Nilai Ekstrim. (Extreme Values)

TKS 4003 Matematika II

Nilai Ekstrim

(Extreme Values)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Pendahuluan

Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1, dimana pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan, pertumbuhan populasi terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika Gambar 1 diperhatikan, harga pengukuran meningkat pada [x₀,x₁], menurun pada [x₁,x₂], dan seterusnya, hingga konstan pada selang [x₆,x₇].

Pendahuluan

(lanjutan)

Gambar 1. Ilustrasi suatu hasil pengukuran

Pendahuluan

(lanjutan)

Definisi 1

Jika suatu fungsi terdefinsi pada selang I dengan x₁ dan x₂ adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : 1) Fungsi f naik pada selang I, jika x₁ < x₂ menghasilkan

f(x₁) < f(x₂)

2) Fungsi f turun pada selang I, jika x₁ < x₂ menghasilkan f(x₁) > f(x₂)

3) Fungsi f konstan pada selang I, jika f(x₁) = f(x₂) untuk setiap harga x₁ dan x₂

Pendahuluan

(lanjutan)

Teorema 2

Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f setidak- tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].

Contoh 1

Jika diketahui f(x) = x² + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut :

a. [-2,0] b. (-3, 1) c. [-3,-2) d. (-1,1]

Pendahuluan

(lanjutan)

Penyelesaian :

a. Pada selang [-2,0]

Maksimum = f(0) = 6 Minimum = f(-2) = 0

b. Pada selang (-3,1)

Maksimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -3) Minimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = 1)

Pendahuluan

(lanjutan)

c. Pada selang [-3,-2) Maksimum = f(-3) = 0

Minimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -2)

d. Pada selang (-1,1}

Maksimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -1) Minimum = f(1) = 12

Nilai Ekstrim Lokal

Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap nilai f yang mempunyai nilai maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.

Nilai Ekstrim Lokal

(lanjutan)

Definisi 3

Jika c adalah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi seperti pada Gambar 2, maka :

1) f(c) adalah maksimum lokal f, jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada (a,b).

2) f(c) adalah minimum lokal f, jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada (a,b).

Nilai Ekstrim Lokal

(lanjutan)

Gambar 2. Domain suatu fungsi

Nilai Ekstrim Lokal

(lanjutan)

Teorema 4

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b), suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0.

Teorema 5

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b), suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika turunannya ada dan tidak sama dengan nol f’(c)  0.

Nilai Ekstrim Lokal

(lanjutan)

Teorema 6

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b], suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0.

Teorema 7

Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f’(c) = 0.

Nilai Ekstrim Mutlak

Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka dapat disimpulkan bahwa titik (c,f(c)) merupakan titik tertinggi pada grafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.

Nilai Ekstrim Mutlak

(lanjutan)

Teorema 8

Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan riil R. Jika c terletak padaR, maka :

1) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f, jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam R.

2) f(c) adalah nilai minimum mutlak f, jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam R.

Nilai Ekstrim Mutlak

(lanjutan)

Prosedur untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] :

1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).

2. Tentukan titik ujung :

a. Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b], maka titik ujungnya adalah a dan b.

b. Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b), maka tidak mempunyai titik ujung.

c. Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b], maka titik ujungnya adalah b.

d. Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b), maka titik ujungnya adalah a.

3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari langkah nomor 1.

4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.

5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada langkah nomor 3 dan 4.

Nilai Ekstrim Mutlak

(lanjutan)

Contoh 2

Jika diketahui f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3] dan gambarkan grafiknya!

Penyelesaian :

Bilangan kritis

f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 10 f’(x) = 6x² – 6x – 12

6x² – 6x – 12 = 0  6(x² – x – 2) = 0  6(x – 2)(x + 1) = 0

x₁ = 2 ; x₂ = – 1

f(x₁) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = – 10

Nilai Ekstrim Mutlak

(lanjutan)

Titik ujung – 4 dan 3

f(– 4) = – 64 – 48 + 48 + 10 = – 54 f(3) = 54 – 27 – 36 + 10 = 1

Jadi :

f(2) = minimum lokal

f(– 1) = maksimum lokal dan maksimum mutlak f(– 4) = minimum mutlak

Fungsi 2 Variabel

Definisi dari relatif ekstrim dari fungsi 2 variabel identik dengan fungsi 1 variabel, hanya bedanya akan berurusan dengan 2 variabel.

Definisi 9

1. Fungsi f(x,y) mempunyai minimum lokal pada titik (a,b), jika f(x,y)  f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam daerah sekitar/bersebelahan (a,b).

2. Fungsi f(x,y) mempunyai maksimum lokal pada titik (a,b), jika f(x,y)  f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam daerah sekitar/bersebelahan (a,b).

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Definisi 9 menyatakan bahwa minimum lokal adalah bukan nilai terkecil dari fungsi, tapi terkecil pada daerah bersebelahan. Hal ini berarti untuk titik sekitar (a,b), nilai titik tetangga bersebelahan (a,b) akan bernilai lebih besar dari f(a,b). Di luar daerah tetangga dekat sangat mungkin ada nilai fungsi yang lebih kecil, demikian pula dengan maksimum lokal.

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Definisi 10

Titik (a,b) adalah titik kritis dari f(x,y), jika salah satu kondisi dari dua syarat berikut terpenuhi :

1. f(a,b) = 0 atau f_x(a,b) = 0 dan f_y(a,b) = 0, 2. f_x(a,b) dan/atau f_x(a,b) tidak ada.

Teorema 11

Jika titik (a,b) adalah ekstrim lokal dari fungsi f(x,y), maka titik (a,b) juga merupakan titik kritis dan akan diperoleh

f(a,b) = 0.

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Catatan

Bahwa tidak semua titik kritis adalah titik ekstrim lokal, tapi semua titik ekstrim lokal adalah titik kritis. Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas, lihat contoh berikut :

Contoh 3

f(x,y) = xy

Turunan parsial orde pertama,

f_x(x,y) = y f_y(x,y) = x

Titik dimana kedua turunan di atas adalah = 0, terjadi pada titik (0,0) yang merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Grafik fungsi, f(x,y) = xy

Dari grafik fungsi terlihat bahwa titik kritis (0,0) bukan merupakan titik ekstrim (maks/min), karena daerah tetangganya mempunyai nilai yang lebih besar dan lebih kecil. Jenis titik kritis ini disebut titik pelana atau saddle point.

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Teorema 12

Jika (a,b) adalah titik kritis f(x,y) dan turunan kedua dari turunan parsial adalah kontinu dalam suatu daerah yang memuat (a,b). Dan jika D didefinisikan sebagai

D = D(a,b) = f_xx(a,b)f_yy(a,b) – [f_xy(a,b)]²,

maka akan diperoleh beberapa klasifikasi dari titik kritis dengan beberapa kondisi :

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Teorema 12 (lanjutan)

i. Jika D > 0 dan f_xx(a,b) > 0, maka diperoleh nilai minimum lokal pada (a,b).

ii. Jika D > 0 dan f_xx(a,b) < 0, maka diperoleh nilai maksimum lokal pada (a,b).

iii. Jika D < 0, maka titik (a,b) adalah titik pelana/saddle point.

iv. Jika D = 0, maka titik (a,b) mungkin minimum lokal, maksimum lokal atau titik pelana/saddle point. Dengan kata lain tidak ada kesimpulan.

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Contoh 4

Tentukan dan klasifikasi titik kritis fungsi f(x,y) = 4 + x³ + y³ – 3xy

Penyelesaian :

Turunan parsial orde pertama (untuk mendapatkan titik kritis) f_x = 3x² – 3y f_y = 3y² – 3x

Turunan parsial orde kedua (untuk mengklasifikasikan titik kritis) f_xx = 6x f_yy = 6y f_xy = – 3

Untuk mendapatkan titik kritis :

f_x = 3x² – 3y = 0  3x² = 3y  y = x²

f_y = 3y² – 3x = 0  3(x²)² – 3x = 3x(x³ – 1) = 0 Solusinya :

x = 0 atau x = 1

Fungsi 2 Variabel

(lanjutan)

Nilai y = x², sehingga diperoleh titik kritis : x = 0  y = 0² = 0  (0,0) x = 1  y = 1² = 1  (1,1) Klasifikasi titik kritis, perlu dihitung nilai D :

D(x,y) = f_xx(x,y)f_yy(x,y) – [f_xy(x,y)]²

= (6x)(6y) – (– 3)²

= 36xy – 9

Masukkan titik kritis ke persamaan D(x,y) : (0,0) ; D(0,0) = 0 – 9 = – 9 < 0

D negatif  titik pelana/saddle point Teorema 12(iii)

(1,1) ; D(1,1) = 36 – 9 = 27 > 0

D positif dan f_xx positif  minimum lokal Teorema 12(i)

Latihan

1. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi berikut dan gambarkan grafiknya!

𝐟 𝐱 =^𝟏

𝟐𝐱^𝟐− 𝟐𝐱 ; [2,5]

𝐟 𝐱 = 𝟑𝐱^𝟐− 𝟏𝟎𝐱 + 𝟕 ; [-1,3]

2. Tentukan dan klasifikasi titik kritis fungsi : f(x,y) = x² + 4y² – 2x²y + 4

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!