commit to user 5
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Engle [7] melakukan penelitian mengenai model yang mengatasi efek heteroskedastisitas yaitu model autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) yang diterapkan pada data inflasi Inggris 1958 sampai 1977. Penelitian ini menunjukkan bahwa maximum likelihood estimator (MLE) mempunyai iterasi yang sederhana sehingga maximum likelihood estimator (MLE) lebih baik daripada model klasik ordinary least square (OLS) dalam mengestimasi parameter. Bollerslev [1] melakukan penelitian pada data GNP Amerika Serikat tahun 1948 sampai 1983 dengan menerapkan model generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) yang merupakan generalisasi dari model ARCH dengan melibatkan variansi masa lalu. Penelitian ini menunjukkan bahwa model GARCH(1,1) lebih baik dari model ARCH(8). Nelson [17]
memperkenalkan model exponential generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (EGARCH) yang diterapkan pada data premium resiko nilai pembobot pasar indeks CRSP di Amerika Serikat dari periode Juli 1962 sampai dengan Desember 1987.
Hamilton [9] memperkenalkan model yang dapat menangani perubahan struktur yaitu model Markov switching (MS) yang diterapkan pada data gross national product (GNP). Selanjutnya Hamilton dan Susmel [10]
mengkombinasikan model Markov switching (MS) dengan model ARCH yang dikenal dengan SWARCH. Model tersebut diterapkan dalam data harga saham New York 31 Juli 1962 sampai dengan 29 Desember 1987. Model SWARCH mampu mendeskripsikan pergeseran volatilitas dari harga saham dengan baik.
Gray [8] menerapkan model MS-GARCH pada data suku bunga Amerika Serikat periode Januari 1970 sampai dengan April 1994. Hasilnya menunjukkan bahwa model MS-GARCH lebih mudah dalam menaksir parameter karena mempunyai parameter yang sederhana. Henry [12] memperkenalkan model MS-EGARCH
commit to user 6
untuk meneliti hubungan antara suku bunga jangka pendek dan pengambilan ekuitas Inggris.
Beberapa penelitian mengenai krisis keuangan telah dilakukan, Kaminsky et al. [14] telah melakukan sistem deteksi dini (early warning system) dengan metode pendekatan sinyal yaitu melakukan pemantauan perilaku beberapa indikator dan merekam sinyal dari indikator tersebut. Suatu indikator akan mengeluarkan sinyal jika indikator tersebut bergerak melewati batas ambang.
Penelitian tersebut menunjukkan bahwa indikator-indikator tersebut mempengaruhi sinyal yang menunjukkan probabilitas terjadinya krisis. Menurut penelitian yang dilakukan Kaminsky et al. [14] persentase M2 multiplier dalam memberikan sinyal yang baik sebesar 15,28%, dan memiliki rasio pengganggu sinyal sebesar 0,6, semakin rendah nilai rasio pengganggu sinyal maka semakin baik suatu indikator dalam mendeteksi sinyal. Wahyudi et al. [22] melakukan penelitian untuk menyelidiki gerakan di pasar modal ASEAN untuk membangun sistem peringatan dini yang bertujuan untuk menemukan kemungkinan terjadinya krisis di masa depan.
Cerra dan Saxena [3] melakukan studi kasus mengenai krisis keuangan yang terjadi di Asia menggunakan model Markov switching. Penelitian menunjukkan bahwa tekanan kurs di Thailand dan Korea membantu memprediksikan tekanan kurs di Indonesia. Chang et al. [4] menerapkan model SWARCH untuk meneliti dampak krisis keuangan global pada harga saham dan nilai tukar mata uang asing di Korea. Hasil penelitiannya menunjukkan bahwa model volatilitas yang terjadi dapat dimodelkan menggunakan model SWARCH.
2.1.1 Krisis Keuangan Tahun 1997 dan Tahun 2008
Menurut Tjahjono [20], terdapat 2 faktor yang menyebabkan terjadinya krisis keuangan yaitu faktor fundamental ekonomi dan faktor efek penularan.
Berdasarkan faktor fundamental, krisis keuangan terjadi menjelang terjadinya overheating di kawasan Asia. Sedangkan faktor efek penularan terjadi karena serangan mata uang dari suatu negara yang mempengaruhi pelaku pasar untuk melakukan serangan terhadap mata uang negara lain.
commit to user 7
Krisis keuangan di Indonesia pada tahun 1997 berasal dari krisis keuangan di Asia yang merambat ke negara-negara lain salah satunya Indonesia. Menurut Kementerian Keuangan [15], krisis keuangan di Indonesia pada tahun 2008 disebabkan karena terjadinya krisis Subprime Mortgage di Amerika Serikat.
Subprime Mortgage adalah jenis kredit perumahan yang ditawarkan kepada para individu yang memiliki risiko paling tinggi. Krisis Subprime Mortgage cepat menyebar ke berbagai sektor perekonomian Amerika Serikat yang menyebabkan peningkatan pertumbuhan ekonomi Amerika Serikat sebesar 0,34% pada tahun 2008. Krisis yang terjadi menyebabkan pertumbuhan ekonomi dunia mengalami perlambatan dari 5,42% pada tahun 2007 menjadi 2,8% pada tahun 2009. Hal ini berimbas pada beberapa negara Emerging Market termasuk Indonesia.
2.1.2 M2 Multiplier
Menurut Tjahjono [20], M2 multiplier merupakan rasio antara uang beredar dalam arti luas (M2) dengan uang primer yang ada di Bank Sentral. Uang primer terdiri dari uang kartal yang diedarkan, saldo giro positif bank umum pada Bank Indonesia (BI), giro sektor swasta di Bank Indonesia (BI) serta SBI dan SDBI yang digunakan dalam rangka pemenuhan Giro Wajib Minimum (GWM) sekunder. SBI merupakan surat berharga dalam mata uang rupiah yang diterbitkan oleh Bank Indonesia (BI) sebagai pengakuan utang berjangka waktu pendek.
SDBI merupakan surat berharga dalam mata uang rupiah yang diterbitkan oleh Bank Indonesia (BI) sebagai pengakuan utang berjangka waktu pendek yang dapat diperdagangkan hanya antar bank.
Angka M2 multiplier yang besar menunjukkan bahwa kegiatan perekonomian berjalan dengan cepat yang berarti pertumbuhan ekonomi akan semakin meningkat sehingga mendorong terjadi peningkatan harga dan peningkatan permintaan uang. Hal ini memberikan dampak yang negatif bagi pengendalian moneter karena M2 multiplier tidak dapat lagi sepenuhnya dikendalikan karena lebih banyak dipengaruhi sisi permintaan. Angka M2 multiplier yang terlalu tinggi perlu diwaspadai karena dapat menyebabkan kejatuhan bank-bank yang mendorong timbulnya krisis keuangan.
commit to user 8
2.1.3 Konsep Dasar Time Series
Data runtun waktu (time series) adalah data yang diamati dan dicatat berdasarkan urutan waktu. Menurut Hanke dan Wichern [11] , terdapat 4 tipe pola data dalam runtun waktu, yaitu
a. Pola data horizontal
Pola data horizontal terjadi ketika data observasi berfluktuasi di sekitaran suatu nilai konstan atau rata-rata (mean) yang membentuk garis horizontal.
b. Pola data tren
Pola data tren terjadi ketika data observasi mengalami kenaikan atau penurunan selama periode jangka panjang.
c. Pola data musiman
Pola data musiman terjadi ketika data mempunyai pola yang berulang dari periode satu ke periode berikutnya.
d. Pola data siklis
Pola data siklis terjadi ketika data dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang.
2.1.4 Uji Stasioneritas
Data finansial cenderung tidak stasioner karena datanya berfluktuasi dari waktu ke waktu. Sedangkan untuk membentuk model volatilitas terdapat persyaratan agar variabel yang digunakan dalam model adalah stasioner.
Uji stasioneritas data dapat menggunakan uji unit root yaitu Dickey Fuller (DF) atau augmented Dickey Fuller (ADF). Augmented Dickey Fuller (ADF) merupakan pengembangan dari Dickey Fuller (DF). Menurut Tsay [21], hipotesis uji stasioneritas adalah
ܪ : ߶ଵ ൌ ͳ (data mengandung unit root) ܪଵ : ߶ଵ ൏ ͳ (data tidak mengandung unit root).
Statistik uji dari uji stasioneritas adalah
ݐ ൌ߶ଵെ ͳ ߪሺ߶ଵሻ ൌ
σ்௧ୀଵܲ௧ିଵܲ௧ σ்௧ୀଵܲ௧ିଵଶ െ ͳ ටσ்௧ୀଵሺܲ௧െ ߶ଵܲ௧ିଵሻଶ
ܶ െ ͳ
commit to user 9
dengan ܲ ൌ Ͳ, ܶ adalah jumlah data dan ܲ௧ adalah pengamatan ke ݐ. Jika dilihat dari nilai probabilitasnya, ܪ ditolak jika nilai ௧௨ < tabel Mackinnon atau p- value ൏ ߙ.
2.1.5 Log Return
Kebanyakan data finansial melibatkan return, bukan melibatkan harga.
Oleh karena itu return sangatlah diperhatikan dalam data finansial. Return adalah tingkat pengembalian hasil dari suatu investasi. Data finansial memperhatikan return karena bagi investor, aset return adalah ringkasan lengkap dari peluang investasi dan return lebih mudah ditangani. Menurut Tsay [21], return dapat dituliskan
ܴ௧ ൌ
షభെ ͳ ൌିషభ
షభ .
Jika data belum stasioner maka perlu melakukan log return. Log return merupakan transformasi yang digunakan agar data stasioner di dalam rata-rata dan variansi. Menurut Tsay [21], rumus dari log return yaitu
ݎ௧ ൌ ሺͳ ܴ௧ሻ ൌ ݈݊ ܲ௧
ܲ௧ିଵ
dengan ݎ௧ adalah log return pada waktu ke ݐ, ܴ௧ adalah return, ܲ௧ adalah data pada waktu ke ݐ dan ܲ௧ିଵ adalah data pada waktu ke ݐ െ ͳ.
2.1.6 Karakteristik Log Return
Data yang berfluktuasi dari waktu ke waktu mengakibatkan terjadinya volatilitas dalam data tersebut. Volatilitas adalah variansi bersyarat dari suatu data relatif terhadap waktu. Volatilitas dapat digambarkan dengan suatu data yang cenderung berfluktuasi secara cepat dari waktu ke waktu yang menyebabkan variansi dari eror-nya berubah setiap waktu sehingga menimbulkan efek heteroskedastisitas pada data. Karakteristik log return ditandai dengan adanya volatility clustering. Volatility clustering yaitu berkumpulnya sekelompok aset return yang bernilai besar kemudian diikuti sekelompok aset return yang bernilai kecil.
commit to user 10
2.1.7 Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF)
Menurut Bollerslev [1], penggunaan autocorrelation function (ACF) dan partial autocorrelation function (PACF) yaitu untuk mengidentifikasi model autoregressive moving average (ARMA). Partial autocorrelation function (PACF) merupakan suatu autokorelasi yang digunakan untuk menentukan orde pada model ܣܴ (Tsay [21]).
Menurut Tsay [21], jika terdapat ketergantungan linear antara ݎ௧ dengan ݎ௧ିଵ, maka korelasi yang digunakan adalah autokorelasi yang dinamakan autokorelasi lag-κ yang didefinisikan
ߩκൌ ܥݒሺݎ௧ǡ ݎ௧ିκሻ
ඥܸܽݎሺݎ௧ሻܸܽݎሺݎ௧ିκሻ ൌܥݒሺݎ௧ǡ ݎ௧ିκሻ
ܸܽݎሺݎ௧ሻ ൌߛκ ߛ
dengan sifat ܸܽݎሺݎ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺݎ௧ିκሻ, ߩ ൌ ͳ, ߩκൌ ߩିκ dan െͳ ߩκ ͳ. Di samping itu, return ݎ௧ tidak berkorelasi jika dan hanya jika ߩκൌ Ͳ untuk semua κ Ͳ. Kemudian untuk lag-1, autokorelasi dari ݎ௧ adalah
ߩଵ
ෞ ൌσ்௧ୀଶሺݎ௧െ ݎҧሻሺݎ௧ିଵെ ݎҧሻ σ்௧ୀଵሺݎ௧െ ݎҧሻଶ Ǥ Sehingga autokorelasi dari ݎ௧ untuk lag-κ adalah
ߩෝ ൌκ σ்௧ୀκାଵሺݎ௧െ ݎҧሻሺݎ௧ିκെ ݎҧሻ
σ்௧ୀଵሺݎ௧െ ݎҧሻଶ ǡͲ κ ൏ ܶ െ ͳ
dengan ݎҧ merupakan rata-rata sampel yang dirumuskan ݎҧ ൌσ்௧ୀଵݎ௧
ܶ Ǥ
Menurut Cryer [6], autokorelasi parsial antara ݎ௧ dan ݎ௧ିκ adalah korelasi antara ݎ௧ dan ݎ௧ିκ setelah hubungan linearnya dengan ݎ௧ିଵǡ ݎ௧ିଶǡ ǥ ǡ ݎ௧ିκାଵ diabaikan yang dirumuskan
߶κκ ൌ ܥݎݎሾݎ௧ǡ ݎ௧ିκȁݎ௧ିଵǡ ݎ௧ିଶǡ ǥ ǡ ݎ௧ିκାଵሿ ൌߩκെ σκିଵୀଵ߶κିଵǡߩκି
ͳ െ σκିଵୀଵ߶κିଵǡߩκି
dengan ߶κκ adalah fungsi autokorelasi parsial (PACF).
commit to user 11
2.1.8 Model ARMA
Model yang digunakan untuk data runtun waktu yang stasioner adalah autoregressive moving average (ARMA). Model ARMA merupakan model gabungan dari model AR(p) dan MA(q) dengan p dan q adalah orde dari masing- masing model AR dan MA. Menurut Tsay [21], model AR(p) didefinisikan
ݎ௧ൌ ߶ଵݎ௧ିଵ ߶ଶݎ௧ିଶ ڮ ߶ݎ௧ି ߝ௧
dengan ߶ଵǡ ߶ଶǡ ߶ merupakan parameter model AR, ߝ௧ merupakan residu model AR pada waktu ke-t dan Ͳ. Sedangkan model MA(q) didefinisikan
ݎ௧ ൌ ߝ௧െ ߠଵߝ௧ିଵെ ߠଶߝ௧ିଶെ ڮ െ ߠߝ௧ି
dengan ߠଵǡ ߠଶǡ ߠ merupakan parameter model MA, ߝ௧ merupakan residu model MA pada waktu ke-t dan ݍ Ͳ.
Identifikasi model ARMA dapat dilihat berdasarkan plot ACF dan PACF.
Ciri-ciri plot ACF dan PACF model ARMA dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Ciri-Ciri Plot ACF dan PACF Model ARMA
ACF PACF
AR(p) Turun secara eksponensial Terpotong setelah lag ke-p MA(q) Terpotong setelah lag ke-q Turun secara eksponensial ARMA(p,q) Terpotong setelah lag ke-(q,p) Terpotong setelah lag ke-(q,p)
Menurut Tsay [21], model ARMA(p,q) dituliskan
ݎ௧ ൌ ߶ଵݎ௧ିଵ ߶ଶݎ௧ିଶ ڮ ߶ݎ௧ି ߝ௧െ ߠଵߝ௧ିଵെ ߠଶߝ௧ିଶെ ڮ െ ߠߝ௧ି
dengan ݎ௧ adalah log return pada waktu ke ݐ, ߶ adalah parameter model AR(p), ߠ adalah parameter model MA(q) dan ߝ௧ merupakan residu pada waktu ke ݐ.
2.1.9 Estimasi Parameter Model ARMA
Menurut Cryer [6], untuk mengestimasi parameter model ARMA(p,q) dapat digunakan metode kuadrat terkecil dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat residu. Jumlah kuadrat residu dapat dinotasikan
ܵכሺ߶ǡ ߠሻ ൌ σ௧ୀଵߝ௧ଶ (2.1)
dengan ߝ௧ adalah residu model ARMA. Model ARMA(p,q) dapat dituliskan kembali yaitu
commit to user 12
ݎ௧ ൌ ߶ଵݎ௧ିଵ ߶ଶݎ௧ିଶ ڮ ߶ݎ௧ି ߝ௧െ ߠଵߝ௧ିଵെ ߠଶߝ௧ିଶെ ڮ െ ߠߝ௧ିǤ Nilai fungsi ܵכ pada persamaan (2.1) diturunkan pertama terhadap ߶ dan ߠ yang kemudian disamadengankan nol untuk mencari estimasi parameter ߶ dan ߠ.
Misal model ARMA(1,1) didefinisikan
ݎ௧ൌ ߶ଵݎ௧ିଵ ߝ௧െ ߠଵߝ௧ିଵǤ (2.2) Berdasarkan persamaan (2.2), diperoleh persamaan residual sebagai
berikut
ߝ௧ ൌ ݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵ ߠଵߝ௧ିଵ (2.3)
maka berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.3) diperoleh
ܵכሺ߶ǡ ߠሻ ൌ σ௧ୀଵߝ௧ଶ ൌ σ௧ୀଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵ ߠଵߝ௧ିଵሻଶǤ (2.4) Setelah itu, untuk mencari estimasi ߶ yaitu dengan menurunkan persamaan (2.4) terhadap ߶ sehingga diperoleh
߲ܵכሺ߶ǡ ߠሻ
߲߶ ൌ߲ σ௧ୀଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵ ߠଵߝ௧ିଵሻଶ
߲߶
ൌ െʹ σ௧ୀଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵ ߠଵߝ௧ିଵሻሺݎ௧ିଵሻ
ൌ െʹ σ௧ୀଵሺݎ௧ݎ௧ିଵെ ߶ଵሺݎ௧ିଵሻଶ ߠଵߝ௧ିଵݎ௧ିଵሻǤ (2.5) Langkah selanjutnya yaitu menyamadengankan nol persamaan (2.5) sehingga diperoleh
െʹ σ௧ୀଵሺݎ௧ݎ௧ିଵെ ߶ଵሺݎ௧ିଵሻଶ ߠଵߝ௧ିଵݎ௧ିଵሻ ൌ Ͳ
െ σ௧ୀଵሺݎ௧ݎ௧ିଵെ ߶ଵሺݎ௧ିଵሻଶ ߠଵߝ௧ିଵݎ௧ିଵሻ ൌ Ͳ
െ σ௧ୀଵሺݎ௧ିଵሺݎ௧ ߠଵߝ௧ିଵሻ െ ߶ଵሺݎ௧ିଵሻଶሻ ൌ Ͳ
െ σ௧ୀଵሺݎ௧ିଵሺݎ௧ ߠଵߝ௧ିଵሻ σ௧ୀଵሺ߶ଵሺݎ௧ିଵሻଶሻ ൌ Ͳ σ௧ୀଵ߶ଵሺݎ௧ିଵሻଶ ൌ σ௧ୀଵሺݎ௧ିଵሺݎ௧ ߠଵߝ௧ିଵሻሻ σ௧ୀଵ߶ଵݎ௧ିଵଶ ൌ σ௧ୀଵሺݎ௧ିଵሺݎ௧ ߠଵߝ௧ିଵሻሻ
߶ଵσ௧ୀଵݎ௧ିଵଶ ൌ σ௧ୀଵሺݎ௧ିଵሺݎ௧ ߠଵߝ௧ିଵሻሻ
߶ଵ ൌσసభሺషభσ ሺାఏభఌషభሻሻ
షభమ
సభ
߶ଵ ൌσసభሺାఏభఌషభሻ
σ షభ
సభ
߶ଵ ൌσసభାఏభσసభఌషభ
σసభషభ Ǥ
commit to user 13
Estimasi ߠ dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan (2.4) terhadap ߠ sehingga diperoleh
߲ܵכሺ߶ǡ ߠሻ
߲ߠ ൌ߲ σ௧ୀଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵ ߠଵߝ௧ିଵሻଶ
߲ߠ
ൌ ʹ σ௧ୀଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵ ߠଵߝ௧ିଵሻሺߝ௧ିଵሻ
ൌ ʹ σ௧ୀଵሺݎ௧ߝ௧ିଵെ ߶ଵݎ௧ିଵߝ௧ିଵ ߠଵሺߝ௧ିଵሻଶሻǤ (2.6) Langkah selanjutnya yaitu menyamadengankan nol persamaan (2.6) sehingga diperoleh
ʹ σ௧ୀଵሺݎ௧ߝ௧ିଵെ ߶ଵݎ௧ିଵߝ௧ିଵ ߠଵሺߝ௧ିଵሻଶሻ ൌ Ͳ σ௧ୀଵሺݎ௧ߝ௧ିଵെ ߶ଵݎ௧ିଵߝ௧ିଵ ߠଵሺߝ௧ିଵሻଶሻ ൌ Ͳ σ௧ୀଵሺߝ௧ିଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵሻ ߠଵሺߝ௧ିଵሻଶሻ ൌ Ͳ σ௧ୀଵሺߝ௧ିଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵሻ σ௧ୀଵሺߠଵሺߝ௧ିଵሻଶሻ ൌ Ͳ σ௧ୀଵሺߠଵሺߝ௧ିଵሻଶሻ ൌ െ σ௧ୀଵሺߝ௧ିଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵሻሻ
σ௧ୀଵߠଵߝ௧ିଵଶ ൌ െ σ௧ୀଵሺߝ௧ିଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵሻሻ ߠଵσ௧ୀଵߝ௧ିଵଶ ൌ െ σ௧ୀଵሺߝ௧ିଵሺݎ௧െ ߶ଵݎ௧ିଵሻሻ
ߠଵ ൌି σసభሺఌషభሺିథభషభሻሻ
σసభఌషభమ
ߠଵ ൌି σసభାథభσసభషభ
σ ఌషభ
సభ Ǥ
2.1.10 Kriteria Informasi
Pemilihan model terbaik dari beberapa model dapat digunakan kriteria informasi berdasarkan nilai akaike info criterion (AIC) dan schwarz criterion (SC). Menurut Tsay [21], rumus akaike info criterion (AIC) adalah
ܣܫܥ ൌିଶ
் κ ଶ
்݇, sedangkan rumus schwarz criterion (SC) adalah
ܵܥ ൌିଶ
் κ ሺ்ሻ
் ,
dengan κ adalah fungsi log likelihood, ݇ adalah banyaknya parameter dan T adalah banyak pengamatan. Model terbaik adalah model yang mempunyai nilai akaike info criterion (AIC) dan schwarz criterion (SC) terkecil.
commit to user 14
2.1.11 Uji Diagnostik Model
Model dikatakan baik apabila memenuhi uji yang menyebabkan model tersebut dapat digunakan, uji-uji tersebut disebut uji diagnostik model. Setelah menentukan model terbaik dengan membandingkan nilai AIC dan SC, maka selanjutnya melakukan uji diagnostik model.
A. Uji Non Autokorelasi
Suatu model dikatakan baik apabila residunya tidak berautokeralasi. Suatu uji statistik diperlukan untuk mengetahui adanya autokorelasi. Menurut Tsay [21], untuk menguji autokorelasi dapat menggunakan uji Ljung-Box. Hipotesis uji non autokorelasi yaitu
ܪ : ߩଵ ൌ ߩଶ ൌ ڮ ൌ ߩ ൌ Ͳ (tidak terdapat autokorelasi di dalam residu sampai lag-m)
ܪଵ : paling sedikit terdapat satu ߩ ് Ͳ (paling tidak terdapat autokorelasi di dalam residu pada sebuah lag).
Statistik uji Ljung-Box yaitu
ܳሺ݉ሻ ൌ ܶሺܶ ʹሻ ߩොଶ
ܶ െ ݈
ୀଵ
ǡ
dengan T adalah jumlah data log return, l adalah lag ke-l, m adalah jumlah lag, dan ߩොଶ adalah nilai kuadrat autokorelasi setiap lag. ܪ ditolak jika ܳሺ݉ሻ ߯ଶ, atau ܪ ditolak jika p-value ൏ ߙ.
B. Uji Distribusi Residu
Model yang baik adalah model yang memiliki distribusi normal atau simetris. Menurut Tsay [21], skewness dan kurtosis dapat mengukur tingkat kesimetrisan dan ketebalan ekor dari suatu distribusi. Jika nilai skewness adalah nol dan nilai kurtosis adalah tiga, maka dapat dikatakan model tersebut berdistribusi normal. Skewness dan kurtosis dapat dirumuskan
ܵመሺݎ௧ሻ ൌσ்௧ୀଵሺݎ௧െ ߤሻଷ
ܶߪଷ ǡܭሺݎ௧ሻ ൌσ்௧ୀଵሺݎ௧െ ߤሻସ
ܶߪସ Ǥ
commit to user 15
Menurut Tsay [21], uji Jarque-Bera juga dapat digunakan untuk menguji normalitas dengan hipotesis sebagai berikut.
ܪ : residu model berdistribusi normal ܪଵ : residu model tidak berdistribusi normal.
Statistik uji dari uji Jarque-Bera yaitu ܬܤ ൌܵመଶሺݎ௧ሻ
Ȁܶ ሺܭሺݎ௧ሻ െ ͵ሻଶ ʹͶ ܶΤ
dengan ݎ௧ adalah log return pada waktu t, ߤ adalah rata-rata data log return, T adalah banyaknya data dan ߪ adalah standar deviasi data log return, ܵመሺݎ௧ሻ adalah koefisien skewness, dan ܭሺݎ௧ሻ adalah koefisien kurtosis. ܪ ditolak apabila ܬܤ ߯ሺଵିఈǡଶሻଶ atau p-value ൏ ߙ.
C. Uji Efek Heteroskedastisitas
Uji efek heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan menggunakan uji pengali Lagrange (Tsay [21]).
ܪ : ߙଵ ൌ ߙଶ ൌ ڮ ൌ ߙൌ Ͳ (tidak ada efek heteroskedastisitas sampai lag-m) ܪଵ : paling sedikit terdapat satu ߙ് Ͳ (paling tidak ada efek
heteroskedastisitas pada sebuah lag).
Statistik uji pengali Lagrange yaitu ߦ ൌ ܴܶଶ
dengan T adalah ukuran sampel dan ܴଶ adalah koefisien determinasi. ܪ ditolak jika ߦ ߯ଶ atau ܪ ditolak jika p-value ൏ ߙ.
2.1.12 Model ARCH
Model autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) merupakan model yang digunakan apabila terdapat efek heteroskedastisitas pada data.
Diberikan ߝ௧ merupakan residu pada waktu ke t, ݑ௧ merupakan suatu proses white noise dengan mean nol dan variansinya satu dan ߰௧ adalah suatu himpunan informasi untuk ߝ௧ pada waktu lampau sampai waktu t, maka proses ߝ௧ adalah ARCH(m) jika
ߝ௧ ൌ ݑ௧ߪ௧ untuk ݑ௧̱ܰሺͲǡͳሻ
commit to user 16
ߝ௧ȁ߰௧ିଵ̱ܰሺͲǡ ߪ௧ଶሻ
ߪ௧ଶ ൌ ߙ ߙଵߝ௧ିଵଶ ڮ ߙߝ௧ିଶ ൌ ߙ σୀଵߙߝ௧ିଶ (2.7) dengan ߪ௧ଶ ൌ ܸܽݎሾߝ௧ȁ߰௧ିଵሿ adalah variansi bersyarat, ݉ adalah orde dari ARCH, ߙ Ͳǡ dan ߙ Ͳ untuk ݅ Ͳ.
Menurut Engle [7], model regresi ARCH yaitu ߝ௧ȁ߰௧ିଵ̱ܰሺͲǡ ߪ௧ଶሻ
ݎ௧ൌ ݔ௧ᇱߤ ߝ௧
ݎ௧ ൌ ߤ ݔ௧ᇱߤଵ ߝ௧ (2.8)
dengan ߝ௧ adalah residu dari proses regresi, ݔ௧ߤ adalah rata-rata dari ݎ௧ sebagai kombinasi linear dari variabel eksogen dan lagged dependent yang dimuat oleh ݔ௧ dan ࣆ adalah sebuah vektor dari parameter yang tidak diketahui. Oleh karena itu dari persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh vektor parameter દ yang dinyatakan sebagai
દ ൌ ሺߤǡ ߤଵǡ ߙǡ ߙଵǡ ǥ ǡ ߙሻᇱൌ ሺߤᇱǡ ߙᇱሻᇱǤ
Fungsi densitas probabilitas dari ߝ௧ȁ߰௧ିଵ berdasarkan asumsi normalitas adalah
݂ሺߝ௧ȁ߰௧ିଵሻ ൌ ଵ
ටଶగఙమ
݁ି
భ మ
ሺೝషೣᇲഋሻమ
మ
ൌ ଵ
ටଶగఙమ
݁ି
భ మ ഄమ
మ
Ǥ (2.9) Fungsi log likelihood bersyarat untuk observasi ke-t adalah
κ௧ ൌ ݂ሺߝ௧ȁ߰௧ିଵሻ
ൌ െଵ
ଶሺʹߨߪ௧ଶሻ െଵ
ଶ ఌమ ఙమ
ൌ െଵ
ଶ ʹߨ െଵ
ଶ ߪ௧ଶെଵ
ଶ ఌమ
ఙమǤ (2.10)
Menurut Bollerslev [1], parameter model ARCH dapat diestimasi menggunakan algoritme Berndt, Hall, Hall and Hausman (BHHH). Algoritme BHHH dapat dituliskan
߱ାଵൌ ߱ ߣቂσ డκ
డఠ డκ డఠᇲ
்௧ୀଵ ቃିଵσ డκ
డఠᇲ
்௧ୀଵ Ǥ (2.11)
Langkah pertama yaitu melakukan turunan pertama dari fungsi log likelihood pada persamaan (2.10) terhadap parameter ߙ dan diperoleh
commit to user 17
߲κ௧
߲ߙ ൌ ߲κ௧
߲ߪ௧ଶ
߲ߪ௧ଶ
߲ߙ
ൌ
డቆିభమ୪୭ ଶగିభమ୪୭ ఙమିభమഄ
మ
మቇ ఙమ డఙమ
డఈ
ൌ ቀെ ଵ
ଶఙమ ఌమ
ଶఙరቁడఙమ
డఈ
ൌ ଵ
ଶఙమቀఌమ
ఙమെ ͳቁడఙమ
డఈ
ൌ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఈ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁǤ
Misal untuk model ARCH(1), maka modelnya yaitu ߪ௧ଶ ൌ ߙ ߙଵߝ௧ିଵଶ sehingga
ߙො ൌ ߲κ௧
߲ߙ ൌ ͳ ʹߪ௧ଶ
߲ߪ௧ଶ
߲ߙቆߝ௧ଶ ߪ௧ଶെ ͳቇ
ൌ ଵ
ଶఙమ
డ൫ఈబାఈభఌషభమ ൯ డఈబ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
ൌ ଵ
ଶఙమͳ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
ൌ ଵ
ଶఙమቀఌమ
ఙమെ ͳቁ ߙොଵ ൌ ߲κ௧
߲ߙଵ ൌ ͳ ʹߪ௧ଶ
߲ߪ௧ଶ
߲ߙଵቆߝ௧ଶ ߪ௧ଶ െ ͳቇ
ൌ ଵ
ଶఙమ
డ൫ఈబାఈభఌషభమ ൯ డఈభ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
ൌ ଵ
ଶఙమሺߝ௧ିଵଶ ሻ ቀఙఌమ
మെ ͳቁ
ൌఌషభమ
ଶఙమቀఌమ
ఙమെ ͳቁǤ
Oleh karena itu, turunan pertama dari persamaan fungsi log likelihood terhadap ߙ adalah
ߙො ൌ ߲κ௧
߲ߙ ൌ ͳ ʹߪ௧ଶ
߲ߪ௧ଶ
߲ߙ ቆߝ௧ଶ ߪ௧ଶ െ ͳቇ
ൌ ଵ
ଶఙమሺσୀଵߝ௧ିଶ ሻ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁǤ
Sehingga diperoleh bentuk estimasi parameter menggunakan BHHH yaitu
commit to user 18 ߙାଵൌ ߙ ߣ߲κ௧
߲ߙ
߲κ௧
߲ߙᇱ
்
௧ୀଵ
൩
ିଵ
߲κ௧
߲ߙ
்
௧ୀଵ
ൌ ߙ ߣቈσ ቆ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఈ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁቇ ቆ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఈ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁቇ
ᇱ
்௧ୀଵ
ିଵ
σ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఈ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
்௧ୀଵ
(2.12)
Iterasi pada persamaan (2.12) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu ߙାଵൌ ߙ ߣሾܴܴᇱሿିଵܴܭ
dengan
ܴ ൌ ൦ ݎଵ ݎଶ ڭ ݎ்
൪ ൌ
ۏ ێێ ێێ ێێ ۍ߲κଵ
߲ߙ
߲κଵ
߲ߙଵ ڮ ߲κଵ
߲ߙ
߲κଶ
߲ߙ
߲κଶ
߲ߙଵ ڮ ߲κଶ
߲ߙ ڭ
߲κ்
߲ߙ ڭ
߲κ்
߲ߙଵ ڮ
ڭ
߲κ்
߲ߙے ۑۑ ۑۑ ۑۑ ې
dimana
డκ డఈబ ൌ ଵ
ଶఙమቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
డκ డఈൌ ଵ
ଶఙమሺσୀଵߝ௧ିଶ ሻ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
ݐ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ܶǡ ݅ ൌ ͳǡʹǡ Ǥ Ǥ ݉ dan ܭ ൌ ሾͳǡͳǡ ǥ ǡͳሿᇱ adalah matriks ܶݔͳ.
Selanjutnya, untuk mengestimasi parameter ߤ yaitu dengan melakukan turunan pertama dari fungsi log likelihood pada persamaan (2.10) dan diperoleh
߲κ௧
߲ߤ ൌ ߲κ௧
߲ߝ௧
߲ߝ௧
߲ߤ ߲κ௧
߲ߪ௧ଶ
߲ߪ௧ଶ
߲ߤ ൌఌ௫ᇲ
ఙమ ൬െ ଵ
ଶఙమ ఌమ
ଶ൫ఙమ൯మ൰డఙమ
డఓ
ൌఌ௫ᇲ
ఙమ െ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఓ ఌమ
ଶ൫ఙమ൯మ డఙమ
డఓ
ൌఌ௫ᇲ
ఙమ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఓ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁǤ
Turunan pertama dari fungsi log likelihood terhadap ߤ dan ߤଵ yaitu
߲κ௧
߲ߤ ൌߝ௧ݔ௧ᇱ ߪ௧ଶ ͳ
ʹߪ௧ଶቆߝ௧ଶ ߪ௧ଶെ ͳቇ
commit to user 19
߲κ௧
߲ߤଵ ൌߝ௧ݔ௧ᇱ ߪ௧ଶ ͳ
ʹߪ௧ଶሺെʹߙଵߝ௧ିଵݔ௧ିଵᇱ ሻ ቆߝ௧ଶ
ߪ௧ଶെ ͳቇǤ
Selanjutnya iterasi untuk estimasi parameter ߤ menggunakan BHHH adalah
ߤାଵ ൌ ߤ ߣ߲κ௧
߲ߤ
߲κ௧
߲ߤᇱ
்
௧ୀଵ
൩
ିଵ
߲κ௧
߲ߤ
்
௧ୀଵ
ൌ ߤ ߣቈσ ቆఌ௫ᇲ
ఙమ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఓ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁቇ ቆఌ௫ᇲ
ఙమ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఓ ቀఌమ
ఙమെ
்௧ୀଵ
ͳቁቇ
ᇱ
ିଵ
σ ఌ௫ᇲ
ఙమ ଵ
ଶఙమ డఙమ
డఓ ቀఌమ
ఙమെ ͳቁ
்௧ୀଵ Ǥ (2.13)
Iterasi pada persamaan (2.13) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu ߤାଵ ൌ ߤ ߣሾܵܵᇱሿିଵܵܭ
dengan
ܵ ൌ
ۏ ێێ ێێ ێێ ۍ߲κଵ
߲ߤ
߲κଶ
߲ߤ ڭ
߲κ்
߲ߤ
߲κଵ
߲ߤଵ
߲κଶ
߲ߤଵ ڭ
߲κ்
߲ߤଵے ۑۑ ۑۑ ۑۑ ې
dimana
డ డఓೕ ൌఌ௫ᇲ
ఙమ ଵ
ଶఙమൣെʹ σୀଵߙߝ௧ିݔ௧ିᇱ ൧ ቂఌమ
ఙమെ ͳቃ
ݐ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ܶǡ ݆ ൌ Ͳǡͳ dan ܭ ൌ ሾͳǡͳǡ ǥ ǡͳሿᇱ adalah matriks ܶݔͳ.
2.1.13 Uji Perubahan Struktur
Uji perubahan struktur dapat dilakukan menggunakan uji Chow breakpoint. Menurut Chow [5], hipotesis dari uji Chow breakpoint adalah
ܪ : tidak terdapat perubahan struktur pada data runtun waktu ܪଵ : terdapat perubahan struktur pada data runtun waktu.
Statistik uji yang digunakan adalah
commit to user 20 ܨ ൌ
ܬܭܵଵ
ൗ݇ ܬܭܵଶ
ሺ݊ଵ െ ݊ଶെ ʹ݇ሻ
ൗ
dengan ܬܭܵଵ adalah jumlah residu kuadrat pada sub sampel ݊ଵ, ܬܭܵଶ adalah jumlah residu kuadrat pada sub sampel ݊ଶ, ݊ଵ adalah banyaknya observasi sebelum terjadi perubahan struktur, ݊ଶ adalah banyaknya observasi setelah terjadi perubahan struktur dan ݇ adalah banyaknya parameter. ܪ ditolak jika nilai F lebih besar dari nilai F tabel dengan derajat bebas ሺ݇ǡ ݊ଵ ݊ଶെ ʹ݇ሻ atau ܪ ditolak jika p-value ൏ ߙ.
2.1.14 Model Markov Switching
Model Markov switching (MS) merupakan model untuk data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur (Hamilton [9]). Markov switching mengenal adanya state yang merupakan perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa yang diketahui secara pasti (deterministik) tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati. Model Markov switching untuk rata-rata bersyaratnya adalah
ݎ௧ ൌ ߤ௦௧ ݎǁ௧ (2.14)
dimana ݎǁ௧ mengikuti proses AR(p) dengan rata-rata nol dan ߤ௦௧ adalah rata-rata dalam model Markov switching. Model Markov switching berdasarkan persamaan (2.14) dalam proses runtun waktu dari suatu state dituliskan
ݎ௧െ ߤ௦௧ ൌ ߶ሺݎ௧ିെ ߤ௦௧ିሻ ߝ௧
ୀଵ
dengan ݎ௧ merupakan variabel yang teramati, ߤ௦௧ adalah rata-rata dalam model Markov switching dan ߝ௧ merupakan residu pada waktu ke-t.
Jika probabilitas ݏ௧ sama dengan nilai tertentu sebesar ݆, untuk ݆ א ሼͲǡͳሽ dua state atau ݆ א ሼͲǡͳǡʹሽ tiga state yang dependen terhadap nilai masa lalunya hanya berdasarkan nilai ݏ௧ିଵ yang terkini maka probabilitas transisinya dapat dituliskan
ܲሾݏ௧ൌ ݆ȁݏ௧ିଵ ൌ ݅ǡ ݏ௧ିଶൌ ݇ǡ ǥ ሿ ൌ ܲሾݏ௧ൌ ݆ȁݏ௧ିଵ ൌ ݅ሿ ൌ
commit to user 21
adalah probabilitas transisi bahwa state ݅ akan diikuti oleh state ݆ untuk
݆ א ሼͲǡͳሽ dan untuk ݆ א ሼͲǡͳǡʹሽ dengan asumsi bahwa probabilitas perubahan ݏ௧ hanya tergantung pada ݏ௧ିଵ (Hamilton [7]). Probabilitas transisi untuk ݆ א ሼͲǡͳሽ (dua state) dapat dituliskan sebagai berikut
ܲሾݏ௧ൌ Ͳȁݏ௧ିଵൌ Ͳሿ ൌ
ܲሾݏ௧ൌ ͳȁݏ௧ିଵൌ Ͳሿ ൌ ଵ
ܲሾݏ௧ൌ Ͳȁݏ௧ିଵ ൌ ͳሿ ൌ ଵ
ܲሾݏ௧ൌ ͳȁݏ௧ିଵ ൌ ͳሿ ൌ ଵଵ
dengan σଵୀ ൌ ͳǡ ݅ ൌ Ͳǡͳ dan dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks yaitu
ܲ ൌ ቀ ଵ
ଵ ଵଵቁ.
Selanjutnya probabilitas transisi untuk ݆ א ሼͲǡͳǡʹሽ (dalam tiga state) dapat dituliskan sebagai berikut
ܲሾݏ௧ൌ Ͳȁݏ௧ିଵൌ Ͳሿ ൌ ܲሾݏ௧ ൌ ͳȁݏ௧ିଵൌ Ͳሿ ൌ ଵ ܲሾݏ௧ൌ ʹȁݏ௧ିଵൌ Ͳሿ ൌ ଶ
ܲሾݏ௧ൌ Ͳȁݏ௧ିଵൌ ͳሿ ൌ ଵ ܲሾݏ௧ ൌ ͳȁݏ௧ିଵൌ ͳሿ ൌ ଵଵ ܲሾݏ௧ൌ ʹȁݏ௧ିଵൌ ͳሿ ൌ ଵଶ
ܲሾݏ௧ൌ Ͳȁݏ௧ିଵൌ ʹሿ ൌ ଶ ܲሾݏ௧ ൌ ͳȁݏ௧ିଵൌ ʹሿ ൌ ଶଵ ܲሾݏ௧ൌ ʹȁݏ௧ିଵൌ ʹሿ ൌ ଶଶ dengan σଶୀ ൌ ͳǡ ݅ ൌ Ͳǡͳǡʹ dan dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks yaitu
ܲ ൌ ൭
ଵ ଶ
ଵ ଵଵ ଶଵ
ଶ ଵଶ ଶଶ൱.
Gabungan model volatilitas dan Markov switching yang mampu menjelaskan pergeseran volatilitas dan Markov switching yaitu model Markov switching ARCH (SWARCH).
2.1.15 Model Markov Switching ARCH (SWARCH)
Model Markov switching ARCH (SWARCH) merupakan gabungan model volatilitas ARCH dengan model Markov switching. Menurut Hamilton dan Susmel [10], model SWARCH dapat dituliskan
ݎ௧ൌ ߤ௦௧ ߝ௧ (2.15)
ߝ௧ ൌ ݑ௧ߪ௧ , ݑ௧̱ܰሺͲǡͳሻ (2.16)
ߪ௧ǡ௦ଶ ൌ ߙǡ௦ σୀଵߙǡ௦ߝ௧ିଶ (2.17)
commit to user 22
ߤ௦௧ adalah rata-rata bersyarat untuk setiap state pada waktu ke t, ݎ௧ adalah log return untuk setiap state pada waktu ke t.
Parameter model SWARCH dapat diestimasi menggunakan algoritma expected maximum (EM) berdasarkan fungsi maksimum likelihood. Berdasarkan persamaan (2.17), untuk 2 state dan 3 state masing-masing diketahui bahwa ࣂ ൌ ൫ߤ௦௧ǡ ߙǡ௦௧ǡ ߙǡ௦௧ǡ ǡ ଵଵ൯ᇱ dan ࣂ ൌ ൫ߤ௦௧ǡ ߙǡ௦௧ǡ ߙǡ௦௧ǡ ǡ ଵଵǡ ଶଶ൯ᇱ. Fungsi densitas bersyarat ݎ௧ berdasarkan variabel ݏ௧ dapat dituliskan
݂ሺݎ௧ȁݏ௧ ൌ ݆ǡ ߰௧ିଵǢ ߠሻ ൌ ଵ
ටଶగఙೕమ
݁ି
ቀೝషഋೕቁమ మೕమ
Ǥ (2.18) Nilai probabilitas untuk state yaitu
ܲሺݏ௧ ൌ ݆ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻ ൌ ௧ , untuk ݆ ൌ Ͳǡͳ (dua state) (2.19)
ܲሺݏ௧ ൌ ݆ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻ ൌ ௧ , untuk ݆ ൌ Ͳǡͳǡʹ (tiga state) Berdasarkan persamaan (2.18) dan (2.19) didapatkan fungsi distribusi bersama
yaitu
ܲሺݎ௧ǡ ݏ௧ ൌ ݆ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻ ൌ ݂ሺݎ௧ȁݏ௧ ൌ ݆ǡ ߰௧ିଵǢ ߠሻܲሺݏ௧ ൌ ݆ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻ
ൌ ଵ
ටଶగఙೕమ
݁ି
ቀೝషഋೕቁమ మೕమ
൫௧൯
ൌ ೕ
ටଶగఙೕమ
݁ି
ቀೝషഋೕቁమ మೕమ
(2.20)
dengan menjumlahkan persamaan untuk semua kemungkinan nilai j, maka didapatkan fungsi densitas dari ݎ௧ untuk dua state yaitu
ܮ ൌ ݂ሺݎ௧ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻ ൌ σଵୀܲሺݎ௧ǡ ݏ௧ ൌ ݆ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻǤ (2.21) Sedangkan fungsi densitas dari ݎ௧ untuk tiga state yaitu
ܮ ൌ ݂ሺݎ௧ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻ ൌ σଶୀܲሺݎ௧ǡ ݏ௧ ൌ ݆ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻǤ (2.22) Oleh karena itu didapatkan fungsi log likelihood yaitu
κሺߠሻ ൌ ܮ ൌ σ்௧ୀଵ݂ሺݎ௧ȁ߰௧ିଵǢ ߠሻǤ (2.23)
