KARAKTERISTIK SOLUSI KUADRAT TERKECIL.

KARAKTERISTIK

SOLUSI

KUADRAT

TERKECIL

SKRIPSISARJANAMATEMATIKA

oleh :

REFNI MARCHELINA

BP.0810432022

JURUSAN

MATEMATIKA

FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM

UNIVERSITASANDALAS

KARAKTERISTIK

SOLUSI

KUADRAT

TERKECIL

SKRIPSISARJANAMATEMATIKA

oleh :

REFNI MARCHELINA

BP.0810432022

DosenPembimbing:

NOVANOLIZABAKAR,M.Si

Dr. SUSILABAHRI

JURUSAN

MATEMATIKA

FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM

UNIVERSITASANDALAS

TANDA

PERSETUJUAN

SKRIPSI

telahdiujidandisetujuiskripsinyasebagaisalahsatusyaratuntukmemperoleh

gelar Sarjana Sains (S.Si) melalui ujiansarjanayangdiadakanpadatanggal

23April2012berdasarkanketentuanyangberlaku.

Pembimbing, Penguji,

1. 1.

NovaNolizaBakar,M.Si Dr.Muhafzan

NIP.196311041992032002 NIP.196706021993021001

2. 2.

Dr.SusilaBahri IzzatiRahmiHG,M.Si NIP.196803031993022001 NIP.197409281999031002

Bismillaahirrahmaanirrahiim

”Sesungguhnyasesudahkesulitanituadakemudahan,makaapabilakamutelah selesai(darisegalaurusan)kerjakanlahdengansungguh-sungguhurusanyang

lain,hanyakepadaTuhanmulahhendaknyakamuberharap” (Al-Insyirah6-8)

Alhamdulillaahirabbil’alamiinn....

TerimakasihyaAllah...

AtaskesabarandankekuatanyangtelahEngkauanugerahkanyaAllah AtassemuakasihsayangyangmenuntunhambakejalanMUyaAllah KejalanyangterbaikdariMu...

”Skripsiinidipersembahkanbuatsemua orangyangtelahmengisihari-hariQ...”

MyFamily

MamanPapa(terimakasihatassupport,kasihsayang,do’adansemua pengob-anannya..),bgoby(anikaningekbg...!),etekQ(benarapaygetkblg).

∀sahabattercinta...

Autizerstercinta(makasibwthari2ygqtlalui,sukadukabrsama)... ∀∈O’laplace...

∀∈Himatika...

Uda2,uni2,nadek2smwygtelahmengisihri2ygpenuhwarna,bisatrtawa br-sama,menjalanihri2brsama...

Bwtse2orangyangjauhdisana,makasibwtsupportnyaselamaini,makasisaran nsmwnya...

Makasibwt”S@−el”ygpernahjadise2orangygsangatberarti...

Bwt”jelekQ”makasijugadahberimasukan2,do’anya,dukungannya,wlwterkadang dirimumenyebalkan,tapitubermaknabwthari2Q...

Terimakasihsmw,mgkintanpaadanyakebersamaanini hidupiniakanterasahampa.

KATA

PENGANTAR

Alhamdulillah,pujisyukurtakhenti-hentinyapenulispanjatkankehadirat

AllahSWTatassegalalimpahanrahmatdankarunia-Nya,sehinggapenulisdapat

menyelesaikanpenulisanskripsidenganjudul”KarakteristikSolusiKuadrat

Terkecil”yangmerupakansalahsatusyaratuntukmemperolehgelarSarjana

Sains(S.Si)diJurusanMatematikaFakultasMatematikadanIlmuPengetahuan

AlamUniversitasAndalasPadang. Salawatdansalamsemogaselalutercurah

kepada Baginda Rasulullah SAW yang menebar ilmu dan iman dalam cahaya

Islamyangbeliaubawa.

Penulismenyadarisepenuhnyabahwadalampenyusunanskripsiinitidak

terlepasdaridukungan,dorongan,kerjasamamaupunbimbingandariberbagai

pihak.Olehkarenaitu,penulismengucapkanterimakasihyangsebesar-besarnya

kepada:

1. IbukNovaNolizaBakar,M.SiselakuPembimbingIyangdengansabar

men-garahkanpenulisdalammenyelesaikanpenulisanskripsiinimelalui

bimbin-gandandiskusiyangsangatbermanfaat.Sertailmu,ide,saran,dannasihat

yangdiberikanselamapenulismenjalaniperkuliahan.

2. IbukDr.SusilaBahriselakuPembimbingIIyangmembantupenulisdalam

penyempurnaanpenulisanskripsiini,sertailmuyangdidapatselamapenulis

3. BapakDr. Muhafzan,IbuIzzatiRahmiHG,M.SidanBapakDr. Admi

Nazraselakupengujiskripsiyangtelahmemberimasukandansarankepada

penulisdalampenyempurnaanpenulisanskripsiini.

4. BapakNarwen,M.SiselakudosenPembimbingAkademikyangtelah

mem-beripengarahan,nasehat,motivasidanilmuselamapenulisbelajardi

Ju-rusanMatematikaFMIPAUnand.

5. BapakDr. SyafrizalSyselakuKetuaJurusanMatematikaFakultas

Mate-matikadanIlmuPengetahuanAlamUniversitasAndalasPadang.

6. Bapak/IbudosenJurusanMatematikaFMIPAUnandyangtelahmembagi

ilmunyakepadapenulisdalamprosesperkuliahan.Karyawan/iJurusan

Ma-tematikaFMIPAUnandyangtelahmembantuselamapenulismelaksanakan

studidiUnand.

7. AyahandaWisruldanIbundaMarniyangteristimewa,sertakakakdan

ke-duaadikkutersayangyangtelahmemberikandorongansemangat,do’a,dan

motivasitiadahenti.

8. Semuapihakyangturutmembantuhinggaselesainyaskripsiini,terutama

teman-teman angkatan 2008, senior-senior dan adik-adik angkatan 2009,

2010,dan2011diJurusanMatematikaFMIPAUnand.

Penulisselaluterbukaterhadapsumbanganpemikiranbaikkritikmaupun

bahwa dalam skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan tidakluput

darikekurangankarena terbatasnya ilmu dan pengalaman yang penulis

miliki. Kritik dan saran tersebut dapat disampaikan melaluie-maildi

chelcutes@yahoo.com.

Akhirkata,penulisberharapsemogaskripsiinidapatmemberikansesuatu

yangbermanfaatbagisemuapihakyangmembacanya.Amin.

Padang,April2012

ABSTRAK

SistempersamaanlinierAx=bdenganAmatriksm×ndimanam>n dikatakanoverdetermined system. Dalamtulisaninidikajikarakteristiksolusi kuadratterkecilpadaoverdeterminedsystem untukmemperolehsolusi aproksi-masipadainconsistentsystem.

Solusi kuadrat terkecil memenuhi AT_(b−_{Ax) = 0, persamaan normal,}

bersifattunggaljikarank(A)=n,danjikarank(A)<nmakahimpunansemua solusikuadratterkecilnyayaituS={x=xˆ+z|z∈N(A)}denganN(A)adalah ruangnulldariA.

Katakunci:sistempersamaanlinier,overdeterminedsystem,inconsistent sys-tem,persamaannormal,rank,ruangnull.

IIIPEMBAHASAN 18

3.1 KarakteristikSolusiKuadratTerkecil . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.2 ProyeksiOrtogonalpadaMasalahKuadratTerkecil . . . .26

IVPENUTUP 33

4.1 Kesimpulan . . . .33

4.2 Saran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

DAFTARPUSTAKA 35

DAFTAR

GAMBAR

2.5.1 OperatorProyeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.7.2 ProyeksiOrtogonalupadaW . . . .15

2.7.3 u−w diminimalkanolehw=projWu . . . .16

3.1.1 InterpretasiGeometridariSifatKuadratTerkecil . . . .25

3.2.2 ProyeksiOrtogonalbpadaS. . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

BAB

I

PENDAHULUAN

1.1

Latar

Belakang

Masalah

Sistem persamaan linier merupakan teori dasardalamaljabarlinier.

Sistempersamaanlinierdikatakankonsisten(consistentsystem)jikasistem

terse-butmempunyaisolusi,sedangkansistempersamaanlinieryangtidakmempunyai

solusidikatakantakkonsisten(inconsistentsystem).

Dalamkehidupannyataseringmunculkasusdimanabeberapa

permasala-hanfisika_{menghasilkansebuahsistempersamaanlinierAx=b,yangseharusnya}

konsistendalamtataranteoritisnamunmenjaditidakdemikiankarenaadanya

kesalahan-kesalahanpengukuranpadaentri-entriAdanbyangmenyebabkan

sis-temmenjaditakkonsisten.Sistemyangtakkonsistendapatdicarisolusi

aproksi-masinyadenganmenggunakanmetodekuadratterkecil.

Misalkan diberikan sistem persamaan linier dalam bentuk Ax=b

yangtakkonsisten,denganb∈Rm_danA∈_Rm×n_{. Akandicarivektorx}∈_Rn

sehinggaAxadalahpendekatanterbaikuntukb.Banyakcarayangmungkin

da-patdigunakanuntukmenentukansolusiterbaik,salahsatucaranyayaitudengan

memisalkanxmenjadisebuahsolusiuntukmasalahminimisasi:

dimana . 2merupakannormvektorEuclidean. Persamaan(1.1.1)disebut

de-nganmasalahkuadratterkecillinier, xmerupakansolusikuadratterkecildari

sistemAx=b,danb−Ax=rdisebutvektorresidu.

1.2

Perumusan

Masalah

Berdasarkan uraian diatas,permasalahan yangakandiangkatadalah

bagaimanakarakteristiksolusidarisistempersamaanlinieryangdiselesaikan

de-nganmenggunakanmetodekuadratterkecil.

1.3

Pembatasan

Masalah

Permasalahanhanyadibatasipadasolusidankarakteristiksolusidari

sis-tempersamaanlinieruntukoverdeterminedsystem denganmenggunakanmetode

kuadratterkecil.

1.4

Tujuan

Adapun yang menjadi tujuan dari penulisan adalah untuk mengetahui

karakteristikdarisolusikuadratterkecilpadaoverdeterminedsystem.

1.5

Sistematika

Penulisan

Dalamtulisanini,akandibagiatas4Bab,yaituBabIPendahuluan,yang

berisi:latarbelakang,rumusanmasalah,batasanmasalah,tujuanpenulisan,dan

sistematikapenulisan.BabIILandasanTeori,berisi:materidasardanm ateri

pe-nunjang.BabIIIPembahasantentangkarakteristiksolusidarisistemper samaan

linierpadaoverdeterminedsystemdenganmenggunakanmetodekuadra tterkecil.