POLINOMIAL 1
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mengenal apa itu polinomial dan sifat-sifatnya;
2. Melakukan operasi-operasi tambah, tolak dan darab ke atas polino-mial;
3. Melakukan pemfaktoran ke atas polinomial.
PENGENALAN
P
olinomial adalah satu konsep yang sangat penting dalam aliabar. Ia merupakan perkara yang perlu dikuasai sebelum seseorang itu pergi lebih lanjut lagi dalam mempelajari aljabar. Dalam unit pela-jaran yang pertama ini, anda akan mempelajari tentang sifat-sifat polinomial, bagaimana melakukan operasi tambah, tolak dan darab ke atas polinomial. Setreusnya, anda juga akan mempelajari bagaimana melekukan pemfak-toran ke atas polinomial.1.1
PERKARA-PERKARA ASAS DALAM POLINOMIAL
Sebelum kita melangkah lebih lanjut dalam membincangkan tentang polino-mial dan operasi-operasinya, ada beberapa perkara asas yang perlu diberi definisi terlebih dahulu.
Takrifan 1.1 Ungkapan aljabar adalah satu ungkapan yang boleh terdiri
daripada sebarang nombor atau huruf atau gabungan kedua-dua nombor dan huruf yang mungkin melibatkan operasi-operasi tambah, tolak, darab dan bahagi.
Contoh 1.1 12; x;3y;5 2y;4y2
+ 6xz;5
x dan sebagainya adalah
ungkapan-unkapan aljabar.
Takrifan 1.2 Sebutan adalah sebarang kuantiti dalam satu ungkapan
al-jabar yang dihubungkan dengan operasi penambahan.
Contoh 1.2 Ungkapan aljabar 5x2
3xy+ 6y 9adalah terdiri daripada 4
sebutan iaitu 5x2
; 3xy;6ydan 9. Ungkapan itu juga boleh ditulis sebagai
5x2
+ ( 3xy) + 6y+ ( 9).
Cuba nyatakan sebutan-sebutan dalam ungkapan 6n5 - 10n3+ n +1
Takrifan 1.3 Faktor adalah sebarang kuantiti dalam satu ungkapan aljabar
yang dihubungkan dengan operasi pendaraban.
Contoh 1.3 Faktor-faktor dalam sebutan kedua di atas iaitu 3xyialah 3; x
dany. 3juga boleh disebut sebagai pekali berangka bagixy.
Apabila pekali berangka dalam sesuatu sebutan atau ungkapan itu tidak ditulis seperti xy, ini bermaksud pekali berangkanya adalah 1. Jika x, ini bermakna pekali berangkanya adalah 1.
1.2
APA ITU POLINOMIAL?
Takrifan 1.4 Polinomial adalah satu ungkapan aljabar yang berbentuk:
anxn+an 1xn 1
+: : : +a1x+a0
di manan ialah integer bukan negatif dana0; a1; : : : ; an 1; an, ialah
nombor-nombor nyata yang juga dipanggil pekali polinomial.
Perhatikan yang polinomial itu terdiri daripada satu pembolehubah sa-haja iaitu x. Pembolehubah-pembolehubah yang lain seperti y dan t juga biasa digunakan.
Contoh 1.4 Contoh-contoh polinomial:
(a) 8t
(b) 3x+ 10
(c) 6y2
+ 5y+ 10
(d) 7 10y+ 4y3 1 2y
5
(e) 1
4x+ 5x 2
+ 100x3
Contoh 1.5 Contoh-contoh bukan polinomial:
(a) x1=4
(c) 2
x + 3x 4
(d) p(t2
3t+ 6
(e) 2 +x+x
2
3x 1
Dalam definisi di atas, polinomial hanya ada satu pembolehubah sahaja. Walaubagaimana pun, pembolehubah dengan lebih daripada satu pem-bolehubah boleh wujud. Misalnya,6xy+3y 4x 6,5p3
10pqr+10q 7rdan sebagainya.. Polinomial –polinomial ini disebut sebagai polinomial dalam beberapa pembolehubah. Walaubagaimana pun, dalam unit pelajaran ini tumpuan lebih diberi kepada polinomial dalam satu pembolehubah sahaja.
1.3
DARJAH SEBUTAN DALAM POLINOMIAL DAN
DAR-JAH POLINOMIAL
Takrifan 1.5
(a) Darjah bagi sebutan dalam polinomial bagi polinomial yang mem-punyai satu pembolehubah sahaja ialah kuasa bagi pembolehubah tersebut. Jika terdapat dua atau lebih pembolehubah dalam sesuatu sebutan, maka darjah bagi sebutan itu ialah hasiltambah kuasa-kuasa pembolehubah-pembolehubah itu.
(b) Darjah bagi polinomial adalah darjah bagi sebutan yang tertinggi wu-jud dalam polinomial itu.
Contoh 1.6 Bagi polinomial5x3
+6x2 9x+8, darjah bagi sebutan5x3
ialah
3, darjah bagi sebutan6x2
ialah 2, darjah bagi sebutan 9xialah1manakala darjah bagi sebutan 8 ialah 0. Perlu ingat, 8 = 8x0
di mana x0
Contoh 1.7 Bagi polinomial6x3
+ 5, darjah bagi sebutan
6x3 y5
ialah 8, darjah bagi sebitan 2xy4
ialah 5, darjah bagi sebutan x6 y2
z3
ialah11manakala darjah bagi sebutan5ialah0.
Contoh 1.8
Polinomial Darjah Polinomial
5 0
Darjah bagi polinomial10s10
100s5
+ 1000ialah . . . .
1.4
MENCARI NILAI BAGI SESUATU POLINOMIAL
Selesaian
(i) P(0) = (0)5 + 3(0)3 6(0) + 9 = 0 + 0 0 + 9
= 9
(ii) P(1) = (1)5 + 3(1)3 6(1) + 9 = 1 + 3 6 + 9
= 7
(iii) P( 2) = ( 2)5 + 3( 2)3 6( 2) + 9 = 32 + ( 24) + 12 + 9
= 35
(iv) P(3) = (3)5 + 3(3)3 6(3) + 9 = 315
1.4.1 Latihan Formatif 1.1
1. Tentukan sama ada ungkapan aljabar berikut adalah polinomial de-ngan satu pembolehubah atau bukan.
(a) 7x 1
(b) 5x
(c) 2x+ 8
(d) 7=x+ 1=7
(e) 5t2 1 2
(f) 2y3
11y 8
(g) 4x1=4
+ 2x+ 5
(h) 5p4
+pp4 9
(i) 1 2t
(j) x 10 +x 4
3x 12
2. Nyatakan darjah dan pekali berangka bagi setiap sebutan bagi polinomial-polinomial ini:
(a) p+ 12
(b) a4 4a3
+ 6a2
4a+ 4
(c) 3x6 5x4
+x2 10
(d) 20x50
+ 10x30 2x
3. Nyatakan darjah bagi polinomial-polinomial berikut:
(a) y 1
(b) x7 6x3
+x2 9
(c) 12p 10
+ 3p2 11
(d) 6x4
50x2
+ 14x+ 6
(e) 7x6 y3
4x4 y2
+x2
y 3x
4. DiberiP(x) = 4x5 x3
+ 3x2
5x;cari:
(a) P(0)
(b) P(1)
(c) P( 1)
(d) P(2)
1.5
OPERASI PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN BAGI
POLI-NOMIAL
Polinomial-polinomial boleh ditambahkan atau ditolakkan dengan mengga-bungkan sebutan-sebutan yang serupa. Sebutan-sebutan serupa adalah sebutan-sebutan yang mempunyai pembolehubah yang sama dan darjah yang sama juga. Sebutan-sebutan serupa boleh digabungkan dengan me-nambahkan pekali-pekali berangkanya.
Contoh 1.11 5x3
+ 3x+ 2x3
+ 5x+ 4 = 7x3
+ 8x+ 4
Perhatikan yang 5x3
dan 2x3
digabungkan menjadi 7x3
kerana mereka adalah sebutan serupa dan 3x digabungkan dengan 5x mejadi 8x dan 4 tidak digabungkan dengan mana-mana sebutan oleh kerana bukan sebutan serupa dengan yang lain.
Contoh 1.12 Permudahkan ungkapan berikut: (6x2
3x+ 4) + (4x3 5x2
+ 5x+ 8)
Selesaian
6x2
3x+ 4 + 4x3 5x2
+ 5x+ 8 (Hapuskan tanda kurungan)
= 6x2 5x2
3x+ 5x+ 4 + 8 + 4x3
(Susun semula sebutan)
=x2
+ 2x+ 12 + 4x3
(Gabungkan sebutan serupa)
= 4x3 +x2
+ 2x+ 12
Contoh 1.13 Permudahkan ungkapan berikut: (x5 6x3
+ 3x 1) (x5 2x3
Selesaian
x5 6x3
+ 3x 1 x5 + 2x3
+ 4
Berhati-hati bila menolakkan ungkapan kedua!
= x5 x5
6x3 + 2x3
+ 3x 1 + 4
= 4x3
+ 3x+ 3
Latihan 1.1 Permudahkan ungkapan berikut: (4t t2 t3
) (3t2
2t+ 2t3 ):
(Jawapan: 3t3 4t2
+ 6t)
Latihan 1.2 Permudahkan ungkapan berikut: ( z3 2z2
) + (z2
7z+ 1) ( 4z3
+ 3z2
3z+ 2);(Jawapan: 3z3 4z2
4z 1)
Latihan 1.3 Permudahkan (5xy 3x + 2y 10) + (2xy+ 10x 9y+ 10):
(Jawapan: 7xy+ 7x 7y)
1.6
OPERASI PENDARABAN BAGI POLINOMIAL
Sesuatu polinomial itu boleh didarabkan dengan polinomial yang lain. Dalam proses pendaraban ini, setiap sebutan dalam polinomial pertama mesti di-darabkan dengan setiap sebutan dalam polinomial kedua. Beberapa contoh adalah diberi berikut:
Contoh 1.14 Darabkan
(a) 3x(5x)
(b) 3a( a)
(c) 7y4 (3y3
Selesaian
Contoh 1.15 Darabkan:
(a) x(2x+ 3)
Contoh 1.16 Darabkan:
(b) (t2
Contoh 1.17 Darabkan:
(a) (p+ 5q)(2p 3q)
Contoh 1.18 Cari penyelesaian bagi berikut:
(b) (3x 4)(3x+ 4) = 3x(3x) + 3x(4) 4(3x) 4(4) = 9x2
+ 12x 12x 16 = 9x2
16
Perhatikan yang 5 (a)adalah dalam bentuk:
(A+B)2
Perhatikan juga yang 5 (b)adalah dalam bentuk:
(A B)(A+B) = A2
1.6.1 Latihan Formatif 1.2
1. Permudahkan ungkapan-ungkapan berikut:
(f) (1=4x4
2. Cari hasildarab bagi ungkapan-ungkapan berikut:
(a) 3x( 4x2
1.7
PEMFAKTORAN POLINOMIAL
Kita tahu bahawa15boleh difaktorkan sebagai3 5 atau(3)(5). Begitu juga dengan polinomial sepertix2
+ 7xboleh difaktorkan sebagaix(x+ 7). Dalam kedua-dua kes, kita bertanya sendiri, “ Apakah yang telah didarabkan bagi mendapat hasil itu?”
(a) Kaedah pemfaktoran apabila setiap sebutan dalam
polino-mial mempunyai faktor sepunya
Untuk melakukan pemfaktoran bagi polinomial yang mempunyai dua atau lebih sebutan, terlebih dahulu cari faktor sepunya terbesar bagi semua sebu-tan.
Contoh 1.19
(a) Faktorkan3x3 + 6x2
12x.
Selesaian Bagi ungkapan di atas, 3x adalah faktor sepunya terbesar bagi semua sebutan. Oleh itu3x3
+ 6x2
Semak: Darabkan 3x dengan x2
+ 2x 4 iaitu (3x)(x2
Selesaian 5x2
+ 15 = 5(x2 + 3)
(c) Faktorkan8m3
16m
Selesaian 8m3
16m = 8m(m2
Selesaian 14p2 y3
8py2
+ 2py = 2py(7py2
4y+ 1)
(b) Kaedah pemfaktoran apabila ungkapan dalam bentuk A2
B2 :
Jika polinomial adalah dalam bentuk A2 B2
, maka faktor-faktornya adalahA B danA+B.
(a) Faktorkanx2 36
Selesaian x2
36 = x2
62 = (x 6)(x+ 6): [Perhatikan di sini,
A=xdanB = 6]
(b) Faktorkan1 9y2
Selesaian 1 9y2
= 12 (3y)2
= (1 3y)(1 + 3y)
(c) Faktorkan4x2
25y2
Selesaian 4x2
25y2
= (2x)2
(5y)2
= (2x 5y)(2x+ 5y)
(d) Faktorkan147x3
27xy2
Selesaian 147x3
27xy2
= 3x(49x2 9y2
) = 3x[(7x)2
(3y)2
] = 3x(7x 3y)(7x+ 3y)
(c) Kaedah pemfaktoran bagi polinomial dengan ungkapan
berben-tukax2
+bx+c, di manaa,bdancadalah pemalar-pemalar dengana6= 0 Polinomial yang mempunyai ungkapan berbentukax2
+bx+cdipanggil
ungkapan kuadratik.
Contoh 1.21 Dalam pendaraban(x+ 2)dengan(x+ 4), kita perolehi
(x+ 2)(x+ 4) = x x+x 4 + 2 x+ 2 4
= x2
+ 4x+ 2x+ 8
= x2
+ 6x+ 8
Jadi,x2
+ 6x+ 8 = (x+ 2)(x+ 4): x+ 2danx+ 4adalah faktor-faktor bagi
x2
Contoh 1.22 Dalam pendaraban(2x 1)dengan(3x+ 2) kita perolehi
(2x 1)(3x+ 2) = 2x 3x+ 2x 2 + ( 1) 3x+ ( 1) 2
= 6x2
+ 4x 3x 2
= 6x2
+x 2
Jadi,6x2
+x 2 = (2x 1)(3x+ 2): 2x 1dan3x+ 2adalah faktor-faktor bagi6x2
+x 2
Daripada kedua-dua contoh di atas, kita dapati pemfaktoran bagi ungka-pan kuadratik ax2
+ bx+c adalah satu proses mencari dua faktor dalam bentukpx+q danrx+syakni
ax2
+bx+c= (px+q)(rx+s)
Proses pemfaktoran ini sebenarnya adalah lawan kepada pendaraban dua polinomial.
Contoh 1.23
(a) Faktorkanx2
+ 5x+ 6
Selesaian Pastikan yang ungkapan tidak mempunyai sebutan sepunya.
Per-hatikan sebutanx2
=x x. dan sebutan pemalar ialah6 dan sebutan ditengah-tengah ialah5x. Kita mesti mencari pasangan nombor yang apabila didarabkan mendapat 6 dan apabila ditambahkan mendapat
2 + 3 = 5. Juga boleh digambarkan seperti berikut:
x +2
& %
% &
x +3
x2
+ 3x+ 2x+ 6
=x2
+ 5x+ 6
Oleh itu faktor-faktornya adalah x+ 2 dan x+ 3: Jadi, x2
+ 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3):
(b) Faktorkanx2
5x+ 6
Selesaian
x 2
& %
% &
x 3
(perhatikan( 2)( 3) = 6)dan 3x+ ( 2x) = 5x)
x2
3x 2x+ 6
=x2
5x+ 6
Jadi,x2
5x+ 6 = (x 2)(x 3)
(c) Faktorkany2
8y 20
Selesaian Bagi pemalar 20, mesti diungkapkan sebagai satu hasildarab satu nombor positif dan satu nombor negatif.. Pasangan nombor yang mungkin adalah nombor-nombor 4 dan 5; 4 dan 5;2 dan 10; 2
2dan 10sebab apabila ditambahkan mesti menghasilkan 8. Jadi,
y +2
& %
% &
y 10
(perhatikan(2)( 10) = 20)dan 10y+ 2y= 8y)
y2
10y+ 2y 20
=y2
8y 20
Oleh itu,y2
8y 20 = (y+ 2)(y 10)
(d) Faktorkant2
24 + 5t
Selesaian t2
24 + 5tdisusun ikut tertib meneurun terlebih dahulu menjadi
t2
+ 5t 24. Bagi pemalar 24, mesti diungkapkan sebagai satu hasil-darab satu nombor positif dan satu nombor negatif. Pasangan nombor yang mungkin adalah 1dan24,1dan 24; 2dan12;2dan 12; 3
dan 8;3 dan 8; 4 dan 6 serta 4 dan 6. Walaubagaimana pun, pasangan yang sesuai ada lah 3dan 8sebab apabila ditambahkan mesti menghasilkan5. Jadi,
t 3
& %
% &
t +8
(perhatikan( 3)(8) = 24)dan8t+ ( 3t) = 5t)
t2
+ 8t+ ( 3t) 24
=t2
+ 5t 24
Oleh itu,t2
24 + 5t=t2
+ 5t 24 = (t 3)(t+ 8):
(e) Faktorkana2
Selesaian Di sini kita anggap 21b2
sebagai pemalar dan mesti diungkap sebagai satu hasildarab nombor positif dan nombor negatif. Pasangan nombor yang mungkin adalah 3bdan7b;3bdan 7b; bdan21bserta
b dan 21b. Pasangan yang sesuai adalah 3b dan 7b oleh kerana apabila ditambahkan mesti menghasilkan4b. Jadi,
a 3b
& %
% &
a +7b
(perhatikan( 3b)(7b) = 21b2
dan7ab+ ( 3ab) = 4ab)
a2
+ 7b+ ( 3b) 21b2
=a2
+ 4ab 21b2
Oleh itua2
+ 4ab 21b2
= (a 3b)(a+ 7b):
(f) Faktorkanx2
x+ 5
Selesaian Pemalar 5boleh diungkapkan sebagai hasildarab 1dan5 serta
1dan 5. Tiada pasangan yang sesuai sebab apabila ditambahkan menghasilkan 5 dan 6 masing-masing. Yang kita mahu ialah 1
(pekali bagix). Oleh itux2
x+ 5 tidak boleh difaktorkan.
(g) Faktorkan2x3
20x2
+ 50x
Selesaian Perhatikan2x3
20x2
+ 50xmempunyai faktor sepunya bagi se-tiap sebutan iaitu2xyakni
2x3
20x2
+ 50x= 2x(x2
manakalax2
10x+ 25boleh difaktorkan menjadi(x 5)(x 5) Jadi,
2x3
20x2
+ 50x = 2x(x2
10x+ 25)
= 2x(x 5)(x 5)atau2x(x 5)2
(h) Faktorkan3x2
10x 8
Selesaian 3x2
boleh diungkapkan sebagai3x x . Bagi pemalar 8, boleh diungkapkan sebagi hasildarab 1 dan 8;1 dan 8; 2 dan 4 serta
2 dan 4. Jadi kita mesti cuba semua kombinasi bagi menghasilkan
10x.
3x 1
& %
% &
x +8
Dengan mendarab silang menghasilkan3x(8)+x( 1) = 24x x= 23x (Bukan!)
3x +1
& %
% &
x 8
Dengan mendarab silang menghasilkan 3x( 8) +x(1) = 24x+x = 23x(Bukan!)
3x 2
& %
% &
x +4
10x(Bukan!)
3x +2
& %
% &
x 4
Dengan mendarab silang menghasilkan3x( 4) +x(2) = 12x+ 2x= 10x(Ya!). Jadi,3x2
10x 8 = (3x+ 2)(x 4)
Semak! (3x+2)(x 4) = 3x(x)+3x( 4)+2(x)+2( 4) = 3x2
12x+2x 8 = 3x2
10x 8:
(i) Faktorkan10x2
+ 37x+ 7
Selesaian 10x2
boleh diungkapkan sebagi hasildarab 10x x atau 2x 5x
manakala pemalar 7 boleh diungkapkan sebagi hasildarab 1 dan 7
sahaja. Kita gunakan kaedah cuba jaya untuk dapatkan37x:
10x +1
& %
% &
x +7
Dengan mendarab silang menghasilkan10x(7) +x(1) = 71x(Bukan!)
x +7
& %
% &
5x +1
Dengan mendarab silang menghasilkan5x(7)+2x(1) = 35x+2x= 37x
(Ya!). Jadi10x2
(j) Faktorkan24y2
76y+ 40
Selesaian Polinomial ini ada faktor sepunya iaitu4. Jadi24y2
76y+ 40 = 4(6y2
19y+ 10). Seterusnya cari faktor-faktor bagi6y2
19y+ 10. 6y2
boleh diungkapkan sebagai 6y y atau 3y 2y manakala 10 boleh di-ungkapkan sebagai hasildarab1dan10; 1dan 10; 2dan 5serta
2dan5.Kita gunakan kaedah cuba jaya untuk menghasilkan 19y.
6y 10
& %
% &
y 1
Dengan mendarab silang menghasilkan6y( 1)+y( 10) = 16y(Bukan!)
3y 5
& %
% &
2y 2
Dengan mendarab silang menghasilkan3y( 2)+2y( 5) = 16y(Bukan!)
3y 2
& %
% &
2y 5
Dengan mendarab silang menghasilkan3y( 5)+2y( 2) = 19y(Ya!). Jadi, 6y2
19y+ 10 = (3y 2)(2y 5). Oleh itu, 24y2
76y+ 40 = 4(3y 2)(2y 5)
(k) Faktorkan6p2
Selesaian 6p2
boleh diungkapkan sebagai6p patau3p 2pmanakala sebu-tan terakhir 28q2
boleh diungkapkan sebagai 7q:4q;7q: 4q;14q: 2q; 14q:2qdan lain-lain. Kita gunakan kaedah cuba jaya dan katakana kita ambil pasangan 3pdan 2pserta 4q dan7q. Kita perlukan men-dapat hasil 13pq:
3p 4q
& %
% &
2p +7q
Dengan mendarab silang menghasilkan3p(7q)+2p( 4q) = 13pq(Bukan!).
3p +4q
& %
% &
2p 7q
Dengan mendarab silang menghasilkan 3p( 7q) + 2p(4q) = 13pq
(Ya!). Oleh itu,6p2
13pq 28q2
= (3p+ 4q)(2p 7q):
1.7.1 Latihan Formatif 1.3
1. Faktorkan selengkapnya:
(a) 3x2 6x
(b) 2p3 + 8p2
10p
(c) 10y5 25
(d) 24x4
+ 30x2
(e) 15y5
12y4
+ 27y3 3y2
(g) 7a4
2. Faktorkan selengkapnya
(a) x2
3. Faktorkan selengkapnya
1.8
Latihan Sumatif
1. Kenal pastikan sebutan-sebutan dalam setiap polinomial berikut:
(a) 3x2
+ 6x 5
(b) 4y5 + 7y2
3y+ 2
2. Bagi setiap polinomial berikut, nyatakan(i)darjah dan pekali bagi se-tiap sebutan dan(ii)darjah bagi polonomial
(a) 15t5
4. Tambahkan atau tolakkan bagi polinomial-polinomial berikut;
(a) (3x4
(a) Cari satu polinomial bagi perimeter segi empat tepat itu (b) Cari satu polinomial bagi luas segiempat tepat itu.
6. Cari hasildarab bagi berikut:
(a) 3x( 4x2 )
(b) (7x+ 1)2
(c) (m+ 5)(m 5) (d) (x+ 4)(x 7) (e) (4x2
5x+ 1)(3x 2)
(f) (x4
2x+ 3)(x3
+x+ 1)
(g) (2 x)(2 +x) (h) (13x 3)(x 13)
(i) (3x2
+ 4)(3x2 4)
(j) (p q)(p2
+pq+q2 )
7. Faktorkan selengkapnya:
(a) 2x4 + 6x3
(b) 9x2 4
(c) x2
+ 4x 12
(d) y2
+ 14y+ 49
(e) 6x2
5x+ 1
(f) 25m2
20m+ 4
(g) x4 81
(h) 9x3
+ 12x2 45x
(i) 3x2 27
(j) 12a2
1.9
JAWAPAN
1.9.1 Latihan Formatif 1.1
1. (i)Bukan(ii)Ya(iii)Ya(iv)Bukan(v)Ya(vi)Ya(vii)Ya(viii)Bukan
1.9.2 Latihan Formatif 1.2
1. (a)x2
1.9.3 Latihan Formatif 1.3
2. (a)(x 10)(x+10) (b)(2t 1)(2t+1) (c)(2 5k)(2+5k) (d)9(3
1.9.4 Latihan Sumatif
(f)(5m 2)2
(g)(x2
