BAB II DIMENSI PARTISI

BAB II

DIMENSI PARTISI

2.1 Definisi dasar dan keterkaitannya dengan metric dimension

Dalam pembahasan dimensi partisi, graf yang dibahas adalah graf terhubung sederhana dan tidak memiliki arah. Sebelum mendefinisikan graf yang digunakan dalam penelitian ini, akan didefinisikan penggabungan dan penjumlahan graf. Misalkan G dan H adalah dua buah graf. Graf G H adalah penggabungan G dan H jika himpunan titik V(G H) = V(G) V(H), dengan V(G) V(H) = { } dan himpunan sisi E(G H) = E(G) E(H). Graf G + H adalah graf dengan

himpunan titik V(G + H) = V(G) V(H) dan himpunan sisi

E(G + H) = E(G) E(H) {uv | u

∪

∪ ∪ ∩

∪ ∪

∪

∪ ∪

∈

V(G) dan v

∈

V(H)}. Ilustrasi dapat dilihat

pada gambar berikut.

v1 v2 v3 u1 u2 u3

G

H

v1 v2 v3 v1 v2 v3 u1 u2 u3 u1 u1 uu2 2 uu3 3

G + H

G

∪

H

Berikut adalah definisi beberapa graf yang digunakan dalam tugas akhir ini. 1. Graf Wheel

Dalam teori graf, graf Wheel (Wn) atau graf roda adalah graf hasil tambah

K1 + Cn – 1, dimana K1 adalah graf lengkap satu titik dan Cn – 1 adalah graf cycle.

Sisi pada graf ini ada dua jenis, yaitu sisi dalam yang merupakan jari-jari dan sisi luar. Titiknya juga ada dua jenis, titik pusat dan titik luar.

W4 W5 W6

W7 W8 W9

Gambar 2 Enam buah graf Wheel pertama

2. Graf Kipas

Graf Kipas atau Fan (Fn) adalah graf hasil tambah K1 + Pn – 1. Graf ini memiliki

banyak titik n ≥ 4. Graf ini juga dapat dibentuk dari graf Wheel yang dikurangi sebuah sisi luarnya.

F4 F5

F6 F7

3. Graf Kincir

Graf Kincir adalah graf hasil tambah K1 + nK2. Graf Kincir (Ki) atau sering

disebut dengan graf Windmill merupakan graf terhubung n buah batang dengan

n ≥ 2. Biasanya n digunakan untuk menyatakan banyaknya titik, tetapi tidak untuk

tugas akhir ini. Setiap batang ini memuat 2 titik sehingga graf Ki(n) adalah graf n batang dengan (2n+1) titik. Sebagai contoh, graf kincir dua batang (5 titik), tiga batang (7 titik), dan empat batang (9 titik) dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 4 Beberapa contoh graf Kincir

Di dalam jurnalnya, Gary Chartrand, Ebrahim Salehi, dan Ping Zhang memberikan definisi jarak pada graf. Untuk titik u dan v di graf terhubung G, jarak d(u, v) adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v di G. Untuk himpunan terurut W = {w1, w2, …, wk} dari himpunan titik di graf terhubung G

dan sebuah titik v di G, k-vektor (k-tuple terurut)

(

v

W

) ( ) (

(

d

v

w

d

v

w

) (

d

v

w

k

)

)

r

|

=

,

₁

,

,

₂

,...,

,

adalah metric representation (koordinat metric) dari v terhadap W. Himpunan W disebut resolving set untuk G jika semua titik di G memiliki koordinat metric yang berbeda. Minimum kardinalitas dari resolving set atau basis dari G disebut

metric dimension, yang dinotasikan dengan dim(G).

x u

y

v z

Sebagai contoh, graf G pada gambar 7 di atas memiliki basis W = {u, z} sehingga

dim(G) = 2. Koordinat untuk semua titik di G terhadap W adalah r(u| W) = (0, 1)

r(y| W) = (1, 1)

r(u| W) = (2, 1) r(z| W) = (1, 0).

r(x| W) = (1, 2)

Misalkan terdapat sebuah graf terhubung G dengan V(G) adalah himpunan titik-titiknya, S adalah himpunan bagian dari V(G) dan v titik di G, jarak antara v dengan S yang dinotasikan d(v, S) didefinisikan sebagai

(

v S

)

{

d

( )

v x x S

}

d , = min , | ∈ .

Misalkan terdapat sebuah graf terhubung G dan k buah partisi Π = {S1, S2,…, Sk}

dari V(G) dan v titik di G. Koordinat v terhadap Π didefinisikan sebagai

( ) ( ) ( ) ( )

v

(

d

v

S

d

v

S

d

v

S

k

)

r

|

Π

=

,

₁

,

,

₂

,...,

,

.

Partisi Π dikatakan resolving partition jika k-vektor r(v| Π) untuk setiap v

∈

V(G), berbeda. Nilai minimum k agar terdapat resolving k-partition dari V(G) adalah

partition dimension dari G atau sering dinotasikan dengan pd(G).Sebagai ilustrasi

dari definisi di atas, diberikan contoh berikut.

v1 v2

v3

v4 v5

Gambar 6

Misalkan Π1 = {S1, S2}, dengan S1 = {v1, v2, v3} dan S2 = {v4, v5} maka semua

koordinat titik di G terhadap Π1 adalah r(v1| Π1) = (0, 1)

r(v2| Π1) = (0, 2) r(v3| Π1) = (0, 1) r(v4| Π1) = (1, 0)

r(v5| Π1) = (1, 0).

Karena r(v1| Π1) = r(v3| Π1) = (0, 1) dan r(v4| Π1) = r(v5| Π1) = (1, 0) maka Π1

bukan resolving partition dari G. Berikutnya, misalkan Π2 = {S1, S2, S3, S4, S5},

dengan S1 = {v1}, S2 = {v2}, S3 = {v3}, S4 = {v4}, dan S5 = {v5} maka semua

koordinat titik di G terhadap Π2 adalah r(v1| Π2) = (0, 1, 1, 1, 2)

r(v2| Π2) = (1, 0, 2, 2, 3) r(v3| Π2) = (1, 2, 0, 1, 1) r(v4| Π2) = (1, 2, 1, 0, 1) r(v5| Π2) = (2, 3, 1, 1, 0).

Karena smua koordinat titik di G terhadap Π2 berbeda maka Π2 merupakan resolving partition dari G. Meskipun demikian, Π2 bukan minimum resolving partition dari G. Untuk menunjukkannya, misalkan Π3 = {S1, S2, S3}, dengan

S1={v1, v2}, S2={v3}, dan S3={v4 , v5} maka semua koordinat titik di G terhadap Π3

adalah r(v1| Π3) = (0, 1, 1) r(v2| Π3) = (0, 2, 2) r(v3| Π3) = (1, 0, 1) r(v4| Π3) = (1, 1, 0) r(v5| Π3) = (2, 1, 0).

Jadi, Π3 merupakan resolving partition dari G. Lebih lanjut, karena tidak ada 2

partisi dari V(G) yang merupakan resolving partition dari G maka Π3 merupakan

minimum resolving partition dari G. Jadi, pd(G) = 3.

Partition dimension dan metric dimension saling berhubungan. Hubungan tersebut

dapat dilihat pada teorema berikut.

Teorema 1. (G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang) Jika G adalah graf terhubung tidak trivial, maka

( )

G ≤dim

( )

G +1

Bukti : Misalkan dim(G) = k dan misal W = {w1, w2, ..., wk} adalah basis dari G.

Anggap partisi terurut Π = {S1, S2, ..., Sk+1} dari himpunan titik V(G),

dimana Si = {wi} (1 ≤ i ≤ k) dan Sk+1 = V(G) – W. Oleh karena

r(v| Π) = (d(v, w1), d(v, w2), ..., d(v, wk), 0) untuk v

∈

V(G) – W dan W

adalah resolving set dari G, hal ini mengakibatkan koordinat r(v| Π), untuk

v

∈

Sk+1, berbeda. Lebih lanjut, hanya koordinat r(wi| Π), untuk 1 ≤ i ≤ k,

memiliki elemen ke-i sama dengan 0, yang mengakibatkan

r(v| Π) ≠ r(wi| Π) untuk semua v

∈

V(G) – W dan semua i dengan 1 ≤ i ≤ k.

Jadi, Π adalah sebuah resolving (k+1)-partition dari G dan

( )

G ≤ dim

( )

G +1

pd . □

Nilai batas atas dari teorema 1 di atas dapat ditemukan pada graf Pn, Cn, Kn, dan

K1, k. Penelitian dasar yang mereka lakukan tentang dimensi partisi menghasilkan

teorema-teorema untuk graf Pn, Kn, K1,k, dan graf-graf yang berdimensi partisi

(n – 1). Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada subbab berikut.

2.2 Dimensi Partisi Graf Lintasan dan Graf Lengkap

Misalkan G adalah graf terhubung orde n ≥ 2 maka 2 ≤ pd(G) ≤ n. Untuk setiap bilangan bulat n ≥ 2, hanya terdapat sebuah graf orde n yang memiliki dimensi partisi 2.

Proposisi 1. (G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang) Misal G adalah graf terhubung orde n ≥ 2. Jadi, pd(G) = 2 jika dan hanya jika G = Pn.

Bukti : Pertama, misal Pn : v1, v2, ..., vn dan misal Π = {S1, S2} adalah partisi dari

V(Pn) dengan S1 = {v1} dan S2 = {v2, v3, ..., vn}. Karena

r(v1| Π) = (0, 1,) dan r(vi| Π) = (i - 1, 0) untuk 2 ≤ i ≤ n,

berarti Π adalah resolving partition dari Pn sehingga pd(Pn) = 2.

Kedua, misal Π = {S1, S2} adalah resolving partition dari sebuah graf G

orde n. Karena G terhubung, terdapat ketetanggan titik u

∈

S1 dan

r(w| Π) = (d(w, S1), 0) untuk w

∈

S2, berbeda, u adalah titik tunggal di S1

yang bertetangga dengan sebuah titik di S2 dan v adalah titik tunggal di S2

yang bertetangga dengan sebuah titik di S1. Akan ditunjukkan bahwa <S1>

dan <S2> adalah lintasan di G. Lebih lanjut, titik u bertetangga dengan

paling banyak satu titik di S1. Bila u bertetangga dengan dua titik u1, u2

∈

S1 maka r(u1| Π) = r(u2| Π) = (0, 2), hal ini berkontradiksi dengan Π adalah

resolving partition dari V(G). Asumsikan w adalah titik tunggal di S1 yang

bertetangga dengan u. w juga bertetangga dengan paling banyak satu titik di S1 yang berbeda dengan u. Dengan melanjutkan proses ini, didapatkan

bahwa <S1> adalah lintasan di G. Dengan alasan yang sama, <S2> juga

merupakan lintasan di G sehingga G itu sendiri adalah sebuah lintasan. □ Sama halnya dengan hanya terdapat sebuah graf dengan dimensi partisi 2, untuk

n ≥ 2 hanya terdapat satu buah graf n titik berdimensi partisi n. Sebelumnya, akan

dikonstruksi Lemma berikut.

Lemma 1. (G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang) Misal Π resolving partition dari himpunan titik V dan u, v

∈

V. Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w

∈

V – {u, v}, maka u dan v berada pada elemen yang berbeda dalam Π.

Bukti : Misal Π = {S1, S2, ..., Sk}, dimana u dan v berada pada elemen yang sama,

sebut Si, dalam Π. Maka d(u, Si) = d(v, Si) = 0. Oleh karena d(u, w) =

d(v, w) untuk setiap w

∈

V – {u, v}, didapat juga bahwa d(u, Sj) = d(v, Sj)

untuk setiap j, dimana 1 ≤ j ≠ i ≤ k. Pada akhirnya, r(u| Π) = r(v| Π) dan Π bukan resolving partition. □

Proposisi 2. (G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang) Misal G adalah graf terhubung orde n ≥ 2. Jadi, pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn.

Bukti : Berdasarkan Lemma 1, pd(Kn) = n. Untuk kebalikannya, misal G adalah

≠ Kn. Dapat diasumsikan bahwa d(v1, vn) = 1 dan d(vn - 1, vn) = 2. Misal

Π = {S1, S2, ..., Sn - 1} adalah partisi dari V(G) dengan S1 = {v1, vn} dan

Si = {vi} untuk 2 ≤ i ≤ n- 1. Untuk setiap i (1 ≤ i ≤ n – 1), hanya elemen

ke- i dari r(vi| Π) yang bernilai 0. Jadi, koordinat r(vi| Π), 1 ≤ i ≤ n – 1,

berbeda. Oleh karena elemen pertama r(vn| Π) adalah 0, r(vn| Π) berbeda

dari semua r(vi| Π), dimana 2 ≤ i ≤ n – 1. Selain itu, oleh karena elemen

ke- (n -1) dari r(vn| Π) adalah 2 dan elemen ke- (n -1) dari r(v1| Π)

adalah 1, akibatnya r(vn| Π) ≠ r(v1| Π). Jadi, Π adalah resolving partition

dari G dan pd(G) ≤ n – 1, mengakibatkan kontradiksi. □

Berdasarkan Proposisi 1 dan Proposisi 2, semua graf G selain graf Pn dan Kn

memiliki 3 ≤ pd(G) ≤ n - 1.

Selain kedua graf di atas, Gary Chartrand, Ebrahim Salehi, dan Ping Zhang juga mendapatkan dimensi partisi untuk graf bipartit. Untuk lebih jelas, dapat dilihat pada teorema berikut.

Teorema 2. (G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang) Misal G adalah graf bipartit yang terhubung dengan himpunan titik V1 dan V2 berkardinalitas r dan s berturut-turut.

Maka

(1) pd(G) ≤ r + 1, bila r = s, dan (2) pd(G) ≤ max{r, s}, bila r ≠ s.

Lebih lanjut, persamaan (1) atau (2) berlaku, jika dan hanya jika G adalah graf bipartit lengkap.

Pada teorema 3 berikut, dimensi partisi (n – 1) hanya dimiliki oleh 3 buah graf. Gary Chartrand, Ebrahim Salehi, dan Ping Zhang memberikan bukti lengkapnya pada jurnal The partition dimension of a graph.

Teorema 3. (G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang) Misalkan G adalah graf terhubung dengan orde n ≥ 3. Maka pd(G)= n – 1 jika dan hanya jika G adalah salah satu dari graf K1,n - 1, Kn – e, K1+(K1∪ Kn – 1).

2.3 Dimensi Partisi Graf Wheel

Ioan Tomescu, Imran Javaid dan Slamin memberikan dimensi partisi untuk graf

Wheel. Sebelum itu, diperlukan 2 buah Lemma yang mewakili kardinalitas dari

partisi yang memuat atau tidak memuat titik pusat sebagai berikut.

Lemma 2. (Ioan Tomescu, Imran Javaid, Slamin) Misalkan terdapat graf Wheel (Wn) dengan (n+1) titik dan V(Wn) adalah himpunan dari titik-titiknya. Misal c

adalah titik pusat dan Π = {S1, S2, ..., Sk} adalah resolving k-partition dari V(Wn).

Jika c

∈

S1, maka ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ 0 1 1 1 2 1 1 1 k k k S .

Bukti : Koordinat titik pusat c adalah r(c| Π) = (0, 1, 1, ..., 1) dan untuk setiap

v

∈

S1 \ {c}, r(v| Π) = (0, ...). Elemen vektor dari koordinat r(v| Π) untuk

v

∈

S1 \ {c} hanya boleh diisi oleh 1 dan 2 karena diameter graf Kincir

adalah 2. Akan tetapi, hanya boleh ada paling banyak 2 elemen yang bernilai 1. Pada akhirnya, hanya terdapat (k – 1) posisi yang hanya boleh diisi oleh paling banyak 2 buah angka 1 dan sisanya dapat diisi oleh angka 2. Jadi, bila ditambahkan dengan koordinat titik pusat, hanya terdapat

paling banyak _⎟⎟ koordinat yg berbeda atau

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 0 1 1 1 2 1 k k k ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ 0 1 1 1 2 1 1 1 S k k k . □

Lemma 3. (Ioan Tomescu, Imran Javaid, Slamin) Misalkan terdapat graf Wheel (Wn) dengan (n+1) titik dan V(Wn) adalah himpunan dari titik-titiknya. Misal c

adalah titik pusat dan Π = {S1, S2, ..., Sk} adalah resolving k-partition dari V(Wn).

Jika c

∈

S1, maka ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ 0 2 1 2 2 2 k k k Si untuk 2 ≤ i ≤ k.

Bukti : Ambil sebuah himpunan selain S1, tanpa mengurangi keumuman, sebut S2

yang tidak memuat titik pusat. Koordinat untuk setiap w

∈

S2 adalah

r(w| Π) = (1, 0, ...). Terdapat (k – 2) posisi di dalam vektor koordinat yang

dapat diisi oleh paling banyak 2 buah nilai 1 dan sisanya dapat diisi oleh nilai 2. Jadi, hanya terdapat paling banyak

koordinat yang berbeda untuk setiap w

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 0 2 1 2 2 2 k k k

∈

S2. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ 0 2 1 2 2 2 k k k Si untuk 2 ≤ i ≤ k. □

Teorema 4. (Ioan Tomescu, Imran Javaid, Slamin) Untuk setiap titik n ≥ 4 titik,

( )

⎡

2 1/3

⎤

_≤

( )

_≤2

_{⎡ ⎤}

1/2 ₊1 n W pd n _n

Bukti : Batas bawah. Misal terdapat graf Wheel (Wn) dengan (n+1) titik yang

memiliki pd[Wn] = k dan Π = {S1, S2, ..., Sk} resolving k-partition dari

himpunan titik V(Wn). Misal c adalah titik pusat dan c

∈

S1, dari

Lemma 2, kita punya _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ 0 1 1 1 2 1 1 1 k k k

S dan dari Lemma

3, kita juga punya _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ 0 2 1 2 2 2 k k k Si untuk 2 ≤ i ≤ k. Kita dapat

( )

_∑

₌

_∑

₌

(

)

_∑

_{= ⎟⎟} ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ = + = 2 0 2 0 1 2 1 1 1 1 k_{i i i i} n _i k k i k S n W V , akibatnya

(

_k

3

3

_k

2

6

_k

2

)

/

2

_k

3

/

2