• Tidak ada hasil yang ditemukan

ALGORITMA DAVIDSON, FLETCHER, POWELL UNTUK PENCARIAN NILAI MINIMUM FUNGSI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "ALGORITMA DAVIDSON, FLETCHER, POWELL UNTUK PENCARIAN NILAI MINIMUM FUNGSI"

Copied!
6
0
0

Teks penuh

(1)

ALGORITMA DAVIDSON, FLETCHER, POWELL UNTUK PENCARIAN NILAI

MINIMUM FUNGSI

ANDANG SUNARTO

Dosen Ilmu Komputer

Jurusan Syari’ah STAIN BENGKULU

ABSTRAC

Approach problem completion meminimum f completion

f

0

. One of method to finish similarity

f

0

, Newton method with similarity rekursif: xk 1 xk F(xk) 1gk, computation invers Matrix Hessian F (xk )-1 in this Newton method is impractical and done in every step. Avoid computation F (xk )-1, so used method quasi bewton.

Method principal idea Quasi Newton use aprocimation invers Matrix Hessian F (xk )-1, according to iterative. in method quasi bewton is used two value livelihood algorithms minimum function that is Algorithm Rank One and DFP where is form invers Matrix Hessian F (xk )-1 from second this algorithm differ. Detect which algorithm effectiveest and efesien so done testing with a few function testing that is Function Rosenbrock and Goldstein.

Watchfulness result demoes that for Function Rosenbrock and Goldstein has Unimodal, efektifitas Algorithm Rank One and DFP based on convergen very base on starting points that determined. furthermore from also known that time complexity from second algorithm same but if reviewed from process time, Algorithm process time Rank One more efesien compared Algorithm DFP if tested with Function Rosenbrock and Function Goldstein.

Key words: Hessian, Quasi Newton, Iteration I. PENDAHULUAN

Dalam perkembangan masalah optimasi, banyak ditemui metode-metodeyang berfungsi

untuk mencari titik optimal. Metode

penyelesaiann masalah optimasi fungsi

multivariable dapat dikelompokan dalam dua kategori yaitu metode direct search ( non gradient ) dan metode gradient. Metode gradient membutuhkan perhitungan turunan parsial order

pertama dari fungsi n variable,

) ,.., ,

(x1 x2 xn f

f dimana vector gradient dari

fungsi adalah n x f x f x f f , ,..., 2 1 . Semua

minimum local x*, dimana f(x*)= min f(x)

memenuhi persamaan g(x') f(x') 0.

Suatu pendekatan penyelesaian masalah

meminimumkan f adalah penyelesaian

persamaan f 0. Salah satu metode untuk

meyelesaikan persamaan

f

0

adalah

metode Newton

dengan algoritma yaitu algoritma Rank One dan algoritma DFP ( Davidson, Fletcher and Powell ). Dalam metode ini, penentuan nilai minimum local dari suatu fungsi dilakukan secara iterative dan nilai yang diperoleh dalam setiap iterasi merupakan nilai aproksimasi. Aproksimasi dilakukan dengan menggunakan titik awal yang telah ditentukan untuk mencari nilai pada iterasi

(2)

berikutnya dengan persamaan k k k k g x F x x 1 ( ) 1 , dimana F(xk) adalah

matriks Hessian untuk xk dan (k) ( k) x f

g .

Menurut Rao ( 1977 ) dan Chong dan Stanislaw ( 1996 ), komputasi F(xk)-1. pada metode Newton khusunya algoritma Rank One dan algoritma DFP ( Davidson, Fletcher and Powell ) tidak praktis dan dilakukan pada setiap langkah untuk menghindari F(xk)-1 digunakan metode Quasi Newton dengan algoritma Rank One dan algoritma DFP ( Davidson, Fletcher and Powell ), yang mencoba mencari suatu nilai aproksimasi untuk F(xk)- secara iterative.

II. TINJAUAN TEORI

Metode Quasi Newton merupakan salah satu algoritma yang cukup baik untuk optimasi. Dalam menetukan nilai minimum local suatu fungsi metode ini melakukannya secra iterative dan nilai yang diperoleh dalam setiap iterasi

merupakan aprokasimasi. Aproksimasi

dilakukan dengan menggunakan titik awal yang telah ditentukan terlebih dahulu untuk mencari nilai pada iterasi berikutnya.

Dalam menentukan nilai minimum local suatu fungsi metode ini melakukannya secara iterative dan nilai yang diperoleh dalam setiap

iterasi merupakan nilai aproksimasi.

Aproksimasi dilakukan dengan menggunakan titik awal yang telah ditentukan terlebih dahulu untuk mencari nilai pada iterasi berikutnya

dengan algoritma rekursif :

k k k k g x F x x 1 ( ) 1 , dimana F( xk ) adalah

matriks Hessian untuk xk dan g(k) f(xk). Untuk menjamin metode ini merupakan algoritma turun, algoritma dimodifikasi ke

dalam bentuk

x

k 1

x

k k

F

(

x

k

)

1

g

k

dimana k dipilih untuk memastikan bahwa

) ( )

(xk 1 f xk

f . Misalnya pemilihan k

dapat dilakukan dengan menggunakan

. ) ( ( min arg 0 1 ( ) k k k g x F x f .

Kemudian dengan menggunakan nilai

pendekatan untuk k ini dan memilih koefisien

koefisien garis berarahnya dk F(xk) 1gk, maka dapat ditulis

x

k 1

x

k k

d

k. Telah

diketahui bahwa

f

(

x

k k

d

k

)

f

(

x

k

)

, ini

berarti bahwa f(xk 1) f(xk).

Kendala yang sering dihadapi pada

metode Newton ini adalah bagaimana

menentukan atau menghitung nialai F(xk) dan menyelesaikan persamaan F(xk)dk g(k) ( menghitung dk F(xk) 1g(k). Untuk menghindari perhitungan F(xk)-1, metode Quasi Newton mencoba untuk mencari suatu nilai pendektan kepada F(xk)-1 ini secara iterative. Aproksimasi dilakukan dengan memperbaharui setiap langkahnya samapi mendekati nilai

sebenarnya. Untuk mendapatkan suatu

aproksimasi yang baik haruslah

dipertimbangkan aturan

x

k 1

x

k k

H

k

g

(k) dimana Hk adalah matriks n x n yang merupakan

hasil aproksimasi untuk nilai F(xk)-1.

)

(

)

(

)

(

)

(

x

k 1

f

x

k

g

(k)

x

k 1

x

k

o

x

k 1

x

k

f

T

(3)

)

(

)

(

x

k

g

(k)

H

k

g

(k)

o

H

k

g

(k)

f

T

Karena cenderung menuju nol, maka bagian kedua persamaan diatas mendominiasi bagaian yang ketiga. Jadi untuk menjamin suatu pengurangan dalam f untuk nilai yang kecil haruslah membuat

g

(k)T

H

k

g

(k)

0

. Cara yang paling sederhana untuk meyakinkan hal ini adalah dengan mengharuskan Hk definitive

positif.

III. CARA PENELITIAN

Program bantu yang digunakan untuk pencarian titik minimum fungsi dalam penelitian ini adalah bahasa pemrograman Matlab yang mempunyai kemampuan perhitungan, visualisasi dan pemrograman dalam suatu lingkungan yang mudah untuk digunakan karena permasalahn dan

pemecahannya dinyatakan dalam notasi

matematika biasa. Bahasa pemrograman ini juga merupakan sistem interaktif dengan elemen dasar array yang dimensinya tidak perlu

dinyatakan secara khusus sehingga

memungkinkan untuk digunakan dalam

pemecahan masalah perhitungan teknik

khususnya yang melibatkan matriks dan vector dalam waktu singkat.

Langkah-langkah pencarian titik

minimum fungsi dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menentukan titik awal untuk masing-masing fungsi testing

2. Menerapkan kedua lagoritma Quasi Newton untuk mencari titik minimum fungsi

berdasarkan titik awal yang didapat pada langkah 1.

3. Menghtiung banyaknya iterasi, waktu proses ( CPU time ) dan banyaknya flops untuk setiap algoritma pada langkah 2.

4.

Menetukan efektifitas dan efisiensi algoritma berdasarkan hasil yang didapat pada langkah

3.

IV.HASIL PENELITIAN & PEMBAHASAN 4. 1. EFEKTIFITAS ALGORITMA

Untuk mengukur efektifitas kedua

algoritma Quasi Newton ( algoritma Rank One dan algoritma DFP ), digunakan sepuluh titik awal yang ditentukan secara random untuk masing-masing fungsi testing dan apabila diimplementasikan maka didapat hasil sebagai berikut :

1. Fungsi Rosenbrock

Tabel 1 Tabel perbandingan titik awal dan nilai f Min Fungsi Rosenbrock untuk algoritma Rank One

Titik Awal

Sifat Jenis (x1, x2)min Fmin Iterasi

( 1, 2) Conv Global ( 1, 1 ) 0 11 ( 2, 2 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 46 ( 0, 1 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 33 ( 0, 3 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 15 ( -2, 2 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 14 ( 4, 3 ) Div - - - - ( -2, 4 ) Div - - - - ( -5, 2 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 28 ( 3, 5 ) Div - - - - ( 4, 4 ) Div - - - -

(4)

Tabel 2 Tabel perbandingan titik awal dan nilai f Min Fungsi Rosenbrock untuk algoritma DFP

Titik Awal

Sifat Jenis (x1, x2)min Fmin Iterasi

( 1, 2) Conv Global ( 1, 1 ) 0 11 ( 2, 2 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 46 ( 0, 1 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 33 ( 0, 3 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 15 ( -2, 2 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 14 ( 4, 3 ) Div - - - - ( -2, 4 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 14 ( -5, 2 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 28 ( 3, 5 ) Conv Global ( 1, 1 ) 0 31 ( 4, 4 ) Div - - - - 2. Fungsi Goldstein

Tabel 3 Tabel perbandingan titik awal dan nilai f Min Fungsi Goldstein untuk algoritma Rank One

Titik Awal

Sifat Jenis (x1, x2)min Fmin Iterasi

( 1, -1) Conv Global ( 0, -1 ) 3 9 ( 1, -2 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 9 ( 2, 3 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 9 ( 0, 0.05 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 10 ( 0, 2 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 10 ( 3, 5 ) Div - - - - ( 1, 6 ) Div - - - - ( -3, 4 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 15 ( 5, 2 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 14 ( -3, 3 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 16

Tabel 4 Tabel perbandingan titik awal dan nilai f Min Fungsi Goldstein untuk algoritma DFP

Titik Awal

Sifat Jenis (x1, x2)min Fmin Iterasi

( 1, -1) Conv Global ( 0, -1 ) 3 10 ( 1, -2 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 8 ( 2, 3 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 10 ( 0, 0.05 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 11 ( 0, 2 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 41 ( 3, 5 ) Div - - - - ( 1, 6 ) Div - - - - ( -3, 4 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 19 ( 5, 2 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 18 ( -3, 3 ) Conv Global ( 0, -1 ) 3 16

D.2 Kompleksitas Waktu Algoritma

Kompleksitas waktu dapat ditentukan dengan terlebih dahulu mengubah persamaan rekursif dari algoritma menjadi persamaan non-rekursif dengan metode analisis. Persamaan rekursif dari kedua lagoritma Quasi Newton

mempunyai bentuk yang sama yaitu :

k k k k

d

x

x

1 . Bentuk persamaan ini dapat

disederhanakan menjadi bentuk

bk

x

x

k 1 k . Persamaan homogen dari

persamaan rekursif ini adalah

x

k 1

x

k

0

. Jika persamaan homogen ini dibagi dengan

x

k 1 didapat hasil : xk+1 didapat hasil : x-1= 0 . Jika f(k) = bk dimana t = 1 dan d = 1 maka diperoleh persamaan karakteritik yaitu (x -1 )( x - t )d+1 = 0 atau ( x-1 )( x-1)2 = 0. Dengan

demikian untuk masing-masing algoritma

mempunyai kompleksitas waktu yang sama yaitu :

T

(

k

)

c

1

c

2

k

c

3

k

2

o

(

k

2

)

. Kondisi ini bukan berarti bahwa waktu hanya memberi arti bahwa untuk masing-masing algoritma, untuk data masukan k yang besar maka pertumbuhan T ( k ) sebanding dengan k2.

D.3. Efisiensi Waktu Proses

Untuk mengukur efisiensi waktu proses kedua algoritma Quasi Newton, titik awal yang digunakan dalam proses itersi adalah titik awal yang dapat mengakibatkan algoritma Quasi

(5)

Newton konvergen pada titik minimal global yaitu titik ( 1, 2 ) untuk fungsi Rosenbrock dan titik ( 1, -1 0 untuk fungsi Goldstein. Dari penerapan algoritma Quasi Newton untuk masing-masing gfungsi testing diperoleh hasil sebagai berikut :

Tabel 5 Perbandingan banyaknya Iterasi, banyaknya flops dan CPU time untuk fungsi Rosenbrock dengan titik awal ( 1, 2 )

PARAMETER Algoritma Rank One DFP Iterasi 11 15 Flops 85952 118243 CPU time 11.70 16.59

Tabel 6 Perbandingan banyaknya Iterasi, banyaknya flops dan CPU time untuk fungsi Goldstein dengan titik awal ( 1, -1 )

PARAMETER Algoritma Rank One DFP Iterasi 9 10 Flops 134961 150847 CPU time 15.76 17.08 D.4. Banyaknya Iterasi 1. Fungsi Rosenbrock

Perbandingan banyaknya iterasi dan nilai f Min yang diperoleh pada masing- masing algoritma dapat dilihat pada table 7.

Tabel .7. Tabel Perbandingan iterasi dan nilai f Min fungsi Rosenbrock

Iterasi Rank One DFP

1 1.3797e-001 1.3797e-001 2 1.3029e-001 1.3029e-001 3 9.0670e-002 9.0670e-002 4 5.6432e-0.02 6.0820e-0.02 5 3.6161e-0.02 5.5645e-0.02 6 3.6161e-0.02 3.8488e-0.02 7 2.41514e-0.04 2.6134e-0.02 8 1.2407e-0.04 1.2830e-0.02 9 1.5860e-0.07 4.1012e-0.03 10 9.7990e-0.10 1.6556e-0.03 11 5.0398e-0.15 2.3700e-0.04 12 8.9859e-0.06 13 1.2484e-0.07 14 3.7013e-0.11 15 2.3145e-0.16

Dari table 7 terlihat bahwa untuk fungsi Rosenbrock, konvergensi algoritma Rank One lebih cepat tercapai yaitu pada iterasi ke sebelas dengan nilai f Min sebesar 5.0398e-0.15. Sedangkan untuk algoritma DFP konvergensi tercapai pada iterasi ke lima belas dengan nilai fMin 2.3145e-0.16

2. Fungsi Goldstein

Tabel 8. Tabel Perbandingan iterasi dan nilai f Min fungsi Goldstein

Iterasi Rank One DFP

1 3.7202e+002 1.3797e+002 2 2.6542e+003 1.3029e+003 3 2.6491e+003 9.0670e+003 4 3.4588e-000 6.0820e+000 5 3.4483e-000 5.5645e+000 6 3.3228e-000 3.8488e+000 7 3.0029e-000 2.6134e+000 8 3.0000e-0.00 1.2830e+000 9 3.0000e-0.00 4.1012e+000 10 1.6556e+000

(6)

Dari table 8 terlihat bahwa untuk fungsi Goldstein, konvergensi algoritma Rank One lebih cepat tercapai yaitu pada iterasi ke

sembilan dengan nilai fMin sebesar

3.0000e+000, sedangkan untuk algoritma DFP tercapai pada iterasi ke sepuluh dengan nilai fMin sebesar 3.0000e+000.

Dari hasil pembahasan tentang

banyaknya iterasi diatas, dapat dikatakan bahwa untuk fungsi Rosenbrock dengan titik awal ( 1, 2 ) dan fungsi Goldstein dengan titik awal ( 1, -1 ), algoritma Rank One lebih efisien dibandingkan dengan algoritma DFP.

D.5.Banyaknya Flops

Perbandingan banyaknya flops dari tiap algoritma untuk masing-masing fungsi testing dapat dilihat pada table 9 dibawah ini.

Tabel 9 Perbandingan banyaknya flops

Fungsi Rank One DFP

Rosenbrock 85952 118243

Goldstein 60379 60204

Dari table 9 terlihat bahwa banyaknya flops minimum untuk fungsi Rosenbrock terdapat pada algoritma Rank One yaitu sebesar 85952. Untuk fungsi Goldstein, flops minimum juga terdapat pada algoritma Rank One yaitu sebesar 134961.

D.6 Waktu Proses ( CPU time )

Perbandingan lamanya waktu proses ( CPU time ) dari tiap algoritma untuk masing-masing fungsi testing dapat dilihat pada table 10 dibawah ini.

Tabel 10 Perbandingan lamanya waktu proses

Fungsi Rank One DFP

Rosenbrock 11.70 16.59

Goldstein 12.30 11.81

Dari table 10 terlihat bahwa CPU time minimum

untuk fungsi Rosenbrock terdapat pada

algoritma Rank One 11.70 detik. Untuk fungsi Goldstein, Cpu time minimum juga terdapat pada algoritma Rank One sebesar 15.76 detik

Dari hasil pembahasan tentang

banyaknya flops dan lamanya waktu proses ( CPU time ) ditas, dapat dikatakan bahwa fungsi Rosenbrock dengan titik awal ( 1, 2 ) dan fungsi Goldstein dengan titik awal ( 1, -1 ), algoritma Rank One lebih efisien dibandingkan algoritma DFP.

DAFTAR PUSTAKA

Becker, R.W. 1978. A Global Optimization

Algorithm ,Monticallo Illionis

Fletcher, R.1980. Practical Method of

Optimization , Willey, Chichester, New

York.

Edwin K.P, Chong and Stanislaw H.Zak.1996,

An Introduction to Optimization , John

Willey and Sons.Inc

Phua, P.k.H and B.W.Chew, Symetric Rank One

Update and Quasi Newton Methods in Optimization : Technique and Application,

edited by PKH Phua, CM Chang, WY Yeong,et al

Rao, SS. 1977. Optimization Theory and

Application , John Willey and Sons.Inc

Ronald, S.2001.Optimization with the Quasi

Newton Method, Aptech System.Inc,

Gambar

Tabel  1  Tabel  perbandingan  titik  awal  dan  nilai  f  Min  Fungsi  Rosenbrock  untuk  algoritma Rank One
Tabel 3 Tabel perbandingan titik awal dan nilai f  Min  Fungsi  Goldstein  untuk  algoritma  Rank  One
Tabel  5  Perbandingan  banyaknya  Iterasi,  banyaknya  flops  dan  CPU  time  untuk  fungsi  Rosenbrock dengan titik awal ( 1, 2 )
Tabel  9 Perbandingan banyaknya flops

Referensi

Dokumen terkait

(1) Pada saat penggunaan bangunan gedung baru sebagaimana dimaksud dalam Pasal 49 ayat (1) huruf d akan digunakan, Pemerintah Daerah melakukan pemeriksaan terhadap

Terlampir bersama surat ini kami sertakan dokumen-dokumen yang disyaratkan dalam Pengumuman Pelelangan Terbuka Pengadaan Cell for Chloropac untuk PT PJB Unit

yang digunakan pada pembangkit listrik tenaga uap ini disuplai dari laut ataupun sungai, karena air juga berfungsi sebagai pendingin yang digunakan untuk mengkondensasikan

No PERUSAHAAN KOMODITAS UPT KAPASITAS NO SK TANGGAL SK MASA BERLAKU 1 CV.PUTRA PRIMA MANDIRI Meat Bone Meal dan Bahan Pakan Asal.. Hewan Lainnya BBKP Surabaya 500

Dengan kuasa resmi untuk mewakili dan bertindak untuk dan atas nama (nama perusahaan/Joint Operation) dan setelah memeriksa serta memahami sepenuhnya seluruh isi pengumuman Pelelangan

RAJAGAS AUTOMOTIVE CNG CONVERSION SYSTEM PRODUCT ITEMS & SPECIFICATIONS CATALOG.. RAJA GAS AUTOMOTIVE CNG CONVERSION SYSTEM

Parameter yang diamati adalah tinggi tanaman, jumlah daun, jumlah daun diatas tongkol, umur keluar bunga jantan, umur keluar bunga betina, umur panen, laju pengisian biji,

Bagi sekolah, dapat mengetahui salah satu faktor yang dapat dipertimbangkan untuk pengembangan pengajaran dan pembelajaran bahasa Inggris dalam menggunakan web