Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2008 Nomor Soal: 21-30

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 3

Januari Pekan Ke-3, 2008

Nomor Soal: 21-30

21. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

   

 



3 8 log log

16

y x

y x

x

y

Solusi:

y x16

3 8 log logxx y

y

3 8 log log log

log _{ }

x y y x

…. (1)

Misalnya a

y x _ log log

, maka persamaan (1) menjadi:

3 8 1 _



a a

0 3 8 3a2 a 

0 ) 3 )( 1 3

( a a 

3 1

 

a atau a3

a

y x

y x

a _{ }

   

  

log log

16 3 1

atau a

y x y

x a

 

   



log log 16

3

3 1 log

16 log _

y y

atau 3

log 16

log _

y y

3log16ylogyatau log16y3logy

log

 

16y3 logy1 atau log16ylogy3

 

16y 3 y1 atau 16y y3

y

y 1

46 3 atau y316y0

46y4 1atau y



y216



0

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

22. Selesaikan sistem persamaan



Solusi:

Persamaan (1) dijabarkan sebagai berikut. y

Persamaan (3) analog dengan persamaan (2), sehingga penjabarannya adalah 20

Sehingga sistem persamaan semula identik dengan sistem persamaan berikut ini.

Dengan mengalikan ketiga persamaan itu diperoleh

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

logz11 z100atau z1

(logy1)(logz1)1 (logx1)(logy1)(logz1)log20 (logx1)1log20

logx1log20

x200atau 2 1



x

(logx1)(logz1)log20 (logx1)(logy1)(logz1)log20 (logy1)log20log20

logy11 y100atauy1

Jadi, penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(200,100,100)} atau

   

 

     

1 , 1 , 2 1

.

23. Carilah himpunan solusi dari sistem persamaan

    

 



 



 



2 log log

log

2 log log log

2 log log log

16 16

4

9 9 3

4 4 2

y x

z

x z y

z y x

.

Solusi:

2 log log

log 4 4

2 _{x y z}

2 log log

log 2 4 4

4 _{  }

z y x

2 log 2

4 _{x yz}

16

2_yz

x …. (1)

2 log log

log 9 9

3 _{y z x}

2 log log

log 2 9 9

9 _{y  z x}

2 log 2

9 _

z xy

81

2_z

xy …. (2)

2 log log

log 16 16

4 _{z x y}

2 log log

log 2 16 16

16 _{  }

y x

z

2 log 2

16 _{xyz }

256

2 _

xyz …. (3)

Hasil kali ketiga persamaan itu menghasilkan:

256 81 16

2 2

2 _{    }

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 4

4 4 4 4

4_{y z 2 3 4}

x

4 3

2 



xyz

24



xyz

24



xyz  x2yz16 24x16

3 2



x

24



xyz  xy2z81 24y81

8 27



y

24



xyz  xyz2256 24z256

3 32



z

Jadi, himpunan solusinya adalah

   

 

   

 

3 32 , 8 27 , 3 2

.

24. Jika



x y z, ,



adalah solusi dari system persamaan berikut ini.

2 4 4 4

3 9 9 9

4 16 16 16

log log log log16

log log log log81

log log log log 256

x y z

y x z

z x y

   

 _{  }



 _{  }



. Carilah nilai dari 48192 xyz .

Solusi:

Dafinisi: loga x  y x ay

Akibat 1: loga y

a y

Akibat 2: aalogx x

Ketentuan 1: ak logx 1 alogx k



Bukti:

 

1 log

log 1

log log log log

a

k k a k x

a _x a _a x a _ak _k a _x

k

  

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

 

log log

log log a log a log

k

a k a x a k x a

x  a  a k x

Akibat 3: aqlogxp palogx q



Dalam logaritma didefinikan x0,y0,z0. Pada basis ini untuk

1 ,

0 

 a

a ,

Gunakan 2log log ₂ 1 log 2 log

a

a a

a

A

A A

a

  untuk menuliskan kembali sistem

persamaan, kita mendapatkan

2 4 4 4

logx logy logz log162log 1 2log 1 2log 2

2 2

x y z 

2 2 2

2 logx logy logz 4 2 2

logx yz 4 x2yz24x2yz42…. (1)

3 9 9 9

logy logx logz log813log 13log 13log 2

2 2

y x z 

3 3 3

2 logy logx logz 4 3 2

logy xz 4 y2xz34y2xz92…. (2)

4_logz16_logx16_logy16_{log 256}4_log 14_log 14_{log 2}

2 2

z x y 

4 4 4

2 logz logx logy 4 4 2

logz xy 4 z2xy44

 2 2

16



xy

z …. (3)

Kalikan kedua sisi dari persamaan-persamaan ini memberikan

  

4

 

2



4

4 3 2 16 9

4    



xyz , dengan x0,y0,z0, menghasilkan

4 3 2 



xyz …. (4).

Selanjutnya dari (1), (4), kita mendapatkan





3 2 4

4 3

2  x 2  x , analogi

dari (2), (4) dan (3), (4), kita memperoleh jawaban

3 32 , 8 27 , 3 2

 

 y z

x .

2 27 32

24

3 8 3

xyz   

48192 48192

2008 24

xyz

  

25. Tentukan nilai x yang merupakan akar-akar persamaan

6 6

5 1

3 log 3 log

2 2

6  xx x.

Solusi:

6 6

5 1

3 log 3 log

2 2

6  xx x

6 6

5 1

3 log 3 log

2 2

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

6 6

5 1

3 log 3 log

6 ₂ 6 ₂

log 6  x logx  x

6

5 log

6_{log 6}3 6_{log 6}2 ₃ 16_log 6_log

2

x

x x

 _{ } _ 

 

 

6 6 6 2

5 1

3 log 3 log log

2 x x 2 x

   

Misalnya 6_{logx y, sehingga} 2

5 1

3 3

2y y 2y

   

2

6 5y 6y y

   

2

6 0

y   y



y3



y2



0

3

y atau y 2

6_logx3atau 6_{logx 2}

216

x atau 1

36 x

26. Jika akar-akar persamaan





2

3log 3log

3 6

1 1

x

x x

p x p

x x

    adalah a dan b dengan

ab, maka nilai a .... b 

Solusi:





_3log 2 3log

3 6

1 1

x

x x

p x p

x x

   





6 6log 3 3log

1 x x 1

p x px 

Misalnya x3 3log x y, sehingga





2

1 1 0

p y py 



y1

 

_ p1



y 1_ 0

1

1(diterima) atau (ditolak) 1

y y

p

  

 3 3logx ₁

x 

1atau 3 3log 0 x  x

1

1atau 3 3log 0 10

x  x  x 

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Jadi, 1₁ 10 10 a

b  

27. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan









34

log log

15 log log log 5 log 3

x y x y

a a a a

x y x y

x y

 

 _{   }

 

 _{  }

 Solusi:









34

log log

15

x y _{xy }x y _{xy }





1

_

_

34

log

15 log

x y

x y

x y

x y





  



Misalnya px y log



xy



, sehingga 1 34

15 p

p

 

2

15p 34p150



5p3 3



p 5



0

3 5

5 3

p  p





3

log ....(1)

5

x y

x y

 _{ }





5

log ....(1)

3

x y _{xy }

log log log 5 log 3

a _xa _y a _a

5

log log

3

a x a

y 

5 3 x y 

3 5

x y .... (3)

Dari (1) dan (3) diperoleh

3

5 _log 3 3

5 5

x x

x x

 _{ }

 

 

 

8

5 _log2 3

5 5

x

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

2 log

3 5

8 5

log 5

x

x



log 2 log 5 3 log8 log 5 5

x x

 _



5log 2x5log 53log8x3log 5

 

3

 

5

log 8x log 2x 3log 5 5log 5

9 3

5 5

2

log 2log 5

2 x x  

2

16 1

log log

25 x 

2

16 1 25 x 

2 _{16 25}

x  

16 25 20 x    

3 20

20 12

5

x  y   (diterima)





3 20

20 12

5

x   y    (ditolak)

Dari (2) dan (3) diperoleh

3

5 _log 3 5

5 3

x x

x x

  

 

 

 

8

5 _log2 5

5 3

x

x

2 log

5 5

8 3

log 5

x

x



log 2 log 5 5 log8 log 5 3

x x

  

3log 2x3log 55log8x5log 5

 

5

 

3

log 8x log 2x 5log 5 3log 5

15 5

3 3

2

log 2log 5

2 x x 

12 2

9 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 12 2

2 x 25

2 12

25 2 x 

12 6

25 5 5

64

2 2

x     

5 3

5 ₆₄ 3

64 5 64

x y



    (diterima)

5 3

5 64 3

64 5 64

x y

_ 

 

 

      (ditolak)

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah



20,12 ,



5 , 3 64 64

  

  

 

 

28. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

log 6 log 5

2 log log log

x y

y x

x y xy

  

 

 

 Solusi:

2logxlogylogxy.... (1)

log 6 log 5

x _y y _x

6

log 5

log

x

x

y

y

 

Misalnya logx ya, sehingga

6 5 a

a

 

2 _{5 6 0}

a  a 



a2



a 3



0

2 3

a  a

2

log 2 ....(2)

x _{y  y x}

3

log 3 ....(3)

x

y  y x

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2 2

2logxlogx logx x

2

4log x3logx





logx 4logx 3 0

3 4 4

3

log 0 1(ditolak) log 10 1000(diterima)

4

10 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 2

3 3 3

4 4 2

10 10 10 1000

x  y _ _  

 

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh

3 3

2logxlogx logx x

2

6log x4logx





2logx 3logx2 0

2 3 3

2

log 0 1(ditolak) log 10 100(diterima)

3

x  x  x  x 

3

2 2

2

3 3

10 10 10 100

x  y _ _  

 

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah





4_{1000, 1000 ,}

 

3_100,100





29. Tentukan nilai x dari persamaan

1

6_log 6_log

2x x42x x19.

Solusi:

1

6_log 6_log

2x x42x x 19

6_log 6_log

2x x42x x 19

Misalnya yx6logx, sehingga

1

2y42y 19

2

2y 42 19 y

2

2y 19y420



2y7



y6



0 7

6 2

y  y

6 6

log 7 log ₆

2

x x

x  x 

6 6

6 log 6 7 6 log 6

log log log log 6

2

x x

x   x 

6_log2 6_log7 6_log2 ₁

2

x  x

6_log 6_log7 6_{log 1}

2

x   x 

6 7

log

1 2

6 6

11 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

6_log7 6_log7

2 2

1 2 3 4

1

6 6 6

6 x  x   x  x 

30. Tentukan nilai x dari persamaan  





1 2 2

1 ₁ log 5 log 2

log 1 log8

log 2,5

x _x

x

 _{   } 

.

Solusi:

 1

_

_

1₁ log 5 log 22 2

log 1 log8

log 2,5

x _x

x

 _{   } 

 1

_

_

log8



log 5 log 2 log 5 log 2





log 1

1 _{log 2,5}

log 1

x

x

x

 _{  }  



 

_

_











1 log8 log10 log 2,5

log 1

1

log 1 _{log 2,5}

2

x

x

x

 _{  }

 

 1

_

_

 1

log 1 log8 2

x x

x

 _{ }  _

 1

_

_

log8 1 2

x

x

 _{ }



 



2

8 x 1 x1

2

8x 8 x 2x1

2 _{6 9 0}

x  x 





2

3 0

x 