SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS

2013/9/9

T O P I C : G A U S S - S E I D E L M E T H O D

GAUSS-SEIDEL METHOD

Adalah metode ITERASI

Prosedur dasar:

- Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk x_i - Membuat nilai asumsi solusi

- Selesaikan untuk tiap x_i dan ulangi

- Gunakan perkiraan kesalahan relatif tiap akhir iterasi untuk mengecek apakah error sudah mencapai angka toleransi.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Kenapa?

Untuk mengatasi round-off error (kesalahan pembulatan).

Metode eliminasi seperti Gaussian Elimination and LU Decomposition(*) rawan terhadap kesalahan pembulatan.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Algorithm

Sistem persamaan linier

1 1 3 13 2 12 1 11

x

a

x

a

x

...

a

x

b

a









_{n n}



2 3 23 2 22 1 21

x

a

x

a

x

...

a

x

b

a









_{2n n}



n n nn n n n

x

a

x

a

x

a

x

b

a

_{1 1}



_{2 2}



_{3 3}



...





. . . .

. . Kita mengubah sistem

persamaan [A]{X}={B} untuk menyelesaikan x1

dengan persamaan

pertama, menyelesaikan x2 dengan persamaan kedua, dan seterusnya.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Algorithm

General Form of each equation

11 1 1 1 1 1

a

x

a

c

x

n j j j j



 





22 2 1 2 2 2

a

x

a

c

x

j n j j j



 





1 , 1 1 1 , 1 1 1        







n n n n j j j j n n n

a

x

a

c

x

nn n n j j j nj n n

a

x

a

c

x



 





1

MENJADI:

33 2 32 1 31 3 3 22 3 23 1 21 2 2 11 3 13 2 12 1 1

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x



















Now we can start the solution process by

choosing guesses for the x’s. A simple way to

obtain initial guesses is to assume that they are

zero. These zeros can be substituted into

x

₁

equation to calculate a new x

₁

=b

₁

/a

₁₁

.

Untuk sistem

BATAS AKHIR ITERASI

New x₁ is substituted to calculate x₂ and x₃. The procedure is repeated until the convergence criterion is satisfied:

kan diperkenan baru i lama i baru i i a

x

x

x

_









100







t a





approximation error, sering digunakan, seringkali disebut sebagai galat absolut.

True error, kurang berarti.  digunakan Relative error, dalam prosentase

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1































































2

.

279

2

.

177

8

.

106

x

x

x

1

12

144

1

8

64

1

5

25

3 2 1

Diketahui sistem persamaan

Initial Guess: asumsi nilai awal,











































5

2

1

3 2 1

x

x

x

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1

                               2 . 279 2 . 177 8 . 106 x x x 1 12 144 1 8 64 1 5 25 3 2 1

Tulis ulang untuk aplikasi

Gauss-Seidel

25

5

8

.

106

_{2 3} 1

x

x

x







8

64

2

.

177

_{1 3} 2

x

x

x







1

12

144

2

.

279

_{1 2} 3

x

x

x







GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1

Masukkan nilai perkiraan awal untuk selesaikan x

_i











































5

2

1

3 2 1

x

x

x

6720

.

3

25

)

5

(

)

2

(

5

8

.

106

1









x



  

8510

.

7

8

5

6720

.

3

64

2

.

177

2











x









36

.

155

1

8510

.

7

12

6720

.

3

144

2

.

279

3













x

Initial Guess

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1

                       36 . 155 8510 . 7 6720 . 3 3 2 1 a a a

100

x

x

x

new i old i new i i a









% 76 . 72 100 x 6720 . 3 0000 . 1 6720 . 3 1    _a % 47 . 125 100 x 8510 . 7 0000 . 2 8510 . 7 2      _a % 22 . 103 100 x 36 . 155 0000 . 5 36 . 155 3      _a

Finding the absolute relative approximate error

At the end of the first iteration

The maximum absolute

relative approximate error is 125.47%

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1















































36

.

155

8510

.

7

6720

.

3

3 2 1

a

a

a

Iteration #2

Using





056

.

12

25

36

.

155

8510

.

7

5

8

.

106

1











a





882 . 54 8 36 . 155 056 . 12 64 2 . 177 2      a









34 . 798 1 882 . 54 12 056 . 12 144 2 . 279 3       a from iteration #1

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1

Hitung “the absolute relative approximate error”

% 542 . 69 100 x 056 . 12 6720 . 3 056 . 12 1    _a





% 695 . 85 100 x 882 . 54 8510 . 7 882 . 54 2       _a





% 54 . 80 100 x 34 . 798 36 . 155 34 . 798 3       _a

Akhir iterasi kedua















































34

.

798

882

.

54

056

.

12

3 2 1

a

a

a

Galat absolut terbesar 85.695%

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1

Tersukan iterasi, kita dapatkan nilai berikut.

Iteration a 1 a2 a3 1 2 3 4 5 6 3.672 12.056 47.182 193.33 800.53 3322.6 72.767 67.542 74.448 75.595 75.850 75.907 -7.8510 -54.882 -255.51 -1093.4 -4577.2 -19049 125.47 85.695 78.521 76.632 76.112 75.971 -155.36 -798.34 -3448.9 -14440 -60072 -249580 103.22 80.540 76.852 76.116 75.962 75.931

%

1 a



% 2 a 

_%

3 a



GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL

Salahnya dimana?

Contoh tadi mengilustrasikan kemungkinan kesalahan pada Gauss-Siedel method: tidak semua sistem persamaan akan konvergen.

Is there a fix?

One class of system of equations always converges: One with a

diagonally dominant coefficient matrix.

Diagonally dominant: [A] in [A] [X] = [C] is diagonally dominant if:



 



n j j ij

a

a

i 1 ii



 



n i j j ij ii

a

a

1

Untuk semua ‘i’ ; DAN Untuk minimal sebuah ‘i’

GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL

             1 16 123 1 43 45 34 81 . 5 2 A 129 33 96 5 53 23 56 34 124 ] [            B

Diagonally dominant: Koefisien pada diagonal harus sama atau lebih besar dari jumlah semua koefisien pada baris itu, dan minimal satu baris harus memiliki diagonal yang lebih besar dari jumlah koefisien pada

baris itu.

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

Sistem persamaan linier

1 5x -3x 12x₁  _{2 3} 

28

3x

5x

x

₁



₂



₃



76

13x

7x

3x

₁



₂



₃













































1

0

1

3 2 1

x

x

x

Dengan asumsi nilai awal

Matriks Koefisien nya adalah

 

























13

7

3

3

5

1

5

3

12

A

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

 

            13 7 3 3 5 1 5 3 12 A

Cek apakah matriks nya diagonally dominant

4

3

1

5

5

_{21 23} 22







a



a







a

10

7

3

13

13

_{31 32} 33







a



a







a

8

5

3

12

12

_{12 13} 11







a



a









a

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

                                76 28 1 13 7 3 3 5 1 5 3 12 3 2 1 a a a                      1 0 1 3 2 1 x x x

Tulis ulang

12

5

3

1

_{2 3} 1

x

x

x







5

3

28

_{1 3} 2

x

x

x







13

7

3

76

_{1 2} 3

x

x

x







Asumsi nilai awal

   

50000 . 0 12 1 5 0 3 1 1     x

   

9000 . 4 5 1 3 5 . 0 28 2     x



 



0923 . 3 13 9000 . 4 7 50000 . 0 3 76 3     x

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

The absolute relative approximate error

%

662

.

67

100

50000

.

0

0000

.

1

50000

.

0

1 a











%

00

.

100

100

9000

.

4

0

9000

.

4

2 a











%

662

.

67

100

0923

.

3

0000

.

1

0923

.

3

3 a











GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

                     8118 . 3 7153 . 3 14679 . 0 3 2 1 x x x                      0923 . 3 9000 . 4 5000 . 0 3 2 1 x x x

Setelah iterasi #1



 



14679 . 0 12 0923 . 3 5 9000 . 4 3 1 1     x



 



7153 . 3 5 0923 . 3 3 14679 . 0 28 2     x



 



8118 . 3 13 7153 . 3 7 14679 . 0 3 76 3     x

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

Galat absolut dari Iterasi #2

% 62 . 240 100 14679 . 0 50000 . 0 14679 . 0 1     _a

%

887

.

31

100

7153

.

3

9000

.

4

7153

.

3

2











_a

%

876

.

18

100

8118

.

3

0923

.

3

8118

.

3

3











_a

Galat absolut maksimum 240.62%

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2

Ulangi iterasi, didapatkan…

1 a  2 a



3 a



Iteration a₁ a₂ a₃ 1 2 3 4 5 6 0.50000 0.14679 0.74275 0.94675 0.99177 0.99919 67.662 240.62 80.23 21.547 4.5394 0.74260 4.900 3.7153 3.1644 3.0281 3.0034 3.0001 100.00 31.887 17.409 4.5012 0.82240 0.11000 3.0923 3.8118 3.9708 3.9971 4.0001 4.0001 67.662 18.876 4.0042 0.65798 0.07499 0.00000                      4 3 1 3 2 1 x x x                      0001 . 4 0001 . 3 99919 . 0 3 2 1 x x x

LATIHAN

                     1 0 1 3 2 1 x x x

Sistem persamaan linier

76

13x

7x

3x

₁



₂



₃



28

3x

5x

x

₁



₂



₃



1

5x

-3x

12x

₁



₂

₃



GAUSS-SEIDEL METHOD

              13 7 3 3 5 1 5 3 12 A

The Gauss-Seidel Method can still be used

The coefficient matrix is not

diagonally dominant

 

























5

3

12

3

5

1

13

7

3

A

But this is the same set of

equations used in example #2, which did converge.

If a system of linear equations is not diagonally dominant, check to see if rearranging the equations can form a diagonally dominant matrix.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Not every system of equations can be rearranged to have a diagonally dominant coefficient matrix.

Observe the set of equations

3

3 2 1



x



x



x

9

4

3

2

x

₁



x

₂



x

₃



9

7

_{2 3} 1



x



x



x

Which equation(s) prevents this set of equation from having a diagonally dominant coefficient matrix?

GAUSS-SEIDEL METHOD

Summary

-Advantages of the Gauss-Seidel Method

-Algorithm for the Gauss-Seidel Method

-Pitfalls of the Gauss-Seidel Method

GAUSS-SEIDEL METHOD

METODE PENYELESAIAN

•

Metode grafik

•

Eliminasi Gauss

•

Metode Gauss – Jourdan

•

Metode Gauss – Seidel

•

LU decomposition

LU DECOMPOSITION

A=LU

Ax=b



LUx=b

Define Ux=y

Ly=b

Solve y by forward substitution

Ux=y

Solve x by backward substitution

LU DECOMPOSITION BY GAUSSIAN

ELIMINATION

                                               ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 ) 3 ( 3 ) 3 ( 33 ) 2 ( 2 ) 2 ( 23 ) 2 ( 22 ) 1 ( 1 ) 1 ( 13 ) 1 ( 12 ) 1 ( 11 4 , 3 , 2 , 1 , 3 , 1 2 , 1 1 , 1 2 , 3 1 , 3 1 , 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n nn n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a m m m m m m m m m m A                   

Compact storage:

The diagonal entries of L matrix are all 1’s,

they don’t need to be stored. LU is stored in a single matrix.

There are infinitely many different ways to decompose A.

Most popular one: U=Gaussian eliminated matrix

NEXT: SOLUSI PERSAMAAN NON

LINIER

•

Persamaan matematis yang sulit diselesaikan

dengan “tangan”  analitis, sehingga diperlukan

penyelesaian pendekatan  numerik

•

Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah

matematika dengan pengoperasian hitungan,

umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi

aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan

•

Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian

perintah untuk menyelesaikan masalah), sehingga

diperlukan bantuan komputer untuk

SUMBER GALAT / ERROR

•

Kesalahan pemodelan

contoh: penggunaan hukum Newton

asumsi benda adalah partikel

•

Kesalahan bawaan

contoh: kekeliruan dlm menyalin data

salah membaca skala

•

Ketidaktepatan data

•

Kesalahan pemotongan / penyederhanaan

persamaan(truncation error)

SOLUSI PERSAMAAN NON

LINEAR

1)Metode Akolade (bracketing method)

/ Closed method

• Metode Bagi dua (Bisection Method)

• Metode Regula Falsi (False Position

Method)

• Metode Grafik

Keuntungan: selalu konvergen

SOLUSI PERSAMAAN NON

LINEAR

2) Metode Terbuka

Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)

• Metode Newton-Raphson

• Metode Secant

Keuntungan: cepat konvergen