M O D U L
ANALI SI S VARI ABEL KOMPLEK
O l e h
Dwi Purnomo
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
IKIP BUDI UTOMO MALANG
TAHUN 2014
X
Y
x
y r
cos,isin
rX
Y
cos,isin
r
r y
x
cos,isin
rX X
Y
Y
x x
y
r r y
cos,isin
rAnalisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo ii
DAFTAR ISI
Halaman
Halaman Sampul ... I
Daftar Isi ... ii
Kata Pengantar ... iii
1.1 Pendahuluan ... 1
1.2 Representasi Grafik Bilangan Real ... ... 2
1.3 Sistem Bilangan Komplek ... 20
1.4 Operasi Dasar Bilangan Komplek ... 22
1.5 Nilai Mutlak ... 26
1.6 Pembangun Aksioma Sistem Bilangan Komplek ... 30
1.7 Representasi Grafik Bilangan Komplek ... 34
1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek ... 38
1.9 Teorema de Moivre ... 43
1.10 Akar-akar Bilangan Komplek ... 53
1.11 Rumus Euler ... 61
1.12 Persamaan Polinomial ... 66
1.13 Akar-akar ke-n dari Satuan ... 69
1.14 Interpretasi Vektor dari Bilangan Komplek ... 70
1.15 Representasi Spherical Bilangan Komplek ... 74
1.16 Hasil Kali Titik dan Silang ... 75
1.17 Koordinat-koordinat Konjugate Bilangan Komplek ... 78
1.18 Himpunan-himpunan Titik ... 80
1.19 Soal-soal ... 82
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo iii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah swt. atas semua limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulisan modul Analisis Variabel Komplek dapat diselesaikan sesuai dengan rencana sebelumnya. Namun demikian mengingat kekurangan dan sifat “manusiawi” penulis sehingga materi dalam modul yang telah disusun belum sesuai dengan harapan pembaca.
Penulisan modul Analisis Variabel Komplek dimaksudkan untuk menjelaskan beberapa konsep yang berkaitan dengan sistem bilangan komplek, operasi dan representasinya dalam grafik maupun vektor. Modul ini menjelaskan pokok bahasan bilangan real representasinya secara grafis, sistem bilangan komplek, operasi-operasi dasar, bilangan real, nilai mutlak, pembangun aksioma sistem bilangan komplek, representasi grafis bilangan kompek, bentuk polar bilangan komplek, teorema de Moivre, akar-akar bilangan komplek, rumus Euler, persamaan polinomial, akar-akar
n
ke bilangan komplek, interpretasi vektor bilangan komplek, representasi spherical bilangan komplek, hasil kali titik dan silang, koordinat-koordinat konjugate komplek, himpunan-himpunan titik.
Penyusunan modul Analisis Variabel Komplek mulai awal hingga akhir sangat dibantu oleh teman dan kolega, khususnya teman satu profesi di Program Studi Pendidikan Matematika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Budi Utomo Malang, lebih-lebih para mahasiswa matematika, antara lain matematika angkatan 2009 A/B, 2010 A/B dan khususnya angkatan 2011 B (Maria Susanti N. dkk.) yang menjadi sumber inspirasi dan bantuan motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan bahan ajar. Harapan penulis semoga konsep teori, pembahasan soal, dan soal-soal latihan yang disajikan dapat berguna dan membantu mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insya’allah diperbaiki dikemudian hari.
Malang, 1 Agustus 2014 Penulis
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 5
Untuk yang tercinta
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 6
BILANGAN KOMPLEK
1.1 Pendahuluan
Sistem bilangan seperti yang kita kenal hingga saat ini merupakan hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut.
1. Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan bangsa Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli,
jumlah ab dan perkalian a.b,(a)(b)atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk
alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat tertutup (closure) terhadap operasi ini.
2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti
xba, dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada
operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan xab himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.
3. Bilangan rasional dan pecahan seperti ,... 4 13 , 5 6 , 7 1 , 4 3
muncul sebagai bagian yang memungkinkan selesaian persamaan berbentuk bxa untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b0. Hal ini mengarah ke operasi pembagian atau invers perkalian, dan ditulis dengan
b a
x yang disebut hasil bagi a dan b , di mana a
adalah pembilang dan b adalah penyebut.
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian atau subset dari bilangan
rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional
b a
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 7
4. Bilangan irasional seperti √2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . . adalah bilangan
yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan
b a
dimana a dan b
adalah bilangan bulat dan b0.
Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan real. Diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui dengan berbagai operasi pada bilangan real.
1.2 Representasi Grafis Bilangan Real
Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real (R), terlebih dahulu marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan a,b,c,d,.... atau 1,2,3,4,.... sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf kapital A,B,C,D, dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari a,b,c,d,e, himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk A{a,b,c,d,e} dengan masing-masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsur-unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan tersebut ditulis dengan notasi aA dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota himpunan A, maka dituliskan aAdan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan dinyatakan dengan notasi atau { }.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 8
Contoh:
1) A{yybilangan prima kurang dari10}
2) B{xx faktor ganjildari21} 3) C {xx2 1,xbilanganprima}
4) D{xx faktor genapdari21}
5) E {xx2 3x40} 6) F {xx2 3x40} 7) G{xx42} 8) H {(x,y)x2 y2 4}
9) V {himpunankuasadari{1,2,3}}
Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.
Contoh
1) A{1,2,3,4,5,...}
2) B{senin,selasa,rabu,kamis, jum'at,sabtu}
3) C{2,3,5,7,11,13,17,19,...}
4) D{merah,kuning,hijau}
5) E {0}
6) F {}
7) G { x1, }
8) H {(1,2),(2,3),(3,4),...}
9) V {,{1},{2},{1,2}}
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 9
Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan tersebut adalah:
1. Himpunan bilangan asli (Natural)
Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan anggota-anggota
bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga N{1,2,3,4,5,6,...}
Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a,b bilangan asli maka (ab)dan ( ba. )bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.
2. Bilangan cacah (whole)
Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga W{0,1,2,3,4,5,6,...}. Bilangan cacah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a,b bilangan cacah maka (ab)dan ( ba. ) bilangan cacah.
3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-bilangan asli membentuk sistem bilangan-bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga Z{...3,2,2,0,1,2,3,...}.
4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q. Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan
0 , ,
.
a b Z b
b a Q
Contoh
1)
3 1
p
2)
11 2
q
3)
7 22
r
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 10
1) 0,33333333...
3 1
p
2) 0,285714285714285714...
11 2
q
3) 3,142857142857148...
7 22
r
Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat 1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan 101. Jika terdapat 2 angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan 102. dan seterusnya. Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh:
Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional .a,bZ,b0
b a Q
1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212... Jawab
Bilangan 0,12121212...adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu angka 1 dan 2.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2 angka, kalikan bilangan 0,12121212... dengan bilangan 2
10 . Misal x0,12121212..., sehingga diperoleh
... 212121212 ,
1 , 12 100x
Akibatnya 100xx(12,121212.12...)(0,12121212...)12 ...)
12121212 ,
0 ( ...) 12 . 121212 ,
12 (
10xx
99 12
12 99
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 11
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,12121212... adalah
99 12
2. Tentukan bentuk rasional bilangan 1,412333333...
Jawab
Bilangan 1,412333333...adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu angka 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 1,412333333...adalah 1 angka, kalikan bilangan 1,412333333...dengan bilangan 1
10 . Misal x1,4123333333..., sehingga diperoleh
... 12333333 ,
14 10x
Akibatnya 10xx(14,123333333...)(1,412333333...)
900 1271 9
71 , 12
71 , 12 9
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 1,412333333... adalah
900 1271
3. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,9826273273273...
Jawab
Bilangan 0,9826273273273...adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang yaitu angka 2,7, dan 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,9826273273273...
adalah 3 angka, kalikan bilangan 0,9826273273273...dengan bilangan 3
10 . Misal
x0,9826273273273... ... 3 5627327327 ,
982 1000x
Akibatnya 1000xx(982,56273273273...)(0,98256273273273...)
99900 98158017 999
58017 , 981
58017 , 981 999
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,9826273273273... adalah
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 12
4. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,0543125431254312...
Jawab
Bilangan 0,0543154315431... adalah bilangan desimal dengan 4 angka berulang yaitu angka 5, 4, 3, dan 1.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,0543154315431...
adalah 4 angka, kalikan bilangan 0,0543154315431...dengan bilangan 4
10 . Misal
x0,0543154315431..., sehingga diperoleh
.... 154315431 ,
543 10000x
Akibatnya 10000xx(543,154315431...)(0,0543154315431...)
99990 5421 9999
1 , 542
1 , 542 9999
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,0543154315431... adalah
99990 5421
5. Bilangan Irasional (
_
Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang
tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .a,bZ,b0
b a
Q . Karena bilangan
rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang, maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.
Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-bilangan irasional. Contoh bilangan-bilangan irasional antara lain adalah 2 dan . Bilangan
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 13
Gambar 1.1
Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 1.2 Contoh
1) 2 = 1,41421356237... 2) 3 = 1,73205080756... 3) 11 = 3,316625790355... 4) π = 3.14159265358979….
5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…
Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang
1
d d2
1
l
2
l
2 2 1 1
d l d
l
2 1
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 14
selama ini dianggap sama yaitu
7 22
= tidaklah selalu benar. Karena
7 22
adalah
bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.
6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real (R), sehingga RNWZQQ Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal.
Contoh
Bilangan-bilangan
66 7 dan , 3 5 , 4 3
masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal
sebagai
0,75, 1,666...
,dan 0,1060606.... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:i. berhenti ( dst. 8 1 , 2 5 , 4 3
), atau
ii. berulang beraturan ( ,dst. 66
7 , 3 5
).
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang a,b,c, d bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut: 1) Sifat komutatif
(i). abba (ii).a.bb.a 2) Sifat asosiatif
bc ab c abc ac b a c b a c b a
. . . . . . ). ii (
). i (
3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan a.(bc)(a.b)(a.c)
4) (i). .1, b0
b a b a
(ii). , 0, 0
. ) . ( ) . (
b d
d b
c b d a d c b a
(iii). , 0, 0
. .
. b d
d b
c a d
c b a
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 15
(ii). (a).(b)a.b (iii). (a)a
6) (i). 0 0
a , untuk setiap bilangan a0. (ii).
0
a
tak terdefinisikan.
(iii). 1
a a
, untuk setiap bilangan a0. 7) Hukum kanselasi
(i). Jika a.c b.c dan c0 maka ab. (ii). Jika b,c0 maka
b a c b
c a
. .
.
8) Sifat pembagi nol
Jika a.b0 maka a0 atau b0.
Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 di bawah ini. Titik yang sesuai dengan nol disebut titik asal.
Gambar 1.3
Sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. Jika suatu titik A sesuai dengan bilangan real a yang terletak di sebelah kanan titik Bsesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a
dan ditulis secara berurutan dengan ab atau ba.
Himpunan dari nilai-nilai x termasuk a < x <b disebut interval terbuka pada sumbu real bila axb, yang mana didalamnya terdapat titik awal a dan titik akhir
,
b disebut interval tertutup. Lambang x, yang mana dapat berdiri untuk semua susunan dari nilai–nilai asli, yang disebut variabel asli.
4
3 2 1 0 1 2 3 4
3 2
2 3
4 3
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 16
Nilai mutlak dari sebuah bilangan real a , dinotasikan dengan a , adalah a jika
0
a , –a untuk a < 0 dan 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b pada sumbu real
adalah | − |. Atau dengan kata lain:
0 ,
0 ,
0
0 ,
a jika a
a jika
a jika a a
Sifat-sifat terurut bilangan Real
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan (well ordering principle).
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan “kepositipan”.
Definisi
Misalkan P himpunan bagian R dan P. Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika a,bP maka (ab)P (2) Jika a,bP maka (a.b)P
(3) Jika aR, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi aP,a 0,aP
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa {aaP} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 17
1) Jika aP, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat
(strictly positip) dan dituliskan dengan a0, Jika aP{0} , maka a disebut
bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a0.
2) Jika aP, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat
(strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a0, Jika aP{0}, maka a
disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a0.
3) Jika a,bRdan jika abP maka dituliskan dalam bentuk ab atau ba. 4) ika a,bRdan jika abP{0} maka dituliskan dalam bentuk ab atau
a
b .
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan abcyang berarti abdan
c
b . Demikian juga jika abc yang berarti ab maka bc dan seterusnya. Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
Teorema 1
Misalkan a,b,cR
1. Jika ab dan bc maka ac.
2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi ab,ab,ab
3. Jika ab dan ab maka ab
Bukti
1) abmaka menurut definisi ab0atau a b P
c
b maka menurut definisi bc0 atau b c P
Karena a b P dan b c P maka menurut definisi diperoleh (a b) (b c) P
sehingga a c P atau a c
2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut mungkin terjadi
0
b
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 18
3) Jika a b , maka a b 0 , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a b P atau b c P yakni a b atau b a . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a b
Teorema 2
1. Jika a R dan a 0 maka a2 0. 2. 1 0
3. Jika
n
N
maka n 0Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika a 0 , maka a P atau aP. Jika a P maka dengan definisi kita mempunyai a2 a.a, untuk a P . Dengan cara yang sama Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk
P a a
a
) ( )( )
( 2 . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:
2) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )(
(a a a a a . Akibatnya bahwa a2 P . Jadi kita simpulkan bahwa jika aP, maka a2 0.
2. Karena 2
) 1 (
1 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini. Pernyataan tersebut benar untuk n1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar untuk nk , dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan 1P, maka k1P, sehingga pernyataan di atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 3
Misalkan a,b,cR
1. Jika ab, maka acbc
2. Jika ab, dan bc maka acbd
3. Jika ab, c0 maka acbc
4. Jika ab, c0maka acbc
5. Jika a0maka 1 0
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 19
6. Jika a0 maka 1 0
a
Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Karena ab berarti menurut definisi sebelumnya ab0. Karena ab0 sehingga abP.
) ( ) ( )
(ab ab cc
) ( ) ( ) ( )
(ab cc ac bc
Sehingga (ac)(bc)P. Dengan kata lain (ac)(bc)0
Karena (ac)(bc)0berarti (ac)(bc)
2. Karena ab dan c d berarti ab0dan cd 0. Hal ini berarti abP dan cdP.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh P
d c b
a )( )
( . Dengan kata lain (ab)(cd)0, atau
0 ) ( )
(ab cd sehingga berlaku (ab)(cd)
3. Karena ab dan c d berarti ab0dan cd 0. Hal ini berarti abP dan cdP.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh P
c b a )
( . Dengan kata lain (acbc)P, atau
0 )
(acbc sehingga berlaku acbc
4. Karena ab dan c0 berarti ab0dan c0atau (c)0. Hal ini berarti abP dan cP.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh P
c b
a )( )
( . Dengan kata lain (bcac)P, atau P
ac bc )
( sehingga berlaku bcac
5. Jika a0 maka a0(berdasarkan sifat trikotomi). Karena a0, berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1 0,
a Jika 0
1
a , berdasarkan teorema sebelumnya
diperoleh 1 10
a
a .
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
0 1
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 20
6. Jika a0, maka a0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a0, berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1 0,
a Jika
1 0
a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 0
1
1
a a
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
1 0
a
Teorema 4
Jika a,bR, maka a
ab
b2 1
Bukti.
Karena ab, maka dapat diperoleh aa abatau 2aab Demikian pula abmaka dapat diperoleh ab bbatau ab2b Dari ketaksamaan 2aabdan ab2bdidapatkan
b b a
a 2
b b b
a a
a
(2 )
2 1 ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1
b b a
a
( )
2 1
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika aR dan a0 maka a (ab)b
2 1
Contoh
Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini. 1) 2x43
Jawab 3 4 2x
2 7 2 7 2 2
7 2
4 3 4 4 2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 21
Jadi selesaian persamaan 2x43adalah
Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.
Beberapa contoh diberikan sebagai berikut. 1) Tentukan selesaian x2 5x60
Jawab
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:
x2 x3 0Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 22
Sehingga diperoleh: x3.
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:
3 dan 2
0 3 dan 0 2
x x
x x
Diperoleh: x2.
Jadi, selesaian persamaan x2 5x60 adalah x2atau x3.
Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika x2atau x3. Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: x2, 2x3, dan x3.
Gambar 1.4
Pada bagian x2, nilai (x2) dan (x3) keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 2 x3, (x2) bernilai positif sedangkan (x3)
bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian 3
x , (x2) dan (x3) masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.
Tanda nilai
Kesimpulan 2
x x3 (x2)(x3)
2
x - - + Pertidaksamaan dipenuhi
3
2x + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi 3
x + + + Pertidaksaman dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah x2 atau x3.
Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.
x<2 2<x<3 x>3
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 23
2) x3 2x2 x11. Jawab
Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:
0 ) 2 )( 1 )( 1 (
0 2 2 2
3
x x x
x x x
Jika (x1)(x1)(x2)0, maka diperoleh: x1, x1, atau x2. Selanjutnya, perhatikan table berikut:
Nilai-nilai peubah x1,x1,x2 disebut titik kritis. Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 1
x x1 x2 (x1)(x1)(x2)
1
x - - - - Pertidaksamaan dipenuhi
1 1
x + - - + Pertidaksamaan tidak dipenuhi
2
1x + + - - Pertidaksamaan dipenuhi
2
x + + + + Pertidaksamaan tidak dipenuhi
1
x 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan dipenuhi
1
x 2 0 -1 0 Pertidaksamaan dipenuhi
2
x 3 1 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaanx3 2x2 x11 x 1 atau 1 x2. Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan x3 2x2 x11. adalah dengan menggunakan garis bilangan
2 ,
1 ,
1
, 0 ) 2 )( 1 )( 1 (
0 1 1 2
1 1 2
2 3
2 3
x dan x
x
adalah maan
pertidaksa kritis
titik Sehingga
x x x
x x x
x x x
Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh: - - - + + + + + + + - - - + + + + + + +
1
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 24
Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah x 1 atau 1 x2.
3) 1
2 8 2
x
x x
.
Penyelesaian
Apabila pada ke dua ruas ditambahkan (x1) maka diperoleh:
0 2
) 2 )( 5 (
0 2
10 3
0 2
2 8
2 0 ) 1 ( 2
8 2
2
2
x x x
x x x
x x x x
x x
x
Nilai nol pembilang adalah 2dan 5, sedangkan nilai nol penyebut adalah 2.
Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga 0 2
) 2 )( 5 (
x x x
diperhatikan tabel
berikut:
Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 2
x x2 x5
2 ) 5 )( 2 (
x x x
2
x - - - - Pertidaksamaan tidak
dipenuhi 2
2
x + - - + Pertidaksamaan
dipenuhi 5
2 x + + - - Pertidaksamaan tidak
dipenuhi 5
x + + + + Pertidaksamaan
dipenuhi 2
x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan
dipenuhi 2
x 4 0 -3 Tidak
terdefinisi
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
5
x 7 3 0 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 25
Soal-soal
1) Misalkana,b,c,d R buktikan pernyataan berikut: a. Jika ab,bcmaka adbcacbd
b. Jika ab dan cd maka acbd
c. a2 b2 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0
2) Carilah bilangan a,b,c,d R yang memenuhi 0ab dan ad 0 dan berlaku
a) acbd b) acbd.
3) Tentukan bilangan real x , sedemikian sehingga:
a) x2 3x4
b) 1x2 4
c) x2 3x40
d) 0
6 2
1
x x
e) 0
1 2 2
x x
f) 5
1 2 1
x x
g)
x
x 3
4
1
h) x
x
1
i) 7
2 1
x
j) 3
2 1
x
1.3 Sistem Bilangan Komplek
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 26
dengana,b,creal. Nilai peubah x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan
selesaian. Selesaian suatu persamaan yang juga disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real atau tidak real. Misal x2 10 adalah sebarang persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut akar-akarnya tidak real atau dengan kata lain tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan x2 10, hal ini dikarenakan
. 1
2
x Pernyataan ini adalah sesuatu yang tidak mungkin karena tidak ada kuadrat suatu bilangan real yang hasilnya 1. Untuk itu perlu diperkenalkan bilangan komplek
yaitu suatu bilangan yang mempunyai bentuk umum abi dimana a,breal dan 1
i .
Bilangan komplek didefinisikan sebagai pasangan berurutan dari bilangan real b
a, yang memenuhi sifat-sifat tertentu yang secara umum dituliskan sebagaizabi.
Kita dapat mengangap sebuah bilangan komplek mempunyai sifat 2 1.
i . Untuk selanjutnya dalam bilangan komplek zabi. a disebut bagian real dari dari z dan b disebut bagian bilangan imajiner dari z, secara berturut-turut keduanya dilambangkan dengan aRe{z} dan bIm{z}. Variable yang berlaku pada bilangan komplek disebut sebagai variabel komplek.
Dua bilangan komplek z1 abi dan z2 cdiadalah sama jika dan hanya jika ac dan bd. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari
susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner sejati.
Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu bilangan komplek bi
a adalah abi. Konjugate bilangan bilangan komplek z sering diindikasikan oleh atau z*.
Contoh:
1) 23i23i
2) i i i
4 5 4 1 4
5 1 4
5 1
3) (3i)(22i)(66i2i2i2)(66i2i2)84i84i
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 27
Maka
a) Re{z1z2}1 b) Re{z1z2}2 c) Re{z1z2}2
d) Im
6 3 4
/73 2
1
z z z
e) Im
z1 z2 z3
1 3 Soal-soal1. Tunjukkan bahwa z1 1i,z2 1i adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
0 2 2
2
z z
2. Tunjukkan bahwa
2 2 1 ,
2 2 1
2 1
i z
i
z adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat z2 z10
3. Tentukan
a.
32i 2 53i
b.
i i
3 2
4 2 3
1.4 Operasi dasar pada bilangan Komplek
Operasi yang ditunjukan pada bilangan komplek juga berlaku seperti pada Aljabar. Operasi pada bilangan komplek meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada operasi bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti aljabar dari bilangan-bilang asli dan mengganti dengan -1 sehingga diperoleh hasil sebagai operasinya.
Misal z1 abi dan z2 cdi hasil operasinya dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Penjumlahan
i d b c a di c bi a di c bi a z
z1 2 ( )( ) ( )( )
Contoh
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 28
b. \2(14i)2(42i)(28i)(84i)(28)(8i4i)104i
c.
2i 37i
22i
2i37i22i76i2. Pengurangan
i
Contoh
a) 3(14i)2(7i)(312i)(142i)(314)(12i2i)1714i b) 3(14i)2(1i)(312i)(22i)(32)(12i2i)110i
c) 2(4i)(2i)(23i)
82i2i23i
8222ii3i
44i3. Perkalian
i
Contoh
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 29
Contoh
1. Selesaikanlah a. (32i)(7i)
b. (7i)(32i)
c. (86i)(2i7)
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 30
e.
(53i)(12i)
(75i) f. (23i)(42i)g. (42i)(23i)
h. (2i)
(32i)(54i)
i.
(2i)(32i)
(54i) j. (12i)
(75i)(34i)
k.i i
1
2 3
l.
i i
i
3 4
20 4
3 5 5
m.
1 2 310 19
i i i
n.
2
3 3 2 1
i
o.
3 2
1 1 2 1
1
3
i i i
i
p. 5 10 15
16 9 4
2 i i i
i i i
q.
3
7 5 2
i i
r.
2 7 2 3
i
i i
i
s.
) 2 )( 1 (
3
i i
i
t.
32i
2 u.
1i 2 2i 22. Jika = 2 + , = 3−2 = − + √ ,
Tentukan nilai masing-masing berikut ini. a. 3z1 4z2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 31
c.
z3 41.5 Nilai Mutlak
Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek zabi dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai z abi a2 b2
Contoh
a) 2 3 2 ( 3) 4 9 13
2
2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 32
b) 4 2 ( 4) 2 16 4 20 2 5
2
2
i
c) 2 3 2 3 4 9 13
2
2
i
d) 4 5 ( 4) ( 5) 16 25 41
2
2
i
e)
13 6 1 9 1 4 1 3
1 2
1 3
1 2
1 2 2
i
Jika z1,z2,z3,...zm adalah bilangan komplek, berlaku sifat-sifat berikut
1. z1z2 z1 z2 atau z1z2 ...zm z1 z2 ... zm
Bukti
Misal z1 abi, z2 cdi
a bi
c di
ac bd
ad bc
i zz1 2
z1z2 (acbd)2 (adbc)2`
(a2c2 2acbdb2d2)(a2d2 abcdb2c2`
(a2c2 b2d2 a2d2`
(a2 b2)(c2 d2)`
2 2 2 2
d c b
a
( 2 2)( 2 2)`
d c b
a
z1 z2
2. ,
2 1 2 1
z z z z
jika z2 0
Bukti
Dari operasi pembagian dua bilangan komplek diperoleh:
2 2 2
1 ( )
d c
i ad bc bd ac di c
bi a z z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 33
Dilain pihak
Sehingga dapat
disimpulakn bahwa ,
2 (a). Penyelesaian
Misal z1 x1 iy1,z2 x2 iy2 dan kita harus menunjukkan bahwa
Contoh soal
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 34
1) Jika z i z i z i
Sehingga diperoleh dua persamaan
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 35
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh x1,y2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 36
Tentukan nilai masing-masing berikut ini. a) 3z1 4z2
b) z13 3z12 4z18 c)
z3 4d)
2
1 3
1 3
3 2
5 2
i z
z
i z
z
e) z12 3z12z14 f) 3z1 4z2
3. Tentukan z dari:
a.
2 3 2
1 i
z
b. (1 )
2 2
i
z
c. z(4i)(i1)(7i2)
d. z 33i 3 e. z2
i 31.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem Bilangan Komplek
Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( ba, )dari bilangan real a dan b menunjuk pada yang definisi yang
beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan bilangan-bilangan real.
a. Persamaan (a,b)(c,d) jika dan hanya jika ac,bd b. Penjumlahan (a,b)(c,d)(ac,bd)
c. Produk (a,b)(c,d)(acbd,ad bc) dan m(a,b)(ma,mb)
Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa (a,b)a(1,0)b(0,1) dan kita berhubungan dengan ini abi di mana lambang untuk (0,1) dan mempunyai
) 0 , 1 ( ) 1 , 0 )( 1 , 0 (
2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 37
jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan (0,0)sesuai dengan bilangan real 0.
Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z1,z2,z3bagian dari
Hukum Komutatif Penjumlahan
3. z1(z2 z3)(z1z2)z3
Hukum Asosiatif Penjumlahan
4.
Hukum komutatif Perkalian
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 38
Hukum Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
7.
0 disebut identintas penjumlahan 1 disebut identintas perkalian
8. Untuk suatu bilangan komplek z ada satu bilangan 1 zS
yang tunggal sedemikian sehingga z1 z zz1 0. Untuk selanjutnya zdisebut invers (balikan) penjumlahan dari z dan dilambangkan dengan 1 z1.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 39
disebut inver perkalian dari z dan dilambangkan dengan 1
1 1
z atau
1
1
z
Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S yang
anggota-anggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan field (lapangan). Contoh
1. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0)=(a,c) + (c,b)=(a,b)
Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan ( , ) = ( , 0) + ( 0, ) = ( 1,0) + ( 1,0) dimana
( 0,1) ( 0,1) = ( 0∗0−1∗1,0∗1 + 1∗0) = (−1,0) Dari identifikasi ( 1,0) dengan 1 dan ( 0,1) dengan , kita melihat bahwa ( , ) = +
2. Jika = ( , ) , = ( , ) dan = ( , ), membuktikan hukum
persamaan distribusi z1(z2 z3)z1z2 z1z3
Kita mendapatkan
, = ( , ) { ( , ) + ( , ) } = ( , ) ( , ) + ( , )
= { ( + )− ( , ) , ( , ) + ( + ) }
= − + − , + + +
= ( − , + ) + ( − , + )
= ( , ) ( , ) + ( , ) ( , ) = , + ,
1.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 40
Gambar 1.4
Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan kedua garus dapat b ertemu di satu titik, titik tersebut dinamakan koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan (x,y).Pada gambar di atas dipilih titik P(3,5).
Karena suatu bilangan komplek z xyi dapat dipandang sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat merepresentasikan bilang komplek dengan suatu titik pada bidang xy. Bidangxy sebagai representasi bilangan komplek dinamakan bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan titik
) 5 , 3 (
P seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai 35i. Setiap bilangan komplek berkorepondesni satu dan hanya satu dengan setiap titik pada bidang, sebaliknya setiap satu titik pada bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu bilangan komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang komplek z,
sebagai titik z .
Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-turut dan bidangnya dinamakan bidang z Jarak . antara dua titik z1 x1 y1i dan z2 x2 y2ipada bidang komplek diberikan oleh
2 2 1 2 2 1 2
1 z (x x ) (y y )
z
Contoh soal
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 41
a)
23i
(45i) Secara analitisSecara grafis
Gambar 1.5
b) 3(1 + 2i) – 2(2 – 3i) Secara analitis
i i
i i
i
i) 2(2 3) (3 6 ) (4 6 ) (3 4) (6 6) 1 12 2
1 (
3
Secara grafis
gambar 1.6
c) (7 + i) – (4 – 2i)
d) 3(1 + i) + 2(4 – 3i) – (2 + 5i)
e) ( 4−3 ) + ( 5 + 2 )
X Y
i
6 3
i
6 4
i
12 1
i
3 2
i
5 4
i
2 6
X Y
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 42
Contoh 1.c,d dan e ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.
2. Jika z1,z2dan z3merupakan vektor yang ditunjukan dalam gambar 1.7, buatlah
grafik : (a). 2z1 + z3 (c). z1+ (z2+ z3) (e). 2 1 3 3 2 4 3 3 1
z z
z
(b). (z1+ z2) + z3 (d). 3z1- 2z2+ 5z3
Gambar 1.7
3. Jika z1= 4 – 3i dan z2= -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:
(a). z1z2 (b). z1z2
(b). z1z2 (d). 2z13z22
4. Letak vektor dari titik A,Bdan C dari segitiga ABC masing-masing diberi
1
z = 1 + 2i, z2= 4 - 2i dan z3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC merupakan segitiga
samakaki dan hitunglah panjang sisinya.
5. Misalkan z1,z2,z3,z4,letak vektor tegak lurus untuk segi empat ABCD . Buktikan
bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika
.` 0
4 3 2
1 z z z
z
6. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang.
X Y
1
z
2
z
3
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 43
7. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik.
8. Misalkan segi empat ABCD dan E,F,G,Htitik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang.
9. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD. Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC membagi AC .
10.Letak vektor dari titik A,B berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i. (a). carilah sebuah persamaan garis AB. (b). carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya.
11.Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah ini:
(a). zi 2, (b). z2i x2i 6, (c). z3 z3 4,(d). z(z2)3,(e).
4. Imz2
12.Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat (-3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10.
1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek
Jika P adalah titik pada bidang komplek yang berkorepondensi dengan bilangan komplek (x,y) atau xyi maka berdasarkan gambar 1.8 kita dapat melihat
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 44
Gambar 1.8
Karena r x2 y2 x yi adalah modulus atau nilai mutlak dari bilangan komplek
1
iy x
z (dinotasikan dengan mod zatau z ); dan disebut amplitude atau
argument dari zxiy(dinotasikan dengan arg z), adalah sudut yang dibuat oleh garis
OP dengan sumbu x positif.
Oleh karena itu, zxy r(cos isin)
Yang disebut bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut koordinat polar. Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan menyebut sebagai singkatan cis
untuk cosisin.
Untuk suatu bilangan kompleks z 0 terdapat korespondensi satu dan hanya satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan untuk 0 ≦ < 2π. Namun, interval lain dari panjang 2π, misalnya - π < θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.
Contoh
1. Nyatakan setiap titik dalam koordinat tegak lurus berikut dalam bentuk polar a. 22i
) , (x y P
X Y
y
x r
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 45
Gambar 1.9
Karena z22i maka z r 22 (2)2 8 2 2
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-4 maka 335 7 /4 2
2
cos o Sehingga z22i2 2
cos7/4isin7/4
2 2cis
7 /4
b. 1 i 3
Gambar 1.10
Karena zii 3 maka z r (1)2 ( 3)2 4 2
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-2 maka 120 2 /3 2
3
sin o
Sehingga z 1i 32
cos2 /3isin2 /3
2cis
2 /3
c. 2 22 2i
X Y
3 1 i
3 / 2
X Y
i
2 2
2
2
4
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 46
Gambar 1.11
2 2 2
2 i
z maka z r (2 2)2(2 2)2 16 4
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-1 maka 45 /4 2
2 4
2 2
cos o
Sehingga z2 22i 24
cos/4isin/4
4cis
/4d. i
Gambar 1.12
i
z maka z r (0)2(1)2 11
Karena titiknya terletak pada sumbu -Y maka 0 270 3 /2 1
0
cos
o
Sehingga zi1
cos3 /2isin3/2
cis
3/2
e. -4
X Y
i
X Y
2 2 2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 47
Gambar 1.13
4
z maka z r (4)2(0)2 144
Karena titiknya terletak pada sumbu -X maka 1180o 4
4 cos
Sehingga z44
cos isin
4cis
f. 2 32i
Gambar 1.14
i
z2 32 maka z r (2 3)2(2)2 16 4 Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka 210o
4 2 cos Sehingga z2 32i4
cos210oisin210o
g. Buktikan bahwa
) 2 / 1 (tan 1
5
2i ei X Y
i
2 3
2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 48
Gambar 1.15
i
z2 maka z r (2)2 (1)2 5 Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka
2 1 tan
Diperoleh
2 1 arctan
Sehingga z2i 5
cos(arctan(1/2)isin(arctan(1/2)
5eiarctan(1/2) 5eitan1(1/2)2. Nyatakanlah bentuk polar berikut dalam koordinat tegak lurus a. 6(cos135oisin135o)
Karena 135o 3/4 berarti x0,y0
dan diperoleh
2 3 ) 2 2 / 1 ( 6 135 cos
6
o
x
2 3 ) 2 2 / 1 ( 6 135 sin
6
o
y
Sehingga 6(cos135o isin135o)6cis135o (3 2,3 2)
Catatan
4 / 3
6 ) 135 sin 135
(cos
6 oi o e i
b. o
cis 90
12
Karena 90o /2 berarti x0,y0
dan diperoleh
Y
i
2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 49
0
dan diperoleh
2
dan diperoleh
3
dan diperoleh
3
Soal-soal
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo- 50
b. 12i
c. 3i 3 d. 22 3i
e. 55i
f. 6i 2 g. 3i
h. 5
2. Buatlah grafik untuk titik yang dinyatakan oleh a. 6cos(240o isin240o)
b.
4 2cis
c.
4 7 2
2 cis
d. 3 /5
4e i e. 2ei/4
3. Seseorang menempuh perjalalan wisata 12 km dalam arah timur laut (northeast), dilanjutkan 20 km dalam arah o
30 disebelah barat dari utara kemudian 18 km o
60
disebelah selatan dari barat. Tentukan secara analitis dan grafis jarak yang ditempuh dan bagaimana arah yang ditempuh dari titik awal.
1.9 Teorema de Moivre
Jikaz1 x1iy1r1(cos1 isin1)danz2 x2 iy2 r2(cos2 isin2) kita dapat menunjukkan bahwa:
) sin (cos
) sin
(cos 1 1 2 2 2
1 2
1z r i r i
z
1 2
2 2 1 2
1 2
1 2
1r cos cos icos sin isin cos i sin sin
r
i
r
r1 2 (cos1cos2sin1sin2)(sin1cos2cos1sin2)
cos( 1 2) sin( 1 2)
... (2)2
1r i
r
2 1
z z
) sin (cos
) sin (cos
2 2
2
1 1
1
i
r
i r