Metode jarak minimum dan algoritma perceptron untuk klasifikasi pola - USD Repository

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh :

Siti Wardani

NIM : 023114033

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

Bahwa tidak semua yang diharapkan akan terjadi. Tidak semua yang diinginkan akan terpenuhi dan Tidak semua yang diminta akan diberikan.

Jangan pernah mengeluh ketika kamu harus menghadapinya !! Jangan pernah menyerah ketika keadaan tidak memihakmu dan Jangan pernah lelah untuk meneruskan langkahmu.

Akan datang saatnya kau akan tersenyum, Akan tiba waktunya lukamu akan terobati, dan

Akan ada saatnya kamu akan menertawakan apa yang kamu lakukan saat ini.

Cobalah untuk menerima kenyataan walau pahit yang kau rasakan dan Cobalah lupakan kepedihan dan mulailah tersenyum.

Apa yang dulu terlihat baik kini nampak sangat buruk.

Apa yang dulu terasa manis, kini nampak kegetiran karena itu pula

Apa yang terasa memilukan tak selamanya demikian. Apa yang kini kamu sesali suatu saat akan kamu syukuri. Karena kamu telah melakukannya dan

Apa yang kini membuatmu tertunduk dalam kesedihan Suatu saat akan mendatangkan sorak kegembiraan.

Penuhi hatimu dengan ucapan Syukur dan Siapkan hatimu untuk segala kemungkinan. Belajarlah menerima kenyataan dan

Jangan ada putus asa dalam hidup sebab Allah megasihimu Ia ada di dekatmu dan kau berharga di hadapan NYA.

Dengan kerendahan hati dan penuh rasa syukur skripsi ini kupersembahkan untuk :

Allah SWT Yang Maha Kasih

Keluarga tercinta ....Bapak, Mamak, dan adik-adikku

Keluarga Besar H. M. Soeharjo dan Kertorejo atas kasih sayangnya

Almamaterku tercinta

dimiliki obyek tersebut.

Metode Jarak Minimum adalah suatu penglasifikasi yang digunakan untuk

menglasifikasikan suatu obyek ke dalam suatu kelas pola tertentu berdasarkan pada

perhitungan jarak Euclidean. Dalam metode ini setiap kelas pola akan diwakili oleh

suatu prototype tunggal yang merupakan nilai rata-rata kelas polanya. Obyek tersebut

akan diklasifikasikan ke dalam kelas yang jarak antara prototype dari setiap kelas dan

obyek yang akan diklasifikasikan tersebut terkecil.

Algoritma Perceptron adalah penglasifikasi lain yang digunakan untuk mencari

suatu vektor bobot yang dapat memisahkan setiap kelas pola secara linear sehingga

sampel-sampel pola pada setiap kelas polanya dapat terklasifikasi dengan tepat.

Minimum distance method is a classifier used to classifier used to classify an

object into a particular class pattern based on Euclidean distance calculation. In this

method, every single pattern would be represented with a single prototype which is an

average score of its class pattern. The object would be classified into a class which

has the shortest distance between prototype from each class and the object itself.

Perceptron algorithm is a another classifier used to find a augmented vector

which able to separate linearly every class pattern and as the result, pattern samples in

every class pattern could be classified correctly.

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi ini disusun

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi

Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam penyusunan skripsi ini hingga selesai, penulis telah banyak mendapat

bantuan dari berbagai pihak berupa bimbingan, pengarahan, dan petunjuk. Untuk itu

pada kesempatan ini perkenankanlah penulis menghaturkan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada pihak yang telah memberikan bantuan ini, antara lain :

1.

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dekan Fakultas MIPA dan juga

dosen pembimbing akademik atas masukan, bimbingan serta dorongan kepada

penulis selama menempuh studi dan menyelesaikan skripsi ini.

2.

Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika yang

telah memberikan saran, bantuan, bimbingan dan ilmunya dalam bangku kuliah.

3.

Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah

dengan sabar membimbing, memberikan arahan, masukan, dan petunjuk kepada

penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

4.

Segenap Bapak dan Ibu dosen Fakultas MIPA atas segala ilmu, bimbingan dan

perhatian yang diberikan kepada penulis selama ini.

moral maupun materiil dan atas kesabaran dalam mengarahkan

penulis.Adik-adikku Suci dan Sigit yang telah menjadi teman dan adik yang baik. Keluarga

besarku yang senantiasa memberikan dorongan, nasihat dan kehangatan dalam

persaudaraan. Semoga jasa-jasa kalian semua selalu menjadi inspirasi penulis

menuju kesuksesan di masa yang akan datang.

7.

Teman-teman seperjuangan Mat’02 (Rita, Cheea, Deon, Aning, Palm, Wury,

Asih, Nunung, Lia, Bani, Desy) selamat,ya!! Lili, Priska, Sarry, Vida, Lenta, Ijup,

Ika, Archy, Debby, Aan, Taim, Marcus, Tato, Galeh

8.

Teman-teman kosku Linoel, timboel, inem, primtoel, Maria atas keakraban dan

kenyamanannya.

9.

Teman-teman KKN kelompok 1, teman-teman P3W, kakak-kakak serta adik-adik

angkatan atas kebersamaan selama ini.

10. Seseorang yang senantiasa menemaniku dalam suka maupun duka. Semoga Allah

SWT senantiasa membimbing kita.

11. Berbagai pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih atas

segala bantuannya.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Yogyakarta, Mei 2007

Penulis

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………. ii

HALAMAN PENGESAHAN ……… iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ………... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………. v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A.

Latar Belakang ... 1

B.

Rumusan Masalah ... 5

C.

Pembatasan Masalah ... 5

D.

TujuanPenulisan ... 6

E.

Manfaat Penulisan ... 6

F.

Metode Penulisan ... 7

G.

Sistematika Penulisan ... 7

C.

Panjang, Jarak dan Keorthogonalan

dalam Ruang Euclidean berdimensi-n ... 11

BAB III METODE JARAK MINIMUM UNTUK KLASIFIKASI POLA ... 19

A.

Pengantar ... 19

B.

Fungsi Pengambilan Keputusan ………. 22

C.

Algoritma Jarak Minimum ………. 28

BAB IV ALGORITMA PERCEPTRON

UNTUK KLASIFIKASI POLA …... 40

A.

Ruang Bobot ………...

40

B.

Pelatihan Perceptron untuk Penglasifikasian Pola ………. 44

1.

Algoritma Perceptron untuk 2 kelas pola ………... 45

2.

Algoritma Perceptron untuk L kelas pola ………... 57

BAB V APLIKASI METODE JARAK MINIMUM DAN

ALGORITMA PERCEPTRON UNTUK KLASIFIKASI POLA …….. 60

A.

Pengantar ……… 60

B.

Aplikasi Metode Jarak Minimum ……….. 62

C.

Aplikasi Algoritma Perceptron ……….. 65

1.

Algoritma Perceptron untuk 2 kelas pola ………... 65

2.

Algoritma Perceptron untuk L kelas pola ………... 68

DAFTAR PUSTAKA ………... 74

LAMPIRAN ………. 75

Tabel Perhitumgan Prototype Setiap kelas ... 34

Tabel Hasil Klasifikasi ... 37

Tabel Data Training Set ……… 37

Tabel Hasil Klasifikasi ... 38

Tabel Klasifikasi Huruf Jawa dengan Metode Jarak Minimum ... 64

Gambar Fungsi Pengambilan Keputusan dengan Tiga Kelas ………... 23

Gambar Fungsi Diskriminan ………. 28

Gambar Prototype Tunggal ……….. 31

Gambar Batas Pengambilan Keputusan dengan Dua

Prototype pada Setiap kelas Pola ……….. 32

Gambar Garis Tegak Lurus ………. 41

Gambar Huruf Jawa ………. 60

Gambar Flowchart Program Klasifikasi dengan Metode Jarak Minimum ……... 63

Gambar Flowchart Program Klasifikasi dengan

Algoritma Perceptron Dua Kelas ……... 67

Gambar Flowchart Program Klasifikasi dengan

Algoritma Perceptron L Kelas ……... 70

Lampiran Program Klasifikasi Contoh 3.2 dengan 3 Kelas 8 Sampel ………….. 79

Lampiran Program untuk Memanggil Huruf Jawa ……… 84

Lampiran Program Aplikasi Metode Jarak Minimum ……….. 96

Lampiran Program Klasifikasi Algoritma Perceptron

Contoh 4.1 dan Contoh 4.2 ……….. 101

Lampiran Program Aplikasi Algoritma Perceptron 2 Kelas Pola ……… 105

Lampiran Program Klasifikasi Algoritma Perceptron Contoh 4.3 ……….. 109

Lampiran Program Aplikasi Algoritma Perceptron L Kelas Pola ……… 118

A. Latar Belakang Masalah

Obyek yang tidak diketahui kelasnya

sensor

ciri obyek yang tampak

Sistem Pengenalan Pola

A B C ( perkiraan kelas )

Diagram 1. Sistem Pengenalan Pola

Input

Sensor

Ekstraksi ciri

Klasifikasi

Kelas

Diagram 2. Sistem Pengenalan Pola

obyek. Pada proses ini obyek dideteksi kemudian diukur sifat-sifat obyek yang

ber-kaitan sebagai ciri. Ekstraksi ciri bertujuan untuk mengkarakterisasi suatu obyek

menggunakan pengukuran numerik. Biasanya satu ciri saja tidak cukup untuk

mem-bedakan antara objek dari kategori yang berbeda. Sehingga perlu untuk mengenali

sebanyak mungkin ciri-ciri yang dimiliki suatu obyek. Ciri-ciri yang dimiliki suatu

obyek akan diabstraksi dalam bentuk vektor yang disebut sebagai vektor ciri.

Kum-pulan dari vektor ciri disebut ruang ciri. Tahap terakhir adalah klasifikasi yang

me-rupakan suatu proses proses pengelompokan obyek ke dalam kelas yang sesuai.

Dalam skripsi ini akan dibahas metode pengenalan pola pada tahap klasifikasi.

Klasifikasi pola bertujuan untuk mengidentifikasi obyek sebagai anggota dari suatu

kelas. Penglasifikasi menggunakan vektor ciri yang diberikan oleh pengekstraksi ciri

untuk memasukkan obyek ke dalam kelas yang sesuai. Penglasifikasi membagi ruang

ciri dari kelas-kelas obyek ke dalam daerah klasifikasi yang berbeda kemudian

me-masukkan obyek tersebut ke dalam daerah klasifikasi yang sesuai.

yaitu

x1

= panjang daun bunga dan

= lebar daun bunga. Terdapat kasus

pen-genalan pola yang terdiri atas tiga kelas pola misalkan

2

x

1

C

= kelas bunga mawar

, C₂

=

kelas bunga dahlia dan

C

₃

= kelas bunga sepatu. Setiap kelas pola mempunyai ukuran

panjang dan lebar daun bunga yang berbeda-beda. Sehingga untuk

menglasifikasi-kannya maka setiap bunga dalam keranjang tersebut akan diukur panjang dan lebar

daun bunganya. Setelah itu akan dihitung selisih panjang dan lebar daun bunga setiap

bunga dalam keranjang dengan panjang dan lebar daun bunga setiap kelas. Misalkan

suatu bunga ternyata selisih panjang dan lebar daun bunganya dengan kelas

paling

kecil maka bunga tersebut akan dikategorikan sebagai anggota kelas

yaitu kelas

bunga mawar. Dalam proses penglasifikasian bunga di atas digunakan faktor jarak

dalam menghitung selisih panjang dan lebar daun bunga suatu bunga dengan kelas

bunga tertentu.

1

C

1

C

Dalam skripsi akan dibahas penggunaan metode Jarak Minimum untuk

klasifi-kasi pola dan penggunaan algoritma Perceptron. Dengan menggunakan metode Jarak

Minimum maka suatu obyek akan diklasifikasikan ke dalam kelas yang jaraknya

ter-dekat atau terkecil dengan obyek tersebut. Obyek akan diproses melalui tahap-tahap

dalam sistem pengenalan pola di atas. Kemudian akan diperoleh ciri-cirinya dan

diabstraksikan sebagai vektor ciri. Suatu penglasifikasi adalah alat dengan n masukan

dan sebuah keluaran. Setiap input digunakan untuk menginformasikan satu dari n ciri

yaitu

yang diukur dari suatu obyek untuk diklasifikasikan. Suatu

penglasifikasi R akan menghasilkan satu dari R simbol

n

x

x

x

1

,

2

,....,

R

C

C

C

suatu keluaran, keluaran ini merupakan suatu keputusan tentang kelas dari obyek

yang diklasifikasikan.

Algoritma Perceptron digunakan untuk mencari suatu vektor bobot sembarang

w,

kemudian vektor bobot

w

tersebut digunakan untuk memisahkan dua kelas pola

tersebut secara linear sehingga sampel-sampel pola pada setiap kelas akan

terklasifi-kasi dengan benar.

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas adalah :

1. Bagaimana landasan matematis metode Jarak Minimum untuk klasifikasi pola?

2. Bagaimana klasifikasi pola dilakukan dengan metode Jarak Minimum?

3. Bagaimana landasan matematis algoritma Perceptron digunakan untuk

menglasifikasikan dua kelas pola ?

4.

Bagaimana klasifikasi pola dari dua kelas yang berbeda dilakukan dengan

algo-ritma Perceptron ?

C. Batasan Masalah

D

.

Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah :

1. Memahami landasan matematis yang digunakan dalam klasifikasi pola dengan

me-tode Jarak Minimum dan algoritma Perceptron.

2. Membedakan suatu obyek dari obyek lain dengan menentukan kelompok pola ber

dasarkan ciri-ciri yang dimiliki obyek tersebut.

3. Melakukan identifikasi suatu pola yang diamati sebagai anggota dari suatu kelas

pola yang sudah diketahui menggunakan metode Jarak Minimum dan algoritma

Perceptron.

4. Menyelesaikan masalah-masalah pengenalan pola dalam tahap klasifikasi pola

menggunakan metode Jarak Minimum dan algoritma Perceptron.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan skripsi ini adalah :

1. Dapat mengerti landasan matematis yang digunakan dalam metode Jarak Minimum

dan algoritma Perceptron untuk klasifikasi pola.

2.

Dapat mengetahui tahap-tahap klasifikasi pola menggunakan metode Jarak

Mini-mum dan algoritma Perceptron.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka

dengan mempelajari beberapa bagian materi dari buku yang digunakan sebagai bahan

acuan dan bantuan komputer khususnya program Matlab.

G. Sistematika Penulisan

Pada Bab 1 Pendahuluan, berisi gambaran umum tentang isi skripsi yang

meli-puti latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penuli san,

manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

Pada Bab 2 Landasan Teori, berisi beberapa teori yang mendasari pembahasan

bab berikutnya, yaitu sifat-sifat penjumlahan dan perkalian vektor, Norm Euclidean,

jarak Euclidean, dan pertidaksamaan Cauchy Schwart.

Pada Bab 3 Metode Jarak Minimum untuk Klasifikasi Pola, berisi tentang

peng-antar metode Jarak Minimum, pengambilan keputusan dengan pendekatan jarak

Euclidean. Pembahasan terakhir dari bab ini adalah penggunaan metode Jarak

Mini-mum untuk menglasifikasikan pola.

Pada Bab 5 Aplikasi Metode Jarak Minimum dan Algoritma Perceptron untuk

Klasifikasi Pola, Bab ini menyajikan suatu kasus klasifikasi pola dengan

mengguna-kan metode Jarak Minimum dan algoritma Perceptron.

Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendasari penggunaan metode Jarak

Minimum untuk klasififkasi pola yaitu :

A. Ruang

Euclidean

Berdimensi-

n

Sub bab ini bertujuan untuk memperkenalkan vektor di ruang Euclidean

berdi-mensi –n.

Definisi 2.1

Himpunan dari semua kumpulan terurut

disebut ruang Euclidean

berdimensi-n dan diberi lambang

.

)

,...,

,

,

(

v

1

v

2

v

3

v

n n

ℜ

Definisi 2.2

Vektor

v

di

adalah pasangan terurut

dengan

merupakan bilangan real. Ditulis

n

ℜ

(

v

1

,

v

2

,

v

3

,...,

v

n

)

n

v

v

v

v

₁

,

₂

,

₃

,...,

v

=

(

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

,...

,

v

n

)

, nilai-nilai

disebut komponen atau koordinat dari vektor.

n

v

v

v

B. Operasi-operasi dalam Ruang

Euclidean

Berdimensi-

n

Operasi-operasi yang berlaku dalam

ℜn

adalah sebagai berikut :

Definisi 2.3

Dua vektor

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

dan

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

dalam

disebut sama jika

n

ℜ

)

,...,

,

2 2 1

1

v

u

v

u

n

v

n

u

=

=

=

Jumlah

u

+

v

adalah

)

,...,

,

(

u

1

+

v

1

u

2

+

v

2

u

n

+

v

n

=

+

v

u

Jika s sebarang skalar, perkalian skalar s

u

adalah

)

...,

,

,

(

su

1

su

2

su

n

s

u

=

Teorema 2.1

Jika ,

u

=

(

u

₁

,

u

₂

,

...

,

u

n

)

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

dan

w

=

(

w

1

,

w

2

,

...

,

w

n

)

adalah

vektor-vektor dalam

ℜn

dan r dan s sebarang skalar, maka

Komutatif) (Sifat

(a) u+v=v+u

) Assosiatif (Sifat w v u w v u

(b) +( + )=( + )+

Identitas) (Sifat u 0 u + = (c) elemen) (Invers 0 u u

+(-1) =

(d) if) (Distribut v u v

u ) r r

r(

(e) + = +

u u

u r s

s) (r

u u) (rs) r(s

(g) =

u u)= 1( (h)

C. Panjang, Jarak dan Keorthogonalan dalam Ruang

Euclidean

berdimensi-

n

Selanjutnya akan dibahas tentang gagasan panjang (norm), jarak dan

keorthogonalan vektor-vektor dalam

. Namun, sebelumnya akan didefinisiskan

hasil kali titik dalam ruang Euclidean berdimensi –n sebagai berikut

n

ℜ

Definisi 2.4

Jika dan

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

adalah sebarang vektor dalam

,

maka hasil kali dalam Euclidean

u

·

v

dari dua vektor tersebut didefinisikan sebagai

n

ℜ

n n

v

u

v

u

v

u

+

+

+

=

⋅

v

1 1 2 2

...

u

Karena suatu vektor dapat dituliskan dalam bentuk matriks, maka perkalian titik

da-pat dituliskan sebagai

u

·

v = u

t

v

Teorema 2.2

Jika

u

,

v

, dan

w

adalah vektor di

ℜn

dan r sebarang skalar, maka

(c) (r

u

)

·

v

= r(

u

·

v

) ( Homogen )

(d)

u

·

u

0

≥

(e)

u

·

u

= 0 jika dan hanya jika

u

=

0

Dalam

, panjang vektor adalah panjang garis

yang mewakili

vektor itu, dan

jarak diantara vektor

u

dan

v

ialah jarak diantara dua titik yang mewakili kedua

vektor itu. Dengan demikian, panjang dan jarak bagi vektor-vektor dalam

adalah

sebagai berikut :

2

ℜ

n

ℜ

Definisi 2.5

Norm Euclidean dari suatu vektor

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

dalam

adalah

n

ℜ

u

=

(_u⋅_u)12 =

u

⋅

u

2 2

2 2

1

)

(

)

...

(

)

(

u

+

u

+

+

u

n

=

2

sehinggau⋅u= u

Definisi 2.6

Jarak Euclidean antara titik-titik

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

dan

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

dalam

adalah

n

ℜ

d

(

u

,

v

)

=

u

−

v

=

(

u

₁

−

v

₁

)

2

+

(

u

₂

−

v

₂

)

2

+

...

+

(

u

n

−

v

n

)

2

∑

=

−

=

n

i

i

i

v

u

d

1

2

)

(

Contoh 2. 1

Misalkan

u

= (1, 3, -2, 1) dan

v

= (2, 1, 1, 0), maka

15

)

1

(

)

2

(

)

3

(

)

1

(

2

+

2

+

−

2

+

2

=

=

u

6

)

0

(

)

1

(

)

1

(

)

2

(

2

+

2

+

2

+

2

=

=

v

dan

( , )₌ (1₋2)2 ₊(3₋1)2 ₊(₋2₋1)2 ₊(1₋0)2 ₌ 15

v u

d

■

Teorema 2.3

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam

ℜn

Jika dan

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

adalah vektor-vektor dalam

,

maka

n

ℜ

u

⋅

v

≤

u

v

(1)

atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponen,

(

) (

2 2

)

12

2 2 1 2 1 2 2

2 2 1 2

2 1

1

v

u

v

...

u

n

v

n

u

u

...

u

n

v

v

...

v

n

u

+

+

+

≤

+

+

+

+

+

+

Bukti :

Jika

maka kedua ruas di (1) sama dengan nol. Oleh karena itu ketaksamaan

tersebut berlaku. Jika

, untuk setiap bilangan real x, berdasarkan Teorema 2.2

maka nilai

0

u

=

0

u

≠

0 ) (

)

(xu+v ⋅ xu+v ≥

pertidaksamaan (2) merupakan fungsi kuadrat dalam x yang harus selalu nonnegatif.

Artinya fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar real yang berbeda. Oleh karena

itu, diskriminannya tidak mungkin positif atau

0

)

(

)

(

4

)

(

4

⋅

2

−

⋅

⋅

≤

v

v

u

u

v

u

)

(

)

(

4

)

(

4

u

⋅

v

2

≤

u

⋅

u

v

⋅

v

)

(

)

(

)

(

u

⋅

v

2

≤

u

⋅

u

v

⋅

v

Berdasarkan Definini norm vektor maka diperoleh

2 2 2

||

||

||

||

)

(

u

⋅

v

≤

u

v

dengan mengambil akar kedua ruas diperoleh

|u⋅v| ≤ ||u||||v||

■

Panjang (Norm) dan jarak dalam ruang Euclidean berdimensi-n memenuhi sifat-sifat

berikut :

Teorema 2.4

Jika

u

,

v

dan

w

adalah vektor-vektor dalam

ℜn

dan k sebarang skalar, maka

(a)

u

≥

0

(b)

u

=

0

jika

dan

hanya

jika

u

=

0

(c)

k

u

=

k

u

(e)

d(u,v)≥0

(f)

d(u,v)=0 jikadan hanya jikau=v

(g)

d(u,v)=d(v,u)

(h)

d(u,v)≤d(w,u)+d(w,v) (Ketaksamaan Segitiga)

Bukti :

(a)

Misalkan ,

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

dan

,

berdasarkan Definisi norm vektor diperoleh

)

,

...

,

,

(

w

1

w

2

w

n

=

w

u

=

2 2

2 2

1

)

(

)

...

(

)

(

u

+

u

+

+

u

n

Karena kuadrat dari bilangan real

≥

0

maka

u

≥

0

(b)

(

⇒

)

Diketahui

u

=

0

, dengan kontradiksi akan dibuktikan

u

=

0

Andaikan

u

≠

0

maka

∃

u

1

,...,

u

n

yang

tidak

semuanya

=

0

Misal

u

₁

≠

0

, maka

2

0

. Sehingga

1

≠

u

u

=

(

)

(

)

2

...

(

)

2

0

2 2

1

+

u

+

+

u

n

≠

u

karena kuadrat bilangan real > 0, maka

u

>

0

kontradiksi dengan

u

=

0

.

Jadi

u

=

0

(

⇐

)

Jika

u

=

0

maka

u

k

=

2 2

2 2

1

)

(

)

...

(

)

(

ku

+

ku

+

+

ku

n

2 2

2 2

1

)

(

)

...

(

)

(

u

u

u

n

k

+

+

+

=

=

k

u

(d) Berdasarkan Definisi norm vektor diperoleh

(

)

( )

2

v u v u v

u+ = + ⋅ +

Berdasarkan Teorema 2.2 sifat (b) maka

) ( ) (

2

v u v v u u v

u+ = ⋅ + + ⋅ + =(u⋅u)+(u⋅v)+(u⋅v)+(v⋅v)

) ( ) ( 2 )

(u⋅u + u⋅v + v⋅v

=

Berdasarkan Definisi Norm vektor diperoleh

2 v

u+ = u 2 +2(u⋅v)+ v 2

karena

u

⋅

v

≤

u

⋅

v

maka

u+v 2≤ u 2 +2|u⋅v|+ v 2

Berdasarkan Ketaksamaan Cauchy-Schawrz

2 v

u+ ≤ u 2 +2u v + v 2

=

(

u

+

v

)

2

Dengan mengakarkan kedua ruas diperoleh

v

u

v

u

+

≤

+

(e) Berdasarkan Definisi jarak vektor maka diperoleh

d

(

u

,

v

)

=

u

−

v

=

(

u

₁

−

v

₁

)

2

+

(

u

₂

−

v

₂

)

2

+

...

+

(

u

n

−

v

n

)

2

Karenakuadrat bilangan real≥0

maka

d(u,v)≥0

2 2 2 2 2 1

1

)

(

)

...

(

)

(

)

,

(

u

v

u

v

u

n

v

n

d

u

v

=

u

−

v

=

−

+

−

+

+

−

d(u,v)≥0

=

0

+

0

+

...

+

0

=

0

(

⇒

)

Diketahui

d(u,v)=0

. Dengan kontradiksi akan dibuktikan bahwa

u = v

Andaikan

u

≠

v

,

∃(u1−v1),....,(u2−v2) tidak semuanyasamadengan 0

Misal

(

u

₁

−

v

₁

)

≠

0

maka

0

)

(

...

)

(

)

(

)

,

(

2 2

2 2 2 1

1

−

+

−

+

+

−

≠

=

−

=

u

v

u

v

u

n

v

n

d

u

v

u

v

Kontradiksi dengan

d(u,v)=0

. Jadi

u = v

(g)

Jika

u

=

(

u

1

,

u

2

,

...

,

u

n

)

dan

v

=

(

v

1

,

v

2

,

...

,

v

n

)

maka

2 2 2 2 2 1

1

)

(

)

...

(

)

(

)

,

(

u

v

u

v

u

n

v

n

d

u

v

=

u

−

v

=

−

+

−

+

+

−

Berdasarkan sifat kuadrat bilangan real maka diperoleh

)

, (u v

d

=

(

v

₁

−

u

₁

)

2

+

(

v

₂

−

u

₂

)

2

+

...

+

(

v

n

−

u

n

)

2

=

v

−

u

=d(v,u)

(h) Berdasarkan sifat penjumlahan vektor

=

−

=

u

v

v

u

,

)

(

d

(

u

-

w

)

+

(

w

−

v

)

Berdasarkan Definisi norm vektor maka diperoleh

)) ( ) (( )) ( ) (( ) ( )

(u-w + w−v 2 = u−w + w−v ⋅ u-w + w-v

) -( ) ( ) -( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(u-w ⋅ u-w + u−w ⋅ w−v + u-w ⋅ w v + w-v ⋅ w v

= ) -( ) ( ) -( ) ( 2 ) ( )

(u-w ⋅ u-w + u-w ⋅ w v + w-v ⋅ w v

=

2

)

(

)

(

u

-

w

+

w

−

v

= u-w 2 +2(u-w)⋅(w-v)+ w-v 2

Berdasarkan sifat nilai mutlak

u

⋅

v

≤

u

⋅

v

maka

2

) ( )

(u-w + w−v ≤ u-w 2 +2|(u-w) .(w-v)|+w-v 2

Berdasarkan Ketaksamaan Cauchy-Schawrz

(u-w)+(w−v)2 ≤ u-w 2 +2u-w w-v + w-v 2

=

(

u

-

w

+

w

-

v

)

2

Dengan mengakarkan kedua ruas maka diperoleh

)

(

)

(

u

-

w

+

w

−

v

≤

u

-

w

+

w

-

v

d(u,v)≤d(u−w)+d(w−v)

■

Definisi 2.7

A. Pengantar

Klasifikasi pola adalah pengelompokan suatu obyek yang tidak diketahui ke

dalam suatu kelas pola yang diketahui. Pengambilan keputusan adalah penentuan

suatu obyek untuk dikategorikan ke dalam suatu kelas pola yang sesuai.

Penglasifikasi Jarak Minimum digunakan untuk menglasifikasikan suatu pola yang

tak diketahui ke dalam suatu kelas yang jarak antara suatu pola dan kelas pola

tertentu minimum. Penglasifikasian pola dengan metode jarak minimum meng-

gunakan konsep jarak Euclidean. Dalam hal ini kita akan menghitung jarak antara

dua vektor yaitu vektor dari pola yang tidak diketahui dan vektor dari kelas pola

tertentu yang telah diketahui.

Dalam pengenalan pola, ciri-ciri yang tampak dari suatu obyek disebut dengan

istilah pola. Jadi, pola adalah ukuran kuantitatif dari suatu obyek. Kelas pola adalah

kumpulan pola-pola yang memiliki beberapa sifat umum. Jika terdapat suatu

pengenalan pola dengan L kelas pola maka kelas-kelas pola dinotasikan sebagai

dengan

i

C

L

i

≤

≤

1

.

Irisan dari tiap-tiap kelas pola adalah himpunan kosong yang

dinotasikan dengan

Φ =

j

i C

C I

jika

i

≠

j

Gabungan dari L kelas pola tersebut adalah ruang pola berdimensi n (

) yang

dinotasikan dengan

n

n i L i

C

=

ℜ

∩

_≤≤

1

Di bawah ini ditunjukan konsep dari suatu penglasifikasi jarak minimum untuk

menglasifikasikan suatu obyek ke dalam kelas yang sesuai yang terdiri dari tiga kelas

pola yaitu

, Jarak obyek ke dalam kelas pola tertentu dinotasikan

dengan . Setiap kelas pola dipisahkan oleh suatu garis yang

disebut batas keputusan.

3 2

1

,

C

,

dan

C

C

3

1

dengan

≤

i

≤

dC

_i

Data yang tak

diketahui

Jarak minimum ke

kelas

C

diklasifikasi

kan ke kelas

C

2

2

Gambar 3.1 Konsep penglasifikasi Jarak Minimum

Sebelum menglasifikasikan suatu obyek harus dikenali dulu ciri-ciri yang

tam-pak dari obyek tersebut. Satu ciri saja tidak cukup untuk membedakan obyek dari

ke-las yang berbeda sehingga perlu untuk mengenali ciri-ciri dari suatu obyek sebanyak

mungkin. Ciri-ciri obyek tersebut ditulis sebagai vektor ciri. Nilai-nilai dari vektor

ciri diukur dari sampel-sampel yang digunakan dalam masing-masing kelas pola yang

Kelas

C

3

∗

Kelas

C1

d

C₁

Batas keputusan

Kelas

C2

Jarak kelas

C2

dan data

yang tak diketahui

Rata-rata kelas

C₂

d

C2

disebut sampel pola. Sampel pola dari masing-masing kelas pola berbeda-beda, kelas

mempunyai sampel pola sebanyak

.

i

C

M

i

Jika terdapat suatu obyek

x

yang akan diklasifikasikan mempunyai ciri

sebanyak

n, maka vektor cirinya

adalah vektor kolom berdimensi n. Vektor ciri

tersebut dinotasikan dengan

(3.1)

i j i

C

∈

.

x

dengan

1≤i≤L

dan

1

≤

j

≤

M

i

. Vektor ciri

adalah elemen-elemen dari ruang

pola

, sehingga

mempunyai n elemen yang dinotasikan sebagai

dengan

.

j i.

x

n

ℜ

i.j

x

ij

k

x

. n

k ≤ ≤ 1

Misalkan dalam suatu keranjang bunga terdapat tiga jenis bunga yaitu bunga

mawar, bunga dahlia dan bunga sepatu. Setiap bunga dalam keranjang akan

diklasifikasikan sesuai dengan kelasnya berdasarkan ciri-ciri yang dimiliki oleh setiap

bunga. Sedangkan ciri-ciri yang diamati adalah panjang dan lebar daun bunganya.

Jadi penglasifikasian setiap bunga dalam keranjang tersebut didasarkan pada panjang

dan lebar daun bunga dari masing-masing bunga tersebut.

Dalam penglasifikasian bunga di atas, terdapat tiga kelas pola yaitu

= kelas

bunga mawar

1

C

, C₂

= kelas bunga dahlia dan

= kelas bunga sepatu. Sedangkan

ciri-ciri yang diamati adalah panjang dan lebar daun bunganya, maka vektor ciri-ciri

x

berdimensi dua (n = 2) atau

3

C

) , (x1 x2

=

x

dengan

= panjang daun bunga dan

=

lebar daun bunga. Dengan demikian, suatu bunga akan diklasifikasikan ke dalam

1

kelas bunga yang sesuai berdasarkan pada ukuran panjang dan ukuran lebar daun

bu-nganya.

B. Fungsi Pengambilan Keputusan

Sistem pengenalan pola adalah suatu sistem yang mengambil sampel baru

x

*

yang tak diketahui klasifikasinya untuk dikelompokkan ke dalam suatu kelas pola

berdasarkan pada beberapa aturan pengambilan keputusan. Suatu aturan

pengambilan keputusan ini diperoleh dari pemartisian ruang pola ke dalam beberapa

daerah terpisah yang sesuai dengan kelas

. Setiap kelas

dipisahkan oleh suatu

kurva yang disebut sebagai batas pengambilan keputusan berdimensi (n-1).

i

C

)

1

(

≤

i

≤

L

i

C

C

_i

Kelas 3

0

)

(

13

x

<

g

g

13

(

x

)

>

0

Kelas 1

g

23

(

x

)

<

0

0

)

(

13

x

=

g

0

)

(

23

x

>

g

g

23

(

x

)

=

0

0 ) (

12 x =

g

) (

12 x <

g

Kelas 2

1

x

2

x

Daerah tak tentu

Gambar 3.2 Fungsi pengambilan keputusan dengan tiga kelas

Definisi 3.1

Jika

adalah suatu fungsi pengambilan keputusan yang didefinisikan pada

ruang pola yang bernilai real, dengan kelas-i dan kelas-j berada dalam sisi yang

berlawanan dari suatu hipersurface tersebut maka

)

(

x

ij

g

0

)

(

x

=

ij

g

(3.2)

Definisi 3. 2

Suatu pola yang tak dikenali

x

* akan diklasifikasikan ke dalam kelas ke-i berdasarkan

pada suatu fungsi pengambilan keputusan

g

ij

(

x

)

sebagai berikut

Jika

x

* berada dalam kelas ke-j maka

x

*

∈

{

x

:

g

ij

(

x

)

<

0

}

(3.4)

Dari Definisi 3.2 dapat disimpulkan bahwa suatu pola yang tak diketahui

(x

*) akan

diklasifikasikan ke dalam kelas ke-i jika

dan akan diklasifikasikan ke

dalam kelas ke-j jika

0

*)

(

x

>

ij

g

0

*)

(

x

<

ij

g

Teorema 3. 1

Jika

g

ij

(

x

)

dan

g

ji

(

x

)

adalah suatu fungsi pengambilan keputusan, maka

)

(

)

(

x

ji

x

ij

g

g

=

−

bukti :

Jika adalah fungsi pengambilan keputusan maka berdasarkan Definisi 3.2

diperoleh :

)

(

x

ij

g

⎭ ⎬ ⎫ < ∈ > ∈ 0 ) ( maka Jika 0 ) ( maka Jika x x x x ij j ij i g C g C

(i)

Jika adalah fungsi pengambilan keputusan maka berdasarkan Definisi 3.2

diperoleh :

)

(

x

ji

g

⎭ ⎬ ⎫ > ∈ < ∈ 0 ) ( maka Jika 0 ) ( maka Jika x x x x ji j ji i g C g C

(ii)

Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh

Jika

x

∈

C

i

maka

g

ij

(

x

)

>

0

dan

g

ji

(

x

)

<

0

atau

dan

,

sehingga

0

)

(

x

>

ij

)

(

)

(

x

ji

x

ij

g

g

=

−

▄

Definisi 3. 3

Misalkan

adalah ruang pola dan { 1, 2, …., L } himpunan kelas pola. Suatu

fungsi penyeleksi c(

x

) adalah suatu pemetaan c :

{1, 2, …., L} adalah suatu

cara yang mengaitkan setiap unsur di

dengan satu unsur dalam himpunan bulat

positif 1, 2, …., L, sedemikian sehingga

n

ℜ

⎯→

⎯

ℜ

n

n

ℜ

Jika

x

berada dalam kelas ke-i maka

c

(

x

)

=

i

Berdasarkan pada Definisi 3.2 dan Definisi 3.3 jika

x

berada dalam kelas ke-i maka

fungsi penyeleksi c(

x

) menjadi

Jika maka

g

ij

(

x

)

>

0

c

(

x

)

=

i

,

∀

j

,

i

≠

j

(3.5)

Jika terdapat pengenalan pola dengan tiga kelas maka berdasarkan persamaan

(3.5) aturan penglasifikasiannya adalah

1.

Suatu pola yang tak diketahui (

x*

) akan diklasifikasikan menjadi anggota

kelas ke-1, maka fungsi penyeleksi c(

x

) untuk kelas ke-1 sebagai berikut

i. Batas pengambilan keputusan yang memisahkan kelas 1 dan kelas 2 adalah

g12

(

x

*) > 0.

ii. Batas pengambilan keputusan yang memisahkan kelas 1 dan kelas 3 adalah

g

13

(

x

*) > 0.

Jika

g12

(

x

*) > 0,

g

13

(

x

*) > 0 maka

c

(

x*

)

=

1

(3.6)

2.

Suatu pola yang tak diketahui (

x*

) akan diklasifikasikan menjadi anggota

ke-las ke-2, maka fungsi penyeleksi c(

x

) untuk kelas ke-2 sebagai berikut

i. Batas pengambilan keputusan yang memisahkan kelas 2 dan kelas 1 adalah

g12

(

x

*) < 0 atau

g21

(

x

*) > 0.

ii. Batas pengambilan keputusan yang memisahkan kelas 2 dan kelas 3 adalah

g

23

(

x

*) > 0.

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut

Jika

g12

(

x

*) < 0,

g

23

(

x

*) > 0 maka

c

(

x*

)

=

2

(3.7)

3.

Suatu pola yang tak diketahui (

x*

) akan diklasifikasikan menjadi anggota

ke-las ke-2, maka fungsi penyeleksi c(

x

) untuk kelas ke-2 sebagai berikut

i. Batas pengambilan keputusan yang memisahkan kelas 3 dan kelas 1 adalah

g

13

(

x

*) < 0 atau

g

31

(

x

*) > 0.

ii. Batas pengambilan keputusan yang memisahkan kelas 3 dan kelas 2 adalah

g

23

(

x

*) < 0 atau

g

32

(

x

*) > 0.

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut

Jika

g

13

(

x

*) < 0,

g

23

(

x

*) < 0 maka

c

(

x*

)

=

3

(3.8)

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

<

>

<

>

>

<

>

>

=

)

0

)

(

atau

(

0

)

(

),

0

)

(

atau

(

0

)

(

jika

3

0

)

(

),

0

)

(

atau

(

0

)

(

jika

2

0

)

(

,

0

)

(

jika

1

)

(

32 23 31 13 23 21 12 12 13

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

g

g

g

g

g

g

g

g

g

c

Fungsi pengambilan keputusan

memisahkan dua kelas yang berbeda yaitu

kelas ke-i dan kelas ke-j. Berdasarkan Teorema 3.1 diketahui bahwa

sehingga banyaknya pilihan fungsi pengambilan keputusan untuk memisahkan L

kelas pola dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi yaitu kombinasi 2 yang

diambil dari L berbeda adalah

)

(

x

ij

g

)

(

)

(

x

ji

x

ij

g

g

=

−

L

C

₂

Δ

2

)

1

(

!

2

)!

2

(

)!

2

)(

1

(

!

2

)!

2

(

!

=

−

−

−

−

=

−

L

L

L

L

l

L

L

L

Dalam Gambar 3.2, terdapat suatu daerah tak tentu sehingga fungsi pengambilan

keputusan pada Definisi 3.2 tidak dapat digunakan untuk menglasifikasikan sampel.

Namun, masalah ini dapat diselesaikan menggunakan fungsi diskriminan dengan cara

menuliskan setiap

g

ij

dalam bentuk sebagai berikut :

)

(

x

ij

g

=

θ

i

(

x

) -

θ

j

(

x

) (3.9)

Fungsi

θ

i

yang didefinisikan sebagai fungsi pengambilan keputusan

dalam

persamaan (3.9) di atas disebut sebagai fungsi diskriminan. Dengan demikian, fungsi

penyeleksi dalam pernyataan (3.5) menjadi :

ij

g

jika

θ

i

(

x

) -

θ

j

(

x

) > 0 maka

c

(

x

)

=

i

atau

Dengan menggunakan fungsi diskriminan maka Gambar 3.2 di atas akan tampak

sebagai berikut :

( )

x ₂

( )

x

1

θ

θ

=

( )

x

x

₃

2

(

)

θ

θ

=

( )

x

₃

( )

x

1

θ

θ

=

1

x

2

x

Kelas 2

Kelas 1 Kelas 3

Gambar 3.3 Fungsi diskriminan

C. Algoritma Jarak Minimum

Misalkan banyaknya sampel pola pada setiap kelas pola adalah

dan

sampel-sampel pola kelas ke-i ditulis

dengan

i

M

j i.

x

1

≤

j

≤

M

i

. Dalam metode jarak minimum

suatu sampel pola baru yang tak diketahui

x

akan diklasifikasikan ke dalam kelas pola

yang terdiri dari sampel-sampel pola yang diketahui

. Sampel pola baru tersebut

akan diklasifikasikan ke dalam kelas yang jarak antara sampel pola baru (

x

) dan

sam-pel-sampel pola pada setiap kelas polanya (

) paling kecil atau jaraknya terdekat.

j i.

x

j i.

x

Definisi 3. 4

)

(

x

i

θ

=

min

(

,

i.j

)

(3.11)

j

d

x

x

−

dengan

1

≤

j

≤

M

i

dan

M

i

adalah ukuran sampel kelas ke-i.

Dalam penglasifikasi jarak minimum d dihitung menggunakan rumus jarak Euclidean

yaitu

)

,

(

x

y

d

= ||

x

-

y

|| =

2

1

1

2

) (

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧

∑

₋

=

n

k

k

k y

x

(3.12)

Jika terdapat sampel pola baru

x

tak diketahui yang mempunyai n ciri atau ruang

pola berdimensi-n (

) dengan banyaknya kelas pola adalah L dan setiap kelas pola

diwakili oleh sampel tunggal yaitu

dengan

n

ℜ

i

x

1≤i≤L

yang disebut suatu prototype,

maka fungsi diskriminan yang digunakan dalam penglasifikasi jarak minimum adalah

sebagai berikut

)

(

x

i

θ

=

(

,

i

)

(3.13)

d

x

x

−

dengan

(

,

i

)

d

x

x

2

1

1

2

)

(

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

=

∑

=

n

k

i k

k

x

x

(3.14)

Fungsi penyeleksi untuk kelas ke-i dalam pernyataan (3.10) menjadi

i

c

(

x

)

=

jika

(

,

i

)

>

(3.15)

d

x

x

−

(

,

j

)

d

x

x

−

atau

i

c

(

x

)

=

jika

(

,

i

)

<

(3.16)

d

x

x

(

,

j

)

Dengan mensubstitusikan pernyataan (3.15) ke pernyataan (3.16) maka fungsi

penyeleksi kelas ke-i adalah

i

c

(

x

)

=

jika

2

1 1 2 ) ( ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₋

∑

= n k i k k x

x

<

2

1 1 2 ) ( ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₋

∑

= n k j k k x

x

(3.17)

i

c

(

x

)

=

jika

∑

<

=

−

n k i k k

x

x

1 2

)

(

∑

=

−

n k j k k

x

x

1 2

)

(

∀

i

≠

j

(3.18)

Berdasarkan pernyataan (3.18) ketentuan untuk mencari fungsi peyeleksi kelas ke-i

adalah sebagai berikut

∑

∑

=

−

n k i k k

x

x

1 2

)

(

<

=

−

n k j k k

x

x

1 2

)

(

)

)

(

2

)

((

2 1 2 i k i k k n k

k

x

x

x

x

−

+

∑

=

<

∑

((

)

2

−

2

+

(

j

)

2

)

k j k k

k

x

x

x

x

2 1 1 2 1

)

(

2

)

(

∑

∑

∑

= = =

+

−

n k i k n k i k k n k

k

x

x

x

x

<

2

1 1 2 1

)

(

2

)

(

∑

∑

∑

= = =

+

−

n k j k n k j k k n k

k

x

x

x

x

2 1 1

)

(

2

∑

∑

= =

+

−

n k i k n k i k

k

x

x

x

<

2

1 1

)

(

2

∑

∑

= =

+

−

n k j k n k j k

k

x

x

x

Jika kedua ruas dikalikan

2

1

−

maka persamaan menjadi

2 1 1

)

(

2

1

∑

∑

= =

−

n k i k n k i k

k

x

x

x

>

2

1 1

)

(

2

1

∑

∑

= =

−

n k j k n k j k

k

x

x

x

Jadi fungsi penyeleksi dalam pernyataan (3.18) menjadi

i

c

(

x

)

=

jika

2

1 1

)

(

2

1

∑

∑

= =

−

n k i k n k i k

k

x

x

x

>

2

1 1

)

(

2

1

∑

∑

= =

−

n k j k n k j k

k

x

x

x

(3.19)

)

(

*

x

i

θ

=

∑

∑

= =

−

n

k i k n

k i k

k

x

x

x

1 2 1

)

(

2

1

(3.20)

Salah satu cara untuk memperoleh suatu prototype tunggal dari suatu himpunan

sampel dari suatu kelas pola adalah dengan menentukan nilai rata-rata dari setiap

kelas pola. Di bawah ini ditunjukkan gambar penentuan prototype tunggal dari dua

kelas pola

○

○

○

○

○

○

●

○

○

○

○

○

○

□

□

□

□

□

■

□

□

□

□

□

Kelas 1 Kelas 2

Prototype 1 Prototype 2

Gambar 3. 5 Prototype tunggal

Jika jumlah prototype yang mewakili setiap kelas lebih dari satu atau sebanyak

maka

adalah prototype dari kelas ke-i dengan

i

N

x

i.l

1

≤

l

≤

N

_i

. Fungsi diskriminan

yang digunakan dalam penglasifikasi jarak minimum adalah sebagai berikut

)

, ( min )

( i.l

l

i x =− d x x

θ

(3.21)

Jika dilihat sekilas maka pernyataan (3.21) hampir sama dengan persamaan (3.11)

namun kedua persamaan tersebut sesungguhnya berbeda karena pada persamaan

(3.11) banyaknya sampel pola pada setiap kelas pola adalah

dan sampel-sampel

pola kelas ke-i ditulis

dengan

i

M

l i.

banyaknya prototype pada setiap kelas pola adalah

dan sampel-sampel pola kelas

ke-i ditulis

dengan

i

N

l i.

x

1

≤

l

≤

N

i

dengan

N

i

≤

. Karena mungkin tidak semua

sampel pola yang terdapat pada setiap kelas digunakan sebagai prototype kelas

polanya. Di bawah ini akan ditunjukan batas pengambilan keputusan dari dua kelas

pola dengan masing-masing kelas pola diwakili oleh dua prototype

i

M

□

□

■

□

□

□

○

○

●

○

○

○

○

○

○

○

○

●

○

○

○

○

□ □

□ ■ □ □ Kelas 2

Kelas 1

Kelas 1

Kelas 2

Gambar 3.6 Batas pengambilan keputusan dengan

dua prototype pada setiap kelas pola

Jarak Euclidean dari

x

dan

i.l

dengan

x

1

≤

l

≤

N

i

adalah

(

,

i.l

)

=

d

x

x

i.l 2 x

x−

=

(

i.l

)

t

(

i.l

)

x

x

x

x

−

−

(

,

i.l

)

=

d

x

x

t i.l t t i.l i.l t i.l

)

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

−

−

+

(

,

i.l

)

=

(3.22)

d

x

x

t i.l t i.l t i.l

)

(

)

(

2

x

x

x

x

x

x

−

+

Fungsi penyeleksi untuk kelas ke-i adalah

i

c

(

x

)

=

jika

min

(

,

i.l

)

>

d

x

x

−

min

(

,

j.l

)

d

x

x

atau

i

c

(

x

)

=

jika

min

(

,

i.l

)

<

(3.23)

d

x

x

min

(

,

j.l

)

d

x

x

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.22) ke persamaan (3.23) maka fungsi

penye-leksi kelas ke-i adalah

i

c

(

x

)

=

jika

}

)

(

)

(

2

{

min

t i.l t i.l t i.l

x

x

x

x

x

x

−

+

<

min

{

t

2

(

j.l

)

t

(

i.l

)

t j.l

}

(3.24)

x

x

x

x

x

x

−

+

Berdasarkan pernyataan (3.24) ketentuan untuk mencari fungsi peyeleksi kelas ke-i

adalah sebagai berikut

min

{

2

(

i.l

)

t

(

i.l

)

t i.l

}

<

(3.25)

x

x

x

x

+

−

min

{

2

(

j.l

)

t

(

i.l

)

t j.l

}

x

x

x

x

+

−

Jika kedua ruas dikalikan dengan

−

1

2

maka pernyataan (3.25) menjadi

}

)

(

2

1

)

(

{

max

i.l t i.l t i.l

x

x

x

x

−

>

(

)

}

2

1

)

(

{

max

j.l t i.l t j.l

x

x

x

x

−

(3.26)

Jadi fungsi penyeleksi dalam pernyataan (3.18) menjadi

i

c

(

x

)

=

jika

(

)

}

2

1

)

(

{

max

i.l t i.l t i.l

x

x

x

x

−

>

(

)

}

2

1

)

(

{

max

j.l t i.l t j.l

x

x

x

x

−

(3.27)

sehingga berdasarkan persamaan (3.22) fungsi diskriminan menjadi

)

(

* *

x

i

θ

=

(

)

}

2

1

)

(

{

max

i.l t i.l t i.l

x

x

x

x

−

dengan

1

≤

l

≤

N

i

(3.28)

Contoh 3.1

rikan dalam tabel di bawah :

C

1

C

2

Sampel

X

1

X

2

X

1

X

2

1 2

1

4

3

2 2

2

4

4

3 1

0

3

5

4 0

2

2

4

5 3

1

1

6

Tabel 3.1 Data Training Set

Berdasarkan Metode Jarak Minimum maka akan dicari prototype

untuk setiap

kelas yaitu dengan menghitung nilai rata-rata sampel dalam setiap ciri dari

masing-masing kelas.

Hasil perhitungan prototype untuk setiap kelas diberikan dalam tabel

berikut :

C

1

C

2

Sampel

X

1

X

2

X

1

X

2

1 2

1

4

3

2 2

2

4

4

3 1

0

3

5

4 0

2

2

4

5 3

1

1

6

Rata-rata 1.6 1.2 2.8 4.4

Tabel 3.2 Perhitungan Prototype setiap kelas

Selanjutnya akan dihitung jarak setiap sampel dengan prototype setiap kelas dengan

rumus sebagai

)

,

(

i

d

x

x

2

1

1

2

)

(

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

=

∑

=

n

k

i k

k

x

x

jarak kelas ke-1 sampel ke-1 dengan prototype kelas ke-1 adalah

4472

.

0

)

2

.

1

1

(

)

6

.

1

2

(

)

,

(

x

1.1

x

1

=

−

2

+

−

2

=

d

jarak kelas ke-1 sampel ke-1 dengan prototype kelas ke-2 adalah

4928

.

3

)

4

.

4

1

(

)

8

.

2

2

(

)

,

(

x

1.1

x

2

=

−

2

+

−

2

=

d

jarak kelas ke-1 sampel ke-2 dengan prototype kelas ke-1 adalah

8944

.

0

)

2

.

1

2

(

)

6

.

1

2

(

)

,

(

x

1.2

x

1

=

−

2

+

−

2

=

d

jarak kelas ke-1 sampel ke-2 dengan prototype kelas ke-2 adalah

5298

.

2

)

4

.

4

2

(

)

8

.

2

2

(

)

,

(

x

1.2

x

2

=

−

2

+

−

2

=

d

jarak kelas ke-1 sampel ke-3 dengan prototype kelas ke-1 adalah

3416

.

1

)

2

.

1

0

(

)

6

.

1

1

(

)

,

(

1.3 1

=

−

2

+

−

2

=

x

x

d

jarak kelas ke-1 sampel ke-3 dengan prototype kelas ke-2 adalah

7539

.

4

)

4

.

4

0

(

)

8

.

2

1

(

)

,

(

1.3 2

=

−

2

+

−

2

=

x

x

d

jarak kelas ke-1 sampel ke-4 dengan prototype kelas ke-1 adalah

7889

.

1

)

2

.

1

2

(

)

6

.

1

0

(

)

,

(

x

1.4

x

1

=

�