PENENTUAN HEDGE RATIO UNTUK OPSI CALL DAN OPSI PUT TIPE EROPA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL
BLACK-SCHOLES
GITA ANDRIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
Scholes Model. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and RETNO BUDIARTI.
One of the alternative investment that offered in the world market is derivative product. A
derivative product, such as option, represents a financial instrument which value is based on
certain asset value which is called underlying asset. Option is a contract between two parties (the
holder and the seller) where the holder has the right to buy or sell the underlying asset by a certain
date for a certain price. This paper will study European option calculated by using Black-Scholes
model to obtain value of call and put option. One of the usefulness of Black-Scholes formula is as
a mean to control the risk of portfolio. Generally, the technique to control the risk is called
sensitivity of option value (Greeks). Greeks consist of delta, gamma, theta, vega, and rho. In this
paper, we only examine delta hedging to obtain the portfolio that replicate option price.
ABSTRAK
GITA ANDRIANI. Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan RETNO BUDIARTI.
Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di bursa dunia adalah produk derivatif. Produk
derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang
mendasarinya. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua
pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu
dengan harga dan waktu yang telah ditentukan. Pada karya ilmiah ini akan dibahas opsi tipe Eropa
yang dihitung dengan menggunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai opsi call dan
opsi put. Salah satu kegunaan formula Black-Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan
risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk mengendalikan risiko secara
umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma,
theta, vega, dan rho. Pada karya ilmiah ini, Greeks yang digunakan berupa delta hedging untuk
memperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik.
BLACK-SCHOLES
GITA ANDRIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPERTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
Judul : Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes
Nama : Gita Andriani NRP : G54050740
Disetujui
Pembimbing I Pembimbing II
Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP. 19790227 200501 1 001 NIP. 19610729 198903 2 001
Diketahui
Dr. Drh. Hasim, DEA NIP 19610328 198601 1 002
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Tanggal Lulus:
menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math selaku dosen pembimbing I yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik;
2. ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik;
3. ibu Dr.Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku moderator dalam seminar dan dosen penguji atas waktu luangnya dan kesediaan memeriksa abstrak penulis;
4. seluruh dosen Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah bapak dan ibu berikan kepada penulis;
5. keluargaku tercinta: Anwar Hamid (Almarhum papa) walaupun beliau telah tiada tetapi kasih sayangmu masih ku rasa. Harnidati (mama) sang wonder women yang telah memberikan doa, kasih sayang, didikan, dan kerja kerasnya untuk menyekolahkan putrimu ini sedari kecil, jasamu takkan ku lupa “I Love You, Mama”. Kakak-kakakku Hardiansyah (bang ian) dan Yerri Purwa Anwar (bang Yerri) terima kasih atas doa, nasehat dan bantuannya;
6. nyantanku (Dahlan Mas) dan nenekku (Nurjani) atas doa,perhatian dan bantuannya;
7. staf tata usaha Departemen Matematika: ibu Ade, pak Yono, mas Bono, mas Heri, dan mas Deni terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika;
8. ibu Susi terima kasih atas doa, nasehat, dan pinjaman bukunya;
9. Ritawati dan Hesti Lestari, teman satu bimbingan, seperjuangan, senasib, dan sepenanggungan penulis terima kasih atas doa, bantuan, dan semangatnya;
10. ibu Otonk, ibu Jena, dan ibu Vita yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar tugas akhir penulis;
11. kakak-kakak kelas dan adik-adik kelas yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terimakasih atas doa dan dukungannya;
12. ibu Ryu dan ibu tongki, terimakasih atas tumpangan gratisnya selama ini;
13. anak-anak PF: Rian, Octa, Vita, Hikmah, dan Luri yang telah mengizinkan penulis mengacak-acak kostannya;
14. ibu Pera atas bantuan dan kesediaannya mengajari penulis;
15. pak pake y, pak ilie, dan mas Warno atas bantuan, dan kesabarannya memberikan waktu luang kepada penulis dan teman-teman untuk mengajari mata kuliah sebelum ujian;
16. teman-teman angkatan 42: Yusep, Fachri, Eko (Komti), Mega, Ida, Die2, Siti, Wiwi, Erlin, Niken , Nyoman, Lisda, Nola, mba Vin, Pipit, Lina, Tia, Rima, Agnes, Ricken, Zil, Achy, Nofita, Titi, Eyyi, Lela, Mira, Oby, Dewi, Hap2, Ety, Yuni, Ayu, Ocoy, Iputh, Bayu, Mocco, mas Ayeep, Herry, Rendy, Djawa, Danu, Sapto, Septian, Yudi, Dendy, Bima, Acuy, Awi, Qnun, Ridwan, dan kak Muchtar atas doa, dukungan dan kebersamaannya selama ini;
17. teman-teman kostan Pondok Indah: Ika (teman sekamarQ), Yurin, Linda, Nadia, Upie, Kiki, Lie, Yuni, Eno, Atus, Venty, Nining, mba nopeh, mba Us, mba fufa,mba Anti, mba Tari, mba Yanti, Lia, Ade, Ayu, Zatil, Dian dan lainnya atas doa dan kebersamaannya selama 3 tahun menetap di Pondok Indah;
18. Teteh dan Aa yang telah menjaga dan membantu anak-anak Pondok Indah;
19. akhirnya penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang ikut membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan.
Oleh karena itu, dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2009
Gita Andriani
RIWAYAT HIDUP
Gita Andriani dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Februari 1987 sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara, dari pasangan Anwar Hamid dan Harnidati. Penulis memulai pendidikan di TK Al- Istiqomah pada tahun 1992, kemudian melanjutkan ke SD Negeri Curug V Cimanggis pada tahun 1993. Pada tahun 2002, penulis menamatkan pendidikan tingkat pertama di SLTP Negeri 91 Jakarta dan pada tahun yang sama, diterima di SMA Negeri 58 Jakarta. Pada tahun 2005, penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI).
Penulis memilih Program Studi Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam angkatan 42.
Selama menjalani perkuliahan, penulis pernah mengikuti beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB. Beberapa kepanitian diantaranya adalah kepanitian dalam Try Out SPMB, Matematika Ria pada tahun 2007, WCM pada tahun 2007, Ramah Tamah Civitas Matematika (RATACI) pada tahun 2007 dan sebagainya.
Dalam mengamalkan ilmu yang didapat, penulis pernah menjadi pengajar private di rumah pada tahun 2004 dan 2008.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penulisan ... 1
1.3 Sistematika Penulisan ... 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Proses Stokastik ... 2
2.2 Gerak Brown ... 2
2.3 Proses Wiener ... 2
2.4 Proses Itô ... 2
2.5 Model untuk Harga Saham ... 3
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Saham ... 3
2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi ... 3
2.8 Penilaian Opsi ... 4
2.9 Greeks ... 5
III PEMBAHASAN 3.1 Opsi Tipe Eropa ... 6
3.2 Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa ... 6
3.3 Pengertian Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) atau Delta ... 7
3.4 Ilustrasi dari Model Black-Scholes ... 8
IV SIMPULAN DAN SARAN ... 12
V DAFTAR PUSTAKA ... 13
LAMPIRAN ... 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa ... 5
2 Diagram payoff opsi put tipe Eropa ... 5
3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa ... 7
4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa ... 8
5 Diagram payoff opsi call tipe Eropa K = 40 ... 8
6 Diagram payoff opsi put tipe Eropa K = 40 ... 9
7 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa K = 40 ... 9
8 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa K = 40 ... 11
9 Harga saham vs waktu ... 12
10 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio ... 12
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti Lema 1 ... 15
2 Bukti Teorema 2.1 ... 18
3 Bukti Teorema 2.2 ... 19
4 Bukti Teorema 2.3 ... 20
5 Bukti Teorema 3.1 ... 21
6 Bukti Teorema 3.2 ... 25
7 Bukti Teorema 3.3 ... 25
8 Bukti Teorema 3.4 ... 26
9 Bukti Teorema 3.5 ... 27
10 Tabel Portofolio Replikasi ... 28
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Menurut Sharpe et al (1993), investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang yang tentu saja dengan jumlah yang lebih besar. Investasi dalam bidang keuangan berkaitan dengan aset-aset keuangan, seperti investasi pada saham, obligasi, dan aset-aset keuangan lainnya.
Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya.
Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk derivatif.
Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Aset yang mendasari opsi dapat berupa saham, emas, mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain.
Produk derivatif dapat digunakan sebagai instrumen untuk mengelola risiko dan spekulasi, serta untuk mengurangi biaya transaksi atau untuk menghindari pajak. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi.
Perdagangan opsi terbesar dan pertama kali dikembangkan adalah di CBOE (Chicago Board Options Exchage), USA pada tahun 1973, dan telah mencapai sukses luar biasa dengan total perdagangan sebanyak 16 saham.
Dalam lima tahun, para pemodal melakukan perdagangan opsi mencapai lebih dari 10 juta lembar per hari (Brealey and Myers, 1991).
Sejarah mengenai teori penilaian opsi di mulai pada tahun 1900, yaitu pada saat seorang matematikawan Perancis, Louis Bachelier, menghasilkan formula penilaian opsi. Formula Bachelier ini memiliki kelemahan karena didasarkan pada asumsi yang kurang realistis yaitu adanya tingkat suku bunga nol dan harga saham bernilai negatif. Formula ini kemudian diperbaiki oleh peneliti lain, diantaranya Case Sprenkle, James Boness dan Paul Samuelson yang menggunakan asumsi bahwa harga saham memiliki distribusi log normal (hal ini
menjamin bahwa harga saham selalu bernilai positif) dan tingkat suku bunga tidak nol.
Pada masa sebelum tahun 1973, usaha penilaian opsi didasarkan pada penentuan premi risiko atau besarnya risiko dari tingkat pengembalian harga saham. Penentuan premi risiko tidaklah mudah karena premi risiko tidak hanya menggambarkan risiko pada perubahan harga saham, namun mengikutsertakan pula perilaku investor terhadap risiko. Untuk mengatasi masalah ini, pada tahun 1973, Fisher Black dan Myron Scholes telah berhasil menyelesaikan masalah tentang penilaian opsi. Hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes dikenal dengan model Black-Scholes.
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks).
Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagi berikut:
1. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa.
2. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan hedge ratio dari opsi tipe Eropa.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan hedge ratio untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan diberikan model Black-Scholes untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa dan pengertian dari rasio lindung nilai (hedge ratio) serta model Black-Scholesnya. Pada bab empat akan diberikan kesimpulan yang diperoleh selama penulisan karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.
II. LANDASAN TEORI Bab ini berisi teori yang menjadi dasar
pengerjaan karya ilmiah. Pada bagian pertama sampai dengan bagian kelima disajikan proses stokastik, gerak Brown, proses Wiener, proses
Itô, aplikasi proses stokastik untuk harga
saham dan persamaan diferensial parsial dari
harga saham. Pada bagian ketujuh sampai
dengan bagian terakhir disajikan definisi,
2
notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.
2.1 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω .
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω .
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah himpunan - yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi syarat- syarat berikut:
1. ∅ ∈ - .
2. Jika A ∈ - maka A
c∈ - , dengan A c menyatakan komplemen dari himpunan
A .
3. Jika A A A 1 , 2 , 3 , … ∈ - , maka
1 i i∞
A
=
∈
∪ - .
[Hogg et al, 1995]
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang P pada ruang ukuran ( , Ω - adalah fungsi ) P : - → [0,1] yang memenuhi:
1. P ( ) ∅ = 0, ( ) P Ω = . 1
2. Jika A A A … adalah himpunan 1 , 2 , 3 , anggota-anggota - yang saling lepas, yaitu A
i∩ A
j= ∅ , untuk setiap i j , dengan i j ≠ maka:
( )
1 1( )
i i
i i
P
∞A
∞P A
=
= ∑
=∪ .
Pasangan ( , Ω - , ) P disebut dengan ruang peluang (probability space).
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 5 (Proses stokastik)
Proses stokastik X = { X t t T ( ), ∈ } adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S .
2.2 Gerak Brown
Proses stokastik X = { X t t ( ), ∈ T } disebut
gerak Brown jika:
1. X (0) = 0 .
2. Untuk 0 < < < t 1 t 2 … < t n , peubah acak ( ) i ( i 1 ), 1, 2, ,
X t − X t − i = … n saling
bebas.
3. Untuk t > 0, X t ( ) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian σ .
2t
2.3 Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1.
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut:
dX t ( ) = adt bdW t + ( ) (1) adt disebut sebagai komponen deterministik dan bdW t menyatakan komponen ( ) stokastik, serta W t adalah proses Wiener, ( ) sedangkan a dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari
X .
Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas ( , Ω F P , ) berlaku hal berikut:
Misalkan W t adalah proses Wiener ( ) pada ( , Ω F P , ) . Integral stokastik adalah proses stokastik X t dengan bentuk: ( )
0
0
( ) (0) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ).
t
t
X t X a X s s ds b X s s dW s
= + ∫
+ ∫ (2) 2.4 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut:
dX t ( ) = a X t t dt b X t t dW t ( ( ), ) + ( ( ), ) ( )
(3)
Lema 1 (Lema Itô)
Misalkan proses X t ( ) memenuhi persamaan (3) dan fungsi Y t ( ) = g X t t ( ( ), ) adalah kontinu serta turunan-turunan g X t t t ( ( ), ) ,
( ( ), )
g
XX t t , g
XX( X t t kontinu, maka ( ), ) ( ) ( ( ), )
Y t = g X t t memenuhi persamaan berikut:
2
( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ) 1 ( ( ), )( ( ))
2
dY t g X t t dt g X t t dX t t x g xx X t t dX t
= +
+ (4)
dengan
2
,
X,
XX2
dg dg d g
t dt dX dX
g = g = g =
dan
( ) dt 2 = dW t dt ( ) = dtdW t ( ) = 0 ( dW t ( )) 2 = dt
Bukti: lihat Lampiran 1.
2.5 Model untuk Harga Saham
Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas saham.
Misalkan X t ( ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan (2).
Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S . Misalkan ( ) S t adalah harga saham pada waktu t . Mengingat proses Itô, perubahan ( ) S t akan memiliki nilai harapan drift rate μ S . Parameter μ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan μ S t dt ( ) disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah σ S t dW t ( ) ( ) , dengan σ menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut:
dS t ( ) = μ S t dt ( ) + σ S t dW t ( ) ( ) (5)
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Saham
Pada bagian ini diberikan bentuk PDS bagi suatu peubah yang nilainya bergantung pada harga saham ( ) S t dan waktu t . Perubahan nilai ( ) S t tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan lema Itô.
Misalkan diberikan suatu peubah ( ) Y t yang bergantung pada peubah harga saham ( ) S t dan waktu t . Berdasarkan Hull (1997), apabila harga saham ( ) S t mengikuti model saham (5), maka bentuk PDS untuk ( ) Y t ditentukan oleh teorema berikut:
Teorema 2.1
Misalkan diberikan ( ) Y t = g S t t ( ( ), ) dengan
[ ) 0,
t ∈ ∞ dan ( ) S t memiliki diferensial stokastik (5), maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi ( ) Y t dapat dinyatakan dalam bentuk:
2
2 2
2
( ) ( ) 1 ( )
2 ( ) ( )
g g g
dY t S t S t dt
S t S
S t g dW t S
μ σ
σ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
+ ∂
∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ( 6)
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 2.
2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi.
Untuk lebih memahami bagian ini, didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhatikan.
Definisi 6
Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan.
Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put.
Definisi 7
Opsi call adalah opsi yang memberikan
hak kepada pemegangnya untuk membeli aset
yang mendasari pada harga tertentu dan
jangka waktu tertentu.
4
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum kontrak jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi tipe Eropa.
Definisi 8
Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat.
[Wilmott et al, 1996]
Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu:
1. Harga saham saat ini (S
0)
2. Harga eksekusi (K), yang merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi (harga exercise atau harga strike).
3. Waktu jatuh tempo (T).
4. Volatilitas dari harga saham (σ), yang merupakan sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang.
5. Tingkat suku bunga (r).
6. Dividen yang dibayarkan atas saham.
Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes (1973) menggunakan beberapa asumsi, sebagai berikut:
1. Sebaran harga saham adalah lognormal dan varian dari return pada saham adalah konstan.
2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa.
3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli saham atau opsi.
4. Tidak ada pembayaran dividen pada saham.
5. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko.
6. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli saham pada tingkat suku bunga bank.
7. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan.
Harga saham diasumsikan sebagai proses stokastik dan berdasarkan asumsi 1, sebaran lognormal untuk harga saham dapat diketahui.
Sehingga diperoleh teorema berikut:
Teorema 2.2
Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo mempunyai sebaran normal dengan:
rataan :
2
ln 0
2
S r σ T
μ = + ⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan
varian : Var = σ
2T .
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 3.
2.8 Penilaian Opsi
Dengan asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga saham, waktu, dan parameter lain yang nilainya konstan.
Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial.
Terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis pada saham tersebut. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh teorema berikut ini:
Teorema 2.3
Misalkan V S t menyatakan nilai opsi pada ( , ) waktu t . Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes:
2 2 2
2
1 0.
2
V V V
rS S rV
t S σ S
∂ ∂ ∂
+ + − =
∂ ∂ ∂ (7)
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 4.
Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila
S T > maka pemegang kontrak opsi akan K
mengeksekusi kontraknya karena investor
memperoleh keuntungan sebesar S T − K .
Sebaliknya apabila S T ≤ K pada saat jatuh
tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak
akan mengeksekusi kontraknya, karena
investor akan memperoleh kerugian sebesar
K S − T . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:
c = max( S T − K , 0) . (8)
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa
Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila S T < K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar K S − T . Sebaliknya apabila S T ≥ K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar S T − K . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:
p = max( K S − T , 0) . (9)
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe Eropa
2.9 Greeks
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu.
Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata- rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan model
Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan rasio lindung nilai (hedge ratio) pada opsi tipe Eropa. Pada bagian pertama akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi tipe Eropa.
Pada bagian kedua diberikan model Black- Scholes yang digunakan untuk menghitung nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa.
Selain untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging). Pada bagian ketiga akan dijelaskan salah satu teknik untuk mengendalikan risiko, yaitu dengan rasio lindung nilai berupa delta hedging. Sedangkan pada bagian terakhir akan diberikan ilustrasi dari opsi.
Harga Strike K ( )
Harga Saham ( S
T)
Harga Strike K ( )
Harga Saham ( S
T)
Payoff Opsi Put p ( )
Payoff Opsi Call c ( )
6
3.1 Opsi Tipe Eropa
Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada tanggal jatuh tempo dari opsi. Nilai opsi tipe Eropa mempunyai tiga komponen:
1. Nilai intrinsik
2. Nilai waktu uang pada harga eksekusi (harga strike)
3. Nilai asuransi
Komponen pertama adalah suatu nilai nyata dari premi sebuah opsi, yang merupakan selisih antara harga strike dan harga saham saat ini. Nilai intrinsik pada opsi call adalah harga saham saat ini dikurangi harga strike, sedangkan nilai intrinsik pada opsi put adalah harga strike dikurangi harga saham saat ini.
Suatu opsi yang mempunyai nilai intrinsik positif disebut in-the-money, sedangkan jika selisihnya adalah negatif maka nilai intrinsik dianggap nol dan ini disebut out-of-the- money.
Komponen kedua adalah harga yang bersedia dibayar oleh pembeli opsi dengan didasarkan pada prediksi pembeli atas kemungkinan dari pergerakan harga aset acuan ke arah yang menguntungkan pembeli opsi (suatu nilai yang melebihi harga kesepakatan). Nilai waktu ini berhubungan langsung dengan sisa waktu yang dimiliki oleh suatu opsi sebelum tanggal jatuh temponya.
Komponen ketiga adalah yang paling utama dalam membedakan suatu opsi dari aset keuangan lainnya dan mengukur keuntungan atau kerugian dari posisi opsi, dengan kerugian yang terbatas pada harga opsi.
3.2Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa
Untuk menghitung opsi tipe Eropa dapat digunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai dari opsi call dan opsi put.
Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa pada saham yang tidak membayarkan dividen diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 3.1
Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh:
1 2
0
( )
rT( )
c = S N d − Ke
−N d (10) dengan
2 0
1
ln( S K ) ( r 2 ) T d
T σ σ
+ +
= (11)
dan
2 0
2
ln( S K ) ( r 2 ) T d
T σ σ
+ −
= (12)
dengan
c = harga opsi call tipe Eropa S 0 = harga saham saat ini K = harga strike
r = tingkat suku bunga bebas risiko T = jangka waktu berlakunya opsi σ = volatilitas dari harga saham
( )
N x = fungsi distribusi kumulatif normal baku, dengan x d d = 1 , 2
1
21 2
( ) 2
x y
N x e dy
π
−
= ∫ −∞ . (13) [Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 5.
Dari definisi dapat dilihat bahwa opsi call dan opsi put mempunyai perilaku yang bertolak belakang. Opsi call dan opsi put dapat dikombinasikan dalam suatu bentuk korelasinya yang sangat dekat. Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut.
Teorema 3.2 (Put-call parity)
Konsep harga opsi yang menghubungkan nilai dari opsi call dan opsi put dinyatakan sebagai put-call parity dan memenuhi persamaan:
0
S + p − = c Ke
−rT. (14) [Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 6.
Dengan menggunakan konsep put-call parity, jika nilai opsi call telah diketahui maka nilai opsi put juga dapat ditentukan. Sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.3
Model Black-Scholes untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh:
(
2)
0(
1)
p = Ke
−rTN − d − S N − d (15)
dengan d dan 1 d seperti pada persamaan 2 (11) dan (12).
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 7.
3.3Pengertian Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) atau Delta
Rasio lindung nilai (delta) adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham.
Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model Black-Scholes, didapat rasio lindung nilai (delta) sebagai berikut:
0
V S Δ = ∂
∂
dengan V adalah total nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Rasio lindung nilai (delta) berhubungan dengan analisis Black-Scholes.
Black-Scholes menunjukkan bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas risiko yang terdiri atas opsi dan saham.
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa didapat dengan menggunakan nilai opsi call tipe Eropa dalam teorema 3.1, sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.4
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh:
Δ = c N d ( ) 1 (16) dengan N d adalah fungsi distribusi ( ) 1 kumulatif normal baku dengan d seperti 1 persamaan (10), yaitu:
2
1
ln( S
0/ K ) ( r / 2) T
d T
σ σ
+ +
= .
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 8.
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu 0 ≤ Δ ≤ . Ini c 1 dikarenakan peningkatan harga aset underlying akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset underlying akan meningkatkan peluang nilai payoff positif.
Gambar 3 Diagram delta untuk opsi call tipe
Eropa
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call.
Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa didapat dengan menggunakan teorema 3.2, sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.5
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh:
Δ =
pN d (
1) 1 −
dengan N d adalah fungsi distribusi ( ) 1 kumulatif normal baku dengan d seperti 1 persamaan (10), yaitu:
2
1
ln( S
0/ K ) ( r / 2) T
d T
σ σ
+ +
= .
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 9.
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu − ≤ Δ ≤ 1
p0 .
1
0
Harga Strike K ( )
Harga Saham ( )
S T
Delta Opsi Call ( Δ
c)
8
Gambar 4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
3.4 Ilustrasi dari Model Black-Scholes Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai opsi call tipe Eropa, put-call parity, opsi put tipe Eropa, delta untuk opsi call tipe Eropa dan delta untuk opsi put tipe Eropa, perhatikan ilustrasi berikut:
1. Opsi call tipe Eropa
Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi call. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar
$42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% . Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:
0
42 S =
K = 40 r = 0.1 σ = 0.2 T = 0.5
2
1 0.2 0.5
ln(42 / 40) (0.1 0.2 / 2)0.5
0.7693
d + +
= =
2 1 0.6278
d = d − σ T = sehingga
(0.7693) 0.7792
N =
(0.6278) 0.7350
N =
\ dan
0.1 0.5
40 38.049
Ke − rT = e − × = .
Maka harga opsi call tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (10) menjadi:
0
(
1) (
2)
(42 0.7792) (38.049 0.7350) 4.76.
c S N d = − Ke
−rTN d
= × − ×
=
0 20 40 60 80 100 S T
10 20 30 40 50 Payoff Opsi Call
Gambar 5 Diagram payoff opsi call tipe Eropa untuk K = 40 .
Dari diagram dapat dilihat bahwa pada S T > maka pemegang kontrak opsi akan K mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar S T − K . 2. Put-call parity
Dari ilustrasi pada opsi call tipe Eropa, harga opsi put tipe Eropa yang dihitung dengan menggunakan persamaan (14) put-call parity akan menjadi sebesar:
0
4.76 42 38.049 0.81.
p c S = − + Ke − rT
= − +
= Harga
Saham ( S T )
-1 0
Delta Opsi Put ( Δ
p)
Harga Strike K ( )
3. Opsi put tipe Eropa
Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi put. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar
$42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% . Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:
0 42
S = K = 40 r = 0.1 σ = 0.2 T = 0.5
2
1 0.5
ln(42 / 40) (0.1 0.2 / 2)0.5
0.7693 0.2
d + +
= =
2 1 0.6278
d = d − σ T = Sehingga
( 0.6278) 0.2650
N − =
( 0.7693) 0.2208
N − =
dan
0.1 0.5
40 38.049
Ke − rT = e − × = .
Maka harga opsi put tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (15) menjadi:
2 0 1
( ) ( )
(38.049 0.2650) (42 0.2208) 0.81.
p = Ke − rT N d − − S N d −
= × − ×
=
0 20 40 60 80 100 S T
10 20 30 40 50 Payoff Opsi Put
Gambar 6 Diagram payoff opsi put tipe Eropa K = 40 .
Dari diagram dapat dilihat bahwa pada S T ≥ K maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar
S T − K .
Terlihat bahwa hasil yang diperoleh dari kedua rumus (persamaan (14) put-call parity dan persamaan (15)) adalah sama.
4. Delta untuk opsi call tipe Eropa
Misalkan diketahui harga saham adalah
$42 dan nilai opsi call adalah $4.76 . Misalkan pula pada saat t = 6 bulan harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35. Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% , maka delta untuk opsi call tipe Eropa adalah
( ) 1 0.7792
c N d
Δ = = .
0 20 40 60 80 100 S T
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 D c
Gambar 7 Diagram delta untuk opsi call tipe
Eropa K = 40 .
10
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call.
Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi call.
Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 .
a. Jika S T = 50 .
¾ Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu membeli
0.7792(100) = 78 saham .
• Saat t = 0.
100(4.76) 78(42) 2800,
Cash flow = −
= −
yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi (50 40) 100 1000
Cash flow
= − − × = −
dari saham 78(50) 3900
Cash flow
= =
0.5
dari utang 2800(1.1) 2937
Cash flow
= − = −
Total cash flow = − . 37
¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging.
• Saat t = 0.
100(4.76) 476, Cash flow =
=
ditabungkan dengan suku bunga10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi (50 40) 100 1000
Cash flow
= − − × = −
dari saham 0
Cash flow =
0.5
dari tabungan 476(1.1) 499
Cash flow
= =
Total cash flow = − 501.
b. Jika S T = 35 .
¾ Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu membeli
0.7792(100) = 78 saham .
• Saat t = 0.
100(4.76) 78(42) 2800,
Cash flow = −
= −
yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi 0
Cash flow =
dari saham 78(35) 2730
Cash flow
= =
0.5
dari utang 2800(1.1) 2937
Cash flow
= − = −
Total cash flow = − 207 .
¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging.
• Saat t = 0.
100(4.76) 476, Cash flow =
=
ditabungkan dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi 0
Cash flow =
dari saham 0
Cash flow =
0.5
dari tabungan 476(1.1) 499
Cash flow
= =
Total 499. cash flow =
Dari hasil terlihat bahwa jika S T = 50 , lebih baik investor melakukan delta hedging.
Sedangkan jika S T = 35 , lebih baik investor tidak melakukan delta hedging.
5. Delta untuk opsi put tipe Eropa
Misalkan diketahui harga saham adalah
$42 dan nilai opsi put adalah $0.81.
Misalkan pula pada saat t = 6 bulan harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35. Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% , maka delta untuk opsi put tipe Eropa adalah
( ) 1 1 0.2208
p N d
Δ = − = − .
20 40 60 80 100 S T
- 1.0 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 D p
Gambar 8 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa K = 40 .
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi put.
Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 .
a. Jika S T = 50 .
¾ Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu menjual (short sell)
0.2208(100) 22 saham
− = − .
• Saat t = 0.
100(0.81) ( 22)(42) 1005,
Cash flow = − −
=
ditabungkan dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi 0
Cash flow =
dari saham 22(50) 1100
Cash flow
= − = −
0.5
dari tabungan 1005(1.1) 1054
Cash flow
= =
Total cash flow = − . 46
¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging.
• Saat t = 0.
100(0.81) 81,
Cash flow = =
ditabungkan dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi 0
Cash flow =
dari saham 0
Cash flow =
0.5
dari tabungan 81(1.1) 85
Cash flow
= =
Total 85. cash flow = b. Jika S T = 35 .
¾ Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu menjual (short sell)
0.2208(100) 22 saham
− = − .
• Saat t = 0.
100(0.81) ( 22)(42) 1005
Cash flow = − −
=
ditabungkan dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi (40 35) 100 500
Cash flow
= − × =
dari saham 22(35) 770
Cash flow
= − = −
0.5
dari tabungan 1005(1.1) 1054
Cash flow
= =
Total 784 cash flow = .
¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging.
• Saat t = 0.
100(0.81) 81 Cash flow =
=
ditabungkan dengan suku bunga 10% .
• Saat t = 6 bulan.
dari opsi (40 35) 100 500
Cash flow
= − × =
dari saham 0
Cash flow =
0.5
dari tabungan 81(1.1) 85
Cash flow
= =
Total 585. cash flow =
Dari hasil terlihat bahwa jika S T = 50 ,
lebih baik investor tidak melakukan delta
hedging. Sedangkan jika S T = 35 , lebih baik
investor melakukan delta hedging.
12
6. Portofolio Replikasi
Misalkan diberikan data pergerakan harga saham selama 52 minggu, seperti pada gambar berikut ini:
Gambar 9 Harga saham vs waktu
Dari harga saham di atas, diperoleh portofolio replikasi seperti pada Gambar 10 berikut:
Tabel portofolio replikasi dapat dilihat pada Lampiran 10.
Gambar 10 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan strategi delta hedging diperoleh portofolio yang mereplikasi harga
opsi dengan cukup baik, sehingga risiko dapat dinormalkan.
IV. SIMPULAN DAN SARAN Selain untuk menentukan nilai opsi, model
Black-Scholes juga dapat digunakan untuk
menentukan rasio lindung nilai (delta) untuk
opsi tipe Eropa.
Dalam karya ilmiah ini telah ditunjukkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa. Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu
0 ≤ Δ ≤ . Ini dikarenakan peningkatan c 1 harga aset underlying akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset underlying akan meningkatkan peluang nilai payoff positif. Dari diagram delta untuk opsi call tipe Eropa dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call.
Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu
1
p0
− ≤ Δ ≤ . Dari diagram delta untuk opsi put tipe Eropa dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
Strategi delta hedging dapat digunakan untuk memperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik.
Dari karya ilmiah ini terdapat beberapa hal yang dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak-pihak yang tertarik dengan bidang ilmu ini, antara lain adalah nilai opsi call dan opsi put untuk opsi tipe Amerika dan teknik mengendalikan risiko yang lain, seperti gamma, theta, vega dan rho.
V. DAFTAR PUSTAKA Amelia I. 2005. Penilaian Variable Purchase
Options dengan menggunakan Formula Black-Scholes [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
Bahri AS. 2005. Penilaian Opsi dan Pengendalian Risiko dengan Menggunakan Greeks untuk Opsi Call dan Put Eropa [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
Brealey R, Myers S. 1991. Principles of Corporate Finance. New York: Mc Graw Hill Book Co.
Brenner M, Subrahmanyan MG. 1994. A Simple Approach to Option Valuation and Hedging in the Black-Scholes Model.
Financial Analysis Journal 50: 25-28.
Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy. 81: 637-654.
Chaidir, Lesmana DC, Rahmatullah F.
2008. Binomial Method for Pricing Indonesian Call Option and its Hedging Strategy. Workshop on Financial Engineering.
Chance DM. 2004. An Introduction to derivatives & Risk Management.
Thomson, Ohio.
Chandra W. 1998. Penilaian Opsi dengan Formula Black-Scholes [skripsi]. Bogor:
Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
Grimmett GR, Strizaker DR. 2001.
Probability and Random Processes. New York: Clarendon Press Oxford.
Herliana L. 1999. Penilaian Opsi dengan Model Loncatan difusi [skripsi]. Bogor:
Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
Higham DJ. 2004. An Introduction to Financial Option Valuation:
Mathematics, Stochastic and Computation, Cambridge University Press, Cambridge.
Hull JC. 1997. Options Future and Other Derivatives. Ed.Ke-5. New Jersey:
Pearson Education, Inc.
Pelletier D. 2006. Asset Pricing. North Carolina State University.
Su T. 2003. A Note on the Derivation of Black-Scholes Hedge Ratios. United States of America: Department of Finance, University of Miami.
Widoatmodjo S, Lie RF, Joni R. 2005.
Forex On-line Trading. Jakarta: Elex Media Komputindo.
Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996.
The Mathematics of Financial Derivatives (A Student Introduction).
Cambridge University Press, USA.
14
LAMPIRAN
Lampiran 1 Bukti Lema 1:
Misalkan ( ) Y t = g X t t ( ( ), ) diberikan. Perhatikan
2
2 2
( ( ), ) ( ( ), ) 1 ( ( ), )
( ) ( ) ( ( ))
2
g X t t g X t t g X t t
dY t dt dX t dX t
t X X
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ (1a)
dengan
dX t ( ) = a X t t dt b X t t dW t ( ( ), ) + ( ( ), ) ( ) . (1b) Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh:
2 2 2 2 2
2 2
2
( ( )) ( ( ), )( ) 2 ( ( ), ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), )( ( )) 0 0 ( ( ), )( ( ))
dX t a X t t dt a X t t b X t t dtdW t b X t t dW t b X t t dW t
b dt
= + +
= + +
=
(1c)
dengan ( ) dt 2 = dW t dt ( ) = dtdW t ( ) = dan 0 ( dW t ( )) 2 = dt .
Selanjutnya dengan menyubstitusikan dX t dan ( ) ( dX t ( ))
2ke persamaan (1a) diperoleh:
2 2 2
2 2
2
( ) ( ( )) 1 ( )
2
1 ( )
2
g g g
dY t dt adt bdW t b dt
t X X
g g g g
a b dt b dW t
t X X X
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1d)
Dari Definisi 6, bentuk diferensial stokastik pada persamaan (1d) juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut:
2 2
0 2
0
( ( ), ) ( (0), 0) ( ( ), ) 1 ( ( ), )
2 ( ( ), ) ( ).
t
t
g g g
g X t t g X a X s s b X s s ds
s x X
b X s s g dW s x
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
∂ + ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
(1e)
Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (1e) berlaku.
Untuk memperlihatkan bahwa persamaan (1e) barlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu ( , ) a ω t = a ( ) ω dan ( , ) b ω t = b ( ) ω . Sedangkan untuk t yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit.
Dengan menggunakan Deret Taylor diperoleh:
2 2
2 2
2 2
2
( ( ), ) ( (0), 0) ( ) ( ( ))( ) 1 ( ( ))
2
1 ( )
2
j j j j j
j j j j
j j
j
g g g g
g X t t g X X t t X t t X t
x t x t x
g t R
t
∂ ∂ ∂ ∂
= + ∑ Δ + ∑ Δ + ∑ Δ Δ + ∑ Δ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ ∑ ∂ Δ + ∑
∂
(1f)
dengan
j j1 j
t t
+t
Δ = −
16
( )
j(
j 1) ( )
jX t X t
+X t
Δ = −
1 1
( ( ),
j j) ( (
j),
j) ( ( ),
j j) g X t t g X t
+t
+g X t t
Δ = −
( ( )
2 2)
j j j
R = O Δ X t + Δ t untuk semua j .
Perhatikan bahwa:
0 0
0
1. lim ( ) lim ( ( ), ) ( )
( ( ), ) ( )
j j j j
tj j tj j
t
g g
X t X t t X t
x x
g X s s dX s x
Δ → Δ →
∂ ∂
Δ = Δ
∑ ∑
∂ ∂
= ∂
∫ ∂
0 0
0
2. lim lim ( ( ), )
( ( ), )
j j j j
tj j tj j
t
g g
t X t t t
t t
g X s s ds s
Δ → Δ →
∂ ∂
Δ = Δ
∑ ∑
∂ ∂
= ∂
∫ ∂
3. Dari persamaan (3) diperoleh
Δ X t ( )
j= X t (
j+1) − X t ( )
j= a t
jΔ + Δ
jb W t
j( ).
jMaka,
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2
0 0
lim ( ( )) lim ( ) 2 ( )( ( )) ( ( ))
lim ( ) 2 lim ( )( ( ))
j j j j j j j j j
tj j tj j
j j j j j j
tj j tj j
g g
X t a t a b t W t b W t
x x
g g
a t a b t W t
x x
Δ → Δ →
Δ → Δ →
∂ ∂
Δ = Δ + Δ Δ + Δ
∑ ∑
∂ ∂
∂ ∂
= ∑ Δ + ∑ Δ Δ
∂ ∂
2
2 2
0 2
lim
j( ( ))
jtj j
g b W t
Δ →
x
+ ∑ ∂ Δ
∂
diperoleh,
2 2
2 2 2 2
2 2
0 0
lim ( ) ( ) .
t
j j
tj j
g g
a t a ds
x x
Δ →
∂ ∂
Δ =
∑ ∂ ∫ ∂
Karena
2
2 2
0 2
lim
j(
j) 0
tj j
g a t
Δ →
x
∂ Δ =
∑ ∂
maka dapat disimpulkan untuk Δ → t
j0 berlaku
2
2
