BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Metode Statistik Nonparametrik

Metode statistik nonparametrik adalah metode yang modelnya tidak menetapkan syarat-syarat mengenai parameter-parameter populasi yang merupakan induk sampel penelitiannya. Beberapa asumsi yang berhubungan erat dengan metode statistika nonparametrik adalah bahwa pengamatan tersebut bebas dan variabel yang diamati kontinu, tetapi asumsi yang dibuat adalah lebih lemah dan kurang teliti bila dibandingkan dengan uji parametrik. Uji nonparametrik tidak membutuhkan suatu pengukuran dengan tingkat ketelitian yang tinggi seperti uji parametrik. Uji nonparametrik dipakai untuk menganalisis data dalam skala ordinal dan nominal (Sidney Siegel, 2011).

2.2 Skala Pengukuran

Teori pengukuran dapat dibedakan menurut perbedaan dalam tingkat pengukurannya yang dapat dibagi dalam skala-skala yaitu:

Skala Nominal

Skala nominal dapat didefinisikan sebagai pengukuran dengan taraf paling rendah, terjadi bila angka-angka atau simbol-simbol yang dipakai untuk mengelompokkan suatu objek, orang atau suatu karakteristik. Penyusunan skala dalam kelas-kelas merupakan suatu gugus atau rangkaian yang terpisah-pisah atau bebas. Satu- satunya hubungan yang terdapat di antaranya adalah sifat kesamaan, tiap anggota sub.

Skala Ordinal

Skala ordinal dapat didefinisikan sebagai objek-objek dalam suatu kategori mungkin tidak berbeda dengan objek yang lain, tetapi masing-masing objek tersebut tergabung dalam satu hubungan. Hubungan tersebut berupa suatu sifat atau keadaan lebih tinggi, lebih sukar, lebih disukai, lebih menderita, lebih masak, dan sebagainya. Keadaan ini disimbolkan dengan tanda “carat” (>) yang mengartikan suatu sifat “lebih”. Skala ordinal digunakan pada suatu hubungan yang mempunyai sifat selalu sama.

Skala Interval

Skala interval dapat didefinisikan sebagai suatu pengukuran terhadap selisih dari tiap-tiap angka dalam skala ordinal yang diketahui besarnya dengan lebih teliti.

Dalam penggunaan skala interval, tiap angka pengamatan dalam skala tidak terpengaruh kalau dikalikan dengan suatu angka positif yang tetap dan kemudian ditambahkan suatu konstanta pada hasil perkalian tersebut.

Skala Rasio

Skala rasio dapat didefinisikan bila suatu interval mempunyai titik nol yang nyata.

Dalam skala rasio perbandingan dari tiap titik pada unit pengukuran tidak akan mengalami perubahan bila seluruh angka dalam perubahan tersebut dikalikan dengan bilangan positif, sehingga tidak akan mengubah maksud atau keterangan yang terkandung skala tersebut.

2.3 Metode Korelasi Rank Spearman (𝒓𝒔)

Korelasi rank Spearman adalah alat uji statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis asosiatif dua variabel bila datanya berskala ordinal (ranking). Metode statistik ini merupakan yang pertama kali dikembangkan berdasarkan rank dan diperkirakan yang paling banyak dikenal dengan baik hingga kini. Metode korelasi rank Spearman diperkenalkan oleh Spearman pada tahun 1904. Nilai statistiknya disebut rho, disimbolkan dengan 𝑟_𝑠. Metode korelasi rank Spearman adalah ukuran asosiasi yang menuntut kedua variabel diukur sekurang-kurangnya dalam skala ordinal sehingga objek-objek atau individu-individu yang dipelajari dapat di ranking dalam dua rangkaian berurut. Jadi metode korelasi rank Spearman adalah metode yang bekerja untuk skala data ordinal atau rangking dan bebas distribusi.

Nilai korelasi rank Spearman berada diantara -1 s/d 1. Bila nilai = 0, berarti tidak ada korelasi atau tidak ada hubungannya antara variabel independen dan dependen. Nilai = +1 berarti terdapat hubungan yang positif antara variabel independen dan dependen. Nilai = -1 berarti terdapat hubungan yang negatif antara variabel independen dan dependen.

Tabel 2.1 Makna Nilai Korelasi Rank Spearman

Nilai Makna

0,00 – 0,19 0,20 - 0,39 0,40 – 0, 59

0,60 – 0,79 0,80 – 1,00

Sangat lemah Lemah Sedang Kuat Sangat kuat

Penjabaran rumus untuk menghitung 𝑟_𝑠 cukup sederhana. Sebab hal ini membantu menunjukkan sifat hakikat koefisien, dan juga karena penjabaran tersebut akan mengungkapkan bentuk-bentuk lain yang dapat dipakai untuk menyatakan rumus. Satu di antara kemungkinan-kemungkinan bentuk yang lain akan dipergunakan bila perlu melakukan koreksi koefisiennya karena adanya skor-skor beraneka-sama.

Jika 𝑥 = 𝑋 − 𝑋�^{, di mana} 𝑋� mean skor pada variabel 𝑋, dan jika 𝑦 = 𝑌 − 𝑌�, maka rumus umum suatu koefisien korelasi adalah

𝑟 =

_{�∑ 𝑥}^{∑ 𝑥𝑦}_{2∑ 𝑦2} (2.1) di mana jumlah-jumlah mencakup harga-harga N dalam sampelnya. Bila 𝑋 dan 𝑌 adalah harga-harga ranking 𝑟 = 𝑟𝑠, dan jumlah N bilangan bulat 1, 2, …, 𝑁 maka

∑ 𝑋 = ^𝑁(𝑁+1)₂ (2.2)

jumlah kuadrat bilangan-bilangan itu 1², 2², … , 𝑁² dapat ditunjukan sebagai

∑ 𝑋² = 𝑁(𝑁+1)(2𝑁+1)

6

∑ 𝑥² = ∑(𝑋 − 𝑋 � )²

= ∑ 𝑋²− ∑ 𝑋�² = ∑ 𝑋²−^{(∑ 𝑋)}_𝑁 ² = 𝑁(𝑁+1)(2𝑁+1)

6 −^�

𝑁(𝑁+1) 2 �²

𝑁

= ^𝑁(𝑁+1)₆^(2𝑁+1)

−

^{𝑁2(𝑁+1)2}_𝑁⁴ = ^2𝑁3+𝑁2₆^+2𝑁2+𝑁

−

^{𝑁(𝑁2+2𝑁+1)}₄

=^2𝑁3+3𝑁₆ ^2+𝑁

−

^𝑁3+2𝑁₄^2+𝑁

=

^{�4𝑁3+6𝑁2+2𝑁�}₁₂^{−�3𝑁3+6𝑁2+3𝑁�}

=

^𝑁3₁₂^−𝑁 (2.3) Hal yang sama untuk variabel Y:

∑ 𝑦

²

=

^𝑁3₁₂^−𝑁

Andaikan

𝑑 = 𝑥 − 𝑦

𝑑

²

= (𝑥 − 𝑦)

²

= 𝑥

²

− 2𝑥𝑦 + 𝑦

²

∑ 𝑑

²

= ∑ 𝑥

²

+ ∑ 𝑦

²

− 2 ∑ 𝑥𝑦

Dari rumus (2.1) menyatakan bahwa:

𝑟 =

_{�∑ 𝑥}^{∑ 𝑥𝑦}_{2∑ 𝑦2}

= 𝑟

_𝑠 jika observasi-observasi di ranking.

∑ 𝑥𝑦 = 𝑟_𝑠�∑ 𝑥²∑ 𝑦² dan

∑ 𝑑

²

= ∑ 𝑥

²

+ ∑ 𝑦

²

− 2𝑟

_𝑠

�∑ 𝑥

²

∑ 𝑦

²

2𝑟

_𝑠

�∑ 𝑥

²

∑ 𝑦

²

= ∑ 𝑥

²

+ ∑ 𝑦

²

− ∑ 𝑑

²

Maka:

𝑟

_𝑠

=

^{∑ 𝑥}_{2�∑ 𝑥}^{2+∑ 𝑦}₂²_{∑ 𝑦}^{−∑ 𝑑}₂ ² (2.4)

dengan X dan Y dalam rank, dapat mensubstitusikan

∑ 𝑥

²

=

^𝑁3₁₂^−𝑁

= ∑ 𝑦

²

ke dalam rumus (2.4), sehingga didapatkan:

𝑟

_𝑠

=

^{𝑁3−𝑁12 +𝑁3−𝑁12 −∑ 𝑑2}

2��^𝑁3−𝑁₁₂ ��^𝑁3−𝑁₁₂ �

=

^2�

𝑁3−𝑁12 �−∑ 𝑑² 2�^𝑁3−𝑁₁₂ �

= 1 −

^{∑ 𝑑2}

2�^𝑁3−𝑁₁₂ �

= 1 −

^{∑ 𝑑2}

�^𝑁3−𝑁₆ �

𝑟

_𝑠

= 1 −

^{6 ∑ 𝑑}_𝑁3−𝑁² (2.5) Karena 𝑑 = 𝑥 − 𝑦 = (𝑋 − 𝑋�) − (𝑌 − 𝑌�) = 𝑋 − 𝑌 dalam rank, dapat dituliskan

_{𝑟𝑠 = 1 −}^{6 ∑𝑁𝑖=1𝑑𝑖2}

𝑁³−𝑁 (2.6)

dengan: 𝑟𝑠 = koefisien korelasi rank Spearman.

N = jumlah pasangan observasi antara satu variabel terhadap variabel lainnya.

d = perbedaan rangking yang diperoleh pada tiap pasangan observasi.

Rumus (2.6) adalah rumus yang paling efisien digunakan untuk menghitung 𝑟𝑠

Spearman (Sidney Siegel, 2011).

Metode perhitungan nilai 𝑟_𝑠 bisa dilakukan dengan membuat deretan N subjek. Kemudian pada tiap subjek yang telah tersusun, tentukan rank untuk variabel X dan juga pada variabel Y. Variasi nilai 𝑑_𝑖 = perbedaan antara dua rank X dan Y. Kuadratkan tiap nilai 𝑑_𝑖 dan kemudian jumlahkan nilai 𝑑_𝑖² ini untuk mendapatkan ∑^𝑁_𝑖=1𝑑_𝑖² . Kemudian nilai ∑^𝑁_𝑖=1𝑑_𝑖² dan N (jumlah subjek) langsung masukkan ke dalam rumus (2.6).

2.3.1. Rank Kembar

Kadang-kadang dijumpai dua subjek atau lebih yang menerima nilai yang sama dalam perubah yang sama. Jika terjadi nilai yang sama, masing-masing diberi rank rata-rata, sehingga pengaruh nilai yang sama dapat diatasi. Jika cuplikan yang mempunyai nilai kembar ini tidak begitu banyak, maka rank kembar ini dapat dikatakan tidak berpengaruh terhadap 𝑟𝑠, oleh karena itu rumus (2.6) masih tetap dapat digunakan. Namun apabila proporsi dari rank kembar ini cukup besar, maka dalam perhitungan 𝑟_𝑠 perlu dimasukkan faktor koreksinya.

Pengaruh rank kembar ini terhadap perubah X akan mengurangi besarnya jumlah kuadrat 𝑋(= ∑ 𝑋²) menjadi lebih kecil dari ^𝑁3₁₂^−𝑁

,

^atau 𝑋² < ^𝑁3₁₂^−𝑁 dan besarnya faktor koreksi tersebut adalah

𝑇 =

^𝑡3₁₂^−𝑡

Dimana t = jumlah rank kembar dari penelitian.

Jika menurut perhitungan jumlah rank kembar cukup banyak, maka dalam perhitungannya nilai 𝑟_𝑠 dapat digunakan rumus sebagai berikut:

𝑟

_𝑠

=

^{∑ 𝑥}_{2�(∑ 𝑥}^{2+∑ 𝑦}_{2)(∑ 𝑦}^{2−∑ 𝑑}₂₎^{𝑖2 (2.7)}

dengan ketentuan:

∑ 𝑥

²

=

^𝑁3₁₂^−𝑁

− ∑ 𝑇

_𝑥

∑ 𝑦

²

=

^𝑁3₁₂^−𝑁

− ∑ 𝑇

_𝑦

2.3.2. Uji Signifikansi 𝒓𝒔

Jika subjek-subjek yang dipergunakan untuk menghitung nilai

𝑟

_𝑠 ditarik dari populasi secara acak, harus dipergunakan skor untuk menderteminasi apakah kedua perubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya. Untuk tujuan tersebut diperlukan pengujian terhadap 𝐻₀ yang menyatakan bahwa kedua perubah yang diteliti tidak berkorelasi dalam populasinya dan nilai berbeda dengan nol hanya karena pengaruh kebetulan saja dengan hipotesa sebagai berikut:

𝐻₀ = Tidak ada korelasi antara X dan Y 𝐻1 = Ada korelasi antara X dan Y

Untuk 𝑁 < 25, penentuan signifikansi 𝑟_𝑠 dapat diuji dengan:

𝑡 = 𝑟

_𝑠

�

_1−𝑟^𝑁−2

𝑠2

(2.8) 𝐻₀ diterima bila −𝑡¹

2𝛼 𝑑𝑓 (𝑛 − 2) ≤ 𝑡 ≤ +𝑡¹

2𝛼 𝑑𝑓 (𝑛 − 2) 𝐻₀ ditolak bila 𝑡 > 𝑡¹

2𝛼𝑑𝑓(𝑛 − 2)𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 < −𝑡¹

2𝛼𝑑𝑓(𝑛 − 2) Untuk penentuan signifikansinya dapat ditunjukkan melalui tabel-B.

Jika 𝑁 > 25, penentuan signifikansi 𝑟𝑠 dapat diuji dengan:

𝑍 = 𝑟𝑠 . √𝑛 − 1 (2.9) 𝐻₀ diterima bila −𝑍¹

2𝛼 ≤ 𝑍 ≤ + 𝑍¹

2𝛼 𝐻0 ditolak bila 𝑍 > + 𝑍¹

2𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍 < −𝑍¹

2𝛼

Untuk penentuan signifikansinya dapat ditunjukkan melalui tabel-A.

2.3.3. Langkah – Langkah Pengujian Korelasi Rank Spearman

Langkah-langkah penentuan koefisien korelasi rank Spearman adalah sebagai berikut :

 Berilah rangking observasi-observasi pada variabel X atau Y mulai 1 hingga N.

 Daftar N subjek.

 Tentukan harga 𝑑𝑖 untuk setiap subjek dengan mengurangkan ranking Y pada ragking X. Kuadratkan masing-masing harga untuk menentukan 𝑑_𝑖 kemudian jumlahkan.

 Dalam observasi-observasi X dan Y besar hitung 𝑟_𝑠 dengan rumus :

𝑟

_𝑠

=

^{∑ x}_{2 ∑ 𝑥}^{2+ ∑ 𝑦}_{2 ∑ 𝑦}^{2− ∑ 𝑑}₂ ^𝑖2 ,jika proporsi angka sama

𝑟

_𝑠

= 1 −

^{6 ∑}_𝑁^𝑁𝑖=1_3−𝑁^𝑑𝑖2 , jika proporsi angka tidak sama

 Jika subjek-subjek merupakan sampel random dari populasi tertentu, dapat diuji apakah harga observasi 𝑟𝑠 memberikan petunjuk adanya asosiasi antara variabel X dan variabel Y dalam populasinya dengan syarat :

a. Untuk 𝑁 < 25, signifikansi suatu harga sebesar harga observasi 𝑟𝑠

dapat ditetapkan dengan menghitung 𝑡 dengan menggunakan rumus:

𝑡 = 𝑟_𝑠�_1−𝑟^𝑁−2

𝑠2

b. Untuk 𝑁 > 25, penentuan signifikansi 𝑟_𝑠dapat diuji dengan : 𝑍 = 𝑟𝑠 . √𝑁 − 1

 Lalu tentukan harga signifikannya dengan melihat tabel harga-harga kritis t.

2.4 Metode Korelasi Rank Kendall

Koefisien korelasi rank Kendall (τ), juga digunakan sebagai ukuran korelasi dengan jenis data yang sama seperti data di mana korelasi rank Spearman (𝑟𝑠) dapat dipergunakan dengan syarat jika pengukurannya paling tidak dalam skala ordinal bagi kedua perubah tersebut. Artinya jika sekurang-kurangnya tercapai pengukuran ordinal terhadap variabel-variabel X dan Y, sehingga setiap subjek dapat diberi rangking pada X maupun Y, maka korelasi rank kendall akan memberikan suatu ukuran tingkat asosiasi atau korelasi antara kedua himpunan ranking itu. Metode korelasi rank Kendall diperkenalkan oleh M.G Kendall pada tahun 1938.

Koefisien korelasi rank kendall adalah rasio:

𝜏 =

skor nyata (𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙) Maksimum skor kemungkinan

𝜏 =

fungsi minimum dari angka konversi atau pertukaran rank.

Pada umumnya nilai maksimum skor ditentukan oleh susunan �𝑁2�, yang dapat diuraikan menjadi ¹

2𝑁(𝑁 − 1). Dengan demikian hasil penyesuaian ini merupakan pembagi terhadap skor nyata. Sebagai pembilang yang merupakan penjumlahan skor dari pasangan-pasangan selanjutnya diberi simbol S. Dengan demikian

𝜏 =

1 ^𝑆

2𝑁(𝑁−1)

(2.10) dengan:

𝜏

= koefisien korelasi rank kendall

N = jumlah objek atau individu yang di rank pada X dan Y.

S = penjumlahan skor dari pasangan-pasangan

2.4.1. Rank Kembar

Jika ada dua atau lebih nilai pengamatan (baik antara perubahan X maupun Y) yang sama, seperti biasanya nilai-nilai tersebut diberi rank rata-rata. Pengaruh dari

nilai rank kembar tersebut adalah merubah besarnya penyebut pada rumus

𝜏.

Dalam hal ini rumus

𝜏

^menjadi:

𝜏 = ^𝑆

��¹₂𝑁(𝑁−1)−𝑇_𝑥���¹₂𝑁(𝑁−1)−𝑇_𝑦�

(2.11)

dengan : 𝑇𝑥 =¹₂∑ 𝑡(𝑡 − 1)

𝑡 : jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya untuk perubah X.

𝑇𝑦 = ¹₂∑ 𝑡(𝑡 − 1)

𝑡 : jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya untuk perubah Y.

2.4.2. Uji Signifikansi 𝝉

Untuk 𝑁 ≤ 10, signifikansi hubungan antara kedua peubah dapat dideterminasi dengan terlebih dahulu mencari nilai S kemudian pergunakan tabel D pada lampiran. Jika 𝑝 ≤ 𝛼, 𝐻₀ ditolak.

Jika 𝑁 > 10, signifikansi

𝜏

dapat dipertimbangkan untuk mempergunakan pendekatan sebaran normal dengan 𝜇𝜏 = 0 dan simpangan baku

𝜎

_𝜏

= �

_{9𝑁(𝑁−1)}^2(2𝑁+5

dengan rumus :

𝑧 =

^𝜏−𝜇_𝜎 ^𝜏

𝜏

𝑧 =

^𝜏

�_{9𝑁(𝑁−1)}^2(2𝑁+5)

(2.12)

Hipotesisnya:

𝐻0 = Tidak ada korelasi yang cukup berarti antara dua variabel tersebut.

𝐻1 = Adanya korelasi yang cukup berarti antara dua variabel tersebut.

𝐻₀ diterima bila −𝑍1

2^𝛼 ≤ 𝑍 ≤ +𝑍1 2^𝛼

𝐻₀ ditolak bila 𝑍 > +𝑍1

2^𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍 < −𝑍1 2^𝛼

Untuk menentukan signifikansi z-nya pergunakan tabel A.

2.4.3. Langkah – Langkah Pengujian Korelasi Rank Kendall.

Langkah-langkah penentuan koefisien korelasi rank Kendall adalah sebagai berikut :

 Berilah rangking observasi-observasi pada variabel X dan Y dari 1 hingga N.

 Susunlah N subjek sehingga ranking-ranking X untuk subjek-subjek ada dalam urutan wajar, yakni 1, 2, 3, …, N.

 Amatilah ranking-ranking Y dalam urutan yang bersesuaian dengan ranking X yang ada dalam urutan wajar. Tentukan harga S untuk urutan ranking Y.

 Hitung korelasi rank kendall dengan rumus :

𝜏 =

1 ^𝑆

2𝑁(𝑁−1) , jika tidak terdapat angka sama

𝜏 =

^𝑆

�¹₂𝑁(𝑁−1)−𝑇_𝑋�¹₂𝑁(𝑁−1)−𝑇_𝑌

, jika terdapat angka sama

 Pengujian signifikansi keeratan hubungan kedua perubah X dan Y bergantung pada besarnya N:

a. Untuk 𝑁 ≤ 10, Tabel D koefisien korelasi ranking Kendall menunjukkan kemungkinan yang berkaitan dengan harga-harga sebesar harga-harga observasi S.

Jika 𝑝 yang dihasilkan dengan metode yang sesuai sama atau kurang dari 𝛼, 𝐻₀ ditolak untuk menerima 𝐻₁.

b. Untuk 𝑁 > 10, Tabel A memperlihatkan kemungkinan berkaitan dengan suatu harga sebesar z observasi dengan menghitung harga z yang berkaitan dengan 𝜏 menggunakan rumus:

𝑧 =

^𝜏

�^2(2𝑁+5)_{9𝑁(𝑁−!)}

𝐻0 diterima bila −𝑍1

2^𝛼 ≤ 𝑍 ≤ +𝑍1 2^𝛼

𝐻0 ditolak bila 𝑍 > +𝑍1

2^𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍 < −𝑍1 2^𝛼