Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 473–484
La relation lin´
eaire
a
=
b
+
c
+
· · ·
+
t
entre les
racines d’un polynˆ
ome
par
Franck LALANDE
R´esum´e. Nous nous int´eressons `a la question suivante : `A quelles conditions un groupe G est-il le groupe de Galois (principale-ment sur le corps des rationnels) d’un polynˆome irr´eductible dont certaines racines distinctes v´erifient une relation lin´eaire du type a=b+c+· · ·+t? Nous montrons que la relationa=b+cest
pos-sible d`es queGcontient un sous-groupe d’ordre 6, nous d´ecrivons les groupes ab´eliens pour lesquels la relationa=b+c+dest satis-faite et construisons une famille de relationsa=b+c+· · ·+tde
longueur 1 + (m−2)(m−3)/2 pour le groupe altern´eAm. Chaque
partie est accompagn´ee d’exemples.
Abstract. We are going to deal with the following question : Which groups can be the Galois group of an irreducible polyno-mial with rational coefficients whose distinct roots satisfy a linear relationa=b+c+· · ·+t? We are going to show that the
rela-tiona=b+cis possible when Gcontains a subgroup of order 6, describe the abelian groups for which the relationa=b+c+dis possible and construct a family of relationsa=b+c+· · ·+tof
length 1 + (m−2)(m−3)/2 for the alternating groupAm.
FranckLalande 38, grande rue
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