Metode Kuantitatif Manajemen, Kelompok 5, MB IPB E49, 2014 OPERATION RESEARCH - TRANSPORTATION MODELS. Presented by Group 5 E49

(1)

0

OPERATION RESEARCH - TRANSPORTATION MODELS

Presented by Group 5 E49

(2)

SOAL-JAWAB PEMODELAN TRANSPORTASI DENGAN STUDI KASUS DISTRIBUSI KOMODITI GANDUM, BARLEY

DAN OAT DI NEGARA EROPA MENGGUNAKAN METODE NORTH-WEST CORNER DAN MODIFIED DISTRIBUTION

TUGAS MATA KULIAH METODE KUANTITATIF MANAJEMEN DOSEN : Prof. Dr. Ir. BONAR M. SINAGA, MA

DISUSUN OLEH : [KELOMPOK 5 – E49]

A.M. HERI SAKTIYANTO P056132632.49E

FEBRIANTO ARIF WIBOWO P056132742.49E

FITRIANA PURNAMASARI P056132762.49E

HARYA BUNTALA KOOSTANTO P056132772.49E

HUSNUL INSAN P056132782.49E

SAFITRI LARASATI P056132922.49E

YOGI SYAMRIADI P056132972.49E

PROGRAM PASCASARJANA MANAJEMEN DAN BISNIS INSTITUT PERTANIAN BOGOR

JANUARI 2014

(3)

MODEL TRANSPORTASI

 Model Transportasi merupakan perluasan dari persoalan Linear Programming yaitu suatu model jaringan yang mengatur distribusi produk secara optimal dan digunakan untuk penentuan rencana biaya minimum (minimum cost) untuk transportasi (pengangkutan) single commodity dari sejumlah lokasi sumber (sources) seperti pabrik, lokasi penambangan, pelabuhan, dan sebagainya ke sejumlah lokasi tujuan (destinations) seperti gudang, pusat distribusi, wilayah pemasaran, dan sebagainya.

 Model Transportasi dapat juga digunakan untuk persoalan inventory controll, employment schedulling, personal assignment, dan sebagainya.

 Agar suatu masalah transportasi dapat dibuat model transportasi dan tabel transportasinya, maka masalah transportasi tersebut harus memiliki data mengenai tingkat supply atau kapasitas setiap lokasi sumber, tingkat demand setiap lokasi tujuan, dan biaya transportasi per unit komoditas dari setiap lokasi sumber ke lokasi tujuan.

 Karena hanya terdiri dari satu komoditi (single commodity), maka suatu lokasi tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu lokasi sumber. Tujuan dari model transportasi adalah menentukan jumlah yang dapat dikirim dari setiap lokasi sumber ke setiap lokasi tujuan yang memberikan total biaya transportasi minimum.

TIPE-TIPE MODEL TRANSPORTASI

Terdapat 3 tipe kasus model transportasi dimana untuk menyelesaikan pemodelan tersebut, diperlukan adanya tambahan variabel dummy sebagai berikut :

 Jumlah Supply (Qs) = Jumlah Demand (Qd)

Bila :



 m

i

a

i 1

=



 n

j

b

j 1

Maka buatlah tabel/matriks model transportasi dengan mencantumkan beberapa data berikut :

- Daerah asal & kapasitas produksi/supply masing-masing daerah - Daerah tujuan & kapasitas daya serap/demand masing-masing daerah - Biaya transportasi per unit untuk masing-masing rute

MATERI PENGANTAR

(4)

Ke

Dari M1 M2 M3 SUPPLY

(ai)

P1 6

X11

8 X12

10 X13

150

P2 7

X21

11 X22

11 X23

175

P3 4

X₃₁

5 X₃₂

12

X₃₃ 275

DEMAND

(b_j) 200 100 300

a

_i

= b

_j

600 = 600

 Jumlah Supply (Qs) > Jumlah Demand (Qd)

Bila :



 m

i

a

i 1

 

 n

j

b

j 1

- Ciptakan variable dummy daerah tujuan, sebagai interpretasi untuk jumlah supply yg tidak ditransportasikan pada masing-masing daerah asal.

- Biaya transportasi per unit menuju rute dummy ini diganti dengan biaya penyimpanan pada masing-masing daerah asal (≥ 0)

Ke

(ai)

P1 6

X₁₁

8 X₁₂

10

X₁₃ 200

P2 7

X21

11 X22

11 X23

175

P3 4

X31

5 X32

12 X33

275

DEMAND

(bj) 200 100 300

a

_i

> b

_j

650 > 600

(5)

Ke

Dari M1 M2 M3 DUMMY SUPPLY

(ai)

P1 6

X11

8 X12

10 X13

C₁₄ X14

200

P2 7

X21

11 X22

11 X23

C₂₄ X24

175

P3 4

X₃₁

5 X₃₂

12 X₃₃

C34

X₃₄ 275 DEMAND

(b_j) 200 100 300 50

a

_i

= b

_j

650 = 650

 Jumlah Supply (Qs) < Jumlah Demand (Qd)

Bila :



 m

i

a

i 1

< 

 n

j

b

j 1

- Ciptakan variable dummy daerah asal, sebagai interpretasi untuk jumlah demand yg tidak dapat dipenuhi pada masing-masing daerah tujuan.

- Biaya transportasi per unit dari rute dummy ini diganti dengan biaya pinalti/denda akibat tidak dipenuhinya demand pada masing-masing daerah tujuan (≥ 0)

Ke

(ai)

P1 6

X11

8 X12

10 X13

150

P2 7

X21

11 X22

11 X23

175

P3 4

X₃₁

5 X₃₂

12

X₃₃ 275

DEMAND

(b_j) 200 180 300

a

_i

< b

_j

600 > 680

(6)

Ke

(ai)

P1 6

X11

8 X12

10 X13

150

P2 7

X21

11 X22

11 X23

175

P3 4

X₃₁

5 X₃₂

12

X₃₃ 275

DUMMY C₄₁

X₄₁

C₄₂ X₄₂

C₄₃

X₄₃ 80

DEMAND

(b_j) 200 180 300

a

_i

= b

_j

680 = 680

SOLUSI MODEL TRANSPORTASI

Terdapat 3 metode penentuan solusi awal yang layak (Initial Basic Feasible Solution) untuk model transportasi yang sudah berada dalam kondisi seimbang, dimana jumlah supply sama dengan jumlah demand, yaitu :

1. North-West Corner Method 2. Minimum Cell Cost Method 3. Vogel’s Aproximation Method

CEK OPTIMALITAS

Solusi yang di dapat dari ketiga metode di atas merupakan solusi yang layak tapi belum tentu merupakan solusi yang optimal. Untuk menentukan solusi optimal pada pemodelan transportasi, maka perlu dilakukan perhitungan lebih lanjut melalui cek optimalitas.

Syarat

Jumlah sel yang terisi = (m + n) – 1

Dimana

m = Jumlah baris tabel transportasi n = Jumlah kolom tabel transportasi

(7)

Cek optimalitas dapat dilakukan dengan 2 metode berikut : 1. Stepping-Stone Solution Method

2. Modified Distribution Method (MODI)

Pada makalah kali ini, metode yg akan digunakan adalah North-West Corner Method dengan penyempurnaan tahap demi tahap untuk memperoleh solusi optimal menggunakan metode MODI (Modified Distribution).

METODE NORTH-WEST CORNER

Metode North-West Corner menggunakan algoritma sebagai berikut : (1) Pengisian sel dimulai dari sudut kiri atas tabel (X11)

(2) Tentukan nilai paling minimum antara a1 & b1 pada X11, kemudian isi sebagai nilai X11

(3) Lakukan pengecekan jumlah supply & demand untuk X11, jika jumlah supply belum terpenuhi sesuai jumlah maksimal maka pengisian sel berlanjut ke sel sebaris berikutnya (X12), namun jika jumlah demand yg belum terpenuhi maka pengisian sel berlanjut ke sel sekolom berikutnya (X21).

(4) Ulangi langkah (2) dan (3) hingga seluruh jumlah supply dan demand terpenuhi dengan kondisi seimbang (

a

_i

= b

_j).

Contoh

PABRIK DISTRIBUTOR

SUPPLY (a_i) DENVER MIAMI

Los Angeles 40

100

50 100

Detroit 100

75

70

75 150

New Orleans 60 80

50 50

DEMAND (bj) 175 125 300

Total Biaya = 100(40) + 75(100) + 75(70) + 50(80)

= 4000 + 7500 + 5250 + 4000

= 20750

(8)

METODE MODIFIED DISTRIBUTION (MODI)

Metode MODI (Modified Distribution) adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (total biaya transportasi minimum). Metode ini bersifat eksak dan juga disebut sebagai metode multiplier, karena dalam penghitungannya menggunakan multiplier, yaitu multiplier baris (u_i) dan multiplier kolom (v_j).

Metode MODI menggunakan algoritma sebagai berikut :

(1) Menentukan u_i dan v_j dengan memperhatikan basic variable, yaitu sel (kotak) yang ada isinya dan menggunakan rumus

U

i

+ V

j

= C

ij

(2) Menentukan indeks perbaikan, yaitu dengan memperhatikan sel (kotak) yang kosong dan dengan menggunakan rumus Indeks Perbaikan (

K

ij) =

C

ij

– U

i

– V

j

(3) Isilah sel kosong yang mempunyai Indeks Perbaikan negatif yang dimulai dari sel kosong dengan indeks perbaikan negatif terbesar

(4) Ulangi langkah (1) s/d (3), jika Indeks Perbaikan telah positif semua berarti solusi optimal telah tercapai dan tidak ada sel kosong yang harus diisi.

Contoh

SUPPLY (a_i) DENVER MIAMI

Los Angeles 40

100

50 100

Detroit 100

75

70

75 150

New Orleans 60 80

50 50

DEMAND (bj) 175 125 300

Langkah-Langkah Penyelesaian

(1) Hitung nilai setiap U_i dan V_j dengan memisalkan U₁ = 0

Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai Ui, Vj sebagai berikut :

U

i

+ V

j

= C

ij

C₁₁ = U₁+ V₁ = 40  U₁ = 0  V₁ = 40 C₂₁ = U₂ + V₁ = 100  V₁ = 40  U₂ = 60 C₂₂ = U₂ + V₂ = 70  U₂ = 60  V₂ = 10 C₃₂ = U₃ + V₂ = 80  V₂ = 10  U₃ = 70

(9)

Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai Ui, Vj sebagai berikut : Indeks Perbaikan (

K

ij) =

C

ij

– U

i

– V

j

K₁₂ = C₁₂ – U₁ – V₂= 50 – 0 – 10 = 40 K31 = C31 – U3 – V1= 60 – 70 – 40 = -50

(2) Pilih sel kosong dengan indeks perbaikan yang bernilai negatif Titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeksnya :

 Bertanda negatif

 Angkanya terbesar

Maka yg dipilih adalah sel K₃₁ :

K12 = C12 – U1 – V2 = 50 – 0 – 10 = 40 K31 = C31 – U3 – V1 = 60 – 70 – 40 = -50

(3) Berikan penanda positif/negatif

- Tanda positif (+) pada sel terpilih (X31)

- Tanda negatif (-) pada sel Xij terdekat yang mempunyai isi dan sebaris (X32) - Tanda negatif (-) pada sel Xij terdekat yang mempunyai isi dan sekolom (X21)

- Tanda positif (+) pada sel Xij terdekat yang mempunyai isi dengan posisi sebaris atau sekolom dengan 2 Xij yang bertanda negatif sebelumnya (X22)

SUPPLY (a_i) U_i

DENVER MIAMI

Los Angeles 40

100

50 100 U1 = 0

Detroit

100 75

(-)

70 75

(+)

150 U2 = 60

New Orleans

60 (+)

80 50

(-)

50 U3 = 70

DEMAND (bj) 175 125 300

Vj V₁ = 40 V₂ = 10

(4) Pindahkanlah alokasi dari yang bertanda negatif ke yang bertanda positif (berlawanan dengan arah jarum jam) sebanyak isi terkecil dari yang bertanda negatif

(10)

Yang bertanda negatif memiliki isi 75 (X21) & 50 (X32), maka pilihlah 50 (X32).

SUPPLY (ai)

Los Angeles 40

100

50 100

Detroit

100 75 25

(-)

70 75 125

(+)

150

New Orleans

60 50

(+)

80 50

(-)

50

DEMAND (b_j) 175 125 300

(5) Ulangi langkah (1), (2), (3) dan (4) hingga pada langkah (2) sudah tidak didapat lagi indeks perbaikan bernilai negatif

SUPPLY (a_i) U_i

Los Angeles 40

100

50 100 U1 = 0

Detroit 100

25

70

125 150 U2 = 60

New Orleans 60

50

80 50 U₃ = 20

DEMAND (b_j) 175 125 300

V_j V1 = 40 V2 = 10

Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U_i, V_j sebagai berikut : C₁₁ = U₁+ V₁ = 40  U₁ = 0  V₁ = 40

C₂₁ = U₂+ V₁ = 100  V₁ = 40  U₂ = 60 C₂₂ = U₂+ V₂ = 70  U₂ = 60  V₂ = 10 C₃₁ = U₃+ V₁ = 60  V₁ = 40  U₃ = 20

Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U_i, V_j sebagai berikut : K₁₂ = C₁₂ – U₁ – V₂= 50 – 0 – 10 = 40

K32 = C32 – U3 – V2= 80 – 20 – 10 = 50

Karena harga Kij sudah tidak ada yang negatif, maka distrusi tersebut sudah optimal.

(11)

Maka persamaan linear fungsi tujuan & kendalanya menjadi sebagai berikut :

Fungsi Tujuan

Minimum Z = (C11) X11 + (C21) X21 + (C22) X22 + (C31) X31 Minimum Z = 40X₁₁ + 100X₂₁ + 70X₂₂ + 60X₃₁

Minimum Z = 40 (100) + 100 (25) + 70 (125) + 60 (50) Minimum Z = 4000 + 2500 + 8750 + 3000

Minimum Z = 18250

Fungsi Kendala Pabrik (1) X₁₁ + X₁₂ ≤ 100 (2) X21 + X22 ≤ 150

(3) X₃₁ + X₃₂ ≤ 50

Fungsi Kendala Gudang (1) X11 + X21 ≤ 175 (2) X12 + X22 ≤ 125

Kendala Non-Negatif

X11, X12, X21, X22, X31, X32 ≥ 0

(12)

SOAL

Andaikan Inggris, Prancis dan Spanyol memproduksi semua kebutuhan dunia akan gandum, barley dan oat. Dibutuhkan lahan pertanian 50 juta hektar untuk memproduksi gandum guna memenuhi permintaan dunia. Sedangkan untuk memproduksi barley dibutuhkan lahan seluas 110 juta hektar, dan untuk memproduksi oat dibutuhkan lahan seluas 40 juta hektar. Luas lahan pertanian yang dapat digunakan untuk memproduksi ketiga jenis tanaman pangan tersebut di Inggris, Prancis dan Spanyol berturut-turut 90 juta hektar, 60 juta hektar dan 50 juta hektar.

Jumlah jam kerja untuk mengerjakan 1 hektar lahan gandum di Inggris, Prancis dan Spanyol berturut-turut adalah 4, 3 dan 5. Sedang untuk mengerjakan 1 hektar lahan barley dibutuhkan 1, 5 dan 2. Dan untuk mengerjakan 1 hektar lahan oat dibutuhkan 2, 5 dan 4 jam kerja (berturut-turut di Inggris, Prancis dan Spanyol).

Upah kerja perjam dalam mengerjakan lahan gandum di Inggris, Prancis dan Spanyol berturut-turut adalah $5.00, $5.00 dan $3.00. Sedangkan untuk mengerjakan lahan barley diberikan upah $5.00, $4.00 dan $5.00 per jam, dan untuk mangerjakan lahan oat adalah

$4.00, $2.00 dan $4.75 per jam.

Masalhnya adalah bagaimana mengalokasikan penggunaan lahan di tiap negara tersebut untuk memenuhi kebutuhan pangan dunia dan untuk meminimumkan upah kerja total yang harus dibayarkan.

SOAL - JAWAB

(13)

JAWAB

Perhitungan Upah Kerja

Untuk mengerjakan lahan gandum per hektar

 di Inggris : 4 jam x $5.00/jam = $ 20.00

 di Prancis : 3 jam x $5.00/jam = $ 15.00

 di Spanyol : 5 jam x $3.00/jam = $ 25.00

Untuk mengerjakan lahan barley per hektar

 di Inggris : 1 jam x $5.00/jam = $5.00

 di Prancis : 5 jam x $4.00/jam = $20.00

 di Spanyol : 2 jam x $5.00/jam = $10.00

Untuk mengerjakan lahan oat per hektar

 di Inggris : 2 jam x $4.00/jam = $8.00

 di Prancis : 5 jam x $2.00/jam = $10.00

 di Spanyol : 4 jam x $4.75/jam = $19.00

Berdasarkan hasil-hasil perhitungan diatas, maka diperoleh tabel biaya transportasi seperti berikut ini :

Komoditi

Negara Gandum Barley Oat

Inggris 20 5 8

Prancis 15 20 10

Spanyol 25 10 19

Langkah selanjutnya :

 Periksa dulu apakah Total Demand (Qd) dengan Total Supply (Qs) sama atau tidak

 Jika Qd = Qs, maka dikatakan Tabel Transportasi seimbang (equilibrium), jadi tidak perlu ada kolom dummy (tujuan dummy) maupun baris dummy (sumber dummy)

 Jika Qd > Qs, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan baris dummy (sumber dummy)

 Jika Qd < Qs, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan kolom dummy (tujuan dummy)

(14)

Dalam soal ini Qd = 200 dan Qs = 200, artinya tabel transportasi sudah dalam kondisi seimbang, sehingga tidak perlu ada kolom maupun baris dummy.

Tentukan tabel transportasi awal dengan metode NWC (North-West Corner), sehingga diperoleh :

Komoditi

Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY U_i

INGGRIS 50 20

40 5 8

90 U1 = 0

PRANCIS 15

60 20 10

60 U2 = 15

SPANYOL 25

10 10

40 19

50 U3 = 5

DEMAND 50 110 40 200

Vj V1 = 20 V2 = 5 V3 = 14

Total Biaya = X₁₁(C₁₁) + X₁₂ (C₁₂) + X₂₂ (C₂₂) + X₃₂ (C₃₂) + X₃₃ (C₃₃)

= 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19)

= 3260 (Solusi layak, belum tentu optimal)

Untuk menentukan solusi optimal, gunakan metode MODI (Modified Distribution).

Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U_i, V_j sebagai berikut : C₁₁ = U₁+ V₁ = 20  U₁ = 0  V₁ = 20

C₁₂ = U₁+ V₂ = 5  U₁ = 0  V₂ = 5 C22 = U2 + V2 = 20  V2 = 5  U2 = 15 C32 = U3 + V2 = 10  V2 = 5  U3 = 5 C33 = U3 + V3 = 19  U3 = 5  V3 = 14

Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai Ui, Vj sebagai berikut : K13 = C13 – U1 – V3= 8 – 0 – 14 = -6

K21 = C21 – U2 – V1= 15 – 15 – 20 = -20 K23 = C23 – U2 – V3= 10 – 15 – 14 = -19 K31 = C31 – U3 – V1= 25 – 5 – 20 = 0

(15)

Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel dengan negatif terbesar (X21), dan diperoleh tabel transportasi berikut :

Komoditi

INGGRIS 50

(-)

20 40 90 (+)

5 8

90 U1 = 0

PRANCIS 50

(+)

15 60 10 (-)

20 10

60 U2 = 15

SPANYOL 25

10 10

40 19

50 U3 = 14

DEMAND 50 110 40 200

Vj V₁ = 0 V₂ = 5 V₃ = 5

Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U_i, V_j sebagai berikut : C₁₂ = U₁+ V₂ = 5  U₁ = 0  V₂ = 5

C₂₁ = U₂+ V₁ = 15  U₂ = 15  V₁ = 0 C22 = U2 + V2 = 20  V2 = 5  U2 = 15 C₃₂ = U₃+ V₂ = 10  V₂ = 5  U₃ = 5 C₃₃ = U₃+ V₃ = 19  V₃ = 5  U₃ = 14

Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai Ui, Vj sebagai berikut : K11 = C11 – U1 – V1= 20 – 0 – 0 = 20

K13 = C13 – U1 – V3 = 8 – 0 – 5 = 3 K23 = C23 – U2 – V3= 10 – 15 – 5 = -10 K31 = C31 – U3 – V1= 25 – 14 – 0 = 11

(16)

Komoditi

INGGRIS 20

90 5 8

90 U1 = 0

PRANCIS 50 15 10

(-)

20 10

(+)

10 60 U2 = -4

SPANYOL 25 10 20

(+)

10 40 30 (-)

19 50 U3 = 5

DEMAND 50 110 40 200

Vj V₁ = 19 V₂ = 5 V₃ = 14

C₂₁ = U₂+ V₁ = 15  U₂ = -4  V₁ = 19 C₂₃ = U₂+ V₃ = 10  V₃ = 14  U₂ = -4 C₃₂ = U₃+ V₂ = 10  V₂ = 5  U₃ = 5 C₃₃ = U₃+ V₃ = 19  U₃ = 5  V₃ = 14

Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U_i, V_j sebagai berikut : K₁₁ = C₁₁ – U₁ – V₁= 20 – 0 – 19 = 1

K13 = C13 – U1 – V3 = 8 – 0 – 14 = -6 K22 = C22 – U2 – V2= 20 – (-4) – 5 = 19 K31 = C31 – U3 – V1= 25 – 5 – 19 = 1

(17)

Komoditi

INGGRIS 20 90 60

(-)

5 30

(+)

8 90 U1 = 0

PRANCIS 50 15 20

10 10

60 U2 = 2

SPANYOL 25 20 50

(+)

10 30

(-)

19 50 U3 = 5

DEMAND 50 110 40 200

Vj V₁ = 13 V₂ = 5 V₃ = 8

C₁₃ = U₁+ V₃ = 8  U₁ = 0  V₃ = 8 C₂₁ = U₂+ V₁ = 15  U₂ = 2  V₁ = 13 C₂₃ = U₂+ V₃ = 10  V₃ = 8  U₂ = 2 C₃₂ = U₃+ V₂ = 10  V₂ = 5  U₃ = 5

Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U_i, V_j sebagai berikut : K₁₁ = C₁₁ – U₁ – V₁= 20 – 0 – 13 = 7

K22 = C22 – U2 – V2 = 20 – 2 – 5 = 13 K31 = C31 – U3 – V1= 25 – 5 – 13 = 7 K33 = C33 – U3 – V3= 19 – 5 – 8 = 6

Dalam tabel tersebut tampak indeks perbaikan untuk semua sel kosong sudah positif semua, ini berarti bahwa solusi optimal telah tercapai. Jadi total biaya transportasi mínimum sesuai dengan tabel transportasi berikut :

(18)

Komoditi

Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY

INGGRIS 20

60 5

30 8

90

PRANCIS 50 15 20

10 10

60

SPANYOL 25

50 10 19

50

DEMAND 50 110 40 200

Maka persamaan linear fungsi tujuan, kendala dan total biayanya menjadi sebagai berikut :

Fungsi Tujuan

Minimum Z = (C₁₂) X₁₂+ (C₁₃) X₁₃ + (C₂₁) X₂₁ + (C₂₃) X₂₃ + (C₃₂) X₃₂ Minimum Z = 5X12 + 8X13 + 15X21 + 10X23 + 10X32

Minimum Z = 5 (60) + 8 (30) + 15 (50) + 10 (10) + 10 (50) Minimum Z = 300 + 240 + 750 + 100 + 500

Minimum Z = 1890

Fungsi Kendala Kapasitas Produksi Negara (1) X11 + X12 + X13 ≤ 90

(2) X21 + X22 + X23 ≤ 60 (3) X31 + X32 + X33 ≤ 50

Fungsi Kendala Permintaan Komoditi (1) X11 + X21 + X31 ≤ 50

(2) X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ ≤ 110 (3) X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ ≤ 40

Kendala Non-Negatif

X₁₁, X₁₂, X₁₃, X₂₁, X₂₂, X₂₃, X₃₁, X₃₂, X₃₃ ≥ 0