2-1 Probabilitas adalah:

(1)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Pengertian probabilitas

Kejadian, ruang sample dan probabilitas

Aturan dasar probabilitas

Probabilitas bersyarat

Independensi

Konsepsi kombinatorial

Probabilitas total dan teorema Bayes

Teori Probabilitas

2 2-1 Probabilitas adalah:

Sebuah ukuran

ketidak-pastian.

Sebuah ukuran

tingkat keyakinan

terjadinya

sebuah kejadian yang tidak pasti (

uncertain

event

).

Sebuah ukuran tingkat

peluang (likelihood of

occurrence)

dari sebuah kejadian yang tidak

pasti (

uncertain event

).

Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara

(2)

Type Probabilitas (1)

z

Objektif atau Probabilitas Klasik

Berlandaskan pada kejadian yang sama

(

equally-likely

) dan logis.

Berdasarkan frekuensi relatif kejadian dalam

waktu yang lama.

Tidak memperhatikan keyakinan perorangan.

Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif).

Contoh: pelemparan koin atau dadu.

Type Probabilitas (2)

z

Probabilitas Subjektif

Berlandaskan pada keyakinan individu,

pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal.

Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif).

Contoh: pemasaran produk baru, ramalan

(3)

( )

A

2-2 Kejadian, Ruang sample dan

Probabilitas (1)

z

Set – sebuah kumpulan dari elemen

atau objek yang menjadi perhatian

Set Kosong (∅)

z Sebuah set yang tidak memiliki anggota elemen

Set Universal (S)

z Sebuah set yang mencakup seluruh elemen yang

mungkin ada

Komplemen (

Not

). Komplemen A adalah

sebuah set yang mencakup semua elemen S

kecuali elemen A

Subset (

⊂

)

- Adalah sebuah set bagian dari set S

Irisan

(And) A

∩

B

- adalah set yang mencakup semua elemen A

dan B

Gabungan

(Or) A

∪

B

- adalah sebuah set yang mencakup semua

elemen A atau B atau keduanya

Kejadian, Ruang sample dan

Probabilitas (2)

(4)

Beberapa Teorema (1)

Teorema: P(φ)=0 Bukti:

Tuliskan hubungan berikut S = S∪φ dan juga diperoleh hubungan S∩φ=φ. Dengan aksioma di atas, diperoleh

) ( ) ( ) (S P S Pφ P = + . Karena P(S) = 1, maka P(φ)=0.

Teorema: P(A)=1−P(A), dimana A adalah komplemen dari A Bukti:

Dari definisi komplemen, untuk setiap A⊂ maka diperoleh S

A A

S= ∪ . Karena A∩ A=φ, maka dengan aksioma di atas

diperoleh P(S)=P(A)+P(A).

Karena P(S) = 1, dengan demikian P(A)=1−P(A).

Beberapa Teorema (1)

Teorema: Untuk dua kejadian A dan B, sedemikian

sehingga A⊂B, maka P(A)≤ P(B).

Bukti:

Kejadian B dapat ditulis sebagai B= A∪(A∩B), dimana

φ = ∩ ∩(A B)

A , maka dengan aksioma di atas diperoleh

) ( ) ( ) (B P A P A B

P = + ∩ . Karena (A∩ )B ⊂ S adalah suatu kejadian maka P(A∩ B)≥0, dengan demikian P(A) ≤P(B).

(5)

• Mutually exclusive

atau

disjoint

–

dua set tidak memiliki elemen bersama,

tidak memiliki irisan, atau irisannya adalah

set kosong.

• Partisi

–

adalah sekumpulan set yang

mutually

exclusive

yang secara bersama-sama

mencakup semua elemen, atau

gabungannya membentuk set universal S.

Kejadian, Ruang sample dan

Probabilitas (3)

A

∪

B

A

∩

B

A 2 A 1 A 5 A 4 A 3 Partisi A AIB B B A A

Diagram set

Komplemen

(6)

• Sebuah proses yang menghasilkan satu dari

beberapa hasil yang mungkin terjadi

*, contoh:

Coin toss: Heads,Tails Throw die: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Pengenalan produk baru: sukses, gagal

• Setiap percobaan memiliki hasil observasi

tunggal.

• Hasil pasti dari percobaan random tidak dapat

diketahui sebelum dilakukan.

* Juga dikenal sebagai hasil dasar ( basic outcome), kejadian dasar atau kejadian sederhana

Percobaan - Experiments

z

Ruang sample atau set kejadian

adalah set dari semua hasil yang mungkin ada dari

sebuah percobaan

z contoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)

z

Kejadian

Kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang sama

z Contoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)

Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadi

Probabilitas sebuah kejadian

Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang muncul

z P(A) = P(2) + P(4) + P(6)

(7)

• Perhatikan contoh berikut:

Percobaan pelemparan sebuah dadu seimbang •Ada 6 hasil yang mungkin (1,2,3,4,5,6)

•Jika setiap hasil seimbang (equally-likely), probabilitas setiap hasil adalah 1/6 = .1667 = 16.67%

Kejadian A (muncul sisi genap)

•P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 • P A P e untuk setiap e dalam A

n A n S ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = ∑ 3 6 1 2 P e n S ( ) ( ) = 1

Percobaan Ideal

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 14 Hearts Diamonds Clubs Spades

A A A A K K K K Q Q Q Q J J J J 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 Kejadian ‘Ace’ Gabungan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’ Kejadian ‘Heart’

Irisan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’ Adalah titik yang dilingkari dua kali: the ace of hearts P H eart Ace n H eart Ace n S ( ) ( ) ( ) U U = = = 16 52 4 13 P Heart n Heart n S ( ) ( ) ( ) = = 13 = 52 1 4 P Ace n Ace n S ( ) ( ) ( ) = = 4 = 52 1 13 P H eart Ace n H eart Ace n S ( ) ( ) ( ) I I = = 1 52

Pengambilan Kartu

(8)

z

Rentang nilai

z

Komplement - Probabilitas

bukan

A

z

Irisan - Probabilitasy A

dan

B

Kejadianmutually exclusive (A dan C) :

z

Rentang nilai

z

Komplement

- Probabilitas

bukan

A

z

Irisan

- Probabilitasy A

dan

B

Kejadianmutually exclusive (A dan C) :

0≤ P A( )≤1 P A( )= −1 P A( ) P A B n A B n S ( ) ( ) ( ) ∩ = ∩ P A( ∩ C)= 0

2-3 Aturan Dasar Probabilitas (1)

•

Gabungan - Probabilitas A atauB atau keduanya

Kejadian mutually exclusive :

Probabilitas Bersyarat - Probabilitas A pada(given) B

Kejadian independen:

•

Gabungan - Probabilitas A atau B atau keduanya

Kejadian mutually exclusive :

Probabilitas Bersyarat- Probabilitas A pada(given) B

Kejadian independen: P A B n A B n S P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∪ = ∪ = + − ∩ P A( ∩ C)= 0 s o P A( ∪ C)= P A( )+ P C( ) P A B P A B P B ( ) ( ) ( ) = ∩ P A B P A P B A P B ( ) ( ) ( ) ( ) = =

(9)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 17 Aturan probabilitas bersyarat:

Aturan probabilitas bersyarat:

Jika kejadian A dan D saling independen secara statistik:

maka maka P A B P A B P B ( ) ( ) ( ) = ∩ P A B P A B P B P B A P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∩ = = P A D P A P D A P D ( ) ( ) ( ) ( ) = = P A( ∩ D)= P A P D( ) ( )

2-4 Probabilitas Bersyarat

Acer IBM Total

Telekomunikasi 40 10 50

Komputer 20 30 50

Total 60 40 100 Frekuensi

Acer IBM Total

.40 .10 .50 .20 .30 .50 Total .60 .40 1.00 Probabilitas P IBM T P IBM T P T ( ) ( ) ( ) . . . = = = I 10 50 2

Probabilitas bahwa sebuah proyek yang dikerjakan IBM adalah (given) proyek telekomunikasi adalah:

Tabel Contingency

Telekomunikasi

(10)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 19 P A B P A P B A P B and P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = I

Syarat independensi secara statistik dari kejadian A dan B adalah: P A c e H e a r t P A c e H e a r t P H e a r t P A c e ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = I 1 5 2 1 3 5 2 1 1 3 P H e a r t A c e P H e a r t A c e P A c e P H e a r t ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = I 1 5 2 4 5 2 1 4

P Ace( _IHeart) = 4 = = P Ace P Heart( ) ( ) 52 13 52 1 52

2-5 Independensi Kejadian (1)

a P T B P T P B b P T B P T P B P T B ) ( ) ( ) ( ) . * . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . I U I = = = = + − = + − = 0 04 0 06 0 0024 0 04 0 06 0 0024 0 0976

Kejadian T(prob. 0,04) dan B(prob. 0,06) diasumsikan independen

Independensi Kejadian (1)

(11)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 21 Probabilitas gabungan dari beberapa kejadian independen adalah 1 dikurangi perkalian probabilitas komplemen

masing-masing:

P A( A A _An) P A P A( ) ( ) (P A ) _{P An}( ) 1∪ 2∪ 3∪ ∪L = −1 1 2 3L

Probabilitas irisan dari beberapa kejadian independen adalah perkalian dari probabilitas masing-masing:

P A( A A _An) P A P A( ) ( ) (P A ) _{P An}( ) 1∩ 2∩ 3∩ ∩L = 1 2 3 L

Perkalian Kejadian Independen

Hukum Probabilitas

Identity laws

(A∪∅=A, A∩∅=∅),

Idempotent law

(A∪A=A, A∩A=A)

Complement law

(A∪A=S, A∩A=∅)

Commutative law

(A∪B=B∪A, A∩B=B∩A)

De morgan’s law

(A∪B=B∩A, A∩B=B∪A)

Associative law

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C,

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

Distributive law

A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)

(12)

Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparan pertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan kedua (1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin dari dua kali pelemparan.

Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam

N_icara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari

n kejadian akan muncul adalah N₁N₂...N_n.

z Ambil 5 kartu dari tumpukan

lengkap –dengan pengembalian

52*52*52*52*52=525

380,204,032 hasil yang mungkin

z Ambil 5 kartu dari tumpukan

lengkap –tanpa pengembalian

52*51*50*49*48 = 311,875,200

hasil yang mungkin

2-6 Konsep Kombinatorial (1)

.

. .

Urutan tiga huruf: A, B, dan C

A B C B C A B A C _A C B C B A

.

..

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Konsep Kombinatorial (2)

(13)

Ada berapa cara untuk mengurutkan 3 huruf A, B, dan C? Ada 3 pilihan untuk huruf pertama, 2 untuk huruf kedua dan 1

Untuk huruf terakhir, sehingga ada 3*2*1 = 6 cara yang mungkin.

Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720)

Faktorial:Untuk setiap integer positif n, n faktorialdidefinisikan:

n(n-1)(n-2)...(1).n faktorial ditulis dengan n!.

Jumlah n! adalah jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan. Didefinisikan bahwa1! = 1.

Faktorial

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 26 Permutasiadalah pilihanurutanyang mungkin darir objek dari total n objek. Jumlah permutasi dari n objek setiap kali diambil r objek dituliskan dengannPr.

Bagaimana jika hanya 3 dari 6 huruf A, B, C, D, E, dan F yang dipilih?

Ada 6 cara untuk huruf pertama, 5 cara untuk huruf kedua dan 4 cara untuk huruf terakhir, sehingga ada 6*5*4=120 urutan yang mungkin atau permutasi.

120 4 * 5 * 6 1 * 2 * 3 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 ! 3 ! 6 )! 3 6 ( ! 6 : 3 6 = ₋ = = = =

−

=

P contoh Sebagai

r

n

r

P

n

₍

!

_)!

Permutasi

(14)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 27 Kombinasiadalah pemilihan yang mungkin darir item dari sejumlah n item Tanpa memperhatikan urutan. Jumlah kombinasi dinyatakan dengan

ataunCr dan dibaca kombinasi r dari n, secara matematis diformulasikan sebagai:

Jika diambil 3 dari 6 huruf A, B, C, D, E, dan F, mungkin diperoleh BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, atau DCB (merupakan pemutasi dari B, C, dan D) yang pada dasarnyakombinasi dari 3 huruf. Berapa banyak kombinasi dari 6 huruf setiap kali diambil 3 huruf?

20 6 120 1 * 2 * 3 4 * 5 * 6 ) 1 * 2 * 3 )( 1 * 2 * 3 ( 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 ! 3 ! 3 ! 6 )! 3 6 ( ! 3 ! 6 : 3 6 = ₋ = = = = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ C Contoh r n r)! (n r! n! C r n r n n r ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

Kombinasi

n=10 (Total Number of Objects Available)

Total Number of # of Probability of # of Probability of Objects Selected r Permutations Particular Permutation Combinations Particular Combination

1 10 0.1 10 0.1 2 90 0.011111111 45 0.022222222 3 720 0.001388889 120 0.008333333 4 5040 0.000198413 210 0.004761905 5 30240 3.31E-05 252 0.003958254 6 151200 6.61E-06 210 0.004761905 7 604800 1.65E-06 120 0.008333333 8 1814400 5.51E-07 45 0.022222222 9 3628800 2.76E-07 10 0.1 10 3628800 2.76E-07 1 1

Permutasi dan Kombinasi dengan

Excel

(15)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 29 P A( )=P A( ∩B)+P A( ∩B)

Dalam bentuk probabilitas bersyarat:

Secara umum (dimana B

_i

membentuk partisi):

P A P A B P A B P A B P B P A B P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∩ + ∩ = + P A P A B i P A B i P Bi ( ) ( ) ( ) ( ) =∑ ∩ = ∑

2-7 Probabilitas Total dan Teorema

Bayes

Kejadian U: pasar saham tumbuh tahun depan

Kejadian W: kondisi ekonomi membaik tahun depan

P U W P U W P W P W P U P U W P U W P U W P W P U W P W ( ) . ( ) ( ) . ( ) . . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) . . . = = = ⇒ = − = = ∩ + ∩ = + = + = + = 7 5 3 0 8 0 1 8 2 7 5 8 0 3 0 2 0 6 0 0 6 6 6

Probabilitas Total

(16)

• Teorema Bayes

memungkinkan untuk

menge-tahui probabilitas B bersyarat A jika dikemenge-tahui

probabilitas A bersyarat B.

• Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan

hukum probabilitas total.

P B A P A B P A P A B P A B P A B P A B P B P A B P B P A B P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + I I I I Menggunakan probabilitas total pada penyebut Menggunakan probabilitas bersyarat

Teorema Bayes

• Sebuah pengaruh treatment logam (berdampak 0.1%

terhadap populasi [ ]) tidak sempurna:

Jika dilakukan pada logam non-standar, perlakukan dinilai sukses dengan probabilitas 0.92 [ ]

Kejadian disebutfalse negative

Jika dilakukan pada logam standar, perlakukan akan me-nyimpang (false positive) dengan probabilitas 0.04 [ ]

Kejadian disebutfalse positive. .

P I( ) = 0 001.

P Z I( ) .= ⇒92 P Z I( ) .=08

(Z I)

P Z I( )=004. ⇒P Z I( )=096.

(17)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 33 P I P I P Z I P Z I ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . = = = = 0 001 0 999 0 92 0 04 P I Z P I Z P Z P I Z P I Z P I Z P Z I P I P Z I P I P Z I P I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. )( . ) (. )( . ) ( . )(. ) . . . . . . = = + = + = + = + = = I I I I 92 0 001 92 0 001 0 04 999 0 00092 0 00092 0 03996 0 00092 04088 0225

Contoh Teorema Bayes (2)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 34 P I( )= 0 001. P I( )= 0 999. P Z I( )= 0 04. P Z I( )= 0 96. P Z I( )= 0 08. P Z I( )= 0 92. P Z( _II)=( .0 001 0 92)( . )=.00092 P Z( II)=( .0 001 0 08)( . ) .=00008 P Z( II)=( .0 999 0 04)( . ) .=03996 P Z( II)=( .0 999 0 96)( . ) .=95904 Probabilitas

prior Probabilitasbersyarat Probabilitasgabungan

(18)

• Diberikan partisi B

₁

,B

₂

,...,B

_n

:

P B A

P A

B

P A

B

P A

B

P A B P B

i i i

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

) ( )

(

) ( )

1 1 1 1 1

=

∩

=

∩

∑

=

∑

Gunakan probabilitas total pada penyebut Terapkan probabilitas bersyarat

Perluasan Teorema Bayes (1)

z Pada saat kondisi mesin sangat baik, diperkirakan sebuah industri akan

menhasilkan produk yang baik dengan probabilitas 0,70; dalam kondisi biasa probabilitasnya 0,40; dan pada kondisi buruk probabilitas

menghasilkan produk yang baik hanya 0,20.

z Dalam suatu perioda, probabilitas bahwa kondisi mesin sangat baik adalah

0,30, moderat 0,50, dan buruk 0,50.

z Jika selama perioda tersebut dihasilkan produk yang baik, bepara

kemungkinan bahwa kondisi mesin sangat baik?

Partisi Kejadian A (produk baik)

H – Mesin sangat baik P(H) = 0,30 P(A|H)=0,70 M – Mesin moderat P(M) = 0,50 P(A|M)=0,40 L – Mesin buruk P(L) = 0,20 P(A|L)=0,20

(19)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 37 P H A P H A P A P H A P H A P M A P L A P A H P H P A H P H P A M P M P A L P L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . ) . . . . . . . = = + + = + + = + + = + + = = I I I I I 0 70 0 30 0 70 0 30 0 40 0 50 0 20 0 20 0 21 0 21 0 20 0 04 0 21 0 45 0 467

Perluasan Teorema Bayes (3)

Probabilitas

prior Probabilitasbersyarat Probabilitasgabungan

P H( ) = 0 3 0. P M( )= 0 50. P L( ) = 0 20. P A H( ) = 0 70. P A H( ) = 0 30. P A M( )= 0 40. P A M( ) = 0 60. P A L( ) = 0 20. P A L( )= 0 80. P A( IH)=( .0 3 0)( .0 7 0)=0 2 1. P A( IH)=( .0 3 0)( .0 3 0) =0 0 9. P A( IM) =( .0 5 0)( .0 4 0) =0 2 0. P A( IM) =( .0 5 0)( .0 6 0)=0 3 0. P A( IL) =( .0 2 0)( .0 20)=0 0 4. P A( IL)=( .0 2 0)( .0 80)= 0 1 6.

Perluasan Teorema Bayes (4)

(20)

Teorema Bayes – Distribusi (1)

Teorema Bayes dalam aplikasinya dapat digunakan dalam proses perbaikan distribusi kemungkinan berdasarkan informasi yang terbaru

Prior probability distribution additional information (sampling distribution) Posterior or revised distribution

Teorema Bayes – Distribusi (2)

Contoh :

Proporsi “pencemar/polutant” (didefinisikan sebagai

terdapatnya bahan-bahan lain yang tidak diinginkan) pada sebuah kemasan bahan baku yang diterima oleh sebuah perusahaan diketahui sebagai berikut:

Proporsi pencemar P Probabilitas*

0.05 0.21 0.10 0.23 0.15 0.45 0.20 0.09 0.25 0.01 0.30 0.01

(21)

Teorema Bayes – Distribusi (3)

Sebuah informasi penelitian terakhir dari 50 kemasan yang diperiksa diperoleh data bahwa 8 delapan kemasan dinilai “tercemar/tidak murni”. Distribusi informasi tersebut adalah:

Proporsi keberhasilan P Probabilitas *P x( | )θ =P X( = 850| , )p

0.05 0.002 0.10 0.064 0.15 0.091 0.20 0.117 0.25 0.064 0.30 0.011 0.349 *mengikuti distribusi binomial.

Teorema Bayes – Distribusi (4)

Berdasarkan data terbaru, dilakukan revisi distribusi probabilitas: P A w a l S a m p e l J o in t* B a ru * * 0 .0 5 0 .2 1 0 .0 0 2 0 .0 0 0 4 2 0 .0 0 7 0 .1 0 0 .2 3 0 .0 6 4 0 .0 1 4 7 2 0 .2 1 8 0 .1 5 0 .4 5 0 .0 9 1 0 .0 4 0 9 5 0 .6 0 8 0 .2 0 0 .0 9 0 .1 1 7 0 .0 1 0 5 3 0 .1 5 6 0 .2 5 0 .0 1 0 .0 6 4 0 .0 0 0 6 4 0 .0 0 9 0 .3 0 0 .0 1 0 .0 1 1 0 .0 0 0 1 1 0 .0 0 2 0 .3 4 9 0 .0 6 7 3 7 1 .0 0 0