Jawablah pertanyaan berikut dengan ringkas dan jelas menggunakan bolpoin. Total nilai 100. A. ISIAN SINGKAT (Poin 20) 2

(1)

MA 2081 STATISTIKA DASAR SEMESTER II 2011/2012 KK STATISTIKA, FMIPA ITB SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) 2 Sabtu, 12 Mei 2012, Pukul 09.00‐10.40 WIB (100 menit) Kelas 01. Pengajar: Udjianna S. Pasaribu/Rr. Kurnia Novita Sari, Kelas 02. Pengajar: Utriweni Mukhaiyar  Jawablah pertanyaan berikut dengan ringkas dan jelas menggunakan bolpoin.  Total nilai 100. A. ISIAN SINGKAT (Poin 20)

1. (4) Misal

X

₁

,

X

₂

,



,

X

_n sebuah sampel acak berukuran n dari distribusi

N

(



,



2

)

dimana



2 diketahui. Hitunglah penaksir tak bias untuk . Solusi : Misal . 1 Karena maka penaksir tak bias untuk .

2. (3) Tuliskan 3 asumsi model regresi linier sederhana. Solusi :  Ada pengaruh antara variabel X (bebas) terhadap variabel Y (respon) 

Y

_i





₀





₁

X

_i



e

_i

,

untuk

i

= 1, 2, ...,

n

 Nilai harapan dari

e

_i adalah 0, atau

E e

( )

_i



0

 Variansi dari

e

_i sama untuk semua i = 1, 2,…, n 

e

_i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n 

e

_i saling bebas (independen) 3. (4) Apakah perbedaan dari keempat uji berikut ini:

a. Uji‐t b. Uji‐z c. Uji‐



2 _d. Uji‐F Solusi : a. Uji‐t digunakan untuk menguji rataan 1 atau 2 populasi dengan variansi populasi tidak diketahui. b. Uji‐z digunakan untuk menguji rataan 1 atau 2 populasi dengan variansi populasi diketahui. c. Uji‐



2 digunakan untuk menguji variansi 1 populasi. d. Uji‐F digunakan untuk menguji rasio variansi dari 2 populasi. 4. (3) Tuliskan definisi dari korelasi. Solusi : Korelasi menunjukkan hubungan kelinieran dari dua peubah acak. Definisi korelasi dari dua peubah acak X dan Y adalah: , 5. (6) a. Jelaskan definisi kestasioneran dalam permasalahan data deret waktu (time series). b. Berilah ulasan Anda mengenai data deret waktu berikut.

(2)

(i) (ii) (iii) (iv)

Solusi :

a. Misalkan Xt adalah suatu proses deret waktu, dikatakan stasioner apabila rataan dan variansinya konstan sepanjang waktu dan tidak dipengaruhi oleh waktu (t). b. Ulasan gambar : (i) Data memiliki rataan dan variansi tidak konstan (tidak stasioner) (ii) Data memiliki rataan dan variansi tidak konstan dan terdapat trend (iii) Data memiliki rataan dan variansi hampir konstan, tetap terdapat suatu pola yang periodik (iv) Data meliki rataan dan variansi tidak konstan dan terdapa pola jangka panjang (seasonal). B. ESEI (Poin 80) 1. (10) Pada saat sebuah sinyal bernilai  ditansmisikan dari lokasi A maka sinyal yang diterima di lokasi B berdistribusi normal dengan rataan  dan variansi 4. Misalkan sinyal dengan nilai yang sama ditransmisikan 9 kali dari lokasi A. Kemudian sinyal yang diterima di lokasi B berturut‐turut adalah, 5 8.5 12 15 7 9 7.5 6.5 10.5 Bangunlah suatu selang kepercayaan 95% untuk rataan nilai sinyal yang diterima di lokasi B. Solusi : Misalkan p.a. X : nilai sinyal yang diterima. 9 Selang kepercayaan 95% untuk  adalah: √ √ 9 1,96 2 3 9 1,96 2 3 7,96 10,31 Jadi selang kepercayaan 95% untuk rataan nilai sinyal yang diterima di lokasi B adalah 7,96 10,31.

2. (25) Badan Pusat Statistika mencatat luas area perkebunan dari 14 provinsi di Indonesia dengan pembagian wilayah barat dan timur pada tahun 2009. Berikut ini data luas area perkebunan (dalam satuan ribuan hektar).

Indonesia Barat 410 323 194 318 46 108 56 Indonesia Timur 61 854 386 145 214 697 805

a. Ujilah pada taraf keberartian 10% apakah kedua pengukuran oleh perusahaan yang berbeda di atas memberikan variansi yang sama. b. Buatlah selang kepercayaan 98% untuk selisih rataan luas daerah wilayah barat dan timur. Solusi : a. Misalkan XA = luas perkebunan wilayah barat dan XB = luas perkebunan wilayah timur.

(3)

Diketahui: 2 2 7, 207.86, 20946 7, 451.71, 109061       A A A B B B n X S n X S ₍₅₎ Uji hipotesis untuk rasio variansi kedua populasi di atas.  Ho : 2 2 A B







 H1 : 2 2 A B







(uji dua arah) (2)  Daerah kritis : Ho ditolak jika F hitung > f (0.05 ; 6 , 6) = 4.28 atau (4) F hitung < f (0.95 ; 6 , 6) = 1 1 0.234 (0.05; 6, 6) 4.28 f    Statistik uji: 2 hit 2

20946

0.192 109061

A B

S

F

S



(2)  Karena F hitung berada pada daerah penerimaan maka Ho tidak ditolak. (1)  Kesimpulan : data yang ada dianggap memiliki variansi yang sama. (1) b. Karena 2 2 A B







_{, maka SK 98% untuk}



A





B sbb: 2 2 ; / 2 ; / 2 1 1 1 1 ( _A _B) _p _A _B ( _A _B) _p A B A B X X t S X X t S n n n n                (3) dengan 2 2 2

(

1)

(

1)

6(20946 109061)

65003.4

2

12

A A B B p A B

n

S

n

S

n















,

S

p



254.96

(3) Untuk



2%, t_0.01;12 2.681 (2)

1

1 (207.86 451.71) 2.681(254.96)

(207.86 451.71)

2.681(254.96)

7

7 243.85 683.55(0.535)

243.85 683.55(0.535)

243.85 365.70

609.55

121.85 





 















 









 











A B A B A B A B

3. (25) Data berikut menggambarkan nilai kalkulus 12 mahasiswa tingkat pertama di ITB yang diambil secara acak bersama nilai inteligensi yang diukur sewaktu mereka penjurusan di SMA. Nilai kalkulus 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74 Nilai inteligensi 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55 a. Tentukan variabel bebas dan variabel tak bebas untuk kasus di atas beserta alasannya. b. Taksirlah model liniernya. c. Tentukan taksiran selang 95% untuk 0 dan 1. d. Hitunglah nilai korelasinya, serta jelaskan makna nilai tersebut. e. Tentukan selang prediksi 90% untuk rataan nilai kalkulus mahasiswa jika nilai inteligensinya 68. Solusi : Hasil olahan data di atas:

Mhs Nilai kalkulus (y) Nilai inteligensi (x) y2 _x2 _xy

1 85 65 7225 4225 5525

2 74 50 5476 2500 3700

(4)

4 90 65 8100 4225 5850 5 85 55 7225 3025 4675 6 87 70 7569 4900 6090 7 94 65 8836 4225 6110 8 98 70 9604 4900 6860 9 81 55 6561 3025 4455 10 91 70 8281 4900 6370 11 76 50 5776 2500 3800 12 74 55 5476 3025 4070 Jumlah 1011 725 85905 44475 61685 732975 a. Variabel bebasnya adalah nilai inteligensi dan variabel responnya adalah nilai kalkulus karena nilai inteligensi mempengaruhi nilai kalkulus, nilai inteligensi terjadi lebih dahulu, dan nilai inteligensi memiliki variansi yang lebih kecil. (2 – 2) b. Model regresi linier (3) 2 2 725, 44475 1011, 85905 61685, 732975 x x y y xy x y      



 

Menghitung Jumlah Kuadrat (3)

 

2 ₂ 2

725 44475

672.92

12

XX

x

JK

x

n























2 ₂ 2

1011

85905

728.25

12

YY

y

JK

y

n



















(725)(1011)

61685

603.75

12

XY

x

y

JK

xy

n







 







Menghitung parameter model regresi linier sederhana (5) ₁ 603.75 0.897 672.92 XY XX JK b JK    dan ₀ ₁

1011

0.897

725

30.043

12

12 b

 

y

b x







Model regresi linier sederhana : yˆ b₀ b x₁  yˆ30.043 0.897 x c. SK 95% untuk 0 dan 1 Simpangan baku untuk galat (2)

_ˆ

JK

YY 1

JK

XY

728.25 0.897(603.75)

4.319

2

10 b

s

n



 











SK untuk intercept (



₀) (3)

(5)

_

_

_

_









2 2 0 / 2 XX 0 0 / 2 XX 1 1 0.025;12 2 0 0.025;12 2 0 0.025;12 2 0 ˆ ˆ b / JK b / JK 30.043 4.319 44475 / 12(672.92) 30.043 4.319 44475 / 12(672.92) 30.043 2.228 4.319 (2.347) 30.043 4.319 (2.347) 7.459 5 n n i i i i t x n t x n t t t 











                  



2.628 SK untuk slope (



₁) (3) / 2 / 2 1 1 1 XX XX 1 1 ˆ ˆ b b JK JK 2.228(4.319) 2.228(4.319) 0.897 0.897 672.92 672.92 0.526 1.268 t_



_

t_





          d. Jika diketahui x = 68, maka y = 30.043+0.897(68) = 91.054. (1 – 3) SK 90% untuk rataan respon: ( = 0.10) 2 2 p p /2; /2;

(x

x)

(x

x)

1

1 ˆ

ˆ

n

p p XX XX

y

t

y

t

JK

 



 







 



2 2

1 (68 60.42)

ˆ

91.054 2.228(4.319)

12

672.92

12

672.92 ˆ

87.101

95.007 y

y





 



 

4. (20) Dalam suatu pengujian terhadap jenis polimer tertentu untuk memindahkan sisa racun dari air, beberapa percobaan dilakukan pada suhu yang berbeda. Data berikut memberikan persentase kemurnian yang dipindahkan oleh polimer tersebut pada 21 sampel percobaan yang saling bebas.

Suhu rendah Suhu menengah Suhu tinggi

42 36 33 41 35 44 37 32 40 29 38 36 35 39 44 40 42 37 32 34 45 Jika diasumsikan bahwa data berasal dari distribusi normal, uji hipotesis bahwa polimer memberikan performansi yang sama untuk semua keadaan suhu. Solusi : Misalkan Xij : persentase kemurnian oleh polimer‐j pada suhu ke‐i H0 : 1 = 2 = 3 H1 : ada i dan j dimana i  j x1 x2 x3 x12 x22 x32 42 36 33 1764 1296 1089 41 35 44 1681 1225 1936 37 32 40 1369 1024 1600 29 38 36 841 1444 1296 35 39 44 1225 1521 1936

(6)

40 42 37 1600 1764 1369 32 34 45 1024 1156 2025 xj 256 256 279 791 9504 9430 11251 30185 (xj)2 65536 65536 77841 208913 ni 7 7 7 21 (xj)2/ ni 9362.286 9362.286 11120.14 29844.71 Besaran‐besaran ANOVA ∑ ∑ 791 7 7 7 625681 21 29794.33 30185 ∑ 256 256 279 7 65536 65536 77841 7 29844.71 Tabel ANOVA

Sumber Variasi Kuadrat Jumlah dk Kuadrat Rataan f f tabel Perlakukan (between) c – a = 50.381 2 25.191 1.333 3.555

Galat (within) b – c = 340.286 18 18.905 Total b a = 390.667 20

Karena , ; , yaitu 1.333> 3.555 maka H0 tidak ditolak.

Jadi data tersebut mendukung hipotesis bahwa polimer memberikan performansi yang sama untuk semua keadaan suhu.