Aplikasi Integer Programming Dalam Optimasi Produksi

Aplikasi Integer Programming Dalam

Optimasi Produksi

Tri Hernawati

Staf Pengajar Kopertis Wilayah I

Dpk Fakultas Teknik Universitas Islam Sumatera Utara Medan

Abstrak

Perencanaan produksi yang optimal merupakan salah satu aspek yang penting dalam tercapainya target perusahaan. Kesalahan dalam merencanakan produksi berakibat pada perolehan laba yang tidak maksimal. Untuk menghindari kesalahan dalam perencanaan produksi perlu digunakan metode yang tepat. Program Linier (Linear Programming) merupakan salah satu metode yang cukup bermanfaat untuk optimasi produksi dengan melihat keterbatasan sumberdaya perusahaan. Pada metode program linier variabel keputusan dapat berupa bilangan tidak bulat (real). Optimasi produksi yang akan dilakukan dalam tulisan ini membutuhkan solusi berupa bilangan bulat, sehingga digunakan metode program linier yang semua variabelnya berupa bilangan bulat (integer) yang disebut Integer Programming. Aplikasi integer programming dilakukan pada PT.MM yang menghasilkan tiga jenis produk yaitu box meter, collar dan clamp sadle. Tahapan yang dilalui dalam aplikasi metode integer programming dalam tulisan ini pertama penentuan variabel yang berpengaruh terhadap tujuan , sumberdaya yang dibutuhkan dan yang tersedia, serta rencana produksi ; kedua formulasi model matematika; ketiga penentuan solusi optimal dengan menggunakan software LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer). Keluaran dari aplikasi integer programming adalah jumlah masing-masing produk optimal. Hasil yang optimal diperoleh sebanyak 28 kali iterasi , dengan produksi optimal pada priode perencanaan untuk box meter, collar dan clamp saddle berturut-turut 605 unit, 126 unit dan 103 unit.

Kata kunc: Aplikasi, Integer Programming, Optimasi, Produksi

1. Pendahuluan

Persaingan dalam dunia usaha sekarang ini dapat dikatakan cukup ketat dengan ditandai banyaknya produk yang sejenis bermunculan di pasar. Hal tersebut menyebabkan pola permintaan konsumen terhadap produk berfluktuasi, sehingga perusahaan mengalami kesulitan untuk menentukan secara pasti jumlah produk yang akan dihasilkan. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari perusahaan yang diteliti sering terjadi jumlah produk yang dihasilkan melebihi permintaan konsumen sehingga keuntungan yang diharapkan tidak tercapai. Berdasarkan latar belakang tersebut maka permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana menentukan jumlah produksi optimal. Optimasi dilakukakan dengan mengaplikasikan metode integer programming.

Tujuan dilakukannya penelitian adalah untuk menentukan kombinasi produksi optimal yang dapat dihasilkan menggunakan integer programming dengan mempertimbangkan keterbatasn sumberdaya dan jumlah permintaan untuk memaksimalkan keuntungan.

Adapun pengertian optimasi adalah upaya yang bertujuan untuk memperoleh hasil terbaik dalam suatu keterbatasan sumberdaya.

Permasalahan optimasi dengan keterbatasan sumberdaya dapat diselesaikan dengan pendekatan program linier (linear programming), yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang tergantung pada sejumlah variabel input. Fungsi tujuan (constraint function) adalah rumusan fungsi yang menjadi sasaran untuk mencapai pemecahan optium(maksimisasi atau minimisasi), sedangkan fungsi batasan (constraints functoin) merupakan rumusan dari sediaan sumberdaya yang membatasi proses optimasi

Pada pembahasan tulisan ini, penulis menggunakan pengertian program linier dari beberapa penulis yang maknanya pada dasarnya sama walaupun redaksinya berbeda.

Menurut Buffa dan Sharin (1987) program linier merupakan model analisis yang dipakai untuk mengalokasikan sumberdaya yang terbatas pada penggunaan sumberdaya yang bersaing dengan cara sedemikian rupa guna mendapatkan pemecahan yang optimum. Chase dan Aquilano (1990), Quilano dan Jacobs (2001) menyatakan program linier merupakan suatu metode pemecahan optlmalisasi secara

matematik melalui pengalokasian sumberdaya yang terbatas diantara tipe penggunaan yang bersaing. Optimalisasi tersebut dapat berupa maksimalisasi kontribusi dan dapat pula merupakan minimalisasi biaya. Program linier memuat suatu rencana kegiatan untuk menhasilkan hasil yang optimal yang didesain untuk membantu para manajer operasi dalam merencanakan dan membuat keputusan yang diperlukan untuk mengalokasikan sumberdaya (Heizer dan Render, 2005). Dari beberapa pendapat diatas dapat dirumuskan pengertian program linier sebagai sebuah metode matematik yang dipergunakan untuk pemecahan optimum sebuah fungsi tujuan linier melalui pengalokasian sumberdaya yang terbatas yang dimiliki sebuah organisasi atau perusahaan .

Secara umum model matematik dari problema program linier dapat diformulasikan sbb : Fungsi Tujuan : Maksimumkan/ Minimumkan

C

X

j n j j

Z

_





1 Batasan :

a

X

_j

b

_i m i ij











,

,

1

X

_ij



0

(

i



1

,

2

...

m

;

j



1

,

2

,...

n

)

Keterangan :

Z = total biaya atau keuntungan

Cj = Keuntungan atau biaya /unit keluaran Xj = Jumlah keluaran ke j

aij = sumberdaya i yang digunakan untuk menghasilkan keluaran j

Pada metode program linier variabel keputusan dapat berupa bilangan tidak bulat (real). Bila optimasi produksi yang akan dilakukan membutuhkan solusi berupa bilangan bulat (integer) , maka digunakan metode program linier bilangan bulat (integer) yang disebut Integer Programming.

Istilah Integer Programming mengandung dua macam pengertian (Siswanto, 2007). Pertama teknik analisis untuk menghasilkan penyelesaian optimal pemrograman linier bilangan bulat, kedua teknik analisis pemrograman linier yang menggunakan bilangan biner (binary) 0 dan 1 yang dikenal sebagai zero-one programming.

Ada 2 teknik penyelesaian problema integer programming, yaitu metode Branch and Bound serta metode Cutting Plane. Kedua metode tersebut tidak efisien untuk menyelesaikan integer programming yang memiliki lebih dari dua variabel. Oleh karena itu penulis tidak membahas dan menggunakan kedua metode tersebut. Penyelesaian optimum dengan menggunakan program LINDO.

Formulasi model matematik untuk integer programming serupa dengan program linier perbedaannya hanya dengan menambahkan satu batasan bahwa variabel keputusan bernilai integer ( Lieberman, 1995) yang didalam program LINDO dituliskan dengan istilah GIN (singkatan dari Genereal Integer)

Ada 2 macam cara untuk menggunakan perintah itu. Yang pertama “GIN n” , digunakan bila n variabel keputusan dikehendaki bernilai bulat dan yang kedua “GIN nama variabel” digunakan bila variabel keputusan tertentu dikehendaki bernilai bulat.

2. Metodologi

Pengumpulan data

Data yang dibutuhkan dalam penyelesaian masalah dalam penelitian adalah data penjualan masa lalu (tabel 1) dan data profit (tabel 2) untuk setiap jenis produk serta data sumberdaya yang membatasi rencana produksi (tabel 3).

Peramalan Produksi

Untuk menentukan rencana produksi pada priode optimasi dilakukan peramalan dengan metode kuantitatif yaitu metode yang didasarkan pada perhitungan statistik. Peramalan ini menggunakan data historis (data masa lalu) untuk meramalkan sistem di masa yang akan datang. (Heryanto, 1999 ). Metode kuantitatif yang digunakan adalah Metode Time Series (Deret Berkala).

1.

Trend Konstan : Dt’ =

n



dt

2. Trend Linier

Dt’ = a + b.t

Untuk mendapatkan nilai a, b, c dapat digunakan rumus, sebagai berikut :

-dt a n t b n

















2 2

_-

-.













t

t

n

t

dt

t

dt

n

b

3. Trend Kuadratis Rumus: Dt’ = a + bt + ct2

Untuk mendapatkan nilai a, b, c dapat digunakan rumus, sebagai berikut :





n

t

dt

a







2

c

-









2 2

_-

-.













t

t

n

t

dt

t

dt

n

b







_



_









4 2 2 2 2

n

.

n

-t

t

dt

t

t

dt

c

4. Trend Eksponensial Rumus : Dt’ = abt

Untuk mendapatkan a dan b digunakan rumus:

log a =

n dt log



_{log b =}





2 t dt log t Dimana : Dt’ : Ramalan Permintaan a, b, c : Konstanta t : Periode Waktu dt : data aktual ke t Mean s

Square Error (MSE)

MSE =

n

dt

n t







1 2

)

'

Dt

(

Formulasi Model

semua variabel keputusan, langkah selanjutnya adalah membuat formulasi model program integer.

Sebagai tujuan dalam optimasi produksi adalah memaksimalkan keuntungan dan sebagai kendala adalah keterdiaan bahan baku besi, kokas dan bantu gamping. Disamping itu permintaan juga dibatasi sesuai dengan hasil peramalan yang dilakukan. Jenis produk yang dihasilkan 3 jenis, yaitu box meter, collar dan clamp saddle, maka formulasi model matemtik secara simbolis sbb:

Fungsi Tujuan : Maksimumkan

Z



C

₁

X

₁



C

₂

X

₂



C

₃

X

₃ Batasan :

a

X

b

_i n i ij j





1

X

_j



0

dan integer Keterangan : Cj = Keuntungan /unit produk Xj = Jumlah produk ke j bi = sumberdaya i yang tersedia

Optimasi

Setelah model program integer selesai diformulasikan maka dilakukakan optimasi dengan menggunakan software LINDO.

Gambar 1. Tahapan penelitian

3. Hasil dan Pembahasan

Setelah dilakukan peramalan dengan metode diatas, maka ditentukan kesalahan peramalan untuk masing-masing metode. Metode yang mempunyai kesalahan terkecil digunakan untuk menentukan rencana produksi pada priode optimasi. Dari hasil perhitungan diperoleh trend linier mempunyai kesalahan terkecil

Mulai Identifikasi Variabel Formulasi Model Optimasi Pengumpulan data Peramalan Produksi Selesai

umtuk produk box meter dan collar, sedangkan untuk produk clamp saddle metode kwadratis. Optimasi yang dilakukan untuk satu tahun kedepan (tahun 2011), tapi dalam tulisan ini yang ditampilkan hanya untuk periode Januari 2011. Periode lainnya dapat ditentukan dengan cara yang sama. Hasil peramalan untuk priode Januari 2011 ditampilkan pada Tabel 4.

Tabel 1. Data penjualan produk tahun 2010

No Priode Jumlah (unit) produk Box meter Collar Clamp Sadle

1 Jan 1350 340 130 2 Feb 1800 150 175 3 Maret 1250 145 400 4 April 1500 140 250 5 Mei 1400 245 490 6 Juni 2000 100 100 7 Juli 850 150 430 8 Agust 950 180 160 9 Sept. 1100 130 530 10 Okt. 1700 230 330 11 Nop. 1250 165 1500 12 Des. 1300 100 480

Tabel 2. Data profit/unit produk (Rp) No Jenis Produk Profit 1 Box Meter 45.000 2 Collar 34.500 3 Clamp saddle 6.000 Tabel 3. Data kebutuhan dan ketersediaan bahan baku (kg) No Bahan Jenis Produk Tersedia baku Box Collar Clamp Meter Saddle 1 Besi 11,12 8,56 1,41 8.000 2 Kokas 1,72 1,33 0,22 1.240 3 Batu 0,28 0,21 0,04 200 gamping Tabel 4. Hasil peramalan priode Januari 2011 No Jenis Produk Jumlah (unit) 1 Box Meter 1216

2 Collar 126

3 Clamp Saddle 972

Setelah diperoleh semua parameter yang dibutuhkan, maka dilakukan formulasi model matematik. Variabel Keputusan :

X2 = jumlah produk collar

X3 = jumlah produk clamp sadle

Formulasi model matematik: Fungsi Tujuan :

X

X

X

Z

n

Maksimumka

3 2 1

34

.

500

6

.

000

000

.

45







Fungsi Pembatas: Besi:

000

.

8

41

,1

56

,

8

12

,

11

X

₁



X

₂



X

₃



Kokas

240

.

1

22

,

0

33

,1

72

,1

X

₁



X

₂



X

₃



Batu Gamping:

0

,

28

0

,

21

0

,

04

200

3 2 1



X



X



X

X

1



1

.

216

X

2 126

X

₃



972

X1, X2, X3 ≥0 dan integer

Optimasi dengan solver LINDO

Setelah semua parameter dan variable keputusan dimasukkan pada solver LINDO diperoleh hasil sebagai berikut ;

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 32190000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 605.000000 -45000.000000

X2 126.000000 -34500.000000

X3 103.000000 -6000.000000

ROW SLACK OR DUAL PRICES SURPLUS 2) 0.210066 0.000000 3) 9.159977 0.000000 4) 0.020000 0.000000 5) 611.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 869.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 28

4. Kesimpulan

Dari hasil penelitian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa keluaran dari aplikasi integer programming adalah jumlah masing-masing produk optimal. Hasil yang optimal diperoleh sebanyak 28 kali iterasi , dengan produksi optimal pada priode perencanaan untuk box meter, collar dan clamp saddle

berturut-turut 605 unit, 126 unit dan 103 unit.

5. Daftar Acuan

[1]. Hiller, Frederick S, Geralgd J, Lieberman, 1995, Pengantar Rieset Operasi, Edisi kelimaErlangga, Jakarta.

[2]. Heizer, Jay & Render, Barry.2005, Operation Management. Jakarta. Salemba Empat

[3]. Kusuma, Hendra,2004, Perencanaan dan Pengendalia Produksi, ANDI, Yogyakarta

[4]. Linus Schrange, 199, .Lindo An Optimization Modeling System, The Scientific Press, South Sanfransisco

[4]. Sudjana, 2001, Metode Statistika. Edisi keenam, Tarsito, Bandung

[5]. Siagian P., 1987, Penelitian Operasionalal, Teori dan Praktek. UI Press, Jakarta

[6]. Sutalaksana, Anggawisastra, Tjakra Atmaja., 1980, Teknik Tata Cara Kerja, EdisiPertama ITB, Bandung

[7]. Siswanto, 2007, Operation Research. Jilid I. Erlangga, Jakarta

[8]. Taha, H.A. 2005, Riset Operasi Suatu Penganta, Edisi Kelima Binarupa Aksara, Jakarta [9]. T. Hani Handoko, 1991, Dasar-dasarOperation Research. Edisi kedua, BPPE, Jogjakarta