Martı 7. Sınıf Matematik Pratik Defter

MATEMATİK

ÖĞRETMEN DEFTERİ

7.

sınıf

Bu defter, siz değerli öğretmenlerimize özel olarak boşlukları doldurulmuş, örnekleri çözülmüş şekilde basılmıştır. Mavi renkli bölümler öğrencilerinize yazdırabilmeniz amacıyla öğrenci defterinde boş bırakılmıştır.

özgün bir yayınıdır.

Kitabının tamamının ya da bir kısmının kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir

kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Yayın Yönetmeni Süleyman GÜNGÖRMEZ Ürün Koordinatörü Volkan ALTINOK Editör Murat ÜNLÜ Dizgi

Martı Okul Yayınları Dizgi Birimi

Baskı Tarihi 2016 / ANKARA Danışma Kurulu Taha ŞAHİN Emine KARAKUŞ Firdevs ÖZŞAHİN Ziya KURCAN

Martı Okul Yayınları

Alınteri Bulvarı No: 27 Ostim / ANKARA Tel: 0.312 385 83 95 Faks: 0.312 385 83 96

www.martiokul.com Baskı Yeri

Grup Çağ Web Ofset Matbaacılık

Saygıdeğer Öğretmenlerimiz,

Martı Okul Yayınları olarak siz değerli öğretmenlerimizin işini kolaylaştırmak, yükünü azaltmak ve daha iyi bir öğrenme ortamı sunabilmek için pratik defterleri hazırladık.

Pratik defter ile dersleri daha hızlı işleyebileceksiniz. Anlatacağınız her şey tahtada ve öğren-cilerinizin defterinde hazır olarak bulunacak.

Görsel ögelerle kalıcı öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konular, tamamı renkli ve yüksek çözü-nürlüklü içeriklerle öğrencilerinizin zihnine tam olarak yerleşecek, kalıcı öğrenme gerçekleşecektir. Her alt başlıkla ilgili test ve pekiştirme çalışmaları ile tam öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konu anlatımının içindeki örnek soru ve çözümler, planlanmış testler ve pekiştirme çalışmaları ile öğre-nemeyen öğrenci kalmayacak.

Eğlenceli bir ders ortamı oluşturabileceksiniz. Öğrenciler uzun uzun not tutmaktan kurtulacak; daha verimli, eğlenceli ve öğrenci katılımlı bir ders işleme imkânına kavuşacaksınız.

Mavi renkle yazılmış kısımlar, soruların çözümleri ve cevap anahtarları öğrencinin defterinde yer almayacaktır. Mavi renkle yazılmış kısımlar dijital tahta içeriğinde de yer almayacak ancak soruların çözümleri üzeri perdelenmiş olarak tahtada yer alacaktır. Dijital akıllı tahta içeriklerinin indirilme şekli ürünün arka kapağında anlatılmıştır.

Pratik defter, defter ihtiyacını ortadan kaldırmaktadır. Pratik defterde her sayfanın altında bulunan boş kısımlar ve her ünitenin sonunda bulunan üç ya da dört adet boş sayfa defter ihtiyacını fazlasıyla karşılayacaktır.

Pratik defter hem bir ders işleme materyali hem bir defter hem bir soru bankası hem de bir ödev materyali olarak öğretmen ve öğrencilerimizin tüm ihtiyaçlarını karşılayacaktır.

Öğretmen defteri, öğrenci defteri ve dijital akıllı tahta içeriğinden oluşan pratik defterlerimi-zin öğrencilerimidefterlerimi-zin başarısını arttırarak siz değerli öğretmenlerimidefterlerimi-zin memnuniyetini kazanmamı-za vesile olması dileğiyle…

1. ÜNİTE

Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme

İşlemleri ...8 Çarpma İşlemi ...8 Bölme İşlemi ...11 Problem Çözme ...13 Üslü Nicelikler ...14 Konu Testi ...18 Rasyonel Sayılar ...20

Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme ...23

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimleri ...29

Devirli Olmayan Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayı Olarak İfade Etme ...35

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama ...37

Konu Testi ...42

Rasyonel Sayılarla İşlemler ...44

Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi ...44

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi ...53

Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi ...58

Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri...61

Adımlı İşlemler ve Problemler ...64

Problem Çözme ...66 Konu Testi ...69 Etkinlikler ...71 Ünite Testi ...76 2. ÜNİTE Eşitlik ve Denklem ...82

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denlemleri Kurma ...82

Denklemlerde Eşitliği Koruma ...85

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemleri Çözme ...88

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerle Çözülebilen Problemler...97

Konu Testi ...103

Doğrusal Denklemler ...104

Koordinat Sistemi ...104

Doğrusal Denklemler ve Grafikleri ...112

Doğrusal Denklemlerin Grafiğini Çizme ..114

Konu Testi ...123

Etkinlikler ...125

Ünite Testi ...130

3. ÜNİTE Oran ve Orantı ...136

Birbirine Oranı Verilen İki Çoklukta Verilmeyeni Bulma ...137

Çokluklardan Birisinin “1” Olması Durumu ...141 Orantılı mı? ...144 Orantı ...148 Orantı Problemleri ...159 Konu Testi ...163 Yüzdeler ...164

Çokluğun Belirtilen Yüzdesini Bulma ...164

Yüzdesini Hesaplama...170

Bir Çokluğu Yüzde ile Araştırmak Veya Azaltmak ...172

Yüzde Problemleri ...175

Konu Testi ...179

Etkinlikler ...180

4. ÜNİTE

Doğrular ve Açılar ...188

Eş Açılar ...189

Bir Açının Eş Bir Açı Çizme ...190

Açıortay ...193

Üç Doğrunun Bir Düzlemde Birbirine Göre Durumları ...196

Paralel İki Doğrunun Bir Kesen İle Oluşturduğu Açılar ...197

Konu Testi ...208

Çember ve Daire ...211

Çemberde Merkez Açı ...211

Çember ve Çember Parçasının Uzunluğu...217

Dairenin Alanı...225

Daire Diliminin Alanı ...230

Konu Testi ...234

Veri İşleme ...236

Daire ve Çizgi Grafiği ...236

Merkezi Eğilim Ölçüleri ...243

Konu Testi ...252 Etkinlikler ...254 Ünite Testi ...256 5. ÜNİTE Çokgenler...260 Düzgün Çokgenler ...260 Çokgenlerde Köşegen ...265 Çokgenlerde Açılar ...267 Özel Dörtgenlerimiz ...272

Eşkenar Dörtgensel Bölgenin Alan Hesabı ...285

Yamuksal Bölgenin Alan Hesabı ...285

Dikdörtgensel Bölgelerde Alan-Çevre İlişkisi ...291 Konu Testi ...301 Dönüşüm Geometrisi ...304 Eş Şekiller ...304 Öteleme ...308 Yansıma ...314

Ötelemeli Yansıma veya Yansımalı Öteleme ...317

Konu Testi ...321

Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri ...323

Üç Boyutlu Cisimlerin Farklı Yönlerden İki Boyutlu Görünümlerini Çizme ...323

Farklı Yönlerden Görünümleri Verilen Üç Boyutluyu Çizme ...324

Konu Testi ...329

Etkinlikler ...331

KONULAR

1.

ÜNİTE

* Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

* Rasyonel Sayılar

8

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

Ömer’in 5 arkadaşına 2’şer lira borcunu gösteren matematik ifadesini ... şeklinde yazarız.

ÇARPMA İŞLEMİ

Örneklerle çarpma işleminin yapılışını öğrenelim.

Aynı işaretli olanlar; Zıt işaretli olanlar;

+ + – – + – – + . . . . = + = – = + = –

Aşağıdaki çarpma işlemlerini yaparak sonuçlarını bulalım.

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

(–3) . (+5) = 0 . (–5) = 1 . 13 = (–2) . (–8) = 124 . 0 = 1 . (–125) = (+10) . (–7) = 500 . 4 = (–11) . 11 =

ÖRNEK

ÖRNEK

(+3) . (+2) = + 6 (–1) . (+7) = –7 (+3) . (–10) = –30

Zıt işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir. (–3) . (–2) = + 6

(+10) . 8 = 80 (–60) . (–1) = + 60 Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.

–15 + 16 – 70 2000 – 121 0 13 0 – 125

9 Aşağıdaki işlemleri yapalım.

(–13) , (+1) , (+75), (–145) sayılarını –1 ile çarparak sonuçlarını bulalım.

(+2) . (–3) işlemini sayı doğrusunda modelleyerek gösterelim. [(–2) + (–4)] . (-12) = 14 – (–13) . (20) = (–8) . (–11) . (–5) = a) b) c)

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

Bir tam sayının (–1) ile çarpımı aynı tam sayının zıt işaretlisidir.

sayı doğrusunda modellenen işlemi yazalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 (–6) . (–12) = + 72 14–(–260) = 14 + 260 = 274 (+88) . (–5) = (–440) (–13) . (–1) = +13 (+1) . (–1) = –1 (+75) . (–1) = –75 (–145) . (–1) = +145 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 [(+4) . (–2)] + 5 = (–8) + 5 = –3 +

10

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

x +

–8, +3, –2 sayıları yukarıdaki semboller yeri-ne hangisindeki gibi yerleştirilirse elde edi-len işlemin sonucu en büyük olur?

A) –8 +3 –2

B) +3 –8 –2

C) –2 +3 –8

D) –8 –2 +3

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

PEKİSTİRELİM

(–8) . (+4) = (–2) . (–5) = (–2) . (+5) = (–6) . (–1) = (–1) . (+2) . (–3) = (–10) . (–2) . (–5) . (–3) = (–3) . (+6) + (–18) = [(75) – (24)] . (–4) = (75) – [24 . (–4)] = (+9) . (–11) = (–11) . (+9) = (–217) . (–1) = 765 . (+1) = 421 . (–762) . 4 . 0 = (–85) . [+1 – 2001] = a b c ç d e f g ğ ı j l h i k + , + = + – , – = + D seçeneğinde (–8) . (–2) + 3 = 16 + 3 = 19 Cevap: D – 32 + 10 – 10 + 6 (–2) (–2) . (–3) = + 6 (+20) . (+15) = + 300 (–18) + (–18) = –36 (51) . (–4) = – 204 75 – (–96) = 75 + 96 = 171 –99 (+20) (+15) –99 (–18) + 217 765 0 (–85) . (–2000) = + 170 000 + 51 → 5 . (–2) (Sayfa 8)

11

BÖLME İŞLEMİ

(–24) . = – 192 verilen çarpma işleminde değerini bulmak için ... işlemini yaparız. Örneklerle bölme işleminin yapılışını öğrenelim.

Aynı işaretli olanlar; Zıt işaretli olanlar;

+ – – + + + – – : : : : = + = – = + = –

Aşağıdaki bölme işlemlerini yaparak işlemlerin sonuçlarını bulalım.

ÖRNEK

a) c) d) f) ğ) b) ç) e) g) h) (+6) : (–2) = (–6) : (–2) = (–48) : (+6) = (–64) : (+4) = ( ) ( ) 2 18 + + = 70 : (–5) = 82 : (+ 2) = (–24) : (–6) : (–2) = ( ) ( ) 6 36 + -= ( ) ( _{) : ( )} 5 75 ₃ + - _{- =} (+8) : (+2) = +4 (–8) : (–2) = +4

Aynı işaretli iki tam sayının birbirine bölümü pozitiftir.

(–10) : (+2) = –5 (+10) : (–2) = –5

Zıt işaretli iki tam sayının birbirine bölümü negatiftir. 3 + 3 – 8 –14 +41 (+4) : (–2) = (–2) –16 + 9 – 6 (+4) (–15) : (–3) = +5

12

Her tam sayının (+1)’e bölümü tam sayının kendisine eşittir. 0’ın tam sayıya bölümü 0, tam sayının 0’a bölümü tanımsızdır.

Bir tam sayının (–1)’e bölümü o tam sayının zıt işaretlisine eşittir.

sayı doğrusunda modellenen bölme işlemini yazalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

–6

–6

–5 –4 –3 –2 –1 0 1

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

PEKİSTİRELİM

(–100) : (+5) = 79 : 0 = (–81) : (–9) = 0 : (–151) = (–13) : (–1) = [(–64) : (–2)] : (+16) = 15 – 15 : (–3) = (–2) . (–6) – (–144) : (+12) = (+612) : (+1) = (–5) ve (+12) sayılarını (–1)’e bölelim.

ÖRNEK

CÖZÜM

(–48) : (–4) = a b c ç d e f ğ g h (–13) : (+1) = (+17) : 0 = (84) : (+1) = 0 : (–5) =

Aşağıdaki bölme işlemlerini yapalım.

ÖRNEK

a) b) c) ç)

3

6

₂

-

=-–20 Tanımsız 9 0 (32) : (+16) = 2 15 + 5 = 20 + 15 – (–5) = (+12) – (–12) = 12 + 12 = 24 13 32 612 (–5) : (–1) = +5 (+12) : (–1) = –12 –13 tanımsız + 84 0 +12 (+12) (–12)

13

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

PROBLEM ÇÖZME

Bir problemi çözebilmek için önce anlamak gerekir. Verilenler ve iste-nen belirlenir sonra işlem yapılır.

Ara tatilinde Ağrı’ya giden Duygu bir haf-ta orada kaldı. Kaldığı ilk günden itibaren Ağrı’da ısı her gün 2’şer derece düştü. Son

gün 3oC yükseldi.

İlk gittiği gün –1oC olan sıcaklık bir hafta-nın sonunda kaç derece olur?

Kredi kartına ¨2500 borcu olan Mahir 5 taksite böldürdüğü borcunun ilk üç ayını ödedikten sonra ¨225 daha ödüyor.

Mahir’in son durumdaki mali durumu nedir?

Verilenler :

İstenen:

Bir hafta (7 gün) kalacak 1. gün –1oC

6 gün 2oC düşüyor. (her bir gün için) Son gün +3oC artıyor.

Son günkü hava sıcaklığı

(–1) + [6 . (–2) + 3] = (–1) + [–12 + 3] = (–1) + (–9) –

5

2500

₅₀₀

-

=-(–500) . 3 = – 1500 (–2500) – (–1500) Her ay ödenen taksit: ¨ ¨ dir.

5

2500 _{= 500} 3 aylık ödeme: 3 . ¨500 = ¨1500 ödemiştir. Kalan borç:

¨2500 – ¨1500 = ¨1000 dir. Son ödemeden sonra kalan borç: ¨1000 – ¨225 = ¨775 dir.

Mahir’in 775 borcu kalmıştır. ₊

¨775 borcu var.

Sonuç negatif çıktığı için;

Borcu, negatif (–) sayı olarak, alacağı pozitif (+) sayı olarak alırsak;

= (–1000) + 225 = – 775 = (–2500) + 1500

= –1 – 9 = –10oC olur.

14

ÜSLÜ NİCELİKLER

Murat aklından bir sayı tuttu. Tuttuğu sayıyı kendisi ile 5 kez çarptı. Matematikte bu işlem; ... olarak adlandırılır.

Tam sayıların üslü niceliklerini inceleyelim.

ÖRNEK

Aşağıdaki işlemleri yapalım. Üslü sayı; a) (+3)2 = b) (+5)3 = c) (+1)100 = ç) (+2)5 = 31 = 3 32 = 3 . 3 = 9 33 = 3 . 3 . 3 = 27 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 (–2)1 = –2 (–2)2 = (–2) . (–2) = + 4 (–2)3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8 (–2)4 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = + 16 3n = 3 . 3 . 3 . 3 . . . 3 (–2)m = (–2) . (–2) . . . . (–2) n tane m tane 32 = 9

Pozitif tam sayıların tek kuvvetleri de çift kuvvetleri de pozitiftir.

an = a . a . a . . . sayısına üslü sayı denir. “a” üssü n veya “a” sayısının n. kuvveti üs (kuvvet)

tabann tane

diye okunur. “a” taban, “n” üstür. Taban, üs kadar kendisiyle çarpılarak sonuç bulunur.

15

ÖRNEK

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

a) (–3)2 = b) (–5)3 = c)(–1)100 = ç) (–2)5 =

ÖRNEK

–32 işlemini yapalım.

CÖZÜM

ÖRNEK

ÖRNEK

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

a) (–1)1 = a) 013 = b) (+8)1 = b) 01 = c) (313)1= c) 04 = ç) (–24)1 = 30 = 1, (–7)0 = 1 , 10 = 1 , (–1)0 = 1 dir.

“0” hariç, hangi sayı olursa olsun sıfırıncı kuvveti “+1” dir.

Üs, sadece sayının üzerinde olduğu için işaret aynı kalır. Sayı , üs kadar kendisi ile çarpılır. Negatif tam sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

+9 –125 +1 –32 –(3,3) = –9 –1 0 + 8 0 313 0 –24 Her tam sayının 1. kuvveti kendisine eşittir.

16

ÖRNEK

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

a) (–1)1 = b) (–1)2 =

c) (–1)3 = ç) (–1)4 =

ÖRNEK

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

a) 101 = b) 102 = c) 103 = ç) 104 = d) 105 =

CÖZÜM

ÖRNEK

( ) ( ) ( ) ( ) 32 3 2 3 2 32 32 - + - - - - + - - işlemini yapalım.

(–1)’in tek kuvvetleri (–1), çift kuvvetleri ise (+1)’dir.

–1 +1

–1 +1

10’un kuvvetlerini alırken 10’un üssü kadar 1’in sağına “0” yazılır.

10 100 1000

10000 100000

–32 = –(3.3) = –9 (kare sadece 3’ün üzerinde “–” işaretini etkilemez.) (–3)2 = (–3) . (–3) = + 9 (kare (–3)’ün üzerinde)

+32 = + (3.3) = + 9

(–9) + (+9) – (+9) – (+9) – (–9) = –9 + 9 – 9 – 9 + 9 = – 9’dur. –9 +9 –9 –9 +9

17

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

23 . 32 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 2 . 62 B) 2 . 56

C) 55 D) 66

1) Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini hesaplayınız.

2) Aşağıdaki işlemleri yapınız.

PEKİSTİRELİM

a) 82 = ç) (–8)2 = f) (–10)2 = h) 115 = j) –120 = b) (–35)1 = d) (713)o = g) 075 = ı) 25 = c) (–1)9 = e) 103 = ğ) (–6)3 = i) (–2)10 = a) (–1)8 + 72 = b) 03 . (–5)4 + (–1) = d) [(–2) . (+4)]2 . (–1)104 = c) 102 + (–3)4 – (5)2 = e) (–10)3 . (10)2 = ç) (–1)20 – (+1)20 – (–1)20 = f) 53 : (–5)1 + 105 = 23 = 2 . 2 . 2 = 8 32 = 3 . 3 = 9 8 . 9 = 72 A) 2 . 62 = 2 . 36 = 72 B) 2 . 56 = 2 . (15 625) = 31 250 C) 55 = 3 125 D) 66 = 46 656 Cevap: A 64 64 100 1 –1 –35 1 0 32 –1 1000 –216 1024 1 + 49 = 50 0 – 1 = – 1 0 – (–8)2 . 1 = 64 . 1 = 64 100 + 81 – 25 = 156 –1000 . 100 = –100000 1 – (+1) – (+1) = 1 – 1 – 1 = –1 125 : (–5) + 105 = (–25) + 105 = + 80 – – (–8)2

18

KONU TESTİ

1.

[–(–7) – (+7)] – [–45 : 9] . 2 işleminin sonu-cu kaçtır? A) 10 B) 11 C) –10 D) –11

2.

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Yukarıdaki sayı doğrusunda modellenen işlem hangisidir?

A) 6 . (–1) – 7 B) 6 . (1) – 7

C) 1 . 6 + 7 D) (–7) . 1 + 6

3.

–124 ile +65 arasında kaç tam sayı vardır?

A) 58 B) 59 C) 189 D) 188

4.

–8 < a < 4, –2 < b < 5

a – b’nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 7 B) 4 C) 9 D) 3

5.

Tek basamaklı en büyük pozitif tam sayı ile, tek basamaklı en büyük negatif tam sayının çarpımı kaçtır?

19

6.

x = –3 , y = –1 , z = 4 ise 3x – 2y + z

işleminin sonucu kaçtır?

A) 15 B) 6 C) –3 D) –1

7.

(–2)n = 64 ise (–n)2 üslü ifadesinin sonucu

nedir? A) –36 B) 36 C) 25 D) –25

8.

( ) 2 24 2 4 0

- + - _{işleminin sonucu nedir?}

A) 0 B) 1 C) –1 D) 32

9.

a < b < 0 < c a, b ve c birer tam sayı olmak

üzere aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman negatif sayı belirtir?

A) . c a b _B) b c a + C) . b a c _{D) b . c (+1)}

10.

a = –1 ise a2 – a3 . a işleminin sonucu

kaçtır?

20

RASYONEL SAYILAR

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 7 4

2

Sıfır başlangıç noktasından zıt yönde aynı doğru boyunca hareket edecek iki karıncadan

kırmı-zı olanı, sağa doğru yürüyerek 7₂ nin olduğu yere geliyor. Mavi karınca da sola doğru aynı

uzunluk-ta yürüdüğüne göre ulaştığı nokuzunluk-tanın sayı değeri ... olur.

Doğal Sayılar: N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... Tam Sayılar: Z = ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

Yani tam sayılar, doğal sayıları içinde bulundurur. Rasyonel sayılar da tam sayıları içinde bulundurur.

Aşağıda verilen tam sayıları, rasyonel sayı olarak yazalım. a) 10 d) –1 ç) 108 b) –25 c) 0

ÖRNEK

Rasyonel Sayı: = = = ₌ = = = = ... 10 1 20 2 30 3 = = ... 108 1 216 2 = = = ... –1 1 –2 2 –3 3 = = ... –25 1 –50 2 = = = = ... 0 1 0 2 0 124 0 –18 a b

“a” bir tam sayı, “b” de sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a b şeklinde yazılabilen tüm sayılara rasyonel sayı denir. Q sembolü ile gösterilir. 3 5 4 1 8 3 1 2 14 1 308 1613 0 10

, , ,

,

,

,

,

1

,

... 4 1 14 1 0 1

,

,

= 4 = 0 = –14 gibi tüm tam sayılar paydası “1” olan rasyonel sayılardır. gibi sayılar rasyonel sayılardır.

Pay

Kesir Çizgisi Payda

21

PEKİSTİRELİM

Sayı Tam Sayı Rasyonel Sayı

–612 –4₇ 5 1 0 8 –1 4 2 17 100 25 7 2 122015 10 2 5 20 0

Aşağıdaki tabloda verilen sayıların tam sayı veya rasyonel sayı olanların yanındaki kutulara örnek-teki gibi işaretleyiniz.

“Sayı”

0 tanımsız olduğu için payda “0” olmaz.

→ 2 7

22

b ≠ 0 olmak üzere; –a

b = a–b = – ab dir. “–” nin pay veya paydada olması kesrin işaretini değiştirmez.

Böyle durumlarda kesrin işareti “–” dir. Aşağıdaki rasyonel sayılarda pozitif ve nega-tif rasyonel sayıları belirleyelim.

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

–3 4 25 27 763 1000 , , _{+ 1,} , _{– 1002} a

7 rasyonel sayısının pozitif rasyonel sayı

ola-bilmesi için a değerinin alabileceği, 3 ten küçük kaç tane tam sayı değeri vardır?

CÖZÜM

Pozitif Rasyonel Sayı:

Negatif Rasyonel Sayı:

–3 4 25 27 763 1000

, + 1, Pozitif rasyonel sayılar-dır.

Negatif rasyonel sayı-lardır.

, – 1002

a < 3 ve a > 0 olduğu için a’nın alabileceği tam sayılar “2” ve “1” olmak üzere 2 tanedir. İşareti “–” olan rasyonel sayılara denir. Negatif rasyonel sayılar ise “Q–” ile gösterilir.

İşareti “+” olan rasyonel sayılara denir. Pozitif rasyonel sayılar “Q+” ile gösterilir.

23 –4

5 = 4–5 = – 45 eşitliklerinin doğru olup olmadığını inceleyelim.

–4 ün +5 e bölümünde önce işaretler bölünür. “–” nin “+” ya bölümü “–” dir. “4”, “5” e tam bölünemediğinden aynen kalır.

“+” nın “–” ye bölümü “–” dir. “4”, “5” e tam bölüneme-diğinden aynen kalır.

–4 5 = – 45 4 –5 = – 45

PEKİSTİRELİM

– 3

91 rasyonel sayısına eşit olan rasyonel sayıları yanındaki kutulara işaretleyiniz.

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterebilmemiz için önce hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmamız gerekir.

Bunun için; “ a

b ” basit kesir ve ”k” bir tam sayı olmak üzere;

a b → – a b → k a b →

RASYONEL SAYILARI SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

91 3 –3 –91 3 –91 –913 91 3 –391 – – 0” ile “1” arasındadır. “–1” ile “0” arasındadır. “k” ile “k+1” arasındadır.

24

Aşağıdaki rasyonel sayıların hangi ardışık iki tam sayı arasında olduğunu bulalım. 2 3 1 9 –13 1 5 2 1 8 – 5 7 – 5 11 119

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

1

3 rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim.

– 1

3 rasyonel sayısını sayı doğrusunda

gösterelim.

ÖRNEK

CÖZÜM

a) b)

c) ç)

d) e)

“0” ile “1” arası “2” ile “3” arası “–1” ile “0” arası “–14” ile “–13” arası “–1” ile “0” arası “119” ile “120” arası

–3 –2 –1 0 1 2 3

1 3 1

3 rasyonel sayısı “0” ile “1” arasındadır. Bu aralığı üç eşit parçaya (paydası “3” olduğu için) böleriz. “0” dan başlayıp pozitif yönde 1 aralık (payı “1” olduğu için) ilerleriz.

–3 –2 –1 –

0 1 2 3

1 3

–1 ile 0 arası 3 eş parçaya bölünür, 1 bölme negatif yönde ilerleriz.

25

2 3₅ rasyonel sayısını sayı doğrusunda

gösterelim.

ÖRNEK

CÖZÜM

–5

6 rasyonel sayısının sayı doğrusundaki

yerini bulalım. –a

b = a–b = – ab aynı rasyonel sayı oldukları için bu sayılar sayı doğrusunda – ab nin olduğu

yerlerdir.

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

1

–4 ün yerini sayı doğrusunda gösterelim.

ÖRNEK

–3 –2 –1 2 0 1 2 3 3 5 2 ile 3 arasındadır. 5’e böler 3 bölme sağa ilerleriz.

–2 –1 0 1 2 –5 6 –5 6 = – 56 nın olduğu yerdir. –2 –1 0 1 2 1 –4 1 4 = –

26

15

4 rasyonel sayısını sayı doğrusunda

gösterelim.

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

Verilen sayı doğrusunda işaretlenen ardışık noktalar arası aynı uzunluktadır.

A ve B noktaları 3 4 - ve 3 1

- sayıları ile eşleşti-ğine göre, C noktası aşağıdakilerden hangisi ile eşleşir? A) 0 B) 3 1 C) 1 D) 3 5 A B C 3 4 -3 1 -5 3 -3 2 -3 0 3 1

II. Yol

–2 –1 0 1 2 3 3 = 4 3 4 15 4 15 4 = 3 34 (3 ile 4 arasında)

I. Yol

–2 –1 0 1 2 3 4 15 4 Ardışık tam sayılar arasını “4” eşit aralığa (Pay-da ka(Pay-dar) böleriz. Pozitif olduğu için “0” ın sağı-na 15 aralık (Pay kadar) gideriz.

27

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

Yukarıdaki sayı doğrusunda, 4

21 sayısına karşı-lık gelen nokta aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) K B) L C) M D) N

–2 –1 0 1 2 3

–2 –1 0 1 2

1) Aşağıdaki eşit aralıklara bölünmüş sayı doğrusunda, gösterilen yerlere gelmesi gereken rasyonel sayıları bulunuz. –2 –1 0 1 2

PEKİSTİRELİM

0 1 –26 a c d b ç ý ý ý say s n 4 21 4 1 20 1 4 5 5 4

1 _{=, 5 ile 6 arasında 5’e yakın “M” noktası} olabilir. 21 –4 3 4 – 1 2 1 5 7 –1 2 7 –28 –31 Cevap: C

28

2) Aşağıda verilen rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösteriniz. 1 4 5 4 – 6 7 –3 27 7 0 9 – 4 ve 13 –10 –2 1 a b c ç d e f 1 4 –2 –1 0 1 2 1 4 –2 –3 –1 –1 0 1 2 3 6 7 –2 –3 –4 –1 –3 0 1 2 1 4 –1 0 9 1 0 -1 2 4 3 4 5 6 7 –3 –4 –5 –2 –3 –1 0 1 –2 –3 –1 3 10 –1 0 1 2 –1 –2 0 –2 1 1 2 3 6 7 –3 3 10 –1 –2

29 1 10

*

75 10

*

35 1000

*

2 100

*

213 100

*

Yukarıdaki örneklerden de gördüğümüz üzere k bir doğal sayı ve e, m, n birer rakam ise,

e 10 em 100 emn 1000 = k, e = k, em = k, emn eşitlikleri vardır. k k k

1. Paydası “10”un Kuvveti Olan Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILARIN ONDALIK GÖSTERİMLERİ

Negatif rasyonel sayıların ondalık gösterimleri de negatiftir. Ondalık gösterimmlerini bulmayı örneklerle öğrenelim.

= = = = = 10 10 00 10 0,1 0,1 75 70 50 50 00 10 7,5 7,5 3500 3000 5000 5000 0000 1000 0,35 0,035 200 200 000 100 0,02 0,02 213 200 130 100 300 300 000 100 2,13 2,13

30

Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazalım. a) c) b) –2 3 10 7 100 14 100 ç) ₁213 1000

ÖRNEK

Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazınız.

5 –3 10 1 10 35 100 –100 ₁₀₀₀5 75₁₀₀₀3 –75 ₁₀₀₀3

PEKİSTİRELİM

15 50 1 2 = =

*

*

*

*

*

*

7 500 3 = 3 25 3 20 – – –2 = = 3 8

2. Paydası “10”un Kuvveti Olmayan Rasyonel Sayılar

Paydası “10”un kuvveti olmayan rasyonel sayılar, önce paydası “10”un kuvveti (10, 100, 1000, ---) olacak şekilde uygun sayı ile genişletilir veya sadeleştirilir. Sonra ondalık gösterim olarak yazılır.

Ondalık gösterimlerini bulmayı örneklerle öğrenelim.

a b c ç d e = = = = = = = = = = 0,3 0,07 –2,14 1,213 –0,3 0,35 5,1 –100,005 75,003 –75,003 5 10 3 10 1.5 2.5 15:5 50:5 = = = 0,5 = 0,3 7.2 500.2 ₁₀₀₀14 3 = 3 = 3,014 12 100 15 100 3.4 25.4 3.5 20.5 = = – 2 = – = – 0,375 = –2 = –0,12 – = –2,15 375 1000 3.125 8.125 –

31 Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazınız.

1) Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazınız.

a) 1 5 a)

ÖRNEK

b) 65 25 – c) 34 2000

PEKİSTİRELİM

a b c ç d e f = = = = = = = = = = 3 30 1 50 17 20 – 1 50 1 2 1 4 3 5 3 7 –4 2 10 1,2 5,2= = 0,2 1 10 3:3 30:3 = = 0,1 26 10 260 100 65,4 25,4= = = –2,6 – – – 17,5 20,5 85 100 = = 0,85 34:2 2000:2 17 1000 = = 0,017 1,2 50,2 2 100 = = 0,02 2 100 1,2 50,2= = – 0,02 – – 5 10 1,5 2,5 = 3 3 = 3,5 –4 3,2_5,2 = –4₁₀6 = –4,6 25 100 1,25 4,25 = 7 7 = 7,25

32

2.) Aşağıdaki rasyonel sayılara karşılık gelen ondalık gösterimleri birinci örnekte olduğu gibi eşleştiriniz. 0,18 –2 A) 1) 3 10 B) 2) 0,018 C) 3) 1 –7,5 2 Ç) 4) –0,001 – D) 5) 1 67,5 1000 – E) 6) 113 –7,602 100 – F) 7) 0,0125 67 G) 8) 1 –1,13 2 Ğ) 9) 0,5 H) H 10) 7602 –2,3 1000 9 500 9 50 15 2 1 80 = = = = 18 1000 18 100 75 10 125 10000 – A) B) C) Ç) D) E) F) G) Ğ

33 2

3 rasyonel sayısının ondalık gösterimi;

67

33 rasyonel sayısının ondalık gösterimi;

20 18 20 18 20 18 2 h 3 0,666… = 0,6– 6766 = ,203 100 99 100 99 100 99 1 h 33 2,030303 …

Aşağıdaki devirli ondalık gösterimlerin yazılımlarını ilk örnekteki gibi yaparak inceleyelim. 3, 012 = 3, 012222222

-3,012 = 3,012 =

ÖRNEK

Aşağıdaki rasyonel sayıların devirli ondalık gösterimlerini yazalım. 7

9 71₉₉

a) _b)

ÖRNEK

Rasyonel Sayıların Devirli Ondalık Gösterimi

Ondalık gösterimlerini bulmayı örneklerle öğrenelim.

Devirli Ondalık Gösterim:

ÖRNEK

CÖZÜM

29

9 = 3,a– eşitliğini sağlayan a değeri

için a2 – a’nın değerini bulalım.

= 0,7– = 0,71

3, 012121212 3,012012012

-Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde tekrar eden sayı-larla bölünmeye devam ediyorsa, sürekli tekrar eden sayının üstü çizi-lerek devamındaki tekrar eden kısım yazılmaz. Rasyonel sayıların böyle gösterimine devirli ondalık gösterim denir.

,22---29 27 2 = 3,2– 3,a– = 3,2– ise a = 2 olur. a2 – a = 22 –2 = 4 –2 = 2 dir. 9 3 0 18 20 18 2

34

Aşağıdaki rasyonel sayıların devirli ondalık gösterimlerini yazınız.

PEKİSTİRELİM

– 18 6 8 8 0 6

Tam Sayıya veya Doğal Sayıya Eşit Olan Rasyonel Sayılar

Bazı rasyonel sayılarda payı paydaya böldüğümüzde tam sayı veya doğal sayı olabilirler.

Örneklerle öğrenelim.

Aşağıdaki rasyonel sayılardan tam sayı ve doğal sayı olanları belirleyelim. Sayı Tam Sayı Doğal Sayı

15 5 14 5 –8 2 600 100 1 4 3 2 3 –5 0 51

ÖRNEK

a = b = c = ç = = = = 71 9 6490 41 33 56 45 7,8– _0,71 1, 24 1, 24

3 Hem doğal sayı hem de tam sayıdır. –1 Tam sayıdır.

35

DEVİRLİ OLMAYAN ONDALIK GÖSTERİMLERİ RASYONEL SAYI OLARAK

İFADE ETME

*

0,3 ondalık gösterimini modelleyelim.

*

1,09 ondalık gösterimini modelleyelim.

Şimdi bu modeli kesir olarak gösterelim.

Şimdi bu modeli kesir olarak gösterelim.

Devirli olmayan ondalık gösterimler rasyonel sayı olarak şu şekilde yazılır;

Doğruluğunu kontrol edelim.

0,2 = 2 = = 10 2 : 2 10 : 2 15 1010 0 5 0,2 3 10 100 100 = 1 tam 1 = 109 100 9 100 9 100

 Ondalık gösterimlerde virgülün solunda kalan kısım tam sayı olarak yazılır.  Virgülün sağındaki sayı paya yazılır.

 Virgülden sonraki basamak sayısı kadar “0” da paydada “1” in sağına yazılır.  İşareti aynen kalır.

 Pay ve payda arasında sadeleşme varsa yapılır. +

36

Virgülden sonra en sağda kalan sıfırların herhangi bir değeri yoktur.

Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çeviriniz.

0,4 1,2 –500,13 0,75 –0,002 _20,02 –101,101 5,5 60,017

PEKİSTİRELİM

ÖRNEK

Aşağıdaki ondalık gösterimlerin rasyonel sayı olarak yazalım.

a) b) ç) c) d) 0,13 = 3,143 = –5,4 = –3,05 = 75,10 = a b c ç d e f g ğ = = = = = = = = = = = 4 10 2 5 4 : 2 10 : 2 1₁₀2 = 1_{10 : 2}2 : 2 = 1 1₅ –500 ₁₀₀13 _{= =} 3 4 75 100 75 : 25 100 : 25 –₁₀₀₀2 = –_{1000 : 2}2 : 2 = – ₅₀₀1 ₂₀ 2 _{= 20 = 20} 100 100 : 22 : 2 501 –101₁₀₀₀101 5 5 = 5 = 5 10 1 2 5 : 5 10 : 5 60 17 1000 13 100 143 1000 3 = –5 = –5 4 10 2 5 4 : 2 10 : 2 –5 –3₁₀₀5 = –3_{100 : 5}5 : 5 = –3₂₀1 75₁₀₀10 = 75 1 Yani 75,10 = 75,1 dir. 10

37

Karşılaştırmada ... , ... ve ... sembolleri kullanılır. Kesirlerde sıralamada

kullan-dığımız yöntemler burada da geçerlidir.

Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayı ... , sola gidildikçe sayı ...

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar karşılaştırılırken; –1 –3 0 –2 1 –1 2 0 3 1 3 4 –9 3 –4 3 –2 3 6 4 11 4

1. Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayılarda Sıralama

RASYONEL SAYILARI KARŞILAŞTIRMA VE SIRALAMA

Negatif rasyonel sayıların paydaları eşit ise “–” işareti paya alınarak pozitif kesirlerdeki gibi sıralama yapılır.

3 5 1 5 12 5 19 5 11 5

, – , ,– , rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

ÖRNEK

“<” “>” “=” büyür küçülür –9 3 –4 3 –2 3 3 4 6 4 11 4 < < < <

Yukarıda verilen iki örnekten de anlaşılacağı gibi paydaları eşit olan rasyonel sayıları karşılaş-tırırken payı büyük olan rasyonel sayı daha büyük, payı küçük olan rasyonel sayı daha küçüktür.

–3 5 1 5 15 12 5 125 –19 5 195 11 5 115

, , , , ve –19 < –3 < 1 < 11 < 12 olduğu için – < –3 < < < olur. 5

38

Aşağıdaki rasyonel sayıları karşılaştırarak noktalı yere ... , ... ve ... işaretlerin-den uygun olanı yerleştiriniz.

–83 –82 2 3 4 1 2 3 2 2 5 –2 –5 1 3 1 3 14 21 5 6 8 7 83 21 5 6 –11 7 0 75 9 4 0 75 10 75 1 4 –10 75 7 12 3 12 – – –

PEKİSTİRELİM

2. Payı Eşit Olan Rasyonel Sayılarda Sıralama

–1 –1 – – 0 1 0 1 2 3 2 9 3 8 3 4

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama: Negatif rasyonel sayılarda sıralama:

a ç f h b d g c e ğ “<” “>” “=” ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... < = < > < = > < > <

Paydalar eşit ise tam kısmı küçük olan daha küçüktür.

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi negatif kesirli sayıları karşılaştırırken “–” paydanın önünde düşünülür. (– 3

4 = 3–4 , – 38 = 3–8) Bu durumda paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi pozitif kesirli sayıları karşılaştırırken paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

39

ÖRNEK

CÖZÜM

13

14 , 131 , 137 rasyonel sayılarını küçükten

büyüğe doğru sıralayalım.

1) – 107

13 , – 107100 , 10775 , 107104 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

PEKİSTİRELİM

ÖRNEK

CÖZÜM

– 25

4 , – 2527 , – 255 rasyonel sayılarını büyükten

küçüğe doğru sıralayalım.

2) Aşağıdaki rasyonel sayıları karşılaştırınız ( < , > , = ).

– – – 14 7 14 9 5 11 105 103 500 13 500 27 5 75 105 13 1 11 77 –177 1 101 –77 177 a b c ç d e 14 > 7 > 1 olduğu için 13 14 13 7 13 1 olur. < < 107 –13 107 –13 107 –100 107 –100 107 75 107 75 107 104 107 104 , , , –13 > –100 ve 104 > 75 olduğu için; < < < 25 –4 25 –27 25 –5

, , olmak üzere –27 < –5 < –4 olur. O hâlde – 25

27 > – 255 > – 254 bulunur

Negatif rasyonel sayılar her zaman pozitif rasyonel sayılardan küçüktür.

< >

> =

<

40

Payı veya paydası eşit olmayan rasyonel sayıları sıralamadan önce,

CÖZÜM

3

5 , 43 , 715

rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

– 10

3 , 25 , 512 , – 14

rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.

ÖRNEK

Yukarıdaki örneği paydalarını eşitleyerek de çözebiliriz.

3. Payı veya Paydası Eşit Olmayan Rasyonel Sayıların Sıralanması

Paydaları eşitleyelim. 3 5 4 3 7 15 3, 3 5, 3 4,5 3,5 157 7 15 9 15 3 5 20 15 4 3 9 15 20 15 = = (3) (5) = = 7 < 9 < 20 olduğu için < < < < olur. bulunur. 10 3 1 4 2 5 5 12 10 40 10 25 10 24 10 24 5 12 10 –40 10 –40 10 25 10 25 2 5 1 4 10 –3 10 –3 10 3 10 24 10 –3 10 –40 Payları eşitleyelim. (1) (10) (5) (2) – – = > > > > > – – > > > bulunur olur. ve olduğu için = – = = =

pay veya paydadan eşitlemeye uygun olanı genişleterek veya sadeleştirerek birbirlerinin pay veya paydasını eşitleriz. Sonra paydaları eşitlediysek paydaları eşit olanlara göre, payları eşit-lediysek payları eşit olanlara göre sıralama yaparız.

41 2

5 ile 910 arasında 3 tane rasyonel sayı yazalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

Aşağıdaki boşluklara uygun sayıları yazınız.

PEKİSTİRELİM

3 4 9 8 < < < 18 25 3 5 > > > 9 30 25 90 > > 1 3 3 5 11 15 < ... < < , < , 5 3 8 6 < < – – 3 4 13 12 < < < < a b c d ç f (2) 2 5 4 10 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 … … , , , arasındaki sayılardır.

Daha çok rasyonel sayı bulmak istersek

104 ve 109 ’u aynı sayı ile genişletiriz.

7 8

8 8

Rasyonel sayıları genişleterek daha farklı ce-vaplarda bulabiliriz. 17 25 16 25 2690 6 15 10 15 7 15 8 15 9 6 – 10 12 11 12 12 12

42

KONU TESTİ

1.

a. Sayı doğrusunda soldan sağa doğru

ras-yonel sayılar büyür.

b. Negatif rasyonel sayılar “0” dan küçük-tür.

c. Tam sayılar, rasyonel sayı olmaz.

d. Ardışık iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı bulunur.

Yukarıda maddeler hâlinde verilen bilgiler-den hangisi yanlıştır?

A) a B) b C) c D) d

2.

Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı ola-maz?

A) 7

2 B) 80 C) 011 D) 4

3.

3

7 rasyonel sayısının sayı doğrusunda göste-rimi aşağıdakilerden hangisidir?

3 0 0 3 4 1 1 4 3 7 3 7 3 3 7 A) B) C) D)

4.

–2 –1 K L 0 1 2

Yukarıda eşit aralıklara bölünerek verilmiş sayı doğrusunda K ve L noktalarına karşılık gelen rasyonel sayılar aşağıdakilerden han-gisidir? K L A) _{– 1} 2 3 2 B) _{– 3} 2 1 2 C) _{– 1} 2 1 2 D) _{– 3} 2 3 2

5.

Aşağıdaki sayıların karşılaştırmaları arasın-dan doğru olan hangisidir?

A) –31 4 < –2,11 < – 57 < –1 B) –3,1– < – 8 4 = –2 < –0,13 C) –4 2 3 > –2,6 – _{> 3} 2 = 1,5 D) – 5 2 < 62 = 2 < 5

6.

_{–3 –2 –1 0} –a bc

Yukarıdaki sayı doğrusunda verilen bilgilere göre a + b + c aşağıdakilerden hangisidir?

c

b basit kesit

43

7.

Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi –4,12 ondalık gösterimine eşittir?

A) –4 12 10 B) –4 12 C) –4 2 10 D) –4 12100

8.

0,17 = a 100 olduğuna göre a

2 _{nin değeri} aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) 1700 B) 289

C) 170 D) 49

9.

5

8 = 0, abc eşitliğini sağlayan a, b ve c

de-ğerleri için a + b2 + c3 değeri aşağıdakiler-den hangisidir?

A) 128 B) 133 C) 135 D) 137

10.

–1,121313131... ondalık gösteriminin devirli ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) –1,12 B) 1,121

C) –1,1213 D) –1,1213

11.

Aşağıdaki ondalık gösterimlerden hangisi – 14

3 rasyonel sayısından daha büyüktür?

A) –4,6 B) –4,67 C) –5,5 D) –5

12.

–2 1 . . . – . . . –2 3 7 3 1 4

Yukarıda verilen negatif rasyonel sayılar arasına sırası ile aşağıdaki işaretlerden hangisi gelir? A) < , > B) = , > C) = , = D) = , <

13.

_{K = –5} L = 1 M = N = –5 1 5 2 5 11 7

Yukarıda verilen K, L, M ve N sayılarının kü-çükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakiler-den hangisidir?

A) K < N < L < M B) N < K < M < L

C) K < N < M < L D) N < K < L < M

14.

3

14 < a14 < 2314 olduğuna göre, a14 rasyonel sa-yısının basit kesir olabilmesi için “a” yerine yazılabilecek en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının çarpımı kaçtır?

44

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

Şubat 2015’te Ankara’da hava sıcaklığı yaklaşık –3oC iken, Bursa Uludağ’da 14,5oC daha düşüktü.

Aynı gün, Uludağ’daki hava sıcaklığı a c b o

C dir. İki ildeki toplam hava sıcaklığı ise, x

z y

oC’dir.

Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi

RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Paydaları eşit olan rasyonel sayılarla toplama çıkarmanın nasıl yapıldığını örneklerle öğrenelim.

5 2 5 1 + = 5 2 5 1 - + = 5 2 5 1

-

= 5 2 5 1 - - = 5 2 5 1 - - - =

c

m

c

m

Paydası eşit rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken kesirlerin işareti pay’ın önüne gelir. Paylar kendi arasında istenen işlem yapılır payda aynen kalır.

5 2 1 5 3 + = 5 2 1 5 1 -+ = 5 2 1 5 1 -= 5 2 1 5 3 -= 5 2 5 1 5 2 1 5 1 - + = - + = -+

45 Aşağıda sayı doğrusunda gösterilen işlemleri önce yazalım sonra yapalım.

ÖRNEK

a) b) c) –2 –2 –2 –1 –1 –1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

ÖRNEK

a) b) c) ç) 10 7 10 1 + = 15 13 15 2 15 7 - + - = 11 1 11 4 11 1 - - - - =

c

m

c

m

c

m

5 7 2 1 7 3 - - =

c

m

c

m

5 3 5 6 5 3 6 5 9 1 5 4 - + - = - - =- =

-c

m

c

m

1 5 1 5 2 1 5 3 + =

c

m

c

m

5 4 5 11 5 4 11 5 7 1 5 2 - + = - + = =

c

m

c

m

Sayı doğrusunda sola gidilince “–” işareti, sağa gidilince “+” işaretini alır.

15 13 2 7 15 20 2 15 18 1 15 3 - - - -+ ₌ + _{= =} 11 1 4 1 11 4 -

Y

- +

Y

₌ -5 7 2 ₁ 7 3 _{5 1} 7 2 3 ₆ 7 5 - - =

^

- -

h

+ = -10 8 5 4 = +

46

Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.

PEKİSTİRELİM

10 3 10 5 + = 91 65 91 20 - - = 7 1 7 1 7 1 - - - + - =

c

m

c

m

c

m

2 75 3 5 75 2 75 22 - - + = 23 12 23 7 23 14 + + =

Paydası Eşit Olmayan Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi

Paydası eşit olmayan rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemini örneklerle öğrenelim.

Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım.

ÖRNEK

6 7 8 3 + = 20 13 4 1 - - -

c m

= 5 3 1 7 4 - - =

c

m

c

m

a) b) c) a b ç c d

10

3 5

10

8

+ =

91

65 20

91

85

-

-=

23 12 7 14 23 33 1 23 10 + + = =

7

1 1 1

7

1

-

-+

₌

)

(

2 5 0 75 3 2 22 7 75 27 7 25 9 - - + + + =- = -9 25 + – + (5) 24 28 9 24 37 1 24 13 + = = (4) (3) 20 13 20 5 20 13 5 20 8 5 2 - + = - + =- = -)

(

5 21 7 21 12 _{5 0} 21 7 12 ₅ 21 19 - - = - + + = -(7) (3) a c b ₁₇ 2 1 =-x z y ₂₀ 2 1 =- (Sayfa :44)

Paydası eşit olmayan rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken önce paydaları eşitler sonra istenen işlemi yaparız.

47 3 4 1 + işlemini yapalım. 3 4

1 _{tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim.}

7 9 1 + işlemini yapalım.

ÖRNEK

ÖRNEK

3 4 1 1 3 4 1 4 12 1 4 13 (4) (1) + = + = + = . 3 4 1 4 3 4 1 4 12 1 4 13 =

^ h

+ = + =

a, b, c pozitif tam sayı olmak üzere dir.

CÖZÜM

CÖZÜM

I. Yol II. Yol

Dağda bulunan bir dağcının deniz seviyesinden yüksekliği rasyonel sayı olarak, 2000 5 3

m dir. Aynı

anda bir dalgıç ise deniz seviyesinin 50 m

3 1

altındadır. Dağcı ile dalgıç arasındaki mesafeyi bulalım.

c c b a b

a

= + 1 7 9 1 9 63 1 9 64 7 9 1 (9) (1) + = + = = 7 9 1 7 9 1 + = olduğundan direk yazabiliriz. . m dir 2000 5 3 50 3 1 2000 15 9 50 15 5 2050 15 14 (3) (5) + = + =

48

Cumali ile Talha şekildeki gibi bisikletleri ile zıt yönde aynı anda hareket ediyorlar. 1 km yolun Talha

12 5

’sini, Cumali ise,

12 9

’sini gidiyor.

a) Aralarındaki uzaklığın kaç kilometre olduğunu bulalım.

b) Her ikisinin de başlangıç noktasına olan uzaklıklarının kaçar kilometre olduğunu hesaplayalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

a) b) Kalan yol;

(Negatif ise birbirlerini 6 1 km kadar geçmiştir.) 1 12 14 12 12 12 14 12 2 6 1 6 1 - = - =- =-( ) km Cumali 1 12 9 12 12 12 9 12 3 4 1 4 1 - = - = = ( ) km Talha 1 12 5 12 12 12 5 12 7 - = - = Talha Cumali ( )

km Toplam gidilen yol 12 5 12 9 12 14 + = 6 1 km

49

ÇIKMIŞ SORU

Aşağıdakilerden hangisi 2

1 ile toplandığında elde edilen sayı –1 ile 0 arasında yer alır? A) 4 1 - B) 3 1 - C) –1 D) 1

CÖZÜM

Ayşe Nur ile Yasin renkli baloncuk oyunu oynuyorlar. Baloncukların üzerinde içerisinde rasyonel

sayılar yazıyor. Yasin, seçtiği iki baloncuk üzerindeki sayıları seçtiği sıraya göre çıkarıyor. Ayşe Nur ise aynı sayılar aynı sıra ile topluyor. Verilen sıraya göre Ayşe Nur ve Yasin’in işlem sonuçla-rını bulunuz.

Yapılan işlemler sonucunda en büyük tam sayıyı bulan baloncuk oyununu kazanıyor ise kazanan kimdir?

PEKİSTİRELİM

11 4 3 5 2 15 11 2 1 - _–4 40 7 ₆ 2 1 - -₂₂9

Her şıkkı ayrı ayrı toplayıp sonuçlarını bulalım.

) ( ý )

A ile aras nda

4 1 2 1 4 1 4 2 4 1 2 41 0 1 (2) - + =- + = - + = ) ( ý )

B ile aras nda

3 1 2 1 6 2 6 3 6 2 3 6 1 0 1 (2) (3) - + =- + = - + = ) ( ý )

C ile aras nda

1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 _{1 0} (2) - + =- + = - + =- -) ( ý )

D ile aras nda

1 1 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 (2) + = + = = Cevap: C

50

CÖZÜM

Ayşe Nur Yasin 1. Seçimler 2. Seçimler 3. Seçimler 4. Seçimler 1. Seçimler – – – – = = = –4 11 4 22 9 -40 7 ₆ 2 1 -15 11 3 5 2 2 1 -= 2. Seçimler 3. Seçimler 4. Seçimler + + + + = = = = 15 11 ₃ 5 2 2 1 - _–4 11 4 22 9 -40 7 ₆ 2 1 -15 11 5 17 15 11 51 (3) + = + 15 62 = 2 1 ₄ 21 4 - +^ h- = - -2 1 8 -= 2 9 -= – – – 11 4 22 9 22 8 9 (2) - -+_{c m}= 22 1 -= 40 7 2 13 40 7 260 (20) - -+

_f

_p

= 40 253 -= 15 11 5 17 15 11 51 (3) - = -2 1 ₄ 21 4 - - -^ h= - + 15 40 3 8 - -= = 2 1 8 2 7 -= + = -11 4 22 9 22 8 9 (2) - = + c m 22 17 = 40 7 2 13 40 7 260 (20) - = + -

_f

_p

+ + + 40 267 c m Kazanan: Yasin 40 267 =

51

Rasyonel Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri

Rasyonel sayılarla toplama işleminin özelliklerini örneklerle öğrenelim.

Aşağıdaki toplama işlemlerini yaparak, değişme özelliği olup olmadığını inceleyelim.

Aşağıdaki kutu içlerine eşitliği bozmayacak şekilde uygun sayıları yazarak rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı olup olmadığını bulalım.

Aşağıdaki kutu içlerine hangi sayıyı yazarsak, sonucun etkisiz eleman “0” olacağını bularak rasyonel sayıların toplama işlemine göre terslerini belirleyelim.

20 13 20 2 20 2 20 13 + =? + ? 13 6 13 1 13 1 13 6 - + - = - + -c m c m c m c m 7 5 - + 7 5 -= 27 19 + 27 19 = 3 1 - + _{=0 + =0} 14 5 0 0 3 1 + 14 5

-İki rasyonel sayının toplamı, yerleri değiştirildikten sonraki toplama eşit olduğundan, rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.

20 15

20 15

= -₁₃7 =-₁₃7

Bir rasyonel sayı ile “0”, topladığımızda, toplam rasyonel sayının kendisine eşit olacağı için, rasyonel sayılarla toplama işleminin etkisiz elemanı “0” dır.

Toplamları “0” etkisiz eleman olan rasyonel sayılar birbirinin toplama işlemine göre tersi’dir. b a ’nin tersi b a - ’dir.

52

Aşağıdaki işlemleri yaparak rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği olup olmadığını bulalım.

ÖRNEK

2 3 1 9 2 - + + = e o = G ( )2 3 1 9 2 - +_; + _E=

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

PEKİSTİRELİM

3 2 4 3 + = 3 2 4 3 -+ _{c m} 3 2 4 3 - + - = c m c m 3 2 4 3 - + = c m 5 3 3 4 15 7 -+ -+_{c m}= ₄ 5 1 5 9 + = 3 7 2 2 2 1 + = 1 3 2 ₅ 3 1 6 5 - +_c- _m+ = a b c ç d e f g 1 (3) (3) 3 5 9 2 9 15 9 2 9 13 (3) -= + = + = ( 2) 9 3 9 2 - +_; + _E 1 2 9 5 9 18 9 5 9 13 (9) -= + = + =

f

p

; E (4) (4) (4) ₍₄₎ (3) (2) (2) (3) (3) (3) ₍₃₎ (5) (7) (2) 12 8 9 12 17 + = 12 8 9 12 1 -= 12 8 9 12 1 - _{+ =} 12 8 9 12 17 -= 15 9 20 7 15 22 -+ ₌ 4 5 1 9 4 5 10 _{4 2 6} 1 2 + = = + = ( ) 3 14 4 ₂ 14 7 _{3 2} 14 4 7 5 14 11 + = + + = ( ) ( ) 1 6 4 ₅ 6 2 6 5 _{1 5} 6 4 2 5 - +_c- _m+ =^- + - h+_c- + - + _m 1 5 6 4 2 5 ₆ 6 1 6 37 - - - -=^ h+_c + _m= +_{c m}= – – – – – –

Her iki işlemin de sonuçları eşit olduğundan rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 3 6 3 1 9 2 - + + ; E

53

RASYONEL SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

Yandaki şekilde hem yeşil hem kırmızı ile taralı bölgeyi ... matemetik-sel ifadesi ile gösterebiliriz.

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi Yaparken; Yani; . b a d c _. 5 3 7 4 . 7 2 1 -c m . 11 5 9 11 - -c m c m . 2 5 1 ₄ 5 3 -c m c m Haftalık harçlığınızın 5

2_{’ini harcadınız. Geriye kalan kısmın}

3

2_{’ü ile sinemaya gittiniz. Sinema için}

kullandığınız kısım tüm harçlığınızın kaçta kaçıdır?

ÖRNEK

CÖZÜM

a)

c)

b) a, b ve c birer sayı olmak üzere;

= = = = = 1 5 2 5 5 5 2 5 3 - = - = 1 (5) . 5 3 3 2 15 6

= sadeleştirersek ’i ile sinemaya gitmiştir. 15 6 5 2 = ‘dir. . . b d a c . . _{' .tir} 5 7 3 4 35 12 = 2 7 ₃ 2 1 - =-99 5 + . 5 11 5 23 25 253 ₁₀ 25 3 - =- = -c m c m

 Tam sayılı kesir ise önce bileşik kesre çevrilir.  Sonra aynı işlem yapılır.

 İşaretler çarpılır tek işaret olarak konur.  Pay ile pay çarpılır paya yazılır.

54 . 3 2 22 15 -c m c m işlemini yapalım. . 5 4 3

-c m işlemini sayı doğrusunu kullanarak

çözelim.

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

Çarpma İşleminin Özellikleri

1) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin, değişme özelliği olup olmadığını örnekle inceleyelim.

2) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin, birleşme özelliği olup olmadığını örnekle inceleyelim. ? . . . . 3 2 4 8 5 3 2 8 5 4 - = -c m c m = G ; E . . 2 1 10 7 10 7 2 1 - = -c m c m ? –4 –3 –2 –1 0 +1 4 3 -4 3 -4 3 -4 3 -4 3 -3 4 3 -. ' ü .t r 5 4 3 4 15 ₃ 4 3 - =- = -c m

Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken, pay ve paydalar arasında sadeleşme varsa önce sadeleşme yapıldıktan sonra çarpma işlemi yapılırsa daha basit bir çarpım elde edilir.

5 . . 3 2 22 15 ₁ 11 5 11 5 1 - =- = -11

İki rasyonel sayı çarpımında; çarpanların yerleri değiştirilerek işlem yapıldığında sonuçlar aynı olduğundan değişme özelliği vardır. . . .

b a d c d c b a dir = 3 5 3 5 - =

-İkiden fazla rasyonel sayıyı farklı farklı ikişerli gruplandırarak çarptığımızda sonuçlar aynı çıkar. Bu durumda “Rasyonel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.” deriz.

1 1 . . 3 8 8 5 3 2 2 5 - = -1 1 Y Y Y Y c m 20 7 20 7 - = -2 1

55 3) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin, yutan elemanı olup olmadığını örneklerle inceleyelim.

. 3 1 = . 7 2 - = c m . 5 4 1 - = c m

4) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin etkisiz elemanı olup olmadığını örneklerle inceleyelim. . 13 5 13 5 = –7 . = –7

5) Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi olup olmadığını örneklerle inceleyelim.

. . 4 3 ₁ 4 3 3 4 ₁ 1 1 1 = + = + 1 Y Y Y Y . 7 3 ₁ - = +

6) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği olup olmadığını inceleyelim. a) b) . 3 2 4 2 4 1 - + c m . 3 2 4 2 4 1 - + c m . 3 2 7 1 7 5 -c m . 3 2 7 1 7 5 -c m b) b) a) a) = = = = . 0 3 1 0= . 0 7 2 ₀ - = c m . 0 5 4 1 ₀ - = c m

“0” sayısı ile bir rasyonel sayının çarpımı her zaman “0”’dır. Rasyonel sayılarda çarpma işleminin yutan ele-manı “0” dır. . 1 13 5 13 5

= (+1) sayısı ile hangi rasyonel sayıyı çarparsak çar-palım. Sonuç rasyonel sayının kendisidir. Bu nedenle (+1) rasyonel sayılarda çarpma işleminin “etkisiz

ele-manı” (+1) dır. –7 . 1 = – 7

Bir rasyonel sayı ile tersini çarptığımızda etkisiz ele-man olan (+1)’e eşit olur. Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre, tersi pay ve paydasının yer değişmiş halidir. b a ’nın tersi _ab ’dir. . . 4 3 ₁ 4 3 3 4 ₁ 1 1 1 = + = + 1 Y Y Y Y 12 4 12 2 12 2 6 1 - + =- Y = -c m c m 12 21 6 1 -Y = -. 3 2 7 4 21 8 - = -c m ₂₁2 -10₂₁=-₂₁8

Dağıtarak yaptığımızda işlem sonucu değişmediğinden rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

6 . . 7 3 ₁ 3 7 7 3 ₁ 1 1 1 - = + - - = + 1 Y Y Y Y

56 , , 10 7 7 3 4

- rasyonel sayılarını –1 ile çarparak, rasyonel sayılar ile sonuçlarını karşılaştıralım.

ÖRNEK

CÖZÜM

1) Aşağıda satır ve sütunların çarpımı ile ilgili verilen tabloyu örneklerdeki gibi çarpım sonuçlarını yazarak doldurunuz.

PEKİSTİRELİM

10 7 ₀ 5 2 4 9 _–3 1 4 6 1 -–1 4 9 -7 9 2 ₀ 3 5 . . . ( ) ( ) ( ) 10 7 ₁ 10 7 7 3 ₁ 7 3 4 1 4 - -- -- -= = + = c m

Bir rasyonel sayıyı –1 ile çarpmakla o rasyonel sayının zıt işaretlisini elde ederiz. 10 7 12 35 -10 7 -18 91 6 7 0 0 0 0 5 2 3 5 -5 2 -9 26 3 2 4 9 8 75 -4 65 4 15 –3 –5 3 2 25 3 65

-57 2) Aşağıdaki kutulara gelmesi gereken rasyonel sayıları yazınız.

3) Aşağıdaki rasyonel sayıların, çarpma işlemine göre tersleri varsa karşılarına yazınız.

. . . 7 5 10 7 9 1 7 5 9 1 + = + c m c m c m . . . 4 5 7 3 11 4 4 5 7 3 - = -c m c m c m . . . . 7 5 10 7 9 1 10 7 9 1 - _{c m}=_{c m} . 3 6 5 6 23 - = . . 126 127 11 4 126 127 - = _c- _m 3 7 1 -4 8 3 11 17 -41 0 a a b b c c ç ç d d 10 7 7 5 11 4 11 4 7 5 -–1 11 4 –7 3 1 35 8 17 11

-Çarpma işlemine göre tersi yoktur.

Çünkü a . 0 = 1 olacak şekilde “a” rasyonel sayısı yoktur. . 4 3 6 4 (Sayfa :53)

58

RASYONEL SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

Leyla, okula getirdiği kurabiyelerinin

43 ’ünü 3 arkadaşına eşit olarak paylaştırmak

istiyor. Her bir arkadaşına ... miktarda kurabiye düşer.

: 5 2 6 21

-c m bölme işlemini iki yolla yapabiliriz.

I. Yol II. Yol

Ortak payda kullanarak bölme;

Bölüneni bölenin çarpma işlemine göre tersi ile çarparak bölme;

Aşağıdaki bölme işlemlerini yapalım.

ÖRNEK

: 15 13 4 21 = : 9 7 1 3 - = : 2 8 5 ₁ 2 1 - = 6 5 14 13 -=

Aynı işaretli iki rasyonel sayının birbirine bölümü pozitif, farklı işaretli iki rasyonel sayının birbirine bölümü negatif’tir.

a) b) c) ç) . 15 13 21 4 315 52 = c m-₉7 . ₃1 =- ₂₇7 1 1 7 : . 8 21 2 3 8 21 3 2 4 7 ₁ 4 3 - = - =- = -4 c m f p

Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrilir. Sonra bölme işlemi yapılır.

. 14 13 5 6 3539 135 4 7 - - = + = 3

f

p

: : : : : 5 2 6 21 30 12 30 105 30 30 12 105 1 12 105 - = - =- = -c m c m (6) (5) : 12 105 105 12 35 4 - - -= ^ h= = : 5 2 6 21 5 2 - = c m . 21 6 -c m ' .tir 105 12 35 4 - -= =

59

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

2 1 5 1

işleminin sonucu hangisidir?

A) 5 2 _B) 2 1 _C) 5 8 _D) 2 5

Rasyonel Sayılarda Bölme İşleminde 0, 1, –1

1) Bölme işleminde “0”ın etkisini örneklerle inceleyelim. : 0 5 3 : 107 0 -: 107 0

2) Bölme işleminde (+1)’in etkisini örneklerle inceleyelim. : 136 1 : 1 13 6 0 0 a) a) b) b) c) ç) = = = = = = . 2 1 5 1 2 5 4 5 4 2 1 5 2 2 1 -= = = . 1 0 3 5 3 0 0 = =

“0”ın “0” hariç başka bir rasyonel sayıya bölümü “0” dır.

Belirsizdir. 0’ın 0’a bölümü belirsizdir. tanımsız. tanımsız. . 10 7 0 1 0 7 - =- = . 10 7 0 1 0 7 = = . 13 6 1 1 13 6 =

Bir rasyonel sayının (+1)’e bölümü sayının kendisidir.

(+1)’in bir rasyonel sayıya bölümü, o sayının çarpma işlemine göre tersidir. . 1 1 6 13 6 13 = Cevap: A

“O” hariç herhangi bir rasyonel sayının “0”a bölümü ta-nımsızdır.

60

3) Bölme işleminde (–1)’in etkisini örneklerle inceleyelim.

Rasyonel sayılarda bölme işleminin birleşme ve değişme özelliği yoktur.

Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.

PEKİSTİRELİM

4 3 5 - ₌ 1 3 1 9 8 = : 1 29 25 - _c- _m= : : 101 85 _{1 1} - ^- h ^- h= ; E . 2 1 4 3 7 5 - _{c m}- = : 1 2 1 3 7 5 2 - - - = c m = c mG : ( ) 7 3 ₁ - -: 1 7 3 - c m -: : 27 5 2 1 2 1 27 5 ?

- = c- m eşit olup olmadığını bulalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

a) b) a b c ç d e = =

Bir rasyonel sayının –1’e bölümü sayının ters işaretlisine eşittir. . 7 3 1 1 7 3 - - = + c m c m . 1 1 3 7 3 7 - - = + c m c m

(–1)’in bir rasyonel sayıya bölümü, çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisidir.

. 5 3 4 3 20 - = -. 3 49 8 9 8 4 3 3 2 3 2 = = 1 1 . 1 25 29 25 29 - _c- _m= : 101 85 ₁ 101 85 - -+ = c m ^ h 1 . 2 4 7 7 5 ₂ 4 5 ₂ 4 5 4 13 - - = - - = + = 1

f

p

c m : 2 1 3 7 5 2 3 (5) ( ) +

>

H

2 : 1 15 35 6 = _; + _E . : 2 1 15 41 2 1 41 15 82 15 = = = : . 27 5 2 1 27 5 1 2 27 10 - =- =-: . 2 1 27 5 2 1 5 27 10 27 - = - =-c m c m 'dur. 27 10 10 27 - =

-61 : 13 5 0 - = : 0 25 19 = : 5 3 2 7 4 3 2 1 (2) - -

_f

+

_p

= . : 15 16 2 6 1 5 1 - _{c m}- =

a ve b birer tam sayı ve b !0 _{olmak üzere,}

b

a rasyonel sayısının karesi ve küpü aşağıdaki gibidir. b

a 2

=

b l _{b lb}a 3=

RASYONEL SAYILARIN KARE VE KÜPLERİ

Aşağıdaki işlemleri yapalım.

ÖRNEK

2 1 2 = c m 2 1 2 - = c m 2 5 3 2 = c m 2 5 3 2 - = c m 4 3 3 = c m 4 3 3 - = c m 1 2 1 3 = c m 1 2 1 3 - = c m a) b) c) ç) d) e) f) g)

Pozitif rasyonel sayıların karesi’de küpü de pozitiftir. Negatif rasyonel sayıların karesi pozitif küpü negatiftir.

f ğ g h . 13 0 5 0 65 - =- = tanımsız (Sayfa:58) . 0 1925 0= . 3 17 7 1 4 3 2 -c- + m 21 17 4 1 -= _{c m} -21 17 4 1 (4) (21) = + 84 68 21 84 89 = + = . . 15 16 6 13 ₅ 8 - -3 3 ^ h . . 33 8 13 1 9 104 = + = b a 4 1 " . 2 1 2 1 4 1 = . 2 1 2 1 4 1 - - =+ c m c m . . . 5 13 5 13 5 5 13 13 25 169 2 2 2 = = c m . 5 13 5 13 5 13 25 169 2 - = - - = + c m c m c m . . . . 4 3 4 4 4 3 3 3 64 27 3 3 = = . . 4 3 4 3 4 3 64 27 - - - = -c m c m c m . . 2 3 2 3 2 3 2 3 8 27 3 = = c m . . 2 3 2 3 2 3 2 3 8 27 3 - = - - - =-c m c m c m c m . ' . b a b a dir . . ' . b a b a b a dir . . ' . veya b a b b a a dir 2 2 = . . . . ' . veya b a b b b a a a dir 3 3 =

62

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

. . 6 4 6 4 6

4 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 43 _B) 6 4 3 C) ₃ 2 3 c m D) 3 2 3

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

(0,5)4 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 625 1 _B) 16 1 _{C) 16 D) 625}

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

10 3 3 -c m ün değeri kaçtır? A) 100 27 _B) 1000 3 C) 1000 9 - D) 1000 27 -. . 6 4 6 4 6 4 6 4 3 2 3 2 3 3 =

_f

_p

=c m 1 ,05 10 5 2 1 2 = = 2 1 2 1 16 1 4 4 4 = = c m Cevap: C Cevap: B Cevap: D . . 10 3 10 3 10 3 10 3 1000 27 3 - = - - - =-c m c m c m c m

63 Aşağıdaki işlemleri yapınız.

PEKİSTİRELİM

5 1 2 = c m 11 7 2 - = c m 3 3 1 2 - = c m _{=c m2}1 2 3_G = 4 1 3 = c m 3 2 3 - = c m 1 4 2 3 - = c m 5 3 ₂ 10 1 2 -+ = c m c m : 1 7 2 2 1 3 2 3 - + - = ^ h c m c m . 8 5 1 2 3 - - = ^ h c m a b e c ç g d f ğ h . 5 1 5 1 25 1 = c m c m . 11 7 11 7 121 49 - - = + c m c m . 3 10 3 10 3 10 9 100 2 - = - - = + c m c m c m . . 4 1 4 1 4 1 64 1 = c m c m c m . . 3 2 3 2 3 2 27 8 - - - = -c m c m c m . . 4 6 2 3 2 3 2 3 3 - = - - -2 3

f

p

c m c m c m 8 27 -= . . 5 3 10 21 5 5 3 3 10 21 2 2 - -+_{c m}= 25 9 10 21 (2) (5) -= 50 18 105 50 87 -= = 2 1 4 1 4 1 64 1 2 2 3 3 3 3 = = = > H ; E : 1 49 4 8 1 - + -^ h c m 1. 4 49 8 1 4 49 8 1 8 98 1 8 99 (2) - - - -= = = = . 64 125 1 125 64 - = -c m –

64

ADIMLI İŞLEMLER VE PROBLEMLER

Birden fazla işlemin olduğu ifadeler işlem önceliği kullanılarak yapılır. İşlem önceliğinde sıra;

1) 2) 3) 4) . 1 2 1 ₃ 7 4 - -_{=c m}+ _G işlemini yapalım. işlemini yapalım.

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

1 5 4 3 3 1

-Kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemini yapabilmek için önce pay ve paydada işlemler varsa yapılır sonra pay kısmındaki sayı payda kısmındaki sayıya bölünür.

Üslü ifadeler (varsa)

Parantez içi ( ( ) veya [ ] ayraçlarının olduğu)

Çarpma ve bölme işlemi (ikisi aynı işlemde varsa solda olan ilk yapılır.) Toplama ve çıkarma işlemi

. 1 2 1 1 3 7 4 (2) - -

_>

_{c m}+

_H

. 1 2 1 2 6 7 4 -= _; + _E . 1 2 5 7 4 -= _{; E} 1 14 20 14 14 20 14 6 7 3 7 3 = - = - =- =-. 1 5 4 1 3 3 1 1 5 4 3 9 1 1 5 4 3 8 1 3 8 4 5 ₁ 3 10 (3) 2 1 -- - -= = = _{f p}= 3 3 10 3 7 -= =

65 Alt alta kesirlerin olduğu işlemler:

1 2 1 5 + işlemini yapalım. 1 1 3 1 1 1 + + işlemini yapalım. 2 2 2 1 1 2 2 5 3 3 + + + + işlemini yapalım. . . 1 3 1 ₁ 4 1 ₁ 5 1 ₁ 72 1 g - - - -c m c m c m c m işlemini yapalım.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

CÖZÜM

CÖZÜM

CÖZÜM

CÖZÜM

. 1 2 1 5 2 3 5 ₅ 3 2 3 10 + = = = . 1 1 3 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1 4 3 1 1 4 3 1 + + = + = + = + . 4 7 1 ₁ 7 4 7 4 = = = . . 2 2 2 1 1 2 2 5 3 3 2 2 5 1 2 5 13 3 2 1 5 2 2 3 13 5 2 5 2 2 13 15 + + + + = + + = + + = + + 5 12 13 41 = . 13 41 12 5 156 205 = =

Eşittirin yanındaki kesir (bölme) çizgisine kadar en alttan başlanarak yukarı doğru sıra ile yapılır. Pay kısımda da varsa aynı şekilde yapılır. Sonra pay paydaya bölünür.

. . 3 2 4 3 5 4 72 71 72 2 36 1 36 1 g = =

66

CÖZÜM

CÖZÜM

PROBLEM ÇÖZME

Pazar günü okumaya başladığınız 210 sayfalık kitabınızın her gün

7

2_{’sini okudunuz.}

Hangi gün kitap biter? Son gün bu kitabın kaç sayfasını okursunuz?

Problem 1

Problem 2

Problem çözme stratejilerine dikkat edilerek problemleri çözelim.

Ali amca dikdörtgen şeklindeki arazisine en büyük kare oluşturacak şekildeki bölümüne buğday, geri kalan kısma ise mısır ekiyor.

a) Buğday ektiği arazinin alanı kaç metrekaredir?

b) Mısır ektiği araziyi 3 sıra telle çevirirse kaç metre tel gerekir?

hm 2 7 3 hm 3 2 1 . 210 7 2 30 1 Pazar → 60 Pazartesi → 60 Salı → 60 Çarşamba → 210 – 180 = 30 sayfa 180 = 60 sayfa veya

Pazar, Pazartesi, Salı, Çarşamba 60 60 60 30 Gün:

Sayfa:

(4. gün son 30 sayfa okunur.) 210 18 30 60 3 hm 3 2 1 hm 14 15 2 hm 7 3 hm 2 7 3 B₁ A₁ 3 2 1 ₂ 7 3 ₃ 14 7 ₂ 14 6 ( )7 ( )2 - = - 1 hm hm 14 1 14 15 = = . hm hm m 2 7 3 7 17 7 17 100 7 1700 = = = ) ( ) a Alan A m 7 1700 49 2890000 1 2 ₂ = c m = ) . b hm m m 14 15 14 15 100 14 1500 7 750 7 750 = = = Çevre B( ) . 7 1700 7 750 ₂ 1 =c + m . 7 2450 2 = m ise 7 4900 ₇₀₀ 1 700

= = 3 sıra tel için

3.700 = 2100 m tel gerekir.