Teori Penaksiran. Oleh : Dewi Rachmatin

Teori Penaksiran

Oleh :

Pendahuluan



Ada 2 metode inferensi : metode

klasik dan metode Bayes dalam

menaksir parameter populasi



Dalam metode klasik inferensi

didasarkan pada informasi yang

diperoleh melalui sampel acak



Dalam metode Bayes, inferensi

menggunakan pengetahuan subjektif

terdahulu mengenai distribusi

peluang parameter yang tak

diketahui bersama dengan informasi

yang diberikan oleh data sampel

Metode Penaksiran Klasik



Inferensi terbagi menjadi penaksiran

dan pengujian hipotesis



Penaksir (taksiran) suatu parameter

dapat berupa taksiran titik atau

taksiran selang



Statistik yang digunakan untuk

mendapatkan taksiran titik disebut

penaksir atau fungsi keputusan. Jadi

fungsi keputusan S adalah penaksir

σ dan taksiran s adalah ‘tindakan’

yang diambil



Himpunan semua tindakan yang

mungkin yang dapat dilaksanakan

dalam masalah penaksiran disebut

ruang keputusan



Tidak dapat diharapkan suatu

penaksir akan menaksir parameter

populasi tanpa kesalahan. Tidak

beralasan mengharapkan akan

menaksir µ dengan tepat, tapi

tentunya diharapkan tidak terlalu

jauh menyimpang

Sifat-sifat Penaksir yang Baik



Penaksir Takbias

(Unbiased Estimator)

Statistik dikatakan penaksir takbias

parameter

θ bila E[ ]= θ

Contoh : penaksir takbias untuk µ

karena E[ ] = µ , dan

penaksir takbias untuk

σ

2

θˆ

θˆ

X X

(

)

1 1 2 2 − − =

∑

= n X X S n i i



Penaksir paling efisien

penaksir yang memberikan variansi

terkecil dari semua penaksir

θ yang

mungkin dibuat



Penaksir konsisten



Penaksir yang takbias dan

variansinya minimum adalah

penaksir yang terbaik

(

ˆ

)

1

lim

:

berlaku

0

−

<

=

>

∀

∞ →

θ

θ

ε

ε

P

n

Selang Kepercayaan

(Taksiran Selang)



Selang kepercayaan untuk

θ

adalah selang yang berbentuk

dimana dan

nilainya

tergantung pada nilai



Daripada mengatakan bahwa

tepat sama dengan µ akan lebih

meyakinkan bila mengatakan

2 1

θ

θˆ

θˆ

<

<

1

θˆ

θˆ

2

θˆ

x

k

x

k

x

−

<

μ

<

+

 Jika ukuran sampel membesar maka

mengecil sehingga kemungkinan besar taksiran bertambah dekat dengan µ, yang berarti selang lebih pendek. Jadi

taksiran selang menunjukkan, berdasarkan panjangnya, ketepatan titik

 Makin besar nilai k yang dipilih, makin

panjang selangnya dan makin yakin bahwa sampel yang diambil akan memberikan

selang parameter yang tak diketahui

n σ σ2 2

Menaksir rataan (mean)



σ diketahui , untuk n yang cukup

besar :

( )

(

)

α

1

z

n

σ/

μ

X

z

-P

α

1

z

Z

z

-P

Karena

0,1

N

~

n

σ/

μ

X

Z

:

akibatnya

n

σ

μ,

N

~

X

:

Pusat

Limit

Dalil

α/2 α/2 α/2 α/2 2

−

=













<

−

<

−

=

<

<

−

=













 Contoh :

Rataan dan simpangan baku nilai ujian matematika sampel acak 36 mahasiswa 2,6 dan 0,3. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai

matematika semua mahasiswa.

n σ . z μ n σ . z : μ untuk α)100% (1 n kepercayaa selang Sehingga α 1 n σ . z X μ n σ . z X P α/2 α/2 α/2 α/2 + < < − − − =       _{− < < +} x x

 Jawab : diketahui =2,6

Karena ukuran sampel cukup besar maka simpangan baku populasi dapat dihampiri oleh s=0,3. Nilai z yang luas di sebelah kanannya 0,025 adalah z_0,025 = 1,96. Jadi selang kepercayaannya 95% :

atau 2,50 < µ <2,70. Untuk 99% : atau 2,47 < µ < 2,73.

x

      + < <       − 36 3 , 0 ) 575 , 2 ( 6 , 2 μ 36 3 , 0 ) 575 , 2 ( 6 , 2       + < <       − 36 3 , 0 ) 96 , 1 ( 6 , 2 μ 36 3 , 0 ) 96 , 1 ( 6 , 2

 Untuk menaksir µ dengan derajat

ketetapan yang lebih tinggi diperlukan selang yang lebih besar.

 Selang kepercayaan (1- α)100%

memberikan taksiran ketepatan taksiran titik kita.

 Bila µ sesungguhnya merupakan titik pusat

selang, maka menaksir µ tanpa galat. Tetapi umumnya sampel tidak

menghasilkan tepat sama dengan µ sehingga taksiran titik umumnya akan meleset (mengandung galat).

x

 σ tak diketahui, populasi normal dan n<30

p=α/2 dan dk = n-1

 Jika n relatif besar dibanding N yakni

(n/N)>5% , gunakan :

1

.

n

.

z

μ

1

.

n

.

z

_{/2 /2}

−

−

+

<

<

−

−

−

N

n

N

x

N

n

N

x

_α

σ

_α

σ

n

s

.

t

μ

n

s

.

t

_p

<

<

+

_p

−

x

x



Contoh :

Tujuh botol yang mirip

masing-masing berisi asam sulfat 9,8 ; 10,2;

10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter.

Carilah selang kepercayaan 95%

untuk rataan isi botol semacam itu

bila distribusinya dianggap hampir

normal.

Teorema

 Bila dipakai untuk menaksir µ, maka

dapat dipercaya (1-α)100% bahwa

galatnya akan lebih dari suatu bilangan g yang ditetapkan sebelumnya asal ukuran sampel :

 Contoh : Berapa besar sampel yang

diperlukan pada contoh sebelumnya bila ingin percaya 95% bahwa taksiran untuk µ meleset kurang dari 0,05 ? n=138,3

x

2 2 / .       = g z n α

σ

Menaksir Selisih Dua Rataan

 Bila ada dua populasi masing-masing

dengan rataan µ₁ dan µ₂ dan variansi dan , maka penaksir titik untuk selisih rataan untuk selisih µ₁ dan µ₂ :

ukuran sampel : n₁ dan n₂.

2 2

σ

2 1

σ

2 1

X

X

−

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

1 α n σ n σ z X X μ μ n σ n σ z X X α 1 z /n σ /n σ μ μ X X z P α 1 z Z z P 1 2 2 1 2 1 α/2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 α/2 2 1 α/2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 α/2 α/2 α/2 − =         + + − < − < + − − − =         < + − − − < − − = < < − P

 Contoh :

Suatu ujian kimia yang telah dibakukan diberikan pada 50 siswa wanita dan 76 siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76 dan simpangan baku 6, sedangkan rata-rata pria 82 dan simpangan baku 8. Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih , bila menyatakan rataan nilai semua siswa pria dan rataan nilai semua siswa wanita yang mungkin akan mengikuti ujian.

        + + − + − − 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 ) ,( ) ( n n z x x n n z x x _α σ σ _α σ σ

Selisih Dua Rataan



Selang kepercayaan sampel kecil

untuk µ

₁

-µ

₂

; = tapi tidak

diketahui, selang kepercayaan

(1-

α)100% untuk µ

₁

-µ

₂

diberikan :

ukuran sampel masing-masing n

₁

dan n

₂

berasal dari distribusi normal,

dk= n

₁

+n

₂

-2 ;

2 1

σ

2 2

σ

      + + − + − − 2 1 2 / 2 1 2 1 2 / 2 1 1 1 . . ) ( , 1 1 . . ) ( n n s t x x n n s t x x _{α p α p}

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n s_p

 Contoh : Dalam sekelompok proses kimia,

pengaruh dua katalisator ingin

dibandingkan dengan hasilnya pada proses reaksi. Katalisator 1 digunakan pada suatu sampel dengan 12 angkatan dan katalisator 2 digunakan pada sampel dengan 10 angkatan. Ke 12 angkatan yang menggunakan katalisator 1 memberikan rata-rata sampel 85 dengan simpangan baku sampel 4, yang kedua rata-rata

sampel 81 dan simpangan baku sampel 5. Carilah selang kepercayaan 90% untuk

selisih kedua rataan populasi bila dianggap kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

Selisih Dua Rataan



Selang kepercayaan sampel kecil

untuk µ

₁

-µ

₂

;

≠ tapi tidak

diketahui, selang kepercayaan

(1-

α)100% untuk µ

₁

-µ

₂

diberikan :

ukuran sampel masing-masing n

₁

dan n

₂

berasal dari distribusi

normal, dk=

2 1

σ

2 2

σ

(

)

(

)

        + + − + − − 1 2 2 1 2 1 2 / 2 1 1 2 2 1 2 1 2 / 2 1 , n s n s t x x n s n s t x x _{α α}

(

)

[

] [

]

[

( / ) /( 1) ( / ) /( 1)

]

) / ( ) / ( 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − + − + = n n s n n s n s n s ν

 Contoh : Catatan selama 15 tahun terakhir

menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan di suatu kabupaten selama bulan Mei 4,93 cm dengan simpangan baku 1,14 cm. Di kabupaten lain rata-rata curah hujan

selama bulan Mei 2,64 cm dengan

simpangan baku 0,66 cm selama 10 tahun terakhir. Carilah selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata sesungguhnya curah hujan di kedua kabupaten; anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan variansi yang berbeda.



Selang kepercayaan untuk µ

₁

_-µ

₂

_=µ

_D

untuk pengamatan pasangan.

Selang kepercayaan (1-

α)100%

untuk µ

_D

diberikan oleh :

dengan dan s

_d

menyatakan rataan

dan simpangan baku selisih n

pasangan pengukuran dan

menyatakan nilai distribusi t dengan

dk :

ν =n-1 sehingga luas di sebelah

kanannya

α/2.

d

2 / α

t

n

s

t

d

n

s

t

d

−

_α/2 d

<

µ

_D

<

+

_{α /2} d 1

~

/

−

−

=

_n d D

_t

n

S

D

T

µ

Menaksir Proporsi

 Penaksir titik untuk proporsi p dalam

suatu percobaan binomial diberikan oleh

 Jadi akan digunakan sebagai

taksiran titik untuk parameter p

 Proporsi p yang tak diketahui diharapkan

tidak akan terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan distribusi sampel , yang sama saja dengan distribusi p.a. X

 Distribusi hampir normal dengan

rataan n X Pˆ = Pˆ n x pˆ = Pˆ

[ ]

p n np n X E P E P  = =    = = ˆ ˆ µ

dengan variansi :



_P(-z

_α/2

_{< Z < z}

_α/2

_{) = 1 -}

α dengan

n

p

p

n

p

np

n

X P

)

1

(

)

1

(

2 2 2 2 ˆ

−

=

−

=

=

σ

σ

n

p

p

p

P

Z

/

)]

1

.(

[

ˆ

−

−

=

α α α  = −      ₋ + < < − − (1 ) ˆ (1 ) 1 ˆ 2 / 2 / n p p z P p n p p z P P

 Selang kepercayaan untuk p, n 30 :

: proporsi sukses dalam sampel acak berukuran n, dan menyatakan nilai kurva normal baku sehingga luas di

sebelah kanannya α/2.

 Contoh : Pada suatu sampel acak n=500

keluarga yang memiliki pesawat televisi di kota Hamilton Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki TV berwarna. Carilah

selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tsb? n p p z p p n p p z pˆ − _α/2 (1− ) < < ˆ + _α/2 (1− ) 2 / α

z

≥

pˆ



Jika dipakai sebagai taksiran p ,

maka galatnya akan lebih kecil dari :

dengan kepercayaan (1-

α)100%.



Akibatnya galat akan lebih kecil dari

g jika

pˆ

n

p

p

z

_α/2

(

1

−

)

2 2 2 /

ˆ

(

1

ˆ

)

g

p

p

z

n

=

α

−

Menaksir Selisih Dua Proporsi



Selang kepercayaan untuk p

₁

-p

₂

;

n

₁

dan n

₂

30. Selang

kepercayaan (1-

α)100% untuk

selisih dua parameter binomial

p

₁

-p

₂

diberikan

≥

(

)

(

)

2 2 2 1 1 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 / 2 1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

n

q

p

n

q

p

z

p

p

p

p

n

q

p

n

q

p

z

p

p

+

+

−

<

−

<

+

−

−

α α

 Contoh :

Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan.

Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tsb memberi perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang

berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.

Menaksir Variansi



Taksiran selang untuk dapat

diturunkan dengan statistik



Selang kepercayaan (1-

α)100%

untuk suatu populasi normal

2

σ

(

)

2 1 2 2

1

−

−

=

_n 2

~

S

n

X

χ

σ

(

χ

₁2_−α/2

<

X

2

<

χ

_α2_/2

)

=

1

−

α

P

2

σ

2 2 / 1 2 2 2 2 / 2

)

1

(

)

1

(

α α

χ

σ

χ

₋

−

<

<

−

s

n

s

n



Contoh :

Data berikut menyatakan berat

dalam gram dari 10 bungkus bibit

sejenis tanaman yang dipasarkan

oleh suatu perusahaan :

46,4;46,1;45,8;47,0;46,1;45,9;

45,8;46,9;45,2 dan 46,0. Tentukan

selang kepercayaan 95% untuk

varians semua bungkusan bibit yang

dipasarkan perusahaan tersebut.

Menaksir Nisbah Dua Variansi



Bila dan variansi dua populasi

normal, maka taksiran selang untuk

/ dapat diperoleh dengan

memakai statistik :



Peubah acak F mempunyai

distribusi F dengan dk :

ν

₁

=n

₁

-1 dan

ν

₂

=n

₂

-1. Jadi

2 1

σ

2 2

σ

2 1

σ

2 2

σ

2 2 2 1 2 1 2 2

S

S

F

σ

σ

=

[

f

_{1−α /2}

(

ν

₁

,

ν

₂

)

<

F

<

f

_{α /2}

(

ν

₁

,

ν

₂

)

]

=

1

−

α

P

 Selang kepercayaan (1-α)100% untuk

dengan ν₁=n₁-1 ν₂=n₂-1.

 Contoh : Suatu ujian masuk yang telah

dibakukan dalam matematika diberikan

kepada 25 siswa pria dan 16 wanita. Siswa pria mendapat nilai rata-rata 82 dengan

simpangan baku 8, 2 2 2 1 /

σ

σ

)

,

(

)

,

(

1

1 2 2 / 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 2 2 1

ν

ν

σ

σ

ν

ν

α α

f

s

s

f

s

s

<

<

sementara wanita mendapat nilai

rata-rata 78 dengan simpangan baku

7. Hitung selang kepercayaan 98%

untuk

dan

bila dan

masing-masing menyatakan varians

populasi nilai pria dan wanita yang

telah/akan mengikuti ujian.

Pengujian Hipotesis 2 2 2 1

/

σ

σ

σ

₁

/

σ

₂

σ

₁2

σ

₂2