BAB I
Rangkaian Transient
Oleh :
Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
1.1 Pendahuluan
Pada pembahasan rangkaian listrik, arus maupun tegangan yang dibahas adalah untuk kondisi steady state/mantap. Akan tetapi sebenarnya sebelum rangkaian mencapai keadaan steady state, arus maupun tegangan pada rangkaian mengalami transisi (transient), dan apabila transisi ini berakhir maka dikatakanlah arus maupun tegangan pada rangkaian tersebut telah mencapai keadaan maupun tegangan pada rangkaian tersebut telah mencapai keadaan
steady state.
Adapun yang dibahas pada materi kuliah ini hanya mencakup rangkaian-rangkaian yang linear yang memiliki persamaan diferensial orde satu dan dua dengan konstanta sembarang
.
1.2 Kondisi Awal
Dalam analisa rangkaian transient perlu dibedakan tiga daerah waktu yaitu:
Sesaat sebelum dilakukan perubahan pada rangkaian (pada kuliah ini yang dimaksud perubahan adalah posisi dari saklar pada rangkaian) yang dilambangkan pada saat t(0-).
Saat terjadinya perubahan yang dilambangkan pada saat t(0). Sesaat setelah terjadinya perubahan yang dilambangkan Sesaat setelah terjadinya perubahan yang dilambangkan
pada saat t(0+).
Keadaan awal sangat diperlukan agar konstanta sembarang yang muncul dalam penyelesaian umum dari persamaan diferensial dapat dihitung.
Sebagaimana diketahui bahwa penyelesaian umum suatu persamaan diferensial orde suatu akan berisikan satu konstanta sembarang dan untuk persamaan diferensial orde dua akan berisikan dua buah konstanta sembarang sedangkan untuk orde n persamaan diferensial akan memiliki n buah konstanta sembarang.
1.3 Kondisi Awal Komponen Rangkaian
Komponen R
i
R(0-) ≠ i
R(O) ≠ i
R(0+)
Komponen L
Komponen L
i
L(0-) = i
L(0) = i
L(0+)
Komponen C
Adapun sifat dari ketiga komponen tersebut
1.4 Kondisi Awal Dari Turunan Pertama
Rangkaian R-L Seri
Misalkan suatu rangkaian seri seperti dibawah ini :
maka menurut hukum Kirchoff, persamaan tegangan pada rangkaian di atas adalah :
atau
Persamaan ini memperlihatkan variasi turunan arus dengan
Vo
i
.
R
dt
di
L
+
=
(
Vo
i
.
R
)
L
1
dt
di
−
=
Persamaan ini memperlihatkan variasi turunan arus dengan waktu dan sebagaimana diketahui bahwa sesaat setelah saklar ditutup, pada rangkaian tidak mengalir arus (karena sifat induktor yang tidak bisa berubah dengan seketika) maka sesaat setelah penutupan saklar, arus pada rangkaian adalah nol, sehingga persamaan berbentuk :
( )
L
Vo
0
dt
di
=
+Laju perubahan arus terhadap waktu dinyatakan
dengan :
( )
(
Vo
i
.
R
)
L
1
t
dt
di
1 1=
−
Gambar 1.2 Kurva pendekatan kondisi awal arus pada rangkaian RL seri
Adapun langkah-langkah untuk kondisi awal
dari suatu turunan pada rangkaian:
Gantikan semua induktor dengan dengan
rangkaian terbuka atau dengan sumber arus
yang memiliki arus sebesar arus yang mengalir
pada saat t(0+).
Gantikan semua kapasitor dengan hubungan
singkat atau dengan sumber tegangan sebesar
bila terdapat muatan awal (q
0).
Resistor/tahanan dibiarkan tetap tanpa ada
Jawab :
Karena sifat L yang tidak bisa berubah dengan seketika, maka rangkaian ekivalen dari rangkaian di atas saat saklar ditutup adalah :
Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah penutupan saklar adalah
:
v
i
.
R
dt
di
L
+
=
( )
0
R
.
i
( )
0
V
dt
di
L
++
+=
atau( )
0
R
.
0
V
dt
di
L
++
=
(a) atau:( )
10
1
10
L
V
0
dt
di
=
=
=
+ Amp/detuntuk mendapatkan ,
( )
+0
dt
i
d
2 2maka persamaan (a) dideferensialkan satu kali :
( )
( )
( )
0 100(
10Amp/det)
0 dt i d 0 dt di . R 0 dt i d L 2 2 atau 2 2 = + → + + + + ↓ 3 2 1atau :
( )
0
1000
Amp
/
det
dt
i
d
2 2−
=
+ Amp/det. 10 ↓Contoh
Rangkaian di bawah ini sudah dalam
keadaan steady state.
Pada saat t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2, carilah i
(0+);
( )
0
+dt
di
dan
( )
0
+dt
i
d
2 2 .Jawab :
Adapun bentuk rangkaian ekivalen dalam
keadaan steady state :
( )
2
Amp
10
20
R
V
i
∞
=
=
=
Maka sewaktu saklar di posisi 1 besar arus pada
rangkaian adalah :
Adapun bentuk rangkaian setelah saklar di posisi 2
adalah :
( ) ( )
0
i
2
Amp
.
i
+=
∞
=
Karena sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka :
Saklar di posisi 2, maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
( ) (
) ( )
{
0
Amp
2
0
i
.
R
R
0
dt
di
L
+
1+
2=
↓ + + (a)atau :
( ) (
)
.
2
0
L
R
R
0
dt
di
1 2=
+
+
+ atau :atau
( )
0
60
Amp
/
det
.
dt
di
−
=
+( )
(
)
.
2
1
20
10
0
dt
di
+
−
=
+Bila persamaan (a) di diferensialkan satu kali maka diperoleh:
atau :
( )
(
1 2) (
)
(
)(
)
2 2 2 det / Amp 1800 1 . det / Amp 60 20 10 L det / Amp 60 R R 0 dt i d − = + − = × + − = +(
)
( )
0 Amp 60 -0 dt di R R dt i d L 1 2 2 2 = + + ↓ + 43 42 11.5 Kondisi awal dari turunan pertama
rangkaian R-L-C seri.
+
0
Karena kondisi awal dari elemen pasif diasumsikan nol,
maka sesaat setelah saklar ditutup yaitu pada saat t = , rangkaian ekivalennya adalah :
Dari Gambar 1.3 bilamana saklar ditutup,
maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah:
0
V
idt
C
1
i
.
R
dt
di
L
+
+
∫
=
+
0
Untuk t = , maka persamaan (1.6) berbentuk : 1
di
Maka terlihat bahwa :
( )
0
V
0dt
di
L
+=
atau :( )
L
V
0
dt
di
0=
+( )
( )
( )
V0 0 dt 0 i C 1 0 0 i . R 0 dt di L + + + +∫
+ = ↓ ↓ 3 2 1 3 2 1Selanjutnya untuk mencari
( )
0
+ , maka diferensialkandt
i
d
2 2sebelumnya satu kali untuk t =
0
+
,sehingga diperoleh :( )
( ) ( )
} 0 C 0 0 i 0 dt di . R 0 dt i d L 2 2 = + + ↑ + + + atau :( )
0
L
V
.
R
0
dt
i
d
L
0 2 2=
+
+( )
( )
C Vo/L dt dt2 ↓ + + 43 42 1( )
0
L
0
dt
L
2 ++
=
atau :( )
L
V
.
R
0
dt
i
d
0 2 2=
+( )
0+ dtdi
Contoh :
Dengan mengasumsikan semua kondisi awal dari elemen pasif Rangkaian di bawah ini, dan pada saat t = 0 saklar ditutup,
maka carilah : i(0+) ; dan
( )
+0
dt
i
d
2 2Jawab :
Adapun rangkaian ekivalen setelah saklar ditutup adalah :
( )
0
0
i
+=
Saat saklar ditutup rangkaiannya adalah :
maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
V
idt
C
1
i
.
R
dt
di
L
+
+
∫
=
(a)+
0
Untuk t = , maka persamaan (a) menjadi :
( )
( )
{
{
( )
dt
V
0
0
i
C
1
0
0
i
.
R
0
dt
di
L
+
+
∫
=
↓ ↓ + + +( )
20
Amp
/
det
.
1
20
L
V
0
dt
di
=
=
=
+ Sehingga :Selanjutnya untuk mendapatkan
( )
0+ diferensialkan dt i d 2 2persamaan (a) satu kali:
0
C
i
dt
di
.
R
dt
i
d
L
2 2=
+
+
untuk t =0
+
, maka : 0( )
( )
( )
0 0 C 0 i Amp/det. 20 0 dt di . R 0 dt i d L 2 2 = + + ↑ ↓ + + + 8 7 6 3 2 1 Sehingga :( )
(
)
(
)
2000Amp/det. 1 . det / Amp . 20 100 L . det / Amp . 20 R 0 dt i d 2 2 − = − = − = +Contoh :
Rangkaian di bawah ini telah mencapai keadaan steady state
sebelumnya, maka pada saat t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2. Carilah : i(0+) ;
( )
+ 0 dt di dan( )
+ 0 dt i d 2 2Jawab :
Sewaktu saklar di posisi 1, rangkaian telah dalam keadaan steady state, sehingga rangkaian ekivalennya adalah :
maka arus pada rangkaian adalah :
( )
0
0
Pada saat saklar di posisi 2 rangkaian ekivalennya adalah :
maka persamaan tegangan pada rangkaian :
C
V
idt
C
1
dt
di
L
i
.
R
+
+
∫
=
+
0
Dan untuk t = , persamaan ini berbentuk :
( )
{
( )
{
( )
dt
V
C0
0
i
C
1
0
dt
di
L
0
0
i
.
R
+
+
∫
=
↓ ↓ + + + maka diperoleh :( )
0
10
di
L
( )
0
=
10
dt
di
L
+=
atau :( )
10
Amp
/
det
.
1
10
L
10
0
dt
di
=
=
=
+Selanjutnya untuk menghitung
( )
0
+ diferensialkandt
i
d
2 2Persamaan (a) satu kali :
0
C
i
dt
i
d
L
dt
di
.
R
2 2=
+
+
+
0
Pada t = , maka persamaan ini menjadi :
0
+
0
Pada t = , maka persamaan ini menjadi :
( )
( ) ( )
0 0 C 0 i 0 dt i d L Amp/det. 10 0 dt di . R 2 2 = + + ↑ ↓ + + + 8 7 6 3 2 1( )
2 2 2det
/
amp
.
10
0
dt
i
d
−
=
+ Sehingga :1.6 Kondisi awal Rangkaian RLC dua Loop
Perhatikan rangkaian di bawah ini :Karena semua kondisi awal dari setiap elemen pasif diabaikan, maka saat saklar ditutup rangkaian ekivalen berbentuk :
Gambar 1.6 Rangkaian Ekivalen sesaat saklar ditutup
( )
1 0 1 R V 0 i + = dan : i2(0+) = 0 Terlihat bahwa :Dari rangkaian Gambar 1.5 bila sakalar ditutup, maka persamaan tegangan setiap loop adalah :
Loop 1 :
∫
∫
− + = i dt C 1 dt i C 1 R i Vo 1 1 1 2 atau :(
i i)
dt C 1 R i Vo = 1 1 +∫
i − 2 Loop 2 :dt
di
L
R
i
dt
i
C
1
dt
i
C
1
0
=
∫
2−
∫
1+
2 2+
2 atau :(
)
dt di L R i dt i i C 1 0 =∫
2 − 2 + 2 2 + 2+
0
Untuk t = , maka persamaan menjadi :
(
)
( )
( )
( )
0 0 dt di L 0 i R 0 dt i i C 1 2 0 2 2 0 2 1 − + + + = ↓ ↓ + +∫
123 4 4 4 3 4 4 4 2 1 Sehingga :( )
0
0
dt
di
2=
+
Sehingga :Untuk mendapatkan
( )
0
+
maka deferensialkan :dt
di
1 t = 0+, maka :(
i
i
)
dt
C
1
R
i
Vo
=
1 1+
∫
i−
20
1
R
0
V
↑ ↑( )
( )
( )
8
7
6
8
7
6
0
C
0
i
1
C
0
i
R
0
dt
di
0
1 1 1 2 ↑ ↑+
−
+
+
⋅
+
=
sehingga :( )
2 1 0 1CR
V
0
dt
di
−
=
+
t = 0+, maka :
Untuk mendapatkan
( )
0
+
maka deferensialkan :dt
i
d
2 1 2C
i
C
i
R
dt
di
0
=
1 1+
1−
20
2
1
CR
/
0
V
−
sehingga :( )
( )
( )
4
8
47
6
4
8
47
6
0
C
0
dt
di
C
0
dt
di
0
dt
i
d
R
0
2 1 1 2 1 ↑ ↑+
−
+
+
+
=
( )
3 1 2 0 2 1 2R
C
V
0
dt
i
d
=
+
t = 0+, maka :
Untuk mendapatkan
( )
0
+
maka deferensialkan :dt
i
d
2 2 2C
i
C
i
R
dt
di
0
=
1 1+
1−
21
R
/
Vo
0
sehingga :( )
−
( )
+
( )
+
+
( )
+
=
↓ ↑ ↑ + +0
dt
i
d
L
0
0
dt
di
R
1
C
i
0
C
i
0
2 2 2 2 2 0 1 0 24
3
42
1
8
7
6
8
7
6
( )
1 0 2 2 2LCR
V
0
dt
i
d
=
+
1.7 Kondisi Awal Rangkaian RLC Yang Terdiri
Dari Tiga Loop
Perhatikan rangkaian RLC yang terdiri dari tiga loop dibawah ini.
Sebelum dilihat kondisi pada t = 0+ , maka harus dilihat terlebih dahulu kondisi pada t = 0- (sesaat sebelum saklar ditutup).
Adapun rangkaian ekivalen sebelum saklar ditutup adalah :
Gambar 1.7.Rangkaian ekivalen dari Gambar 6.pada t =
0-( ) ( ) 2 1 0 2 R 0 L
R
R
V
I
I
+
=
=
− −Dalam keadaan steady state induktor L bersifat hubungan singkat sedangkan kapasitor C1- danC2, sehingga arus yang mengalir pada induktor L adalah : ( ) ( ) 2 1 0 2 R 0 L
R
R
V
I
I
+
=
=
− −Sedangkan tegangan pada terminal kapasitor-kapasitor adalah :
V
R
2 1 2 2 C 1 CR
R
V
R
v
v
+
=
+
atau: 2 C 2 1 2 1 Cv
R
R
V
.
R
v
−
+
=
Karena muatan pada kapasitor yang terhubung seri adalah sama, maka diperoleh : 2 C 1 C
q
q
=
atau : 2 C 2 1 C 1.
v
C
.
v
C
=
dan apabila dimisalkan , maka dapat Dituliskan : 2 2 1 1 C 1 D dan C 1 D = = 2 1 2 C 1 C
D
D
v
v
=
atau : 1 1 C 2 2 CD
v
.
D
v
=
Karena : 2 1 2 2 C 1 CR
R
V
R
v
v
+
=
+
Maka :.
V
R
R
R
D
v
.
D
v
2 1 2 1 1 C 2 1 C+
=
+
2 1R
R +
D
1R
1+
R
2 Sehingga : Dan :
+
+
=
2 1 1 2 1 2 1 CD
D
D
R
R
V
.
R
v
+
+
=
2 1 1 2 1 2 2 CD
D
D
R
R
V
.
R
v
Dengan demikian rangkaian ekivalen pada saat t = 0+ adalah :
+
-V
R
1R
3R
2C
1C
2 i2(0+) i3(0+) i1(0+)+
+
-V
R
1+ R
2 V = R1.i1(0+) + vC1 + vC2Gambar 1.8 Rangkaian ekivalen dari Gambar.6.pada t = 0+
Catatan : Rangkaian resistor seri sebagai pembag
( )
C1 C2(
C1 C2)
1 1.
i
0
V
v
v
V
v
v
R
+
=
−
−
=
−
+
( )
2 1 2 1 1.
0
.
R
R
V
R
V
i
R
+
−
=
+
( )
4
4 3
4
4 2
1
4
3
42
1
2 1 1 1 R 1 R R R V R V 2 1 2 V 1 1R
R
V
R
V
0
i
R
+ =+
−
=
+
maka :( )
2 1 1R
R
V
0
i
+
=
+
Oleh karena arus pada L tidak bisa berubah dengan seketika, maka :
( )
( )
2 1 20
0
R
R
V
i
i
L+
=
−
=
+
Demikian pula karena tegengan pada kapasitor tidak dapat berubah dengan seketika, maka tegangan pada kapasitor C2 adalah :
