Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

DERET TAK HINGGA

Bentuk deret tak hingga dinyatakan dengan notasi sigma sebagai berikut :

a_k a a a_k

k

= + + + + =

∞

∑

1 2

1

... ... a_k disebut suku-suku deret.

Jumlah Deret

Misal Sn menyatakan jumlah parsial n suku pertama deret ak k=

∞

∑

1

. Maka

S a

S a a

S_n a a a_n a_k

k n

1 1 2 1 2

1 2

1

= = +

= + + + = =

∑

...

... ...

...

Barisan

{ }

S_{n n}∞₌

1 disebut barisan jumlah parsial deret ak

k= ∞

∑

1

.

Misal

{ }

S_{n n} = ∞

1 merupakan barisan jumlah parsial deret ak

k= ∞

∑

1

dan barisan

{ }

S_{n n} = ∞

1 konvergen ke S. Maka deret ak

k= ∞

∑

1

dikatakan deret konvergen ke S dan S

disebut jumlah dari deret a_k k=

∞

∑

1

, dinotasikan dengan : S a_k k =

= ∞

∑

1

. Sedangkan bila

barisan

{ }

S_{n n} = ∞

1 divergen maka deret ak

k= ∞

∑

1

Deret Geometri

Bentuk deret geometri yaitu : a rk a a r a rk k

− −

= ∞

= + + + +

∑

1 1

1

... ... dengan a ≠ 0 dan r merupakan rasio. Pandang jumlah parsial n suku deret geometri berikut :

( )

S a a r a r

r S a r ... a r a r

S

a r

r

n n

n n n

n

n = + + +

= + + +

−

= ₋−

− − ...

...

1

1

1 1

Bila r =1 maka S_n tidak terdefinisi. Sedang untuk | r | > 1 maka lim n

n r

→∞ = ∞, sehingga lim

n n

S

→∞ = ∞ atau barisan

{ }

Sn n= ∞

1 divergen. Oleh karena itu, deret a r

k

k

− =

∞

∑

1

1

divergen.. Untuk | r | < 1 maka lim n

n r

→∞ = 0 sehingga limn n

S a

r

→∞ = 1− atau barisan

{ }

S_{n n}∞₌

1 konvergen ke

(

)

a r a

1− ≠0 . Jadi deret a r k

k

− =

∞

∑

1

1

konvergen ke

(

)

a r a

1− ≠ 0 atau a r k

k

− =

∞

∑

1

1

= a

(

)

r a 1− ≠0 .

Deret Harmonis

Bentuk deret harmonis yaitu : 1 1 1 2

1

1 k k

k

= + + + + =

∞

∑

... ...

Pandang jumlah parsial n suku pertama deret :

S

n n n

n = + +_ + _{ +}_ + + + _{+ +}

> + +_ + _{ +}_ + + + _{ + +}

= + + + + + 1 1

2 1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1

1 1 2

1 4

1 4

1 8

1 8

1 8

1 8

1

1 1 2

1 2

1 2

1

Untuk n → ∞ maka ( 1+

½

+

½

+ … + 1/n ) → ∞, sehingga lim

n n

S

→∞ = ∞. Oleh karena itu, deret harmonis 1

1 k

k= ∞

∑

divergen.

Tes Konvergensi

Misal a_k k=

∞

∑

1

merupakan deret positif ( a_k ≥ 0 ). Maka lim

k k

a

→∞ = 0 bila deret a_k

k= ∞

∑

1

konvergen . Hal ini menunjukkan bahwa bila lim

k k

a

→∞ ≠0 maka deret_k= ak ∞

∑

1

divergen.

Untuk mengetahui lebih jauh tentang konvergensi suatu deret dilakukan tes konvergensi sebagai berikut :

1. Tes Integral

Misal a_k k=

∞

∑

1

merupakan deret positif. Maka :

(i) Deret konvergen bila a_k dk

1

∞

∫

konvergen

(ii) Deret divergen bila a_k dk

1

∞

∫

divergen

Contoh :

Selidiki kekonvergenan deret k ek k=1 2

∞

∑

Jawab :

a dk k

a

dk e b

e e e

k

b k

b

b

k

b b

1 1 2

2

2

1

2 1

1 2

1 1 1

2 ∞

→∞ →∞

−

→∞

∫

=

∫

=− = −  −

  

    =

Karena integral tak wajar di atas konvergen ke 1

2e maka deret

k ek k=1 2

∞

∑

konvergen ke

1 2e dan

k ek k=1 2

∞

∑

= 1

2e.

2. Tes Deret-p

Bentuk deret-p atau deret hiperharmonis : 1

1 kp

k= ∞

∑

dengan p > 0. Menggunakan tes integral didapatkan :

1 1

1

1 1

1 1 k

dk

p _b

p = _{− b} p −

 

 _

→∞ −

∞

∫

lim

Bila p > 1 maka lim

b→∞ bp− = 1

0

1 , sehingga

1 1

1

1 k

dk p

p = ₋

∞

∫

( konvergen ). Oleh

karena itu, deret 1

1 kp

k= ∞

∑

untuk p > 1 konvergen ke 1 1

p− . Untuk 0 < p < 1 maka

lim

b→∞ bp− = ∞ 1

1 sehingga

1

1 k

dk p ∞

∫

divergen. Sedang untuk p = 1 didapatkan deret

harmonis. Oleh karena itu, deret 1

1 kp

k= ∞

∑

untuk 0 < p ≤ 1 divergen.

3. Tes Perbandingan

Misal a_k k=

∞

∑

1

dan b_k k=

∞

∑

1

merupakan deret positif dan berlaku a_k ≤b_k ,∀k. Maka:

(i) Bila deret b_k k=

∞

∑

1

konvergen maka deret a_k k=

∞

∑

1

konvergen

(ii) Bila deret b_k k=

∞

∑

1

divergen maka deret a_k k=

∞

∑

1

divergen

Contoh :

a. 1 1

2 k

k= −

∞

∑

b. k k k=1 3+1

∞

∑

Jawab :

a. Pandang : 1 1 1

k < k− dan karena deret harmonis

1

1 k

k= ∞

∑

divergen maka deret

1 1

2 k

k= −

∞

∑

juga divergen.

b. Pandang : k

k3 1 k2 1

+ < dan karena deret-p

1

2 1 k

k= ∞

∑

konvergen maka deret

k k k=1 3+1

∞

∑

juga konvergen.

4. Tes Ratio

Misal a_k k=

∞

∑

1

deret positif dan lim k

k

k a

a r

→∞

+1 _{= . Maka :}

(i) Bila r < 1 maka deret a_k k=

∞

∑

1

konvergen

(ii) Bila r > 1 maka deret a_k k=

∞

∑

1

divergen

(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ). Contoh :

Selidiki kekonvergenan deret 1

1 k

k= ! ∞

∑

Jawab : Misal a

k k =

1

!. Maka lim_k lim k

k k

a

a k

→∞ +

→∞

= ₊ =

1 1

1 0 . Jadi deret 1

1 k

k= ! ∞

5. Tes Akar

Misal a_k k=

∞

∑

1

deret positif dan lim

k k

k _{a a}

→∞ = . Maka : (i) Bila a < 1 maka deret a_k

k= ∞

∑

1

konvergen

(ii) Bila a > 1 atau a = ∞ maka deret a_k k=

∞

∑

1

divergen

(iii) Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ). Contoh :

Tentukan kekonvergenan deret 3 2 2 1

1

k k

k

k

+ − 

  =

∞

∑

Jawab :

Misal a k k k

k =_3 +₋2_

2 1 . Maka _klim k lim k

k

a k

k

→∞ = →∞

+ − = 3 2 2 1

3

2. Jadi deret 3 2

2 1

1

k k

k

k

+ − 

  =

∞

∑

konvergen.

6. Tes Limit Perbandingan

Misal a_k k=

∞

∑

1

dan b_k k=

∞

∑

1

merupakan deret positif dan lim k

k

k a

b l

→∞ = . Maka kedua deret konvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < ∞ dan l ≠ 0.

Contoh :

Tentukan konvergensi deret 1 1

2 2 k

k= −

∞

∑

Jawab :

Pandang deret-p , 1

2 2 k

k= ∞

∑

konvergen. Misal a

k b k

k = k =

−

1 1

1

2 dan 2 . Maka

lim lim

k

k

k k

a b

k k

→∞ = →∞

− ₌

2 2

1

1. Jadi deret 1 1

2 2 k

k= −

∞

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 23 ) Tentukan konvergensi deret berikut 1. 1

3 5

1 k

k= +

∞

∑

2. 1 5 2

1 k k

k= −

∞

∑

3. 2 1 3 2 1 k k k k − + = ∞

∑

4. 5

2 1 sin ! k k k= ∞

∑

5. ₄2

1 k k

k= +

∞

∑

6. 3₁

4 1 k

k= − ∞

∑

7. 9 1

1 k

k= +

∞

∑

8. k

k k k + − = ∞

∑

1 2 1

9. 1 8

1 k

k= +

∞

∑

10. k

k k=1 2+ 2

∞

∑

sin

11. 4 2 6

8 8 2 7 1 k k k k k − + + − = ∞

∑

12. 5 3 1

1 k

k= +

∞

∑

13.

(

)(

k k

(

)(

)

)

k k k

k + + + + = ∞

∑

3

1 2 5

1

14. 1

8 2 3

3

1 k k

k= −

∞

∑

15.

(

)

1 2 317

1 k

k= +

∞

∑

16. 1

2 1

3 1 k k

k= + +

∞

∑

17. 1

9 2

1 k

k= −

∞

∑

18. k

k k=1 3+1

∞

∑

19.

(

)

1 3 2 5

1 + = ∞

∑

k k /

20. lnk k k=

∞

∑

1

21. 4

2 3 1 + = ∞

∑

k k k 22.

(

)

1 1

1 k k

k= +

∞

∑