BAB 1
Rantai Markov
1.1
ILUSTRASI
(Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hu-jan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok huhu-jan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan?
(Ilustrasi 2) Pada 23 Juni lalu sekitar pukul 21.30 mobil yang dikemudikan suami saya terperosok masuk lubang di jalan tol lingkar luar Jakarta, kira-kira 2 kilometer dari Pintu Tol Pondok Ranji arah Jakarta. Ban dan gadi-gading roda rusak. Esoknya saya mengajukan klaim asuransi Sinar Mas kepada SiMas Bekasi. Pada 1 Juli saya mendapat jawaban bahwa klaim asuransi ditolak den-gan alasan: bagian yang rusak hanya ban dan gading-gading roda. Tak menge-nai badan mobil. Padahal, tercantum jelas di dalam pasal-pasal polis asuransi maupun surat penolakan bahwa ban dan gading-gading roda tidak dijamin, ke-cuali disebabkan oleh Pasal 1 angka 1.1. Isi pasal itu, pertanggungan ini men-jamin kerusakan yang secara langsung disebabkan oleh tabrakan, benturan, terbalik, tergelincir atau terperosok. Asuransi Sinar Mas berusaha menghin-dar menghin-dari kewajiban dengan alasan mengada-ada, bahkan mengingkari aturan yang dibuatnya sendiri (Surat Pembaca KOMPAS; 3/08/2010). Andaikan su-atu hari saya mengajukan klaim lagi ke Asuransi Sinar Mas, berapa peluang bahwa klaim saya akan diterima?
(Ilustrasi 3) Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau sandal jenis crocs jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia
lewati (Dalam praktiknya, Swari harus bertelanjang kaki jika ternyata sandal crocs yang harus dipakai. Tak lain alasannya karena sang ayah tidak suka apabila Swari memakai sandal crocs). Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Swari akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki?
1.2
DEFINISI
Proses stokastik {Xn} adalah Rantai Markov:
• n = 0,1,2, . . .
• nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung
•
P(Xn+1 =j|Xn=i, Xn−1 =in−1, . . . , X1 =i1, X0 =i0
)
=Pij
• distribusi bersyaratXn+1, diberikan keadaan lampau (past states)X0, X1, . . . , Xn−1 dan keadaan sekarang (present state)Xn, hanya bergantung pada keadaan
sekarang
• keadaan (state): i0, i1, . . . , in−1, i, j
Pij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaani;
Pij ≥0, i, j ≥0;
∞
∑
j=0
Pij = 1, i= 0,1, . . .
Matriks peluang transisi Pij adalah sbb:
P= P00 P01 P02 · · · P10 P11 P12 · · · .. . ... ... Pi0 Pi0 Pi0 · · · .. . ... ... Contoh/Latihan:
1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluangα; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah... P= ( α 1−α β 1−β ) dengan keadaan-keadaan: ’0’ hujan ’1’ tidak hujan
2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah...
P= 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 dengan keadaan-keadaan:
’0’ (00) = hari ini dan kemarin hujan
’1’ (10) = hari ini hujan, kemarin tidak hujan ’2’ (01) = hari ini tidak hujan, kemarin hujan ’3’ (11) = hari ini dan kemarin tidak hujan
3. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0,1,2,3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan Xn
menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks pelu-ang transisinya adalah...
P= 0 1 0 0 1/9 4/9 4/9 0 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0 dengan keadaan-keadaan:
’0’ terdapat 0 produk A di paket pertama ’1’ terdapat 1 produk A di paket pertama ’2’ terdapat 2 produk A di paket pertama ’3’ terdapat 3 produk A di paket pertama
4. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi den-gan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan
hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan pelu-ang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka be-sok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat pe-rubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas.
P= 1/2 1/4 1/41/2 0 1/2 1/4 1/4 1/2 dengan keadaan-keadaan: ’0’ cuaca hujan ’1’ cuaca baik ’2’ cuaca salju
5. Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau sandal jenis crocs jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati (Dalam praktiknya, Swari harus bertelanjang kaki jika ternyata sandal crocs yang harus dipakai. Tak lain alasannya karena sang ayah tidak suka apabila Swari memakai sandal crocs). Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sep-atunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas.
P= 3/4 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/4 3/4 dengan keadaan-keadaan:
’0’ (4,0) = 4 sepatu didepan, 0 dibelakang ’1’ (3,1) = 3 sepatu didepan, 1 dibelakang ’2’ (2,2) = 2 sepatu didepan, 2 dibelakang ’3’ (1,3) = 1 sepatu didepan, 3 dibelakang ’4’ (0,4) = 0 sepatu didepan, 4 dibelakang
1.3
PELUANG
N
-LANGKAH
Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pn
ij menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan
i akan berada di keadaan j,
Pijn=P(Yk+n=j|Yk =i), n ≥0, i, j ≥0.
Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang tran-sisi n+m-langkah: Pijn+m= ∞ ∑ k=0 PiknPkjm,
untuk semua n, m ≥ 0 dan semua i, j. PiknPkjm menyatakan peluang suatu proses dalam keadaaniakan berada di keadaanj dalamn+mtransisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah.
Contoh/Latihan:
1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluangα = 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β = 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah...
P4 =
(
0.5749 0.4251 0.5668 0.4332
)
2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb:
P= 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8
Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan?
P2 = 0.49 0.12 0.21 0.18 0.35 0.2 0.15 0.3 0.2 0.12 0.2 0.4 0.1 0.16 0.1 0.64
Peluang hujan pada hari Kamis adalah P2
00+P012 = 0.49 + 0.12 = 0.61
Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan
αi =P(X0 =i), i≥0,
dimana ∑∞i=0 αi = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan
men-syaratkan pada keadaan awal, P(Xn =j) = ∞ ∑ i=0 P(Xn =j|X0 =i)P(X0 =i) = ∞ ∑ i=0 Pijnαi Contoh/Latihan:
1. Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi:
P=
(
0.7 0.3 0.4 0.6
)
Jika diketahui α0 =P(X0 = 0) = 0.4 dan α1 =P(X0 = 1) = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah...
P(X4 = 0) = 0.4P004 + 0.6P104
= (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57
2. Seorang pensiunan H menerima 2 (juta rupiah) setiap awal bulan. Banyaknya uang yang diperlukan H untuk dibelanjakan selama sebulan saling bebas dengan banyaknya uang yang dia punya dan sama denganidengan pelu-ang Pi, i = 1,2,3,4,
∑4
i=1Pi = 1. Jika H memiliki uang lebih dari 3 di akhir bulan, dia akan memberikan sejumlah uang lebih dari 3 itu kepada orang lain. Jika setelah dia menerima uang diawal bulan H memiliki uang 5, berapa peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut?
Keadaan:
‘2’ jumlah uang sebanyak 2 yang H punya di akhir bulan ‘3’ jumlah uang sebanyak 3 yang H punya di akhir bulan Matriks peluang transisi
P= P2P+3P+3P+4P4 PP21 P01 P4 P3 P1+P2
Misalkan Pi = 1/4, i = 1,2,3,4. Maka matriks peluang transisinya
adalah P= 3/4 1/41/2 1/4 1/40 1/4 1/4 1/2
Peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut adalah P4
1.4
Program MATLAB dan R
Contoh: Model penyebaran suatu penyakit adalah sbb: Jumlah populasi adalah N = 5, sebagian sakit dan sisanya sehat. Dalam setiap waktu, 2 orang akan dipilih secara acak dari populasi tersebut dan keduanya berinteraksi. Pemilihan orang-orang tersebut dilakukan sdh interaksi antara setiap pasan-gan adalah sama. Jika satu orang dari suatu pasanpasan-gan sakit, yang lain se-hat, maka penyakit akan disebarkan ke orang yang sehat dengan peluang 0.1. Diluar kondisi tersebut, tidak ada penyakit yang disebarkan. Misalkan Xn
menyatakan jumlah orang yang sakit dalam populasi diakhir periode ke-n. Bentuklah suatu matriks peluang transisi yang mungkin.
Solusi:
Keadaan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, yang menyatakan jumlah orang yang sakit.
P00= 1, P55= 1. Cukup jelas. Jika tidak ada/semua orang sakit maka PASTI keadaan berubah ke tidak ada/semua orang sakit.
Pi,i+1 = 0.1 Ci 1C 5−i 1 C5 2 = 0.01(i)(5−i), Pii = 1−0.01(i)(5−i), untuk i= 1,2,3,4. P = 1 0 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 1 Kode MATLAB function transprob;
% the function calculate transition probability for a Markov chain % (Question 2 of Quiz 2)
%
% created by K Syuhada, 12/03/2011
clear clc
m = input(’m = ’); % number of states P = zeros(m,m); for i = 1:m for j = 1:m if i == j P(i,j) = 1 - 0.01*(i-1)*(5-(i-1)); elseif i+1 == j P(i,j) = 0.01*(i-1)*(5-(i-1)); else P(i,j) = 0; end end end
display(’matriks peluang transisi:’) display(P)
% n-step probability
% Chapman-Kolmogorov Equation
n = input(’n = ’); % number of steps Pn = P^n;
display(’matriks peluang transisi n-langkah:’) display(Pn)
---m = 6
matriks peluang transisi: P = 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.9600 0.0400 0 0 0 0 0 0.9400 0.0600 0 0 0 0 0 0.9400 0.0600 0 0 0 0 0 0.9600 0.0400 0 0 0 0 0 1.0000
n = 2
matriks peluang transisi n-langkah: Pn = 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.9216 0.0760 0.0024 0 0 0 0 0.8836 0.1128 0.0036 0 0 0 0 0.8836 0.1140 0.0024 0 0 0 0 0.9216 0.0784 0 0 0 0 0 1.0000 Kode R
1.5
JENIS KEADAAN
Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika Pijn > 0 untuk suatu n ≥ 0. Akibatnya, keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akan masuk ke keadaan j. Jika keadaan j tidak dapat diakses dari keadaanimaka peluang masuk ke keadaan j dari keadaan i adalah nol.
Catatan:
Dua keadaanidanj yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i↔j.
Sifat-sifat:
1. Keadaani berkomunikasi dengan keadaan iuntuk semua i≥0
2. Jika keadaani berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaanj berko-munikasi dengan keadaan i
3. Jika keadaaniberkomunikasi dengan keadaanj dan keadaanj berkomu-nikasi dengan keadaank maka keadaaniberkomunikasi dengan keadaan k
Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat ‘identik’ (identical) atau ‘saling asing’ (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irre-ducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain.
Contoh/Latihan:
1. Tentukan kelas keadaan dari rantai Markov dengan peluang transisi berikut: (i) P= 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 (ii) P= 0 1 0 0 1/9 4/9 4/9 0 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0
(iii) P= 1/2 1/4 1/41 0 0 1/4 1/4 1/2
2. Diketahui matrik peluang transisi:
P= 0.50.5 0.25 0.250.5 0 0 0.33 0.67
Apakah rantai Markov dengan peluang transisi diatas tidak dapat dire-duksi (irreducible)?
3. Apakah yang dapat anda katakan tentang rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut:
P= 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1
Sifat-sifat KEADAAN
Untuk setiap keadaan i, misalkan fi peluang bahwa dimulai dari keadaan i
proses akan kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika fi = 1.
Dikatakan transient jika fi <1.
• Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i
• Jika keadaan i transient ? fin−1(1−fi), n≥1? Misalkan In = { 1, Yn =i; 0, Yn ̸= 1.
Misalkan∑∞n=0 Inmenyatkan banyaknya periode proses berada dalam keadaan
i, dan E ( ∞ ∑ n=0 In|Y0 =i ) = ∞ ∑ n=0 Piin
maka keadaan i adalah recurrent jika ∞ ∑ n=0 Piin=∞; transient jika ∞ ∑ n=0 Piin<∞
“Jika keadaanirecurrentdan keadaaniberkomunikasi (communicate) dengan keadaan j maka keadaanj recurrent”
Contoh/Latihan:
1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks pelu-ang transisi: P= 0 0 0.5 0.5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang tran-sient!
2. Bagaimana dengan rantai Markov dengan matriks peluang transisi: P= 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0.25 0.25 0 0 0.5 ?
Tentang Keadaan Recurrent dan Transient Misalkan P ( Yn=i, Yn−1 ̸=i, . . . , Y1 ̸=i|Y0 =i ) =Piin
adalah peluang kembali ke keadaan i yang pertama di langkah ke-n, dan ∞
∑
n=1
Piin=fii=fi
adalah peluang kembali ke keadaan i.
Definisi:
• Keadaan i adalah recurrent jika fi = 1, • Keadaan i adalah transient jika fi <1,
Kita dapat juga mendefinisikan sbb: 1−fi =P(Ti =∞|Y0 =i) fi =P(Ti <∞|Y0 =i)
dimana Ti adalah waktu untuk kunjungan pertama ke keadaani.
Teorema:
Jika N banyak kunjungan ke keadaan i diberikan Y0 =i, maka E(N|Y0 =i) = 1/(1−fi)
Bukti: E(N|Y0 =i) =E(N|Ti =∞, Y0 =i)P(Ti =∞|Y0 =i) +E(N|Ti <∞, Y0 =i)P(Ti <∞|Y0 =i) = 1(1−fi) + ( 1 +E(N|Y0 =i) ) fi Contoh/Latihan:
1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks pelu-ang transisi: P= 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1
Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang tran-sient!
2. Model penyebaran penyakit memiliki matriks peluang transisi sebagai berikut: P = 1 0 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 1
