TEKNIK STATISTIK NON PARAMETRIK:
UJI KEMAKNAAN DENGAN SAMPEL TUNGGAL
1
BAB 1
UJI BINOMIAL
1.1. Teori/ Konsep Uji Binomial
Disribusi binomial adalah distribusi yang menghasilkan salah satu dari dua hasil yang saling mutually exclusive dan dilakukan pada percobaan yang saling independen artinya hasil percobaan satu tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya (Murti, 1996).
Prosedur uji binomial bertujuan untuk menguji hipotesis deskriptif (satu sampel) yang digunakan untuk menguji hipotesis yang berhubungan dengan proporsi suatu populasi.
Data yang diuji dalam uji binomial biasanya merupakan data yang berbentuk nominal dengan dua kategori (Variabel dikotomi). Variabel dikotomi adalah variabel yang hanya terdiri dari dua macam nilai (value), misalnya sakit-sehat, setuju-tidak setuju, hidup-mati, benar atau salah, ya dan tidak, laki-laki-perempuan, 0 dan 1, dan sebagainya. Jika variabel yang akan diuji tidak dikotomi, maka harus ditentukan cut point. Cut point tersebut akan membagi kasus ke dalam dua grup, yaitu kasus yang mempunyai value lebih kecil dari atau sama dengan cut point akan menjadi grup pertama dan sisanya menjadi grup kedua (Ismail, 2018; Murti, 1996; Sugiyono, 2001; Wahyono, 2009).
Distribusi binomial disebut juga percobaan Bernouli, dimana percobaan Bernouli dapat dilakukan pada keadaan (Murti, 1996) :
1. Setiap percobaan menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil yang saling terpisah (mutually exclusive).
2. Probabilitas “kategori pertama” adalah tetap dari satu percobaan ke percobaan lainnya.
3. Percobaan-percobaan bersifat independen, dimana hasil dari satu perobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya.
1.2. Perhitungan Metode Uji Binomial
Ini dikatakan uji binomial karena distribusi data dalam populasi ini berbentuk binomial. Distribusi yang terdiri dari dua kategori. Jadi bila dalam populasi dengan jumlah n, terdapat 1 kategori “kategori pertama” adalah p, maka proporsi yang masuk dalam kategori kedua adalah 1-p = q. Uji Binomial memungkinkan kita untuk menghitung peluang atau probabilitas untuk memperoleh k objek dalam suatu kategori dan n-k objek dari kategori lain adalah (Murti, 1996):
P(k) = n!
k! (n − k)! + pkqn−k
p = Proporsi kasus yang diharapkan dalam salah satu kategori/ proporsi “sukses” dalam populasi
q=1-p = Proporsi yang muncul dalam kategori lainnya/ proporsi “gagal” dalam populasi
n = Jumlah sampel
k = Jumlah pengamatan terbesar
Dengan uji binomial pertanyaan penelitian yang akan dicari jawabannya adalah apakah kita mempunyai alasan yang cukup kuat untuk mempercayai bahwa proporsi elemen pada sampel kita sama dengan proporsi pada populasi asal sampel. Dalam prosedur uji hipotesa, distribusi binomial kita gunakan sebagai acuan dalam menetapkan besarnya probabilitas untuk memperoleh suatu nilai kategori “kategori pertama” sebesar yang teramati dan yang lebih ekstrim dari nilai itu dari sebuah sampel yang berasal dari populasi binomial(Murti, 1996).
Hipotesis (Murti, 1996)
Dua sisi : Ho: p = po dan Ha: p ≠ po Satu Sisi: Ho: p ≤ po dan Ha: p > po Ho: p ≥ po dan Ha: p < po
p = Proporsi Sampel po = proporsi pada populasi
𝑘=0 𝑘 𝑛−𝑘
𝑘 𝑛−𝑘 ∑𝑥−1 𝑘 𝑛−𝑘
𝑘=0 𝑘 𝑛−𝑘
Aturan perhitungan nilai p adalah sebagai berikut (Murti, 1996) 1. Dua sisi
Jika p ≤ po, maka
𝑝 = 2𝑝 (𝑋 ≤ 𝑥) = 2 ∑𝑥 𝑛
(𝑘) 𝑝𝑜 𝑞𝑜 k = 0,1,..., n Jika p ≥ po, maka
𝑝 = 2𝑝 (𝑋 ≥ 𝑥) = 2 ∑𝑥 ( ) 𝑝𝑜 𝑞𝑜 𝑛 = 2 (1 − ( ) 𝑝𝑜 𝑞𝑜 𝑛 ) 𝑘=𝑥 𝑘
k = 0,1,..., n
𝑘=0 𝑘
2. Satu sisi
Jika Ho : p ≥ po dan Ha: p < po, maka 𝑝 = 𝑝 (𝑋 ≤ 𝑥) = ∑𝑥 𝑛
(𝑘) 𝑝𝑜 𝑞𝑜 k = 0,1,..., n Jika Ho : p ≤ po dan Ha: p > po, maka
𝑝 = 𝑝 (𝑋 ≥ 𝑥) = ∑𝑥 𝑛 𝑘 𝑛−𝑘
∑𝑥−1 𝑛 𝑘 𝑛−𝑘 𝑘=𝑥 (𝑘) 𝑝𝑜 𝑞𝑜 = 1 − 𝑘=0 (𝑘) 𝑝𝑜 𝑞𝑜
k = 0,1,..., n
Pengujian binomial ini dilakukan dengan memperhatikan jumlah data yang diuji. Dalam hal ini terdapat dua model pengujian sebagai berikut (Wahyono, 2009).
1. Pengujian Sampel Kecil
Pengujian ini dilakukan untuk jumlah data yang ≤ 25. Uji akan menghasilkan probabilitas dua sisi (untuk proporsi sama yaitu 0,5) atau probabilitas satu sisi (untuk proporsi yang tidak sama) melalui perhitungan eksak binomial. Prosedur yang digunakan untuk menguji hipotesa dengan menggunakan uji binomial pada sampel kecil yaitu (Ismail, 2018):
a. Menentukan uji hipotesa dan signifikansinya b. Menentukan pengamatan (x) dari jumlah N
c. Mencari harga p dengan cara mengkonversi nilai x berdasarkan N dengan menggunakan tabel binom.
d. Menjumlah semua harga p.
e. Membandingkan harga p dengan derajat kesalahan yaitu:
1. Jika derajat kesalahan yang digunakan 1% maka uji hipotesisnya adalah: Tolak H0 apabila harga p ≤ α0,01
Terima H0 apabila harga p > α0,01
2. Jika derajat kesalahan yang digunakan 5%, maka uji hipotesisnya adalah: Tolak H0 apabila harga p ≤ α0,05
Terima H0 apabila harga p > α0,05
f. Membuat kesimpulan dengan menerima atau menolak H0
2. Pengujian Sampel Besar
Pengujian ini dilakukan untuk jumlah data yang > 25 responden. Uji sampel besar ini akan menghasilkan probabilitas dua sisi (untuk proporsi sama, yaitu 0,5) atau probabilitas satu sisi (untuk proporsi yang tidak sama) melalui pendekatan kurva normal ( Z-score) (Wahyono, 2009). Untuk menguji hipotesis dengan menggunakan tes binomial apabila jumlah sampelnya besar (≥ 25), rumusnya adalah (Ismail, 2018):
𝑧 = 𝑝 − 𝑝0 𝑝0𝑞0
𝑛
1.3. Contoh Kasus Uji Binomial dan Pengaplikasiannya 1. Kasus I (satu sisi)
Diketahui proporsi kejadian diare pada balita di suatu daerah X adalah 3% (0.03). Jika diambil sampel acak terhadap 20 balita berasal dari populasi yang sama. Ternyata 5 balita dalam sampel ini positif mengidap penyakit tersebut. Dapatkah kita menyimpulkan proporsi diare pada sampel penelitian lebih besar dari proporsi
populasi ?
Jawab:
Hipotesis penelitian adalah :
Ho : 𝑃𝑃𝑒𝑛𝑒𝑙𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛 ≤ 𝑃𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 = 0.03 H1 : 𝑃𝑃𝑒𝑛𝑒𝑙𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛 > 𝑃𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 = 0.03
𝑛
level of significance (α) = 0,05
Uji hipotesis
Uji binomial satu sisi kita gunakan pada soal ini, sebab menyangkut proporsi binomial, yaitu positif menderita kejadian diare dan negatif menderita kejadian diare. Uji satu sisi kita pilih, sebab kita harus menilai apakah proporsi pada populasi yang diinferensikan berdasarkan data sampel kita lebih besar secara bermakna daripada proporsi populasi yang telah ada.
Pengambilan keputusan statistik P ≥ 0.05 maka Ho diterima P < 0.05 maka Ho ditolak Uji Statistik P0 = 0,03 q = 1- 0.03 = 0,97 n = 20 x = 5
p = 5/20 = 0.25 > po = 0.03, maka nilai p dihitung sebagai berikut: 𝑥−1 𝑝 = 𝑝 (𝑋 ≥ 𝑥) = 1 − ∑ (𝑘) 𝑝𝑜𝑘 𝑘=0 𝑞𝑜 𝑛−𝑘 5−1=4 = 1 − ∑ (20) 0.03𝑘0.9720−𝑘 𝑘 𝑘=0 = 1 − 0.9997 (𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 20, 𝑥 = 4, 𝑝 = 0.03) = 0.0003 Keputusan statistik
Karena p = 0.0003 < α = 0.05, maka Ho ditolak
Kesimpulan
Secara statististik diketahui proporsi balita yang menderita diare pada sampel Penelitian lebih besar dari proporsi diare di populasi.
Uji SPSS
Note : SPSS mengambil proporsi pada kode yang terkecil. Karena kode adalah 1 dan 2, maka harus dimasukkan data proporsi untuk kode 1 yang positif (karena positif yang akan diteliti), dan 2 yang negatif.
Klik menu Analyze → Nonparametric test → legacy dialogs, pilih menu
Binomial
Pengisian:
Test Variable test. Masukkan variabel Kejadian_diare
Test Proportion. Pada uji kasus ini, tidak digunakan Define Dichotomy karena data kasus menggunakan proporsi (persentase). Secara logika kasus kemungkinan yang positif diare adalah 3%, maka masukkan angka 0.03 pada test proportion.
Output
Analisis:
Proses pengambilan keputusan: Hipotesis: Ho : p ≤ 0,03
Ha : p > 0,03 Dasar pengambilan keputusan
𝑛 P ≥ 0.05 maka Ho diterima
P < 0.05 maka Ho ditolak
p (0,000) < α= 0.05, maka Ho ditolak. Kesimpulan: Secara statististik diketahui proporsi balita yang menderita diare pada sampel Penelitian lebih besar dari proporsi diare di populasi.
2. Kasus 2 (Uji 1 sisi) – Kasus dikutip dari (Murti, 1996)
Zackler meneliti sekelompok besar wanita berusia 15-19 tahun dan menjumpai bahwa 7% diantaranya positif mengidap neisseria gonorrhoeae. Jika diambil sebuah sampel acak terdiri dari 25 wanita kelompok usia yang sama dan berasal dari populasi yang sama. Ternyata 4 wanita dalam sampel ini positif mengidap penyakit tersebut.
Dapatkah kita menyimpulkan bahwa proporsi mereka yang populasi tersebut lebih besar dari 0,07? (α = 0.01)
Jawab: Dik : po = 0,07 q = 0,93 n = 25 k = 4 Hipotesis: Ho : p ≤ 0,07 Ha : p > 0,07 Pengambilan keputusan statistik
P ≥ 0.01 maka Ho diterima P < 0.01 maka Ho ditolak Jawab :
Uji satu sisi, sebab penelitian itu ingin mengetahui apakah proporsi positif neisseria gonorrhoea pada populasi tersebut lebih besar daripada 0.07
P = 4/25 = 0.16 > po = 0.07, maka nilai p dihitung sebagai berikut: 𝑥−1
𝑝 = 𝑝 (𝑋 ≥ 𝑥) = 1 − ∑ (𝑘) 𝑝𝑜𝑘 𝑘=0
4−1=3 = 1 − ∑ (25) 0.07𝑘0.9325−𝑘 𝑘 𝑘=0 = 1 − 0.9064 (𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 25, 𝑥 = 3, 𝑝 = 0.07) = 0.0936 = 0.094
p (0,094) > α= 0.01, maka Ho diterima. Kesimpulan: proporsi yang positif neisseria gonorrhoeae pada populasi tersebut tidak lebih besar secara bermakana daripada proporsi yang ditemukan oleh Zackler dkk.
Lampiran 2. Tabel Binomial (Murti, 1996)
SPSS
Note : SPSS mengambil proporsi pada kode yang terkecil. Karena kode adalah 1 dan 2, maka harus dimasukkan data proporsi untuk kode 1 yang positif mengidap neisseria gonorrhoeae (karena ini yang akan diteliti), dan 2 yang negatif.
2. Pilih Analyze Nonparametrik test legacy dialogues Binomial Test
3. Pindahkan variable ke kotak Test Variabel List , pada test of proportion masukkan nilai 0,07
Output:
Analisis:
Proses pengambilan keputusan: Hipotesis: Ho : p ≤ 0,07
Ha : p > 0,07 Dasar pengambilan keputusan P ≥ 0.01 maka Ho diterima
P < 0.01 maka Ho ditolak
p (0,094) > α= 0.01, maka Ho diterima. Kesimpulan: proporsi yang positif neisseria gonorrhoeae pada populasi tersebut tidak lebih besar secara bermakana daripada proporsi yang ditemukan oleh Zackler dkk.
3. Kasus 3 (Uji 2 sisi) – Contoh kasus dari (Santoso, 2015)
Dalam memasarkan Roti Cokelat, manajer pemasaran beranggapan bahwa keberhasilan para salesman dalam menjual Roti pada umumnya adalah 50%. Hal ini berarti kegagalan mencapai target adalah 100%-50%= 50% atau 0.5. Untuk membuktikan apakah anggapan tersebut benar, maka dikumpulkan data 10 salesman, yang setelah dinilai kinerja penjualannya, dikategorikan pada DUA KEMUNGKINAN, yakni berhasil dan gagal, dengan data:
No. Sampel Kinerja
1 Berhasil 2 Berhasil 3 Berhasil 4 Gagal 5 Gagal 6 Berhasil 7 Gagal 8 Berhasil 9 Gagal 10 Berhasil Jawab:
Asumsi: Semua asumsi yang mendasari uji binomial (percobaan Bernoulli) terpenuhi
Hipotesis penelitian adalah :
Ho : 𝑃𝑃𝑒𝑛𝑒𝑙𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛 = 𝑃𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 = 0.50
𝑘
level of significance (α) = 0,05
Uji Statistik
Uji dua sisi, sebab penelitian itu hanya ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan proporsi keberhasilan salesman menjal roti 50%=0.5 dan pada populasi umum, tanpa ingin menguji apakah proporsi pada populasi lebih besar atau lebih kecil dari proporsi yang anggapan.
Aturan pengambilan keputusan:
Karena p = 6/10= 0.6 > Ppopulasi = 0.5. maka P ≥ 0.05 maka Ho diterima
P < 0.05 maka Ho ditolak
Perhitungan probabilitas
Untuk uji dua sisi dengan p = 5/20 = 0.25 > Ppopulasi = 0.12, maka nilai p dihitung sebagai berikut.
P0 = 0.5 q = 1- 0.5 = 0,5 n = 10 k = 6 𝑥−1 𝑝 = 𝑝 (𝑋 ≥ 𝑥) = 2(1 − ∑ (𝑛) 𝑝𝑜𝑘𝑞𝑜𝑛−𝑘) 𝑘=0 6−1=5 = 2 (1 − ∑ (10) 0.5𝑘0.510−𝑘) 𝑘 𝑘=0 = 2(1 − 0.623)(𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 10, 𝑥 = 5, 𝑝 = 0.5) = 2 ∗ 0.377 = 0.754
Keputusan statistik: karena p = 0.754 > α = 0.05, maka ho diterima.
Kesimpulan : pernyataan manajer pemasaran bahwa keberhasilan menjual dari para salesman rata-rata 50%=0.05 adalah benar.
Lampiran 3. tabel Binomial (Sabri dan Hastono, 2014)
Uji SPSS
Masukkan data yang akan diolah
Note : Data diatas adalah dalam bentuk kode, dan bukan kalimat (string), dengan kode 1 untuk BERHASIL dan Kode 2 untuk GAGAL. Karena SPSS tidak mengolah data dalam bentuk string
Klik menu Analyze → Nonparametric test → legacy dialogs, pilih menu
Binomial
Pengisian:
Test Variable test. Masukkan variabel kinerja Test Proportion. Pada uji kasus ini, tidak digunakan Define Dichotomy karena data kasus menggunakan proporsi (persentase). Secara logika
kemungkinan yang berhasil adalah 0.50, karena sudah trtera 0.50 (default), maka biarkan saja.
SPSS mengambil proporsi pada kode yang terkecil. Karna kode adalah 1 dan 2, maka harus dimasukkan data proporsi untuk kode 1 atau BERHASIL.
Klik option, lalu pilih descriptive. Setelah itu tekan OK
Output
Analisis:
Proses pengambilan keputusan: Hipotesis: Ho : p = 0.5
Ha : p ≠ 0.5 Dasar pengambilan keputusan P ≥ 0.05 maka Ho diterima P < 0.05 maka Ho ditolak
p (0,754) > α= 0.05, maka Ho diterima. Kesimpulan: pernyataan manajer pemasaran bahwa keberhasilan menjual dari para salesman rata-rata 50%=0.05 adalah benar.
4. Kasus 4 ( uji 2 sisi)
Akan diuji apakah rata-rata jumlah sekolah menengah pertama negeri setiap tahunnya yang mendapatkan bantuan sama dengan 50 persen sekolah dari total seluruh sekolah (dalam persen), untuk itu diambil data beberapa periode yang disajikan ke dalam tabel di bawah ini:
𝑘
Untuk uji dua sisi dengan p = 9/9 = 1 > Ppopulasi = 0.50, maka nilai p dihitung sebagai berikut. Dalam tabel tersebut dibagi menjadi dua kategori dengan cut of point 50.0. Jadi jumlah yang mendapat bantuan 9 (k)
P0 = 0.50 q = 1- 0.50 = 0,50 n = 9 k = 9 𝑥−1 𝑝 = 𝑝 (𝑋 ≥ 𝑥) = 2(1 − ∑ (𝑛) 𝑝𝑜𝑘𝑞𝑜𝑛−𝑘) 𝑘=0 9−1=8 = 2 (1 − ∑ (9) 0.5𝑘0.520−𝑘) 𝑘 𝑘=0 = 2(1 − 0.998)(𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 9, 𝑥 = 8, 𝑝 = 0.5) = 2 ∗ 0.002 = 0.004
Uji binomial kedalam SPSS:
Cara Penyelesaian Menggunakan SPSS: 1. Inputkan data ke dalam SPSS
2. Klik Analyze -> Nonparametric Test -> Legacy dialogs -> Binomial
Muncul kotak dialog berikut:
Pada test variable list masukan Jumlah
Pada Define Dichotomy. Karena dari kasus, maka pilih Cut Point
dan ketikkan nilai yang akan diuji dalam hal ini 50
Untuk Test Proportion tetap pada angka 0.5 . Hal ini disebabkan uji binomial
menggunakan tanda – dan + dengan tanda – untuk data dibawah 50, dan tanda + untuk data diatas 50. Karena ada dua tanda dengan kemungkinan sama, maka p=0.5
Buka bagian option, dan aktifkan descriptive. Kemudian tekan tombol continue.
Klik OK.
3. Outputnya adalah:
Dari output diperoleh bahwa banyaknya data yang lebih dari 50 = 9 dengan proporsi 1,0 dan tidak ada data yang kurang dari 50.
4. Maka selanjutnya akan dilakukan uji hipotesis:
5. Tingkat signifikansi Alfa = 5 %.
Dasar pengambilan keputusan P ≥ 0.05 maka Ho diterima P < 0.05 maka Ho ditolak
6. Kesimpulan:
Oleh karena nilai exact.sig = 0,004 yang adalah < Alfa = 0,05 maka Ho ditolak yang berarti bahwa rata-rata sekolah yang menerima bantuan setiap tahunnya tidak sama dengan 50 persen dari total semua SMP.
5. Kasus 5 (uji sampel besar = uji z normal)
Dari sampel sebesar 500 penduduk daerah perkotaan yang mengikuti program penyaringan kesehatan , 40 orang menunjukkan hasil tes bakteri tahan asam (BTA) positif. Apakah data ini membuktikan bahwa proporsi orang-orang dengan tes BTA positif pada populasi asal sampel lebih besar dari 0.06? misalkan (α) = 0,05
Asumsi: Distribusi pencuplikan dari p kurang lebih didistribusikan normal, sesuai dengan teori limit sentral Jika ho benar, maka p= 0.06 dan simpangan baku p =
(𝑝𝑞)⁄𝑛 √(0.06)(0.94)
500 = 0.0106. Perhatikan bahwa kita menggunakan nilai p hipotesis untuk menghitung simpangan baku populasi p, sebab uji secara keseluruhan didasarkan pada asumsi bahwa hipotesis nol benar.
Hipotesis penelitian adalah : Ho : 𝑝 ≤ 𝑃0 = 0.06 H1 : 𝑝 > 𝑃0 = 0.06
Uji Statistik
Karena n = 500 lebih besar daripada yang ada pada tabel distribusi kumulatif binomial, dan karena npq = 500 (0.06) (0.94) = 28.2 ≥ 5maka kita menggunakan pendekatan teori normal.
Distribusi statistik uji:
Jika Ho benar, statistic uji kurang lebih didistribusikan normal dengan mean = 0
Aturan pengambilan keputusan
Karena uji satu sisi dan α = 0.05, maka H0 ditolak bila z > z.95 = 1.64. H0 diterima bila z ≤ z.95 = 1.64
Perhitungan statistik
Untuk uji dua sisi dengan p = 5/20 = 0.25 > Ppopulasi = 0.12, maka nilai p dihitung sebagai berikut.
p = 40/500 = 0.08 p0 = 0.06 𝑧 = 𝑝−𝑝0 = 0.08−0.06 = 1.88 (lihat tabel z, p = 0.4699) 𝑝0𝑞0 𝑛 √ 0.06∗0.94 500
Keputusan statistik: karena zhitung = 1.88 > 1.64, maka H0 ditolak
Kesimpulan : proporsi BTA positif pada populasi asal sampel lebih besar daripada 0.06 secara bermakna. Untuk uji ini p = 0.5 – 0.469= 0.0301
√ =
DAFTAR PUSTAKA
Ismail, F. (2018). Statistika Untuk Penelitian Pendidikan dan Ilmu-Ilmu Sosial (Pertama). Jakarta: Prenadamedia Group.
Murti, B. (1996). Penerapan Metode Statistik Non-Parametrik Dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Santoso, Singgih. (2015). Menguasai Statistik Nonparametrik :Konsep Dasar dan Aplikasi dengan SPSS. Jakarta : PT Elex Media Komputindo
Sabri, Luknis dan Sutanto Priyo Hastono. (2014) Statistik Kesehatan. Jakarta : Rajawali Pers
Sugiyono. (2001). Statistik Nonparametris Untuk Penelitian. (A. Nuryanto, Ed.). Bandung: Alfabeta.
Wahyono, T. (2009). 25 Model Analisis Statistik dengan SPSS 17. Jakarta: PT Elex Media Komputindo.
