BAB 6 RANGKAIAN KUTUB EMPAT. Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST

BAB 6

RANGKAIAN KUTUB EMPAT

Oleh :

Oleh :

Ir. A.Rachman Hasibuan dan

Naemah Mubarakah, ST

6.1 Pendahuluan

Gambar 6.1 Rangkaian kutub dua

Rangakaian kutub empat (K-4) adalah suatu rangkaian yang memiliki sepasang terminal pada sisi input dan sepasang terminal pada sisi output (transistor, op amp, transformator dan lainnya)

6.2 Parameter Impedansi “z”

Parameter impedansi “z” ini pada umumnya banyak dipergunakan dalam sintesa filter, dan juga dalam penganalisaan jaringan impedance

matching dan juga pada distribusi sistem tenaga.

(a)

Gambar 6.3 (a) Rangkaian kutub empat dengan sumber tegangan ; (b) Rangkaian kutub empat dengan sumber arus

Adapun bentuk matriks hubungan tegangan dalam parameter impedansi ‘z’ ini adalah :

























=













2 1 22 21 12 11 2 1

I

I

z

z

z

z

V

V

dengan determinan impedansi dari parameter “z” :

21 12 22 11 22 21 12 11 z . z z . z z z z z z = = − ∆ 22 21 z z 0 I 2 2 22 0 I 2 1 12 1 1 I v z I v z = = = =

Gambar 6.4 Rangkaian untuk menentukan parameter-parameter z dan z 0 I 1 2 21 0 I 1 1 11 2 2 I v z I v z = = = =

Gambar 6.5 Rangkaian untuk menentukan parameter-parameter z dan z

(a)

Gambar 6.6 Rangkaian resiprokal (a) ammeter di terminal kiri ; (b) ammeter di terminal kanan

(b)

Suatu rangkaian kutub empat yang bersifat resiprokal dapat digantikan dengan rangkaian ekivalen dengan hubungan T.

dengan rangkaian ekivalen dengan hubungan T.

z12 z22 – z12 z11 – z12 + V1 -+ V2 -I₁ I₂

Untuk rangkaian kutub empat dengan parameter “z” secara umum rangkaian ekivalennya adalah sebagai berikut :

Gambar 6.8 Bentuk umum rangkaian ekivalen parameter “z” Gambar 6.8 Bentuk umum rangkaian ekivalen parameter “z”

Pada beberapa rangkaian terkadang tidak dapat dicari parameter “z” dari rangkaian kutub empat-nya

Adapun persamaan kutub empat untuk rangkaian transformator ideal Gambar 6.9, adalah :

2 1 2 1 .V dan I n.I n 1 V = = − Contoh :

Carilah parameter “z” dari rangkaian di bawah ini :

Jawab :

Untuk mendapatkan z₁₁ dan z₂₁, maka pasangkan sumber tegangan V₁ pada terminal input dan terminal output terbuka.

Ω = = = = Ω = + = + = + = = = = 40 I I . 40 I I . R I v z 60 40 20 ) R R ( I I ). R R ( I v z 1 1 1 1 3 0 I 1 2 21 3 1 1 1 3 1 0 I 1 1 11 2 2

Untuk mencari z₁₂ dan z₂₂, maka V1 dibuka dan sumber tegangan V₂ dipasangkan pada terminal output, sehingga rangkaian menjadi :

Ω = + = + = + = = Ω = = = = = = 70 40 30 ) R R ( I I ). R R ( I v z 40 R I I . R I v z 3 2 2 2 3 2 0 I 2 2 22 3 2 2 3 0 I 2 1 12 1

6.3 Parameter Admitansi “y”

Parameter admitansi “y” juga pada umumnya banyak dipergunakan dalam sitesa filter, perencanaan penganalisaan matching network dan distrubusi sitem tenaga.

Bentuk matriks hubungan tegangan dalam parameter impedansi ‘y’ ini adalah :

























=













2 1 22 21 12 11 2 1

V

V

y

y

y

y

I

I

adalah :

dimana sebagai determinan admitansi dari parameter “y”

21 12 22 11 22 21 12 11 y . y y . y y y y y y = = − ∆

0 V 1 2 21 0 V 1 1 11 2 2 V I y V I y = = = =

Gambar 6.10 Rangkaian untuk menentukan y₁₁ dan y₂₁

V₁= 0 I₂ I₁ + -I2 0 V 2 2 22 0 V 2 1 12 1 1 V I y V I y = = = = + V2

Untuk kutub empat parameter “y” yang resiprokal, maka rangkaian ekivalennya (khusus yang resiprokal) merupakan rangkaian П.

Gambar 6.12 Bentuk Rangkaian П sebagai ekivalen untuk parameter “y” yang resiprokal

Contoh :

Hitunglah parameter-parameter “y” dari rangkaian di bawah ini:

Jawab :

Untuk mencari y₁₁ dan y₂₁ maka hubung singkat terminal output dan pasangkan sumber arus I pada terminal input.

dari rangkaian terlihat bahwa : Ω = + = + = 3 4 2 4 2 . 4 R R R . R R 2 1 2 1 1 p dan _{1 1 p1} I₁ 3 4 R . I V = = maka : 1 2 1 1 1 2 1 1 2 I 3 2 I atau I 3 2 I x 2 4 4 I x R R R I = → = − + = + = − S 4 3 I 3 4 I V I V I y 1 1 1 1 0 V 1 1 11 2 = = = = = S 2 1 I 3 4 I 3 2 V I y 1 1 0 V 1 2 21 2 − = − = = =

Untuk mendapatkan y₁₂ dan y₂₂ maka hubung singkat terminal input dan pasangkan sumber arus I₂ pada terminal output.

dari rangkaian terlihat bahwa :

Ω = + = + = 5 8 8 2 8 . 2 R R R . R R 3 2 3 2 2 p 2 2 p2

₅

I

2

8

R

.

I

V

=

=

dan 2 1 2 2 2 3 2 3 1 I 5 4 I atau I 5 4 I x 8 2 8 I x R R R I = → = − + = + = −

maka : S 8 5 I 5 8 I V I V I y 2 2 2 2 0 V 2 2 22 1 = = = = = S 2 1 I 5 8 I 5 4 V I y 2 2 0 V 2 1 12 1 − = − = = = ternyata S 2 1 y

y₁₂ = ₂₁ = − _{, maka rangkaian merupakan rangkaian yang}

+ + I₁ I₂ S 4 3 −

resiprokal, dimana kalau digambarkan rangkaian ekivelennya (khusus resiprokal) adalah : dan V1 -V2 -S 4 1 2 1 4 3 y y₁₁+ ₁₂ = − = S 8 1 2 1 8 5 y y₂₂+ ₁₂ = − =

6.4 Parameter “h”

Parameter “h” ini sering juga disebut dengan parameter Hibrid (Hybrid

parameters), parameter ini mengandung sifat-sifat dari parameter “z”

dan “y”.

Bentuk persamaan matriks dari parameter “h” ini adalah :

            =       2 1 22 21 12 11 2 1 V I h h h h I V

sebagai determinan dari parameter “h”

21 12 22 11 12 11 h . h h . h h h h h h = = − ∆

Gambar 6.14 Rangkaian untuk mencari h₁₁ dan h₂₁ 0 V 1 2 21 0 V 1 1 11 2 2 I I h I V h = = = = 0 I 2 2 22 0 I 2 1 12 1 1 V I h V V h = = = = Gambar 6.15 Rangkaian untuk

mencari h₁₂ dan h₂₂

Apabila h₁₂ = -h₂₁ maka rangkaian kutub empat disebut sebagai rangkaian kutub empat yang resiprokal yang rangkaian ekivalennya adalah :

Contoh :

Hitunglah parameter-parameter “h” dari rangkaian di bawah ini :

Jawab : Jawab :

Untuk mencari h₁₁ dan h₂₁, maka hubung singkat terminal output dan pasangkan sumber arus I₁ pada terminal input.

R2

=

6

dari rangkaian ini terlihat bahwa : Ω = + = + = 2 3 6 3 x 6 R R R . R R 3 2 3 2 1 p dan

R

s1

=

R

1

+

R

p1

=

2

+

2

=

4

Ω

Maka rangakain pengganti :

1 1 1 s 1

R

.

I

4

.

I

V

=

=

Maka :

Ω

=

=

=

=

4

I

I

4

I

V

h

1 1 0 V 1 1 11 2

→

dengan pembagian arus : R1 = 2 Ω R3 = 3 Ω

R2 = 6 Ω I₁ I₂ + V1 -+ V2 = 0 --I₂ I_R2 I₁

1 1 3 2 1 2 2 I 3 2 3 6 I . 6 R R I . R I = + = + = − ₂ I₁ 3 2 I = − dari rangkaian ini terlihat bahwa :

→

sehingga : 3 2 I I . 3 2 I I h 1 1 0 V 1 2 21 2 − = − = = =

Selanjutnya untuk mencari h₁₂ dan h₂₂, maka terminal input dibuka dan pasangkan sumber tegangan V₂ pada terminal output.

R3 = 3 Ω R1 = 2 Ω R₂ = 6 Ω + - V2 I₂ I₁ = 0 + V1 -+

-maka menurut rangkaian pembagi tegangan : 2 2 2 3 2 2 1 .V 3 2 V . 3 6 6 V . R R R V = + = + =

2

V

.

3

2

V

₁ 2

=

=

=

(

_{2 3}

)

₂

(

)

_{2 2} 2

R

R

.

I

6

3

.

I

9

.

I

V

=

+

=

+

=

S

1

I

I

h

=

2

=

2

=

sehingga : dan

3

2

V

3

V

V

h

2 2 0 I 2 1 12 1

=

=

=

=

S

9

1

I

.

9

I

V

I

h

2 2 0 I 2 2 22 1

=

=

=

= dan

6.5 Parameter “g”

Parameter “g” sering juga disebut sebagai kebalikan / invers dari parameter “h”

Bentuk persamaan matriks dari parameter “g” ini adalah :

















=









I

₁

g

₁₁

g

₁₂

V

₁

























=













2 1 22 21 12 11 2 1

I

V

g

g

g

g

V

I

sebagai determinan dari parameter “g” :

21 12 22 11 22 21 12 11 g . g g . g g g g g g = = − ∆

0 I 1 2 21 0 I 1 1 11 2 2 V V g V I g = = = =

Gambar 6.17 Rangkaian untuk menentukan harga-harga g₁₁ dan g₂₁

2 0 V 2 1 12 1 V g I I g = = = 0 V 2 2 22 1 I V g = =

Gambar 6.18 Rangkaian untuk menentukan harga-harga g₁₂ dan g₂₂

Contoh :

Carilah parameter “g” dari rangkaian berikut ini :

Jawab :

Untuk mencari g dan g pasang pada sumber tegangan V pada Untuk mencari g₁₁ dan g₂₁ pasang pada sumber tegangan V₁ pada terminal input sedangkan terminal output terbuka.

R₂ = 1 Ω + -V₁ I₁ I2 = 0 + V₁ -+ V₂

-dari rangkaian ini terlihat bahwa : Maka : Sehingga : Ω = + = + = R R 1 0,5 1,5 R_{s1 2 3} = = Ω + = + = 0,375 2 75 , 0 5 , 1 5 , 0 5 , 1 x 5 , 0 R R R . R R 1 s 1 1 s 1 1 p 1 1 1 p 1 1 2,667.V 375 , 0 V R V I = = = S 667 , 2 V V . 667 , 2 V I g 1 1 0 I 1 1 11 = = = =

→

1 1 1 1 1 0,375.I 667 , 2 I V : maka V . 667 , 2 I = → = = V V_{1 I 0 1} 2= Karena : 1 1 1 1 s 1 1 3 R I 0,25.I 5 , 1 5 , 0 5 , 0 I R R R I = + = + =

→

V₂ = I_R3.R₃ = 0,25.I₁.0,5 = 0,125.I₁ Maka :

333

,

0

I

.

375

,

0

I

.

125

,

0

V

V

g

1 1 0 I 1 2 21 2

=

=

=

=

Selanjutnya untuk mendapatkan g₁₂ dan g₂₂, maka hubung singkat terminal input, sedangkan pada terminal output dipasangkan sumber

arus I_2. R2 = 1 Ω R1 = 0 ,5 Ω R3 = 0 ,5 Ω I1 I2 + V1 = 0 -+ V2 -I2 IR2 IR3

-Dari rangkaian terlihat :

1 2 2 2 3 2 3 2 R .I 0,333.I I 5 , 0 1 5 , 0 I . R R R I = = − + = + =

→

I₁ = −I_R2 = −0.333.I₂ sehingga : _I 0,333 I . 333 . 0 I I g 2 2 0 V 2 1 12 = − − = = =

dari rangkaian juga terlihat bahwa R₂ paralel R₃ atau : Ω = + = + = 0,333 5 , 0 1 5 , 0 x 1 R R R . R R 3 2 3 2 p

V

2

=

R

p.

I

2

=

0

.

333

.

I

2 sehingga : Ω = = = = 333 , 0 I I 333 , 0 I V g 2 2 0 V 2 2 22 1

→

6.6 Parameter “ABCD”

Parameter ini sering juga disebut sebagai parameter transmisi (transmission

parameters).













V

₁

A

B

V

₂

Bentuk persamaan matriks dari parameter “ABCD” ini adalah :













−













=













2 2 1 1

I

V

D

C

B

A

I

V

BC

AD

D

C

B

A

T ABCD

=

∆

=

=

−

∆

dan sebagai determinan dari parameter “ABCD” adalah :

0 I 2 1 0 I 2 1 2 2 V V C V I A = = = =

Gambar 6.21. Rangkaian untuk menentuka A dan C dari parameter “ABCD”

0 V 2 1 0 V 2 1 2 2 I I D V V B = = − = − =

Contoh :

Carilah parameter “ABCD” dari rangkaian di bawah ini :

Jawab :

Untuk menghitung A dan C, pasangkan sumber tegangan V₁ pada terminal input sedangkan terminal output dibuka seperti rangkaian di bawah ini :

R2 = 1 Ω + -V₁ I1 I2 = 0 + -+ V2 -IR3 IR1

dari rangkaian terlihat bahwa : Amp I . 75 , 0 I . 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 1 I . R R R R R I _{1 1 1} 3 2 1 3 2 R₁ = + + + = + + + = Amp I . 25 , 0 I . 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 I . R R R R I _{1 1 1} 3 2 1 1 R₃ = + + = + + = 1 1 R 1 1

R

.

I

0

,

5

x

0

,

75

.

I

0

,

375

.

I

V

1

=

=

=

I . 125 , 0 I . 25 , 0 x 5 , 0 I . R V₂ = R₃.I_R = 0,5x0,25.I₁ = 0,125.I₁ V 3 = = = 2 2 1 8.V 125 , 0 V I = = Maka di dapat :

3

I

.

125

,

0

I

.

375

,

0

V

V

A

1 1 0 I 2 1 2

=

=

=

= S 8 V V . 8 V I C 2 2 0 I 2 1 2 = = = = dan

Untuk mencari B dan D, maka terminal output dihubung singkat, sedangkan V₁ dipasangkan pada terminal input.

R₂= 1 Ω R1 = 0 ,5 Ω R3 = 0 ,5 Ω + -V1 I1 I2 = 0 + -+ V2 = 0 -IR3 IR1 2 1 R V 1 1 R V I ) I .( 1 ) I ( x R V = − = − = −

→

dari rangkaian ekivalennya didapat :

2 2 2 2 1 R x( I ) 1.( I ) I V = − = − = − 1 1 1 2 1 1 1 1

3

.

V

1

V

5

,

0

V

R

V

R

V

I

=

+

=

+

=

2 2 1 1

3

.

V

3

x

(

I

)

3

.

I

I

=

=

−

=

−

Maka di dapat :

Ω

=

−

−

=

−

=

=

1

I

I

I

V

B

2 2 0 V 2 1 2

3

I

I

.

3

I

I

D

2 2 0 V 2 1

₌

−

₌

−

=

= dan

6.7 Parameter “abcd”

Parameter “abcd” disebut sebagai inverse dari parameter “ABCD”













−













=













1 1 2 2

I

V

d

c

b

a

I

V

Bentuk persamaan matriks dari parameter “ABCD” ini adalah :



−









I

₂

c

d

I

₁ c . b d . a d c b a t abcd = ∆ = = − ∆

dan sebagai determinan dari parameter “ABCD” adalah :

dan bilamana kutub empat ini bersifat resiprokal, maka berlaku : a.d – b.c = 1

I₁ = 0 I₂ + -+ V1 -+ -V₂ 0 I 1 2 0 I 1 2 1 1 V I c V V a = = = =

Gambar 6.23 Rangkaian untuk menentuka a dan c dari parameter “abcd”

0 V 1 2 0 V 1 2 1 1 I I d I V b = = − = − =

Contoh :

Carilah parameter “abcd” dari rangkaian di bawah ini :

Jawab :

Untuk mencari a dan c, pasangkan sumber tegangan V₂ pada terminal output dan buka terminal input seperti rangkaian di bawah ini :

dari rangkaian dapat dihitung : Amp V 3 2 1 5 , 0 V R R V I 2 ₂ 2 1 2 4 = + = + = 3 V 5 , 0 x 3 V . 2 R x I V₁ = _{4 1} = 2 = 2 3 V 8 V 3 2 5 , 0 V V 3 2 R V I I I ₂ 2 ₂ 2 3 2 4 3 2 = + = + = + = 3 Maka di dapat :

3

3

V

V

V

V

a

2 2 0 I 1 2 1

=

=

=

= S 8 3 V 3 V 8 V I c 2 2 0 I 1 2 1 = = = =

Untuk mencari b dan d, maka hubung singkaat input, sedangkan output tetap dengan sumber tegangan V₂

→

dari rangkaian ekivalen dapat dihitung : dari rangkaian ekivalen dapat dihitung :

V₂ = R₂.I₆ = 1.I₆ = I_{6 I} 6 = -I1 V2 = -I1

→

→

6 3 2 6 5 2 I R V I I I = + = + 1 1 1 1 3 2 2 I 3.I 5 , 0 I I R V I = − = − − = −

→

Maka di dapat : Ω = − − = − = = 1 I I I V b 1 1 0 V 1 2 1 3 I I . 3 I I d 1 1 0 V 1 2 1 = − − = − = = dan

6.9 Interkoneksi Antar Kutub Empat

6.9.1 Kutub Empat dengan Hubungan Seri

Untuk N_a : a 2 a 22 a 1 a 21 a 2 a 2 a 12 a 1 a 11 a 1

I

z

I

z

V

I

z

I

z

V

+

=

+

=

Untuk N_b : b 2 b 22 b 1 b 21 b 2 b 2 b 12 b 1 b 11 b 1

I

z

I

z

V

I

z

I

z

V

+

=

+

=

dengan : b 2 a 2 2 b 1 a 1 1

I

I

I

I

I

I

=

=

=

=

b 2 a 2 2

I

I

I

=

=

(

)

(

)

(

_{21a 21b}

)

₁

(

_{22a 22b}

)

₂ b 2 a 2 2 2 b 12 a 12 1 b 11 a 11 b 1 a 1 1

I

z

z

I

z

z

V

V

V

I

z

z

I

z

z

V

V

V

+

+

+

=

+

=

+

+

+

=

+

=

maka parameter “z” dari dua kutub empat yang di serikan adalah :













+

+

+

+

=













b 22 a 22 b 21 a 21 b 12 a 12 b 11 a 11 22 21 12 11

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

6.9.2 Kutub Empat dengan Hubungan Paralel

Gambar 6.26 Hubungan paralel dari dua buah rangkaian kutub empat

Dalam hubungan ini berlaku :

a 2 a 22 a 1 a 21 a 2 a 2 a 12 a 1 a 11 a 1

V

y

V

y

I

V

y

V

y

I

+

=

+

=

b 2 b 22 b 1 b 21 b 2 b 2 b 12 b 1 b 11 b 1

V

y

V

y

I

V

y

V

y

I

+

=

+

=

dan

b 2 a 2 2 b 1 a 1 1 I I I I I I + = + =

(

)

(

)

(

_{21a 21b}

)

₁

(

_{22a 22b}

)

₂ 2 2 b 12 a 12 1 b 11 a 11 1 V y y V y y I V y y V y y I + + + = + + + =

dari rangkaian Gambar 6.26, terlihat :

maka untuk kutub empat dengan parameter “y” yang terhubung paralel berlaku :













+

+

+

+

=













b 22 a 22 b 21 a 21 b 12 a 12 b 11 a 11 22 21 12 11

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

atau :

[ ] [ ] [ ]

y

=

y

_a

+

y

_b

6.9.3 Kutub Empat dengan Hubungan Kaskade

Gambar 6.27 Dua rangkaian kutub empat dalam hubungan kaskade

Persamaan dari kedua kutub empat dalam parameter “ABCD” adalah :

      −       =       a 2 a 2 a a a a a 1 a 1 I V D C B A I V       −       =       b 2 b 2 b b b b b 1 b 1 I V D C B A I V dan

dari rangkaian pada Gambar 6.27 terlihat bahwa :













−

=













−













=













−













=













2 2 b 2 b 2 b 1 b 1 a 2 a 2 a 1 a 1 1 1

I

V

I

V

;

I

V

I

V

;

I

V

I

V

akan diperoleh :       −             =       2 2 b b b b a a a a 1 1 I V D C B A D C B A I V         _{1 a a b b 2}

sehingga apabila dua parameter “ABCD” dihubungkan kaskade, maka parameter keseluruhan adalah merupakan hasil perkalian dari setiap parameter yang dihubungkan secara kaskade tersebut, atau dituliskan dengan :

            =       b b b b a a a a D C B A D C B A D C B A atau :

[ ] [ ] [ ]

_T

₌

_T

_a

₊

_T

_b