-B untuk memperkirakan Yn+1 (predictor; rumus A-B)

2. Hitung Yn+₁ memakai rumus A-M tanpa iterasi dengan memakai Yn+1 nilai

dari a (corrector; rumusA-M) Contoh: 1. A-B-M derajat 4: a. Predictor A-B

[

1 2 3

]

1 55 59 37 9 24 − − − + = n + n − n + n − n n f f f f h y y b. Corrector A-B

[

1 1 2

]

1 9 19 5 24 + − − + = n + n − n− n + n n f f f f h y y

2. Rumus Milne derajat 4: a. Predictor

(

1 2

)

3 1 2 2 3 4 − − − + = n + n − n + n n f f f h y y b. Corrector

(

1 1

)

1 1 4 3 + − − + = n + n + n + n n f f f h y y Contoh penggunaan: 0 2 1 ₌ − y dx dy y(0)=1 å hitung y(1) = ? Penyelesaiaan:

( )

x y y f y y ₂1 2 1 → _, = =

′ Catatan: solusi eksak _Y =_ex2

Digunakan h = 0.25 Euler yn+1 = yn +hfn i xi yi f(xi,yi) n-3 0.00 1.0000 0.5000 n-2 0.25 1.1250 0.5625 n-1 0.50 1.2656 0.6328 n 0.75 1.4238 0.7119 n+1 1.00 1.6018 0.8009 A – B –4:

[

]

(

)

(

)

(

) (

)

[

]

) (predictor 6127 . 1 18887 . 0 4238 . 1 50 . 0 9 5625 . 0 37 6328 . 0 59 7119 . 0 55 9 37 59 55 24 24 . 0 3 2 1 24 1 = + = − + − + = − + − + = _{− − −} + n n n n n h n n y f f f f y y A-B-M-4:

[

]

(

)

(

) (

)

[

]

corrector) -(predictor 6132 . 1 1894 . 0 4238 . 1 5625 . 0 6328 . 0 5 7119 . 0 19 8063 . 0 9 4238 . 1 5 19 9 8063 . 0 6127 . 1 24 25 . 0 2 1 1 24 1 2 1 1 2 1 1 = + = + − + + = + − + + = = × = = − − + + + + n n n n h n n n n f f f f y y y f A-M-4: Iterasi 2:

[

(

)

(

) (

)

]

613216 . 0 5625 . 0 6328 . 0 5 7119 . 0 19 8066 . 0 9 4238 . 1 8066 . 0 6132 . 1 24 25 . 0 1 2 1 1 = + − + + = = × = + + n n y f Iterasi 3: M 613217 . 1 8066 . 0 1 1 = = + + n n y f Iterasi 9: 613217 . 1 80661 . 0 1 1 = = + + n n y f

Tampak bahwa algoritma ‘predictor-corrector sudah mencukupi dibandingkan dengan iterasi.

Tabel hasil

x ex/2 _{Euler A-B-4 A-B-M-4}

0,00 1,0000 1,0000 - - 0,25 1,13315 1,1250 - - 0,50 1,28403 1,2656 - - 0,75 1,45499 1,4238 - - 1,00 1,64872 1,6018 1,6127 1,6132 -2,846% -2,185% -2,154%

Untuk latihan: hitung y(1) = ? dengan h = 0,125, bandingkan dengan hasil

(

)

DAFTAR PUSTAKA

Carnahan, Brice, H.A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969.

Spiegel, R. Murray, Theory and Problems of Statistics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill International Book Company, Singapore, 1981.

Al-Khafaji, Amir Wahdi, John R.Tooley, Numerical Methods in Engineering Practice, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1986.

Anonim, fx–7000G Owner’s Manual, CASIO®

Atkinson, Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989.

James, M.L., G.M. Smith, J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital Computation with Fortran and CSMP, 2nd _{Edition, Harper International}