Sampling penerimaan sekuensial dalam pengendalian mutu statistis - USD Repository

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Lidya Yulinda Mekar Sartika NIM : 033114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of The Requirements

to Obtain The Sarjana Sains Degree

in Mathematics

by :

Lidya Yulinda Mekar Sartika Student Number : 033114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2008

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

Lidya Yulinda Mekar. S

MELAINKAN

mereka yang tetap tegar ketika mereka jatuh...

Entah bagaimana...

dalam perjalanan kehidupan,

kamu belajar tentang dirimu sendiri...

dan menyadari…

bahwa penyesalan tidak seharusnya ada

HANYALAH penghargaan abadi

atas pilihan-pilihan kehidupan yang kamu buat...”

bintang malam katakan padanya., aku ingin melukis sinarmu dihatinya...

embun pagi sampaikan padanya... biar kudekap erat,

waktu dingin membelenggunya....

Semua apapun yang terbaik kupersembahkan, Hanya untukmu...

Tuhan Jesus

, sumber kekuatanku

Ayah-Bundaku tercinta

, inspirasiku

Bintang & InNye

, adekku tersayang

NdutQuw

, kisah lamaku yang kembali

Sang maLaikat

Almamaterku

berganda. Pembahasan sampling sekuensial didasarkan pada materi uji sekuensial.

Hal ini disebabkan adanya kesamaan konsep indeks mutu yang meliputi AQL

(Acceptable Quality Level), LTPD (Lot Tolerance Percent Defective), resiko

produsen, dan resiko konsumen. Dalam sampling sekuensial, ada tiga keputusan

yang bisa dibuat yaitu menolak kotak, menerima kotak, atau melanjutkan

pemeriksaan dengan mengambil sampel lagi. Banyaknya pemeriksaan tergantung

proses sampling sebelumnya sehingga nilainya dapat sampai tak terbatas.

Sampling sekuensial dihentikan ketika diperoleh keputusan untuk menerima atau

menolak kotak.

Ada beberapa macam pengukuran yang dapat dilakukan untuk

mengevaluasi kinerja sampel yang diambil, antara lain dengan kurva KO

(Karakteristik Operasi curve), kurva AOQ (Average Outgoing Curve), kurva ATI

(Average Total Inspection Curve), dan kurva ASN (Average Sample Number

Curve).

developep from single, double and multiple sampling. Sequential sampling

discussion is based on sequential test sample. It is because there are similar

quality index concept that be used, that is AQL (Acceptable Quality Level), LTPD

(Lot Tolerance Percent Defective), producer risk, and consumer risk. The

sequential sampling has three possible decisions about the lot, that rejected,

accepted, or continuing inspection by taking some additional samples. The

number of inspection depends on the sampling process before, so that the value

can be unlimited. Sequential sampling is ended when we have decision whether

accept or reject the lot.

There are some kind of measurements that can be applied to evaluate the

sample process, that is Characteristic Operation Curve, AverageOutgoing Curve,

Average Total Inspection Curve, and Average Sample Number Curve.

telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan

kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya

skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada :

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang

telah meluangkan waktu, pikiran, dan sabar dalam membimbing penulis

selama penyusunan skripsi ini meskipun penulis sering terlambat dari jadwal

bimbingan.

2. Romo Ir.Greg. Heliarjo S.J, S.S., B.S.T., M.Sc., M.A, selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

3. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika

yang telah banyak membantu dan memberi saran.

4. Ibu Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing akademik

yang selalu sabar dan memberi semangat penulis selama kuliah di USD.

5. Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan

bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

6. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi

selama penulis kuliah.

kesetiaannya mendengarkan keluh kesahku.

9. Mbah Wongso Kakung dan Putri yang puasa senen kemis hanya untuk

keberhasilanku dan Eyang Kakung dan Uti atas nasihat-nasihatnya.

10.Special thank’s buat Wawan c’Kebo untuk kisah paling indah yang pernah

kujalani dan semua inspirasi yang boleh kuterima.

11.Kisah lamaku yang kembali ke kehidupanku lagi, Ndut’zQuw.

12.Jo yang imut item manis di Solo dan Fanny di Aceh untuk persahabatan yang

masih terjaga sampai sekarang.

13.Teman-teman angkatan 2003: Dewi atas semangat, doa, dan kebersamaannya

Valent yang selalu ceria dan setia menyemangati, Merry yang selalu

menemaniku dan membuatku tersenyum, Koko yang dengan sabar mau

membagi sedikit ilmunya, Djembat yang lutu bangedh, Anin yang bawel tapi

nyenengin, , Eko atas semangat dan curhatnya, Septi yang selalu kompak

menjalani dinamika di Matematika ini, dan Kamto sang kambing yang hilang.

14.Anak-anak Banana Hum : Detong yang nggemesin, Etha yang selalu jadi

tempat curhat, mba Purba yang manis dan cerewetz, mba Jeki atas saran yang

bijaksana, Thiwul, Betty, Poe2t, Vitong yang pagi-pagi suka tereak2 bangunin

semua orang, Ria, Dian, Tika, dan mba Ci2l atas kekompakannya. Hidup

Banana Hum!!!!!!!!!

15.Mas Banny atas semangat dan pinjaman buku-bukunya.

18.Teman-teman KKNku : Don2, Mel, om Ubur-ubur, Suki, Silih, Feri, Ambar,

dan Kartika untuk persahabatan, kekompakan, dan semangatnya. I miss U,

all!!!

19. Teman-teman di Purwokerto : Irma, Dwijo, Manda, bule Tia, mba Ana, mba

Anin, dan Mudika Gereja Katedral Kristus Raja.

Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak yang

membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu per

satu disini. Tiada yang sempurna, demikian juga skripsi ini. Masukan dan kritikan

yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini menjadi kehormatan bagi

penulis.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL ( INGGRIS ) ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ...viii

KATA PENGANTAR ... ix

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xv

DAFTAR GAMBAR ... xvi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... xviii

BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Perumusan Masalah ... 3

C. Pembatasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penulisan ... 4

E. Metode Penulisan ... 4

F. Manfaat Penulisan ... 4

A. Konsep-konsep Dasar Statistika

1. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas ... 6

2. Distribusi Binomial ... 10

3. Populasi dan Sampel ... 14

4. Distribusi Sampling Proporsi ... 17

5. Uji Hipotesis ... 20

6. Uji Mengenai Proporsi ... 23

B. Sampling Penerimaan ... 26

1. Perbaikan Pemeriksaan ... 29

2. Indeks Mutu untuk Sampling Penerimaan ... 31

3. Sampling Tunggal ... 34

4. Sampling Rangkap Dua ... 37

5. Sampling Berganda ... 42

BAB III. SAMPLING SEKUENSIAL A. Konsep Sampling Sekuensial ... 46

1. Uji Sekuensial ... 47

2. Uji Hipotesis dan Statistik Uji ... 48

3. Kriteria Uji ... 51

4. Hubungan antara α,β,A dan B... 52

B. Sampling Sekuensial untuk Penerimaan dan Penolakan ... 59

3. Kriteria Pengambilan Keputusan... 63

C. Fungsi Karakteristik Operasi (KO)... 72

D. Evaluasi Kinerja Perencanaan Sampling Sekuensial dengan Kurva Karakteristik Operasi (KO) Tertentu... 77

E. Evaluasi Kinerja Perencanaan Sampling Sekuensial dengan Kurva Rata-Rata Ukuran Sampel (ASN) Tertentu ... 83

F. Rata-Rata Mutu Keluaran (AOQ) ... 92

G. Rata-Rata Pemeriksaan Total (ATI) ... 98

BAB IV. APLIKASI PERENCANAAN SAMPLING PENERIMAAN 1. Perencanaan Sampling Tunggal ... 106

2. Perencanaan Sampling Rangkap Dua ... 109

3. Perencanaan Sampling Sekuensial ... 111

BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan ... 131

B. Saran ... 132

DAFTAR PUSTAKA ... 133

LAMPIRAN ... 134

Tabel 2.2.1 ... 34

Tabel 2.2.2 ... 42

Tabel 3.2.1 ... 67

Tabel 3.2.2 ... 70

Tabel 3.3.1 ... 77

Tabel 3.4.1 ... 82

Tabel 3.5.1 ... 88

Tabel 3.5.2 ... 91

Tabel 3.6.1 ... 95

Tabel 3.7.1 ... 102

Tabel 3.7.2 ... 103

Tabel 4.3.1 ... 115

Tabel 4.3.2 ... 116

Tabel 4.3.3 ... 120

Tabel 4.3.4 ... 121

Tabel 4.3.5 ... 123

Tabel 4.3.6 ... 124

Tabel 4.3.7 ... 127

Tabel 4.3.8 ... 128

Gambar 2.2.1 ... 30

Gambar 2.2.2 ... 39

Gambar 2.2.3 ... 45

Gambar 3.1.1 ... 59

Gambar 3.2.1 ... 68

Gambar 3.2.2 ... 70

Gambar 3.3.1 ... 75

Gambar 3.3.2 ... 77

Gambar 3.4.1 ... 79

Gambar 3.4.2 ... 83

Gambar 3.5.1 ... 84

Gambar 3.5.2 ... 92

Gambar 3.6.1 ... 96

Gambar 3.7.1 ... 103

Gambar 4.1.1 ... 108

Gambar 4.3.1 ... 113

Gambar 4.3.2 ... 116

Gambar 4.3.3 ... 121

Gambar 4.3.4 ... 123

Gambar 4.3.5 ... 128

Nama : Lidya Yulinda Mekar Sartika

Nomor Mahasiswa : 033114015

Demi perkembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma. Karya ilmiah saya berjudul :

SAMPLING PENERIMAAN SEKUENSIAL

DALAM PENGENDALIAN MUTU STATISTIS

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 29 September 2008

Yang menyatakan

( Lidya Yulinda Mekar Sartika )

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Seluruh proses industri pengolahan dalam sebuah perusahaan, meskipun

baik, pasti ditandai oleh adanya variasi random tertentu yang tidak dapat

dihilangkan secara sempurna. Pada situasi yang lain, variasi proses juga

dipengaruhi beberapa penyebab yang dapat diidentifikasi, seperti kesalahan

penentuan mesin, kesalahan operator, bahan mentah yang tidak memenuhi syarat

pemakaian, komponen-komponen mesin, dan sebagainya. Penyebab-penyebab

variasi yang diidentifikasi ini biasanya mempunyai efek kerugian pada mutu

produk. Tahap pemeriksaan, dalam pengertian pemilihan produk yang memenuhi

spesifikasi dari yang tidak memenuhi, tidak menjamin bahwa semua produk yang

diterima sungguh-sungguh memenuhi spesifikasi. Selain membutuhkan waktu dan

biaya yang cukup besar, kelelahan pemeriksa pada operasi pemeriksaan

berulang-ulang seringkali akan mengurangi keefektifan pemeriksaan. Untuk mengatasi hal

tersebut, salah satu metode yang dilakukan oleh pemeriksa adalah dengan

melakukan sampling (penarikan sampel), yaitu suatu metode untuk

mengumpulkan data bila hanya elemen-elemen sampel saja yang diteliti

(Supranto,1992).

Sampling penerimaan merupakan suatu bidang pokok dalam pengendalian

mutu statistis. Prosedur pemeriksaan yang bertujuan untuk menerima atau

dalam sampel, diambil suatu keputusan mengenai kedudukan kotak, yaitu

menerima atau menolak kotak. Kotak yang memenuhi spesifikasi akan diterima

dan yang tidak memenuhi spesifikasi akan ditolak. Kotak yang diterima

dikategorikan ke dalam produksi dan kotak yang ditolak dikembalikan kepada

penjual, atau dikenakan tindakan lain.

Ada bermacam-macam metode sampling penerimaan, yaitu sampling

tunggal, rangkap dua, berganda, dan sekuensial. Jika setiap keputusan selalu

diambil berdasarkan bukti satu sampel saja, pola penerimaan ini disebut sampling

tunggal sedangkan jika keputusan dapat diambil setelah ditariknya sampel kedua,

pola penerimaan ini disebut sampling rangkap dua. Dalam sampling berganda,

pendekatannya hampir sama dengan sampling rangkap dua. Perbedaannya terletak

pada pengambilan sampel yang lebih dari dua kali dengan ukuran setiap sampel

sama. Untuk setiap sampel dibuat keputusan, apakah menolak atau menerima

kotak atau mengambil tambahan sampel lagi sampai dalam batas tertentu. Ketiga

jenis sampling ini mempunyai banyak kelemahan karena membutuhkan waktu,

tenaga, dan biaya pemeriksaan yang cukup besar.

Sampling sekuensial (penarikan sampel beruntun) merupakan perluasan

konsep sampling rangkap dua dan sampling berganda. Sampling sekuensial

merupakan contoh dari sampling berganda, dimulai dari jumlah sampel yang

kecil, kemudian dilakukan penambahan. Pada setiap sampel dilakukan

penerimaan, penolakan, atau harus menarik sampel lagi sampai pada batas yang

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai

berikut:

1. Bagaimana landasan teori sampling sekuensial ?

2. Bagaimana menentukan batas penerimaan dan penolakan dengan

sampling sekuensial ?

3. Bagaimana mengevaluasi kinerja sampling sekuensial menggunakan

kurva KO (Karakteristik Operasi), kurva ASN (Average Sampling

Number), kurva AOQ (Acceptable Outgoing Quality), dan kurva ATI

(Average Total Inspection)?

4. Bagaimana aplikasi sampling sekuensial dalam pengendalian mutu

produk di bidang industri dan perbandingannya dengan menggunakan

sampling tunggal dan sampling rangkap dua ?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini hanya akan dibahas mengenai sampling penerimaan untuk

data atribut dan sampling sekuensial untuk penerimaan dan penolakan. Akan

dibahas juga mengenai pengukuran untuk mengevaluasi kinerja sampling

sekuensial menggunakan kurva KO, kurva ASN, kurva AOQ, dan kurva ATI.

Teorema limit pusat dan sampling penerimaan untuk data variabel tidak dibahas

dalam skripsi ini. Aplikasi yang digunakan untuk mendukung penyelesaian

D. Tujuan Penulisan

Tujuan skripsi ini adalah untuk memperdalam pengetahuan tentang sampling

sekuensial dan penerapannya dalam proses industri serta memahami

konsep-konsep dasar yang terdapat di dalamnya.

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan

menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, makalah-makalah, yang telah

dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

F. Manfaat Penulisan

Penulisan skripsi ini diharapkan dapat berguna untuk menambah wawasan

bagi pembaca tentang proses penerimaan atau penolakan dalam sampling

sekuensial berdasarkan indeks mutu (AQL, LTPD, IQL, dan AOQL) dan

penerapannya dalam proses produksi.

G. Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan, pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode

penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

Bab II. Konsep-konsep Dasar Statistik dan Sampling Penerimaan, pada bab ini akan dibahas mengenai konsep dasar statistik yang meliputi variabel

distribusi sampling, uji hipotesi, uji mengenai proporsi, dan sampling penerimaan

untuk data atribut yang meliputi indeks mutu untuk sampling penerimaan,

sampling tunggal, sampling rangkap dua, dan sampling berganda.

Bab III. Sampling Sekuensial untuk Penerimaan dalam Pengendali Mutu Statistis, pada bab ini akan dibahas mengenai konsep sampling sekuensial berdasarkan konsep uji sekuensial, kriteria pengambilan keputusan, fungsi

karakteristik operasi, evaluasi kinerja perencanaan sampling sekuensial dengan

kurva KO, kuva ASN, kurva rata-rata kualitas keluaran (AOQ), dan kurva rata-rata

pemeriksaan total (ATI) menggunakan WinQSB versi 2.00.

Bab IV. Aplikasi Perencanaan Sampling Penerimaan, pada bab ini akan dibahas mengenai aplikasi sampling sekuensial pada perusahaan air minum.

Selanjutnya, persoalan sampling sekuensial akan diselesaikan menggunakan

aplikasi WinQSB versi 2.00.

6

BAB II

KONSEP-KONSEP DASAR STATISTIKA DAN SAMPLING PENERIMAAN

A. Konsep-konsep Dasar Statistika

1. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas

Peluang timbulnya suatu kejadian dalam ruang sampel dideskripsikan dalam

model matematika yang diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris dari hasil

percobaan. Hal tersebut menimbulkan gagasan untuk mendefinisikan sebuah

fungsi yang dikenal dengan variabel random, yang memetakan setiap hasil dalam

percobaan dengan bilangan real.

Definisi 2.1.1 Variabel Random :

Variabel random, dilambangkan misalnya dengan X adalah suatu fungsi

yang didefinisikan pada ruang sampel S yang memetakan setiap elemen a∈S ke suatu bilangan real, X

( )

a =x.

Catatan : Huruf kapital X digunakan sebagai lambang variabel random, sedangkan

x huruf kecil melambangkan nilai variabel random yang mungkin.

Definisi 2.1.2 Variabel Random Diskret

Suatu variabel random disebut variabel random diskrit bila daerah hasilnya

Contoh 2.1.1 Variabel Random Diskret

Banyak barang yang cacat dalam sampel n barang atau banyak korban

meninggal disuatu daerah per tahun.

Jika pada sebuah pengamatan probabilitas diberikan seluruh kejadian yang

mungkin dari variabel random diskret X, yaitu x₁,x₂,x₃,K,x_n dan diberikan juga nilai probabilitas yang berkaitan dengan kejadian tersebut, yaitu

(

X x

) (

P X x

) (

P X x

)

P

(

X xn

)

P = ₁ , = ₂ , = ₃ ,K, = sehingga telah terbentuk suatu distribusi probabilitas diskret dari variabel X, yang dilambangkan dengan p

( )

x . Notasi f

( )

x digunakan untuk melambangkan distribusi probabilitas kontinu atau fungsi probabilitas. Terdapat dua hal yang harus dipenuhi f

( )

x maupun

( )

x

p , yaitu :

• Nilai-nilai dari suatu distribusi probabilitas atau fungsi probabilitas adalah

bilangan yang berada dalam interval antara 0 dan 1.

• Jumlah seluruh nilai probabilitas untuk kasus diskrit adalah 1, dan integral

fungsi probabilitas untuk kasus kontinu sama dengan 1.

Definisi 2.1.3 Nilai Harapan atau Rata-rata Variabel Random :

Nilai harapan atau rata-rata variabel random X didefinisikan sebagai

∑

.

( )

,

∀x

x p

x bila X diskret

E

( )

X =

∫

f

( )

x dx,

∞

∞ −

Definisi 2.1.4 Nilai Harapan Fungsi Variabel Random :

Jika X adalah variabel random dan g

( )

X adalah fungsi dari variabel random X. Nilai harapan g

( )

X didefinisikan sebagai

g

( ) ( )

X .p x , x

∑

∀

bila X diskret

E

(

g

( )

X

)

=

∫

g

( ) ( )

X .f x dx,

∞

∞ −

bila X kontinu.

Pada skripsi ini, kasus-kasus termasuk dalam kategori diskrit sehingga

beberapa teorema maupun contoh-contoh yang diberikan adalah dalam kasus

diskrit.

Teorema 2.1.1

Andaikan c adalah konstan, maka E

( )

c =c Bukti :

Dari definisi nilai harapan fungsi variabel random diskret,

( )

∑

( )

∑

( )

∀ ∀

= =

x x

x f c x f c c

E

Tapi

∑

( )

=1

∀x

x f

Maka E

( ) ( )

c =c 1 =c.

Teorema 2.1.2

Maka

( )

[

cg X

]

cE

[

g

( )

X

]

.

E =

Bukti :

Dari definisi nilai harapan fungsi variabel random diskret,

( )

[

cg x

]

cg

( ) ( )

x f x c g

( ) ( )

x f x cE

[

g

( )

X

]

E

x x

= =

=

∑

∑

∀ ∀

Teorema 2.1.3

Misalkan g₁

( ) ( )

X ,g₂ X ,K,g_k

( )

X adalah k fungsi dari variabel random X. Maka

( )

( )

( )

[

g₁ X g₂ X , g X

]

E

[

g₁

( )

X

]

E

[

g₂

( )

X

]

E

[

g

( )

X

]

.

E + +K+ _k = + +K+ _k

Bukti :

Menurut definisi nilai harapan variabel random diskret,

( )

( )

( )

[

g X g X g X

]

[

g

( )

x g

( )

x g

( )

x

]

p

( )

x E

x

k

k

∑

∀

+ + +

= +

+

+ ₂ , _{1 2} ,

1 K K

( ) ( )

∑

( ) ( )

∑

( ) ( )

∑

∀ ∀

∀

+ + +

=

x k x

x

x p x g x

p x g x

p x

g_{1 2} K

( )

[

g X

]

E

[

g

( )

X

]

E

[

g

( )

X

]

E + + + _k

= _{1 2} K

Definisi 2.1.5 Variansi Variabel Random Diskret :

Variansi dari variabel random diskrit X yang mempunyai E

( )

X =μ

didefinisikan sebagai nilai harapan dari

(

X −μ

)

2, yaitu

( )

X E

[

(

X

)

]

(

x

) ( )

p x

Var

x

2 2

2

∑

∀

− =

− =

Teorema 2.1.4

( )

=σ2 =

[

(

−μ

)

2

]

=

( )

2 −μ2 X

E X

E X

Var

Bukti :

(

)

[

2

]

(

2 2

)

2

2μ μ

μ

σ =E X − =E X − X +

Menurut Teorema 2.1.3 :

( )

2

(

)

( )

2

2

2μ μ

σ = E X −E X +E

μ adalah konstan, maka menurut Teorema 2.1.1 dan Teorema 2.1.2

( )

2

( )

2

2

2μ μ

σ = E X − E X +

Karena μ = E

( )

X , maka

( )

2 2 2

( )

2 2

2

2μ μ μ

σ = E X − + =E X −

2. Distribusi Binomial

Suatu distribusi binomial dibentuk oleh suatu percobaan binomial.

Percobaan ini merupakan pengulangan n kali percobaan Bernoulli sehingga harus

memenuhi kondisi :

•Jumlah ulangan n Bernoulli adalah konstanta yang telah ditentukan

sebelumnya.

•Setiap ulangan Bernoulli hanya dapat menghasilkan satu dari dua kejadian

•Probabilitas “sukses” adalah p dan probabilitas “gagal” adalah q =1− p

selalu konstan dalam setiap ulangan. Bila Y adalah variabel random

Bernoulli, maka 1, sukses

Y =

0, gagal

•Setiap ulangan saling bebas secara statistik, yang berarti hasil suatu ulangan

tidak berpengaruh pada hasil ulangan lainnya.

Definisi 2.1.6 Distribusi Binomial

Jika suatu ulangan Bernoulli mempunyai probabilitas keberhasilan p dan

probabilitas kegagalan q=1− p, maka distribusi probabilitas bagi variabel

random binomial X yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan saling bebas

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ₌

∑

=

n

i

Y X

1

adalah

( )

(

)

n x

(

)

n x

(

)

x n x

x p q

x n x

n p

p C x X P x

f − −

− = −

= = =

! !

!

1

dengan

• variabel random X melambangkan jumlah keberhasilan dalam n ulangan.

• x=1,2,3,K,n ; n=1,2,3,K ; dan 0≤ p≤1

• n x

Teorema 2.1.5

Rata-rata dan variansi distribusi binomial adalah

np =

μ dan σ2 =npq

Bukti :

•Rata-rata distribusi binomial.

Dari definisi 2.1.3 tentang nilai harapan atau rata-rata variabel random diskret dan

definisi 2.1.6 tentang distribusi binomial maka diperoleh

( )

(

)

n x x

x n

x p p

C x X E − ∀ − =

=μ

∑

. . .1

(

)

(

)

n x x x p p x x n n x − ∀ − −

=

∑

. .1

! ! ! .

(

)

(

)

n x

n x x p x x n p n x − = − −

=

∑

. 1

! ! ! . 0

(

) (

) (

)

n x

n x x p x x n p n − = − − −

=

∑

. 1

! 1 ! ! 1

(

)

(

)

(

) (

! 1

)

! .

1 . . ! 1 1 1

∑

= − − − − − − = n x x n x x x n p p p n n

(

)

(

)

(

) (

)

∑

= − − − − − − = n x x n x x x n p p n np 1 1 ! 1 ! 1 . . ! 1

Misal k =x−1

maka untuk x=1, k =0

untuk x=n, k =n−1

dan n−x=n−

(

k+1

)

(

)

(

) (

(

) (

)

)

1

(

)

(( 1) ( 1))

1 1 . . ! 1 1 ! 1 !

1 − − − −

− = − − − − − −

=

∑

n x n x

k x p p x n x n np

1

(

)

(( 1) ( 1))

1 1

1. .1

− − − − − = − − −

=

∑

n x n x

k x

n

x p p

C np

=np.1=np • Variansi distribusi binomial.

Akan dicari E

(

X

(

X −1

)

)

dan hasilnya akan digunakan untuk menghitung

( )

X var .

(

)

(

)

(

)

n x

(

)

n x

x n x p p C x x X X E − = − − =

−1

∑

1. . .1

0

(

) ( )

x

(

)

n x n x p p x x n n x x − = − − −

=

∑

. .1

! ! ! . 1 0

(

) ( ) ( )( ) ( )

x n x

n x p p x x x x n n x x − = − − − − −

=

∑

. .1

! 2 1 ! ! . 1 0

∑

(

) (

)

(

)

= − − ₋ − − = n x x n x p p p x x n n 0 2 2 1 . . . ! 2 ! !

(

)(

)

(

) (

)

(

)

( ) ( )

∑

= − − − − ₋ − − − − = n x x n x p p x x n n n n p 2 2 2 2 2 1 . . ! 2 ! ! 2 1

(

)

2

(

)

( 2) ( 2)

2 2 2 2 1 . . 1 . − − − − = − − − −

=

∑

n x n x

x n

x p p

C n

n p

= p2.n

(

n−1

)

.1=n

(

n−1

)

.p2

E

(

X

(

X −1

)

) (

=n n−1

)

.p2 (2.1.1)

Sehingga dari definisi 2.1.5 tentang variansi variabel random diskret diperoleh

= E

( )

X2 −E

( ) ( )

X +E X −

[

E

( )

X

]

2

= E

(

X

(

X −1

)

) ( )

+E X −

[

E

( )

X

]

2

Dari persamaan 2.1.1 maka diperoleh

=n

(

n−1

)

.p2 +np−

( )

np 2

=

( )

np 2 −np2 +np−

( )

np 2

=np−np2

=np

(

1− p

)

=npq

3. Populasi dan Sampel

Analisis statistik dilakukan untuk mengambil kesimpulan tentang parameter

populasinya berdasarkan informasi dari sampel. Harus diusahakan agar diperoleh

sampel yang sedapat mungkin bisa memberikan gambaran dari populasinya.

Dalam berbagai percobaan yang dilakukan, sering dijumpai populasi yang

berbeda-beda keadaannya sehingga agar dapat diperoleh sampel yang

memberikan gambaran populasinya, harus digunakan sampel yang berbeda-beda

pula macamnya. Salah satu macam sampel yang dianggap dapat menggambarkan

keadaan dari populasi yang tidak terlalu heterogen adalah sampel random.

Definisi 2.1.7 Sampel Random :

Sampel yang pengambilannya sedemikian hingga tiap elemen populasinya

Suatu sampel random berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai

fungsi probabilitasf

( )

x adalah himpunan n variabel random saling bebas

n

X X

X

X₁, ₂, ₃,K, yang masing-masing berdistribusi probabilitas f

( )

x .

Suatu nilai yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik. Karena

banyak sampel dapat diambil dari populasi yang sama, maka diharapkan bahwa

nilai statistik yang dihitung dari masing-masing sampel itu akan bervariasi

sehingga statistik merupakan variabel random yang mempunyai distribusi

probabilitas.

Dalam sampling penerimaan, unit produksi yang terpilih untuk pemeriksaan

harus dipilih secara random dan harus mewakili semua produk dalam kotak.

Teknik pengambilan sampel random yang dianjurkan adalah dengan memberi

bilangan pada setiap produk dalam kotak, kemudian n bilangan random ditarik,

yang rentang bilangan-bilangan ini dari 1 sampai dengan maksimum unit dalam

kotak. Barisan bilangan-bilangan random ini menentukan unit-unit produksi mana

di dalam kotak itu yang merupakan sampel. Jika produk mempunyai nomor urut

atau kode lain, kode-kode ini dapat juga digunakan untuk menghindarkan proses

pemberian bilangan yang dilakukan bagi tiap unit produksi.

Kemungkinan yang lain adalah dengan menggunakan bilangan random tiga

angka untuk menunjukkan panjang, lebar, dan dalam suatu kotak. Misal bilangan

random 482. Bilangan random ini menunjukkan unit produksi yang terletak pada

tingkat 4, baris 8, dan kolom 2 kotak itu. Jika pemberian bilangan pada setiap unit

produksi tidak dapat dilakukan, maka letak unit sampel dapat ditentukan secara

dilakukan dengan membagi kotak ke dalam strata atau lapisan, selanjutnya tiap

lapisan dibagi lagi menjadi kubus seperti pada Gambar 2.1.1 Jika metode

“pertimbangan” digunakan untuk memilih sampel maka hilanglah dasar statistik

prosedur sampling penerimaan.

strata 1

strata 2

strata 3

strata 4

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

29 30

31

33

sampel random

14 _{3 29 7}

16 48 5 35

Gambar 2.1.1

4. Distribusi Sampling Proporsi

Distribusi probabilitas suatu statistik dinamakan distribusi sampling harga

statistik. Deviasi standar distribusi sampling statistik dinamakan kesalahan standar

statistik itu.

Pengertian mengenai distribusi sampling dapat dijelaskan dengan

menunjukkan bagaimana distribusi itu dibentuk. Misal ada populasi binomial

dengan N elemen dan mempunyai proporsi populasi p, maka untuk menentukan

distribusi sampling dari proporsi akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

• Diambil sampel random dengan elemen X₁,X₂,K,X_n kemudian dihitung

proporsi sampel pˆ . Dalam setiap pengambilan sampel, elemen-elemen yang terambil dari sampel dikembalikan lagi ke dalam populasinya

sehingga populasinya tetap mempunyai N elemen.

• Jika proses tersebut dilakukan berulang-ulang, dan setiap kali dihitung

proporsi sampelnya, maka akan didapatkan himpunan proporsi sampel

yang frekuensi relatifnya disebut distribusi sampling proporsi .

Jika harga-harga statistik yang dihitung adalah variansi, maka dinamakan

distribusi sampling variansi, yaitu himpunan harga-harga

{

, , 3,K

}

3 2 2 1 1 S S

S . Jika

harga statistik yang dihitung adalah harga-harga proporsi, maka dinamakan

distribusi sampling proporsi.

Untuk distribusi sampling proporsi, misalkan diketahui populasi tak hingga

dan terdistribusi binomial dengan probabilitas sukses adalah p dan probabilitas

gagalnya adalah q=1− p, maka dari sampel random berukuran n yang diambil

adalah semua lemparan yang mungkin dilakukan dengan sebuah koin ideal

dimana probabilitas munculnya gambar adalah 2 1

=

p . Perhatikan semua sampel

ukuran n yang mungkin diambil dari populasi ini dan untuk setiap sampel akan

ditentukan statistik yang merupakan proporsi keberhasilan pˆ . dalam kasus koin,

pˆ adalah proporsi munculnya gambar dalan n kali lemparan.

Telah dikemukakan di depan bahwa mean dari distribusi-distribusi sampling

mean, dinyatakan μ_X, ditentukan oleh

E

( )

X =μ_X =μ (2.1.2)

dimana μadalah mean dari populasi dan nilai harapan dari mean sampel adalah

mean populasi. Mean distribusi sampling dari proporsi berdistribusi binomial,

dinyatakan dengan

( )

( )

p

n X nE n

X E p

E i

p ⎟⎟= =

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛ =

= ˆ

∑

μ (2.1.3)

Perhatikan bahwa proporsi sampel adalah bentuk khusus dari mean sampel,

dengan nilai pengamatan X_i =0 (gagal) atau X_i =1 (sukses). Jika suatu populasi

berhingga dan samplingnya acak dan sampling dilakukan dengan pengembalian,

maka variansi distribusi sampling dari mean dinyatakan sebagai σ_x2 diberikan

oleh

( )

[

(

)

]

n X

E X

Var _x

2 2

2 μ σ

σ = − =

= (2.1.4)

dimana σ2 adalah variansi dari populasi tersebut. Karena X = pˆ maka variansi

( )

( )

Var

( )

X n n X Var X Var p Var _p 2 2 ˆ 1 ˆ ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = σ

Dari Teorema 2.1.5 mengenai Var

( )

X sehingga

( )

2 2 1 n npq X Var n = n pq

= (2.1.5)

n pq

p =

σ (2.1.6)

Jika ukuran populasi N mendekati tak hingga dan sampling dilakukan tanpa

pengembalian dengan ukuran sampelnya n≤N, maka persamaan (2.1.4) menjadi

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = 1 2 2 N n N n X

Var σ_x σ (2.1.7)

Sehingga diperoleh

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = 1 2 N n N n pq X

Var σ_p (2.1.8)

1 − − = N n N n pq p

σ (2.1.9)

dengan :

p

μ : mean dari distribusi sampling proporsi

p

σ : deviasi standar dari distribusi sampling proporsi

N : ukuran populasi

Distribusi sampling mempunyai sifat-sifat yang sangat penting terutama

dalam hubungannya dengan sampel dan populasi. Sifat-sifat ini sangat perlu untuk

diketahui karena peranan distribusi sampling dalam inferensi statistik.

5. Uji Hipotesis

Pengujian hipotesis statistik merupakan bidang yang paling penting dalam

statistika inferensi. Benar atau salahnya suatu hipotesis tidak akan pernah

diketahui dengan pasti, kecuali jika seluruh populasi diperiksa. Tentu saja, dalam

kebanyakan situasi hal itu tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, dapat

diambil sampel random dari populasi tersebut. Informasi yang dikandung dari

sampel itu digunakan untuk memutuskan apakah hipotesis itu kemungkinan besar

benar atau salah.

Bukti yang tidak konsisten dengan hipotesis yang dinyatakan akan

membawa pada penolakan hipotesis tersebut, sedangkan bukti yang mendukung

hipotesis akan membawa pada penerimaannya. Perlu diketahui, penolakan suatu

hipotesis berarti menyimpulkan bahwa hipotesis itu salah, sedangkan penerimaan

suatu hipotesis semata-mata mengimplikasikan bahwa tidak ditemukan bukti yang

cukup untuk mempercayai sebaliknya. Hasil yang diperoleh merupakan perkiraan

yang dipakai sebagai dasar untuk menolak atau menerima H₀.

Keputusan untuk menerima atau menolak H₀ mengandung suatu

ketidakpastian, artinya keputusan yang diambil bisa benar atau bisa juga salah.

harus ditanggung oleh pembuat keputusan itu sendiri. Dalam pengujian hipotesis

dikenal dua tipe kesalahan, yaitu kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II.

Definisi 2.1.8 Uji Hipotesis

Uji Hipotesis adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih

parameter populasi.

Definisi 2.1.9 Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

Hipotesis nol adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan ditolak dan

dilambangkan dengan H₀. Penolakan H₀ akan mengakibatkan suatu penerimaan

hipotesis alternatif yang dilambangkan dengan H₁.

Definisi 2.1.10 Kesalahan Tipe I

Kesalahan tipe I adalah penolakan H₀ yang benar. Probabilitas melakukan

kesalahan tipe I yang dilambangkan dengan α .

Definisi 2.1.11 Kesalahan Tipe II

Kesalahan tipe II adalah penerimaan H₀ yang salah. Probabilitas

Tabel 2.1.1

Keadaan yang Sesungguhnya Keputusan

0

H benar H₀ salah

Menolak H_{0 α} Kesalahan tipe I

= P (kesalahan tipe I)

Keputusan tepat 1 - β

Menerima H₀ Keputusan tepat

1 - α

Kesalahan tipe II

β = P (kesalahan tipe II)

Karena α menyatakan probabilitas menolak H₀ yang benar, maka

diharapkan nilai α sekecil mungkin. Begitu juga dengan β yang menyatakan

probabilitas menerima H₀ yang salah, maka diharapkan nilai β sekecil mungkin.

Namun dalam kenyataannya, memperkecil nilai α dan β sekaligus tidaklah

mungkin karena jika nilai α diperkecil akan mengakibatkan nilai β menjadi

semakin besar. Begitu juga sebaliknya. Usaha untuk memperkecil nilai α dan β

dapat dilakukan dengan memperbesar ukuran sampel. Makin besar ukuran

sampel, maka nilai α dan β akan semakin kecil.

Contoh 2.1.2 Kesalahan Tipe I

Andaikan diketahui 'p adalah batas toleransi cacat yang ditentukan dan p

adalah parameter cacat yang tidak diketahui dan kotak akan ditolak jika p> p',

maka uji hipotesisnya adalah:

' :

0 p p

Jika H₀ ditolak berarti telah terjadi kesalahan tipe I (α) karena menolak H₀

padahal H0 benar.

Contoh 2.1.3 Kesalahan Tipe II

Andaikan diketahui 'p adalah batas toleransi cacat yang ditentukan dan p

adalah parameter cacat yang tidak diketahui dan kotak akan diterima jika p≤ p',

maka uji hipotesisnya adalah:

' :

0 p p

H > melawan H1: p≤ p'

Jika H₀ diterima berarti telah terjadi kesalahan tipe II (β) karena menerima H₀

padahal H₀ salah.

6. Uji Mengenai Proporsi

Uji hipotesis menegenai proporsi diperlukan dalam banyak bidang.

Pengujian hipotesis bahwa proporsi keberhasilan dalam suatu percobaan binomial

sama dengan suatu nilai tertentu. Hal ini berarti bahwa akan diuji hipotesis

0 0:p p

H = dengan p adalah parameter distribusi binomial. Hipotesis alternatifnya

dapat yang bersifat satu sisi maupun dua sisi.

Statistik yang akan digunakan sebagai landasan kriteria pengambilan

keputusan adalah variabel random binomial X yaitu banyaknya sukses, meski

dapat juga digunakan statistik

n X p= ∧

dengan sama baiknya. Nilai X yang jauh

• Untuk menguji hipotesis

0 0 :p p

H =

0 1:p p H <

Wilayah kritis berukuran α diberikan oleh

α

'

k x≤

sedangkan k'_α merupakan bilangan bulat terbesar yang bersifat

(

≤ _α =

)

=

∑

α

(

)

≤α

= '

0

0 ; ;

'

k

x

p n x b p

p bila k X P

• Begitu juga untuk menguji hipotesis

0 0 :p p

H =

0 1:p p H >

Wilayah kritis berukuran α diberikan oleh

α k x≥

sedangkan k_α merupakan bilangan bulat terkecil yang bersifat

(

)

(

)

α

α

α = = ≤

≥

∑

=

n

k x

p n x b p

p bila k X

P ₀ ; ;

• dan yang terakhir untuk menguji hipotesis

0 0 :p p

H =

0 1:p p

H ≠

Wilayah kritis berukuran α diberikan oleh

2 /

'_α

k

Karena X merupakan variabel random binom yang bersifat diskret maka

ukuran wilayah kritis harus ditentukan sedemikian hingga sangat mendekati α

tanpa melampauinya.

Langkah-langkah pengujian proporsi dapat dituliskan sebagai berikut :

1. H₀ = p= p₀.

2. H₁:p< p₀,p> p₀, atau p≠ p₀.

3. Tentukan taraf nyata α .

4. Wilayah kritis

x≤k'_α bila H₁:p< p₀

x≥k'_α bila H1:p> p0

x≤k'_α/2 dan x≥k_α/2bila H₁:p≠ p₀

5. Perhitungan : menghitung banyaknya keberhasilan (x)

6. Keputusan : tolak H0 jika x jatuh dalam wilayah kritis. Jika tidak demikian,

maka terima H₀.

Contoh 2.1.4 Uji mengenai Proporsi

Seorang pemborong menyatakan bahwa di 70% rumah-rumah yang baru

dibangun di kota Richmond dipasang suatu alat pemompa udara panas. Apakah

benar jika di antara 15 rumah baru yang diambil secara acak terdapat 8 rumah

yang menggunakan pompa udara panas? Gunakan taraf nyata 0.10.

Maka langkah-langkah pengujian proporsi adalah :

2. H₁ = p≠0.7.

3. Taraf nyata = α =0.10.

4. Wilayah kritik : x≤7 dan x≥14, dari Tabel D Jumlah Peluang Binom. 5. Perhitungan : banyaknya keberhasilan = x=8

6. Keputusan : karena x=8 tidak berada pada wilayah kritik maka

0

H diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada alasan kuat

untuk meragukan pernyataan pemborong di atas.

B. Sampling Penerimaan

Rencana penerimaan sampel adalah prosedur yang digunakan dalam

mengambil keputusan terhadap produk-produk yang datang atau yang sudah

dihasilkan perusahaan. Ada tiga metode yang dapat digunakan, yaitu pemeriksaan

satu per satu (pemeriksaan 100%), sampling penerimaan, dan tanpa pemeriksaan.

Sampling penerimaan merupakan suatu dasar menengah antara ekstrim

pemeriksaan 100% dan tanpa pemeriksaan.

Bila pemeriksaan bertujuan untuk penerimaan atau penolakan suatu kotak

yang berisi produk berdasarkan kesesuiannya dengan standar, jenis prosedur

pemeriksaan yang digunakan biasanya dinamakan sampling penerimaan.

Sampling penerimaan digunakan sebagai suatu bentuk dari pemeriksaan

antara perusahaan dengan pemasok, antara produsen dengan konsumen, atau antar

divisi dengan perusahaan. Sampel diambil dari kotak dan suatu karakteristik mutu

unit produksi dalam sampel diperiksa. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari

adalah menerima atau menolak kotak. Kotak yang diterima dipandang sebagai

produksi, dan kotak yang ditolak akan dikembalikan pada produsen atau dikenai

tindakan lain.

Sampling penerimaan tidak digunakan untuk memperkirakan keputusan

penerimaan atau penolakan saja. Sampling penerimaan juga bukan merupakan alat

pengendalian mutu, tapi merupakan alat untuk memeriksa apakah produk atau

bahan baku yang datang ke perusahaan atau yang telah dihasilkan perusahaan

tersebut telah memenuhi spesifikasi. Selain itu, sampling penerimaan dapat

dilakukan selama pemeriksaan bahan baku datang, komponen, dan perakitan, pada

berbagai fase dalam proses operasi, atau selama pengawasan produk akhir. Oleh

karenanya, sampling penerimaan tidak ditujukan untuk pengendalian atau

perbaikan mutu proses, melainkan hanya sebagai metode untuk menentukan

disposisi terhadap produk yang datang (bahan baku) atau produk yang telah

dihasilkan (barang jadi) (Mitra,1993).

Apabila dibandingkan dengan pemeriksaan 100%, sampling penerimaan

mempunyai banyak keunggulan, diantaranya :

• lebih menghemat biaya karena pemeriksaan hanya melibatkan lebih

sedikit produk,

• dapat meminimalkan kerusakan dan perpindahan tangan,

• tenaga yang terlibat dalam aktivitas pemeriksaan lebih sedikit,

• penolakan seluruh kotak dibandingkan pengembalian beberapa produk

yang cacat dapat memberikan motivasi yang lebih kuat bagi produsen

untuk meningkatkan kualitas.

Selain mempunyai keunggulan, sampling penerimaan juga mempunyai

kekurangan yang biasa dijumpai yaitu beresiko menerima kotak “buruk” dan

menolak kotak yang “baik” karena sedikitnya informasi mengenai produk.

Sampling penerimaan dapat dilakukan untuk data atribut dan data variabel.

Data atribut (sifat) adalah data karakteristik mutu yang dinyatakan atas dasar

”cacat, tidak cacat” sedangkan data variabel adalah data karakteristik mutu yang

diukur dalam skala numerik. Sampling penerimaan untuk data atribut dilakukan

apabila pengawasan mengklasifikasikan produk sebagai produk yang baik dan

produk yang cacat tanpa ada pengklasifikasian tingkat kesalahan atau cacat

produk tersebut (Mitra, 1993).

Kotak yang dirancang dapat mempengaruhi keefektifan perencanaan

sampling penerimaan. Beberapa hal yang menjadi pertimbangan adalah sebagai

berikut :

• Kotak harus homogen.

Unit produksi dalam kotak harus diproduksi dengan mesin yang sama,

operator yang sama, dari bahan baku yang sama, dan kira-kira diproses

pada waktu yang sama. Jika kotak tidak homogen maka sampling

penerimaan tidak berfungsi secara efektif dan akan mempersulit tindakan

• Dibandingkan kotak yang kecil, kotak yang besar lebih disenangi karena

lebih efisien secara ekonomi.

• Produk dalam kotak harus dibungkus agar meminimumkan resiko

pengiriman dan penanganan.

1. Perbaikan Pemeriksaan

Skema sampling penerimaan biasanya memerlukan tindakan perbaikan jika

kotak ditolak. Tindakan perbaikan pemeriksaan mengambil bentuk pemeriksaan

100% atau penyaringan kotak yang ditolak dengan semua produk cacat yang

ditemukan disisihkan untuk dikerjakan kembali berikutnya, atau dikembalikan

pada produsen, atau diganti dengan unit yang baik. Skema sampling semacam ini

dinamakan skema perbaikan pemeriksaan, karena aktivitas pemeriksaan ini

mempengaruhi mutu akhir aliran kotak yang keluar.

Andaikan telah diketahui p₀ adalah batas toleransi cacat yang ditentukan

dan kotak yang diserahkan ke dalam aktivitas pemeriksaan mempunyai bagian

cacat p. Beberapa dari kotak yang mempunyai bagian cacat p< p₀ akan diterima dan kotak yang mempunyai bagian cacat p> p0 akan ditolak. Kotak

yang ditolak akan disaring dengan cara semua produk cacat yang ditemukan

diganti dengan produk yang baik sehingga bagian cacat menjadi sama dengan 0.

Dengan demikian kotak yang keluar dari aktivitas pemeriksaan adalah campuran

Nilai p₁ biasanya dikenal dengan istilah AOQ (Average Outgoing Quality). Jadi skema pemeriksaan ini membantu meningkatkan mutu aliran kotak. Skema

perbaikan pemeriksaan dilukiskan pada Gambar 2.2.1

Skema perbaikan pemeriksaan digunakan pada pemeriksaan saat menerima,

pemeriksaan dalam proses produk setengah jadi, atau pada pemeriksaan akhir

barang jadi. Tujuan penggunaannya dalam pabrik adalah untuk memberikan Kotak masuk

Aktivitas pemeriksaan

Kotak diterima

Bagian cacat p

Kotak ditolak Bagian cacat p < p₀

Bagian cacat 0

Bagian cacat p₁ < p₀

Kotak keluar

Gambar 2.2.1

jaminan tentang mutu rata-rata bahan yang digunakan dalam tingkat operasi

produksi berikutnya.

Kotak yang ditolak dapat ditangani dengan berbagai cara. Pendekatan

terbaik adalah mengembalikan kotak yang ditolak kepada produsen, dan

mengharuskannya untuk melakukan aktivitas penyaringan dan pengerjaan

kembali. Hal ini mempunyai pengaruh psikologis yang membuat produsen

bertanggung jawab atas mutu rendah dan dapat memberikan motivasi kepada

produsen untuk meningkatkan proses produksi. Tetapi dalam banyak keadaan,

karena komponen atau bahan baku diperlukan untuk memenuhi jadwal produksi,

penyaringan dan pengerjaan kembali dilakukan di tingkat konsumen.

Rata-rata kualitas keluaran atau Average Outgoing Quality (AOQ) dan

rata-rata pemeriksaan total atau Average Total Inspection (ATI) digunakan secara luas

untuk menilai skema perbaikan pemeriksaan.

2. Indeks Mutu untuk Sampling Penerimaan

Ada beberapa indeks mutu yang dapat digunakan dalam sampling

penerimaan, yaitu AQL, LTPD, IQL, dan AOQL.

Definisi 2.2.1 LTPD (Lot Tolerance Percent Defective)

LTPD (tingkat mutu menurut konsumen) merupakan mutu ketidakpuasan

atau merupakan tingkat penolakan, dimana probabilitas penerimaan

( )

P_a LTPD

Konsumen menghendaki penolakan produk cacat dengan probabilitas yang

besar sehingga probabilitas penerimaan

( )

P_a kecil, atau sekitar 0.1.

Contoh 2.2.1 LTPD

Misal kotak ditolak dalam pemeriksaan, maka dapat dinyatakan keputusan

yang diambil 90% benar karena tingkat mutu kotak lebih buruk dari LTPD. Tetapi

jika kotak diterima, maka dapat dinyatakan keputusan yang diambil 90% benar

karena tingkat mutu kotak sama atau lebih baik dari LTPD .

Definisi 2.2.2 AQL (Acceptable Quality Lot)

AQL merupakan presentase maksimum ketidaksesuaian atau banyaknya

ketidaksesuaian maksimum setiap 100 unit produk, di mana untuk tujuan

pemeriksaan sampel, dapat mempertimbangkan kepuasan sebagai rata-rata sampel

(ANSI / ASQC Z1.4, 1993) atau AQL (tingkat mutu menurut produsen) merupakan

proporsi maksimum dari cacat atau kesalahan yang diperbolehkan.

Produsen selalu menghendaki probabilitas penerimaan

( )

P_a pada tingkat

AQL cukup tinggi, biasanya 0.99 atau 0.95.

Contoh 2.2.2 AQL

Jika kotak ditolak dalam pemeriksaan, maka dapat dinyatakan keputusan

yang diambil 95% benar karena tingkat mutu kotak lebih buruk dari AQL. Tetapi

jika kotak diterima, maka dapat dinyatakan keputusan yang diambil 95% benar

Definisi 2.2.3 IQL (Indifference Quality Level)

IQL adalah tingkat mutu diantara AQL dan LTPD yang sering diartikan

sebagai tingkat mutu pada probabilitas penerimaan 0.5 untuk perencanaan

sampling tertentu.

Definisi 2.2.4 AOQL (Average Outgoing Quality Level)

AOQL adalah suatu perkiraan hubungan yang berada diantara bagian

kesalahan pada produk sebelum diperiksa atau proporsi cacat p dari bagian sisa

kesalahan setelah pemeriksaan.

Definisi 2.2.5 Resiko Produsen

Resiko Produsen adalah resiko yang diterima produsen karena menolak

kotak yang baik dalam pemeriksaan, dengan kata lain resiko melakukan kesalahan

tipe I dan biasanya dilambangkan dengan α .

Dalam hubungannya dengan perencanaan sampling, kesalahan tipe I adalah

resiko menolak produk pada tingkat AQL. Bila AQL atau nilai proporsi cacat p

kecil, produsen menginginkan probabilitas penerimaan

( )

P_a dekat dengan 1.

Probabilitas kesalahan tipe I (resiko produsen) = α =1−P_a biasanya hanya

Definisi 2.2.6 Resiko Konsumen

Resiko Konsumen adalah resiko yang dialami konsumen karena terpaksa

menerima produk yang cacat, dengan kata lain resiko melakukan kesalahan tipe II

dan biasanya dilambangkan dengan β.

Dalam hubungannya dengan perencanaan sampling, kesalahan tipe II adalah

resiko menerima produk pada tingkat LTPD. Jika nilai proporsi cacat p besar,

maka konsumen menginginkan probabilitas

( )

P_a dekat dengan 0. Probabilitas

kesalahan tipe II (resiko konsumen) =β =P_a menunjukkan probabilitas

penerimaan konsumen terhadap produk yang cacat biasanya hanya sekitar 0.1.

Tabel 2.2.1

HASIL KEPUTUSAN

Menerima Kotak Menolak Kotak

AQL Keputusan Tepat

Resiko Produsen Kesalahan Tipe I

(α )

MUTU

LTPD

Resiko Konsumen Kesalahan Tipe II

(β)

Keputusan Tepat

3. Sampling Tunggal

Dalam pemeriksaan penerimaan, produk yang cacat didefinisikan sebagai

produk yang tidak memenuhi spesifikasi dalam satu atau lebih karakteristik mutu.

Suatu prosedur umum dalam sampling penerimaan adalah mempertimbangkan

setiap kotak yang diserahkan secara terpisah dan mengambil keputusan tentang

dipilih secara random dari kotak tersebut. Jika keputusan selalu dibuat

berdasarkan bukti satu sampel saja, maka pola penerimaan itu disebut sampling tunggal.

Setiap pola sistematik untuk sampling tunggal mensyaratkan adanya tiga

bilangan yang ditentukan, yaitu ukuran kotak N dari mana sampel itu ditarik,

ukuran sampel n yang dipilih secara random, dan bilangan penerimaan c.

Bilangan penerimaan adalah jumlah maksimum produk cacat yang diperbolehkan

ada dalam sampel. Lebih dari c yang cacat akan menyebabkan penolakan kotak.

Andaikan sebuah kotak berukuran N telah diserahkan untuk pemeriksaan.

Jadi, jika ukuran kotak = 10.000 maka perencanaan sampling

n = 89

c = 2

berarti bahwa dari kotak berukuran 10.000 dan ukuran sampel n = 89 unit

produksi diperiksa dan diamati banyak produk cacat d. Jika banyak produk cacat d

kurang dari atau sama dengan 2, kotak akan diterima. Sebaliknya, jika banyak

produk cacat d lebih besar dari 2, kotak akan ditolak.

Andaikan kotak N adalah besar (secara teoritis tak berhingga). Sampel

random berukuran n diambil dari kotak berukuran N. Dalam keadaan ini,

distribusi banyak cacat d dalam suatu sampel random dengan n unit adalah

binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah bagian unit yang cacat di

dalam kotak itu. Probabilitas akan mengamati tepat cacat d adalah :

P[d cacat] =

( )

(

)

pd

(

p

)

n d d

n d

n d

f − −

−

= 1

! !

!

Probabilitas akan menerima

( )

P_a sama dengan probabilitas bahwa d lebih kecil

atau sama dengan bilangan penerimaan c, sehingga diperoleh :

(

)

(

)

(

)

∑

= − − − = ≤ = c d d n d

a p p

d n d n c d P P 0 1 ! ! ! (2.2.2)

Rumus (2.2.2) berlaku untuk setiap bagian cacat p. Untuk p₀,1−α, p₁,β

tertentu, maka dengan menganggap bahwa sampling binomial sesuai, ukuran

sampel n , banyak cacat yang ditemukan d dan bilangan penerimaan c adalah

penyelesaian dari :

(

)

d

(

)

n d

c d p p d n d n − = − − =

−

∑

0 0

0

1 ! !

!

1 α (2.2.3)

(

)

d

(

)

n d

c d p p d n d n − = − −

=

∑

1 1

0

1 ! !

!

β (2.2.4)

Misal bagian cacat p = 0.01, ukuran sampel = 89, dan bilangan penerimaan c = 2,

maka probabilitas penerimaannya adalah :

(

)

∑

(

) (

) (

)

= − − − = ≤ = 2 0 89 01 . 0 1 01 . 0 ! 89 ! ! 89 2 d d d a d d d P P

(

) (

0

)

89

(

) (

1

)

88

(

) (

2

)

87

99 . 0 01 . 0 ! 89 ! 2 ! 89 99 . 0 01 . 0 ! 89 ! 1 ! 89 99 . 0 01 . 0 ! 89 ! 0 ! 89 + + = 1633 . 0 3675 . 0 4088 .

0 + +

=

9397 . 0

=

Ini berarti bahwa jika 100 kotak dari suatu proses menghasilkan 1% produk yang

4. Sampling Rangkap Dua

Jika penarikan sampling tunggal memerlukan keputusan mengenai

penerimaan atau penolakan kotak berdasarkan bukti satu kali pengambilan sampel

dari kotak itu, maka penarikan sampel rangkap dua menyertakan kemungkinan

menunda keputusan mengenai kotak tersebut hingga ditariknya sampel kedua.

Perencanaan sampling rangkap dua ini dibatasi pada dua syarat, yaitu bila

besarnya sampel pertama sama dengan sampel pertama

(

n1 =n2

)

atau besarnya

sampel kedua sama dengan dua kali besarnya sampel pertama

(

n2 =2n1

)

. Untuk

membuat perencanaan terhadap jumlah sampel tersebut digunakan Tabel Grubbs

yang terdapat pada lampiran C.

Suatu kotak dapat diterima sekaligus jika sampel pertama cukup baik atau

ditolak sama sekali jika sampel pertama tidak cukup baik. Jika sampel pertama

tidak cukup baik atau tidak buruk, maka keputusan didasarkan pada bukti

gabungan sampel pertama dan kedua.

Secara umum, sampling rangkap dua akan menyertakan lebih sedikit jumlah

pemeriksaan daripada sampling tunggal untuk setiap perlindungan mutu yang

dibutuhkan. Perencanaan sampling rangkap dua mempunyai

keunggulan-keunggulan psikologis tertentu karena memberikan peluang kedua kepada

kotak-kotak yang meragukan. Perencanaan sampling rangkap dua didefinisikan dengan

enam parameter, yaitu

• c1 = bilangan penerimaan pada sampel pertama, jumlah maksimum

cacat yang akan membolehkan penerimaan kotak berdasarkan sampel

pertama.

• d1 = banyak cacat yang ditemukan pada sampel pertama. • n2 = ukuran sampel kedua.

• c₂ = bilangan penerimaan untuk kedua sampel yang digabungkan,

yaitu jumlah maksimum cacat yang akan membolehkan penerimaan kotak

berdasarkan kedua sampel.

• d₂ = banyak cacat yang ditemukan pada sampel kedua.

• n1+n2 = ukuran sampel gabungan sampel pertama dan sampel kedua. • d1+d2= banyak cacat yang ditemukan pada gabungan sampel.

Misal N = 1000, n₁ = 36, c₁= 0, n₂= 59, dan c₂= 3 maka :

• Sampel random pertama dengan ukuran n₁ = 36 produk diambil dan

diperiksa dari kotak berukuran 1000.

• Kotak tersebut akan diterima berdasarkan sampel pertama jika sampel

tidak ada yang cacat

(

d1 ≤c1

)

.

• Kotak tersebut akan ditolak berdasarkan sampel pertama jika sampel

berisi lebih dari 3 produk yang cacat

(

d1 >c2

)

.

• Sampel random kedua dengan ukuran n₂= 59 unit jika sampel pertama

• Kotak tersebut akan diterima berdasarkan sampel gabungan berukuran

95 2 1+n =

n produk jika sampel gabungan berisi 3 atau kurang produk yang cacat

(

d₁+d₂ ≤c₂

)

.

• Kotak tersebut akan ditolak berdasarkan sampel gabungan jika sampel

gabungan berisi lebih dari 3 produk yang cacat

(

d₁+d₂ >c₂

)

.

Skema perencanaan sampling rangkap dua dilukiskan pada gambar dibawah ini.

Keunggulan utama sampling rangkap dua terhadap sampling tunggal adalah

sampling rangkap dua dapat mengurangi banyak keseluruhan pemeriksaan yang Periksa sampel pertama n₁

Jika ditemukan cacat d₁ pada sampel pertama

2 1 1 d c c < ≤

Periksa sampel kedua n₂

Jika ditemukan cacat d1 +d2

pada sampel gabungan n₁+n₂

2 2 1 d c

d + ≤ d₁+d₂ >c₂

2 1 c d > 1

1 c d ≤

Terima kotak Tolak kotak

diperlukan. Andaikan sampel pertama yang diambil dalam sampling rangkap dua

lebih kecil dari sampel yang diperlukan dalam sampling tunggal yang

memberikan perlindungan sama kepada konsumen maka dalam semua keadaan

kotak ditolak ataupun diterima pada sampel pertama, biaya sampling rangkap dua

lebih rendah dari sampling tunggal.

Jika P_a menunjukkan probabilitas penerimaan pada sampel gabungan, dan

( )

1 a

P dan P_a

( )

2 masing-masing menunjukkan probabilitas penerimaan pada

penarikan sampel pertama dan kedua, maka

( )

1 _a

( )

2 a

a P P

P = + (2.2.5)

Misal n1 = 50, c1 = 1, n2= 100, dan c2= 3, maka probabilitas

( )

Pa' bahwa akan diamati d₁ ≤c₁= 1 cacat dari sampel random dengan n₁= 50 adalah

( )

∑

(

)

(

)

=

− − −

= 1 0

50

1 1

1

1 1 ₁

! 50 !

! 50 1

d

d d

a p p

d d

P

Jika bagian cacat p = 0.05 maka

( )

∑

(

) (

) (

)

=

− −

− = 1

0

50

1 1

1

1 1

05 . 0 1 05 . 0 ! 50 !

! 50 1

d

d d

a

d d

P

Untuk memperoleh probabilitas penerimaan pada sampel kedua P_a

( )

2 maka

harus dijabarkan banyak cara sampel ked