APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA
MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL
SEMILINEAR
SKRIPSI
Oleh TILSA ARYENI
110803058
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA
MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL
SEMILINEAR
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
TILSA ARYENI 110803058
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algo-ritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferen-sial Semilinear
Kategori : SKRIPSI
Nama : Tilsa Aryeni
Nomor Induk Mahasiswa : 110803058
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETA-HUAN ALAM
Medan, Agustus 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Dr. Esther S.M. Nababan, M.Sc Dr. Suyanto. M.Kom
NIP.19610318 198711 2 001 NIP. 19590813 198601 1 002
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa ku-tipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Agustus 2015
Tilsa Aryeni 110803058
PENGHARGAAN
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferensial Se-milinear” sebagai salah satu persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si). Sha-lawat beriringan salam juga penulis ucapkan kepada baginda Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga sahabat dan para pengikutnya. Semoga kita termasuk golongan yang mendapatkan perlindungan di akhirat kelak.
Penulis menyadari bahwa dalam penyelesaian skripsi ini tidak terlepas dari ban-tuan dan dorongan dari berbagai pihak. Pertama, penulis mengucapkan terimakasih yang setulusnya kepada orang tua tercinta ayahanda Drs. Munar dan ibunda Efidri-yenti yang selalu memberikan dorongan baik berupa moril dan materil, mendoakan dan selalu memberikan dukungan motivasi yang luar biasa kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik, serta kepada abang dan adik - adik pe-nulis yang senantiasa menyemangati dan mendengarkan curahan hati pepe-nulis selama penulisan skripsi ini.
Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Bapak Prof. Tulus, M.Si atas sar-an, masukan dan segala fasilitas yang telah diberikan demi kelancaran penulis selama mengerjakan tugas akhir ini dan jugatextbook yang sangat membantu penulis dalam mengkaji literatur sehingga penulis mendapatkan pustaka yang relevan. Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto M.Kom dan Ibu Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc selaku dosen pembimbing 1 dan 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan sarannya kepa-da penulis. Terimakasih juga kepakepa-da Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si kepa-dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si sebagai dosen penguji yang telah meluangkan waktu, memberikan saran dan masukan selama penulisan tugas akhir ini.
ke Amerika, beliau tetap senantiasa memotivasi dan meluangkan waktunya untuk ber-diskusi sehingga kekhawatiran penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dapat terobati. Begitu besar ilmu yang beliau berikan sehingga penulis sadar akan luasnya dunia ma-tematika ini dan membuat penulis termotivasi untuk mempelajarinya lebih jauh lagi. Insyaa Allah ilmu yang beliau berikan akan bermanfaat bagi penulis di masa yang akan datang.
Terima kasih juga kepada seluruh staf pengajar Matematika USU yang telah mengajarkan banyak hal kepada penulis selama menempuh perkuliahan di jurusan Ma-tematika. Kepada staf admistrasi Departemen Matematika yang telah membantu dan melayani selama proses skripsi ini terutama kepada Bang Bandi yang tidak bosan -bosannya menanyakan dan mengingatkan penulis untuk segera menyelesaikan skripsi ini.
Penulis juga menyampaikan terimakasih untuk semua teman seperjuangan teru-tama Nur Aisyah yang sama - sama berjuang dalam menulis, selalu mengingatkan dan menyemangati penulis, juga kepada Sundari Atikah dan Khairunisa atas persahabat-an ypersahabat-ang terjalin selama perkuliahpersahabat-an ini dpersahabat-an tempersahabat-an - tempersahabat-an Mpersahabat-antari, Ratih, Merrypersahabat-anty, Indah, Joseph dan kepada seluruh generasi 2011 lainnya yang tidak dapat disebutk-an namdisebutk-anya satu - persatu. Terimaksih juga kepada temdisebutk-an - temdisebutk-an di IMAPALIKO Nadya, Fira, Kak Reni, Kak Nurul yang setia berbagi cerita, pengalaman dan saling menguatkan di perantauan.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan karena keter-batasan pengetahuan penulis. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kemajuan bersama. Akhir kata penulis berharap semoga skri-psi ini dapat memberikan manfaat kepada pembaca dan dapat berguna untuk penelitian selanjutnya.
Medan, Agustus 2015
Penulis
Tilsa Aryeni
APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR
ABSTRAK
Invers dari suatu operator diferensial atau juga dikenal dengan fungsi Green meru-pakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial nonhomogen. Penelitian ini membahas fungsi Green dari operator diferensial eliptik bersamaan dengan operator kondisi batas pada ruang satu dimensi. Pada permasalahan matematika yang rumit, fungsi Green dapat diperoleh dengan menggunakan pendekat-an numerik. White dpendekat-an Stuart pada artikelnya menjelaskpendekat-an bahwa pendekatpendekat-an nume-rik fungsi Green juga dapat diperoleh denganStochastic Partial Differential Equation
(SPDE) yang dikonstruksi menggunakan algoritma Metropolis-Hasting MCMC. Se-telah fungsi Green diketahui maka solusi dari suatu persamaan diferensial semilinear dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari integral terhadap fungsi Green dan fungsi semilinearnya.
APPLICATION OF GREEN’S FUNCTION USING MONTE CARLO ALGORITHM IN SEMILINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
ABSTRACT
Inverse of a differential operator known as Green’s function is one of the methods for solving inhomogeneous differential equations. This study discusses about the Gre-en’s function for the elliptic differential operator incorporating the boundary operator through its domain in one dimensional space. For a class of complicated mathemati-cal problems, we can estimate the Green’s function using numerimathemati-cal methods. White and Stuart explains that numerical method to estimate Green’s function can also be obtained by SPDE with constructing Metropolis-Hasting MCMC algorithm. If we ha-ve known the Green’s function of a problem, then we can write its solution as linear combinations of integral involving the Green’s function and its semilinear function.
Keywords: Green’s function, differential operator, MCMC
DAFTAR ISI
2.2 Fungsi Green dan Hubungannya dengan Fungsi Delta Dirac . . . . 7
2.3 Fungsi Green untuk Operator Diferensial Eliptik pada Satu Dimensi 8 2.4 Solusi Permasalahan Nilai Batas Orde Dua Semilinear . . . 21
BAB 3 FUNGSI GREEN . . . 30
3.1 Fungsi Green dengan Pendekatan Metode Numerik . . . 30
3.2 Pendekatan Numerik Fungsi Green dengan Algoritma MCMC . . . 33
3.2.2 Kondisi BatasNeumann. . . 41
3.2.3 Kondisi BatasRobin . . . 46
3.3 Solusi Numerik Permasalahan Nilai Batas Orde Dua Semilinear . . 49
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . 54
4.1 Solusi Fungsi Green dari Suatu Operator Diferensial Eliptik . . . . 54
4.1.1 Kondisi Batas Dirichlet-Dirichlet . . . 54
3. Solusi Fungsi Green dengan Menggunakan Algoritma MCMC . . 74
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
1.1 Bagan penelitian . . . 6
3.1 Diskritisasi . . . 30
4.1 Perbandingan solusi analitik dan solusi numerik untuk beberapa∆x. 60 4.2 Pendekatan Fungsi Green . . . 62
4.3 Fungsi Green dengan Pendekatan MCMC . . . 63
4.4 Fungsi Green dengan Pendekatan MCMC . . . 64
4.5 Solusi dariu′′ =eu dengan pendekatan numerik . . . 67
