DEPARTMEN FISIKA ITB BENDA TEGAR. FI Dr. Linus Pasasa MS Bab 6-1

(1)

DEPARTMEN FISIKA ITB

(2)

 Gerak Rotasi

Vektor Momentum Sudut

 Sistem Partikel

 Momen Inersia

 Dalil Sumbu Sejajar

 Dinamika Benda Tegar

 Menggelinding

 Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar

 Statika Benda Tegar

(3)

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

 Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.

 Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)

 Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:

1 2

θ















57 ,

3

2

360 rad

1 

(4)

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

 kecepatan sudut sesaat:

dt

d

t

t t











    0 0

lim

 kecepatan sudut rata-rata:

t

θ

t

θ









1 2 1 2



Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)

(5)

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Arah kecepatan sudut:

(6)

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

 Percepatan sudut sesaat:

 Percepatan sudut rata-rata:

t













1 2 1 2

dt

d

t











 

lim

0

Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s2₎

(7)

(8)

Perumusan Gerak Rotasi

 Kecepatan tangensial:   tangensial kecepatan linear kecepatan



r v 





_dalam_rad/s



  tangensial percepatan linear percepatan



r a 





_dalam_rad/s2



 Percepatan tangensial:

(9)

Perumusan Gerak Rotasi

r

v

a

_r 2 2





 Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):

(10)

Torsi – Momen gaya

 Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya

dengan panjangnya lengan

(11)

Torsi – Momen gaya

 Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.

(12)

Vektor Momentum Sudut

 Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:

)

v

r

m(

p

r

L



















sin l mvr rp rmv r p r mv



         •Satuan SI adalah Kg.m2_/s.

(13)

Vektor Momentum Sudut

 Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:





d dt d dt L r p  





d

dt

d

dt

d

dt

r



p





r



p

r

p



















     v mv 0 Jadi d dt d dt L r p   l ingat _F_EXT dp dt 

(14)

Vektor Momentum Sudut

 Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh: d dt d dt L r p   F_EXT dt d _ _ r L

Akhirnya kita peroleh:

_EXT d

dt

 L

Analog dengan !! _F_EXT dp

dt

(15)

Hukum Kekekalan Momentum

Sudut

 _ dimana dan EXT d dt  L L  r p EXT  r FEXT _EXT d dt  L  0

 Jika torsi resultan = nol, maka

Hukum kekekalan momentum sudut

2

1 



₂

1 I

(16)

Hukum Kekekalan Momentum

 Linear

o Jika SF = 0, maka p konstan.

 Rotasi

(17)

Momentum Sudut:

Defenisi & Penurunan

 Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

Momentum kekal jika

 Bagaimana dng Gerak Rotasi?

F_EXT dp dt 

F

_EXT



0 L

 

r

p

  

r F

Untuk Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi

Analog momentum p adalah momentum sudut

(18)

Sistem Partikel

 Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka

momentum sudut total:

1 2 3 1 n n i i L l l l l l        



, 1 1 n n i net i net i i dL dl dt 



_ dt 



_







Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh torsi gaya luar saja.

(19)

DEPARTMEN FISIKA ITB i j

Sistem Partikel

kˆ v r m m i i i i i i i i i i i         r p r v L

 Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel: r₁ r₃ r₂ m₂ m₁ m₃  v₂ v₁ v₃

Arah L sejajar sumbu z

Gunakan v_i =  r_i , diperoleh





I



L

(krn r_i dan v_i tegak lurus)

Analog dng p = mv !! k r m L i 2 i i ˆ  



(20)

Vektor Momentum Sudut

 DEFINISI

Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan

kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut.

 Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):





I



L









I

dt

d

I

dt

I

d

dt

L

d



(

)

(21)

 Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan



kekal

L



I



L



I



L



I



2

i i

I





m r

(22)

Momen Inersia

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai

I = momen inersia benda tegar,

menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya

...

2 2 2 2 1 1 2









m

r

m

r

m

r

I

i i i

(23)

Momen Inersia

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral









r

dm

ρr

dV

I

2 2 dm x y z

dm

r

I

r

m

I

_i i i









2 2

dl

d

rdr

dV









(24)

Momen Inersia

 dimana rdr : perubahan radius,

 dθ : perubahan sudut,  dl : perubahan ketebalan.

dl

d

rdr

dV









(25)

Momen Inersia

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral



rdr

d

dl



r

I





2









Asumsi rapat massa ρ konstan

 Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:

 

_

   

_







R

r

rdr

d

L

dl

I

0 2 0 0 2 





(26)

Momen Inersia

Hasilnya adalah

   

L

R

I

l

r

I

L R































2

4

4 0 2 0 0 4

L

R

M











2



Massa dari lempengan tersebut 2

2

1 MR

I



(27)

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap

sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (I_CM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar

2

Mh

I

(28)

Momen Inersia:

ℓ ℓ a b 2 12 1 ml I  2 mR I  ) ( 12 1 ₂ ₂ b a m I   R 2 5 2 mR I  2 2 1 mR I  2 3 1 ml I  R

(29)

Dinamika Benda Tegar

 Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:

2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1







   

I

d

I

d

W













(30)

Energi Kinetik Rotasi

 Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

 

2



2



2

1

2

1 _

_





m

_i

r

_i

m

_i

r

_i

K





2 i i

r

m

I

2

1 _

I

K



(31)

Energi Kinetik Rotasi

 Linear  Rotasi 2

2

1 _

I

K



2

1 Mv

K



Massa Kecepatan Linear Momen Inersia Kecepatan Sudut

(32)

Prinsip Kerja-Energi

 Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1







   

I

d

I

d

W













2

1 _

I

K

_rotasi



rotasi

K

W





_dimana

Bila ,maka sehingga







0 W



0

0 

(33)

Menggelinding

 Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi

(34)

Gerak Menggelinding: rotasi dan

translasi

s





R

Ban bergerak dengan laju ds/dt

com

d

v

R

dt

 

(35)

Gerak Menggelinding: rotasi dan

(36)

Gerak Menggelinding: rotasi dan

translasi

The kinetic energy of rolling

2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 P P com com com com r t K I I I MR K I MR K I Mv K K



        

(37)

Gerak Menggelinding Di Bidang Miring



R

_x

P

s

f

g

F

sin g F  cos g F 

N

Gunakan: torsi = I  sin g P R F



 I



com a  



R Maka: 2 sin _P _com MR g



 I a 2 P com I  I  MR 2 sin 1 / com com g a I MR



  

(38)

Menggelinding

 Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.

2 0 2 0

2

1

2

1 

I

mv

K





 V₀

(39)

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

(40)

 Suatu benda tegar dikatakan setimbang

apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama

dengan nol.

 Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:

SF_x = 0 dan SF_y = 0

S



= 0

(41)

Hubungan Besaran

Gerak Linear - Rotasi

Linear Rotasi x (m)  (rad)

v (m/s)



(rad/s)

a (m/s

2

₎



_(rad/s

2

₎

m (kg)

I

(kg·m

2

)

F (N)



(N·m)

p (N·s) L (N·m·s)

(42)

DEPARTMEN FISIKA ITB linear angular perpindahan kecepatan percepatan massa gaya Hk. Newton’s energi kinetik Kerja