Definisi Dan Sifat Eksponen

JULI 30, 2012

PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN

1. A. zPENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN

Dalam pelajaran kelas X, telah dipelajari perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk mempelajari bab ini kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut :

1. 7. 2. 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6.

Di kelas XI ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen.

Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.

C. PERSAMAAN EKSPONEN Definisi :

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat

1.

am _{x a}n _{= a}m+n

2.

(am₎n _{= (a)}mn

3.

am_/an _{= a}m-n

4.

(a x b )n _{= a}n _{x b}n

5.

(a/b)n = an/bn

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka : a. am/n _{. a}p/q _{= a}m/n+ p/q b. (am/n₎p/q _{= a}mp/nq c. am/n _{: a}p/q _{= a}m/n – p/q d. (ab)m/n _{= a}m/n _{. b}m/n e. (a/b)m/n _{= a}m/n_/bm/n 3. Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 ! Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x : 8 = 2x _{atau 2}x _{= 8 atau 2}x _{= 2}3

Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen. Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. af(x) _{= 1} b. af(x) _{= a}p c. af(x) = ag(x) d. af(x) _{= b}f(x) e. af(x) _{= b}g(x) f. [f(x)]f(x) = [f(x)]g(x)

a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a0_).

Pengertian pangkat nol

Untuk setiap a є bilangan real, maka : a0 _{= 1}

Keterangan : untuk 00 tidak didefinisikan.

4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen

1.

Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x)_{= 1}

Jika af(x)_{= dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0}

1.

Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = ap

Jika af(x) _{= a}p _{dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p}

1.

Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x)_{= a}g(x) Jika af(x) _{= a}g(x)_{dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)}

d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x) _{= b}f(x)_(a≠b) Jika af(x)_{= b}f(x) _{dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0} e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x) _{= b}g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) _{= b}g(x) _{dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :} af(x) = log bg(x) atau f(x) log a = g(x) log b

f. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x) _{= [U(x)]}g(x) Jika [U(x)]f(x) _{= [U(x)}g(x)_{] maka nlai x diperoleh dari :}

1. f(x) = g(x)

2. U(x) = 1

3. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0

4. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap. BENTUK-BENTUK

A. af(x) = ap ® f(x) = p

Caranya ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan Contoh:

3x – 4 = 1 3x – 4 = 30 Maka x – 4 = 0 X = 4

B. af(x) = ag(x) ® f(x) = g(x)Caranya ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan. contoh :

2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

Ö(82x-3) = (32x+1)1/4(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/42(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4(6x-9)/2 = (5x-5)/424x-36 = 10x+1014x = 46x = 46/14 = 23/7 3x²-3x+2 + 3x²-3x = 103².3x²-3x+3x²-3x = 109. 3x²-3x + 3x²-3x = 1010. 3x²-3x = 103x² – 3x = 30x² – 3x = 0x(x-3) = 0×1 = 0 ; x2 = 3 3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

22x + 2 – 2 x+2 + 1 = 022.22x – 22.2x + 1 = 0Misalkan : 2x = p 22x = (2x)² = p²4p² -4p + 1 = 0(2p-1)² = 02p – 1 = 0p =1/22x = 2-1x = -1 3x + 33-x – 28 = 103x + 33/3x – 28 = 10misal : 3x = pp + 27/p – 28 = 0p² – 28p + 27 = 0(p-1)(p-27) = 0p1 = 1 ® 3x = 30 x1 = 0p2 = 27 ® 3x = 33×2 = 3

C. af(x) = bf(x) ® f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0. Contoh:

3x²-x-2 = 7x²-x-2x² – x -2 = 0(x-2)(x+1) = 0×1 = 2 ; x2 = -1 D. af(x) = bg(x) ® f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma. Contoh:

4x-1 = 3x+1(x-1)log4 = (x+1)log3xlog4 – log4 = x log 3 + log 3x log 4 – x log 3 = log 3 + log 4x (log4 – log3) = log 12x log 4/3 = log 12x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12

E. f(x) g(x) = f(x) h(x) ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan. Pangkat sama g(x) = h(x)

Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1

Bilangan pokok f(x) = -1Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilaipangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.ket :g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1 Bilangan pokok f(x) = 0Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.ket : g(x) dan h(x) positif ® 0g(x) = 0h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3 Pangkat sama 3x – 2 = 2x + 3 ® x1 = 5

Bilangan pokok = 1x² + 5x + 5 = 1x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4

Bilangan pokok = -1x² – 5x + 5 = -1x² – 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x4 = 2 ; x5 = 3g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x4 = 2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x5 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

Bilangan pokok = 0x² – 5x + 5 = 0 ® x5,6 = (5 ± Ö5)/2kedua-duanya memenuhi syarat, karena :g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :HP : { x x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}

F. A{af(x)}2 = B{af(x)}2 + C = 0

Dengan ketentuan a>0 dan a ≠ 0, A, B dan C bilangan Real dan A ≠ 0

Caranya: 1. mengubah persamaan exponen ke dalam persamaan kuadrat dengan pemisalan a f(x) = y sehingga persamaan kuadrat yang didapatkan sebagai berikut: Ay2 + By + C = 0

Contoh:

(2x)2 – 12 (2x) + 32 = 0

Misalkan 2x = y, maka persamaan menjadi: y2 – 12y + 32 =0 (y – 4) (y – 8) =0 Untuk y = 4 didapatkan: 2x = 4 2x = 22 X = 2 Untuk y = 8 2x = 8 2x = 23 X = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya = {2,3}

About these ads

Share this:

Sumber :

http://benykhan.wordpress.com/2012/07/30/pengertian-fungsi-eksponen/

Fungsi eksponensial

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

Fungsi eksponensial adalah salah satu

fungsi

yang paling penting dalam

matematika

. Biasanya, fungsi ini

ditulis dengan notasi exp(

x

) atau

e

x

_{, dimana}

_e

_adalah

_{basis logaritma natural}

_{yang kira-kira sama dengan}

2.71828183.

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel

bilangan real

x

, grafik

e

x

_{selalu positif (berada di atas sumbu}

_x

_{) dan nilainya bertambah}

(dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu

x

, namun mendekati sumbu tersebut

Secara umum,

variabel

x

dapat berupa bilangan real atau

bilangan kompleks

, ataupun objek matematika yang

lain; lihat

definisi formal dibawah ini

.

Daftar isi

[sembunyikan]

•

1 Sifat-sifat

•

2 Turunan dan persamaan diferensial

•

3 Definisi formal

•

4 Nilai numerik

Sifat-sifat

[

sunting

]

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi

yang terdefinisikan untuk

a

> 0, dan semua bilangan real

x

, disebut juga fungsi eksponensial dengan

basis a.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk

a

=

e

, karena

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan

pengkalian. Ini dapat dilihat dari

rumus-rumus eksponen

sebagai berikut:

Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real

positif

a

dan

b

dan semua bilangan real

x

dan

y

. Ekspresi yang

mengandung

pecahan

dan

pengakaran

pada umumnya dapat

disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

dan, untuk semua

a

> 0, bilangan real

b

, dan bilangan bulat

n

> 1:

Turunan dan persamaan diferensial

[

sunting

]

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu

lainnya adalah karena sifat

turunannya

.

Dengan kata lain, fungsi

e

x

_{jika diturunkan, hasilnya adalah}

fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan"

ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai

sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan

sebagai berikut:

•

Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua

titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.

•

Bertambahnya nilai fungsi pada

x

sama dengan nilai

fungsi pada

x

•

Fungsi ini merupakan solusi dari

persamaan

diferensial

.

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial

yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara

lain

persamaan Schrödinger

,

persamaan Laplace

, dan

persamaan untuk

gerakan harmonis sederhana

.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang

bukan

e

):

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian

turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal

[

sunting

]

Fungsi eksponensial e

x

_{dapat didefinisikan menurut}

beberapa definisi yang ekivalen, sebagai

deret tak

terhingga

. Beberapa definisi tersebut antara lain:

atau sebagai

limit

berikut ini:

Dalam definisi di atas,

adalah

faktorial

dari

n

, dan

x

dapat

berupa

bilangan real

,

bilangan kompleks

,

ataupun konsep-konsep matematika lainnya

yang kompleks, seperti

matriks bujursangkar

.

Nilai numerik

[

sunting

]

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi

eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat

ditulis menjadi:

Jika x lebih kecil dari 1, maka

ekspresi di atas akan menemukan

nilai numerik fungsi pada titik yang

dicari dengan cepat.

Kategori

:

•

Halaman ini terakhir diubah pada 03.08, 6 April 2013.

EKSPONEN

1. TINJAUAN ULANG SIFAT-SIFAT EKSPONEN

Kita masih ingat bahwa eksponen rasional am/n _{( a є R dan a > 0, mbilangan bulat, dan n bilangan asli lebih dari 1 ) didefinisikan sebagai berikut :}

am/n _{= (} n_{√ a )}m ₌ n_√am

Sifat- sifat eksponen bilangan real :

Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan : 1. ax _{x a}y _{= a}x+y 2. ( a x b )x _{= a}x _{x b}x 3. ax _{: a}y _{= a}x-y 4. ( a : b )x _{= a}x _{: b}x 5. ( ax ₎y _{= a}x × y 6. (i) a-x _{= 1/ a}x (ii) ax _{= 1/ a}-x 2. FUNGSI EKSPONEN Definisi :

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f : x ax _{atau y = f(x) = a}x_{, a > 0 dan a ≠ 1}

disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.

C. PERSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat 1. am _{x a}n _{= a}m+n

2. (am₎n _{= (a)}mn

3. am_/an _{= a}m-n

4. (a x b )n _{= a}n _{x b}n

5. (a/b)n _{= a}n_/bn

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka : a. am/n _{. a}p/q _{= a}m/n+ p/q b. (am/n₎p/q _{= a}mp/nq c. am/n _{: a}p/q _{= a}m/n – p/q d. (ab)m/n _{= a}m/n _{. b}m/n e. (a/b)m/n _{= a}m/n_/bm/n 3. Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 ! Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x : 8 = 2x _{atau 2}x _{= 8 atau 2}x _{= 2}3

Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen. Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. af(x) _{= 1} b. af(x) _{= a}p c. af(x) _{= a}g(x) d. af(x) _{= b}f(x) e. af(x) _{= b}g(x) f. [f(x)]f(x) _{= [f(x)]}g(x)

a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.

f(x) dan g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a0_).

Pengertian pangkat nol

Untuk setiap a є bilangan real, maka : a0 _{= 1}

Keterangan : untuk 00 _{tidak didefinisikan.}

4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen 1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x)_{= 1}

Jika af(x)_{= dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0}

2. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) _{= a}p

3. Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x)_{= a}g(x)

Jika af(x) _{= a}g(x)_{dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)}

d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x) _{= b}f(x)_(a≠b)

Jika af(x)_{= b}f(x) _{dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0}

e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x) _{= b}g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) _{= b}g(x) _{dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :}

af(x) _{= log b}g(x) _{atau f(x) log a = g(x) log b}

f. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x) _{= [U(x)]}g(x)

Jika [U(x)]f(x) _{= [U(x)}g(x)_{] maka nlai x diperoleh dari :}

1. f(x) = g(x)

2. U(x) = 1

3. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0

4. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.

g. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{af(x)_}2 _{+ B{a}f(x)_{} + C = 0}

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)_}2 _{+ B{a}f(x)_{} + C = 0 (a>0 dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan}

cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)

•

Jika af(x)_≥ag(x)_{, maka f(x)≥g(x)}

•

Jika af(x)_≤ag(x)_{, maka f(x)≤g(x)}

Sifat Fungsi Monoton Turun (0<1)

•

Jika af(x)_≥ag(x)_{, maka f(x)≤g(x)}

•

Jika af(x)_≤ag(x)_{, maka f(x)≥g(x)}

Bentuk Pertidaksamaan Eksponen

Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.

af(x)_{… a}g(x)

Keterangan :

•

a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1

•

tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Sederhanakanlah :

1. 25

1/3√6

_{x 25}

1/6√6

Pembahasan :

25

1/3√6

_{x 25}

1/6√6

_{= 25}

1/3√6 + 1/6√6

= 25

½ √6

= (25

½

₎

√6

= 5

√6

2. (30

3

_{: 10}

3

_{) x 3}

2

Pembahasan :

(30

3

_{: 10}

3

_{) x 3}

2

_{= 3}

3

_{x 3}

2

= 3

5

3. (

p

6

_x

_p

-2

₎

-0,5

Pembahasan :

(

p

6

_x

_p

-2

₎

-0,5

_{= (}

_p

6 – 2

₎

-1/2

=

p

-2

Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.

4. 3

x - 4

_{= 1}

Pembahasan :

3

x - 4

_{= 1}

↔

3

x - 4

_{= 3}

0 ↔

x – 4 = 0

↔

x

= 4

Hp = {4}

5. 2

3x – 1

_{= √}

8 x + 1

Pembahasan :

2

3x – 1

_{= √8}

x + 1 ↔

2

3x – 1

_{= 2}

3x + 3

↔

3x – 1 = 3x + 3

↔

.6x – 2 = 3x + 3

↔

3x = 5

↔

x = 5/3

Hp = {5/3}

6. 2

3x – 6

_{= 3}

3x – 6

Pembahasan :

2

3x – 6

_{= 3}

3x – 6 ↔

3x – 6 = 0

↔

x = 2

Hp = {2}

7. 2

x -2x -15

₌₁

Pembahasan :

2x

2

_{-2x -15 = 1}

x

2

_{-2x – 15 = 0}

(x -5)(x +3) = 0

x

1

= 5 atau x

2

= -3

Hp = {5,-3}

8. 3

x – 6x + 8

_{= 5}

x -6x +8

Pembahasan :

3

x -6x + 8

_{= 5}

x2 – 6x + 8 ↔

x

2

_{– 6x + 8 = 0}

↔

(x - 2)(x - 4) = 0

↔

x = 2 atau x = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

9. 2

2x

_{-12 . 2}

x

_{+ 32 = 0}

Pembahasan :

2

2x

_{– 12 . 2}

x

_{+ 32 = 0}

(2

x

₎

2

_{– 12 . (2}

x

_{) + 32 = 0}

Misalkan 2

x

_{= y, maka persamaan (2}

x

₎

2

_{– 12 . (2}

x

_{) + 32 = 0 dapat dituliskan menjadi}

y

2

_{– 12y + 32 = 0}

↔

(y – 4)(y – 8) = 0

↔

y = 4 atau y = 8

•

untuk y = 4, didapat

2

x

_{= 4}

↔

2

x

_{= 2}

2 ↔

x = 2

•

untuk y = 8, didapat

2

x

_{= 8}

↔

2

x

_{= 2}

3 ↔

x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}

TURUN 3-5 KG dalam

SEMINGGU..!

Miss.V LONGGAR &

BECEK?

FOREDI UTK SEX

KUAT TAHAN

LAMA

REKOMENDASI

BOYKE!

FOREDI SoluSi

TaHaN LaMa SEX

Rekom

BOYKE.Rp.200rb/

10. 5

-2x + 2

_{+ 74 . 5}

–x

_{– 3 ≥ 0}

Pembahasan :

5

-2x + 2

_{+ 74 .5}

–x

_{- 3 ≥ 0}

↔

5

2

₍₅

–x

₎

2

_{+ 74 . 5}

–x

_{-3 ≥ 0}

↔

25{(1/5)

x

₎

2

_{+ 74 (1/5)}

x

_{– 3 ≥ 0}

Misalkan (1/5)

x

_{= y, sehingga pertidaksamaan 25{(1/5)}

x

_}

2

_{+ 74(1/5)}

x

_{- 3 ≥ 0 dapat dinyatakan sebagai 25y}

2

_{+ 74y – 3 ≥ 0.}

25y

2

_{+ 74y – 3 ≥ 0}

↔

25 y

2

_{+ 75y – y – 3 ≥ 0}

↔

25y(y + 3) – 1(y + 3) ≥ 0

↔

(y + 3)(25y – 1) ≥ 0

↔

y ≤ -3 atau y ≥ 1/25

•

untuk y ≤ -3 :

(1/5)

x

_{≤ -3, tidak ada nilai x yang memenuhi.}

•

Untuk y ≥ 1/25 :

↔

(1/5)

x

_{≥ 1/25}

↔

(1/5)

x

_{≥ (1/5)}

2 ↔

x ≤ 2

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 5

-2x + 2

_{+ 74 . 5}

–x

_{– 3 ≥ 0 adalah x ≤ 2.}

DAFTAR PUSTAKA

Shulthan Habibi, Ravi M. 2005. Pelajaran Matematika Program Studi Ilmu Alam. Sukamaju Depok : Arya Duta

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X11. Jakarta : Erlangga

Diposkan oleh Caray Label: Matematika

Sumber:

http://makalahdanskripsi.blogspot.com/2008/12/eksponen.html

Belajar Eksponen yuk, .. ???

Diposkan Oleh Fuda_9 On Minggu, 06 Juni 2010 Label: Materi

Jam menunjukkan pukul 19.18 WIB. Waktunya makan ….. ??? Hemm,,, pas lagi mau menikmati suapan pertama, terdengar suara merdu berkumandang. Assalamualaikum …???? Dengan lantang kujawab, Waalaikumsalam ….!!!! Ternyata ada teman lamaku. Dia bermaksud meminta bantuan kepadaku untuk membantunya menyelesaikan soal – soal matematika.

Kebetulan soal yang dia kasih adalah soal ujian masuk sekolah tinggi perhubungan tahun 2008. Pas baca soal nomor 1, langsung ketemu ama yang namanya eksponen. Hemm…. Biar enak ngerjakannya, yuk kita sharing konsep dasar Eksponen.

a.

Sifat – sifat Eksponen

Jika a dan b bilangan real positif, serta

x

dan

y

bilangan real, maka berlaku

hubungan :

1.

a

x

x a

y

= a

x+y

2.

( a x b )

x

= a

x

x b

x

3.

a

x

: a

y

= a

x-y

4.

( a : b )

x

= a

x

: b

x

5.

( a

x

)

y

= a

x × y

6.

(i) a

-x

= 1/ a

x

(ii) a

x

_{= 1/ a}

-x

b.

Fungsi Eksponen

Definisi :

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah

fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f

:

x

a

x

_{atau y =}

_f(x)

_{= a}

x

_{, a > 0 dan a ≠ 1}

disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.

c.

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung

peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung

peubah x.

1.

Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat

1.

a

m

x a

n

= a

m+n

2.

(a

m

)

n

= (a)

mn

3.

a

m

/a

n

= a

m-n

4.

(a x b )

n

= a

n

x b

n

5.

(a/b)

n

= a

n

/b

n

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :

a. a

m/n

_{. a}

p/q

_{= a}

m/n+ p/q

b. (a

m/n

₎

p/q

_{= a}

mp/nq

c. a

m/n

_{: a}

p/q

_{= a}

m/n – p/q

d. (ab)

m/n

_{= a}

m/n

_{. b}

m/n

e. (a/b)

m/n

_{= a}

m/n

_/b

m/n

3. Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2

x

_{. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !}

Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2

x

_:

8 = 2

x

_{atau 2}

x

_{= 8 atau 2}

x

_{= 2}

3

Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen.

Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. a

f(x)

_{= 1}

c. a

f(x)

_{= a}

g(x)

d. a

f(x)

_{= b}

f(x)

e. a

f(x)

_{= b}

g(x)

f. [

f(x)

]

f(x)

_{= [}

_f(

_x

₎

_]

g(x)

a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.

f(x)

dan

g(x)

adalah

sebuah fungsi aljabar.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat

persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita

tinjau kembali bilangan pangkat nol (a

0

_).

Pengertian pangkat nol

Untuk setiap a є bilangan real, maka :

a

0

_{= 1}

Keterangan : untuk 0

0

_{tidak didefinisikan.}

4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen

1.

Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a

f(x)

= 1

Jika a

f(x)

_{= dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka}

_f(x)

_{= 0}

2.

Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a

f(x)

= a

p

Jika a

f(x)

_{= a}

p

_{dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka}

_f(x)

₌

_p

3.

Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk a

f(x)

= a

g(x)

Jika a

f(x)

_{= a}

g(x)

_{dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa}

_f(x)

₌

_g(x)

4. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk a

f(x)

_{= b}

f(x)

_(a≠b)

Jika a

f(x)

_{= b}

f(x)

_{dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka}

_f(x)

₌

₀

5. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk a

f(x)

_{= b}

g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk a

f(x)

_{= b}

g(x)

_{dengan a,b>0 dan a,b≠1}

dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :

a

f(x)

_{= log b}

g(x)

_atau

_{f(x) log a}

₌

_{g(x) log b}

6. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [

U(x)

]

f(x)

_{= [}

_U(x)

_]

g(x)

Jika [

U(x)

]

f(x)

_{= [}

_U(x)

g(x)

_{] maka nlai}

_x

_{diperoleh dari :}

1.

f(x)

=

g(x)

2.

U(x)

= 1

3.

U(x)

= 0, jika nilai x memenuhi syarat

f(x)

≥ 0 dan

g(x)

> 0

4.

U(x)

= -1, jika nilai x memenuhi syarat

f(x)

dan

g(x)

kedua-duanya ganjil atau

kedua-duanya genap.

7. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{a

f(x)

_}

2

_{+ B{a}

f(x)

_{} + C = 0}

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{a

f(x)

_}

2

_{+ B{a}

f(x)

_{} + C = 0 (a>0}

dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara

mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

d.

Pertidaksamaan Eksponen

Definisi :

Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung

peubah

x

, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung

peubah

x

.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton

naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

•

Jika a

f(x)

≥a

g(x)

, maka

f(x)≥g(x)

•

Jika a

f(x)

≤a

g(x)

, maka

f(x)≤g(x)

Sifat Fungsi Monoton Turun (a<1)

•

Jika a

f(x)

≥a

g(x)

, maka

f(x)≤g(x)

•

Jika a

f(x)

≤a

g(x)

, maka

f(x)≥g(x)

Bentuk Pertidaksamaan Eksponen

Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari

pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita

pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.

a

f(x)

_{… a}

g(x)

Keterangan :

•

a

adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1

•

tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

e.

Gambar Grafik

f.

Soal dan Pembahasan

Sederhanakanlah :

1. 25

1/3√6

_{x 25}

1/6√6

Pembahasan :

25

1/3√6

_{x 25}

1/6√6

_{= 25}

1/3√6 + 1/6√6

= 25

½ √6

= (25

½

₎

√6

= 5

√6

2. (30

3

_{: 10}

3

_{) x 3}

2

Pembahasan :

(30

3

_{: 10}

3

_{) x 3}

2

_{= 3}

3

_{x 3}

2

= 3

5

3. (

p

6

_x

_p

-2

₎

-0,5

Pembahasan :

(

p

6

_x

_p

-2

₎

-0,5

_{= (}

_p

6 – 2

₎

-1/2

=

p

-2

Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.

4. 3

x - 4

_{= 1}

Pembahasan :

3

x - 4

_{= 1}

↔ 3

x - 4

_{= 3}

0

↔ x – 4 = 0

↔ x = 4

Hp = {4}

5. 2

3x – 1

_{= √}

8 x + 1

Pembahasan :

2

3x – 1

_{= √8}

x + 1

↔ 2

3x – 1

_{= 2}

3x + 3

↔ 3x – 1 = 3x + 3

↔ .6x – 2 = 3x + 3

↔ 3x = 5

↔ x = 5/3

Hp = {5/3}

6. 2

3x – 6

_{= 3}

3x – 6

Pembahasan :

2

3x – 6

_{= 3}

3x – 6

↔ 3x – 6 = 0

↔ x = 2

Hp = {2}

7. 2

x -2x -15

₌₁

Pembahasan :

2x

2

_{-2x -15 = 1}

x

2

_{-2x – 15 = 0}

(x -5)(x +3) = 0

x

1

= 5 atau x

2

= -3

Hp = {5,-3}

8. 3

x – 6x + 8

_{= 5}

x -6x +8

Pembahasan :

3

x -6x + 8

_{= 5}

x2 – 6x + 8

↔ x

2

_{– 6x + 8 = 0}

↔ (x - 2)(x - 4) = 0

↔ x = 2 atau x = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

9. 2

2x

_{-12 . 2}

x

_{+ 32 = 0}

Pembahasan :

2

2x

_{– 12 . 2}

x

_{+ 32 = 0}

(2

x

₎

2

_{– 12 . (2}

x

_{) + 32 = 0}

Misalkan 2

x

_{= y, maka persamaan (2}

x

₎

2

_{– 12 . (2}

x

_{) + 32 = 0 dapat dituliskan}

menjadi

y

2

_{– 12y + 32 = 0}

↔ (y – 4)(y – 8) = 0

↔ y = 4 atau y = 8

•

untuk y = 4, didapat

2

x

_{= 4}

↔ 2

x

_{= 2}

2

↔ x = 2

•

untuk y = 8, didapat

2

x

_{= 8}

↔ 2

x

_{= 2}

3

↔ x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}

Itulah tadi yang dapat saya sampaikan. Bagaimana pendapat anda ???

Mohon maaf apabila terjadi kesalahan dalam pemaparan materi ini. Terima kasih

saya sampaikan kepada teman saya yang minta bantuan tadi. Kalau ga ada dia,

saya tidak mungkin menulis artikel ini. Salam Matematika !!!!

7 Komentar:

Sumber:

http://gurusmansaba.blogspot.com/2010/06/belajar-eksponen-yuk.html

Sumbere file pdf sing 3 hal:

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Nur

%20Insani,%20M.Sc/7.3%20Fungsi%20Eksponen%20Asli.pdf

Sumber modul 7:

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021-KARSO/Modul_7_S1_PGSD.pdf

Sumber fungsi eksponen asli:

http://asimtot.files.wordpress.com/2012/02/fungsi-kompleks-fungsi-eksponensial.pdf

MONDAY, 29 APRIL 2013

MATERI EKSPONEN KELAS X

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

EKSPONEN

Standar Kompetensi 5 : Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

5.1. 1 Menggunakan sifat-sifat fungsi

eksponen dalam pemecahan masalah

5.2. 1 Menggambar grafik fungsi eksponen

5.3. 1 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dalam

penyelesaian pertidaksamaan eksponen

A.

FUNGSI EKSPONEN

1.

Pengertian Fungsi Eksponen

Suatu fungsi eksponen f : R



R dengan bilangan dasar (basis) a yang dinyatakan dalam bentuk

y = f(x) = a

x

disebut fungsi eksponen baku atau fungsi eksponen standar dengan ketentuan :

a.

x sebagai variabel / peubah bebas dan bertindak sebagai daerah asal fungsi

D

f

= { x

|

-

∼

<

x

<

∼

, x

∈

R }

c.

y sebagai variabel tak bebas dan bertndak sebagai daerah hasil fungsi

R

f

= { y

|

y

>

0 , y

∈

R }

2.

Grafik Fungsi Eksponen

a.

Dengan bilangan dasar a

>

1

Untuk mempelajari grafik fungsi eksponen y = f(x) = a

x

dengan bilangan dasar a

>

1, berikut dilukiskan grafik fungsi y =

2

x

, x

∈

R dengan menggunakan bantuan tabel 1 berikut ini.

Tabel 1 y = f(x) = 2

x

x

-

∼

...

-3

-2

-1

0

1

2

3

...

∼

y

0 ...

...

...

...

...

...

8

...

∼

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 X

Dari gambar dapat disimpulkan bahwa :

1. Fungsi y = f(x) = a

x

dengan bilangan dasar a

>

1, disebut fungsi monoton .naik, sebab

jika x

2

>

x

1

, maka

>

2. Fungsi f merupakan fungsi satu-satu, sebab jika f(x

1

) = f(x

2

), maka x

1

= x

2

3. Nilai dari fungsi f selalu positif untuk setiap x bilangan real

b.

Dengan bilangan dasar 0

<

x

<

1

Untuk mempelajari grafik fungsi eksponen y = f(x) = a

x

dengan bilangan dasar 0

<

x

<

1, berikut dilukiskan grafik fungsi y

=

, x

∈

R dengan menggunakan bantuan tabel 2 berikut ini.

Tabel 2 y = f(x) =

x

-

∼

...

-3

-2

-1

0

1

2

3

...

∼

y

0 ...

8

...

...

...

...

...

...

∼

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 X

Dari gambar dapat disimpulkan bahwa :

1. y = f(x) = a

x

dengan bilangan dasar 0 < x <1, disebut fungsi monoton .turun, sebab

jika x

2

>

x

1

, maka

<

2. fungsi f merupakan fungsi satu-satu, sebab jika f(x

1

) = f(x

2

), maka x

1

= x

2

3. Nilai dari fungsi f selalu positif untuk setiap x bilangan real

Latihan Uji Kompetensi 1

Gambarlah grafik fungsi eksponen untuk x

∈

R

1.

y = f(x) = 3

x

2.

y = f(x) =

3.

y = f(x) = 3

x - 2

4.

y = f(x) =

5. Dari hasil pengerjaan soal nomor 1 s.d. 4 di atas, sebutkanlah perbedaan dan kesamaan fungsi y = a

x

_{untuk a > 1 dan untuk}

0 < a < 1

B.

PERSAMAAN EKSPONEN

Persamaan eksponen adalah persamaan yang variabel / peubah x bertindak sebagai pangkat / eksponen.

Dari grafik-grafik yang dibuat dari soal

latihan uji kompetensi 1

didapatkan bahwa fungsi eksponen dengan rumus y = a

f(x)

_,

dengan 0 < a < 1 atau a > 1 merupakan fungsi satu-satu dan range fungsi eksponen himpunan bilangan real

positif. Sehingga untuk setiap x dalam domain selalu didapat tepat satu y dalam range fungsi itu demikian pula

sebaliknya.

Dalam hal ini diperoleh bahwa “ Jika a

x

_{= a}

p

_{, maka a = p “.}

1.

Bentuk a

f(x)

= a

p

dengan a

>

0 dan a

≠

1

Penyelesaian persamaan a

f(x)

= a

p

adalah f(x) = p

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan – persamaan berikut :

a.

2

2x + 1

= 2

5

c. 8

x – 1

=

b.

= 1 d. 3

=

Penyelesaian

.

a.

2

2x + 1

= 2

5

2x + 1 = 5

2x = 4

x = 2

Himpunan penyelesaiannya { 2 }

b.

= 1

...

= 3

....

= 3

....

= ...

x – 2 = ...

x = ...

Himpunan penyelesaiannya { ... }

c. 8

x – 1

=

(2

---

)

x - 1

= 2

....

2

---

x - ...

= 2

....

d. 3

=

3

=

... x - .... = ...

... x = ...

x = ...

Himpunan penyelesaiannya { ... }

3

=

.

3 . 3

...

= 3

...

3

...

= 3

...

... x - ... = ...

x = ...

Himpunan penyelesaiannya { ... }

Latihan Uji Kompetensi 2

Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan – persamaan berikut

1.

5

2x

= 625

2.

= 1

3.

=

4.

= 100

=

= 0,125

= 0,008

2

x -1

. 7

x

= 98

2.

Bentuk a

f(x)

= a

g(x)

dengan a

>

0 dan a

≠

1

Penyelesaian persamaan a

f(x)

= a

g(x)

adalah f(x) = g(x)

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan – persamaan berikut :

a.

2

5x - 1

= 8

x

+ 3

b.

a. 2

5x - 1

= 8

x

+ 3

2

5x - 1

= (2

3

)

x + 3

2

5x - 1

= 2

.

3x + 9

5x - 1= 3x + 9

2 x = 10

x = 5

Himpunan penyelesaiannya { 5 }

b.

- x

2

– 1 = x

3

+ 4x

2

+ 6x – 1

0 = x

3

+ 5x

2

+ 6x

0 = x(x + ...)(x + ...)

x1 = ... x2 = ... x3 = ...

Himpunan penyelesaiannya { ..., ..., ... }

Sumber:

http://smadamath.blogspot.com/2013/04/materi-eksponen-kelas-x.html

R A B U , 0 3 F E B R U A R I 2 0 1 0 EKSPONEN 1. Pengertian Eksponen

Bentuk an _{(baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.} Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :

Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini : Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:

Contoh:

Ubahlah bentuk ini dalam bentuk pangkat positif : Jawab:

Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke ax _{dengan a > 0 dan Jika a > 0 dan ,}

maka disebut fungsi eksponen mempunyai

sifat-sifat :

(i)

Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)

(ii)

Mempunyai asimtot datar y = 0 (sumbu x )

(iii)

Monoton naik untuk a > 1

(iv)

Monoton turun untuk 0 <>

Grafik fungsi eksponen y = ax

(i)

y = a

x

_{: a > 1}

Contoh:

Buatlah grafik dari y = 2x_! Jawab:

Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f (x) = 2x _{. Dalam hal ini pilih nilai x sehingga y mudah ditentukan.}

3. Persamaan fungsi Eksponen

-

F ( x ) = 1

- Untuk f(x)

0 dan f(x)

1, maka f(x) = g(x)

- f ( x ) = -1 asalkan f (x) dan g (x) sama-sama genap atau sama-sama

ganjil,

-

f ( x ) = 0 asalkan f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0

Contoh :

Tentukan nilai x supaya Jawab:

4. Pertidaksamaan Eksponen

1.

f ( x ) > g ( x ), 0 > 1

2.

f ( x ) <>

Contoh:

Jawab:

Jadi HP = { x | x > 2 }

Sumber:

http://hernakuncoro.blogspot.com/2010/02/eksponen.html

Materi Lengkap Fungsi Eksponen Dan Logaritma

Posted On July 20, 2013 | Under Category: Fungsi Eksponen dan Logaritma

advertisement

s

Rumus matematika yang kali ini akan saya paparkan yaitu tentang eksponen dan logaritma, pasti temen-temen sudah pernah mendengarnya, atau bahkan telah mempelajarinya disekolah.

1. Fungsi Eksponen

Bentuk an _{disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau}

pangkat. Eksponen memiliki sifat – sifat sebagai berikut :

Bentuk umum dari fungsi eksponen yaitu y = a _{dimana a ≥ 0 dan a ≠ 1}x

a. Grafik fungsi y = ax _{, untuk 0 < a < 1}

Mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

1. Terdefinisi untuk semua x ϵ R

2. Jika x mempunyai nilai kecil dan negatif maka sebaliknya y bernilai besar dan positif. 3. Jika x mempunyai nilai besar dan positif maka y mendekati nol dan positif. 4. untuk x = 0 maka kita peroleh y = 1.

Gambar Grafik Fungsinya sebagai berikut :

2. Fungsi Logaritma

Jika ab _{= c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka} a _{log c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang}

dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika ay _{= x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =}a _{log x}

2.1. Grafik Fungsi y =a _{log x untuk 0 < a < 1}

contoh :

mempunyai sifat-sifat :

1. semua x > 0 terdefinisi

2. jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif 3. untuk x=1 maka y=o

4. untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil. Berikut ini gambar grafiknya.

2.2. Grafik Fungsi y =a _{log x untuk a > 1}

contoh :

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut : 1. untuk semua x > 0 terdefinisi

2. jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif 3. untuk x=1 maka y=0

4. untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar. Berikut ini gambar grafiknya :

Itulah penjelasan tentang Materi Lengkap Fungsi Eksponen dan Logaritma semoga dapat bermanfaat, dan jangan lupa baca juga materi yang lain seperti Operasi Hitung Pada Pecahanatau Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima.

Sumber:

http://rumus-matematika.com/materi-lengkap-fungsi-eksponen-dan-logaritma/

Fungsi Eksponen Dan Logaritma

1.

Fungsi Eksponen.

Bentuk umum fungsi eksponen adalah y = a

x

_{, dengan a ≥ 0 dan a ≠ 1}

a.

Grafik y = a

x

_{, untuk 0 < a < 1}

Memiliki sifat-sifat:

a)

terdefinisi untuk semua x

ϵ

R;

b)

jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y besar sekali dan bertanda

positip;

c)

jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai mendekati nol dan

bertanda positip;

d)

untuk x = 0 diperoleh y = 1.

Gambar grafik :

b.

Grafik y = a

x

_{, untuk a >1}

Contoh Kasus :

M

emiliki sifat-sifat:

a)

terdefinisi untuk semua x

ϵ

R

b)

jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y mendekati nol dan

bertanda

positip

c)

jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai besar sekali dan

bertanda positip

d)

untuk x = 0 diperoleh y = 1

Gambar grafik :

2.

Fungsi Logaritma

Bentuk umum

a.

Grafik fungsi y =

a

_{log x untuk 0 < a < 1}

Contoh kasus :

memiliki sifat – sifat :

a)

terdefinisi untuk semua x >0;

b)

jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positip;

c)

untuk x = 1, y = 0

d)

untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatip. Jika x semakin besar, maka y semakin

kecil;

Gambar grafik :

b.

Grafik fungsi y =

a

_{log x untuk a > 1}

Contoh Kasus :

memiliki sifat – sifat :

a)

terdefinisi untuk semua x >0;

b)

jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatip;

c)

untuk x = 1, y = 0

d)

untuk x lebih besar dari 1, y berharga positip. Jika x semakin besar, maka y semakin

besar pula

Gambar grafik :

Email This BlogThis! Share to Twitter Share to Facebook

Sumber :

http://matematikatips.blogspot.com/2012/11/fungsi-eksponen-dan-logaritma.html

July 16, 2013 Fungsi Transenden No comments

Fungsi Eksponen Asli dan Sifat Fungsi Eksponen

Andri Muchsin

dengan fungsi transenden yakni mengenai fungsi eksponen asli dan sifat pada fungsi eksponen. Mungkin banyak yang belum mengetahui apa itu fungsi eksponen asli dan sifat yang dimiliki oleh suatu fungsi eksponen. Nah, disini akan saya jelaskan satu persatu tanpa ada campur tangan dari materi lain. Artikel ini khusus pada fungsi-fungsi eksponen dan yang berhubungan dengannya. Daripada anda pusing duluan mendingan langsung saja baca artikel di bawah ini, dan temukan jawaban atas pertanyaan apa itu fungsi eksponen asli ? dan apa sifat yang dimiliki oleh fungsi eksponen ? selamat membaca.!

Fungsi Eksponen Asli

Suatu fungsi logaritma asli dapat diturunkan menjadi kontinu dan akan naik pada daerah asal D = (0, ∞) , dengan daerah nilai adalah R = ( – ∞, ∞). Sebenarnya fungsi tersebut adalah fungsi balikan atau invers. Sehingga, balikan dari logaritma asli ini adalah ln-1 _{dengan daerah asal ( – ∞, ∞) dan daerah nilai (0, ∞). Jangan}

pernah lupakan fungsi ini ya! Lihat definisi berikut :

Definisi : Balikan ln disebut juga fungsi eksponen asli dan ditulis dengan exp yakni : X = exp y maka y = ln x

Terlihat jelas bahwa :

•

Exp(ln x) = x dengan x > 0

•

Ln(exp y) = y berlaku untuk semua nilai y

Sehingga, exp dan ln disebut fungsi-fungsi balikan, tapi mengapa disebut fungsi eksponen? Tahukan anda? Lihat penjelasan berikut ini : Sifat Fungsi Eksponen

Kenalkan anda dengan bilangan π ? ya tentu saja, penjelasan ini kita awali dengan adanya bilangan baru seperti bilangan π yang dilambangkan dengan huruf e. dalam matematika bilangan ini sangatlah penting dan berguna, seorang ahli matematika yang menggunakan lambang ini pertama kali ialah Leonhard euler. Definisi :

Bilangan e adalah bilangan riil positif yang bersifat ln e = 1

Oleh sebab ln e = 1, maka exp 1 = e. Seperti halnya π, bilangan e merupakan bilangan tak rasional. Banyak yang telah menghitungnya sampai pada 1000 angka dibelakang kurva, misalnya :

e ≈ 2,718281828459045

apabila r suatu bilangan rasional maka, ex _{= exp(ln e}x_{) = exp (r ln e) = exp r. Untuk r yang rasional, exp r adalah identik dengan e}r_{. bagaimana jika r tidak rasional?}

apa yang disebut dengan e√2_{? Maka kita definisikan e}x _{untuk semua x baik itu rasional ataupun tidak rasional dengan e}x _{= exp x.}

perhatikan bahwa :

•

eln x _{= x dengan x > 0}

•

ln(ey_{) = y berlaku untuk semua nilai y}

Teorema 1

Andaikan a dan b bilangan rasional, maka ea_eb _{= e}a + b _{dan e}a_/eb _{= e}a – b

Bukti teorema ea_eb _{= exp (ln e}a_eb₎ ea_eb _{= exp (ln e}a _{+ ln e}b₎ ea_eb _{= exp (a + b)} ea_eb _{= e}a + b _(terbukti) ea_/eb _{= exp (ln e}a_/eb₎ ea_/eb _{= exp (ln e}a_{/ln e}b₎ ea_/eb _{= exp (a – b)} ea_/eb _{= e}a – b _(terbukti) Turunan ex

Karena exp dan ln merupakan fungsi-fungsi yang saling berkebalikan, maka berdasarkan teorema fungsi balikan, fungsi exp x = ex _{dapat diturunkan. Sebuah}

rumus Dxex dapat kita gunakan teorema fungsi balikan itu.

Andaikan y = ex_{, maka ;}

x = ln y ruas kanan dan kiri kita turunkan terhadap x, sehingga diperoleh ;

x = ln y

1 = 1/y Dxy dengan memakai aturan rantai sehingga ;

Dxy = y = ex maka terbukti bahwa turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Jadi, Dx ex = ex . apabila u = f(x) dapat diturunkan, maka berdasarkan aturan rantai maka,

Dx eu = eu Dx u.

Contoh soal 1 :

1. tentukanlah nilai dari Dx e√x !

Penyelesaian :

Dx e√x = e√x Dx √x

Dx e√x = e√x ½ x-1/2

Dx e√x = e√x /2 √x

2. tentukanlah nilai dari Dx ex ln x !

Penyelesaian :

Dx ex ln x = ex ln x Dx (xln x)

Dx ex ln x = ex ln x Dx (x . 1/x + 1 ln x)

Dx ex ln x = xex ln x Dx (1 + ln x)

Sekianlah sedikit penjelsan saya mengenai fungsi eksponen asli dan sifat fungsi eksponen dalam artikel ini. Semoga penjelasan ini dapat membantu anda mengetahui apa itu fungsi eksponen asli dan sifat pada fungsi eksponen. Apabila dalam artikel ini ada yang keliru mohon komentar koreksinya, insyaallah saya akan tanggapi positif. Terimakasih !