KONSTRUKSI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES DENGAN KONSEP MODEL PENENTUAN HARGA ASET MODAL ABSTRACT

KONSTRUKSI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES DENGAN KONSEP MODEL PENENTUAN HARGA ASET MODAL

Jayanti Primades ^1∗ , Johannes Kho ² , M. D. H. Gamal ²

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2 Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗ jayanti.math09@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses an equation to find an option pricing model, known as Black- Scholes equation. Black-Scholes equation is constructed with the concept of capital asset pricing model. Capital asset pricing model is used to choose the optimum asset in equilibrium market, to get small risks at the asset. European put option model is a solution of non-dividen of Black-Scholes equation by converting Black- Scholes equation into the heat equation. An example of application of Black-Scholes equation is given at the end discussion.

Keywords: capital asset price, option price, Lemma Itˆo, Black-Scholes equation, heat equation

ABSTRAK

Artikel ini membahas suatu persamaan untuk menentukan model harga opsi saham, yang dikenal dengan persamaan Black-Scholes. Persamaan Black-Scholes diperoleh dengan konsep model penentuan harga aset modal. Model penentuan harga aset modal digunakan untuk menentukan pilihan aset yang optimum, untuk memperkecil resiko pada aset. Model opsi jual saham Eropa merupakan penyelesaian persamaan Black-Scholes tanpa dividen dengan melakukan pengkonversian persamaan Black- Scholes ke persamaan panas. Contoh aplikasi persamaan Black-Scholes diberikan pada akhir pembahasan ini.

Kata Kunci: harga aset modal, harga opsi saham, Lema Itˆo, persamaan Black-

Scholes, persamaan panas

1. PENDAHULUAN

Dalam dunia finansial, opsi merupakan suatu kontrak dimana hak diberikan kepada individu untuk membeli atau menjual sejumlah aktiva tertentu, bukan kewajiban membayar seperti halnya hutang, pada harga khusus dan waktu tertentu. Opsi merupakan bagian derivatif yang kompleks yang mana nilainya diperoleh dari jenis finansial yang lain, sepeti saham, obligasi, dan lain-lain [8].

Berdasarkan jenisnya, opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi beli saham (call op- tion ) dan opsi jual (put option). Opsi beli saham terjadi apabila pemilik menerima hak untuk membeli sejumlah saham tertentu dari suatu perusahaan tertentu dengan harga dan tanggal jatuh tempo tertentu. Opsi jual saham terjadi apabila pemilik kontrak diberikan hak untuk menjual sejumlah saham tertentu dari suatu perusa- haan pada harga tertentu dalam waktu tertentu.

Berdasarkan tanggal pelaksanaannya, opsi yang paling sering digunakan adalah opsi bertipe Eropa dan opsi bertipe Amerika. Pada opsi tipe Eropa, hak pembelian atau penjualan kontrak hanya dapat dilaksanakan pada tanggal jatuh tempo yang telah ditentukan dalam kontrak. Pada opsi tipe Amerika, pemilik kontrak dapat melaksanakan haknya kapan saja selama tanggal pelaksanaan.

Pemilik kontrak menginginkan harga opsi yang pasti, sehingga ia perlu mengi- dentifikasikan peluang investasi dan menyusun portofolio untuk tercapai tujuan.

Model untuk penentuan harga opsi saham yang telah dikenal adalah persamaan Black-Scholes. Persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial orde dua untuk menilai harga beli atau harga jual yang menggunakan harga saham, suku bunga bebas resiko, waktu tanggal jatuh tempo, deviasi standar imbal hasil saham sebagai patokan nilainya.

Dalam artikel ini dibahas konstruksi persamaan Black-Scholes untuk penentuan opsi saham dengan konsep model penentuan harga aset modal. Model ini digunakan untuk menentukan aset optimum di dalam pasar yang seimbang, agar resiko yang diperoleh seorang investor menjadi kecil. Kajian ini merupakan kajian ulang dari hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes sesuai dengan [2]. Hasil yang diberikan adalah penyelesaikan persamaan Black-Scholes untuk opsi jual saham bertipe Eropa.

2. PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK UNTUK SUATU ASET

Aset merupakan sejumlah surat berharga yang diperdagangkan di dalam pasar modal. Aset dapat berupa selembaran saham, unit opsi, unit obligasi dan lain-lain.

Dalam artikel ini, aset yang dibahas mencakup saham dan opsi saham.

Misalkan harga saham pada waktu t 1 adalah S 1 dan harga saham pada waktu t 2 adalah S 2 . Perubahan harga saham pada waktu t 1 ke t 2 adalah ∆S = S 2 − S ¹ bila waktu t diskrit, dan dS = S 2 − S ¹ bila waktu t adalah kontinu [8]. Pada kenyataannya, harga saham S bergerak pada waktu kontinu t. Model harga saham S disusun sebagai berikut:

dS = µSdt + σSdw, (1)

dengan µ merupakan tingkat rata-rata perubahan harga saham S dan σ merupakan tingkat variansi perubahan harga saham S. Variabel w merupakan proses Wiener, dimana perubahan w ditulis dengan ∆w = ǫ∆t, ǫ adalah diperoleh dari w t

₂

− w ^t

1

. Proses Wiener [4] merupakan proses stokastik khusus dengan ǫ berdistribusi normal dengan ekspektasi ǫ adalah 0 dan variansi dari ǫ adalah 1. Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial stokastik untuk harga saham.

Fungsi harga opsi saham V dipengaruhi oleh harga saham S pada waktu t yang ditulis sebagai V (S, t). Jika fungsi V terdiferensial sebanyak (n + 1) kali pada S dan t. Titik (S, t) berada disekitar titik (S 0 , t 0 ), maka penjabaran deret Taylor untuk V (S, t) adalah

∆V = ∂V

∂S ∆S + ∂V

∂t ∆t + 1 2

∂ ² V

∂S ² ∆S ² + ∂ ² V

∂S∂t ∆S∆t + 1 2

∂ ² V

∂t ² ∆t ² + . . . . (2) Menurut Itˆo [4], pengaproksimasian fungsi V (S, t) dilakukan dengan mengabaikan suku-suku pada notasi titik pada persamaan (2). Hal ini dikarenakan suku-suku pada notasi titik memiliki error yang sangat kecil. Persamaan baru yang dibentuk dikenal dengan Lema Itˆo. Lema Itˆo untuk fungsi V (S, t) adalah sebagai berikut:

dV =  ∂V

∂S µS + ∂V

∂t + 1 2

∂ ² V

∂S ² σ ² S ²



dt + ∂V

∂S σSdw.

atau

dV =



µSV _S + V _t + 1

2 σ ² S ² V _SS



dt + σSV _S dw. (3)

Persamaan (3) merupakan persamaan diferensial stokastik untuk harga derivatif opsi saham. Persamaan (3) diganti sedemikian hingga memuat persamaan (1), diperoleh

dV =

 V t + 1

2 σ ² S ² V SS



dt + V S dS. (4)

Persamaan (4) digunakan dalam Subbab 4.

3. ASUMSI DASAR

Ada asumsi dasar yang perlu diperhatikan sebelum membentuk persamaan Black-Scholes [4], yaitu

1. Harga saham mengikuti proses pergerakan Brownian dengan µ dan σ konstan.

2. Short selling sekuritas dengan penggunaan hasil secara penuh diper- bolehkan.

3. Tidak ada biaya transaksi atau pajak. Semua sekuritas dibagi sama

banyak.

4. Tidak ada dividen selama kontrak opsi masih berjalan.

5. Tidak ada kesempatan arbitrase resiko bebas.

6. Perdagangan sekuritas bersifat kontinu.

7. Tingkat bunga resiko bebas r konstan dan sama untuk semua sekuritas.

Asumsi ini mengarah pada opsi Eropa. Hal ini dikarenakan pada opsi Eropa pelaksanaan kontrak opsi terjadi pada tanggal jatuh tempo yang telah ditentukan, sehingga tidak ada kesempatan bagi investor atau pelaksana kontrak untuk memper- oleh dividen pada saat kontrak masih berlangsung. Dengan demikian, persamaan Black-Scholes pada artikel ini adalah untuk memperoleh harga opsi saham bertipe Eropa.

4. KONSTRUKSI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES DENGAN KONSEP MODEL PENENTUAN

HARGA SAHAM MODAL

Model penentuan harga aset modal [5] menyatakan bahwa jika pasar portofolio M efisien, maka tingkat hasil pengembalian sejumlah aset i, yaitu r i dinyatakan dengan

E(r _i ) = r _f + β _i (E(r _M ) − r f ), (5) dengan r f adalah hasil pengembalian pada resiko bebas. Nilai β i merupakan tingkat resiko pada sejumlah aset i yang dirumuskan dengan β i = Cov(r i , r M )/V ar(r M ).

Nilai r _i merupakan perubahan nilai pada sejumlah aset i pada waktu t ₁ hingga t 2 yang dibagi dengan i, atau r i = di/i. Nilai r i disebut sebagai tingkat hasil pengembalian dari suatu aset i.

Sejumlah aset i yang dibahas dalam artikel ini adalah sejumlah portofolio yang diinvestasikan di dalam pasar M . Portofolio di pasar M memuat sejumlah saham S dan unit opsi saham V . Dengan demikian, nilai r M pada persamaan (5) adalah tingkat hasil pengembalian dari portofolio di pasar M . Tingkat hasil pengembalian dari saham S, yaitu r S dapat dinyatakan dengan dS/S dan tingkat hasil pengem- balian dari opsi saham V , yaitu r V dinyatakan dengan dV /V .

Hubungan antara harga saham S dan harga opsi saham V dinyatakan sebagai berikut:

β V = SV S

V β S . (6)

Persamaan (6) diperoleh dari persamaan (4) dengan menggunakan sifat kovariansi[1]

antara masing-masing nilai aset terhadap nilai portofolio di pasar M . Ini mengha-

silkan koefisien SV S /V yang dianggap sebagai elastisitas harga derivatif opsi saham

terhadap harga saham. Persamaan (6) merupakan perbandingan antara resiko peru-

bahan yang terjadi pada harga derivatif V dengan resiko perubahan yang terjadi

pada harga saham [2].

Opsi saham V memenuhi persamaan (5), yaitu E  dV

V



= r f dt + β V (E(r M ) − r ^f )dt

E(dV ) = r f V dt + β V (E(r M ) − r ^f )V dt. (7) Ekspektasi perubahan harga opsi V , yaitu E(dV ), dipengaruhi oleh perubahan waktu t. Persamaan (6) disubstitusi ke persamaan (7), diperoleh

E(dV ) = r f V dt + (E(r M ) − r ^f )SV S β S dt. (8) Dari persamaan (4), diperoleh ekspektasi dV sebagai

E(dV ) =

 V t + 1

2 σ ² S ² V SS



dt + V S E(dS). (9)

Nilai E(dV ) dalam persamaan (8) sama dengan persamaan (9), sehingga diperoleh rV dt = rSV S dt + 

V t + 1

2 σ ² S ² V SS



dt. (10)

Kedua ruas diintegralkan dari 0 hingga T , maka diperoleh V _t + 1

2 σ ² S ² V _SS + rSV _S − rV = 0. (11) Persamaan (11) merupakan persamaan Black-Scholes untuk harga opsi saham.

5. PERSAMAAN BLACK-SCHOLES UNTUK OPSI JUAL SAHAM BERTIPE EROPA

Telah dijelaskan dalam Bagian 3 bahwa persamaan Black-Scholes yang dibentuk merupakan persamaan Black-Scholes untuk opsi saham bertipe Eropa. Persamaan Black-Scholes yang diturunkan harus memenuhi syarat batas berikut:

V (S, t) = max(E − S, 0). (12)

Persamaan (12) memberikan gambaran bahwa nilai opsi saham yang diperoleh harus E − S, jika harga pelaksanaan E yang ditetapkan lebih besar daripada harga saham S pada tanggal jatuh tempo atau harus bernilai 0 jika harga pelaksanaan E yang ditetapkan lebih kecil daripada harga saham S pada tanggal jatuh tempo [8].

Selanjutnya, sekilas dapat dilihat persamaan (11) identik dengan persamaan diferensial parsial linear orde dua. Persamaan ini diselesaikan dengan cara mengkon- versinya ke dalam persamaan panas dengan bentuk umum, yaitu

∂u

∂τ = ∂ ² u

∂x ² .

Hal pertama yang dilakukan adalah mentransformasikan variabel S dan t ke dalam variabel x dan τ . Alasan perlunya transformasi variabel adalah karena persa- maan (11) memuat koefisien S dan S ² yang tidak konstan sebagai pengali dari masing-masing bentuk turunan parsialnya. Tujuan perlunya transformasi variabel adalah untuk memudahkan penyelesaian persamaan (11).

Misalkan transformasi variabel S = Ee ^x dan variabel t = T − _σ

²

^τ _/2 . Misalkan v(x, τ ) adalah persamaan panas untuk opsi jual saham, maka hubungan antara v(x, τ ) dan V (S, t) ditulis sebagai berikut:

v(x, τ ) = 1

E V (S, t), (13)

dengan v(x, τ ) = max(1 − e ^x , 0). Kemudian, persamaan (11) berubah menjadi v _τ = v _xx + (K − 1)v x − K v,

atau ∂v

∂τ = ∂ ² v

∂x ² + (K − 1) ∂v

∂x − K v. (14)

Persamaan (14) merupakan persamaan panas, dengan K = _σ

2

^r /2 . Solusi umum dari persamaan (14) diberikan dengan [7]

v(x, τ ) = e ^ζx+φτ u(x, τ ). (15) Persamaan (15) diturunkan terhadap x dan τ dengan menggunakan aturan rantai[3], kemudian disubstitusi ke dalam persamaan (15), diperoleh

ζ = − 1

2 (K − 1), (16)

φ = − 1

4 (K + 1) ² , (17)

dan

u(x, τ ) = 1

√ 4πτ Z ^∞

−∞

u 0 (s)e ^{− (x−s)}

²

^/4τ ds, (18) dengan u 0 = u(x, 0) adalah syarat awal dari persamaan panas. Fungsi u(x, τ ) di- peroleh dengan menggunakan integral Fourier [6].

Nilai ζ dan φ disubstitusikan ke dalam persamaan (15), menjadi

v(x, τ ) = e ⁻

¹²

^{(K−1)x+(−}

¹⁴

^(K+1)

²

^)τ u(x, τ ). (19) Ketika τ = 0, nilai v(x, 0) = max(1 − e ^x , 0), maka u(x, 0) adalah

u(x, τ ) = v(x, τ )

e ⁽⁻

¹²

^{(K−1))x+(−}

¹⁴

^(K+1)

²

^)τ u(x, 0) = max(1 − e ^x , 0)

e ⁽⁻

¹²

^(K−1))x u(x, 0) = max(e

¹²

^(K−1)x − e

1

2

(K+1)x , 0). (20)

Nilai u(x, 0) disubstitusi ke dalam persamaan (18), menjadi u(x, τ ) = 1

√ 4πτ Z ^∞

−∞

max(e

¹²

^(K−1)s − e

1

2

(K+1)s , 0) e ^{− (x−s)}

²

^/4τ ds. (21) Karena u 0 bernilai maksimum dimana batas terkecil adalah nol, maka batas integral pada persamaan (21) berubah menjadi batas 0 hingga tak hingga.

u(x, τ ) = 1

√ 4πτ Z ^∞

0

(e

¹²

^(K−1)s − e

1

2

(K+1)s ) e ^{− (x−s)}

²

^/4τ ds. (22) Persamaan (22) diselesaikan sedemikian hingga diperoleh penyelesaian u(x, τ ) adalah

u(x, τ ) = e

¹²

^(K−1)x+

¹⁴

^(K−1)

²

^τ F (−d ² ) − e

¹²

^(K+1)x+

¹⁴

^(K+1)

²

^τ F (−d ¹ ), (23) dengan

d 1 = x

√ 2τ + 1

2 (K + 1) √

2τ , (24)

d 2 = x

√ 2τ + 1

2 (K − 1) √

2τ , (25)

dan F (·) merupakan fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel.

Selanjutnya, persamaan (23), disubstitusi ke persamaan (19), sehingga diperoleh v(x, τ ) = e ^{− Kτ} F (−d ² ) − e ^x F (−d ¹ ). (26) Persamaan (26) disubstitusikan ke dalam persamaan (13), kemudian variabel x dan τ diubah kembali menjadi variabel S dan t, diperoleh

V (S, t) = Ee ^{− r(T −t)} F (−d ² ) − SF (−d ¹ ), (27) dengan

d 1 =

ln( ^S _E ) + (T − t) 

r + ^σ ₂

²

 σp(T − t)

,

d 2 =

ln( ^S _E ) + (T − t) 

r − ^σ ₂

²

 σp(T − t)

.

Persamaan (27) merupakan solusi persamaan Black-Scholes untuk opsi jual saham tipe Eropa.

Contoh. Misalkan seorang investor, Mr. W membeli 100 lembar opsi pada suatu

perusahaan yang bergerak di bidang tambang emas, PT. V. Pada saat itu, Mr. W

membeli opsi dengan harga pelaksanaan bernilai $60 per lembar dengan tingkat

bunga adalah 15% per tahun. Perjanjian dilaksanakan selama 3 bulan dan harga

saham pada saat ini adalah $57.8 per lembar. Mr. W menerapkan opsi bertipe Eropa yang mana berlaku di Indonesia. Tentukan berapa harga opsi tersebut, bila volalitas harga sekuritas senilai 10% per tahun. Apa bila Mr. W melaksanakan haknya, akan ditentukan besar profit yang diterima Mr. W.?

Dari kasus di atas, diketahui bahwa S = $57.8, E = $60, σ = 0.1, T = 0.25, r = 0.15, t = 0. Solusi dari contoh ini adalah persamaan (27), yaitu

V (S, t) = Ee ^{− r(T −t)} F (−d ² ) − SF (−d ¹ ).

Nilai F (−d ² ) adalah

F (−d ² ) = F

"

−

ln( _E ^S ) + (T − t) r − ^σ ₂

²

σp(T − t)

#

= F

"

−

ln( ^57.8 ₆₀ ) + (0.25) 0.15 − ^0.1 2

²

0.1 √

0.25

#

= F (0.02211573) F (−d ² ) = 0.508846292,

dengan cara yang sama, diperoleh nilai F (−d ¹ ), yaitu F (−d ¹ ) = F

"

−

ln( _E ^S ) + (T − t) r − ^σ 2

²

σp(T − t)

#

= F

"

ln( ^57.8 ₆₀ ) + (0.25) 0.15 + ^0.1 ₂

²

0.1p(0.25)

#

= F (−0.027884269) F (−d ¹ ) = 0.488846292.

Nilai F (−d 1 ) dan F (−d 2 ) diperoleh dari tabel fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal pada referensi [1]. Nilai-nilai yang telah diketahui, nilai F (−d ¹ ) dan nilai F (−d ² ) disubstitusi ke dalam persamaan (27), sehingga diperoleh

V (S, t) = (60)e ⁻ 0.15(0.25−0)

(0.508846292) − (57.8)(0.488846292)

= 29.40707448 − 28.25532568 V (S, t) = $1.1517488.

Harga opsi jual saham V (S, t) adalah sebesar $1.15 per lembar atau $115.18 dalam 100 lembar. Jika Mr. W melaksanakan haknya, yaitu menjual opsi saham tersebut.

Maka Mr. W akan memperoleh profit sebesar

E − S − V (S, t) = 6, 000 − 5, 780 − 115.17488

= $104.82512.

Jika Mr. W tidak menjalankan haknya, maka dia akan kehilangan kesempatan dan

membayar 100 lembar saham yang telah dibelinya, yaitu sebesar $115.18.

6. KESIMPULAN

Dari artikel ini dapat disimpulkan bahwa persamaan Black-Scholes merupakan per- samaan untuk menentukan besar opsi saham khususnya bertipe Eropa. Dengan menggunakan dasar teori model penentuan harga aset modal, investor dapat memilih opsi saham yang efisien untuk mengurangi resiko yang diperoleh saat berinvestasi.

Hasil eksak secara efektif diperoleh dari pengkonversian persamaan Black-Scholes ke dalam persamaan panas.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bain,L. J. & M. Engelhardt. 2000. Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2 ^nd . Duxbury Press, California.

[2] Black, F. & M. Scholes. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities.

The Journal of Political Economy, 8(3):637-645.

[3] Boas, M. L. 2005. Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3 ^rd Ed . John Wiley & Sons, Inc. Singapore.

[4] Hull, J. C. 2009. Options, Futures, and Other Derivatives, 7 ^th Ed. Prentice-Hall.

Upper Saddle River, New Jersey.

[5] Luenberger, D. G. 1998. Invesment Sciences. Oxford University Press. New York.

[6] Kreyszig, E. 2006. Advanced Engineering Mathematics, 9 ^th Editions . John Wiley & Sons, Inc. Singapore.

[7] Sneddon, I. 1957. Elements of Partial Differential Equations. McGraw-Hill Ko- gakusha, Ltd. Tokyo, Jepang.

[8] Willmot, P., S. Howinson, & J. Dewynne. 1995. Mathematics of Financial

Derivatives: A Student Introduction . Cambridge University Press, Cambridge.