Disktrit II Pertemuan V dan VI

OS - 2006 1

MATEMATIKA DISKRIT

II

( 2 SKS)

Rabu, 18.50 – 20.20 Ruang Hard Disk

PERTEMUAN V & VI

RELASI

Dosen

Lie Jasa

Relasi dan Fungsi

Oerip S. Santoso

OS - 2006 3

Relasi

• Definisi. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

• Notasi :

R ⊆ (AxB), dengan A x B = {(a,b) | a ∈A dan b ∈B} • Jika (a,b) ∈ R, maka notasi a R b yang artinya a

dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a,b) ∉R digunakan notasi a R b yang artinya a tidak

dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain)dari R dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

• Definisi. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari AxA. • Contoh 1 :

Misalkan R adalah relasi pada A = {2,3,4,5,9} yang didefinisikan oleh (x,y) ∈R jika x adalah faktor prima dari y. Maka R={(2,6), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Contoh Relasi

• Contoh 2 :

Misalkan

A= {Amir, Budi, Deni}, B= {IF221, IF251, IF342, IF323}

A×B= {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Deni, IF221), (Deni, IF251), (Deni, IF342), (Deni, IF323) }

MisalkanRadalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R= {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Deni, IF323) }

- Dapat dilihat bahwaR⊆ (A×B),

- Aadalah daerah asalR, danBadalah daerah hasilR. - (Amir, IF251) ∈R atau AmirR IF251

OS - 2006 5

Contoh Relasi

• Contoh 3 :

– MisalkanP= {2, 3, 4} danQ= {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasiRdari P keQ dengan

(p, q) ∈R jikap habis membagiq

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

– Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

– Relasi pada himpunanAadalah relasi dari A×A.

– Relasi pada himpunanAadalah himpunan bagian dari A×A.

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A

ke himpunan B.

• Contoh Diagram panah :

Amir

Budi

Deni

IF221

IF251

IF342

IF323

2

3

4

2

4

8

9

15

2

3

4

8

9

2

3

4

8

9

A B

P

Q

OS - 2006 7

2. Representasi Relasi dengan Tabel

• Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

[image:4.596.77.436.369.630.2]

15 3 9 3 3 3 8 4 IF323 Deni 3 3 8 2 IF251 Budi 8 2 4 4 IF221 Budi 4 2 4 2 IF323 Amir 2 2 2 2 IF251 Amir A A Q P B A

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

3. Representasi Relasi dengan Matriks

• Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁,

a₂ ,…, a_m} dan B = {b₁, b₂ ,…, b_n }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M=[m_ij ], yang dalam hal ini

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika a_i

dihubungkan dengan b_jdan bernilai 0 jika a_itidak dihubungkan dengan b_j. • Matriks representasi relasi merupakan

contoh matrikszero-one







∉

∈

=

R

b

a

R

b

a

m

j i j i ij

)

,

(

,

0

)

,

(

,

1

            mn m m n n

m m m m

m m m m m m a a a L M M M M L L M 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 M =

OS - 2006 9

Contoh

• RelasiRpada Contoh 2 dapat dinyatakan dengan matriks

• dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Deni, danb1 = IF221,

• b2 = IF251, b3 = IF342, danb4 = IF323.

• RelasiRpada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

• yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, danb1 = 2, b2 = 4,

b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15.

  

 

  

 

1 0 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

    

    

0 0 1 1 0

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

Representasi Relasi dengan

Graf Bearah(

directed graph

atau

digraph)

• Graf berarah tidak didefinisikan untuk

merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atauvertex) dan tiap pasangan terurut

dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya dinyatakan denga sebuah panah.

• Jika (a,b)

∈

R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebul simpul asal(initial vertex),

simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex) • Pasangan simpul (a,a) dinyatakan dengan busur dari

OS - 2006 11

Contoh representasi graf

• Representasi graf untuk R

={(a,a), (a,b), (b,a), (b,c),

(b,d), (c,a), (c,d), (d,b)}

• Representasi graf untuk R

={(2,2), (2,4), (2,8), (3,3),

(3,9)}

a b

c d

Sifat-sifat Relasi Biner

1. Refleksif (reflexive)

– Definisi: Relasi R pada himpunan A disebut refleksifjika (a,a)

∈

R untuk setiap a

∈

A

– RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika ada

a∈Asedemikian sehingga (a, a) ∉R.

– Contoh 1:

Misalkan A = (1,2,3,4), dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a) RelasiR= {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a), yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4). b) RelasiR= {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak

OS - 2006 13

Contoh Refleksif

• Contoh 2.Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)∈Runtuk setiapa∈A.

• Contoh 3.Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positifN.

R: xlebih besar dariy, S: x + y= 5, T: 3x+ y= 10

– Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggotaR, S, maupunT.

• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, ataumii= 1, untuki= 1, 2, …, n,

     

 

     

 

1 1 1 1

O

• Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Setangkup (symmetric) dan tak

setangkup (antisymmetric)

• RelasiRpada himpunanAdisebutsetangkupjika untuk

semuaa, b∈A, jika (a, b) ∈R, maka (b, a) ∈R.

• RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika (a, b) ∈R

sedemikian sehingga (b, a) ∉R.

• RelasiRpada himpunanAdisebuttolak-setangkupjika

untuk semuaa, b∈A, (a, b) ∈R dan (b, a) ∈R hanya jikaa

= b.

• RelasiRpada himpunanAtidak tolak-setangkup jika ada

elemen berbedaa danbsedemikian sehingga (a, b) ∈Rdan

(b, a) ∈R.

• Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa

OS - 2006 15

Contoh Setangkup dan tidak setangkup

Contoh 1. MisalkanA= {1, 2, 3, 4}, dan relasiRdi bawah ini didefinisikan pada

himpunanA, maka

a) RelasiR= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat

setangkup karena jika (a, b) ∈R maka (b, a) juga∈R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) ∈R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈R.

b) RelasiR= {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) ∈R, tetapi (3, 2) ∉R.

c) RelasiR= {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) ∈

R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈R. Perhatikan bahwaRjuga setangkup.

d) Relasi R= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) ∈R

dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈Rdan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwaRtidak setangkup.

e) RelasiR= {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ≠4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggotaR. RelasiRpada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

f) RelasiR= {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, danR

= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup. g) RelasiR= {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun

tidak tolak-setangkup. Rtidak setangkup karena (4, 2) ∈Rtetapi (2, 4) ∉R.

Rtidak tolak-setangkup karena (2, 3) ∈Rdan (3, 2) ∈Rtetap 2 ≠3.

Contoh Setangkup dan tidak setangkup

• Contoh 2:

Relasi “habis membagi” pada himpunan

bilangan bulat positif tidak setangkup karena

jika a habis membagi b, b tidak habis

membagi a, kecuali jika a=b. Sebagai contoh,

2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis

membagi 2. Karena itu, (2,4)

∈

R tetapi (4,2)

OS - 2006 17

Sifat Setangkup

• Relasi yang bersifat setangkup mempunyai

matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal

utama merupakan pencerminan dari

elemen-elemen di atas diagonal utama, atau

m

_ij

=

m

_ji

=

1, untuk

i

= 1, 2, …,

n

:

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat

setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari

a

ke

b

, maka juga ada busur dari

b

ke

a

.

     

 

     

 

0 1

0 1

Sifat Tolak Setangkup

• Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai

sifat yaitu jika

m

_ij

= 1 dengan

i

≠

j

, maka

m

_ji

= 0.

Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu dari

m

_ij

= 0

atau

m

_ji

= 0 bila

i

≠

j

:

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat

tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya

jika tidak pernah ada dua busur dalam arah

berlawanan antara dua simpul berbeda.

     

 

     

 

0 1

1 0

OS - 2006 19

Sifat-sifat Relasi Biner

3. Menghantar (transitive)

– DefinisiRelasi R pada himpunan A disebut menghantarjika (a,b) ∈R dan (b,c) ∈ R, maka (a,c) ∈ R, untuk a,b,c ∈A.

– Contoh:

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positifm dannsedemikian sehinggab=ma danc=nb. Di sinic=nma, sehingga

a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.

Relasi Inversi

• Definisi. MisalkanRadalah relasi dari himpunanAke

himpunanB. Invers dari relasiR, dilambangkan dengan R-1_,

adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

R-1 _{= {(b,a) | (a,b)}∈_R}

• Contoh:

Misalkan P= {2,3,4} dan O= {2,4,8,9,15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p,q) ∈R jika p habis membagi q, maka kita peroleh

R= {(2,2), (2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}

R-1 _{adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P}

dengan

(q,p) ∈R-1 _{jika q adalah kelipatan dari p, maka kita peroleh}

R-1_{= {(2,2), (4,2), (4,4), (8,2), (8,4),(9,3), (15,3)}}

OS - 2006 21

Relasi Inversi

Jika m adalah matriks yang mempresentasikan relasi R,

Maka matriks yang mempresentasikan relasi

R-1 , _{misalkan N, diperoleh}

dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

          = 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 M                 = = 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 T M N

Mengkombinasikan Relasi

• Contoh:

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks           = 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 R dan           = 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 R

maka matriks yang menyatakan R₁ ∪R₂ dan R₁ ∩R₂ adalah

          = ∧ =           = = _{∨ ∩} ∪ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ; 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 R R R R R R R

R M M M M

OS - 2006 23

Komposisi Relasi

• Definisi.Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari

himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S o R = {(a,c) | a ∈A, c ∈C, dan untuk beberapa b

∈B, (a,b) ∈R dan (b,c) ∈S}

Komposisi Relasi

          ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = = ) 1 (0 ) 1 (0 0) (0 ) 0 (0 0) (0 ) 1 (0 ) 1 (0 0) (0 0) (0 ) 1 (0 ) 1 (1 0) (1 ) 0 (0 0) (1 ) 1 (1 ) 1 (0 0) (1 0) (1 ) 1 (1 1) (0 0) (1 ) 0 (1 0) (0 ) 1 (1 ) 1 (1 0) (0 0) (1 . 2 1 1

2o R R R R M M

M

maka matriks yang menyatakan R₂ o R₁ adalah

          = 0 0 0 1 1 0 1 1 1

• Contoh : Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

OS - 2006 25

Relasi

n-ary

• Relasi yang menghubungkan lebih dari

dua buah himpunan

• Definisi. Misalkan A

₁

, A

₂

, …, A

_n

adalah

himpunan. Relasi

n-ary

R pada

himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan-himpunan

bagian dari A

₁

x A

₂

x …x A

_{n ,}

atau dengan

notasi R

⊆

A

₁

x A

₂

x …x A

_n

. Himpunan A

₁

x A

₂

x …x A

_n

disebut daerah asal relasi

dan n disebut

derajat

.

Contoh Relasi

n-ary

• Misalkan

NIM={13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021, 13598025}

Nama={Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan} Matkul={Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer}

Nilai = {A, B, C, D, E}

berturut-turut adalah himpunan Nomor Induk

Mahasiswa , himpunan nama mahasiswa, himpunan nama mata kuliah, dan himpunan nilai kuliah.

OS - 2006 27

Fungsi

(Pemetaan atau Transformasi)

•

Definisi

. Misalkan A dan B himpunan. Relasi

biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika

setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan

tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah

fungsi dari A ke B kita menuliskan

f: A

à

B

(

artinya

f

memetakan

A ke B

)

•

f(a)=b

, jika elemen a di dalam A dihubungkan

dengan elemen b di dalam B.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan Himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

bdinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image)

• Himpunan yang berisi semua nilai pemetaanf disebut jelajah (range) dari f

Fungsi

• Fungsi adalah relasi yang khusus.

• Tiap elemen di dalam himpunan A, yang

merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.

• Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen

di dalam B” berarti bahwa jika (a,b)

∈

f dan (a,c)

∈

f, maka b=c.

A B

a _b

OS - 2006 29

Spesifikasi Bentuk Fungsi

1. Himpunan pasangan terurut

2. Formula pengisian nilai (

assignment

)

3. Kata-kata

4. Kode program (

source code

)

Fungsi

Floor

dan

Ceiling

• Fungsi

floor

dari x dilambangkan dengan

• Fungsi

ceiling

dari x dilambangkan dengan

•

menyatakan nilai bilangan bulat

terbesar yang lebih kecil atau sama

dengan x

à

membulatkan x ke bawah

•

menyatakan nilai bilangan bulat terkecil

yang lebih besar atau sama dengan x

à

membulatkan x ke atas

 

x

 

x

 

x

OS - 2006 31

Fungsi Modulo dan Faktorial

• Fungsi modulo adalah fungsi dengan operator

mod

.

a mod b memberikan sisa pembagian bilangan

bulat bila a dibagi dengan m

• Fungsi Faktorial :

untuk sembarang bil. Bulat tidak negatif n,

faktorial dari n dilambangkan dengan n!

  

> −

× × ×

= =

0 n , ) 1 ( ... 3 2

0 n , , 1 !

n a

n

Fungsi Rekursif

• Definisi. Fungsif dikatakan rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri

• Nama lain dari fungsi rekursif adalah relasi rekursif (recurrence relation)

• Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian : a) Basis

Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri

b) Rekurens

OS - 2006 33

Contoh Fungsi Rekursif







≠

+

−

=

=

0

,

)

1

(

2

0

,

0

)

(

₂

x

x

x

F

x

x

F

    > − − − = = = 1 , ) , 2 ( ) , 1 ( 2 1 , 0 , 1 ) , ( n x n T x n xT n x n x n T     > − + − = = = 1 , ) 2 ( ) 1 ( 1 , 1 0 , 0 ) ( n n f n f n n n f 1.

2. Fungsi Chebysev