Bab IV PEMBAHASAN. 2. Waktu tunggu L mempunyai n komponen saling bebas, dimana komponen ke-i mempunyai durasi normal b i

commit to user

Bab IV

PEMBAHASAN

Pada bab ini dikembangkan model persediaan (T, π_x, L) menjadi (T, π_x, L, A) pada kasus partial backorder mengacu pada Bab II. Selanjutnya penyelesaian opti- mal pada model persediaan (T, π_x, L, A) dicari untuk meminimumkan biaya total persediaan. Kemudian menerapkan model persediaan (T, π_x, L, A) pada sebuah contoh terapan . Berikut adalah asumsi yang diperlukan dalam pengembangan model berdasarkan Lin [11].

1. Tingkat persediaan ditinjau setiap unit waktu T . Pemesanan dilakukan sehingga jumlah barang mencapai tingkat persediaan maksimum R, dengan R = ekspektasi permintaan selama protection interval + stok pengaman, R = D(T + L) + kσ√

T + L , dengan k adalah faktor pengaman tak negatif.

2. Waktu tunggu L mempunyai n komponen saling bebas, dimana komponen ke-i mempunyai durasi normal b_i dan durasi minimum a_i, i = 1, 2, 3, , n dan biaya pengurangan waktu tunggu per unit waktu ci, dimana ci diatur sedemikian hingga c₁ ≤ c2...≤ cn.

3. Diberikan L_i dinotasikan sebagai waktu tunggu dengan komponen 1, 2, ..., i ditentukan durasi minimumnya, dimana L_i dapat dinyatakan dengan

L_i =∑n

j=1b_j−∑i

j=1(b_j − aj), dengan i = 1, 2, ..., n.

Sehingga, biaya pengurangan waktu tunggu C(L) tiap siklus adalah C(L) = c_i(L_i−1− L) +∑_i

j=1c_j(b_j − aj) , untuk L∈ [Li, L_i−1].

4. Rasio backorder β proporsional terhadap backorder price discount yang ditawarkan oleh perusahaan per unit πx, dengan β = ^β0_π^πx

0 , untuk 0 <

β₀ ≤ 1 dan 0 ≤ πx ≤ π0.

commit to user

5. Investasi modal, I(A) untuk mengurangi biaya pemesanan adalah fungsi logaritma dari biaya pemesanan A dan biaya pemesanan awal A₀, yaitu

I(A) = αln(^A_A⁰) untuk 0 < A≤ A0, dengan α = ¹_δ.

4.1 Model Persediaan (T, π

_x

, L, A)

4.1.1 Siklus Pemesanan Periodic Review

Siklus pemesanan periodic review ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Tingkat persediaan selama waktu periodik

Pada Gambar 4.1 terlihat bahwa pada awal siklus T₁ posisi persediaan ber- ada pada tingkat P₁, sehingga jumlah barang Q_A yang harus dipesan hingga mencapai target level R adalah R− P1. Selama waktu tunggu L_A permintaan tetap berlangsung, sehingga persediaan akan menurun dan setelah waktu tunggu persediaan akan naik sebanyak Q_A. Kemudiaan persediaan akan terus menurun hingga waktu pemesanan siklus kedua. Ketika persediaan berada di titik P₃ jumlah barang yang harus dipesan adalah sebanyak Q_B. Selama waktu tunggu persediaan akan menurun hingga menuju stockout, hal ini disebabkan pesanan yang berada di awal P₃ belum diterima sampai akhir waktu tunggu L_B. Pada model periodic review, T₁ = T₂ = ... = T_n. Protection interval pada model

commit to user

periodic review adalah T + L, yaitu panjang interval selama satu periode waktu pemesanan ditambah dengan waktu tunggu berikutnya.

4.1.2 Pengembangan Model

Pada bagian ini dijabarkan pengembangan model persediaan (T, π_x, L) ke model persediaan (T, π_x, L, A). Biaya total persediaan merupakan jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan dan biaya pengurangan waktu tunggu yang terjadi pada kasus partial backorder.

1. Biaya pemesanan (ordering cost ).

Jika terdapat sejumlah Q unit barang yang dipesan secara periodik dan D merupakan banyaknya permintaan. Setiap siklus persediaan mempunyai periode waktu pemesanan T , yaitu pemesanan kembali dilakukan setiap akhir periode waktu T . Dengan demikian, _T¹ merupakan frekuensi peme- sanan per tahunnya. Besarnya biaya pemesanan (A) pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder sama, karena jumlah barang yang dibu- tuhkan dalam satu periode hanya dipengaruhi oleh frekuensi pemesanan per tahun, sehingga diperoleh

OC = Biaya pemesanan sekali pesan × frekuensi pemesanan per tahun

= ^A_T

Biaya pemesanan merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memesan barang.

Biaya tersebut dapat berkurang karena adanya investasi. Sejumlah inves- tasi I(A) dapat mengurangi besarnya biaya pemesanan. Besarnya biaya pemesanan akan berkurang dengan laju pengurangan δ, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut

I(A) = αln(^A_A⁰), 0 < A≤ A0 dengan α = ¹_δ,

Jika diberikan sejumlah potongan sebesar η per tahun, maka besarnya biaya investasi per unit waktu adalah ηαln(^A_A⁰) , sehingga diperoleh

OC= ηαln(^A_A⁰) + ^A_T

commit to user 2. Biaya penyimpanan (holding cost ).

Pada awal siklus, kondisi persediaan maksimum adalah DT + S dan akan minimum pada akhir siklus sebesar S, dengan S merupakan rata-rata perse- diaan bersih pada saat pemesanan datang atau persediaan pengaman (safe- ty stock ) selama interval protection. Jika diasumsikan rata-rata permintaan tetap, maka jumlah persediaan di gudang akan berkurang secara linear dari DT +S menjadi S, sehingga rata-rata jumlah persediaan di gudang per unit waktu adalah

m = 1

2(DT + S) + 1

2S = DT

2 + S. (4.1)

Macam-macam biaya penyimpanan untuk kasus backorder, lost sales dan partial backorder dapat dijelaskan sebagai berikut.

(a) Kasus backorder.

Jika x merupakan jumlah permintaan selama protection interval, ma- ka jumlah persediaan pengaman selama protection interval adalah ξ(x, R) = R− x, dengan R merupakan tingkat target barang yang harus dipesan. Pada kasus backorder, nilai ξ(x, R) dapat bernilai negatif. Hal ini dikarenakan konsumen bersedia menunggu sampai barang yang dipesan tersedia, sehingga rata-rata jumlah persediaan pengaman selama berada dalam protection interval adalah

S =

∫ _∞

−∞

ξ(x, R)f (x)dx

=

∫ _∞

−∞

(R− x)f(x)dx

=

∫ _∞

−∞

Rf (x)dx−

∫ _∞

−∞

xf (x)dx

= R− D(T + L).

(4.2)

Jika nilai S pada persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan

commit to user

(4.1), maka biaya penyimpanan per siklus pada kasus backorder adalah HC = biaya penyimpanan per unit× rata-rata jumlah persediaan

per unit waktu × periode waktu pemesanan selama satu siklus

= hmT

= h[DT

2 + S]T

= h[DT

2 + R− D(T + L)]T

= h[DT

2 + R− DT − DL]T

= h[R−DT

2 − DL]T.

Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per si- klus yang seimbang dengan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun, yaitu

HC = h[R− ^DT₂ − DL]T_T¹

= h[R− ^DT₂ − DL].

(b) Kasus lost sales.

Pada kasus lostsales jumlah persediaan pengaman selama protection interval ξ(x, R) tidak boleh bernilai negatif. Hal ini dikarenakan jika permintaan konsumen tidak dapat dipenuhi, maka perusahaan akan kehilangan konsumennya. Jumlah persediaan pengaman selama pro- tection interval pada kasus lost sales adalah dinyatakan sebagai

ξ(x, R) =





R− x, R − x ≥ 0;

0, R− x < 0,

sehingga diperoleh rata-rata jumlah persediaan pengaman selama pro- tection interval pada kasus lost sales, yaitu

S =∫_∞

−∞ξ(x, R)f (x)dx

=∫_R

−∞ξ(x, R)f (x)dx

=∫R

−∞(R− x)f(x)dx

=∫_∞

−∞(R− x)f(x)dx −∫_∞

R (R− x)f(x)dx

=∫_∞

−∞(R− x)f(x)dx +∫_∞

R (x− R)f(x)dx

= R− D(T + L) + E(X − R).

(4.3)

commit to user

E(X− R) merupakan rata-rata jumlah permintaan karena kekurang- an persediaan pada akhir siklus, dimana X merupakan permintaan selama protection interval dengan pdf, f_X, mean D(T + L) dan stan- dar deviasi σ√

T + L dengan σ merupakan standar deviasi permintaan per unit waktu. Jika nilai S pada persamaan (4.3) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), maka biaya penyimpanan per siklus pada ka- sus lostsales adalah

HC = biaya penyimpanan per unit× rata-rata jumlah persediaan per unit waktu × periode waktu pemesanan selama satu siklus

= hmT

= h[DT

2 + S]T

= h[DT

2 + R− D(T + L) + E(X − R)]T

= h[R−DT

2 − DL + E(X − R)]T.

Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per si- klus yang seimbang dengan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun, yaitu

HC = h[R−^DT₂ − DL + E(X − R)]T_T¹

= h[R−^DT₂ − DL + E(X − R)].

(c) Kasus partial backorder.

Misalkan β merupakan presentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0≤ β ≤ 1, sehingga pada kasus partial back- order rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus pada persamaan (4.1) menjadi

m = β(R− ^DT₂ − DL) + (1 − β)(R − ^DT₂ − DL + E(X − R))

= R−^DT₂ − DL + (1 − β)E(X − R).

commit to user

Biaya penyimpanan per siklus pada kasus partial backorder adalah HC = biaya penyimpanan per unit× rata-rata jumlah persediaan

per unit waktu × periode waktu pemesanan selama satu siklus

= hmT

= h[R−DT

2 − DL + (1 − β)E(X − R)]T.

Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per si- klus yang seimbang dengan frekuensi pemesanan per tahun adalah

HC = h[R− ^DT₂ − DL + (1 − β)E(X − R)]T_T¹

= h[R− ^DT₂ − DL + (1 − β)E(X − R)]. (4.4) Jika pemesanan sebanyak tingkat target R = D(T + L) + kσ√

T + L yang merupakan jumlahan dari mean dan standar deviasi sepanjang protection interval dan β = ^β_π⁰

0π_x, dengan β₀ merupakan batas atas rasio backorder, π₀ merupakan keuntungan marginal dan π_x meru- pakan backorder price discount yang diberikan supplier per unit disubs- titusikan pada persamaan (4.4) maka diperoleh

HC = h[DT

2 + kσ√

(T + L) + (

1− β₀ π₀π_x

)

E(X − R)].

3. Biaya kekurangan persediaan (stockout cost ).

Biaya kekurangan persediaan adalah biaya yang muncul akibat kehabisan persediaan selama waktu tunggu. Kekurangan persediaan mengakibatkan hilangnya keuntungan. Jumlah permintaan selama protection interval yang mengalami kekurangan persediaan pada kasus backorder maupun lostsales adalah

η(x, R) =





0, x− R < 0;

x− R, x − R ≥ 0.

Rata-rata jumlah permintaan yang mengalami kekurangan persediaan se- lama protection interval adalah

¯

η(x, R) =∫_∞

R η(x, R)f (x)dx

=∫_∞

R (x− R)f(x)dx

= E(X− R),

commit to user

sehingga rata-rata jumlah permintaan yang mengalami kekurangan perse- diaan selama protection interval selama satu tahun adalah

¯

η(x, R)1

T = E(X− R)1 T.

Berikut diberikan biaya kekurangan persediaan untuk kasus backorder, lost- sale dan partial backorder.

(a) Kasus backorder

Pada kasus ini, perusahaan tidak akan mengalami kehilangan pen- jualan, tetapi konsumen akan tidak bisa menerima barang karena pe- rusahaan kekurangan persediaan barang. Jika terdapat potongan har- ga sebesar π_x yang akan diberikan kepada konsumen, maka besarnya biaya kekurangan persediaan pada kasus backorder adalah

SC = π_xE(X − R)1 T. (b) Kasus lostsales

Pada kasus ini perusahaan akan kehilangan penjualan karena kon- sumen tidak mau menunggu barang yang dipesan dan kehilangan keper- cayaan dari para konsumennya. Jika terdapat π₀ yang merupakan keuntungan marjinal per unit yang hilang kemudian menjadi biaya kerugian dikarenakan hilangnya penjualan, maka besarnya biaya keku- rangan persediaan pada kasus lost sales adalah

SC = π0E(X− R)1 T. (c) Kasus partial backorder

Misalkan β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0≤ β ≤ 1 maka biaya kekurangan persediaan pada kasus partial backorder adalah

SC = βπ_xE(X − R)_T¹ + (1− β)π0E(X− R)_T¹

= (βπ_x+ (1− β)π0)E(X − R)_T¹.

commit to user Jika disubtitusikan β = β₀^π_π^x

0, diperoleh total biaya kekurangan perse- diaaan selama satu tahun adalah

SC = (βπ_x+ (1− β)π0)E(X− R)_T¹

= _T¹(βπ_x+ (1−^β_π⁰₀π_x)π₀)E(X − R)

= _T¹(^β_π⁰

0π²_x+ π₀− β0π_x)E(X − R).

4. Biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost ) .

Besarnya pengurangan waktu tunggu merupakan rata-rata biaya yang dikelu- arkan untuk mempercepat kedatangan barang per siklus. Misalkan L₀ =

∑n

j=1b_j merupakan waktu tunggu awal sebelum adanya pengurangan waktu tunggu. Diasumsikan bahwa waktu tunggu L memiliki sejumlah n kompo- nen yang saling asing. Masing-masing komponen ke-i memiliki durasi waktu tunggu minimum a_i, durasi waktu tunggu normal b_i, dan biaya pengurang- an waktu tunggu per unit waktu adalah c_i, dengan c₁ ≤ c2 ≤ · · · ≤ cn. Besarnya c_i digunakan sebagai biaya percepatan kedatangan barang. L_i merupakan lama waktu tunggu yang telah di-crash dengan masing-masing komponen. Menurut Yang et al.[25], L_i dapat ditulis sebagai

L_i =∑n

j=1b_j−∑i

j=1(b_j − aj), dengan i = 1, 2, ..., n.

Besarnya C(L) untuk L∈ [Li, L_i−1] per siklus adalah

C(L) = c_i(L_i−1− L) +∑i−1

j=1c_j(b_j − aj) dan C(L₀) = 0.

Besarnya biaya pengurangan waktu tunggu pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder selama satu tahun adalah

C(L) = [c_i(L_i−1− L) +∑i−1

j=1c_j(b_j − aj)]_T¹.

Biaya total tahunan yang diharapkan (expected annual cost ) adalah pen- jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persedia- an, serta lead time crashing cost, sehingga diperoleh model total biaya persediaan

commit to user (T, π_x, L, A) sebagai berikut

EAC(T, π_x, L, A) = OC + HC + SC + CC

= ηαln(^A_A⁰) + ^A_T + h[R− DL − ^DT₂ + (1−^β_π^0π₀^x)E(X − R)]

+_T¹(^β0_π^πx2

0 + π₀− β0π_x)E(X− R) + ^C(L)_T .

(4.5)

4.1.3 Model Persediaan dengan Permintaan Selama Protection Interval Berdistribusi Normal

Jika permintaan selama protection interval diasumsikan berdistribusi nor- mal dengan mean D(T + L) dan standar deviasi σ√

T + L dan R = D(T + L) + kσ√

T + L, maka ekspektasi jumlah permintaan karena kekurangan persediaan adalah

E(X − R) =

∫ _∞

R

(x− R) 1

σ√

2π(T + L)e^{−12 (x−D(T +L)σ√T +L )2}dx. (4.6) Jika dimisalkan z = ^{x−D(T +L)}

σ√

T +L , dx = σ√

T + L dz, maka persamaan (4.6) men- jadi

E(X − R) = ^√1_2πσ√

T + L∫_∞

k (z− k)e^{−12 z2}dz

= σ√

T + L∫_∞

k (z− k)ϕ(z)dz

= σ√

T + L(ϕ(k)− k[1 − Φ(k)])

= σ√

T + LΨ(k)

(4.7)

dengan Ψ(k) = (ϕ(k)− k[1 − Φ(k)]), ϕ, dan Φ secara berturut-turut merupakan pdf dan CDF dari distribusi normal standar. Jika E(X − R) pada persamaan (4.7) dan R = D(T + L) + kσ√

T + L disubstitusikan ke dalam persamaan (4.5)

commit to user maka diperoleh

EAC(T, π_x, L, A) = ηαln(^A_A⁰) + ^A_T + h[R− DL − ^DT₂ + (1−^β0_π^π₀^x) E(X− R)] + _T¹(^β0_π^πx2

0 + π₀− β0π_x)E(X− R) + ^C(L)_T

= ηαln(^A_A⁰) + ^A+C(L)_T + h[(D(T + L) + kσ√

T + L)

−DL −^DT₂ + (1− ^β0_π^π₀^x)σ√

T + LΨ(k)]

+_T¹(^β0_π^πx2

0 + π₀− β0π_x)σ√

T + LΨ(k)

= ηαln(^A_A⁰) + ^A+C(L)_T + h(^DT₂ + kσ√

T + L) +[h(1− ^β0_π^π₀^x) + _T¹(^β0_π^πx2

0 + π₀− β0π_x)]σ√

T + LΨ(k) (4.8) dengan L_i ≤ L ≤ Li−1.

4.1.4 Penyelesaian Optimal

Tujuan dari permasalahan persediaan barang adalah mengambil keputu- san yang optimal untuk meminimalkan biaya yang dikeluarkan. Pada bagian ini dicari penyelesaian optimal pada model persediaan (T, π_x, L, A) yang dapat meminimumkan total biaya persediaan. Pada landasan teori telah dijelaskan bah- wa untuk dapat meminimumkan total biaya persediaan, maka fungsi biaya total merupakan fungsi yang konveks. Kekonveksan suatu fungsi dapat dilihat dari matriks Hessian yang bersifat definit positif.

Turunan pertama dari fungsi biaya total model persediaan (T, π_x, L, A) adalah

∂EAC(T,πx,L,A)

∂T = −_T^A2 + h(^D₂ + ^kσ

2√

T +L)− ^C(L)_T² −

√T +Lσ(π0−π^xβ0+^π2xβ0_π0 )Ψ(k) T²

+^σ(h(1−

πxβ0

π0 )+^{π0−πxβ0+}

π2xβ0 π0

T )Ψ(k)

2√

T +L ,

(4.9)

∂EAC(T,πx,L,A)

∂πx = σβ₀√

T + L(−_π^h₀ +_T¹(^2π_π^x

0 − 1))Ψ(k), (4.10)

∂EAC(T,πx,L,A)

∂L = −^c_Tⁱ +₂^√hkσ_{T +L} +^σ(h(1−

πxβ0

π0 )+^{π0−πxβ0+}

π2xβ0 π0

T )Ψ(k)

2√

T +L , (4.11)

∂EAC(T,πx,L,A)

∂A = _T¹ − _δA^η . (4.12)

commit to user

Jika persamaan (4.10) disamadengankan nol maka diperoleh (

2β0πx

π0 − β0

T −hβ₀ π0

)σ√

T + LΨ(k) = 0

⇔

2β0πx

π0 − β0

T σ√

T + LΨ(k) = hβ₀ π0

σ√

T + LΨ(k)

⇔

2β0πx

π0 − β0

T = hβ₀ π0

⇔ 2β₀π_x

π₀ − β0 = hβ₀ π₀ T

⇔ 2β₀π_x

π₀ = hβ₀

π₀ T + β₀

⇔ 2β₀π_x = hβ₀T + β₀π₀

⇔ π_x^∗ = hT + π₀

2 . (4.13)

Jika persamaan (4.9) disamadengankan nol dan persamaan (4.13) disubstitusikan dengan persamaan (4.9) maka diperoleh

A + C(L)

T² = hD

2 + h σ 2√

T + L (

k + (

1− β₀ π₀

hT + π₀ 2

) Ψ(k)

) +

σΨ(k) (

β₀(^{hT +π0}2 )²

π0 + π₀− β0

(_{hT +π0}

2

))

2T√ T + L

− (

β₀(^{hT +π0}2 )²

π0 + π₀− β0

(_{hT +π0}

2

))

T² σ√

T + LΨ(k).

(4.14)

Jika persamaan (4.12) disamadengankan nol maka diperoleh 1

T = ηα A

⇔ A^∗ = ηαT

(4.15)

Berdasarkan hasil turunan kedua dari fungsi biaya total model persediaan (T, π_x, L, A), diperoleh matriks Hessian sebagai berikut

H =











∂²EAC(T,πx,L,A)

∂T²

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂T ∂πx

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂T ∂L

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂T ∂A

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂πx∂T

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂π²_x

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂πx∂L

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂πx∂A

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂L∂T

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂L∂πx

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂L²

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂L∂A

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂A∂T

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂A∂πx

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂A∂L

∂²EAC(T,πx,L,A)

∂A²









 ,

(4.16)

commit to user dengan

∂EAC(T,πx,L,A)

∂T² = ^2A_T3 − ^hkσ

4(T +L)³² +^2C(L)_T3 − ^{σ(π0−πxβ0+}

π2xβ0 π0 )Ψ(k) T²√

T +L

+²

√T +Lσ(π0−π^xβ0+^π2xβ0_π0 )Ψ(k)

T³ − ^{σ(h(1−πxβ0π0 )+}

π0−πxβ0+π2xβ0 π0

T )Ψ(k)

4(T +L)³² ,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂π²_x = ^2σβ0

√T +LΨ(k) T π0 ,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂L² = − ^hkσ

4(T +L)³² −^{σ(h(1−πxβ0π0 )+}

π0−πxβ0+π2xβ0 π0

T )Ψ(k)

4(T +L)³² ,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂A² = _δA^η2,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂T ∂πx = ^∂EAC(T,π_∂π ^x,L,A)

x∂T

= −_2π^hσβ₀^√0Ψ(k)_{T +L}+^σβ_T√^0πxΨ(k)

T +Lπ0 − _2T^{σβ√0Ψ(k)}_{T +L} −^{2σ√T +Lβ}_T²_π⁰₀^πxΨ(k) +^σβ0

√T +LΨ(k)

T² ,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂T ∂L = ^∂EAC(T,π_∂L∂T^x,L,A)

= _T^ci2 − ^hkσ

4(T +L)³² −^{σ(h(1−β0πxπ0 )+T1(β0π}

x2

π0 +π0−β0πx))Ψ(k) 4(T +L)³²

−^σ(β0π

2x

π0 +π0−β0πx)Ψ(k) 2T²√

T +L ,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂T ∂A = ^∂EAC(T,π_∂A∂T^x,L,A) =−_T¹²,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂πx∂L = ^∂EAC(T,π_∂L∂π^x,L,A)

x = ^σβ0(−

h

π0+_T¹(^2πx

π0 −1))Ψ(k) 2√

T +L ,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂πx∂A = ^∂EAC(T,π_∂A∂π^x,L,A)

x = 0,

∂EAC(T,πx,L,A)

∂L∂A = ^∂EAC(T,π_∂A∂L^x,L,A) = 0.

Principal minor ke-1 dari persamaan matriks Hessian (4.16) adalah

∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂T² = 2(A + C(L)) T³ − [1

4hσ(T + L)⁻³²(k + (1− β₀π_x

π₀ )Ψ(k))]

− 1

4T(T + L)⁻³²(π₀− β0π_x+β₀π_x²

π₀ )σΨ(k)− 1

T²(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+ β₀π²_x

π₀ )σΨ(k)+

2

T³(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+ β0π²_x

π₀ )σΨ(k) > 0,

(4.17)

commit to user

∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂π²_x = 2β₀σ√

T + LΨ(k) T π₀ > 0,

∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂L² = − hkσ

4(T + L)³² − [h(1−^β_π^0π₀^x) + ^{π0−β0πx+}

β0π2 x π0

T ]σΨ(k) 4(T + L)³² < 0,

∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂A² = ηα

A² > 0.

Berdasarkan nilai principal minor ke-1, dapat ditunjukkan bahwa fungsi biaya total model persediaan (T, π_x, L, A) pada persamaan (4.8) tidak definit positif. Nilai principal minor ke-1 matriks Hessiannya bernilai < 0 mengaki- batkan fungsi yang tidak konveks pada T, π_x, L dan A. Jika T, π_x dan A tetap, persamaan (4.8) konkaf terhadap L∈ [Li, Li−1] karena ^∂2EAC(T,π_∂L2 ^x,k,L) < 0. Tetapi total biaya tahunan akan minimum pada titik-titik ujung interval [L_i, L_i−1].

Jika diberikan L∈ [Li, Li−1] tetap, maka matriks Hessian dari fungsi biaya total model persediaan (T, π_x, L, A) pada persamaan (4.8) adalah

H =







∂²EAC(T,πx,A)

∂T²

∂²EAC(T,πx,A)

∂T ∂πx

∂²EAC(T,πx,A)

∂T ∂A

∂²EAC(T,πx,A)

∂πx∂T

∂²EAC(T,πx,A)

∂π_x²

∂²EAC(T,πx,A)

∂πx∂A

∂²EAC(T,πx,A)

∂A∂T

∂²EAC(T,πx,A)

∂A∂πx

∂²EAC(T,πx,A)

∂A²





. (4.18)

Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.18), nilai principal minor ke-1 adalah

|H11| =∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂T²

=2(A + C(L)) T³ − [1

4hσ(T + L)⁻³²(k + (1− β₀π_x

π₀ )Ψ(k))]

− 1

4T(T + L)⁻³²(π₀− β0π_x+β₀π_x² π0

)σΨ(k)

− 1

T²(T + L)⁻¹²(π0− β0πx+β₀π_x²

π₀ )σΨ(k) + 2

T³(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+β₀π_x²

π₀ )σΨ(k)

=ζ(T )− [1

4hσ(T + L)⁻³²(k + (1− β₀π_x

π₀ )Ψ(k))], ζ(T ) = 2(A + C(L))

T³ − 1

4T(T + L)⁻³²(π₀− β0π_x+ β₀π²_x

π₀ )σΨ(k)

− 1

T²(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+ β0π_x²

π₀ )σΨ(k) + 2

T³(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+ β₀π²_x

π₀ )σΨ(k).

commit to user Selanjutnya, misal diberikan

ξ(T ) = A + C(L)

2T²(T + L) +(β₀^π_π^x2

0 + π₀− β0π_x)σ√

T + LΨ(k)

2T²(T + L) −

(β0π2x

π0+π0−β⁰πx)

T σΨ(k)

4(T + L)³²

=( hD

4(T + L) + hkσ

4(T + L)³²)−(β₀^π_π^x2

0 + π₀− β0π_x)σ√

T + LΨ(k) 2T²(T + L)

+[h(1− ^β0_π^π₀^x) + ^(β0

π2x

π0+π0−β0πx)

T ]σΨ(k)

4(T + L)³² +(β₀^π_π^2x

0 + π₀− β0π_x)σ√

T + LΨ(k) 2T²(T + L)

−

(β0 π2x

π0+π0−β0πx)

T σΨ(k)

4(T + L)³²

= hD

4(T + L)+ hkσ 4(T + L)³² +

h(1−^β0πx_π0 )

σ Ψ(k)

4(T + L)³²

= hD

4(T + L)+ hσ

4(T + L)³²(k + (1−β₀π_x

π₀ ))σΨ(k)

> hσ

4(T + L)³²(k + (1− β₀π_x

π₀ ))σΨ(k).

Sehingga, diperoleh

|H11| > ζ(T ) − ξ(T )

=2(A + C(L))

T³ − 1

4T(T + L)⁻³²(π₀ − β0π_x+ β0π²_x

π₀ )σΨ(k)

− 1

T²(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+ β₀π²_x

π₀ )σΨ(k) + 2

T³(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+ β₀π_x² π0

)σΨ(k)

− A + C(L)

2T²(T + L) +(β₀^π_π^x2

0 + π₀− β0π_x)σ√

T + LΨ(k)

2T²(T + L) −

(β0π2x

π0+π0−β⁰πx)

T σΨ(k)

4(T + L)³²

=(3T + 4L)(A + C(L)) 2T³√

T + L +(T + 4L)(π₀− β0π_x+^β0_π^π2x

0 )σΨ(k) 2T³√

T + L > 0.

commit to user Nilai principal minor ke-2 adalah

|H22| =

(∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂T²

) (∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂π_x²

)

−

(∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂π_x∂T

) (∂²EAC(T, π_x, L, A)

∂T ∂π_x

)

=[2(A + C(L)) T³ − [1

4hσ(T + L)⁻³²(k + (1− β₀π_x

π₀ )Ψ(k))]− 1

4T(T + L)⁻³² (π₀− β0π_x+ β0π²_x

π₀ )σΨ(k)− 1

T²(T + L)⁻¹²(π₀− β0π_x+β0π_x²

π₀ )σΨ(k) + 2

T³(T + L)¹²(π₀− β0π_x+ β₀π²_x

π₀ )σΨ(k)][1 T[2β₀

π₀ ]σ√

T + LΨ(k)]− [− hβ0σΨ(k)

2√

T + Lπ0

− ( T + 2L 2T²√

T + L)σΨ(k)(2β0πx

π₀ − β0)]²

>((3T + 4L)(A + C(L))

2T³(T + L) + (T + 4L)(π₀− β0π_x+ ^β0_π^πx2

0 )σΨ(k) 2T³√

T + L )

(2β₀σ√

T + LΨ(k)

T π₀ )− (−hβ₀ T π₀σ√

T + LΨ(k))²

>((3T + 4L)(A + C(L))

2T³(T + L) + (T + 4L)(π₀ − β0π_x+ ^β0_π^πx2

0 )σΨ(k) 2T³√

T + L )

2β₀σ√

T + LΨ(k)

T π₀ − (hβ₀ T π₀σ√

T + LΨ(k))²

>((T + L)(π₀− β0π_x+^β0_π^π2x

0 )σΨ(k) 2T³√

T + L )2β₀σ√

T + LΨ(k)

T π₀ − (h²β₀²

T²π²₀σ²(T + L)Ψ²(k))

=((T + L)(π₀− β0π_x+^β0_π^π2x

0 )β₀σ²Ψ²(k)

T⁴π₀ )− (β₀²h²σ²Ψ²(k)(T + L) π₀²T² )

=[(T + L)β₀σ²Ψ²(k)

T⁴π²₀ ][π²₀(1− β0) + 3β0πx(π0− πx)].

(4.19) Jika persamaan (4.13) disubstitusikan pada persamaan (4.19) dan menyeder- hanakannya, diperoleh

|H22| = [(T + L)β₀σ²Ψ²(k)

T⁴π₀² ][π₀²(1− β0) + (3β₀hT

2 +3β₀π₀

2 )(π₀−T h 2 − π₀

2 )]

= [(T + L)β₀σ²Ψ²(k)

T⁴π₀² ][π₀²(4− β0)− 3β0(hT )²] > 0.

Analog dengan penentuan |H22|, principal minor ke-3 dari persamaan (4.18)

commit to user adalah

|H33| = |H|

=ηα A²

((T + L)β₀σ²Ψ²(k) T⁴π₀²

) [π₀²(4− β0)− 3β0(hT )²]

−

(2β₀σ√

T + LΨ(k) T π₀

) (

− 1 T²

)2

=ηα A²

((T + L)β₀σ²Ψ²(k) T⁴π₀²

) [π₀²(4− β0)− 3β0(hT )²]

−

(2β₀σ√

T + LΨ(k) T⁵π₀

) .

(4.20)

Secara matematis, tanda dari |H33| sulit untuk ditentukan. Karena |H11| dan|H22| sudah terbukti positif, maka T , πxdan A yang berturut-turut diperoleh dari persamaan (2), (2), dan (2) merupakan penyelesaian optimal dari model jika

|H33| > 0.

Berikut ini adalah algoritma yang dapat digunakan untuk menentukan pe- riode waktu pemesanan, backorder price discount dan waktu tunggu. Karena periode waktu pemesanan dipengaruhi oleh besarnya investasi modal dan seba- liknya maka nilai T dan A perlu untuk diiterasikan hingga konvergen. Berikut langkah-langkah untuk mencari nilai T, π_x, L dan A yang optimal.

1. Untuk setiap L_i, i = 0, 1, 2, . . . , n, diberikan q (nilai k dapat langsung diper- oleh dari tabel distribusi normal), digunakan teknik perhitungan numerik untuk memperoleh T_i yang memenuhi persamaan (2), nilai T_i tersebut ke- mudian digunakan untuk menghitung A_i dan membandingkan A_i dengan A₀. Perhitungan T dan A diulangi hingga diperoleh nilai T dan A yang konvergen.

(a) Jika A_i ≤ A0, A_i fisibel, lanjut ke langkah 2.

(b) Jika A_i > A₀, A_i tidak fisibel. Diambil A_i = A₀ dan dihitung nilai T_i dari persamaan (2), kemudian lanjut ke langkah 2.

2. Dihitung π_xi dari persamaan (2) kemudian dibandingkan π_xi dengan π₀. (a) Jika π_xi ≤ π0, π_xi fisibel, lanjut ke langkah 3.