PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK

(1)

PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK

TESIS

Oleh

FADILLAH KHAIRUNNISA RAMBE 127021007/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

Universitas Sumatera Utara

(2)

PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

FADILLAH KHAIRUNNISA RAMBE 127021007/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

(3)

Judul Tesis : PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK

Nama Mahasiswa : Fadillah Khairunnisa Rambe Nomor Pokok : 127021007

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 04 Juni 2014

(4)

Telah diuji pada Tanggal 04 Juni 2014

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si

(5)

PERNYATAAN

PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti- pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 04 Juni 2014 Penulis,

Fadillah Khairunnisa Rambe

i Universitas Sumatera Utara

(6)

ABSTRAK

Algoritma pencarian lokal untuk masalah optimisasi kombinatorik biasanya digunakan pada pseudopolynomial running time dan algoritma polynomial-time sering tidak dapat menemukan solusi optimum lokal untuk masalah optimisasi NP − hard. Penelitian ini bertujuan mengenalkan konsep optimalitas ε-lokal dan menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polynomial pada masalah ukuran dan 1/ε bilamana hubungan ketetanggan dapat dicari dengan polynomial time untuk ε > 0. Akibatnya, masalah optimisasi kombinatorial memiliki banyak pola pendekatan polynomial-time jika dan hanya jika memiliki fully polynomial-time pola tambahan (augmentation).

Kata kunci : Pencarian lokal, Algoritma pendekatan, Optimisasi kombinatorial.

ii Universitas Sumatera Utara

(7)

ABSTRACT

Local search algorithms for combinatorial optimization problems are in general of pseudopolynomial running time and polynomial-time algorithms are often not known for finding locally optimal solutions for NP-hard optimization problems.

We introduce the concept of ε-local optimality and show that an ε-local optimum can be identified in time polynomial in the problem size and 1/ε whenever the corresponding neighborhood can be searched in polynomial time, for ε > 0. As a consequence, a combinatorial optimization problem has a fully polynomial-time approximation scheme if and only if it has a fully polynomial-time augmentation scheme.

Keyword : Local search, Approximation algorithms, Combinatorial optimization.

iii Universitas Sumatera Utara

(8)

KATA PENGANTAR

Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkah dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih kepada:

Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA USU dan selaku pembanding yang telah banyak memberikan bantuan dan arahan dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding yang telah memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.

Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.

Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Mate- matika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

iv Universitas Sumatera Utara

(9)

Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 ganjil (Kak Fitra, Teh Wilma, Kak Liza, Hari, Ugi, Paklek, Bang Mail, Bang Adi, Romi, Isna, Wenny, Kak Tiur, Kak Rini, Silvi, Kak Hana, Sari, Kak Juli dan Bang Arie) yang telah memberikan bantuan moril dan berbagai masukan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar- gaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Dra. Hj. Nurhafidah dan aya- handa tersayang Drs. H. Sairun Rambe (Alm) atas curahan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.

Tak lupa pula kepada adinda Anggia Putri Rambe, SH yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada keluarga besar AR’s family, keluarga besar SMPN 3 Sunggal, sahabatku Fitry Wahyuni, M.Pd serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan saran maupun kritik yang bersifat konstruktif untuk pe- nyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat. Terimakasih.

Medan, Juni 2014 Penulis,

Fadillah Khairunnisa Rambe

v Universitas Sumatera Utara

(10)

RIWAYAT HIDUP

Fadillah Khairunnisa Rambe dilahirkan di Medan pada tanggal 14 Agustus 1988, anak pertama dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs. H. Sairun Rambe dan Ibu Dra. Hj. Nurhafidah. Penulis menamatkan sekolah dasar dari SD Swasta Budi Setia Kecamatan Sunggal pada tahun 2000 kemudian melanjutkan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Binjai dan tamat pada tahun 2003, dan pada tahun 2006 menamatkan sekolah menengah atas dari SMA Negeri 1 Binjai. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi di Universitas Negeri Medan fakultas MIPA jurusan Pendidikan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan tamat tahun 2011. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan di program studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Penulis bekerja sebagai guru di SMP Negeri 3 Sunggal sejak Juli 2011 sampai sekarang.

vi Universitas Sumatera Utara

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Metodologi Penelitian 4

BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 5

2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Bound-

edness) 7

2.2 Metode Penyelesaian 7

BAB 3 PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL 11

3.1 Pendekatan Pencarian Lokal 11

3.2 Optimisasi Kombinatorial 15

3.3 Kompleksitas Komputasi 16

BAB 4 PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK 18

4.1 Pola Optimisasi ε-Lokal 18

vii Universitas Sumatera Utara

(12)

4.2 Perluasan (Extensions) dan Jenis Berbeda (Variants) 22 4.2.1 Ketetanggaan pasti (Exact neighborhoods) 22 4.3 Ketetanggaan Ukuran Polinomial (Polynomial-sized Neighbor-

hoods) 23

4.4 Batasan Masalah Pemrograman Linier Bilangan Bulat 24

BAB 5 KESIMPULAN 25

DAFTAR PUSTAKA 26

viii Universitas Sumatera Utara

(13)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

3.1 Perbaikan berulang dasar 13

3.2 Pencarian variabel mendalam (variable depth search) 14

4.1 Roda (wheel) pada jalur n + 1 22

ix Universitas Sumatera Utara

(14)

ABSTRAK

Algoritma pencarian lokal untuk masalah optimisasi kombinatorik biasanya digunakan pada pseudopolynomial running time dan algoritma polynomial-time sering tidak dapat menemukan solusi optimum lokal untuk masalah optimisasi NP − hard. Penelitian ini bertujuan mengenalkan konsep optimalitas ε-lokal dan menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polynomial pada masalah ukuran dan 1/ε bilamana hubungan ketetanggan dapat dicari dengan polynomial time untuk ε > 0. Akibatnya, masalah optimisasi kombinatorial memiliki banyak pola pendekatan polynomial-time jika dan hanya jika memiliki fully polynomial-time pola tambahan (augmentation).

Kata kunci : Pencarian lokal, Algoritma pendekatan, Optimisasi kombinatorial.

ii Universitas Sumatera Utara

(15)

ABSTRACT

Local search algorithms for combinatorial optimization problems are in general of pseudopolynomial running time and polynomial-time algorithms are often not known for finding locally optimal solutions for NP-hard optimization problems.

We introduce the concept of ε-local optimality and show that an ε-local optimum can be identified in time polynomial in the problem size and 1/ε whenever the corresponding neighborhood can be searched in polynomial time, for ε > 0. As a consequence, a combinatorial optimization problem has a fully polynomial-time approximation scheme if and only if it has a fully polynomial-time augmentation scheme.

Keyword : Local search, Approximation algorithms, Combinatorial optimization.

iii Universitas Sumatera Utara

(16)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dipandang sebagai persoalan optimisasi, seperti mencari suatu jalan dengan rute terpendek ataupun mencari jalan alternatif agar cepat sampai pada tujuan. Untuk mencari jalan ataupun rute tersebut, kita dapat mendaftarkan satu per satu jalan yang mungkin dapat dilalui, lalu memilih dari semua kemungkinan yang ada dan menetapkan pada satu hasil yang terbaik. Pencarian yang dilakukan merupakan cara percobaan kombinatorik (matematika diskrit) sehingga persoalan tersebut merupakan permasalahan optimisasi kombinatorial. Penggunaan optimisasi kombinatorial bukan hanya pada persoalan mencari jalan terpendek atau dengan kata lain mencari nilai minimum, namun dapat juga dilakukan untuk mencari nilai maksimum seperti pada bidang industri, yaitu dalam hal memproduksi suatu barang. Dalam hal ini tentunya pemilik industri menginginkan barang yang diproduksi nantinya akan menghasilkan keuntungan yang banyak dengan tetap menjaga mutunya. Pada kasus ini juga pemilik akan mencari semua kemungkinan yang ada dan menetapkan pada satu hasil yang optimal sehingga apa yang diinginkan dapat dicapai.

Lee (2004) menyatakan disamping aplikasinya optimisasi kombinatorik mempunyai aspek-aspek yang terhubung dengan cabang lain dari matematika (aljabar, analisis, topologi, dan tentu saja subdisiplin lain dari matematika diskrit seperti teori graf, dan percobaan kombinatorik) seperti halnya komputer sains. Dalam komputer sains, proses pencarian semua kemungkinan dengan mengembangkan sebuah algoritma pencarian dan disajikan dalam sebuah program komputer.

Permasalahan optimisasi kombinatorial dapat diselesaikan dengan beberapa pendekatan. Salah satu pendekatan yang digunakan adalah pendekatan pencarian lokal (local search). Pendekatan pencarian lokal terinspirasi oleh teknik pencarian lokal yang digunakan dalam optimasi kombinatorial. Orlin et al., (2004) mengemukakan banyak masalah optimisasi kombinatorial adalah NP − hard, dan salah satu pendekatan yang sering digunakan untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan pendekatan pencarian lokal. Pencarian lokal didasarkan pada konsep sebuah ketetanggaan (neighborhood), yang dikatakan tetangga p adalah

1 Universitas Sumatera Utara

(17)

2

himpunan solusi yang memiliki kedekatan dengan p, misalnya karena dapat dengan mudah dihitung dari p atau karena memiliki banyak struktur yang sama dengan p. Sebuah fungsi pembangkit ketetanggaan mungkin dapat menghasilkan solusi optimum atau mungkin tidak dapat menghasilkan solusi optimum. Keti- ka fungsi ketetanggaan dapat menghasilkan solusi optimum global, maka semua langkah dimulai dari setiap titik layak awal merupakan solusi yang tepat. Se- buah contoh dari masalah optimasi kombinatorial terdiri dari himpunan solusi layak dan nilai fungsi solusi. Masalahnya terdiri dari pencarian solusi dengan nilai yang optimum diantara semua solusi yang layak. Pada umumnya masalah yang dibahas adalah masalah yang diselesaikan dengan komputasi, sehingga algoritma pendekatan harus digunakan. Salah satu jenis algoritma pendekatan yang digunakan adalah algoritma pencarian lokal.

Beberapa penelitian tentang algoritma pencarian lokal dengan berbagai va- riasinya telah terdapat dalam berbagai literatur untuk berbagai masalah optimasi kombinatorik. Pada awalnya, Choudhary dan Purohit (2011) menyebutkan masalah NP − complete dapat diselesaikan dengan bantuan computing distribusi dan parrallelism. Kemudian pada tahun 2012, Baghel et al., menyajikan sebuah lapo- ran survey algoritma metaheuristik untuk menyelesaikan masalah optimisasi kombinatorial. Sharma (2003) membahas masalah pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial menunjukkan bahwa hasil dari analisis pencarian lokal terkait dengan (i) kerumitan waktu, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh algoritma untuk sampai pada jawaban akhir, (ii) ukuran dari ketetanggaan yang dicari, (iii) pili- han element pivot.

Masalah pencarian lokal adalah menemukan solusi optimum lokal. Penca- rian dimulai pada solusi layak awal x⁰ ∈ F dan dengan menggunakan subroutin yang ditingkatkan untuk mencari solusi yang lebih baik dalam lingkungan ketetanggaannya, sepanjang masih terdapat solusi yang lebih baik. Pencarian ketetanggaan adalah pengulangan dari solusi yang baru, pencarian dihentikan sampai solusi lokal optimum ditemukan. Fungsi ketetanggan klasik mencakup ketetanggaan k-opt untuk TSP (Yannakakis,1997), maksimum dan minimum pada masalah ini adalah PLS (polynomial-time local search). Masalah Max-Cut (Maximum cut problem) dan MAX 2SAT(Flip neighborhood), sebuah solusi yang mungkin adalah partisi dari himpunan verteksnya menjadi dua bagian. Fungsi tujuan adalah bobot total dari sisi (edges) yang menyatu dalam dua bagian partisi. The

(18)

3

flip neighborhood terdiri dari semua solusi yang diperoleh dengan memindahkan sebuah verteks dari satu bagian pada graf partisi ke bagian lainnya (Sch¨affer dan Yannakakis, 1991). Algoritma ε-lokal didesain untuk bekerja dalam setiap masalah pencarian lokal dimana tersedianya pembuktian dari permasalahan, tanpa menghiraukan ukuran atau struktur pada lingkungannya (neighborhood) dan penerapan dari pembuktian.

Dalam tulisan ini, penulis menyajikan konsep optimalitas ε-lokal dan menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polinomial pada masalah ukuran dan 1/ε sewaktu-waktu hubungan ketetanggan dapat dicari dengan waktu polinomial untuk ε > 0. Penulis akan menganalisis algoritma yang menghasilkan (δ + ε)-optimum lokal dengan waktu polinomial pada masalah ukuran dan 1/ε sehingga masalah optimisasi kombinatorial dapat memiliki banyak pola pendekatan pada waktu polinomial jika dan hanya jika memiliki waktu polinomial yang lengkap (fully) dengan pola tambahan (augmentation). Penelitian ini mengacu pada tulisan Orlin et al., (2004) tentang pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorik.

1.2 Perumusan Masalah

Masalah optimisasi kombinatorik termasuk dalam masalah NP -hard (Non- Poly- nomial Hard problem), dimana waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah ini merupakan fungsi eksponensial dari ukuran masukan. Untuk itu dibutuhkan suatu pendekatan untuk mencari solusi optimum atau mendekati solusi optimum, yaitu dengan menggunakan pendekatan pencarian lokal.

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis penggunaan pendekatan pencarian ε−lokal untuk menentukan solusi optimum lokal dalam optimisasi kombinatorik.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi teoritis khususnya dalam bidang operasi riset. Serta bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang algoritma pencarian lokal dalam optimisasi kombinatorik.

(19)

4

1.5 Metodologi Penelitian

Metode penelitian ini bersifat studi literatur dan kepustakaan. Untuk memperoleh pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial, berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan:

1. Dengan menggunakan pola optimisasi waktu polinomial ε-lokal akan menghasilkan sebuah solusi optimum ε-lokal dengan cara bergerak dari satu solusi yang mungkin ke solusi lain dalam konsep ketetangganya, begitu seterusnya.

Hal ini merupakan ciri khas dari algoritma pencarian lokal.

2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan permasalahan pencarian lokal.

Awalnya yang dilakukan adalah mengumpulkan informasi yang berkenaan dengan permasalahan pencarian lokal. Sebelum mencari solusi optimum lokal harus ditentukan bagaimana cara menentukan solusi awal yang layak.

Penentuan pencarian lokal dari beberapa titik yang berbeda berperan untuk memilih hasil terbaik. Selanjutnya, sebuah tetangga yang “baik” dipilih untuk mencari solusi.

3. Pemahaman persoalan pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial.

Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami algoritma pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial.

4. Merancang suatu pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi pencarian lokal.

Berikut ini tahapan pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial

(a) Mengajukan asumsi awal.

(b) Memaparkan persoalan secara konseptual.

(c) Menganalisis faktor-faktor yang berkaitan dengan pencarian lokal, antara lain kompleksitas waktu, ukuran tetangga yang akan dicari, memilih elemen pivot.

(d) Membuat algoritma pendekatan pencarian lokal.

(20)

BAB 2

OPTIMISASI KOMBINATORIAL

Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat dilakukan dengan mendaftarkan satu per satu nilai yang mungkin atau juga dengan mengembangkan suatu algoritma pencarian. Nantinya setelah ditemukannya semua kemungkinan tersebut, dipilihlah mana yang terbaik. Dengan kata lain, optimisasi kombinatorial mencari nilai maksimum atau minimum tergantung dari masalah yang dibicarakan. Algoritma dari optimalisasi kombinatorial digunakan untuk menyelesaikan masalah yang cukup rumit dan memiliki ruang lingkup yang cukup besar.

Masalah kombinatorial adalah masalah yang mempunyai himpunan solusi layak (feasible) yang terhingga. Meskipun secara prinsip solusi dari masalah ini bisa didapatkan dengan enumerasi lengkap, pada masalah kompleks dibutuhkan waktu yang tidak bisa diterima secara praktis (Lee, 2004). Salah satu bentuk dari masalah optimisasi adalah TSP (Travelling Salesman Problem). TSP sebagai masalah yang mudah dipahami tapi sulit untuk dipecahkan (mendapat solusi optimal). Dengan semakin banyaknya jumlah kota yang dilibatkan, pencarian solusi untuk pemilihan rute terbaik untuk mengunjungi n kota akan semakin sukar. Oleh karena itu dibutuhkan suatu program yang dapat menyelesaikan tugas tersebut. Metode enumerasi lengkap harus menguji n! kemungkinan solusi. Untuk masalah sederhana dengan n = 20 ada lebih dari 2, 4 × 10¹⁸ kemungkinan solusi.

Jika dengan menggunakan perhitungan komputer mungkin memerlukan waktu lebih dari 5 jam untuk melakukan enumerasi lengkap, sebuah hal yang tidak bisa diterima secara praktis. Algoritma pendekatan dalam berbagai literatur telah sukses diterapkan pada berbagai masalah kombinatorial seperti perencanaan dan penjadwalan produksi pada industri manufaktur. Meskipun solusi optimum tidak diperoleh, tetapi solusi yang mendekati optimum bisa didapatkan dalam waktu yang relatif singkat dan dapat diterima secara praktis.

Menurut Lawler (1976), analisis kombinatorial adalah studi matematika tentang pengaturan, pengelompokan, pemesanan, atau pemilihan objek diskrit, biasanya terbatas jumlahnya (finite in number). Pada awalnya, penelitian kombina-

(21)

6

torial meneliti dengan pertanyaan-pertanyaan dari keberadaan atau pencacahan.

Artinya, “apakah suatu jenis pengaturan ada?” Atau, “berapa banyak pengaturan yang ada?”. Penelitian kombinatorial pada saat ini telah mengalami kemajuan yang lebih signifikan. Pertanyaan yang diajukan tidak “Apakah pengaturan ada”

atau “Berapa banyak pengaturan yang ada”, melainkan, “Bagaimana susunan yang baik”. Keberadaan jenis pengaturan tertentu biasanya tidak menjadi pertanyaan, dan jumlah pengaturan tersebut mungkin tidak relevan. Tujuannya adalah menemukan pola optimum, bagaimana menyelesaikan masalah yang besar dalam jumlah yang tidak terbatas menjadi kemungkinan yang efektif. Banyak masalah optimasi kombinatorial telah dihasilkan oleh penelitian dalam desain komputer, teori komputasi, dan oleh aplikasi komputer pada masalah numerik yang membutuhkan metode baru, pendekatan baru, dan wawasan matematika baru.

Lee (2004) mengemukakan masalah optimisasi diskrit adalah sebuah masalah memaksimumkan sebuah nilai real fungsi tujuan c di himpunan terbatas (finite set) pada solusi layak S. Biasanya himpunan S muncul sebagai himpunan bagian dari 2^E (himpunan dari semua himpunan bagian E), untuk beberapa himpunan terbatas E, masalah yang demikian merupakan masalah optimisasi kombinatorial. Solusi bisa saja didapat dengan menghitung semua kemungkinan, tentu saja dengan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan algoritma lebih praktis dibandingkan dengan menghitung semua solusi layak. Optimisasi diskrit memiliki aspek yang menghubungkannya dengan bidang lain dari matematika, seperti aljabar, geometri, logika, topologi, dan tentu saja bagian disiplin ilmu dari matematika diskrit seperti teori graf, dan teori matroid. Karena itu banyak penelitian dalam optimisasi diskrit dijadikan sebagai aplikasi. Sebuah algoritma secara teori lebih efisien untuk masalah dengan ukuran yang besar, jika jumlah langkah perhitungan diperlukan untuk menyelesaikan misalnya pada masalah yang dibatasi oleh polinomial dalam jumlah bit yang diperlukan untuk masalah pengodean (encoding). Pada masalah optimisasi kombinatorial, komputasi efektif untuk menyelesaikan masalah dalam R^E (bilangan real |E|-ruang dimen- si dengan koordinat diindeks oleh E). Dengan mempertimbangkan bagian konveks PS pada karakteristik vektor dalam S, bahwa himpunan bilangan konveks terkecil memuat karakteristik vektor tersebut. Selanjutnya, dibutuhkan fungsi

˜c : [0, 1]^E 7→ R sehingga jika x(S) adalah karakteristik vektor pada himpunan

(22)

7

layak S, lalu ˜c(x(S)) = c(S). Keberhasilan pendekatan semacam itu tergantung pada fungsi tujuan. Fungsi cekung (concave) relatif lebih mudah untuk memaksimumkan (deskripsi P^S sebagai himpunan solusi dari pertidaksamaan linear), seperti dalam kasus sebuah maksimum lokal adalah maksimum global.

2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Bound- edness)

Ketika algoritma diimplementasikan pada komersial, seharusnya hanya memerlukan pengeluaran waktu komputer dan penyimpanan data untuk setiap contoh dari masalah kombinatorial untuk diselesaikan. Hal ini membuktikan bahwa metode pemrograman linier telah terbukti efektif untuk menyelesaikan berbagai masalah optimisasi. Aturan kelayakan merupakan prinsip yang telah disepakati.

Namun hal yang lebih objektif adalah harus diterapkannya standar yang tepat, salah satu standar yang berlaku umum di bidang optimisasi kombinatorial adalah polinomial terbatas (boundedness polynomial). Sebuah algoritma dianggap “baik”

jika jumlah dasar langkah komputasi dibatasi oleh sebuah polinomial dalam ukuran masalah. Alasan pertama pentingnya batas polinomial adalah: fungsi polinomial berkembang lebih cepat dari pada fungsi eksponensial, dan fungsi eksponen berkembang lebih cepat dari pada fungsi faktorial. Batas polinomial digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi dalam lingkup yang besar.

Selain itu, terdapat algoritma yang eksponensial secara teoritis, namun berprilaku seperti algoritma polinomial untuk tujuan yang praktis. Sebagai contoh adalah algoritma simpleks yang telah diteliti secara empiris untuk menyelesaikan perhitungan aljabar dengan jumlah variabel dan kendala dari masalah pemrograman linier. Meskipun algoritma polinomial memiliki batas, kriteria polinomial terbatas telah terbukti secara signifikan lebih praktis. Dalam kasus masalah yang melibatkan spesifikasi berbagai parameter numerik, misalnya panjang busur, besaran parameter ini harus jelas dan harus diperhitungkan.

2.2 Metode Penyelesaian

Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sebuah masalah optimisasi. Beberapa teknik matematika yang dapat digunakan dalam algoritma ini: (1) pemrograman linear, (2) rekursi dan pencacahan, (3) heuristik, (4) statistik.

(23)

8

Program linier yang berhubungan dengan perbedaan (extremization) dari subjek fungsi tujuan linier untuk kendala ketimpangan. Dari aspek geometrik, kendala ketimpangan linier menggambarkan politipe cembung. Pemrograman perhitungan linear merupakan hasil dari satu simpul (vertex) politipe ini ke yang lain, dengan nilai fungsi tujuan yang menyertainya. Untuk memecahkan masalah optimasi kombinatorial dapat dilakukan dengan pemrograman linier untuk merumuskan sistem kendala ketimpangan linear yang akan menyebabkan simpul dari politipe cembung untuk sesuai dengan solusi layak masalah kombinatorial.

Biasanya hal ini menghasilkan sejumlah kendala yang dapat terdaftar secara eksplisit. Masalah optimasi kombinatorial juga dapat diselesaikan dengan metode pemrograman linier, bahkan dalam kasus dimana tidak ada karakteristik yang baik kendala ketimpangan diperlukan.

Pendekatan pencarian lokal juga merupakan suatu teknik yang digunakan dalam optimisasi kombinatorial. Pencarian lokal adalah suatu algoritma iteratif yang bergerak dari satu solusi S ke S⁰ lain berdasarkan struktur ketetanggaan (neighborhood). Studi mengenai pencarian lokal telah menjadi pusat perhatian.

Banyak penelitian yang membahas tentang permasalahan pencarian lokal untuk menemukan solusi optimum lokal. Didalam fungsi ketetanggaan klasik, ketetanggaan k-opt pada TSP (Lin,1965), ketetanggaan MAX CUT dan MAX 2SAT (Schaffer dan Yannakakis, 1991). Meskipun dalam masalah tersebut termasuk masalah ketetatanggan, berbentuk piramid perjalanan ketetanggaan, seperti pada TSP. Ausiello dan Protasi (1995) memperkenalkan klasifikasi GLO (untuk mengawetkan optimum lokal) pada masalah optimisasi yang menjadi nilai fungsi tujuan pada setiap optimum lokal di tanggung menjadi faktor konstan dari optimum lokal. Khana et al., (1998) melanjutkan ide ini menjadi masalah yang awet GLO, yang diikuti untuk dengan sebuah modifikasi dari fungsi tujuan yang digunakan untuk menghitung optimum lokal.

Pada salah satu pembahasan, inti dari ketetanggaan terdiri atas semua solusi pasti (exact), selain itu diasumsikan bahwa jumlah berbeda fungsi tujuan dari solusi layak adalah batas polinomial. Karena itu, algoritma dasar pencarian lokal menghasilkan sebuah solusi optimum lokal pada waktu polinomial.

Perbedaannya, tidak dapat dibuat sejumlah asumsi pada nilai fungsi tujuan atau mempertimbangkan ketetanggaan. Dalam tesis ini, akan diperlihatkan bahwa sebuah optimum ε-lokal dapat selalu dihitung dengan nilai polinomial dari sebutan

(24)

9

meningkat menjadi subroutine. Di sisi lain, saat sebuah optimum ε-lokal memiliki sifat yang dekat dengan optimum lokal, nilai fungsi tujuannya tidak menjamin bernilai dekat dengan optimum global. Namun, secara umum hal ini berlaku untuk juga pada optimum lokal. Misalnya, penelitian yang dilakukan oleh Pa- padamitriou dan Steiglitz (1977) menunjukkan bahwa optimum lokal tidak efisien pada pencarian ketetanggaan untuk TSP dapat berada dalam faktor konstan dari nilai optimal kecuali P = NP. Namun, setiap kali masalah optimasi kombinatorial memiliki lingkungan yang efisien dicari sehingga nilai setiap optimum lokal berada dalam faktor konstan α ≥ 1 yang berasal dari minimum global, kemudian dapat dihitung pada waktu polinomial sebuah ε-lokal dengan biaya lebih baik dari α + ε pada global optimum.

Klauck (1996) mempelajari kompleksitas dalam menemukan solusi terbaik nilai fungsi tujuan adalah dengan pendekatan optimum lokal terburuk dengan menggunakan batas dari bentuk reduksi PLS. Kelengkapan dibawah reduksi ini memiliki implikasi bahwa pendekatan optimum lokal tidak dapat mencapai kondisi efisien kecuali P = PLS (polynomial-time local search). Sebagai contoh, program 0/1 dengan ketetanggaan k − flip dan TSP dengan ketetanggan k-opt bernilai konstan adalah lengkap dibawah reduksi ini. Sebuah fungsi ketetanggaan N dari masalah optimisasi kombinatorial Q

tepat jika setiap solusi optimal lokal dengan N juga optimal lokal. Pada kasus ini, waktu polinomial penuh (fully polynomial-time) pola optimisasi ε− lokal kenyataannya adalah pola pendekatan waktu polinomial penuh. Sculz dan Weismantel (1995) menunjukkan bahwa jika masalah optimisasi kombinatorial mempunyai ketetanggaan yang pasti dapat dicari keefisienanya dan ketepatanya, yang benar-benar dapat menemukan solusi tepat optimal yang efisien. Kemudian melanjutkan pembahasan tentang masalah program linier bilangan bulat 0/1 (contohnya masalah optimisasi kombinatorial) pada bilangan bulat untuk sebuah optimum lokal dengan polynomial time kecuali lingkungan yang tepat, dan diperoleh P = PLS (Sculz dan Weismantel 1999, 2002).

Hasil utama dalam penelitian Fischer (1995) adalah kemungkinan terbaik diperoleh jika dilakukan pemeriksaan pada kelas algoritma yang bergerak secara berulang-ulang (iterative) yang bergerak dari satu solusi layak (feasible) ke solusi layak di daerah tetangganya. Misalnya, diberikan sebuah solusi layak S(F , c) pada masalah optimisasi kombinatorial Q

dan sejumlah k, pertanyaan

(25)

10

yang dimunculkan adalah apakah terdapat optimum lokal dengan ketetanggan k dengan S. Fischer menunjukkan bahwa pertanyaan ini adalah NP complete dengan MAX CUT dan MAX 2SAT dibawah flip ketetanggaan dan untuk TSP dibawah ketetanggaan 2-opt, dan lainnya. Orlin, et al., (2004) menunjukkan sambungan dari keluarga (Aε)ε>0 dengan algoritma untuk menemukan ε− optimal lokal dengan waktu polinomial dengan masukan ukuran dan log 1/ε implikasi adanya algoritma waktu polinomial untuk menghitung optimum lokal.

(26)

BAB 3

PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL

Pada bab ini penulis akan memaparkan materi-materi yang berhubungan dan mendukung untuk masalah pendekatan pencarian lokal pada optimisasi kombinatorial. Materi tersebut akan dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini, sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya.

3.1 Pendekatan Pencarian Lokal

Pendekatan pencarian lokal (local search approach) digunakan untuk menemukan solusi (yang mendekati optimal) dari masalah optimisasi. Menurut Arkin dan Hassin, (1998), pendekatan pencarian lokal (local search approach) adalah algoritma berulang-ulang (iterative) yang bergerak dari satu solusi S ke S⁰ yang lain didasarkan pada struktur tetangga dan beberapa aturan yang digunakan untuk mencari solusi baru dari data yang ada.

Prosedur pencarian lokal biasanya terdiri dari beberapa langkah seperti berikut:

1. Inisialisasi (Initialisation). Memilih sebuah jadwal inisial S menjadi solusi baru dan memperhitungkan nilai fungsi objektif F(S)

2. Pencarian Ketetanggaan (Neighbour Generation). Memilih sebuah tetangga S⁰ pada solusi baru S dan menghitung F(S⁰).

3. Tes Kelayakan (Acceptance Test). Tes untuk menentukan apakah perpindahan dari S ke S⁰ diterima. Jika perpindahan diterima atau layak, kemudian S⁰ digantikan dengan S sebagai solusi yang baru; jika sebaliknya S tetap sebagai yang solusi baru.

4. Tes Akhir (Termination Test). Tes untuk menentukan apakah algoritma harus dihentikan atau tidak. Jika dihentikan, keluaran yang dihasilkan merupakan solusi terbaik; jika sebaliknya, proses diulangi pada langkah kedua.

(27)

12

Pada langkah pertama, sebuah solusi awal dapat diperoleh dengan membuat gambaran heuristik pada pembahasan sebelumnya atau dapat dispesifikasi dengan sebuah permutasi acak. Jika prosedur pencarian lokal digunakan beberapa kali, kemudian layak untuk digunakan. Untuk generasi tetangga S⁰ pada tahap kedua, sebuah struktur ketetanggaan harus ditetapkan terlebih dahulu. Tetang- ga dapat dipilih secara acak, sistematis, atau dengan beberapa kombinasi dari kedua pendekatan. Pada langkah ketiga, tetangga yang dipilih berdasarkan nilai F (S) dan F (S⁰) pada fungsi tujuan untuk jadwal S dan S⁰. Dalam beberapa algoritma hanya jadwal perpindahan yang ”baik” yang diterima (jadwal S⁰ lebih baik dari S jika F (S⁰) < F (S)); pada beberapa kasus diijinkan untuk berpindah ke tetangga yang ”buruk” jika setelahnya diperhitungkan lebih kecil nilai fungsi tujuannya. Algoritma dihentikan pada tahap keempat jika waktu perhitungan melampaui limit waktu yang telah ditentukan atau setelah jumlah waktu yang ditentukan komplit.

Pencarian lokal dapat dipandang sebagai sebuah perjalanan pada graf ber- arah dimana simpul (vertex) adalah solusi yang berhubungan dengan tetangganya. Fungsi pembangkit tetangga menentukan arah dari graf ini. Secara khusus, jika graf tidak terhubung, maka tetangga tidak tepat karena terdapat bagian yang layak yang akan mengakibatkan optimum lokal tetapi tidak akan terdapat optimum global. Pada pencarian lokal, rencana solusi dan ketetanggaan adalah rencana yang dihasilkan oleh penerapan seperangkat rencana menulis ulang aturan deklaratif.

Versi dasar dari pencarian lokal adalah perbaikan berulang-ulang (iterative improvement). Perbaikan berulang ini dimulai dengan solusi awal dan mencari tetangga dari solusi awal tersebut yang memiliki solusi biaya yang lebih rendah.

Jika solusi tersebut ditemukan, solusi baru dapat menggantikan solusi saat ini dan pencarian diteruskan. Jika tidak ditemukan, algoritma mengembalikan solusi optimal lokal. Gambar 3.1 menunjukkan gambaran grafis dari perbaikan berulang.

Ada beberapa variasi dari algoritma dasar ini. Perbaikan pertama menghasilkan tetangga secara bertahap dan memilih solusi biaya yang lebih baik dari yang ada sekarang. Perbaikan terbaik menghasilkan tetangga yang lengkap dan memilih solusi terbaik dalam lingkungan ini.

(28)

13

Gambar 3.1 Perbaikan berulang dasar

Dengan melakukan perulangan perbaikan dari hasil sebelumnya dapat diperoleh solusi optimum lokal, tetapi belum tentu diperoleh optimum globalnya. Salah satu cara untuk meningkatkan kualitas solusinya adalah merestart pencarian dari beberapa titik awal dan memilih yang terbaik dari optimum lokal agar diperoleh solusi yang layak. Algoritma yang lebih canggih, seperti pencarian variabel mendalam (variable depth search), simulated annealing, tabu search, dan genetic algoritm adalah upaya-upaya yang digunakan untuk meminimalkan kemungkinan terjebak dalam optimum lokal yang berkualitas rendah.

Pencarian variabel mendalam didasarkan pada penerapan urutan langkah- langkah sebagai lawan hanya satu langkah pada setiap iterasi. Selain itu, panjang urutan dapat berubah dari iterasi satu ke iterasi lainnya. Dengan cara ini sistem mengatasi kenaikan biaya kecil jika akhirnya kemungkinan solusi mengarah pada pengurangan biaya yang kuat. Gambar 3.2 menunjukkan gambaran grafis dari pencarian variabel mendalam (variable depth search).

Pada ilmu komputer, pencarian lokal (local search) adalah suatu metode metaheuristik untuk menyelesaikan masalah perhitungan (computationally) optimisasi hard. Pencarian lokal dapat digunakan pada masalah yang diformulasikan untuk memaksimalkan solusi berdasarkan kriteria diantara sejumlah calon solusi (candidate solutions). Algoritma pencarian lokal bergerak dari suatu solusi ke solusi lain pada S yang merupakan ruang calon solusi (the search space) dengan menerapkan perubahan lokal, sampai ditemukan sebuah solusi yang dianggap optimum atau telah melewati batas waktu (Baghel et al., 2012).

(29)

14

Gambar 3.2 Pencarian variabel mendalam (variable depth search)

Pendekatan pencarian lokal berhubungan dengan struktur ketetanggan yang didefenisikan sebagai himpunan dari semua solusi yang mungkin dari F . Untuk setiap x ∈ F , dimana N(x) ⊆ F adalah sebuah fungsi ketetanggaan. Solusi yang mungkin pada N(x) disebut tetangga dari x, atau solusi berdekatan (adjacent) ke x. Algoritma simpleks adalah algoritma pencarian lokal dimana N(x) terdiri dari semua solusi awal yang mungkin, yang membedakannya dari x yang hanya terdiri dari satu kolom acuan.

Untuk masalah TSP, Nk(x) adalah himpunan semua perjalanan yang berbeda dari titik x ke k titik yang lain. Pada permasalahan ini, ada sebuah kota awal dan sejumlah k kota untuk dikunjungi. Seorang salesman dituntut memulai perjalanan dari kota awal ke seluruh kota yang harus dikunjungi tepat satu kali.

Sebuah solusi optimum lokal x^∗ ∈ F adalah solusi terbaik diantara seluruh solusi yang ada dalam N(x^∗). Tetangga N(x) dicari pada titik x ∈ F untuk dibuktikan dengan subroutine.

Pencarian dimulai pada solusi awal yang mungkin x⁰ ∈ F dan digunakan perbaikan subroutine untuk mencari solusi terbaik pada daerah ketetanggaannya, hal ini dilakukan terus menerus sepanjang masih terdapat solusi yang lebih baik.

Proses pencarian ketetanggaan diulangi lagi dan dibandingkan dari solusi yang diperoleh sebelumnya. Pencarian dihentikan sampai ditemukan solusi optimum lokal.

(30)

15

3.2 Optimisasi Kombinatorial

Masalah optimisasi adalah meminimalkan atau memaksimalkan sebuah fungsi tujuan f pada himpunan F dari solusi yang mungkin. Dalam kasus F memiliki batas yang berada pada solusi yang mungkin, masalah ini yang dikenal sebagai masalah optimisasi. Fungsi tujuan f, untuk masalah tersebut, biasanya berbentuk fungsi linier. Masalah lintasan terpendek, pada travelling salesman problem atau masalah Knapsack adalah beberapa contoh dari masalah optimisasi kombinatorial, yang memiliki aplikasi yang sangat luas di semua bidang kehidupan. Keterbatasan dari himpunan layak F dapat sangat menyesatkan. Orang akan berpikir bahwa komputer dapat menyelesaikan banyak hal dari masalah optimisasi kombinatorial dengan evaluasi sistematis fungsi tujuan f untuk setiap solusi yang mungkin pada F dan dipilih dengan minimum atau maksimum.

Orlin et al.,(2004) mengemukakan masalah optimisasi kombinatorikQ yang terdiri dari sebuah kumpulan seperti (F , c), dimana himpunan F dari solusi yang mungkin adalah subset dari famili pada himpunan daerah terbatas E = {1, ..., n}.

Fungsi tujuan c : E → Q+ menetapkan nilai tak negatif untuk setiap solusi yang mungkin S ∈ F melalui c(S) := Σe∈Sce. Dengan mengasumsikan bahwa Q

ter- tutup dibawah skala componentwise pada koefisien fungsi tujuan: misalnya, jika (F , c) ∈ Q

maka (F , c⁰) ∈ Q

untuk semua c⁰ ∈ Q+. Permasalahan TSP adalah salah satu contoh dari masalah optimisasi kombinatorial. Untuk alasan teknik, diasumsikan bahwa c(S)6= 0 untuk S ∈ F . Hai ini bertujuan untuk menemukan solusi optimal secara global, misalnya, sebuah solusi yang mungkin S^∗ sedemikian sehingga c(S^∗) ≤ c(S) untuk setiap S ∈ F . Travelling Sallesman Problem (TSP) atau masalah minimum spanning tree adalah contoh dari masalah optimisasi kombinatorial.

Algoritma dibutuhkan untuk merancang penyelesaian masalah optimisasi kombinatorial, yang membutuhkan jumlah yang wajar untuk sampai pada solusi optimal. Dengan jumlah yang wajar, itu berarti bahwa waktu yang dibutuhkan untuk sampai pada solusi optimal harus polinomial berderajat kecil atau bit yang diperlukan untuk menginput data masalah dalam komputer, sehingga upaya yang diperlukan untuk memecahkan nilai yang besar dari suatu masalah, dapat diselesaikan secara bertahap.

(31)

16

3.3 Kompleksitas Komputasi

Kompleksitas komputasi adalah cabang dari teori komputasi dalam ilmu komputer yang berfokus pada pengklasifikasian permasalahan komputasi sesuai dengan ke- sulitan inheren. Dalam konteks ini, sebuah masalah komputasi dipahami sebagai tugas yang pada prinsipnya disetujui untuk diselesaikan dengan proses kompu- terisasi. Sebuah masalah komputasi terdiri dari contoh-contoh permasalahan dan solusi untuk menyelesaikan permasalahan ini. Sebagai contoh, pengujian nomor perdana adalah masalah menentukan apakah nomor yang diberikan perdana atau tidak. Contoh-contoh masalah ini adalah bilangan asli, dan solusi untuk sebuah pengujian adalah ya atau tidak didasarkan pada apakah nomor perdana atau tidak. Masalah ini dianggap sebagai secara inheren sulit jika memecahkan masalah yang memerlukan sejumlah besar sumber daya, tergantung pada algoritma yang digunakan untuk memecahkan itu. Digunakan matematika komputasi untuk mempelajari masalah ini dan jumlah kuantitatif sumber daya yang dibutuhkan untuk memecahkannya, seperti waktu dan penyimpanan. Ukuran kompleksitas lain juga digunakan, seperti jumlah komunikasi (digunakan dalam kompleksitas komunikasi), jumlah gerbang dalam rangkaian (digunakan dalam rangkaian kompleksitas) dan jumlah prosesor (digunakan dalam komputasi paralel). Secara khusus, teori kompleksitas komputasi menentukan batas-batas praktis tentang apa yang komputer bisa dan tidak bisa lakukan.

Perbedaan utama antara teori kompleksitas komputasi dan analisis algoritma adalah bahwa yang terakhir ditujukan untuk menganalisis jumlah sumber daya yang dibutuhkan oleh algoritma tertentu untuk memecahkan masalah, sedangkan yang pertama mengajukan pertanyaan yang lebih umum tentang semua kemungkinan algoritma yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang sama. Lebih tepatnya, hal ini mencoba untuk mengklasifikasikan masalah yang dapat atau tidak dapat diselesaikan dengan tepat sumber daya terbatas. Pa- da gilirannya, memaksakan pembatasan pada sumber daya yang tersedia adalah apa yang membedakan kompleksitas komputasi dari teori komputabilitas: teori yang terakhir bertanya apa jenis masalah dapat diselesaikan dengan prinsip sebuah algoritma.

Contoh masalah : sebuah masalah komputasi dapat dilihat sebagai sebuah koleksi yang tak terbatas kasus bersama-sama dengan solusi untuk setiap contoh. Input string untuk sebuah masalah komputasi disebut sebagai contoh masalah. Dalam

(32)

17

teori kompleksitas komputasi, masalah mengacu pada pertanyaan abstrak yang harus dipecahkan. Sebaliknya, sebuah contoh dari masalah ini adalah ucapan yang agak konkret, yang dapat digunakan sebagai masukan untuk masalah keputusan.

Sebagai contoh, perhatikan masalah primality pengujian. contoh adalah nomor dan solusinya adalah ”ya” jika nomor perdana dan ”tidak” sebaliknya. Bergan- tian, yang contoh adalah input tertentu untuk masalah, dan solusinya adalah output sesuai dengan input yang diberikan.

(33)

BAB 4

PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK

4.1 Pola Optimisasi ε-Lokal

Pada bagian ini, akan dikembangkan sebuah algoritma dengan waktu polinomial (polynomial time) untuk menghitung sebuah ε−lokal optimum pada contoh yang diberikan (F , c) dengan himpunan dasar E pada masalah optimisasi Π dengan fungsi ketetanggaan N. Sebuah algoritma untuk menghitung nilai optimum lokal yang menggunakan pencarian ketetanggaan dan memeriksa kelayakan pada masalah PLS (for polynomial-time local search) sebagai solusi yang baik pada masukan (input) dengan kasus eksponensial terburuk. Dengan kata lain, untuk menghitung optimum lokal pada masalah PLS-complete, harus digunakan penyelesaian khusus. Pola pada algoritma ini bekerja untuk masalah optimisasi kombinatorial sepanjang masih terdapat solusi layak yang dapat dihitung secara efisien.

Algoritma ε-lokal ini bekerja pada ukuran ketetanggaan (neighborhoods of any size), khususnya ukuran eksponensial ketetanggaan. Bagian selanjutnya terdapat algoritma sederhana untuk lingkungan polinomial, yang diberikan secara eksplisit. Algoritma dimulai dengan sebuah solusi yang mungkin S⁰. Kemudian diubah menjadi biaya elemen ce untuk e ∈ E menurut aturan skala yang ditentukan untuk menghasilkan contoh yang dimodifikasi. Dengan menggunakan pencarian lokal pada masalah modifikasi ini, dapat dicari sebuah solusi dengan sebuah nilai fungsi tujuan (berhubungan dengan nilai asli) yang merupakan setengah dari S⁰. Jika solusi yang lebih baik tidak ditemukan, maka S⁰ merupakan optimum lokal. Sebaliknya, jika terdapat solusi yang lebih baik dari S⁰, maka solusi tersebut ditetapkan sebagai S¹, seterusnya algoritma diulang. Deskripsi formal algoritma yang dikemukakan oleh Orlin et al., (2004), disajikan sebagai berikut.

(34)

19 Input : Fungsi tujuan c : E → N; peningkatan subroutin N ; inisial

solusi layak S⁰ ∈ F ; ketelitian ε > 0.

Output : Solusi S^ε ∈ F adalah sebuah ε-lokal optimum menuju ke N dan c.

Step 1 : Misalkan i:= 0;

Step 2 : Misalkan K := c(Sⁱ), q := _2n(1+ε)^K^ε dan c⁰_e := d^c_q^eeq untuk e ∈ E;

Step 3 : Misalkan k:= 0 dan S^i,k:= Sⁱ; Step 4 : repeat

Panggil perbaikan N(S^i,k, c⁰);

If jawaban “No”, then

Misalkan Sî,k+1 ∈ N(Sî,k) sedemikian sehingga c⁰(Sî,k+1)< (Sî,k); himpunan k := k + 1;

else S^ε:= S^i,k; stop until c(S^i,k) ≤ K/2;

Step 5 : Misalkan S^i,k, himpunan i := i+1 dan go to Step 2.

Modifikasi koefisien biaya pada langkah 2 hanya berjumlah pembulatan ke nilai terdekat integer q.

Teorema 4.1. (Orlin et al., 2004) Algoritma pencarian ε-lokal menghasilkan sebuah optimum ε-lokal.

Bukti. Algoritma pencarian ε-lokal berakhir, dimana mengikuti dari analisis waktu berjalan berdasarkan bukti ini. Diberikan S^ε menjadi solusi yang dihasilkan oleh algoritma tersebut, dan andaikan S ∈ N(S^ε) menjadi solusi yang dapat berubah-ubah dalam lingkungannya. Andaikan K dan q menunjukkan nilai-nilai yang sesuai dari eksekusi terakhir pada langkah 2 pada algoritma.

c(S^ε) = X

e∈S^ε

ce≤ X

e∈S^ε

dce

qeq ≤X

e∈S

dce

qeq ≤X

e∈S

q(ce

q + 1) ≤X

e∈S

ce+ nq = c(S) + nq,

dimana n = |E|. Disini, ketidaksamaan kedua berdasarkan dari kenyataan bahwa S^ε adalah optimal lokal yang sesuai ke c⁰. Karena c(s^ε) ≤ K/2, ini berarti

c(S^ε) − c(S)

c(S) ≤ nq

c(S^ε) − nq ≤ 2nq

K − 2nq = ε.

(35)

20

Disetiap langkah dalam meningkatkan pencarian lokal pada langkah 4 dari algoritma, nilai fungsi tujuan (dengan nilai ke c⁰) berkurang dengan sedikit q unit. Sehingga jumlah panggilan untuk memperbaiki di antara dua iterasi secara berturut-turut pada step 2 adalah O(n(1 + ε)/ε) = O(n/ε). Langkah 2 di eksekusi sebanyak c(S⁰) kali, dimana S⁰ adalah solusi awal. Sehingga jumlah total lingkungan yang didapat adalah O(nε⁻¹logc(S⁰)). Oleh karena itu, jika jumlah total ketetanggaan N dapat dicari dengan waktu polinomial untuk mencari solusi yang lebih baik, maka terdapat pola optimisasi waktu polinomial penuh (fully polynomial time) ε−lokal. Jumlah iterasi termasuk dalam faktor log c(S⁰), dan oleh karena itu polinomial tidak terikat kuat. Namun, hal ini mungkin untuk membuktikan kuat polinomial terikat pada jumlah iterasi. Untuk ini, digunakan lemma berikut.

lemma 4.2. (Orlin et al., 2004) Andaikan d = (d1, . . . , dn) adalah real vektor dan andaikan y1, . . . , yp adalah vektor di {0, 1}ⁿ. Jika untuk semua i = 1, . . . , p− 1, 0 ≤ dyi+1 ≤ ¹₂dyi, maka p = O (n log n).

Bukti. Nilai K pada setiap eksekusi berkurang sedikitnya setengah. Selanjutnya, K adalah sebuah kombinasi linier dari ce untuk e ∈ E dan koefisien dalam kombinasi linier ini berasal dari himpunan {0,1}. Lemma 4.2. menunjukkan bahwa langkah 2 pada algoritma pencarian ε-lokal dapat dilaksanakan sebanyak O(n log n) kali. Jadi, total jumlah panggilan untuk memperbaiki hasil pada langkah 4 sepanjang algoritma adalah O(ε⁻¹n²log n). Jika ζ(n, log cmax) adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencari ketetanggaan(neighborhood) N untuk memperbaiki solusi (misalnya waktu eksekusi untuk memperbaiki hasil) dan ξ(n) adalah waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi awal yang layak, kompleksitas dari algoritma pencarian ε-lokal adalah O(ξ(n) + ζ (n, log cmax)nε⁻¹ min {n log n, logK⁰), dimana K⁰ := c(S⁰) adalah nilai fungsi tujuan dari solusi awal dan cmax adalah nilai maksimal dari koefisien fungsi tujuan.

Jadi jika ζ(n, log cmax) dan ζ(n) adalah polinomial, maka algoritma pencarian ε-lokal juga merupakan waktu polinomial dengan pola optimisisasi ε-lokal.

Perhatikan bahwa ζ(n, log cmax) dan ξ(n) termasuk polinomial dari ukuran input untuk semua masalah pencarian lokal.

(36)

21

Pada algoritma pencarian ε-lokal waktu untuk mengeksekusi (running-time) kadang dapat ditingkatkan dengan memanfaatkan struktur spesial dari pokok ketetanggaan (underlying neighborhood). Sebuah fungsi ketetanggaan N menghasilkan ketetanggaan k-opt jika S1, S2∈ N(S) menunjukkan |(S1\S2)∪(S2\S1)| ≤ k, dimana ekuivalen dengan ikatan jarak Hamming antara insiden vektor S1 dan S2oleh k. Untuk ketetanggaan k-opt, dengan memilih parameter q := _2k(1+ε)^K^ε pada algoritma pencarian ε-lokal, dapat diperoleh sebuah optimum ε-lokal. Selain itu, jumlah panggilan dari perbaikan solusi antara dua urutan eksekusi pada langkah 2 dari algoritma modifikasi ini adalah O(ε⁻¹) untuk k. Hal ini menurunkan jumlah total panggilan ke O(ε⁻¹min{n log n, log K⁰}) dan menyebabkan waktu eksekusi dari O(ξ(n) + n^kε⁻¹min{n log n, log K⁰}) untuk algoritma pencarian ε-lokal.

Sama halnya, jika menimbang masalah optimisasi kombinatorial memiliki 2 algoritma pendekatan, salah satu dari algoritma dapat digunakan untuk menghitung solusi awal S0. Jika solusi tersebut digunakan sebagai solusi awal, maka langkah 2 pada algoritma pencarian ε-lokal dilakukan hanya sekali dan kemudian jumlah total dari perpindahan perbaikan adalah O(nε⁻¹). Akibatnya, keseluruhan waktu running-time dari algoritma ε-lokal adalah O(ξ(n) + ζ(n, logcmax)nε⁻¹, dimana ξ(n) sekarang menunjukkan running-time dari ke 2 algoritma pendekatan.

Kenyataannya, bila salah satu memiliki sebuah solusi layak S⁰ untuk contoh I sedemikian sehingga c(S⁰ ≤ p(hIi)c(S^∗) untuk beberapa polinomial p pada input ukuran hIi, maka salah satu dapat menyesuaikan nilai dari q menjadi q := (Kε)/(np(hIi)(1 + ε)) dan kriteria loop utama sesuai, sehingga algoritma pencarian ε-lokal dihitung sebuah optimum ε-lokal pada iterasi O(np(hIi)ε⁻¹).

Arkin dan Hassin (1998) menerapkan sebuah pendekatan yang sama seperti penggunaan algoritma pencarian ε-lokal untuk menghitung optimum lokal pada polynomial time dalam konteks bobot masalah pembungkusan (packing) k-set.

Mereka menganggap sebuah ketetanggaan yang nilai setiap optimum lokal dalam faktor tertentu merupakan nilai pada optimum global. Karena itu, pendekatan ini dikaitkan dengan Rubinstein, menghasilkan sebuah algoritma pada waktu polinomial (dalam Arkin dan Hassin, 1998).

(37)

22

4.2 Perluasan (Extensions) dan Jenis Berbeda (Variants)

Pada bagian ini akan dibahas beberapa perluasan dan variasi hasil pada pembahasan dibagian 4.1 bahwa hasil dari jaminan pendekatan dalam kasus ketetanggaan yang tepat, pembahasan lebih sederhana dari algoritma pencarian ε-lokal secara eksplisit memberikan ketetanggaan pada ukuran polinomial, untuk meng- ganti perbaikan dengan prediksi dan masalah pemrograman batas bilangan bulat.

4.2.1 Ketetanggaan pasti (Exact neighborhoods)

Fungsi tujuan N untuk masalah optimisasi kombinatorial Π adalah pasti (exact) jika setiap optimum lokal sudah optimum global. Dalam hal ini, diprediksi bahwa fungsi nilai fungsi tujuan dari optimum ε-lokal dengan hubungan ke sebuah ketetanggaan yang tepat juga dalam faktor (1 + ε) dari nilai pada optimum global.

Namun, hal ini tidak benar seperti yang ditunjukkan dengan contoh berikut.

Contoh 4.3. Andaikan G = (V, E) sebuah graf terhubung dengan bobot jalur (edge weights) ce untuk e ∈ E. Diberikan F keluarga dari semua pohon rentang (it spanning tree) G. Oleh karena itu, pertimbangkan masalah spanning tree.

Untuk beberapa pohon T ∈ F , tinjau ketetanggaan N(T ) yang terdiri beberapa pohon rentang diperoleh dari T dengan menambahkan jalur e ∈ E \ T ke T dan mengubah sebuah jalur f ∈ T dari induksi siklus dasar. Hal ini ketetangaan 2-opt, yang diketahui pasti (exact). Sekarang pilih G sebagai sebuah roda (gambar 4.1) dengan himpunan simpul {0, 1, . . . , n}. Untuk setiap jalur (0, i), i = 1, 2, · · · , n (dimana simpul n + 1 diidentifikasi dengan simpul 1), ditetapkan sebuah nilai nol.

n 5

1 4

0 2 0 3

0 0

1 1 1

. . .

Gambar 4.1 Roda (wheel) pada jalur n + 1

(38)

23

Pohon rentang T^ε, yang merupakan bintang berakar pada simpul 0, adalah sebuah 1/(n − 1) optimum lokal untuk setiap n ≥ 3. Meskipun, lintasan Hamil- tonian T^∗ = (0, 1, . . . , n) adalah pohon rentang minimum dan c(T^ε) − c(T^∗) = (n − 1) c(T^∗). Demikian pula, (T^ε) bukan merupakan pendekatan (1 + ε) untuk setiap ε < n − 1.

Untuk ketetanggaan yang tepat pada waktu polinomial penuh (fully polynomial time), pola optimisasi ε-lokal sebenarnya adalah sebuah pola pendekatan waktu polinomial penuh (fully polynomial-time approximation scheme), seperti yang ditujukan pada teorema berikut.

Teorema 4.4. (Orlin et al., 2004) Jika ketetanggaan N pada masalah optimisasi kombinatorial Π adalah pasti (exact), maka nilai fungsi tujuan pada solusi yang dihasilkan oleh algoritma pencarian ε-lokal merupakan faktor dari (1 + ε) yang merupakan global minimum.

Bukti. Andaikan (F , c) sebagai contoh yang diberikan pada Π. Andaikan S^∗ sebuah solusi optimal dan andaikan S^ε menjadi solusi yang dihasilkan oleh algoritma. Andaikan K, q, dan c⁰ menyatakan hubungan nilai dari eksekusi terahir pada langkah 2 dalam algoritma pencarian ε-lokal. Karena S^ε adalah optimal lokal dengan menuju ke c⁰ dan ketetanggaan adalah tepat, S^ε adalah solusi optimal untuk (F , c⁰). Sedemikian sehingga,

c(S^ε) ≤ X

e∈S^ε

dce

qeq ≤ X

e∈S^∗

dce

qeq ≤ X

e∈S^∗

q(ce

q+1) ≤ c (S^∗)+nq ≤ c(S^∗)+ ε

1 + ε c (s^ε) dimana pertidaksamaan terahir mengikuti dari defenisi pada q dan fakta bahwa c(S^∗) ≥ K/2.

4.3 Ketetanggaan Ukuran Polinomial (Polynomial-sized Neighborhoods) Algoritma pencarian ε-lokal dirancang untuk bekerja pada setiap masalah pencarian lokal yang masih terdapat perbaikan, tanpa menghiraukan ukuran atau struktur dari ketetanggaan dan implementasi dari perbaikan. Secara khusus, algoritma pencarian ε-lokal mengidentifikasi untuk TSP dan setiap yang mengikuti ketetanggaan ε-lokal optimum dalam waktu polinomial. Berikut algoritma pencarian ε-lokal untuk ketetanggaan pada ukuran polinomial (Orlin et al., 2004).

(39)

24 Input : Fungsi tujuan c : E → N; fungsi tetangga N : F → 2^F;

inisial solusi layak S ∈ F ; ketelitian ε > 0.

Output : Solusi S^ε ∈ F adalah sebuah ε-lokal optimum menuju ke N dan c.

Step 1 : while S bukan ε-lokal optimum do

Pilih S⁰ ∈ N(S) memenuhi c(S⁰) < c(S)/(1 + ε);

S := S⁰; Step 2 : return S^ε := S.

Keteraturan ketetanggaan adalah ukuran polinomial dan diberikan secara eksplisit, seperti ketetanggaan k-opt untuk TSP, ketetanggaan flip untuk MAX CUT MAX 2SAT, atau pertukaran (swap) ketetanggaan pada masalah partisi graf.

4.4 Batasan Masalah Pemrograman Linier Bilangan Bulat

Generalisasi untuk kasus program linear bilangan bulat dengan variabel terbatas, yang pada kenyataannya adalah program linier 0/1, misalnya masalah bentuk min{cx : x ∈ F } dengan F ⊆ {0, 1, . . . , u}ⁿ untuk beberapa bilangan bulat positif u. Dalam hal ini, lingkungan yang memberikan setiap solusi layak x ∈ F sebuah himpunan pada titik layak dalam {0,1,. . . ,u}ⁿ. Jika solusi layak awal yang memungkinkan adanya perbaikan, algoritma pencarian ε-lokal dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menghitung optimum ε-lokal. Bahkan, dengan memilih parameter skala q : _2n(1+ε)u^K^ε , merupakan bilangan iterasi(dan karena itu jumlah panggilan untuk perbaikan) adalah O(nε⁻¹u log K⁰). Jadi, jika suatu solusi layak awal dapat diidentifikasi dalam waktu polinomial, jika perbaikan dapat diimplementasikan dalam waktu polinomial, dan jika u terbatas oleh polinomial dalam n dan log Cmax, maka algoritma pencarian ε-lokal berjalan dalam waktu polinomial.

(40)

BAB 5 KESIMPULAN

Pendekatan pencarian lokal merupakan suatu teknik yang digunakan dalam optimisasi kombinatorial. Pencarian lokal adalah suatu algoritma berulang (iterative) yang bergerak dari satu solusi S ke S⁰ lain berdasarkan struktur ketetanggaan (neighborhood).

Algoritma pencarian ε-lokal dirancang bekerja untuk masalah pencarian lokal (local search) yang merupakan sebuah algoritma yang bertujuan untuk perbaikan (improvement), terlepas dari ukuran atau struktur lingkungan dan pelak- sanaan dari algoritma.

Dalam tesis ini, masalah optimisasi kombinatorial dianggap program linear 0/1-integer yaitu, masalah bentuk min {cx : x ∈ F } dengan F ⊆ {0, 1}ⁿ. Hal ini masih dapat dilanjutkan ke kasus program linier bilangan bulat dengan variabel dibatasi, yang dapat digambarkan sebagai berikut: min {cx : x ∈ F } dengan F ⊆ {0, 1, . . . , u}ⁿ untuk beberapa bilangan bulat positif u. Dalam konteks ini, lingkungan yang memberikan setiap solusi layak x ∈ F sebuah himpunan dari titik layak dalam {0, 1, . . . , u}ⁿ. Jika solusi layak awal dan algoritma peningkatan (Improve) tersedia, algoritma pencarian ε-lokal dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menghitung ε-lokal optimum. Jadi, jika suatu solusi layak awal dapat diidentifikasi dalam waktu polinomial, maka algoritma dapat menghasilkan solusi optimum lokal dengan waktu polinomial, dan jika u dibatasi oleh polinomial dalam n dan log Cmax, maka algoritma pencarian ε-lokal berjalan dalam waktu polinomial.

(41)

DAFTAR PUSTAKA

Arkin, E.M., dan Hassin, R. (1998). On Local Search for Weighted k-set packing.

Math. Oper. Res., 23, pp. 640 - 648.

Ausiello,G., dan Protasi,M. (1995). Local Search, Reducibility and Approximabi- lity of NP-Optimization Problems. Inform. Process. Lett. 54. pp. 73-79.

Baghel,M., Agrawal,S., dan Silakari,S. (2012). Survey Of Metaheuristic Algorithms for Combinatorial Optimization. International J Comput. Vol 58. 0975-8887.

Choudhary,S., dan Purohit,G.N. (2011). Solving Combinatorial Optimization Problem Using Distributed Approach. International Journal of Computer Applications Vol 35. 0975-8887.

Fischer, S.T. (1995). A Note on The Complexity of local Search Problems. Inform.

Process. Left. 53 pp. 69-75.

Khana, S., Motwani, R., Sudan, M., Vazirani, U. (1998). On Syntactic Versus Computational Views of Approximability. SIAM J. Comput. 19 pp. 742-749 Klauck,H. (1996). On The Hardness of Global and Local Approximation. Procee-

dings of the 5th Scandinavian Workshop on Algoritm Theory, Editor: Karls- son R.

Lawler, E., (1976). Combinatorial Optimization Networks and Matroids. Library of Congress Cataloging in Publication Data. University of California at Berkeley.

Lee, J. (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge Univer- sity Press.

Lin, S. (1965). Computer Solutions of The Traveling Salesman Problem. Bell Sys- tem Tech. J. 44 pp. 2245-2269.

Orlin, J.B., Punnen,A.P., dan Schulz,S. (2004). Approximate Local Search in Com- binatorial Optimization. SIAM J Comput. Vol 33. No.5. pp 1201-1214.

Papadimitriou, C.H., dan Steiglitz, K. (1977). On the Complexity of Local Search for the Travelling Salesman Problem. SIAM J. Comput. 6. pp. 76-83.

Schaffer, A.A., dan Yannakakis, M. (1991). Simple Local Search Problems That Are Hard to Solve. SIAM J. Comput. Vol 20. pp. 56-87.

Schulz, A.S., dan Weismantel, R. (1995). 0/1 Integer Programming : Optimization and Augmentation are Equivalent. Lecture Note in Comput. Sci. Springer, pp .473-483.

Schulz, A.S., dan Weismantel, R. (1999). An Oracle-Polynomial Time Augmenta- tion Algoritm for Integer Programming. MD SIAM pp .967-968.

Schulz, A.S., dan Weismantel, R. (2002). The Complexity of Generic Primal Algo- rithms for Solving General Integer Programs, Math.Oper.Res. 27. pp .681-692.

Sharma, P. (2003). Local Search for Combinatorial Optimization Problem. 263, 275–310.

Yannakakis,M. (1997). Computational Complexity, Local Search in Combinatorial Optimization. Wiley, Chichester, pp. 1955.