Statistik + konsep mekanika. Hal-hal yang diperlukan dalam menggambarkan keadaan sistem partikel adalah:

Bab

Bab 4 4 Deskripsi

Deskripsi Statistik Statistik Sistem

Sistem Partikel Partikel Sistem

Sistem Partikel Partikel

Bagaimana gambaran secara statistik Bagaimana gambaran secara statistik dari sistem partikel?

dari sistem partikel?

Statistik + konsep mekanika

Hal-hal yang diperlukan dalam menggambarkan keadaan sistem partikel adalah:

1. Spesifikasi keadaan sistem.

2. Ensamble statistik.

3. Postulat statistik.

4. Perhitungan probabilitas

1. Spesifikasi keadaan sistem

Bagaimana menentukan keadaan suatu sistem partikel?

mengetahui gambaran keadaan partikelnya

mekanika kuantum

Partikel-partikel penyusun sistem (atom dan molekul) dijelaskan

dengan baik oleh hukum mekanika kuantum

Contoh 1. Sistem spin tunggal Contoh 1. Sistem spin tunggal

Sebuah partikel yang memiliki spin ½ dan besar momen Sebuah partikel yang memiliki spin ½ dan besar momen magnetik µ

magnetik µ

_{0 0}

ditempatkan dalam medan magnetik luar B. ditempatkan dalam medan magnetik luar B.

Apa yang terjadi!

B +µ₀ σσσσ = +1→→→→ E₊= -µµµµo B

- µ

_o ^{σσσσ = - 1→→→→ E_= µµµµo B}

R (keadaan)

σσσσ

(bil.kuantum)

M (momen magnetik)

E (Energi)

1 +1 +µµµµ_o - µµµµ_o B

2 -1 -µµµµ_o µµµµ_o B

Hanya ada dua kemungkinan keadaan!

Contoh 2. Sistem N spin ideal Contoh 2. Sistem N spin ideal

N buah partikel memiliki spin ½ dan besar momen magnetik µ N buah partikel memiliki spin ½ dan besar momen magnetik µ

_{0 0}

ditempatkan dalam medan magnetik luar B.

ditempatkan dalam medan magnetik luar B.

Apa yang terjadi!

Tinjau untuk N=4 Isi tabel berikut!

R (keadaan)

σσσσ₁ σσσσ₂ σσσσ₃ σσσσ₄ (bil.kuantum)

M (momen magnetik)

E (energi)

dst

Ada 16 kemungkinan keadaan!

Contoh 3. Sebuah partikel dalam kotak 1 Contoh 3. Sebuah partikel dalam kotak 1--D D

X=0 L X=L

Energinya

^:

2 2 2

2

L n m

E ==== ππππ 2 h

???

Dengan nilai n (bil.kuatum) = 1, 2, 3, …

X=0 L X=L

Ada berapa keadaan yang energinya:

2 2 2

mL E 2

1 . ==== ππππ h

2 2 2

mL 2 E 4

2 . ==== ππππ h

2 2 2

mL 2 E 10

3 . ==== ππππ h

(Satu keadaan)

(Satu keadaan)

2 2 2

mL 2

E 10

4 . <<<< ππππ h

(tidak ada keadaan)

(3 keadaan)

Contoh 4. Sebuah partikel dalam kotak 3

Contoh 4. Sebuah partikel dalam kotak 3--D D

z

y

x

L_y L_x

L_z

Energinya

^:

???



 





 

 ++++ ++++

==== ππππ

₂

z 2 z 2

y 2 y 2

x 2 x 2

2

L n L

n L

n m

E 2 h

Dengan nilai n

_x

, n

_y

, n

_z

= 1, 2, 3, 4, … Dengan nilai n

_x

, n

_y

, n

_z

= 1, 2, 3, 4, … Bila L

_x

=L

_y

=L

_z

=L, maka energinya:

^{2 2}₂

(((( ⁿ

^2x

ⁿ

^2y

ⁿ

^2z

))))

mL

E ==== 2 ππππ h ++++ ++++

Berapa nilai energi terrendah (ground state)!

Berapa nilai energi pada keadaan eksitasi pertama (tingkat 1)!

Ada berapa keadaan energi pada tingkat 1 tersebut!

Berapa nilai energi pada keadaan eksitasi kedua (tingkat 2)!

Ada berapa keadaan energi pada tingkat 2 tersebut!

Contoh 5. Gas Ideal terdiri dari N Partikel Contoh 5. Gas Ideal terdiri dari N Partikel

dalam kotak 3

dalam kotak 3--D D

Berapa energi total gas (E) !

Energi total gas adalah jumlah dari energi tiap partikel penyusun

E = ε

₁

+ ε

₂

+ ε

₃

+ … + ε

_N

Keadaan tiap partikel dispesifikasi oleh 3 bilangan kuantum

n

_ix

, n

_iy

, n

_iz

yang berkaitan dengan energi ε

_i

^{(contoh 4)}

Sehingga untuk N partikel, jumlah bilangan kuantum yang muncul berjumlah

3N

(n

_1x

, n

_1y

, n

_1z

, n

_2x

, n

_2y

, n

_2z

, ……….., n

_Nx

, n

_Ny

, n

_Nz

)

Apa yang dapat anda simpulkan dari contoh 1 Apa yang dapat anda simpulkan dari contoh 1 --

contoh 5 di atas!

contoh 5 di atas!

Contoh 1. Sistem spin tunggal:

σσσσ

Contoh 2. Sistem N spin ideal:

Jumlah keadaan yang mungkin:

2

bilangan kuantumnya (N=4): σσσσ₁ σσσσ₂ σσσσ₃ σσσσ₄ Jumlah keadaan yang mungkin:

16

bilangan kuantumnya:

Jumlah keadaan yang mungkin:

16

Contoh 3. Sebuah partikel dalam kotak 1 Contoh 3. Sebuah partikel dalam kotak 1--D:D:

bilangan kuantumnya: n

Jumlah keadaan yang mungkin:

tak berhingga

Contoh 4. Sebuah partikel dalam kotak 3 Contoh 4. Sebuah partikel dalam kotak 3--D:D:

bilangan kuantumnya: n_x, n_y, n_z

Jumlah keadaan yang mungkin:

tak berhingga

Contoh 5. Gas Ideal terdiri dari N Partikel dalam kotak 3 Contoh 5. Gas Ideal terdiri dari N Partikel dalam kotak 3--DD

bilangan kuantumnya: n_1x, n_1y, n_1z, n_2x, n_2y, n_2z,……, n_Nx, n_Ny, n_Nz Jumlah keadaan yang mungkin:

tak berhingga

Kesimpulan Kesimpulan

Setiap keadaan kuantum yang mungkin dari sebuah Setiap keadaan kuantum yang mungkin dari sebuah sistem dapat dispesifikasi oleh sejumlah

sistem dapat dispesifikasi oleh sejumlah ff buah buah bilangan kuantum. Jumlah

bilangan kuantum. Jumlah ff ini dinamakan ini dinamakan derajat derajat kebebasan

kebebasan yaitu jumlah koordinat yang independen yaitu jumlah koordinat yang independen yang diperlukan untuk menjelaskan sistem.

yang diperlukan untuk menjelaskan sistem.

yang diperlukan untuk menjelaskan sistem.

yang diperlukan untuk menjelaskan sistem.

Keadaan mikroskopik dari sebuah sistem dapat dijelaskan

oleh keadaan kuantum tertentu dimana sistem ditemukan

2. Ensambel Statistik

Sejumlah keadaan kuantum yang diijinkan dari suatu sistem kuantum dengan syarat tertentu

Contoh 1

Tinjau sebuah sistem yang terdiri dari empat buah partikel berspin ½ (harga momen magnetiknya µ₀) ditempatkan dalam medan magnet luar B. Jika sistem terisolasi dan energi totalnya E = -2µ B, ada berapa keadaan yang diijinkan terisolasi dan energi totalnya E = -2µ₀B, ada berapa keadaan yang diijinkan yang mungkin dimiliki sistem tersebut!

Contoh 2

Tinjau sebuah sisten A* yang terdiri dari dua sub sistem A dan A’. Sub sistem A terdiri dari tiga pertikel berspin ½ (harga momen magnetiknya µ₀^{) dan sub} sistem A’ terdiri dari dua partikel berspin ½ (harga momen magnetiknya 2µ₀^).

Apabila sistem A* tersebut terisolasi dan ditempatkan dalam medan magnet luar B, ada berapa keadaan yang diijinkan untuk nilai energi total sisten A*

tersebut bernilai E = -3µ₀^B!

3. Postulat Statistik

Membuat prediksi secara teoritis dari suatu sistem berkaitan dengan nilai probabilitas atau nilai rata-rata

Keseimbangan

Postulat Statistik : Postulat Statistik :

1. Jika dalam sistem terisolasi ditemukan harga probabilitas yang sama untuk setiap keadaan, maka sistem tersebut berada dalam keadaan setimbang.

2. Jika dalam sistem yang terisolasi tidak ditemukan harga probabilitas yang sama untuk setiap keadaan, maka sistem tersebut tidak berada dalam

keadaan setimbang dan akan mengalami perubahan hingga kesetimbangan tercapai, dimana setiap keadaannya memiliki probabilitas yang sama.

4. Perhitungan Probabilitas

Tinjau sebuah sistem terisolasi berada dalam kesetimbangan dan jumlah total keadaan yang diijinkan dinyatakan dengan Ω. Maka probabilitas menemukan kedaan Ω_i adalah

Untuk menentukan nilai rata-rata dari suatu parameter y (misalnya momen magnetik) maka

Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω

==== Ω

ⁱ

P

i

magnetik) maka

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ _{Ω Ω Ω Ω}

Ω Ω Ω

==== Ω

≡≡≡≡

ⁿ

i

i i n

i

i

i

1 y

y P y

Contoh

Tinjau kembali sistem yang terdiri empat partikel berspin ½ dan berenergi E = -2µ₀B. Jika sistem dalam keadaan setimbang, berapa probabilitas P₊ yaitu momen magnetik berarah up! Berapa momen magnetik rata-ratanya yang searah medan magnet!

Jumlah

Jumlah keadaan keadaan yang yang diijinkan diijinkan dari dari sebuah sebuah sistem

sistem makroskopik makroskopik

Tinjau sebuah sistem makroskopik dengan energi totalnya E. Untuk menghitung jumlah keadaan total yang diijinkan, kita akan kelompokkan keadaan-keadaaan energi dengan membagi skala energi dengan interval yang kecil yang besarnya tetap yaitu δE dimana:

δE sangat kecil pada skala makroskopik (sangat kecil dibanding energi total sistem),

δE cukup besar pada skala mikroskopik (lebih besar dari energi partikel tunggal δE cukup besar pada skala mikroskopik (lebih besar dari energi partikel tunggal dari sistem) dan

pada interval δE terdapat banyak keadaan kuantum dari sistem

Perkenalkan Notasi berikut:

Ω (E) = Jumlah keadaan yang energinya antara E dan E + δE Φ (E) = Jumlah total keadaan yang energinya kurang dari E Maka

dE E ) d

E ( )

E E

( )

E

( Φ Φ Φ Φ δδδδ

====

Φ Φ Φ

−−−− Φ δδδδ

++++

Φ Φ Φ Φ

====

Ω Ω

Ω Ω

2 2 2 2

L n m E ==== ππππ2h Contoh 1

Partikel tunggal dalam kotak 1-D

mE L 2

n ) E

( ==== ==== ππππ h Φ Φ

Φ Φ

^E

E m 2 2

) L E

( δδδδ

==== ππππ Ω

ΩΩ

Ω h

Contoh 2

Partikel tunggal dalam kotak 3-D

(((( ))))

2

ππππ

2

h

(((( ))))

L 

2

((((

^{2x 2y 2z}

)))) 

2 2 2

n n

mL n

E ==== 2 ππππ h ++++ ++++

(((( ))))

²

2 2z

2y

2x

L 2 mE R

n n

n  ====



 





==== ππππ ++++

++++ h

mE L 2

R ==== ππππ h

(((( ))))

^3/2

3

3 L 2mE

R 6 3 4 8 ) 1 E

( 



 





ππππ

==== ππππ



 



 ππππ

====

Φ ΦΦ

Φ h

(((( ))))

^{2m E E}

4 ) L E

( ^{3/2 1/2}

3 2

3 δδδδ

==== ππππ Ω

ΩΩ Ω

h

Tugas 3

Buku Reif no 3.6, 3.7 dan 3.8